ฉัน. นิพจน์ที่สามารถใช้ตัวเลข สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ และวงเล็บร่วมกับตัวอักษรได้ เรียกว่า นิพจน์พีชคณิต
ตัวอย่าง นิพจน์พีชคณิต:
2m -n; 3 · (2ก + ข); 0.24x; 0.3ก -ข · (4a + 2b); ก 2 – 2ab;
เนื่องจากตัวอักษรในนิพจน์พีชคณิตสามารถถูกแทนที่ด้วยตัวเลขที่แตกต่างกันได้ ตัวอักษรจึงถูกเรียกว่าตัวแปร และนิพจน์พีชคณิตในตัวมันเองจึงเรียกว่านิพจน์ที่มีตัวแปร
ครั้งที่สอง หากในนิพจน์พีชคณิตตัวอักษร (ตัวแปร) จะถูกแทนที่ด้วยค่าและดำเนินการตามที่ระบุหมายเลขผลลัพธ์จะเรียกว่าค่าของนิพจน์พีชคณิต
ตัวอย่าง.
ค้นหาความหมายของสำนวน:
1) a + 2b -c โดยมี = -2; ข = 10; ค = -3.5
2) |x| + |ย| -|z| ที่ x = -8; ย = -5; ซี = 6..
สารละลาย
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
1) a + 2b -c โดยมี = -2; ข = 10; ค = -3.5 แทนที่จะเป็นตัวแปร ลองแทนค่าของมันแทน เราได้รับ:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
2) |x| + |ย| -|z| ที่ x = -8; ย = -5; z = 6 แทนค่าที่ระบุ เราจำได้ว่าโมดูลัสของจำนวนลบเท่ากับจำนวนตรงข้าม และโมดูลัสของจำนวนบวกจะเท่ากับจำนวนนี้เอง เราได้รับ:ที่สาม
ค่าของตัวอักษร (ตัวแปร) ที่นิพจน์พีชคณิตสมเหตุสมผลเรียกว่าค่าที่อนุญาตของตัวอักษร (ตัวแปร)
ตัวอย่าง.นิพจน์ไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าของตัวแปรใด
สารละลาย.
เรารู้ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ดังนั้น แต่ละนิพจน์เหล่านี้จึงไม่สมเหตุสมผลเมื่อพิจารณาถึงค่าของตัวอักษร (ตัวแปร) ที่เปลี่ยนตัวส่วนของเศษส่วนให้เป็นศูนย์!
ในตัวอย่างที่ 1) ค่านี้คือ a = 0 แน่นอนว่าหากคุณแทนที่ 0 แทน a คุณจะต้องหารตัวเลข 6 ด้วย 0 แต่ไม่สามารถทำได้ คำตอบ: นิพจน์ 1) ไม่สมเหตุสมผลเมื่อ a = 0
ในตัวอย่างที่ 2) ตัวส่วนของ x คือ 4 = 0 ที่ x = 4 ดังนั้นจึงไม่สามารถหาค่านี้ x = 4 ได้ คำตอบ: นิพจน์ 2) ไม่สมเหตุสมผลเมื่อ x = 4
ในตัวอย่างที่ 3) ตัวส่วนคือ x + 2 = 0 เมื่อ x = -2 คำตอบ: นิพจน์ 3) ไม่สมเหตุสมผลเมื่อ x = -2 ในตัวอย่างที่ 4) ตัวส่วนคือ 5 -|x| = 0 สำหรับ |x| = 5 และตั้งแต่ |5| = 5 และ |-5| = 5 ดังนั้นคุณไม่สามารถรับ x = 5 และ x = -5 ได้ คำตอบ: นิพจน์ 4) ไม่สมเหตุสมผลที่ x = -5 และที่ x = 5 IV.กล่าวกันว่าสำนวนสองสำนวนมีความเท่ากันถ้ามีสำนวนใดๆ
ตัวอย่าง: 5 (a – b) และ 5a – 5b ก็เท่ากัน เนื่องจากความเท่าเทียมกัน 5 (a – b) = 5a – 5b จะเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ a และ b ความเท่าเทียมกัน 5 (a – b) = 5a – 5b คือเอกลักษณ์
ตัวตน คือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับค่าที่อนุญาตทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ตัวอย่างของอัตลักษณ์ที่คุณทราบอยู่แล้ว เช่น คุณสมบัติของการบวกและการคูณ และคุณสมบัติการแจกแจง
การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งที่เท่ากันเรียกว่า การเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ หรือเพียงการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ การแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข
ตัวอย่าง.
ก)แปลงนิพจน์ให้เท่ากันโดยใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ:
1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(ก -2b + 4c); 3) ก·(6ม. -2n + k)
2) |x| + |ย| -|z| ที่ x = -8; ย = -5; ซี = 6.- ให้เรานึกถึงคุณสมบัติการแจกแจง (กฎ) ของการคูณ:
(ก+ข)ค=เอซี+บีซี(กฎการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการบวก: ในการคูณผลรวมของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สาม คุณสามารถคูณแต่ละพจน์ด้วยตัวเลขนี้แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้)
(ก-ข) ค=ก-ข ค(กฎการกระจายของการคูณสัมพันธ์กับการลบ: ในการคูณผลต่างของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สามคุณสามารถคูณเครื่องหมายลบและลบด้วยตัวเลขนี้แยกกันและลบตัวที่สองจากผลลัพธ์แรก)
1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y
2) 1.5·(ก -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c
3) ก·(6นาที -2n + k) = 6โมงเช้า - 2วัน+อัค
ข)แปลงนิพจน์ให้เท่ากัน โดยใช้คุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยง (กฎ) ของการบวก:
4) x + 4.5 +2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4 วินาที -3 -2.5 -2.3 วินาที
ตัวอย่าง.ลองใช้กฎหมาย (คุณสมบัติ) ของการบวก:
ก+ข=ข+ก(สับเปลี่ยน: การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่จะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง)
(ก+ข)+ค=ก+(ข+ค)(แบบรวมกัน: ในการบวกเลขตัวที่สามเข้ากับผลรวมของสองเทอม คุณสามารถเพิ่มผลรวมของเลขตัวที่สองและสามเข้ากับตัวเลขตัวแรกได้)
4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11
5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9
6) 6) 5.4 วินาที -3 -2.5 -2.3 วินาที = (5.4 วินาที -2.3 วินาที) + (-3 -2.5) = 3.1 วินาที -5.5
วี)แปลงนิพจน์ให้เท่ากันโดยใช้คุณสมบัติการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยง (กฎ) ของการคูณ:
7) 4 · เอ็กซ์ · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); (-1); 9) 3ก · (-3) · 2 วินาที
ตัวอย่าง.ลองใช้กฎ (คุณสมบัติ) ของการคูณ:
มี·ข=บี·ก(สับเปลี่ยน: การจัดเรียงปัจจัยใหม่ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง)
(ก) ค=ก (ข ค)(แบบรวมกัน: หากต้องการคูณผลคูณของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สาม คุณสามารถคูณตัวเลขแรกด้วยผลคูณของตัวเลขที่สองและสามได้)
กระทรวงศึกษาธิการแห่งสาธารณรัฐเบลารุส
สถาบันการศึกษา
“โกเมล มหาวิทยาลัยของรัฐพวกเขา. เอฟ สโกรินา"
คณะคณิตศาสตร์
กรม ส.ส.ท
การเปลี่ยนแปลงสำนวนที่เหมือนกันและวิธีการสอนนักเรียนถึงวิธีปฏิบัติ
ผู้ดำเนินการ:
นักเรียน Starodubova A.Yu.
หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์:
แคนด์ ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ รองศาสตราจารย์ Lebedeva M.T.
โกเมล 2007
การแนะนำ
1 ประเภทหลักของการเปลี่ยนแปลงและขั้นตอนการศึกษา ขั้นตอนของการเรียนรู้การใช้การเปลี่ยนแปลง
บทสรุป
วรรณกรรม
การแนะนำ
การแปลงนิพจน์และสูตรที่ง่ายที่สุดตามคุณสมบัติของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ดำเนินการใน โรงเรียนประถมศึกษาและชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และ 6 การพัฒนาทักษะและความสามารถในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นในหลักสูตรพีชคณิต นี่เป็นเพราะทั้งจำนวนและการเปลี่ยนแปลงที่หลากหลายที่กำลังดำเนินการเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว และความซับซ้อนของกิจกรรมในการพิสูจน์และชี้แจงเงื่อนไขของการบังคับใช้ การระบุและการศึกษาแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับอัตลักษณ์ การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน การเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกัน
1. ประเภทการเปลี่ยนแปลงหลักและขั้นตอนการศึกษา ขั้นตอนของการเรียนรู้การใช้การเปลี่ยนแปลง
1. จุดเริ่มต้นของพีชคณิต
มีการใช้ระบบการแปลงที่ไม่มีการแบ่งแยก ซึ่งแสดงตามกฎสำหรับการดำเนินการกับส่วนหนึ่งหรือทั้งสองส่วนของสูตร เป้าหมายคือการบรรลุความคล่องแคล่วในการทำงานเพื่อแก้สมการง่ายๆ ลดความซับซ้อนของสูตรที่กำหนดฟังก์ชัน และดำเนินการคำนวณอย่างมีเหตุผลตามคุณสมบัติของการกระทำ
ตัวอย่างทั่วไป:
แก้สมการ:
ก) ; ข) ; วี) .
การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน (a); เทียบเท่าและเหมือนกัน (b)
2. การพัฒนาทักษะในการประยุกต์การแปลงรูปแบบเฉพาะ
สรุป: สูตรคูณแบบย่อ; การแปลงที่เกี่ยวข้องกับการยกกำลัง การแปลงที่เกี่ยวข้องกับคลาสต่างๆ ของฟังก์ชันพื้นฐาน
การจัดระเบียบระบบอินทิกรัลของการเปลี่ยนแปลง (การสังเคราะห์)
เป้าหมายคือการสร้างเครื่องมือที่ยืดหยุ่นและทรงพลังซึ่งเหมาะสำหรับใช้ในการแก้ปัญหางานด้านการศึกษาที่หลากหลาย- การเปลี่ยนไปสู่ขั้นตอนนี้จะดำเนินการในระหว่างการทำซ้ำครั้งสุดท้ายของหลักสูตรในหลักสูตรการทำความเข้าใจเนื้อหาที่เรียนรู้แล้วในส่วนต่างๆ สำหรับการแปลงบางประเภท การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติจะถูกเพิ่มเข้าไปในประเภทที่ศึกษาก่อนหน้านี้ การแปลงทั้งหมดนี้เรียกว่า "พีชคณิต" การแปลง "เชิงวิเคราะห์" รวมถึงการแปลงที่อยู่ตามกฎของการสร้างความแตกต่างและการบูรณาการและการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ที่มีข้อความถึงขีดจำกัด ความแตกต่างประเภทนี้อยู่ที่ลักษณะของชุดที่ตัวแปรในข้อมูลประจำตัว (ชุดฟังก์ชันบางชุด) ทำงานผ่าน
อัตลักษณ์ที่กำลังศึกษาแบ่งออกเป็นสองประเภท:
I – ข้อมูลประจำตัวของการคูณแบบย่อใช้ได้ในวงแหวนสับเปลี่ยนและอัตลักษณ์
ยุติธรรมในสนาม
II – ตัวตนที่เชื่อมโยงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และฟังก์ชันพื้นฐานขั้นพื้นฐาน
2 คุณลักษณะของการจัดระเบียบระบบงานเมื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์
หลักการสำคัญของการจัดระบบงานคือการนำเสนอจากง่ายไปซับซ้อน
รอบการออกกำลังกาย– ผสมผสานการเรียนด้านต่าง ๆ และเทคนิคการเรียบเรียงเนื้อหาเข้าด้วยกันเป็นลำดับ เมื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ วัฏจักรของแบบฝึกหัดจะสัมพันธ์กับการศึกษาอัตลักษณ์หนึ่ง โดยมีการจัดกลุ่มอัตลักษณ์อื่น ๆ ที่มีความเกี่ยวข้องตามธรรมชาติด้วยวงจรนี้รวมถึงงานของผู้บริหารด้วย กำหนดให้ต้องรับรู้ถึงการบังคับใช้อัตลักษณ์ที่เป็นปัญหา- ข้อมูลระบุตัวตนที่กำลังศึกษานี้ใช้ในการคำนวณโดเมนตัวเลขต่างๆ งานในแต่ละรอบจะแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม- ถึง อันดับแรกซึ่งรวมถึงงานที่ทำระหว่างการทำความรู้จักกับตัวตนเบื้องต้น พวกเขาให้บริการ สื่อการศึกษาสำหรับบทเรียนติดต่อกันหลายบทรวมกันเป็นหัวข้อเดียว
กลุ่มที่สองแบบฝึกหัดเชื่อมโยงอัตลักษณ์ที่กำลังศึกษากับแอปพลิเคชันต่างๆ กลุ่มนี้ไม่ได้ก่อให้เกิดความสามัคคีในการเรียบเรียง - แบบฝึกหัดที่นี่กระจัดกระจายในหัวข้อต่างๆ
โครงสร้างวงจรที่อธิบายไว้หมายถึงขั้นตอนของการพัฒนาทักษะสำหรับการนำการเปลี่ยนแปลงเฉพาะไปใช้
ในขั้นตอนการสังเคราะห์ วงจรจะเปลี่ยนไป กลุ่มของงานจะรวมกันในทิศทางของความซับซ้อนและการรวมวงจรที่เกี่ยวข้องกับอัตลักษณ์ต่างๆ ซึ่งช่วยเพิ่มบทบาทของการดำเนินการเพื่อรับรู้การบังคับใช้ของอัตลักษณ์เฉพาะ
ตัวอย่าง.
วงจรของงานเพื่อระบุตัวตน:
ฉันจัดกลุ่มงาน:
ก) นำเสนอในรูปแบบของผลิตภัณฑ์:
b) ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน:
c) ขยายวงเล็บในนิพจน์:
.
ง) คำนวณ:
จ) แยกตัวประกอบ:
f) ทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น:
.
นักเรียนเพิ่งจะคุ้นเคยกับการกำหนดอัตลักษณ์ การเขียนในรูปแบบของอัตลักษณ์ และการพิสูจน์อัตลักษณ์
งาน ก) เกี่ยวข้องกับการแก้ไขโครงสร้างของอัตลักษณ์ที่กำลังศึกษา พร้อมสร้างความเชื่อมโยงด้วย ชุดตัวเลข(การเปรียบเทียบโครงสร้างเครื่องหมายของอัตลักษณ์และการแสดงออกที่แปลงแล้ว การแทนที่ตัวอักษรด้วยตัวเลขในอัตลักษณ์) ในตัวอย่างสุดท้าย เรายังต้องลดให้เป็นรูปแบบที่กำลังศึกษาอยู่ ในตัวอย่างต่อไปนี้ (e และ g) มีความซับซ้อนที่เกิดจากบทบาทของเอกลักษณ์และความยุ่งยากของโครงสร้างเครื่องหมาย
งานประเภท b) มีวัตถุประสงค์เพื่อพัฒนาทักษะการทดแทน 
บน . บทบาทของงาน c) มีความคล้ายคลึงกัน
ตัวอย่างประเภท d) ซึ่งจำเป็นต้องเลือกทิศทางหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงทำให้การพัฒนาแนวคิดนี้เสร็จสมบูรณ์
งานของกลุ่ม I มุ่งเน้นไปที่การเรียนรู้โครงสร้างของเอกลักษณ์ การดำเนินการทดแทนในกรณีที่ง่ายที่สุดและสำคัญที่สุดโดยพื้นฐาน และแนวคิดเกี่ยวกับการพลิกกลับของการเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินการโดยเอกลักษณ์ การเพิ่มคุณค่าของวิธีการทางภาษาที่แสดงให้เห็นแง่มุมต่างๆ ของอัตลักษณ์ก็มีความสำคัญมากเช่นกัน ตำราของงานให้แนวคิดเกี่ยวกับประเด็นเหล่านี้
งานกลุ่มที่สอง
g) การใช้เอกลักษณ์สำหรับ , แยกตัวประกอบพหุนาม
h) กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน
i) พิสูจน์ว่า ถ้าเป็นเลขคี่ แล้วหารด้วย 4 ลงตัว
j) ฟังก์ชันนี้กำหนดโดยนิพจน์เชิงวิเคราะห์
.
กำจัดเครื่องหมายโมดูลัสโดยพิจารณาสองกรณี: , .
k) แก้สมการ 
.
งานเหล่านี้มุ่งเป้าไปที่ให้มากที่สุด ใช้งานได้เต็มที่และคำนึงถึงลักษณะเฉพาะของอัตลักษณ์เฉพาะนี้ สมมุติว่าต้องมีการสร้างทักษะในการใช้อัตลักษณ์ที่กำลังศึกษาความแตกต่างของกำลังสอง เป้าหมายคือการทำความเข้าใจอัตลักษณ์ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นโดยการพิจารณาการใช้งานต่างๆ ของมัน สถานการณ์ที่แตกต่างกันบวกกับการใช้สื่อที่เกี่ยวข้องกับหัวข้ออื่น ๆ ในรายวิชาคณิตศาสตร์
หรือ 
.
คุณสมบัติของรอบงานที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลประจำตัวสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน:
1) มีการศึกษาบนพื้นฐานของวัสดุที่ใช้งานได้
2) ตัวตนของกลุ่มแรกปรากฏในภายหลังและได้รับการศึกษาโดยใช้ทักษะที่พัฒนาแล้วในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์
งานกลุ่มแรกในรอบควรรวมงานเพื่อสร้างการเชื่อมต่อระหว่างพื้นที่ตัวเลขใหม่เหล่านี้กับพื้นที่เดิมของจำนวนตรรกยะ
ตัวอย่าง.
คำนวณ:
;
.
วัตถุประสงค์ของงานดังกล่าวคือเพื่อเชี่ยวชาญคุณสมบัติของบันทึก รวมถึงสัญลักษณ์ของการดำเนินการและฟังก์ชันใหม่ และเพื่อพัฒนาทักษะการพูดทางคณิตศาสตร์
ส่วนสำคัญของการใช้การแปลงข้อมูลประจำตัวที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันพื้นฐานอยู่ที่การแก้สมการไร้เหตุผลและสมการเหนือธรรมชาติ ลำดับขั้นตอน:
ก) ค้นหาฟังก์ชัน φ ซึ่งสมการที่กำหนด f(x)=0 สามารถแสดงเป็น:
b) แทนค่า y=φ(x) และแก้สมการ
c) แก้สมการแต่ละสมการ φ(x)=y k โดยที่ y k คือเซตของรากของสมการ F(y)=0
เมื่อใช้วิธีการที่อธิบายไว้ ขั้นตอน b) มักจะดำเนินการโดยปริยาย โดยไม่ต้องใส่สัญลักษณ์สำหรับ φ(x) นอกจากนี้นักเรียนมักจะชอบ วิธีการที่แตกต่างกันนำไปสู่การหาคำตอบเลือกข้อที่นำไปสู่สมการพีชคณิตได้เร็วและง่ายขึ้น
ตัวอย่าง. แก้สมการ 4 x -3*2=0
2)(2 2) x -3*2 x =0 (ขั้นตอน ก)
(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (ขั้นตอน ข)
ตัวอย่าง. แก้สมการ:
ก) 2 2x -3*2 x +2=0;
ข) 2 2x -3*2 x -4=0;
ค) 2 2x -3*2 x +1=0
(แนะนำวิธีแก้ปัญหาแบบอิสระ)
การแบ่งประเภทของงานเป็นวัฏจักรที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการอดิศัย ได้แก่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:
1) สมการที่ลดเป็นสมการในรูปแบบ a x =y 0 และมีคำตอบทั่วไปง่ายๆ:
2) สมการที่ลดเหลือสมการในรูปแบบ a x = a k โดยที่ k คือจำนวนเต็ม หรือ a x = b โดยที่ b≤0
3) สมการที่ลดเหลือสมการในรูปแบบ a x =y 0 และต้องการการวิเคราะห์อย่างชัดเจนของรูปแบบที่เขียนตัวเลข y 0 อย่างชัดเจน
งานที่ใช้การแปลงข้อมูลประจำตัวเพื่อสร้างกราฟในขณะที่ลดความซับซ้อนของสูตรที่กำหนดฟังก์ชันจะเป็นประโยชน์อย่างมาก
ก) สร้างกราฟฟังก์ชัน y=;
b) แก้สมการ lgx+lg(x-3)=1
c) สูตร log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) เป็นชุดใด
การใช้การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ในการคำนวณ (Journal of Mathematics at School, no. 4, 1983, p. 45)
ภารกิจที่ 1 ฟังก์ชันนี้กำหนดโดยสูตร y=0.3x 2 +4.64x-6 ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ x=1.2
y(1,2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 .36+4.64)-6=1.2*5-6=0.
ภารกิจที่ 2 คำนวณความยาวของขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 3.6 ซม. และขาอีกข้างคือ 2.16 ซม.
ภารกิจที่ 3 พื้นที่ของแปลงสี่เหลี่ยมที่มีขนาดคือเท่าใด a) 0.64 ม. และ 6.25 ม. b) 99.8 ม. และ 2.6 ม.?
ก)0.64*6.25=0.8 2 *2.5 2 =(0.8*2.5) 2;
ข)99.8*2.6=(100-0.2)2.6=100*2.6-0.2*2.6=260-0.52
ตัวอย่างเหล่านี้ทำให้สามารถระบุได้ การประยุกต์ใช้จริงการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ นักเรียนควรทำความคุ้นเคยกับเงื่อนไขความเป็นไปได้ของการเปลี่ยนแปลง (ดูแผนภาพ)
| |
- รูปภาพของพหุนาม โดยที่พหุนามใดๆ พอดีกับรูปทรงทรงกลม (แผนภาพที่ 1)
-
เงื่อนไขสำหรับความเป็นไปได้ในการแปลงผลคูณของ monomial และนิพจน์ที่อนุญาตให้แปลงเป็นผลต่างของกำลังสอง (โครงการที่ 2)
-
ที่นี่การแรเงาหมายถึง monomials ที่เท่ากันและมีการกำหนดนิพจน์ที่สามารถแปลงเป็นค่าต่างของกำลังสองได้ (โครงการที่ 3)
| |
| |
- นิพจน์ที่ช่วยให้มีปัจจัยร่วม
ทักษะของนักเรียนในการระบุเงื่อนไขสามารถพัฒนาได้โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้:
นิพจน์ใดต่อไปนี้สามารถแปลงได้โดยการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:
2) 
3) 0.7a 2 +0.2b 2 ;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;
7) 0,21+0,22+0,23.
การคำนวณในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ไม่ตรงตามเงื่อนไขของความพึงพอใจ ดังนั้นนักเรียนจึงจำเป็นต้องมีทักษะในการลดการคำนวณให้อยู่ในรูปแบบที่ช่วยให้สามารถคำนวณการแปลงได้ ในกรณีนี้ งานต่อไปนี้มีความเหมาะสม:
เมื่อศึกษาโดยนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:
หากเป็นไปได้ให้แปลงนิพจน์นี้เป็นนิพจน์ที่ปรากฎในแผนภาพที่ 4:
4) 2ก*ก 2 *ก 2;
5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;
8) 15ab 2 +5a 2 ข;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
เมื่อสร้างแนวคิดของ "การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน" ควรจำไว้ว่านี่ไม่เพียงหมายความว่าการแสดงออกที่กำหนดและผลลัพธ์อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงจะใช้ค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น แต่ในระหว่างการแปลงที่เหมือนกัน เราจะย้ายจากนิพจน์ที่กำหนดวิธีการคำนวณวิธีหนึ่งไปเป็นนิพจน์ที่กำหนดวิธีคำนวณค่าเดียวกันอีกวิธีหนึ่ง
คุณสามารถแสดงแผนภาพที่ 5 (กฎสำหรับการแปลงผลคูณของโมโนเมียลและพหุนาม) พร้อมตัวอย่าง
0.5a(b+c) หรือ 3.8(0.7+)
แบบฝึกหัดเพื่อเรียนรู้วิธีนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:
คำนวณค่าของนิพจน์:
ก) 4.59*0.25+1.27*0.25+2.3-0.25;
b) a+bc ที่ a=0.96; ข=4.8; ค=9.8.
ค) a(a+c)-c(a+b) โดยที่ a=1.4; ข=2.8; ค=5.2.
ให้เราอธิบายด้วยตัวอย่างการก่อตัวของทักษะในการคำนวณและการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ (Journal of Mathematics at School, No. 5, 1984, p. 30)
1) ทักษะและความสามารถจะได้มาเร็วขึ้นและคงอยู่ได้นานขึ้นหากการพัฒนาเกิดขึ้นบนพื้นฐานของการมีสติ (หลักการสอนของการมีสติ)
1) คุณสามารถกำหนดกฎสำหรับการบวกเศษส่วนด้วย ตัวส่วนเดียวกันหรือก่อนหน้านี้ ตัวอย่างเฉพาะพิจารณาสาระสำคัญของการเพิ่มหุ้นที่เท่าเทียมกัน
2) เมื่อแยกตัวประกอบโดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ สิ่งสำคัญคือต้องดูตัวประกอบร่วมนี้แล้วจึงใช้กฎการกระจายตัว เมื่อทำแบบฝึกหัดแรก จะเป็นประโยชน์ในการเขียนแต่ละเทอมของพหุนามเป็นผลคูณกัน ซึ่งเป็นปัจจัยหนึ่งที่เหมือนกันในทุกเงื่อนไข:
3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .
การทำเช่นนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อนำหนึ่งใน monomial ของพหุนามออกจากวงเล็บ:
ครั้งที่สอง ขั้นแรกการพัฒนาทักษะ – ความชำนาญในทักษะ (แบบฝึกหัดจะดำเนินการพร้อมคำอธิบายและบันทึกโดยละเอียด)
(ปัญหาป้ายได้รับการแก้ไขก่อน)
ขั้นตอนที่สอง– ขั้นตอนของการทำให้ทักษะเป็นแบบอัตโนมัติโดยกำจัดการดำเนินการระดับกลางบางอย่าง
ที่สาม จุดแข็งของทักษะเกิดขึ้นได้จากการแก้ไขตัวอย่างที่แตกต่างกันทั้งในด้านเนื้อหาและรูปแบบ
หัวข้อ: “เอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ”
1. เขียนตัวประกอบที่หายไปแทนพหุนาม:
2. แยกตัวประกอบเพื่อให้มี monomial ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้าวงเล็บ:
3. แยกตัวประกอบเพื่อให้พหุนามในวงเล็บมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม:
4. แก้สมการ:
IV. การพัฒนาทักษะจะมีประสิทธิภาพมากที่สุดเมื่อมีการคำนวณหรือการแปลงระดับกลางด้วยวาจา
(วาจา);
V. ทักษะและความสามารถที่กำลังพัฒนาจะต้องเป็นส่วนหนึ่งของระบบความรู้ ทักษะ และความสามารถของนักเรียนที่ได้จัดทำขึ้นก่อนหน้านี้
ตัวอย่างเช่น เมื่อสอนวิธีแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ จะมีแบบฝึกหัดต่อไปนี้:
แยกตัวประกอบ:
วี. ความจำเป็นในการดำเนินการคำนวณและการแปลงอย่างมีเหตุผล
วี)ลดความซับซ้อนของการแสดงออก:
ความมีเหตุผลอยู่ที่การเปิดวงเล็บเพราะว่า
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การแปลงนิพจน์ที่มีเลขชี้กำลัง
หมายเลข 1011 (Alg.9) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
หมายเลข 1012 (Alg.9) ลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท:
หมายเลข 1013 (Alg.9) ป้อนตัวประกอบใต้เครื่องหมายรูท:
หมายเลข 1014 (Alg.9) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
ในตัวอย่างทั้งหมด ขั้นแรกให้ดำเนินการแยกตัวประกอบหรือลบตัวประกอบร่วม หรือ "ดู" สูตรการลดที่สอดคล้องกัน
เลขที่ 1015 (Alg.9) ลดเศษส่วน:
นักเรียนหลายคนประสบปัญหาในการแปลงสำนวนที่มีรากศัพท์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อศึกษาความเท่าเทียมกัน:
ดังนั้นไม่ว่าจะอธิบายรายละเอียดการแสดงออกในรูปแบบหรือ 
หรือไปในระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ
หมายเลข 1018 (Alg.9) ค้นหาค่าของนิพจน์:
หมายเลข 1019 (Alg.9) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
2.285 (Skanavi) ลดความซับซ้อนของนิพจน์
แล้วพลอตฟังก์ชัน ยสำหรับ
หมายเลข 2.299 (Skanavi) ตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน:
การแปลงนิพจน์ที่มีระดับเป็นลักษณะทั่วไปของทักษะและความสามารถที่ได้รับในการศึกษาการแปลงพหุนามที่เหมือนกัน
หมายเลข 2.320 (Skanavi) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:
หลักสูตรพีชคณิต 7 ให้คำจำกัดความต่อไปนี้
Def. สองนิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าของตัวแปรเรียกว่าเท่ากัน
Def. ความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรที่เรียกว่า ตัวตน.
หมายเลข 94 (Alg.7) คือความเท่าเทียมกัน:
ก) 
ค) 
ง) 
คำจำกัดความของคำอธิบาย: การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งที่เท่ากันเรียกว่าการแปลงที่เหมือนกันหรือเพียงการแปลงนิพจน์ การแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข
ลำดับที่ (Alg.7) ท่ามกลางสำนวน
หาสิ่งที่เท่าเทียมกัน
หัวข้อ: “การแปลงสำนวนที่เหมือนกัน” (เทคนิคคำถาม)
หัวข้อแรกของ "พีชคณิต-7" - "นิพจน์และการแปลง" ช่วยในการรวบรวมทักษะการคำนวณที่ได้รับในเกรด 5-6 จัดระบบและสรุปข้อมูลเกี่ยวกับการแปลงนิพจน์และการแก้สมการ
ค้นหาค่าของตัวเลขและ การแสดงออกตามตัวอักษรทำให้สามารถทำซ้ำกฎการดำเนินการกับจำนวนตรรกยะกับนักเรียนได้ ความสามารถในการดำเนินการ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนตรรกยะเป็นพื้นฐานสำหรับวิชาพีชคณิตทั้งหมด
เมื่อพิจารณาถึงการเปลี่ยนแปลงของการแสดงออก ทักษะที่เป็นทางการและการปฏิบัติยังคงอยู่ในระดับเดียวกับที่ทำได้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6
อย่างไรก็ตาม นักเรียนจะก้าวไปสู่ระดับใหม่ในการเรียนรู้ทฤษฎี มีการแนะนำแนวคิดของ "การแสดงออกที่เท่าเทียมกัน", "ตัวตน", "การเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ที่เหมือนกัน" ซึ่งเนื้อหาจะถูกเปิดเผยและเจาะลึกอย่างต่อเนื่องเมื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์พีชคณิตต่างๆ มีการเน้นย้ำว่าพื้นฐานของการแปลงข้อมูลประจำตัวคือคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข
เมื่อศึกษาหัวข้อ "พหุนาม" จะมีการสร้างทักษะการปฏิบัติงานอย่างเป็นทางการของการแปลงนิพจน์พีชคณิตที่เหมือนกัน สูตรการคูณแบบย่อมีส่วนช่วยในกระบวนการต่อไปในการพัฒนาความสามารถในการทำการแปลงนิพจน์ทั้งหมดที่เหมือนกัน ความสามารถในการใช้สูตรสำหรับการคูณแบบย่อและการแยกตัวประกอบของพหุนามนั้นไม่เพียงแต่ใช้ในการแปลงนิพจน์ทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังใช้ในการดำเนินการกับเศษส่วน, รากด้วย , กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ทักษะที่ได้รับในการแปลงอัตลักษณ์จะได้รับการฝึกฝนในการดำเนินการกับเศษส่วนพีชคณิต รากที่สองและนิพจน์ที่มีพลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
ในอนาคต เทคนิคการแปลงอัตลักษณ์จะสะท้อนให้เห็นในนิพจน์ที่มีระดับพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ
กลุ่มพิเศษการแปลงที่เหมือนกันคือนิพจน์ตรีโกณมิติและนิพจน์ลอการิทึม
ผลการเรียนรู้ภาคบังคับสำหรับหลักสูตรพีชคณิตเกรด 7-9 ได้แก่
1) การแปลงเอกลักษณ์ของนิพจน์จำนวนเต็ม
ก) การเปิดและปิดวงเล็บ;
b) นำสมาชิกที่คล้ายกัน;
c) การบวก การลบ และการคูณพหุนาม
d) การแยกตัวประกอบพหุนามโดยการใส่ตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บและสูตรการคูณแบบย่อ
จ) การสลายตัว ตรีโกณมิติกำลังสองโดยตัวคูณ
“คณิตศาสตร์ในโรงเรียน” (บ.ม.) หน้า 110
2) การแปลงนิพจน์เชิงตรรกศาสตร์ที่เหมือนกัน: การบวก การลบ การคูณ และการหารเศษส่วน รวมถึงการใช้ทักษะที่ระบุไว้เมื่อทำการแปลงแบบรวมอย่างง่าย [p. 111]
3) นักเรียนควรจะสามารถแปลงนิพจน์อย่างง่ายที่มีองศาและรากได้ (หน้า 111-112)
พิจารณาปัญหาประเภทหลักๆ ความสามารถในการแก้ไขซึ่งทำให้นักเรียนได้คะแนนเป็นบวก
ด้านที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของระเบียบวิธีในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์คือการพัฒนาเป้าหมายในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ของนักเรียน
1) 
- ลดความซับซ้อนของค่าตัวเลขของนิพจน์
2) การเปลี่ยนแปลงใดที่ควรทำ: (1) 
หรือ (2) การวิเคราะห์ตัวเลือกเหล่านี้เป็นแรงจูงใจ (ควร (1) เนื่องจากใน (2) ขอบเขตของคำจำกัดความแคบลง)
3) แก้สมการ:
แยกตัวประกอบเมื่อแก้สมการ
4) คำนวณ:
ลองใช้สูตรคูณแบบย่อ:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) ค้นหาค่าของนิพจน์:
หากต้องการค้นหาค่า ให้คูณแต่ละเศษส่วนด้วยสังยุค:
6) สร้างกราฟฟังก์ชัน:
มาเลือกทั้งส่วนกัน: .
การป้องกันข้อผิดพลาดเมื่อดำเนินการแปลงข้อมูลประจำตัวสามารถรับได้จากตัวอย่างการใช้งานที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ จะมีการฝึกฝนเทคนิค "เล็ก" ซึ่งในฐานะส่วนประกอบจะรวมอยู่ในกระบวนการเปลี่ยนแปลงที่ใหญ่กว่า
ตัวอย่างเช่น:
ขึ้นอยู่กับทิศทางของสมการ สามารถพิจารณาปัญหาหลายประการได้: การคูณพหุนามจากขวาไปซ้าย; จากซ้ายไปขวา - การแยกตัวประกอบ ด้านซ้ายคือตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งทางด้านขวา ฯลฯ
นอกจากตัวอย่างที่แตกต่างกันแล้ว คุณยังสามารถใช้ ขอโทษระหว่างอัตลักษณ์และความเท่าเทียมกันของตัวเลข
นัดต่อไป– คำอธิบายตัวตน
เพื่อเพิ่มความสนใจของนักเรียน เราสามารถรวมการค้นหาไว้ด้วย ในรูปแบบต่างๆการแก้ปัญหา
บทเรียนเกี่ยวกับการศึกษาการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์จะน่าสนใจยิ่งขึ้นหากคุณทุ่มเทให้กับมัน ค้นหาวิธีแก้ไขปัญหา .
ตัวอย่างเช่น: 1) ลดเศษส่วน:
3) พิสูจน์สูตรของ “อนุมูลเชิงซ้อน”
พิจารณา:
มาเปลี่ยนด้านขวาของความเท่าเทียมกันกัน:
-
ผลรวมของนิพจน์คอนจูเกต พวกมันสามารถคูณและหารด้วยสังยุคของมันได้ แต่การดำเนินการดังกล่าวจะนำเราไปสู่เศษส่วนที่ตัวส่วนคือผลต่างของราก
โปรดทราบว่าเทอมแรกในส่วนแรกของเอกลักษณ์นั้นเป็นตัวเลขที่มากกว่าเทอมที่สอง ดังนั้นเราจึงสามารถยกกำลังสองส่วนได้ทั้งสองส่วน:
หัวข้อ: การแปลงสำนวนที่เหมือนกัน (เทคนิคคำถาม)
วรรณกรรม: “การประชุมเชิงปฏิบัติการเรื่อง MPM”, หน้า 87-93
สัญญาณของวัฒนธรรมระดับสูงในการคำนวณและการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ในหมู่นักเรียนคือความรู้ที่ดีเกี่ยวกับคุณสมบัติและอัลกอริธึมของการดำเนินงานเกี่ยวกับปริมาณที่แน่นอนและโดยประมาณและการประยุกต์ใช้อย่างมีทักษะ วิธีการคำนวณและการแปลงอย่างมีเหตุผลและการทวนสอบ ความสามารถในการปรับใช้วิธีการและกฎของการคำนวณและการแปลงทักษะอัตโนมัติของการดำเนินการคำนวณโดยปราศจากข้อผิดพลาด
นักเรียนควรเริ่มทำงานเพื่อพัฒนาทักษะที่ระบุไว้ในระดับชั้นใด
เส้นของการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันเริ่มต้นด้วยการใช้เทคนิคการคำนวณเชิงตรรกะ โดยเริ่มต้นด้วยการใช้เทคนิคการคำนวณเชิงเหตุผลสำหรับค่าของนิพจน์ตัวเลข (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5)
เมื่อศึกษาหัวข้อดังกล่าวในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน คุณต้องให้ความสนใจกับหัวข้อเหล่านี้ ความสนใจเป็นพิเศษ!
การดำเนินการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์อย่างมีสติของนักเรียนได้รับการอำนวยความสะดวกโดยความเข้าใจในข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์พีชคณิตไม่มีอยู่ด้วยตัวมันเอง แต่ในความเชื่อมโยงที่แยกไม่ออกกับชุดตัวเลขบางชุด นิพจน์เหล่านี้ถือเป็นบันทึกทั่วไปของนิพจน์ตัวเลข ความคล้ายคลึงระหว่างพีชคณิตและ นิพจน์เชิงตัวเลข(และการเปลี่ยนแปลง) ถือเป็นเรื่องถูกกฎหมายในแง่ตรรกะ การใช้ในการสอนจะช่วยป้องกันข้อผิดพลาดในนักเรียน
การเปลี่ยนแปลงตัวตนไม่มีเลย หัวข้อแยกต่างหากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนจะเรียนตลอดหลักสูตรพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
โปรแกรมคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 1-5 เป็นสื่อการเรียนรู้สำหรับศึกษาการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันกับตัวแปร
ในหลักสูตรพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 มีการแนะนำคำจำกัดความของอัตลักษณ์และการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์
Def.เรียกว่าสองนิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร เท่าเทียมกัน
โอดีเอ- ความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรเรียกว่าเอกลักษณ์
คุณค่าของตัวตนอยู่ที่ความจริงที่ว่ามันยอมให้นิพจน์ที่กำหนดถูกแทนที่ด้วยอันอื่นที่เท่ากันกับนิพจน์นั้น
Def.เรียกว่าการแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์ที่เหมือนกันเหมือนกัน การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันหรือเพียงแค่ การเปลี่ยนแปลงการแสดงออก
การแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข
พื้นฐานของการเปลี่ยนแปลงข้อมูลประจำตัวถือได้ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงที่เทียบเท่ากัน
โอดีเอ- เรียกว่าสองประโยคซึ่งแต่ละประโยคเป็นผลเชิงตรรกะของอีกประโยคหนึ่ง เทียบเท่า.
โอดีเอ- ประโยคที่มีตัวแปร A เรียกว่า ผลที่ตามมาของประโยคที่มีตัวแปร Bถ้าโดเมนของความจริง B เป็นสับเซตของโดเมนของความจริง A
สามารถให้คำจำกัดความของประโยคที่เทียบเท่าได้อีกคำหนึ่ง: สองประโยคที่มีตัวแปรจะเทียบเท่ากันหากโดเมนความจริงตรงกัน
ก) B: x-1=0 ส่วน R; A: (x-1) 2 ส่วน R => A~B เพราะ พื้นที่แห่งความจริง (ทางแก้ไข) ตรงกัน (x=1)
b) A: x=2 ส่วน R; B: x 2 =4 ส่วน R => โดเมนของความจริง A: x = 2; โดเมนความจริง B: x=-2, x=2; เพราะ โดเมนของความจริงของ A มีอยู่ใน B ดังนั้น: x 2 =4 เป็นผลมาจากประพจน์ x = 2
พื้นฐานของการเปลี่ยนแปลงข้อมูลระบุตัวตนคือความสามารถในการแสดงตัวเลขเดียวกันในรูปแบบต่างๆ ตัวอย่างเช่น,
-
การเป็นตัวแทนนี้จะช่วยในการศึกษาหัวข้อ “คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน”
ทักษะในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์เริ่มพัฒนาเมื่อแก้ตัวอย่างที่คล้ายกับต่อไปนี้: “ ค้นหาค่าตัวเลขของนิพจน์ 2a 3 +3ab+b 2 โดยมี a = 0.5, b = 2/3” ซึ่งมอบให้กับนักเรียนในระดับชั้นประถมศึกษา 5 และอนุญาตให้มีแนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันของโพรพีดีวิติกส์
เมื่อศึกษาสูตรการคูณแบบย่อ คุณควรใส่ใจกับความเข้าใจอย่างลึกซึ้งและการดูดซึมที่แข็งแกร่ง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้ภาพประกอบกราฟิกต่อไปนี้:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
คำถาม: จะอธิบายให้นักเรียนทราบถึงสาระสำคัญของสูตรที่กำหนดตามภาพวาดเหล่านี้ได้อย่างไร
ข้อผิดพลาดทั่วไปคือการสร้างความสับสนระหว่างนิพจน์ "กำลังสองของผลรวม" และ "ผลรวมของกำลังสอง" ข้อบ่งชี้ของครูว่าสำนวนเหล่านี้แตกต่างกันตามลำดับการดำเนินการดูเหมือนจะไม่มีนัยสำคัญ เนื่องจากนักเรียนเชื่อว่าการกระทำเหล่านี้ดำเนินการด้วยตัวเลขเดียวกัน ดังนั้นผลลัพธ์จึงไม่เปลี่ยนแปลงโดยการเปลี่ยนลำดับการกระทำ
งานมอบหมาย: สร้างแบบฝึกหัดปากเปล่าเพื่อพัฒนาทักษะการใช้สูตรข้างต้นของผู้เรียนโดยไม่มีข้อผิดพลาด เราจะอธิบายได้อย่างไรว่าสำนวนทั้งสองนี้คล้ายกันและแตกต่างกันอย่างไร?
การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันที่หลากหลายทำให้ยากสำหรับนักเรียนที่จะกำหนดทิศทางของตนเองตามวัตถุประสงค์ที่พวกเขาทำ ความรู้คลุมเครือเกี่ยวกับจุดประสงค์ในการดำเนินการเปลี่ยนแปลง (ในแต่ละกรณี) มีผลกระทบด้านลบต่อการรับรู้ของพวกเขาและทำหน้าที่เป็นแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดครั้งใหญ่ในหมู่นักเรียน สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าการอธิบายให้นักเรียนฟังถึงเป้าหมายของการดำเนินการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันต่างๆ เป็นส่วนสำคัญของระเบียบวิธีในการศึกษาสิ่งเหล่านั้น
ตัวอย่างแรงจูงใจในการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์:
1. ลดความซับซ้อนของการค้นหาค่าตัวเลขของนิพจน์
2. การเลือกการแปลงสมการที่ไม่นำไปสู่การสูญเสียราก
3. เมื่อทำการแปลง คุณสามารถทำเครื่องหมายพื้นที่การคำนวณได้
4. การใช้การแปลงในการคำนวณ เช่น 99 2 -1=(99-1)(99+1);
ในการจัดการกระบวนการตัดสินใจ สิ่งสำคัญคือครูจะต้องมีความสามารถในการให้คำอธิบายที่ถูกต้องเกี่ยวกับสาระสำคัญของข้อผิดพลาดที่นักเรียนทำ การระบุลักษณะข้อผิดพลาดที่แม่นยำเป็นกุญแจสำคัญ ทางเลือกที่เหมาะสมการกระทำที่ตามมาของครู
ตัวอย่างข้อผิดพลาดของนักเรียน:
1. ทำการคูณ: นักเรียนได้รับ -54abx 6 (7 เซลล์)
2. โดยการเพิ่มพลัง (3x 2) 3 นักเรียนได้รับ 3x 6 (7 เกรด);
3. การแปลง (m + n) 2 เป็นพหุนามนักเรียนได้รับ m 2 + n 2 (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7)
4. โดยการลดเศษส่วนที่นักเรียนได้รับ (8 คะแนน)
5. การดำเนินการลบ: 
, นักเรียนจดบันทึก (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8)
6. เป็นตัวแทนของเศษส่วนในรูปเศษส่วน นักเรียนได้รับ: 
(8 เกรด);
7. การถอด รากเลขคณิตนักเรียนได้รับ x-1 (เกรด 9);
8. การแก้สมการ (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9)
9. เมื่อเปลี่ยนการแสดงออก นักเรียนจะได้รับ: (เกรด 9)
บทสรุป
การศึกษาการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์จะดำเนินการอย่างใกล้ชิดกับชุดตัวเลขที่ศึกษาในชั้นเรียนเฉพาะ
ในตอนแรก คุณควรขอให้นักเรียนอธิบายแต่ละขั้นตอนของการเปลี่ยนแปลง เพื่อกำหนดกฎเกณฑ์และกฎหมายที่ใช้บังคับ
ในการแปลงนิพจน์พีชคณิตที่เหมือนกัน จะใช้กฎสองข้อ: การแทนที่และการแทนที่ด้วยค่าเท่ากัน การทดแทนมักใช้บ่อยที่สุดเพราะว่า มันขึ้นอยู่กับสูตรการคำนวณเช่น ค้นหาค่าของนิพจน์ a*b ด้วย a=5 และ b=-3 บ่อยครั้งที่นักเรียนละเลยวงเล็บเมื่อทำการคูณ โดยเชื่อว่าเครื่องหมายการคูณนั้นมีความหมายเป็นนัย ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้เป็นไปได้: 5*-3
วรรณกรรม
1. เอไอ อาซารอฟ เอส.เอ. Barvenov “ วิธีการทำงานและกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการสอบ”, Mn..Aversev, 2004
2. อ.น. Piryutko “ข้อผิดพลาดทั่วไปในการทดสอบแบบรวมศูนย์”, Mn..Aversev, 2006
3. เอไอ อาซารอฟ เอส.เอ. Barvenov “งานกับดักในการทดสอบแบบรวมศูนย์”, Mn..Aversev, 2549
4. เอไอ อาซารอฟ เอส.เอ. Barvenov “ วิธีการแก้ปัญหาตรีโกณมิติ”, Mn..Aversev, 2005
ในบรรดาสำนวนต่างๆ ที่พิจารณาในพีชคณิต ผลรวมของ monomials ครอบครองสถานที่สำคัญ นี่คือตัวอย่างของสำนวนดังกล่าว:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
ผลรวมของเอกนามเรียกว่าพหุนาม เงื่อนไขในพหุนามเรียกว่าเงื่อนไขของพหุนาม Monomials ยังถูกจัดประเภทเป็นพหุนาม โดยพิจารณาว่า monomial เป็นพหุนามที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว
ตัวอย่างเช่น พหุนาม
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
สามารถทำให้ง่ายขึ้น
ให้เราแสดงคำศัพท์ทั้งหมดในรูปแบบของ monomials ของรูปแบบมาตรฐาน:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในพหุนามผลลัพธ์:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนาม ซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดเป็นแบบเอกพจน์ของรูปแบบมาตรฐาน และในจำนวนนั้นไม่มีคำที่คล้ายคลึงกัน พหุนามดังกล่าวเรียกว่า พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน.
สำหรับ องศาของพหุนามของรูปแบบมาตรฐานจะมีอำนาจสูงสุดของสมาชิก ดังนั้น ทวินาม \(12a^2b - 7b\) มีดีกรีที่สาม และตรีโนเมียล \(2b^2 -7b + 6\) มีดีกรีที่สอง
โดยทั่วไป เงื่อนไขของพหุนามรูปแบบมาตรฐานที่มีตัวแปรหนึ่งตัวจะถูกจัดเรียงตามเลขชี้กำลังจากมากไปน้อย ตัวอย่างเช่น:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
ผลรวมของพหุนามหลายตัวสามารถแปลง (ทำให้ง่ายขึ้น) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้
บางครั้งเงื่อนไขของพหุนามจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ โดยใส่แต่ละกลุ่มไว้ในวงเล็บ เนื่องจากการถ่ายคร่อมเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบผกผันของวงเล็บเปิด จึงง่ายต่อการกำหนด กฎการเปิดวงเล็บ:
หากใส่เครื่องหมาย “+” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายเดียวกัน
หากใส่เครื่องหมาย “-” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม
การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของ monomial และพหุนาม
โดยการใช้ คุณสมบัติการกระจายการคูณสามารถแปลง (ลดความซับซ้อน) เป็นพหุนาม ซึ่งเป็นผลคูณของพหุนามและพหุนามได้ ตัวอย่างเช่น:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามมีค่าเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของโมโนเมียลนี้และแต่ละเทอมของพหุนาม
ผลลัพธ์นี้มักจะถูกกำหนดเป็นกฎ
หากต้องการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม คุณต้องคูณโมโนเมียลนั้นด้วยเงื่อนไขแต่ละข้อของพหุนาม
เราใช้กฎนี้หลายครั้งเพื่อคูณด้วยผลรวม
ผลคูณของพหุนาม การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของพหุนามสองตัว
โดยทั่วไป ผลคูณของพหุนามสองตัวจะเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งและแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง
โดยปกติจะใช้กฎต่อไปนี้
ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้
สูตรคูณแบบย่อ ผลรวมกำลังสอง ผลต่าง และผลต่างของกำลังสอง
โดยมีสำนวนบางอย่างอยู่ใน การแปลงพีชคณิตต้องรับมือบ่อยกว่าคนอื่น บางที สำนวนที่พบบ่อยที่สุดคือ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) และ \(a^2 - b^2 \) กล่าวคือ กำลังสองของผลรวม กำลังสองของ ความแตกต่างและความแตกต่างของกำลังสอง คุณสังเกตเห็นว่าชื่อของนิพจน์เหล่านี้ดูเหมือนจะไม่สมบูรณ์ เช่น \((a + b)^2 \) แน่นอนว่าไม่ใช่แค่กำลังสองของผลรวม แต่เป็นกำลังสองของผลรวมของ a และ b . อย่างไรก็ตาม ผลบวกกำลังสองของ a และ b ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ตามกฎแล้ว แทนที่จะเป็นตัวอักษร a และ b กลับมีสำนวนที่หลากหลาย ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน
นิพจน์ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) สามารถแปลง (ลดความซับซ้อน) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้อย่างง่ายดาย ที่จริงแล้ว คุณประสบปัญหาดังกล่าวแล้วเมื่อทำการคูณพหุนาม : :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= ก^2 + 2ab + ข^2 \)
จะมีประโยชน์ในการจดจำข้อมูลประจำตัวที่เป็นผลลัพธ์และนำไปใช้โดยไม่ต้องคำนวณขั้นกลาง สูตรวาจาสั้น ๆ ช่วยเรื่องนี้
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - กำลังสองของผลรวม เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมและเพิ่มผลิตภัณฑ์เป็นสองเท่า
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - กำลังสองของผลต่างเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่ไม่มีผลคูณสองเท่า
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ผลต่างของกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวม
อัตลักษณ์ทั้งสามนี้ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเพื่อแทนที่ชิ้นส่วนด้านซ้ายด้วยชิ้นส่วนที่ถูกต้อง และในทางกลับกัน - ชิ้นส่วนด้านขวาด้วยชิ้นส่วนด้านซ้าย สิ่งที่ยากที่สุดคือการดูนิพจน์ที่เกี่ยวข้องและทำความเข้าใจว่าตัวแปร a และ b ถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเหล่านั้นอย่างไร มาดูตัวอย่างการใช้สูตรคูณแบบย่อกัน
