ในบทที่แล้วได้แสดงให้เห็นว่า โดยการเลือกระบบพิกัดบางอย่างบนระนาบ เราสามารถแสดงคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่แสดงลักษณะของจุดของเส้นที่กำลังพิจารณาในเชิงวิเคราะห์โดยสมการระหว่างพิกัดปัจจุบัน ดังนั้นเราจึงได้สมการของเส้นตรง บทนี้จะกล่าวถึงสมการเส้นตรง

ในการสร้างสมการสำหรับเส้นตรงในพิกัดคาร์ทีเซียน คุณจะต้องกำหนดเงื่อนไขที่กำหนดตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด

ขั้นแรก เราจะแนะนำแนวคิดเรื่องสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง ซึ่งเป็นหนึ่งในปริมาณที่แสดงลักษณะของเส้นตรงบนระนาบ

ลองเรียกมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox ว่าเป็นมุมที่ต้องหมุนแกน Ox เพื่อให้ตรงกับเส้นที่กำหนด (หรือขนานกับมัน) ตามปกติเราจะพิจารณามุมโดยคำนึงถึงเครื่องหมาย (เครื่องหมายจะถูกกำหนดโดยทิศทางการหมุน: ทวนเข็มนาฬิกาหรือตามเข็มนาฬิกา) เนื่องจากการหมุนเพิ่มเติมของแกน Ox ผ่านมุม 180° จะทำให้แกนนั้นอยู่ในแนวเดียวกับเส้นตรงอีกครั้ง จึงไม่สามารถเลือกมุมเอียงของเส้นตรงกับแกนได้อย่างชัดเจน (ภายในเทอม ซึ่งเป็นผลคูณของ )

แทนเจนต์ของมุมนี้จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน (เนื่องจากการเปลี่ยนมุมจึงไม่เปลี่ยนแทนเจนต์)

แทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox เรียกว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมแสดงลักษณะของเส้นตรง (ในที่นี้เราไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างสองทิศทางที่ตรงกันข้ามกันของเส้นตรง) ถ้า ความลาดชันเส้นตรงเท่ากับศูนย์ แล้วเส้นขนานกับแกน x ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมบวก มุมเอียงของเส้นตรงถึงแกน Ox จะเป็นแบบเฉียบพลัน (เรากำลังพิจารณาที่นี่ว่าเล็กที่สุด ค่าบวกมุมเอียง) (รูปที่ 39); ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมมากเท่าไร มุมเอียงของแกน Ox ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น หากค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเป็นลบมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน Ox จะเป็นมุมป้าน (รูปที่ 40) โปรดทราบว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน Ox ไม่มีสัมประสิทธิ์เชิงมุม (ไม่มีค่าแทนเจนต์ของมุม)

สมการของเส้นตรงบนระนาบ
เวกเตอร์ทิศทางเป็นเส้นตรง เวกเตอร์ปกติ

เส้นตรงบนเครื่องบินเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่ง รูปทรงเรขาคณิตคุ้นเคยกับคุณมาตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาและวันนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีจัดการกับมันโดยใช้วิธีเรขาคณิตวิเคราะห์ หากต้องการเชี่ยวชาญวัสดุ คุณจะต้องสามารถสร้างเส้นตรงได้ รู้ว่าสมการใดกำหนดเส้นตรง โดยเฉพาะเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด และเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัด ข้อมูลนี้สามารถพบได้ในคู่มือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้นฉันสร้างมันขึ้นมาเพื่อ Matan แต่ส่วนเกี่ยวกับ ฟังก์ชันเชิงเส้นมันประสบความสำเร็จและมีรายละเอียดมาก ดังนั้นกาน้ำชาที่รัก อุ่นเครื่องที่นั่นก่อน นอกจากนี้คุณต้องมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับ เวกเตอร์มิฉะนั้นความเข้าใจในเนื้อหาจะไม่สมบูรณ์

บน บทเรียนนี้เราจะมาดูวิธีที่คุณสามารถสร้างสมการเส้นตรงบนระนาบได้ ฉันไม่แนะนำให้ละเลยตัวอย่างเชิงปฏิบัติ (แม้ว่าจะดูง่ายมาก) เนื่องจากฉันจะจัดเตรียมพื้นฐานและ ข้อเท็จจริงที่สำคัญ, วิธีการทางเทคนิคซึ่งจะต้องใช้ในอนาคตรวมทั้งในส่วนอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ชั้นสูงด้วย

• จะเขียนสมการเส้นตรงด้วยสัมประสิทธิ์มุมได้อย่างไร?
• ยังไง ?
• จะหาเวกเตอร์ทิศทางโดยใช้สมการทั่วไปของเส้นตรงได้อย่างไร?
• จะเขียนสมการเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

และเราเริ่มต้น:

สมการของเส้นตรงกับความชัน

รูปแบบ "โรงเรียน" ที่รู้จักกันดีของสมการเส้นตรงเรียกว่า สมการของเส้นตรงกับความชัน- ตัวอย่างเช่น หากสมการกำหนดเส้นตรง ความชันของมันจะเป็น: ลองพิจารณาดู ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์นี้และค่าของมันส่งผลต่อตำแหน่งของเส้นอย่างไร:

ในหลักสูตรเรขาคณิตได้รับการพิสูจน์แล้ว ความชันของเส้นตรงเท่ากับ แทนเจนต์ของมุมระหว่างทิศทางของแกนบวกและบรรทัดนี้: และมุมจะ “คลายเกลียว” ทวนเข็มนาฬิกา

เพื่อไม่ให้ภาพวาดเกะกะ ฉันจึงวาดมุมเพียงสองเส้นตรงเท่านั้น ลองพิจารณาเส้น "สีแดง" และความชันของมัน ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น: (มุม "อัลฟา" จะแสดงด้วยส่วนโค้งสีเขียว) สำหรับเส้นตรง "สีน้ำเงิน" ที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง (มุม "เบต้า" จะแสดงด้วยส่วนโค้งสีน้ำตาล) และถ้ารู้แทนเจนต์ของมุม ก็หาได้ง่ายหากจำเป็น และมุมนั้นเองโดยใช้ ฟังก์ชันผกผัน– อาร์กแทนเจนต์ อย่างที่พวกเขาพูดกันว่ามีตารางตรีโกณมิติหรือเครื่องคิดเลขขนาดเล็กอยู่ในมือคุณ ดังนั้น, ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมแสดงถึงระดับความเอียงของเส้นตรงกับแกนแอบซิสซา.

เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้:

1) ถ้าความชันเป็นลบ: แล้วเส้นพูดคร่าวๆ จะเคลื่อนจากบนลงล่าง ตัวอย่างคือเส้นตรง "สีน้ำเงิน" และ "ราสเบอร์รี่" ในภาพวาด

2) หากความชันเป็นบวก เส้นจะลากจากล่างขึ้นบน ตัวอย่าง - เส้นตรง "สีดำ" และ "สีแดง" ในภาพวาด

3) หากความชันเป็นศูนย์: สมการก็จะอยู่ในรูปแบบ และเส้นตรงที่สอดคล้องกันจะขนานกับแกน ตัวอย่างคือเส้นตรง “สีเหลือง”

4) สำหรับตระกูลเส้นที่ขนานกับแกน (ไม่มีตัวอย่างในภาพวาด ยกเว้นแกนเอง) ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม ไม่มีอยู่จริง (ไม่ได้กำหนดแทนเจนต์ของ 90 องศา).

ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ความชันในค่าสัมบูรณ์มากขึ้น กราฟเส้นตรงจะชันมากขึ้นเท่านั้น.

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเส้นตรงสองเส้น ตรงนี้เส้นตรงจึงมีความลาดชันมากกว่า ฉันขอเตือนคุณว่าโมดูลอนุญาตให้คุณเพิกเฉยต่อเครื่องหมาย เราสนใจเท่านั้น ค่าสัมบูรณ์ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม

ในทางกลับกัน เส้นตรงจะชันกว่าเส้นตรง .

ในทางกลับกัน ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ความชันในค่าสัมบูรณ์มีค่าน้อย เส้นตรงก็จะยิ่งแบนลง.

สำหรับเส้นตรง ความไม่เท่าเทียมเป็นจริง เส้นตรงจึงราบเรียบกว่า สไลด์สำหรับเด็กเพื่อไม่ให้เกิดรอยฟกช้ำและการกระแทก

เหตุใดจึงจำเป็น?

ยืดเวลาความทรมานของคุณ ความรู้เกี่ยวกับข้อเท็จจริงข้างต้นช่วยให้คุณเห็นข้อผิดพลาดของคุณได้ทันทีโดยเฉพาะข้อผิดพลาดเมื่อสร้างกราฟ - หากภาพวาดกลายเป็น "มีบางอย่างผิดปกติอย่างชัดเจน" ขอแนะนำให้คุณ ทันทีเห็นได้ชัดว่าเส้นตรงมีความชันมากและลากจากล่างขึ้นบน และเส้นตรงนั้นแบนมาก กดใกล้กับแกนและลากจากบนลงล่าง

ในปัญหาทางเรขาคณิต มักมีเส้นตรงหลายเส้นปรากฏขึ้น ดังนั้นจึงสะดวกในการกำหนดด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง

การกำหนด: เส้นตรงถูกกำหนดให้มีขนาดเล็ก ในตัวอักษรละติน- ตัวเลือกยอดนิยมคือการกำหนดโดยใช้ตัวอักษรเดียวกันกับตัวห้อยที่เป็นธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น เส้นห้าเส้นที่เราเพิ่งดูสามารถเขียนแทนด้วยได้ .

เนื่องจากเส้นตรงใดๆ ถูกกำหนดโดยจุดสองจุดโดยไม่ซ้ำกัน จึงสามารถเขียนแทนด้วยจุดเหล่านี้ได้: ฯลฯ การกำหนดบอกเป็นนัยอย่างชัดเจนว่าจุดนั้นอยู่ในเส้น

ได้เวลาอุ่นเครื่องแล้ว:

จะเขียนสมการเส้นตรงด้วยสัมประสิทธิ์มุมได้อย่างไร?

หากทราบจุดที่เป็นของเส้นบางเส้นและค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้จะแสดงด้วยสูตร:

ตัวอย่างที่ 1

เขียนสมการของเส้นที่มีความชันหากรู้ว่าจุดนั้นอยู่ในเส้นที่กำหนด

สารละลาย: เรามาเขียนสมการเส้นตรงโดยใช้สูตรกันดีกว่า - ใน ในกรณีนี้:

คำตอบ:

การตรวจสอบทำได้ง่ายๆ ขั้นแรก เราจะดูสมการผลลัพธ์และตรวจสอบให้แน่ใจว่าความชันของเราอยู่ในตำแหน่งเดิม ประการที่สอง พิกัดของจุดต้องเป็นไปตามสมการนี้ ลองเสียบมันเข้ากับสมการ:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์

บทสรุป: พบสมการถูกต้อง

ตัวอย่างที่ยุ่งยากมากขึ้นสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

เขียนสมการสำหรับเส้นตรงหากรู้ว่ามุมเอียงของมันกับทิศทางบวกของแกนคือ และจุดนั้นเป็นของเส้นตรงนี้

หากคุณมีปัญหาใดๆ โปรดอ่านเนื้อหาทางทฤษฎีอีกครั้ง แม่นยำยิ่งขึ้นและใช้งานได้จริงมากขึ้น ฉันข้ามหลักฐานไปมากมาย

มันดังขึ้น โทรครั้งสุดท้ายงานรับปริญญาได้จบลงแล้ว และนอกประตูโรงเรียนของเรา เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ก็รอเราอยู่ เรื่องตลกจบลงแล้ว... หรือบางทีพวกเขาอาจจะเพิ่งเริ่มต้น =)

เราโบกปากกาของเราไปยังสิ่งที่คุ้นเคยและทำความคุ้นเคยกับสมการทั่วไปของเส้นตรง เพราะในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ นี่คือสิ่งที่ใช้จริงๆ:

สมการทั่วไปของเส้นตรงมีรูปแบบ: , มีตัวเลขอยู่ตรงไหน. ในขณะเดียวกันก็มีค่าสัมประสิทธิ์ พร้อมกันไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากสมการสูญเสียความหมายไป

มาใส่สูทผูกสมการกับค่าสัมประสิทธิ์ความชันกันดีกว่า ก่อนอื่น ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย:

ต้องใส่คำว่า "X" ไว้เป็นอันดับแรก:

โดยหลักการแล้ว สมการนั้นมีรูปแบบอยู่แล้ว แต่ตามกฎของมารยาททางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมแรก (ในกรณีนี้) จะต้องเป็นบวก การเปลี่ยนสัญญาณ:

จำคุณสมบัติทางเทคนิคนี้ไว้!เราสร้างค่าสัมประสิทธิ์แรก (บ่อยที่สุด) เป็นบวก!

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ สมการของเส้นตรงมักจะถูกกำหนดไว้ในรูปแบบทั่วไปเสมอ ถ้าจำเป็นก็สามารถลดเป็นรูปแบบ "โรงเรียน" ได้อย่างง่ายดายโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม (ยกเว้นเส้นตรงที่ขนานกับแกนกำหนด)

ลองถามตัวเองดูว่าอะไร เพียงพอรู้จักสร้างเส้นตรงไหม? สองจุด แต่เกี่ยวกับเหตุการณ์ในวัยเด็กนี้มากขึ้น ตอนนี้ยังคงยึดติดกับกฎลูกศร เส้นตรงแต่ละเส้นมีความชันที่เฉพาะเจาะจงมาก ซึ่งง่ายต่อการ "ปรับตัว" เวกเตอร์.

เวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรงเรียกว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนั้น- เห็นได้ชัดว่าเส้นตรงใดๆ มีเวกเตอร์ทิศทางมากมายอย่างไม่สิ้นสุด และทั้งหมดนั้นจะอยู่ในแนวเดียวกัน (มีทิศทางร่วมหรือไม่ - มันไม่สำคัญ)

ฉันจะแสดงเวกเตอร์ทิศทางดังนี้:

แต่เวกเตอร์ตัวเดียวไม่เพียงพอที่จะสร้างเส้นตรง เวกเตอร์นั้นเป็นอิสระและไม่เชื่อมโยงกับจุดใด ๆ บนระนาบ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องรู้จุดที่เป็นของเส้นเพิ่มเติมด้วย

จะเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทางได้อย่างไร?

หากทราบจุดใดจุดหนึ่งของเส้นและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้สามารถคอมไพล์ได้โดยใช้สูตร:

บางครั้งก็เรียกว่า สมการมาตรฐานของเส้นตรง .

จะทำอย่างไรเมื่อ พิกัดใดพิกัดหนึ่งเท่ากับศูนย์ เราจะเข้าใจในตัวอย่างการใช้งานด้านล่าง อย่างไรก็ตามโปรดทราบ - ทั้งสองอย่างพร้อมกันพิกัดไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ เนื่องจากเวกเตอร์ศูนย์ไม่ได้ระบุทิศทางเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

สารละลาย: เรามาเขียนสมการเส้นตรงโดยใช้สูตรกันดีกว่า ในกรณีนี้:

การใช้คุณสมบัติของสัดส่วนทำให้เรากำจัดเศษส่วนได้:

และเรานำสมการมาสู่รูปแบบทั่วไป:

คำตอบ:

ตามกฎแล้วไม่จำเป็นต้องวาดรูปในตัวอย่างนี้ แต่เพื่อความเข้าใจ:

ในภาพวาด เราเห็นจุดเริ่มต้น เวกเตอร์ทิศทางดั้งเดิม (สามารถพล็อตได้จากจุดใดก็ได้บนระนาบ) และเส้นตรงที่สร้างขึ้น อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี การสร้างเส้นตรงจะสะดวกที่สุดโดยใช้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม การแปลงสมการของเราให้อยู่ในรูปแบบเป็นเรื่องง่าย และเลือกจุดอื่นเพื่อสร้างเส้นตรงได้อย่างง่ายดาย

ดังที่กล่าวไว้ในตอนต้นของย่อหน้า เส้นตรงมีจำนวนเวกเตอร์ทิศทางเป็นอนันต์ และทั้งหมดเป็นเส้นตรง ตัวอย่างเช่น ฉันวาดเวกเตอร์ดังกล่าวสามตัว: - ไม่ว่าเราจะเลือกเวกเตอร์ทิศทางใดก็ตาม ผลลัพธ์จะเป็นสมการเส้นตรงเดียวกันเสมอ

เรามาสร้างสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทางกันดีกว่า:

การหาสัดส่วน:

หารทั้งสองข้างด้วย –2 แล้วได้สมการที่คุ้นเคย:

ผู้ที่สนใจสามารถทดสอบเวกเตอร์ได้ในลักษณะเดียวกัน หรือเวกเตอร์คอลลิเนียร์อื่นๆ

ตอนนี้เรามาแก้ปัญหาผกผันกัน:

จะหาเวกเตอร์ทิศทางโดยใช้สมการทั่วไปของเส้นตรงได้อย่างไร?

ง่ายมาก:

หากเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เวกเตอร์ก็คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้

ตัวอย่างการค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ข้อความนี้ช่วยให้เราสามารถค้นหาเวกเตอร์ทิศทางเดียวจากจำนวนอนันต์ แต่เราไม่ต้องการอะไรมากไปกว่านี้ แม้ว่าในบางกรณีจะแนะนำให้ลดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง:

ดังนั้น สมการจะระบุเส้นตรงที่ขนานกับแกน และพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางผลลัพธ์จะถูกหารอย่างสะดวกด้วย –2 จะได้เวกเตอร์พื้นฐานเป็นเวกเตอร์ทิศทางอย่างแน่นอน ตรรกะ

ในทำนองเดียวกัน สมการระบุเส้นตรงขนานกับแกน และโดยการหารพิกัดของเวกเตอร์ด้วย 5 เราจะได้เวกเตอร์ออร์ตเป็นเวกเตอร์ทิศทาง

ตอนนี้เรามาทำกัน ตรวจสอบตัวอย่างที่ 3- ตัวอย่างขึ้นไป ฉันขอเตือนคุณว่าในนั้นเราได้รวบรวมสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

ประการแรกโดยใช้สมการของเส้นตรง เราสร้างเวกเตอร์ทิศทางขึ้นมาใหม่: – ทุกอย่างเรียบร้อยดี เราได้รับเวกเตอร์ดั้งเดิมแล้ว (ในบางกรณี ผลลัพธ์อาจเป็นเวกเตอร์โคลิเนียร์กับเวกเตอร์ดั้งเดิม และมักจะสังเกตได้ง่ายจากสัดส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกัน)

ประการที่สองพิกัดของจุดจะต้องเป็นไปตามสมการ เราแทนที่พวกมันลงในสมการ:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งเรายินดีเป็นอย่างยิ่ง

บทสรุป: งานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4

เขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน ขอแนะนำอย่างยิ่งให้ตรวจสอบโดยใช้อัลกอริทึมที่เพิ่งกล่าวถึง พยายามตรวจสอบฉบับร่างเสมอ (ถ้าเป็นไปได้) การทำผิดพลาดที่สามารถหลีกเลี่ยงได้ 100% เป็นเรื่องโง่

ในกรณีที่พิกัดหนึ่งของเวกเตอร์ทิศทางเป็นศูนย์ ให้ดำเนินการง่ายๆ ดังนี้:

ตัวอย่างที่ 5

สารละลาย: สูตรนี้ไม่เหมาะสมเนื่องจากตัวส่วนทางด้านขวาเป็นศูนย์ มีทางออก! ใช้คุณสมบัติของสัดส่วนเราเขียนสูตรใหม่ในรูปแบบและส่วนที่เหลือกลิ้งไปตามร่องลึก:

คำตอบ:

การตรวจสอบ:

1) คืนค่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
– เวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ได้จะอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์ทิศทางเดิม

2) แทนพิกัดของจุดลงในสมการ:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

บทสรุป: งานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง

คำถามเกิดขึ้น ทำไมต้องกังวลกับสูตรหากมีเวอร์ชันสากลที่จะใช้งานได้ในกรณีใด? มีสองเหตุผล อย่างแรก สูตรจะอยู่ในรูปเศษส่วน จำได้ดีขึ้นมาก- และประการที่สอง ข้อเสียของสูตรสากลก็คือ ความเสี่ยงที่จะเกิดความสับสนเพิ่มขึ้นอย่างมากเมื่อทำการแทนพิกัด

ตัวอย่างที่ 6

เขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

กลับมาที่ประเด็นสองประเด็นที่แพร่หลาย:

จะเขียนสมการเส้นตรงโดยใช้จุดสองจุดได้อย่างไร?

หากทราบจุดสองจุด สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้สามารถคอมไพล์ได้โดยใช้สูตร:

อันที่จริง นี่เป็นสูตรประเภทหนึ่งและนี่คือเหตุผล: หากทราบจุดสองจุด เวกเตอร์จะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนด ในชั้นเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองเราพิจารณาปัญหาที่ง่ายที่สุด - วิธีค้นหาพิกัดของเวกเตอร์จากจุดสองจุด จากปัญหานี้ พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางคือ:

บันทึก : คะแนนสามารถ “สลับ” ได้ และสามารถใช้สูตรได้ - วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะเทียบเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 7

เขียนสมการเส้นตรงโดยใช้จุดสองจุด .

สารละลาย: เราใช้สูตร:

การรวมตัวส่วน:

และสับไพ่:

ถึงเวลากำจัดเศษส่วนแล้ว ในกรณีนี้ คุณต้องคูณทั้งสองข้างด้วย 6:

เปิดวงเล็บแล้วนึกถึงสมการ:

คำตอบ:

การตรวจสอบชัดเจน - พิกัดของจุดเริ่มต้นจะต้องเป็นไปตามสมการผลลัพธ์:

1) แทนที่พิกัดของจุด:

ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

2) แทนที่พิกัดของจุด:

ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

บทสรุป: เขียนสมการเส้นตรงถูกต้อง

ถ้า อย่างน้อยหนึ่งรายการของคะแนนไม่เป็นไปตามสมการ ให้มองหาข้อผิดพลาด

เป็นที่น่าสังเกตว่าการตรวจสอบแบบกราฟิกในกรณีนี้เป็นเรื่องยาก เนื่องจากการสร้างเส้นตรงและดูว่าจุดนั้นเป็นของมันหรือไม่ ไม่ง่ายเลย

ฉันจะกล่าวถึงแง่มุมทางเทคนิคเพิ่มเติมอีกสองสามประการของโซลูชัน บางทีในปัญหานี้การใช้สูตรมิเรอร์จะทำกำไรได้มากกว่า และในจุดเดียวกัน สร้างสมการ:

เศษส่วนน้อยลง หากต้องการ คุณสามารถแก้โจทย์จนจบได้ ผลลัพธ์ควรเป็นสมการเดียวกัน

ประเด็นที่สองคือการดูคำตอบสุดท้ายแล้วดูว่าจะทำให้ง่ายขึ้นอีกหรือไม่ ตัวอย่างเช่น หากคุณได้สมการ ขอแนะนำให้ลดมันลงสอง: – สมการจะกำหนดเส้นตรงเส้นเดียวกัน อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหัวข้อสนทนาอยู่แล้ว ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น.

หลังจากได้รับคำตอบแล้ว ในกรณีที่ 7 ในกรณีนี้ ฉันตรวจสอบว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการหารด้วย 2, 3 หรือ 7 ลงตัวหรือไม่ แม้ว่าการลดลงดังกล่าวมักเกิดขึ้นระหว่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 8

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ .

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจและฝึกฝนเทคนิคการคำนวณได้ดีขึ้น

คล้ายกับย่อหน้าก่อนหน้า: ถ้าอยู่ในสูตร ตัวส่วนตัวใดตัวหนึ่ง (พิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง) กลายเป็นศูนย์ จากนั้นเราจะเขียนมันใหม่ในรูปแบบ . สังเกตอีกครั้งว่าเธอดูอึดอัดและสับสนแค่ไหน ฉันไม่เห็นประโยชน์มากนักในการยกตัวอย่างเชิงปฏิบัติ เนื่องจากเราได้แก้ไขปัญหานี้แล้ว (ดูข้อ 5, 6)

เวกเตอร์ปกติโดยตรง (เวกเตอร์ปกติ)

อะไรเป็นเรื่องปกติ? ด้วยคำพูดง่ายๆ, ปกติจะตั้งฉาก นั่นคือเวกเตอร์ปกติของเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด แน่นอนว่า เส้นตรงใดๆ มีจำนวนอนันต์ (เช่นเดียวกับเวกเตอร์ทิศทาง) และเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงทั้งหมดจะเป็นเส้นตรง (มีทิศทางร่วมหรือไม่ ก็ไม่ทำให้เกิดความแตกต่าง)

การจัดการกับพวกมันจะง่ายกว่าการใช้เวกเตอร์นำทาง:

หากเส้นถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม แล้วเวกเตอร์ก็คือเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้

หากพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางต้องถูก "ดึงออก" ออกจากสมการอย่างระมัดระวัง พิกัดของเวกเตอร์ปกติก็สามารถ "ลบออก" ได้ง่ายๆ

เวกเตอร์ปกติตั้งฉากกับเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเสมอ ให้เราตรวจสอบมุมตั้งฉากของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้ ผลิตภัณฑ์ดอท:

ฉันจะยกตัวอย่างด้วยสมการเดียวกันกับเวกเตอร์ทิศทาง:

เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างสมการของเส้นตรงโดยให้จุดหนึ่งจุดกับเวกเตอร์ปกติ? ฉันรู้สึกได้ถึงลำไส้ของฉัน มันเป็นไปได้ หากทราบเวกเตอร์ปกติ ทิศทางของเส้นตรงก็จะถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน - นี่คือ "โครงสร้างแข็ง" ที่มีมุม 90 องศา

จะเขียนสมการเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

หากทราบจุดหนึ่งของเส้นตรงและเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ สมการของเส้นนี้จะแสดงด้วยสูตร:

ที่นี่ทุกอย่างได้ผลโดยไม่มีเศษส่วนและความประหลาดใจอื่น ๆ นี่คือเวกเตอร์ปกติของเรา รักเขา. และด้วยความเคารพ =)

ตัวอย่างที่ 9

เขียนสมการของเส้นตรงโดยกำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

สารละลาย: เราใช้สูตร:

ได้รับสมการทั่วไปของเส้นแล้ว มาตรวจสอบกัน:

1) “ลบ” พิกัดของเวกเตอร์ปกติออกจากสมการ: – ใช่ จริงๆ แล้วเวกเตอร์ดั้งเดิมได้มาจากเงื่อนไข (หรือควรได้รับเวกเตอร์คอลลิเนียร์)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการหรือไม่:

ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

หลังจากที่เรามั่นใจว่าสมการนั้นประกอบขึ้นอย่างถูกต้องแล้ว เราจะทำสมการที่สองต่อไป ส่วนที่ง่ายการมอบหมายงาน เรานำเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงออกมา:

คำตอบ:

ในรูปวาดสถานการณ์จะเป็นดังนี้:

เพื่อวัตถุประสงค์ในการฝึกอบรม งานที่คล้ายกันในการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:

ตัวอย่างที่ 10

เขียนสมการของเส้นตรงโดยกำหนดจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก หาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ส่วนสุดท้ายของบทเรียนจะเน้นไปที่สมการเส้นบนระนาบที่พบได้น้อยกว่า แต่ยังรวมถึงสมการประเภทเส้นบนเครื่องบินที่สำคัญด้วย

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ
สมการของเส้นตรงในรูปแบบพาราเมตริก

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ มีรูปแบบ โดยที่ค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ สมการบางประเภทไม่สามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้ เช่น สัดส่วนโดยตรง (เนื่องจากเทอมอิสระเท่ากับศูนย์และไม่มีทางจะได้สมการที่อยู่ทางด้านขวา)

หากพูดในเชิงเปรียบเทียบแล้ว นี่คือสมการประเภท "ทางเทคนิค" งานทั่วไปคือการ สมการทั่วไปเป็นตัวแทนของเส้นในรูปสมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ สะดวกยังไง? สมการของเส้นตรงในส่วนช่วยให้คุณค้นหาจุดตัดของเส้นตรงด้วยแกนพิกัดได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งอาจมีความสำคัญมากในปัญหาทางคณิตศาสตร์ระดับสูงบางข้อ

ลองหาจุดตัดของเส้นตรงกับแกนกัน เรารีเซ็ต "y" และสมการจะอยู่ในรูปแบบ จุดที่ต้องการปรากฎโดยอัตโนมัติ: .

เช่นเดียวกับแกน – จุดที่เส้นตรงตัดกับแกนพิกัด

ในทางคณิตศาสตร์ พารามิเตอร์ตัวหนึ่งที่อธิบายตำแหน่งของเส้นบนระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนคือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นนี้ พารามิเตอร์นี้แสดงลักษณะความชันของเส้นตรงถึงแกนแอบซิสซา เพื่อให้เข้าใจวิธีการหาความชัน ขั้นแรกให้นึกถึงรูปแบบทั่วไปของสมการเส้นตรงในระบบพิกัด XY

ใน มุมมองทั่วไปเส้นตรงใดๆ สามารถแสดงได้ด้วยนิพจน์ ax+by=c โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม แต่จะเป็น 2 + b 2 ≠ 0 เสมอ

เมื่อใช้การแปลงอย่างง่าย สมการดังกล่าวสามารถนำมาอยู่ในรูปแบบ y=kx+d โดยที่ k และ d เป็นจำนวนจริง จำนวน k คือความชัน และสมการของเส้นประเภทนี้เรียกว่าสมการที่มีความชัน ปรากฎว่าหากต้องการหาความชัน คุณเพียงแค่ต้องลดสมการดั้งเดิมให้อยู่ในรูปแบบที่ระบุไว้ข้างต้น เพื่อความเข้าใจที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ให้พิจารณาตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง:

ปัญหา: ค้นหาความชันของเส้นที่กำหนดโดยสมการ 36x - 18y = 108

วิธีแก้: มาแปลงสมการดั้งเดิมกันดีกว่า

คำตอบ: ความชันที่ต้องการของเส้นนี้คือ 2

ในระหว่างการแปลงสมการ หากเราได้รับนิพจน์เช่น x = const และด้วยเหตุนี้ เราไม่สามารถแทน y เป็นฟังก์ชันของ x ได้ แสดงว่าเรากำลังเผชิญกับเส้นตรงขนานกับแกน X ของค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของค่าดังกล่าว เส้นตรงมีค่าเท่ากับอนันต์

สำหรับเส้นที่แสดงโดยสมการ เช่น y = const ความชันจะเป็นศูนย์ นี่เป็นเรื่องปกติสำหรับเส้นตรงที่ขนานกับแกนแอบซิสซา ตัวอย่างเช่น:

ปัญหา: จงหาความชันของเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

วิธีแก้: ลองนำสมการดั้งเดิมมาสู่รูปแบบทั่วไป

24x + 12y - 12y + 28 = 4

เป็นไปไม่ได้ที่จะแสดง y จากนิพจน์ผลลัพธ์ ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นนี้จึงเท่ากับอนันต์ และเส้นนั้นจะขนานกับแกน Y

ความหมายทางเรขาคณิต

เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นลองดูภาพ:

ในรูปเราเห็นกราฟของฟังก์ชันเช่น y = kx เพื่อให้ง่ายขึ้น ลองใช้สัมประสิทธิ์ c = 0 ในรูปสามเหลี่ยม OAB อัตราส่วนของด้าน BA ต่อ AO จะเท่ากับสัมประสิทธิ์เชิงมุม k ในเวลาเดียวกัน อัตราส่วน BA/AO คือแทนเจนต์ของมุมแหลม α ในสามเหลี่ยมมุมฉาก OAB ปรากฎว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เส้นตรงนี้สร้างด้วยแกนแอบซิสซาของตารางพิกัด

การแก้ปัญหาการหาสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง เราจะหาค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างมันกับแกน X ของตารางพิกัด กรณีขอบเขต เมื่อเส้นที่เป็นปัญหาขนานกับแกนพิกัด ให้ยืนยันข้างต้น อันที่จริง สำหรับเส้นตรงที่อธิบายโดยสมการ y=const มุมระหว่างเส้นนั้นกับแกนแอบซิสซาจะเป็นศูนย์ แทนเจนต์ของมุมศูนย์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน และความชันก็เป็นศูนย์เช่นกัน

สำหรับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน x และอธิบายด้วยสมการ x=const มุมระหว่างเส้นตรงกับแกน X คือ 90 องศา แทนเจนต์ มุมขวาเท่ากับอนันต์ และสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่คล้ายกันก็เท่ากับอนันต์เช่นกัน ซึ่งเป็นการยืนยันสิ่งที่เขียนไว้ข้างต้น

ความชันแทนเจนต์

งานทั่วไปที่มักพบในทางปฏิบัติคือการหาความชันของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง แทนเจนต์เป็นเส้นตรง ดังนั้นแนวคิดเรื่องความชันก็สามารถใช้ได้เช่นกัน

หากต้องการทราบวิธีหาความชันของแทนเจนต์ เราจะต้องนึกถึงแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ ที่จุดใดจุดหนึ่งจะเป็นตัวเลขคงที่เท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เกิดขึ้นระหว่างแทนเจนต์ที่จุดที่ระบุกับกราฟของฟังก์ชันนี้และแกน abscissa ปรากฎว่าในการหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ที่จุด x 0 เราจำเป็นต้องคำนวณค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม ณ จุดนี้ k = f"(x 0) ลองดูตัวอย่าง:

ปัญหา: จงหาความชันของเส้นสัมผัสฟังก์ชัน y = 12x 2 + 2xe x ที่ x = 0.1

วิธีแก้ไข: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิมในรูปแบบทั่วไป

y"(0.1) = 24.0.1 + 2.0.1.e 0.1 + 2.e 0.1

คำตอบ: ความชันที่ต้องการที่จุด x = 0.1 คือ 4.831

เรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งซึ่งอยู่บนกราฟของฟังก์ชันนี้ ในกรณีนี้ กราฟอาจเป็นเส้นตรงหรือเส้นโค้งก็ได้ นั่นคืออนุพันธ์แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง จดจำ กฎทั่วไปโดยการนำอนุพันธ์มาใช้แล้วทำตามขั้นตอนต่อไปเท่านั้น

• อ่านบทความ
• วิธีหาอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุด เช่น อนุพันธ์ สมการเลขชี้กำลังอธิบายไว้ การคำนวณที่นำเสนอในขั้นตอนต่อไปนี้จะขึ้นอยู่กับวิธีการที่อธิบายไว้ในนั้น

เรียนรู้ที่จะแยกแยะระหว่างปัญหาที่ต้องคำนวณความชันโดยใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันปัญหาไม่ได้ขอให้คุณค้นหาความชันหรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเสมอไป ตัวอย่างเช่น คุณอาจถูกขอให้ค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่จุด A(x,y) คุณอาจถูกขอให้หาความชันของเส้นสัมผัสที่จุด A(x,y) ในทั้งสองกรณี จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ให้มาไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟที่นี่ คุณเพียงต้องการสมการของฟังก์ชันเท่านั้น ในตัวอย่างของเรา หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน หาอนุพันธ์ตามวิธีการที่ระบุไว้ในบทความที่กล่าวถึงข้างต้น:

• อนุพันธ์:

แทนที่พิกัดของจุดที่กำหนดให้กับอนุพันธ์ที่พบเพื่อคำนวณความชันอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับความชันที่จุดใดจุดหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง f"(x) คือความชันของฟังก์ชันที่จุดใดๆ (x,f(x)) ในตัวอย่างของเรา:

• ค้นหาความชันของฟังก์ชัน f (x) = 2 x 2 + 6 x (\รูปแบบการแสดงผล f(x)=2x^(2)+6x)ที่จุด A(4,2)
• อนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• แทนค่าของพิกัด “x” ของจุดนี้:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• ค้นหาความชัน:
• ฟังก์ชั่นความลาดชัน f (x) = 2 x 2 + 6 x (\รูปแบบการแสดงผล f(x)=2x^(2)+6x)ที่จุด A(4,2) เท่ากับ 22

ถ้าเป็นไปได้ ให้ตรวจสอบคำตอบของคุณบนกราฟโปรดจำไว้ว่าไม่สามารถคำนวณความชันได้ทุกจุด การตรวจสอบแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและกราฟที่ซับซ้อนซึ่งไม่สามารถคำนวณความชันได้ทุกจุด และในบางกรณี จุดนั้นไม่ได้อยู่บนกราฟเลย หากเป็นไปได้ ให้ใช้เครื่องคิดเลขกราฟเพื่อตรวจสอบว่าความชันของฟังก์ชันที่คุณได้รับนั้นถูกต้อง มิฉะนั้น ให้วาดแทนเจนต์ให้กับกราฟ ณ จุดที่กำหนด และพิจารณาว่าค่าความชันที่คุณพบตรงกับที่คุณเห็นบนกราฟหรือไม่

• แทนเจนต์จะมีความชันเท่ากับกราฟของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง หากต้องการวาดเส้นสัมผัสกันที่จุดที่กำหนด ให้เลื่อนไปทางซ้าย/ขวาบนแกน X (ในตัวอย่างของเรา 22 ค่าไปทางขวา) จากนั้นขึ้นหนึ่งค่าบนแกน Y ทำเครื่องหมายจุดนั้นแล้วเชื่อมต่อกับ จุดที่มอบให้กับคุณ ในตัวอย่างของเรา เชื่อมต่อจุดต่างๆ ด้วยพิกัด (4,2) และ (26,3)