แยกตัวประกอบพหุนาม วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ การรวมกันของวิธีการ พหุนาม แยกตัวประกอบพหุนาม: วิธีการ ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบพหุนามคือ การเปลี่ยนแปลงตัวตนซึ่งเป็นผลมาจากการที่พหุนามถูกแปลงเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ - พหุนามหรือ monomials

มีหลายวิธีในการแยกตัวประกอบพหุนาม

วิธีที่ 1. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

การแปลงนี้เป็นไปตามกฎการกระจายของการคูณ: ac + bc = c(a + b) สาระสำคัญของการเปลี่ยนแปลงคือการแยกปัจจัยร่วมในองค์ประกอบทั้งสองที่อยู่ระหว่างการพิจารณาและ "นำ" ออกจากวงเล็บ

ให้เราแยกตัวประกอบพหุนาม 28x 3 – 35x 4

สารละลาย.

1. ค้นหาองค์ประกอบ 28x 3 และ 35x 4 ตัวหารร่วม- สำหรับ 28 และ 35 จะเป็น 7; สำหรับ x 3 และ x 4 – x 3 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวประกอบร่วมของเราคือ 7x 3

2. เราแสดงแต่ละองค์ประกอบเป็นผลคูณของปัจจัย ซึ่งหนึ่งในนั้น
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x

3. เรานำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x)

วิธีที่ 2. การใช้สูตรคูณแบบย่อ “ความเชี่ยวชาญ” ของการใช้วิธีนี้คือการสังเกตหนึ่งในสูตรการคูณแบบย่อในนิพจน์

ให้เราแยกตัวประกอบพหุนาม x 6 – 1

สารละลาย.

1. เราสามารถใช้ผลต่างของสูตรกำลังสองกับนิพจน์นี้ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองจินตนาการถึง x 6 เป็น (x 3) 2 และ 1 เป็น 1 2 เช่น 1. นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1)

2. เราสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์กับนิพจน์ผลลัพธ์:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)

ดังนั้น,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)

วิธีที่ 3 การจัดกลุ่ม วิธีการจัดกลุ่มคือการรวมส่วนประกอบของพหุนามในลักษณะที่ง่ายต่อการดำเนินการกับส่วนประกอบเหล่านั้น (การบวก การลบ การลบตัวประกอบร่วม)

ลองแยกตัวประกอบพหุนาม x 3 – 3x 2 + 5x – 15 กัน

สารละลาย.

1. มาจัดกลุ่มส่วนประกอบด้วยวิธีนี้: องค์ประกอบที่ 1 กับองค์ประกอบที่ 2 และองค์ประกอบที่ 3 กับองค์ประกอบที่ 4
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15)

2. ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ: x 2 ในกรณีแรกและ 5 ในกรณีที่สอง
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3)

3. เรานำตัวประกอบร่วม x – 3 ออกจากวงเล็บแล้วได้:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5)

ดังนั้น,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

มารักษาความปลอดภัยของวัสดุกันเถอะ

แยกตัวประกอบพหุนาม a 2 – 7ab + 12b 2

สารละลาย.

1. ให้เราแทน monomial 7ab เป็นผลรวมของ 3ab + 4ab การแสดงออกจะอยู่ในรูปแบบ:
ก 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

มาเปิดวงเล็บแล้วรับ:
ก 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. มาจัดกลุ่มส่วนประกอบของพหุนามในลักษณะนี้: อันดับแรกกับอันดับที่ 2 และอันดับที่ 3 กับอันดับที่ 4 เราได้รับ:
(ก 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2)

3. นำปัจจัยทั่วไปออกจากวงเล็บ:
(ก 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = ก(ก – 3b) – 4b(ก – 3b)

4. นำตัวประกอบร่วม (a – 3b) ออกจากวงเล็บ:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b)

ดังนั้น,
ก 2 – 7ab + 12b 2 =
= ก 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= ก 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (ก 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= ก(ก – 3b) – 4b(ก – 3b) =
= (ก – 3 ข) ∙ (ก – 4ข)

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

เพื่อที่จะแยกตัวประกอบ จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น นี่เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้สามารถลดลงได้อีก การขยายตัวของพหุนามสมเหตุสมผลเมื่อดีกรีของมันไม่ต่ำกว่าสอง พหุนามที่มีดีกรี 1 เรียกว่าเชิงเส้น

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

บทความนี้จะครอบคลุมแนวคิดทั้งหมดของการสลายตัว รากฐานทางทฤษฎีและวิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม

ทฤษฎี

ทฤษฎีบท 1

เมื่อพหุนามใดๆ ที่มีดีกรี n จะมีรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + - - + a 1 x + a 0 แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ที่มีปัจจัยคงที่โดยมีระดับสูงสุด a n และ n ปัจจัยเชิงเส้น (x - x i), i = 1, 2, ..., n จากนั้น P n (x) = ก n (x - x n) (x - x n - 1) · . - - · (x - x 1) โดยที่ x i, i = 1, 2, …, n คือรากของพหุนาม

ทฤษฎีบทมีไว้สำหรับราก ประเภทที่ซับซ้อน x i, i = 1, 2, …, n และสำหรับสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน a k, k = 0, 1, 2, …, n นี่คือพื้นฐานของการสลายตัวใดๆ

เมื่อสัมประสิทธิ์ของรูปแบบ a k, k = 0, 1, 2, …, n เป็นจำนวนจริง จากนั้นรากเชิงซ้อนที่จะเกิดขึ้นเป็นคู่คอนจูเกต ตัวอย่างเช่น ราก x 1 และ x 2 เกี่ยวข้องกับพหุนามในรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + a 1 x + a 0 ถือเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อน จากนั้นรากอื่น ๆ นั้นเป็นจำนวนจริง ซึ่งเราได้ว่าพหุนามอยู่ในรูปแบบ P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . - - · (x - x 3) x 2 + p x + q โดยที่ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

ความคิดเห็น

รากของพหุนามสามารถทำซ้ำได้ ลองพิจารณาการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีชคณิตซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของเบซูต์

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต

ทฤษฎีบท 2

พหุนามใดๆ ที่มีดีกรี n จะมีรากอย่างน้อยหนึ่งอัน

ทฤษฎีบทของเบซูต์

หลังจากหารพหุนามในรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + a 1 x + a 0 บน (x - s) จากนั้นเราจะได้ส่วนที่เหลือซึ่งเท่ากับพหุนามที่จุด s จากนั้นเราจะได้

Pnx = กnxn + กn - 1 xn - 1 + - - + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) โดยที่ Q n - 1 (x) เป็นพหุนามที่มีดีกรี n - 1

ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์

เมื่อรากของพหุนาม P n (x) ถูกพิจารณาว่าเป็น s แล้ว P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + ก 1 x + ก 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . ข้อพิสูจน์นี้เพียงพอแล้วเมื่อใช้อธิบายวิธีแก้ปัญหา

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ตรีโกณมิติกำลังสองในรูปแบบ a x 2 + b x + c สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้ จากนั้นเราจะได้ว่า a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) โดยที่ x 1 และ x 2 เป็นราก (เชิงซ้อนหรือจำนวนจริง)

นี่แสดงให้เห็นว่าการขยายตัวลดลงจนนำไปสู่การแก้สมการกำลังสองในภายหลัง

ตัวอย่างที่ 1

ดำเนินการสลายตัว ตรีโกณมิติกำลังสองโดยตัวคูณ

สารละลาย

จำเป็นต้องค้นหารากของสมการ 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาค่าของตัวแยกแยะโดยใช้สูตร จากนั้นเราจะได้ D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 จากที่นี่เรามีสิ่งนั้น

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

จากนี้เราจะได้ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1

หากต้องการตรวจสอบ คุณจะต้องเปิดวงเล็บ จากนั้นเราจะได้นิพจน์ในรูปแบบ:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

หลังจากตรวจสอบแล้วเราก็มาถึงสำนวนดั้งเดิม กล่าวคือเราสามารถสรุปได้ว่าการสลายตัวนั้นดำเนินไปอย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 2

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองของรูปแบบ 3 x 2 - 7 x - 11

สารละลาย

เราพบว่าจำเป็นต้องคำนวณสมการกำลังสองที่ได้ในรูปแบบ 3 x 2 - 7 x - 11 = 0

ในการค้นหาราก คุณจำเป็นต้องกำหนดค่าของการแบ่งแยก เราเข้าใจแล้ว

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

จากนี้ เราจะได้ว่า 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

ตัวอย่างที่ 3

แยกตัวประกอบพหุนาม 2 x 2 + 1

สารละลาย

ตอนนี้เราต้องแก้สมการกำลังสอง 2 x 2 + 1 = 0 แล้วหารากของมัน เราเข้าใจแล้ว

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ฉัน x 2 = - 1 2 = - 1 2 ฉัน

รากเหล่านี้เรียกว่าคอนจูเกตเชิงซ้อน ซึ่งหมายความว่าส่วนขยายสามารถแสดงเป็น 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i

ตัวอย่างที่ 4

สลายตรีโกณมิติกำลังสอง x 2 + 1 3 x + 1 .

สารละลาย

ก่อนอื่นคุณต้องแก้สมการกำลังสองในรูปแบบ x 2 + 1 3 x + 1 = 0 แล้วหารากของมัน

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · ฉัน x 2 = - 1 3 - ง 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · ฉัน 2 = - 1 - 35 · ฉัน 6 = - 1 6 - 35 6 · ฉัน

เมื่อได้รากแล้วเราก็เขียน

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 ฉัน x - - 1 6 - 35 6 ฉัน = = x + 1 6 - 35 6 ฉัน x + 1 6 + 35 6 ฉัน

ความคิดเห็น

ถ้าค่าจำแนกเป็นลบ พหุนามจะยังคงเป็นพหุนามลำดับที่สอง จากนี้ไปเราจะไม่ขยายมันเป็นตัวประกอบเชิงเส้น

วิธีการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง

เมื่อสลายตัวจะถือว่าใช้วิธีสากล กรณีส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์ ในการทำเช่นนี้คุณต้องเลือกค่าของรูท x 1 และลดระดับของมันด้วยการหารด้วยพหุนามด้วย 1 โดยหารด้วย (x - x 1) ผลลัพธ์พหุนามจะต้องค้นหาราก x 2 และกระบวนการค้นหาจะเป็นวัฏจักรจนกว่าเราจะได้ส่วนขยายที่สมบูรณ์

หากไม่พบรูทก็จะใช้วิธีการแยกตัวประกอบอื่น: การจัดกลุ่มข้อกำหนดเพิ่มเติม หัวข้อนี้เกี่ยวข้องกับการแก้สมการด้วยกำลังที่สูงกว่าและสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

พิจารณากรณีที่เทอมอิสระเท่ากับศูนย์ รูปแบบของพหุนามจะกลายเป็น P n (x) = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + ก 1 x .

จะเห็นได้ว่ารากของพหุนามดังกล่าวจะเท่ากับ x 1 = 0 จากนั้นพหุนามสามารถแสดงเป็นนิพจน์ P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + - - + ก 1 x = = x (น x n - 1 + ก n - 1 x n - 2 + . . . + ก 1)

วิธีนี้ถือเป็นการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 5

แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่สาม 4 x 3 + 8 x 2 - x

สารละลาย

เราจะเห็นว่า x 1 = 0 เป็นรากของพหุนามที่กำหนด จากนั้นเราสามารถลบ x ออกจากวงเล็บของนิพจน์ทั้งหมดได้ เราได้รับ:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

มาดูการหารากของกำลังสองตรีโกณมิติ 4 x 2 + 8 x - 1 กัน เรามาค้นหาความแตกต่างและรากกันดีกว่า:

ง = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + ง 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - ง 2 4 = - 1 - 5 2

แล้วมันเป็นไปตามนั้น

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

ขั้นแรกให้เราพิจารณาวิธีการสลายตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . - - + a 1 x + a 0 โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดคือ 1

เมื่อพหุนามมีรากที่เป็นจำนวนเต็ม จะถือว่าเป็นตัวหารของพจน์อิสระ

ตัวอย่างที่ 6

แยกนิพจน์ f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18

สารละลาย

ลองพิจารณาว่ามีรากที่สมบูรณ์หรือไม่ จำเป็นต้องเขียนตัวหารของตัวเลข - 18 เราได้ ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 ตามมาว่าพหุนามนี้มีรากเป็นจำนวนเต็ม คุณสามารถตรวจสอบได้โดยใช้แผนของฮอร์เนอร์ สะดวกมากและช่วยให้คุณได้ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของพหุนามอย่างรวดเร็ว:

ตามมาว่า x = 2 และ x = - 3 เป็นรากของพหุนามดั้งเดิม ซึ่งสามารถแสดงเป็นผลคูณของรูปแบบได้:

ฉ (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

เราดำเนินการขยายตรีโกณมิติกำลังสองของรูปแบบ x 2 + 2 x + 3

เนื่องจากการแบ่งแยกเป็นลบ หมายความว่าไม่มีรากที่แท้จริง

คำตอบ:ฉ (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

ความคิดเห็น

อนุญาตให้ใช้การเลือกรากและการหารพหุนามด้วยพหุนามแทนโครงร่างของฮอร์เนอร์ มาดูการขยายพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . - - + a 1 x + a 0 ซึ่งค่าสูงสุดเท่ากับ 1

กรณีนี้เกิดขึ้นกับเศษส่วนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 7

แยกตัวประกอบ f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15

สารละลาย

จำเป็นต้องแทนที่ตัวแปร y = 2 x คุณควรเลื่อนไปยังพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 ที่ระดับสูงสุด คุณต้องเริ่มต้นด้วยการคูณนิพจน์ด้วย 4 เราเข้าใจแล้ว

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

เมื่อฟังก์ชันผลลัพธ์ของรูปแบบ g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 มีรากจำนวนเต็ม ตำแหน่งของพวกมันจะอยู่ในหมู่ตัวหารของเทอมอิสระ รายการจะมีลักษณะดังนี้:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

มาดูการคำนวณฟังก์ชัน g (y) ที่จุดเหล่านี้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ เราเข้าใจแล้ว

ก. (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 ก. (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 ก. (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 ก. (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 ก. (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 กรัม (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 กรัม (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 กรัม (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 กรัม (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1,070 กรัม (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

เราพบว่า y = - 5 คือรากของสมการในรูปแบบ y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ซึ่งหมายความว่า x = y 2 = - 5 2 คือรากของฟังก์ชันดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องหารด้วยคอลัมน์ 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2

สารละลาย

ลองเขียนมันลงไปแล้วรับ:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

การตรวจสอบตัวหารจะใช้เวลานาน ดังนั้นจึงมีประโยชน์มากกว่าที่จะแยกตัวประกอบผลลัพธ์ของกำลังสองในรูปตรีโกณมิติ x 2 + 7 x + 3 เมื่อเท่ากับศูนย์เราจะพบการเลือกปฏิบัติ

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

มันเป็นไปตามนั้น

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

เทคนิคประดิษฐ์สำหรับการแยกตัวประกอบพหุนาม

รากตรรกยะไม่มีอยู่ในพหุนามทั้งหมด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้วิธีการพิเศษเพื่อค้นหาปัจจัย แต่ไม่ใช่ว่าพหุนามทั้งหมดจะสามารถขยายหรือแสดงเป็นผลคูณได้

วิธีการจัดกลุ่ม

มีหลายกรณีที่คุณสามารถจัดกลุ่มเงื่อนไขของพหุนามเพื่อค้นหาตัวประกอบร่วมและนำออกจากวงเล็บได้

ตัวอย่างที่ 9

แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2

สารละลาย

เนื่องจากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นรากจึงสามารถสันนิษฐานว่าเป็นจำนวนเต็มได้เช่นกัน ในการตรวจสอบให้ใช้ค่า 1, - 1, 2 และ - 2 เพื่อคำนวณค่าพหุนามที่จุดเหล่านี้ เราเข้าใจแล้ว

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

นี่แสดงว่าไม่มีรากจึงจำเป็นต้องใช้วิธีขยายและวิธีแก้ปัญหาแบบอื่น

มีความจำเป็นต้องจัดกลุ่ม:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

หลังจากจัดกลุ่มพหุนามดั้งเดิมแล้ว คุณต้องแสดงมันเป็นผลคูณของตรีโกณมิติกำลังสองสองอัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราต้องแยกตัวประกอบ เราเข้าใจแล้ว

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - ง 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - ง 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

ความคิดเห็น

ความเรียบง่ายของการจัดกลุ่มไม่ได้หมายความว่าการเลือกคำศัพท์นั้นง่ายพอ ไม่มีวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทและกฎพิเศษ

ตัวอย่างที่ 10

แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2

สารละลาย

พหุนามที่กำหนดไม่มีรากจำนวนเต็ม ควรจัดกลุ่มข้อกำหนด เราเข้าใจแล้ว

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

หลังจากการแยกตัวประกอบ เราจะได้มัน

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

การใช้สูตรคูณแบบย่อและทวินามของนิวตันเพื่อแยกตัวประกอบพหุนาม

รูปลักษณ์ภายนอกมักไม่ได้ทำให้ชัดเจนว่าควรใช้วิธีใดในระหว่างการสลายตัวเสมอไป หลังจากทำการแปลงแล้ว คุณสามารถสร้างเส้นที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมของปาสคาล ไม่เช่นนั้นจะเรียกว่าทวินามของนิวตัน

ตัวอย่างที่ 11

แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2

สารละลาย

จำเป็นต้องแปลงนิพจน์ให้เป็นแบบฟอร์ม

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

ลำดับของค่าสัมประสิทธิ์ผลรวมในวงเล็บระบุด้วยนิพจน์ x + 1 4 .

ซึ่งหมายความว่าเรามี x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3

หลังจากใช้ผลต่างของกำลังสองแล้ว เราก็จะได้

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

พิจารณานิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเหลี่ยมที่สอง เห็นได้ชัดว่าไม่มีอัศวินอยู่ที่นั่น เราจึงควรใช้สูตรผลต่างของกำลังสองอีกครั้ง เราได้รับการแสดงออกของแบบฟอร์ม

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

ตัวอย่างที่ 12

แยกตัวประกอบ x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

สารละลาย

มาแปลงนิพจน์กันเถอะ เราเข้าใจแล้ว

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

จำเป็นต้องใช้สูตรการคูณผลต่างของลูกบาศก์แบบย่อ เราได้รับ:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

วิธีการแทนที่ตัวแปรเมื่อแยกตัวประกอบพหุนาม

เมื่อแทนที่ตัวแปร ระดับจะลดลงและพหุนามจะถูกแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 13

แยกตัวประกอบพหุนามของรูปแบบ x 6 + 5 x 3 + 6

สารละลาย

ตามเงื่อนไขชัดเจนว่าจำเป็นต้องเปลี่ยน y = x 3 เราได้รับ:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 ปี + 6

รากของสมการกำลังสองที่ได้คือ y = - 2 และ y = - 3 ดังนั้น

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

จำเป็นต้องใช้สูตรการคูณแบบย่อของผลรวมของลูกบาศก์ เราได้รับนิพจน์ในรูปแบบ:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

นั่นคือเราได้รับการสลายตัวตามที่ต้องการ

กรณีที่กล่าวถึงข้างต้นจะช่วยในการพิจารณาและแยกตัวประกอบพหุนามในรูปแบบต่างๆ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

การขยายพหุนามเพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์บางครั้งอาจดูน่าสับสน แต่ก็ไม่ใช่เรื่องยากหากคุณเข้าใจกระบวนการทีละขั้นตอน บทความนี้จะอธิบายรายละเอียดวิธีการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

หลายๆ คนไม่เข้าใจวิธีแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง และเหตุใดจึงทำเช่นนี้ ในตอนแรกอาจดูเหมือนเป็นการออกกำลังกายที่ไร้ประโยชน์ แต่ในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีสิ่งใดที่ทำเพื่อสิ่งใดเลย การเปลี่ยนแปลงนี้มีความจำเป็นเพื่อทำให้การแสดงออกง่ายขึ้นและความง่ายในการคำนวณ

พหุนามของรูปแบบ – ax²+bx+c เรียกว่า ตรีโกณมิติกำลังสอง.คำว่า "a" ต้องเป็นค่าลบหรือค่าบวก ในทางปฏิบัติ นิพจน์นี้เรียกว่าสมการกำลังสอง ดังนั้นบางครั้งพวกเขาจึงพูดแตกต่างออกไป: วิธีขยายสมการกำลังสอง

น่าสนใจ!พหุนามเรียกว่ากำลังสองเนื่องจากมีระดับที่ใหญ่ที่สุดซึ่งก็คือกำลังสอง และตรีโกณมิติ - เนื่องจากองค์ประกอบ 3 ประการ

พหุนามประเภทอื่นๆ บางประเภท:

• ทวินามเชิงเส้น (6x+8);
• ลูกบาศก์ควอดริโนเมียล (x³+4x²-2x+9)

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ขั้นแรกนิพจน์มีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นคุณต้องค้นหาค่าของราก x1 และ x2 อาจไม่มีราก อาจมีหนึ่งหรือสองราก การมีอยู่ของรากถูกกำหนดโดยผู้เลือกปฏิบัติ คุณต้องรู้สูตรของมันด้วยใจ: D=b²-4ac

หากผลลัพธ์ D เป็นลบ แสดงว่าไม่มีราก หากเป็นบวก จะมีรากอยู่ 2 ราก หากผลลัพธ์เป็นศูนย์ รากจะเป็นหนึ่ง รากยังคำนวณโดยใช้สูตร

เมื่อคำนวณการแบ่งแยกผลลัพธ์เป็นศูนย์ คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้ ในทางปฏิบัติ สูตรจะสั้นลง: -b / 2a

สูตรสำหรับ ความหมายที่แตกต่างกันผู้เลือกปฏิบัติแตกต่างกัน

ถ้า D เป็นบวก:

ถ้า D เป็นศูนย์:

เครื่องคิดเลขออนไลน์

ในอินเตอร์เน็ตก็มี เครื่องคิดเลขออนไลน์- สามารถใช้ในการแยกตัวประกอบได้ แหล่งข้อมูลบางส่วนให้โอกาสในการดูวิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน บริการดังกล่าวช่วยให้เข้าใจหัวข้อได้ดีขึ้น แต่คุณต้องพยายามทำความเข้าใจให้ดี

วิดีโอที่มีประโยชน์: การแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ตัวอย่าง

เราขอเชิญคุณรับชม ตัวอย่างง่ายๆ, วิธีแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

นี่แสดงให้เห็นชัดเจนว่าผลลัพธ์คือ x สองตัวเพราะ D เป็นบวก พวกเขาจะต้องถูกแทนที่ลงในสูตร ถ้ารากกลายเป็นลบ เครื่องหมายในสูตรจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม

เรารู้สูตรในการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง: a(x-x1)(x-x2) เราใส่ค่าในวงเล็บ: (x+3)(x+2/3) ไม่มีตัวเลขอยู่หน้าเทอมที่อยู่ในอำนาจ ซึ่งหมายความว่ามีอันหนึ่งอยู่ตรงนั้นมันลงไป

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงวิธีการแก้สมการที่มีรากเดียว

เราแทนที่ค่าผลลัพธ์:

ตัวอย่างที่ 3

ให้ไว้: 5x²+3x+7

ขั้นแรก มาคำนวณการแบ่งแยกตามกรณีก่อนหน้ากัน

ส=9-4*5*7=9-140= -131.

การเลือกปฏิบัติเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าไม่มีราก

หลังจากได้รับผลแล้วควรเปิดวงเล็บและตรวจสอบผล ตรีโกณมิติดั้งเดิมควรปรากฏขึ้น

ทางเลือกอื่น

บางคนไม่สามารถผูกมิตรกับผู้เลือกปฏิบัติได้ มีอีกวิธีหนึ่งในการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง เพื่อความสะดวกจะแสดงวิธีการพร้อมตัวอย่าง

ให้ไว้: x²+3x-10

เรารู้ว่าเราควรมี 2 วงเล็บ: (_)(_) เมื่อนิพจน์มีลักษณะดังนี้: x²+bx+c ที่จุดเริ่มต้นของแต่ละวงเล็บ เราจะใส่ x: (x_)(x_) ตัวเลขสองตัวที่เหลือคือผลคูณที่ให้ "c" เช่น ในกรณีนี้ -10 วิธีเดียวที่จะทราบว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขใดคือการเลือก ตัวเลขที่ถูกแทนที่จะต้องสอดคล้องกับระยะเวลาที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น การคูณตัวเลขต่อไปนี้จะได้ -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10 เลขที่
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10 เลขที่
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10 เลขที่
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10 พอดี

ซึ่งหมายความว่าการแปลงนิพจน์ x2+3x-10 จะเป็นดังนี้: (x-2)(x+5)

สำคัญ!คุณควรระวังอย่าให้สัญญาณสับสน

การขยายตัวของตรีโกณมิติที่ซับซ้อน

หาก “a” มากกว่าหนึ่ง ปัญหาก็จะเริ่มต้นขึ้น แต่ทุกอย่างไม่ยากอย่างที่คิด

ในการแยกตัวประกอบ คุณต้องดูว่ามีอะไรที่สามารถแยกตัวประกอบออกได้ก่อนหรือไม่

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดนิพจน์: 3x²+9x-30 ที่นี่หมายเลข 3 ถูกนำออกจากวงเล็บ:

3(x²+3x-10) ผลลัพธ์ที่ได้คือตรีโกณมิติที่รู้จักกันดีอยู่แล้ว คำตอบมีลักษณะดังนี้: 3(x-2)(x+5)

จะสลายตัวได้อย่างไรถ้าเทอมที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมเป็นลบ? ใน ในกรณีนี้นำเลข -1 ออกจากวงเล็บ ตัวอย่างเช่น: -x²-10x-8 นิพจน์จะมีลักษณะดังนี้:

โครงการนี้แตกต่างเล็กน้อยจากโครงการก่อนหน้า มีสิ่งใหม่ ๆ เพียงไม่กี่อย่าง สมมติว่านิพจน์ได้รับ: 2x²+7x+3 คำตอบจะเขียนไว้ในวงเล็บ 2 วงเล็บซึ่งต้องกรอก (_)(_) ในวงเล็บที่ 2 เขียนว่า x และในวงเล็บที่ 1 สิ่งที่เหลืออยู่ ดูเหมือนว่านี้: (2x_)(x_) มิฉะนั้นโครงการก่อนหน้านี้จะถูกทำซ้ำ

หมายเลข 3 ได้รับจากตัวเลข:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

เราแก้สมการด้วยการแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ ตัวเลือกสุดท้ายมีความเหมาะสม ซึ่งหมายความว่าการแปลงนิพจน์ 2x²+7x+3 มีลักษณะดังนี้: (2x+1)(x+3)

กรณีอื่นๆ

ไม่สามารถแปลงนิพจน์ได้เสมอไป ด้วยวิธีที่สอง ไม่จำเป็นต้องแก้สมการ แต่ความเป็นไปได้ในการเปลี่ยนเงื่อนไขให้เป็นผลิตภัณฑ์นั้นได้รับการตรวจสอบโดยการเลือกปฏิบัติเท่านั้น

มันคุ้มค่าที่จะฝึกฝนการตัดสินใจ สมการกำลังสองเพื่อให้ไม่มีปัญหาในการใช้สูตร

วิดีโอที่มีประโยชน์: การแยกตัวประกอบตรีโกณมิติ

บทสรุป

คุณสามารถใช้มันในทางใดทางหนึ่ง แต่เป็นการดีกว่าที่จะฝึกฝนทั้งสองอย่างจนกว่ามันจะอัตโนมัติ นอกจากนี้ การเรียนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองให้ดีและพหุนามตัวประกอบยังเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับผู้ที่วางแผนเชื่อมโยงชีวิตกับคณิตศาสตร์ หัวข้อทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ทั้งหมดสร้างขึ้นจากสิ่งนี้

แนวคิดของ "พหุนาม" และ "การแยกตัวประกอบของพหุนาม" ในพีชคณิตมักพบบ่อยมาก เพราะคุณจำเป็นต้องรู้แนวคิดเหล่านี้เพื่อให้สามารถคำนวณขนาดใหญ่ได้อย่างง่ายดาย ตัวเลขหลายหลัก- บทความนี้จะอธิบายวิธีการสลายตัวหลายวิธี ทั้งหมดนั้นค่อนข้างใช้งานง่าย คุณเพียงแค่ต้องเลือกสิ่งที่ถูกต้องสำหรับแต่ละกรณี

แนวคิดของพหุนาม

พหุนามคือผลรวมของเอกนาม กล่าวคือ สำนวนที่มีเฉพาะการดำเนินการคูณเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น 2 * x * y เป็น monomial แต่ 2 * x * y + 25 เป็นพหุนามที่ประกอบด้วย 2 monomials: 2 * x * y และ 25 พหุนามดังกล่าวเรียกว่าทวินาม

บางครั้ง เพื่อความสะดวกในการแก้ตัวอย่างด้วยค่าที่มีหลายค่า จำเป็นต้องแปลงนิพจน์ เช่น แยกย่อยเป็นปัจจัยจำนวนหนึ่ง นั่นคือ ตัวเลขหรือนิพจน์ที่ใช้ดำเนินการคูณ มีหลายวิธีในการแยกตัวประกอบพหุนาม การพิจารณาสิ่งเหล่านี้ควรค่าแก่การพิจารณาโดยเริ่มจากแบบดั้งเดิมที่สุดซึ่งใช้ในโรงเรียนประถมศึกษา

การจัดกลุ่ม (บันทึกในรูปแบบทั่วไป)

สูตรการแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้วิธีจัดกลุ่ม มุมมองทั่วไปดูเหมือนว่านี้:

ac + bd + bc + โฆษณา = (ac + bc) + (โฆษณา + bd)

จำเป็นต้องจัดกลุ่ม monomials เพื่อให้แต่ละกลุ่มมีปัจจัยร่วมกัน ในวงเล็บแรกนี่คือปัจจัย c และในวงเล็บที่สอง - d จะต้องดำเนินการนี้เพื่อที่จะย้ายออกจากวงเล็บ ซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

อัลกอริธึมการสลายตัวโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของการแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้วิธีการจัดกลุ่มมีดังต่อไปนี้:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

ในวงเล็บแรกคุณต้องใช้เงื่อนไขที่มีตัวประกอบ a ซึ่งจะเป็นเรื่องธรรมดาและในวงเล็บที่สอง - ด้วยตัวประกอบ b ให้ความสนใจกับเครื่องหมาย + และ - ในนิพจน์ที่เสร็จแล้ว เราใส่สัญลักษณ์ที่อยู่ในสำนวนเริ่มต้นไว้ข้างหน้า monomial นั่นคือคุณไม่จำเป็นต้องทำงานกับนิพจน์ 25a แต่ต้องทำงานกับนิพจน์ -25 ดูเหมือนว่าเครื่องหมายลบจะ "ติดกาว" กับนิพจน์ด้านหลังและนำมาพิจารณาเสมอเมื่อคำนวณ

ในขั้นตอนถัดไป คุณจะต้องนำตัวคูณซึ่งเป็นเรื่องปกติออกจากวงเล็บ นี่คือสิ่งที่การจัดกลุ่มมีไว้เพื่อ การวางไว้นอกวงเล็บหมายถึงการเขียนหน้าวงเล็บ (ละเครื่องหมายคูณ) ปัจจัยทั้งหมดที่ทำซ้ำทุกประการในทุกเงื่อนไขที่อยู่ในวงเล็บ หากไม่มี 2 คำ แต่มี 3 คำขึ้นไปในวงเล็บ ต้องมีตัวประกอบร่วมอยู่ในแต่ละคำ ไม่เช่นนั้นจะนำออกจากวงเล็บไม่ได้

ในกรณีของเรา วงเล็บมีเพียง 2 คำเท่านั้น ตัวคูณโดยรวมจะมองเห็นได้ทันที ในวงเล็บแรกคือ a ในวงเล็บที่สองคือ b ที่นี่คุณต้องใส่ใจกับค่าสัมประสิทธิ์ดิจิทัล ในวงเล็บแรก ทั้งค่าสัมประสิทธิ์ (10 และ 25) เป็นผลคูณของ 5 ซึ่งหมายความว่าไม่เพียงแต่ a เท่านั้น แต่ยังสามารถนำ 5a ออกจากวงเล็บได้ด้วย ก่อนวงเล็บให้เขียน 5a แล้วหารแต่ละพจน์ในวงเล็บด้วยตัวประกอบร่วมที่ถูกนำออกมาและเขียนผลหารในวงเล็บโดยไม่ลืมเครื่องหมาย + และ - ทำเช่นเดียวกันกับวงเล็บที่สอง นำ 7b ออกมา เช่นเดียวกับ 14 และ 35 ผลคูณของ 7

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5)

เรามี 2 เทอม: 5a(2c - 5) และ 7b(2c - 5) แต่ละรายการมีปัจจัยร่วม (นิพจน์ทั้งหมดในวงเล็บจะเหมือนกันที่นี่ซึ่งหมายความว่าเป็นปัจจัยร่วม): 2c - 5 และจำเป็นต้องนำออกจากวงเล็บด้วยนั่นคือเงื่อนไข 5a และ 7b ยังคงอยู่ ในวงเล็บเหลี่ยมที่สอง:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)

ดังนั้นสำนวนที่สมบูรณ์คือ:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)

ดังนั้น พหุนาม 10ac + 14bc - 25a - 35b จึงถูกแบ่งออกเป็น 2 ตัว: (2c - 5) และ (5a + 7b) เครื่องหมายคูณระหว่างเครื่องหมายสามารถละเว้นได้เมื่อเขียน

บางครั้งมีนิพจน์ประเภทนี้: 5a 2 + 50a 3 ที่นี่คุณสามารถใส่ออกจากวงเล็บได้ไม่เพียง แต่ a หรือ 5a แต่ยังรวมถึง 5a 2 ด้วย คุณควรพยายามนำตัวประกอบร่วมที่ใหญ่ที่สุดออกจากวงเล็บเสมอ ในกรณีของเรา ถ้าเราหารแต่ละพจน์ด้วยตัวประกอบร่วม เราจะได้:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(เมื่อคำนวณผลหารของกำลังหลายตัวที่มีฐานเท่ากัน ฐานจะยังคงอยู่และลบเลขชี้กำลังออก) ดังนั้น หน่วยจึงยังคงอยู่ในวงเล็บ (ไม่ว่าในกรณีใด หากคุณนำพจน์ใดพจน์หนึ่งออกจากวงเล็บ อย่าลืมเขียนไว้) และผลหารของการหาร: 10a ปรากฎว่า:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

สูตรสี่เหลี่ยม

เพื่อความสะดวกในการคำนวณ จึงได้สูตรมาหลายสูตร สิ่งเหล่านี้เรียกว่าสูตรคูณแบบย่อและมีการใช้ค่อนข้างบ่อย สูตรเหล่านี้ช่วยแยกตัวประกอบพหุนามที่มีองศา นี่ก็เป็นอีกเรื่องหนึ่ง วิธีที่มีประสิทธิภาพการแยกตัวประกอบ ดังนั้นนี่คือ:

• ก 2 + 2ab + ข 2 = (ก + ข) 2 -สูตรที่เรียกว่า "กำลังสองของผลรวม" เนื่องจากเป็นผลมาจากการสลายตัวเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงนำผลรวมของตัวเลขที่อยู่ในวงเล็บนั่นคือค่าของผลรวมนี้คูณด้วยตัวมันเอง 2 ครั้งดังนั้นจึงเป็น ตัวคูณ
• ก 2 + 2ab - ข 2 = (ก - ข) 2 - สูตรกำลังสองของผลต่างจะคล้ายกับสูตรก่อนหน้า ผลลัพธ์ที่ได้คือผลต่างที่อยู่ในวงเล็บและอยู่ในกำลังสอง
• ก 2 - ข 2 = (ก + ข)(ก - ข)- นี่คือสูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง เนื่องจากเริ่มแรกพหุนามประกอบด้วยตัวเลขหรือนิพจน์กำลังสอง 2 ตัว ซึ่งอยู่ระหว่างการลบออก บางทีจากทั้งสามข้อที่กล่าวถึงอาจมีการใช้บ่อยที่สุด

ตัวอย่างการคำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยม

การคำนวณสำหรับพวกมันค่อนข้างง่าย ตัวอย่างเช่น:

1. 25x 2 + 20xy + 4ป 2 - ใช้สูตรกำลังสองของผลรวม
2. 25x 2 คือกำลังสองของ 5x 20xy คือผลคูณสองเท่าของ 2*(5x*2y) และ 4y 2 คือกำลังสองของ 2y
3. ดังนั้น 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y)พหุนามนี้แบ่งออกเป็น 2 ตัว (ตัวประกอบเท่ากัน จึงเขียนเป็นนิพจน์ที่มีกำลังสอง)

การดำเนินการโดยใช้สูตรผลต่างกำลังสองจะดำเนินการในลักษณะเดียวกัน สูตรที่เหลือคือผลต่างของกำลังสอง ตัวอย่างของสูตรนี้ง่ายต่อการกำหนดและค้นหาจากนิพจน์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20) เนื่องจาก 25a 2 = (5a) 2 และ 400 = 20 2
• 36x 2 - 25ป 2 = (6x - 5ป) (6x + 5ป) เนื่องจาก 36x 2 = (6x) 2 และ 25y 2 = (5y 2)
• ค 2 - 169b 2 = (ค - 13b)(ค + 13b) ตั้งแต่ 169b 2 = (13b) 2

สิ่งสำคัญคือแต่ละพจน์ต้องเป็นกำลังสองของนิพจน์บางอย่าง จากนั้นจะต้องแยกตัวประกอบพหุนามนี้โดยใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง โดยไม่จำเป็นว่าระดับที่สองจะต้องสูงกว่าตัวเลข มีพหุนามที่มีองศามาก แต่ก็ยังเหมาะกับสูตรเหล่านี้

8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

ในตัวอย่างนี้ 8 สามารถแสดงเป็น (a 4) 2 ซึ่งก็คือกำลังสองของนิพจน์หนึ่งๆ 25 คือ 5 2 และ 10a คือ 4 - นี่คือผลคูณสองเท่าของเงื่อนไข 2 * a 4 * 5 นั่นคือนิพจน์นี้แม้จะมีองศาที่มีเลขชี้กำลังขนาดใหญ่ แต่ก็สามารถแบ่งออกเป็น 2 ปัจจัยเพื่อที่จะทำงานร่วมกับพวกมันในภายหลัง

สูตรคิวบ์

มีสูตรเดียวกันนี้สำหรับการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีลูกบาศก์ พวกมันซับซ้อนกว่าแบบสี่เหลี่ยมเล็กน้อย:

• ก 3 + ข 3 = (ก + ข)(ก 2 - ab + ข 2)- สูตรนี้เรียกว่าผลรวมของลูกบาศก์ เนื่องจากในรูปแบบเริ่มต้น พหุนามคือผลรวมของสองนิพจน์หรือตัวเลขที่อยู่ในลูกบาศก์
• ก 3 - ข 3 = (ก - ข)(ก 2 + ab + ข 2) -สูตรที่เหมือนกับสูตรก่อนหน้าถูกกำหนดให้เป็นผลต่างของลูกบาศก์
• ก 3 + 3a 2 ข + 3ab 2 + ข 3 = (ก + ข) 3 - ลูกบาศก์ของผลรวมจากการคำนวณผลรวมของตัวเลขหรือนิพจน์จะอยู่ในวงเล็บและคูณด้วยตัวมันเอง 3 ครั้งนั่นคืออยู่ในลูกบาศก์
• ก 3 - 3a 2 ข + 3ab 2 - ข 3 = (ก - ข) 3 -สูตรที่รวบรวมโดยการเปรียบเทียบกับสูตรก่อนหน้าโดยเปลี่ยนเพียงสัญญาณบางอย่างของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (บวกและลบ) เรียกว่า "ลูกบาศก์ผลต่าง"

ในทางปฏิบัติแล้วสองสูตรสุดท้ายไม่ได้ใช้เพื่อจุดประสงค์ในการแยกตัวประกอบพหุนาม เนื่องจากมันซับซ้อน และหายากพอที่จะหาพหุนามที่ตรงกับโครงสร้างนี้ทุกประการ เพื่อที่จะสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรเหล่านี้ได้ แต่คุณยังจำเป็นต้องรู้จักสิ่งเหล่านี้เนื่องจากจะต้องใช้เมื่อทำงานในทิศทางตรงกันข้าม - เมื่อเปิดวงเล็บ

ตัวอย่างสูตรคิวบ์

ลองดูตัวอย่าง: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

มีการนำตัวเลขที่ค่อนข้างง่ายมาที่นี่ ดังนั้นคุณจะเห็นได้ทันทีว่า 64a 3 คือ (4a) 3 และ 8b 3 คือ (2b) 3 ดังนั้น พหุนามนี้จึงถูกขยายตามสูตรผลต่างของลูกบาศก์ออกเป็น 2 ตัวประกอบ การดำเนินการโดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์จะดำเนินการโดยการเปรียบเทียบ

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าไม่ใช่ทุกพหุนามที่สามารถขยายได้อย่างน้อยหนึ่งวิธี แต่มีนิพจน์ที่มีพลังมากกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือลูกบาศก์ แต่ก็สามารถขยายเป็นรูปแบบการคูณแบบย่อได้เช่นกัน ตัวอย่าง: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 ปี + 25 ปี 2)

ตัวอย่างนี้มีมากเท่ากับระดับ 12 แต่ยังสามารถแยกตัวประกอบได้โดยใช้สูตรผลรวมของลูกบาศก์ ในการทำเช่นนี้คุณต้องจินตนาการว่า x 12 เป็น (x 4) 3 นั่นคือเป็นลูกบาศก์ของนิพจน์บางอย่าง ทีนี้ แทนที่จะเป็น a คุณต้องแทนที่มันในสูตร ทีนี้ พจน์ 125y 3 คือลูกบาศก์ของ 5y ถัดไป คุณต้องเขียนผลิตภัณฑ์โดยใช้สูตรและทำการคำนวณ

ในตอนแรกหรือในกรณีที่มีข้อสงสัย คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยการคูณผกผันเสมอ คุณเพียงแค่ต้องเปิดวงเล็บในนิพจน์ผลลัพธ์และดำเนินการกับคำที่คล้ายกัน วิธีนี้ใช้ได้กับวิธีการลดทั้งหมดที่ระบุไว้ ทั้งกับการใช้ตัวประกอบร่วมและการจัดกลุ่ม และการทำงานกับสูตรของลูกบาศก์และกำลังสอง

การแยกตัวประกอบสมการคือกระบวนการค้นหาพจน์หรือนิพจน์ที่เมื่อคูณแล้วจะทำให้เกิดสมการตั้งต้น การแยกตัวประกอบเป็นทักษะที่มีประโยชน์ในการแก้ปัญหาพีชคณิตพื้นฐาน และกลายเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งเมื่อต้องทำงานกับสมการกำลังสองและพหุนามอื่นๆ การแยกตัวประกอบใช้เพื่อทำให้สมการพีชคณิตง่ายขึ้นเพื่อให้แก้ได้ง่ายขึ้น การแยกตัวประกอบสามารถช่วยให้คุณกำจัดคำตอบที่เป็นไปได้ได้เร็วกว่าการแก้สมการด้วยมือ

ขั้นตอน

แยกตัวประกอบตัวเลขและนิพจน์พีชคณิตพื้นฐาน

1. แยกตัวประกอบตัวเลขแนวคิดของการแยกตัวประกอบนั้นง่าย แต่ในทางปฏิบัติ การแยกตัวประกอบสามารถทำได้ ไม่ใช่งานง่าย(หากให้สมการที่ซับซ้อน) ก่อนอื่น เรามาดูแนวคิดการแยกตัวประกอบโดยใช้ตัวเลขเป็นตัวอย่าง ดำเนินการต่อด้วยสมการง่ายๆ จากนั้นจึงไปยังสมการที่ซับซ้อน ตัวคูณ หมายเลขที่กำหนด- คือตัวเลขที่เมื่อคูณแล้วจะได้เลขเดิม ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบของจำนวน 12 คือตัวเลข: 1, 12, 2, 6, 3, 4 เนื่องจาก 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12

   • ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถนึกถึงตัวประกอบของตัวเลขเป็นตัวหารได้ ซึ่งก็คือตัวเลขที่ตัวเลขนั้นหารด้วยลงตัว
   • หาตัวประกอบทั้งหมดของเลข 60 เรามักจะใช้เลข 60 (เช่น 60 นาทีในหนึ่งชั่วโมง 60 วินาทีในหนึ่งนาที เป็นต้น) และตัวเลขนี้ค่อนข้างมี จำนวนมากตัวคูณ
     • 60 ตัวคูณ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 และ 60

2. จดจำ:เงื่อนไขของนิพจน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ (ตัวเลข) และตัวแปรก็สามารถแยกตัวประกอบได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาตัวประกอบสัมประสิทธิ์ของตัวแปร เมื่อทราบวิธีแยกตัวประกอบเงื่อนไขของสมการแล้ว คุณก็จะทำให้สมการนี้ง่ายขึ้นได้ง่ายๆ

   • ตัวอย่างเช่น คำว่า 12x สามารถเขียนเป็นผลคูณของ 12 และ x ได้ คุณยังสามารถเขียน 12x เป็น 3(4x), 2(6x) ฯลฯ โดยแยก 12 ตัวออกเป็นปัจจัยที่เหมาะกับคุณที่สุด
     • คุณสามารถจัดการ 12x ได้หลายครั้งติดต่อกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณไม่ควรหยุดที่ 3(4x) หรือ 2(6x) ขยายต่อ: 3(2(2x)) หรือ 2(3(2x)) (ชัด 3(4x)=3(2(2x)) ฯลฯ)

3. ใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณเพื่อแยกตัวประกอบสมการพีชคณิตการรู้วิธีแยกตัวประกอบตัวเลขและเงื่อนไขของนิพจน์ (สัมประสิทธิ์กับตัวแปร) จะทำให้ง่ายขึ้นได้ สมการพีชคณิตการค้นหาตัวประกอบร่วมของจำนวนและพจน์ของนิพจน์ โดยทั่วไป เพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น คุณจะต้องค้นหาตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCD) การทำให้เข้าใจง่ายนี้เป็นไปได้ด้วย ทรัพย์สินจำหน่ายการคูณ: สำหรับจำนวนใดๆ a, b, c ความเท่าเทียมกัน a(b+c) = ab+ac เป็นจริง

   • ตัวอย่าง. แยกตัวประกอบสมการ 12x + 6 อันดับแรก หา gcd ของ 12x และ 6 โดย 6 คือ จำนวนที่ใหญ่ที่สุดซึ่งหารทั้ง 12x และ 6 คุณจึงสามารถแยกสมการออกเป็น: 6(2x+1)
   • กระบวนการนี้ใช้ได้กับสมการที่มีพจน์เป็นลบและเศษส่วนด้วย ตัวอย่างเช่น x/2+4 สามารถแยกตัวประกอบเป็น 1/2(x+8) ได้ ตัวอย่างเช่น -7x+(-21) สามารถแยกตัวประกอบเป็น -7(x+3) ได้

   แยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

   1. ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการถูกกำหนดไว้ในรูปแบบกำลังสอง (ax 2 + bx + c = 0)สมการกำลังสองมีรูปแบบ: ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a, b, c เป็นสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่ไม่ใช่ 0 หากคุณได้รับสมการที่มีตัวแปรตัวเดียว (x) และในสมการนี้มีเงื่อนไขหนึ่งหรือหลายคำ ด้วยตัวแปรลำดับที่สอง คุณสามารถย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสมการไปไว้ที่ด้านหนึ่งของสมการและตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ได้

      • ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดสมการ: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18 สามารถแปลงเป็นสมการ x 2 + 6x + 9 = 0 ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง
      • สมการที่มีตัวแปร x ของลำดับขนาดใหญ่ เช่น x 3, x 4 เป็นต้น ไม่ใช่สมการกำลังสอง สิ่งเหล่านี้ได้แก่ สมการกำลังสาม สมการลำดับที่สี่ และอื่นๆ (เว้นแต่ว่าสมการดังกล่าวสามารถทำให้เป็นสมการกำลังสองได้โดยที่ตัวแปร x ยกกำลัง 2)

   2. สมการกำลังสอง โดยที่ a = 1 ถูกขยายเป็น (x+d)(x+e) โดยที่ d*e=c และ d+e=bหากสมการกำลังสองที่ให้คุณมีรูปแบบ: x ​​2 + bx + c = 0 (นั่นคือ สัมประสิทธิ์ของ x 2 คือ 1) สมการดังกล่าวสามารถ (แต่ไม่รับประกัน) ที่จะขยายไปสู่ปัจจัยข้างต้นได้ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องค้นหาตัวเลขสองตัวที่เมื่อคูณแล้วจะได้ "c" และเมื่อบวกแล้วจะได้ "b" เมื่อคุณพบตัวเลขสองตัวนี้ (d และ e) แล้ว ให้แทนที่พวกมันในนิพจน์ต่อไปนี้: (x+d)(x+e) ซึ่งเมื่อเปิดวงเล็บจะนำไปสู่สมการดั้งเดิม

      • ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดสมการกำลังสอง x 2 + 5x + 6 = 0 3*2=6 และ 3+2=5 คุณจึงสามารถแยกตัวประกอบสมการนี้ได้เป็น (x+3)(x+2)
      • สำหรับเงื่อนไขเชิงลบ ให้ทำการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยต่อไปนี้กับกระบวนการแยกตัวประกอบ:
        • ถ้าสมการกำลังสองมีรูปแบบ x 2 -bx+c ก็จะขยายออกเป็น: (x-_)(x-_)
        • ถ้าสมการกำลังสองมีรูปแบบ x 2 -bx-c จะขยายเป็น: (x+_)(x-_)
      • หมายเหตุ: ช่องว่างสามารถแทนที่ด้วยเศษส่วนหรือทศนิยมได้ เช่น สมการ x 2 + (21/2)x + 5 = 0 ขยายเป็น (x+10)(x+1/2)

   3. การแยกตัวประกอบโดยการลองผิดลองถูกสมการกำลังสองอย่างง่ายสามารถแยกตัวประกอบได้โดยการแทนที่ตัวเลขเข้าไป แนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้จนกว่าคุณจะพบ การตัดสินใจที่ถูกต้อง- หากสมการอยู่ในรูปแบบ ax 2 +bx+c โดยที่ a>1 ผลเฉลยที่เป็นไปได้จะถูกเขียนในรูปแบบ (dx +/- _)(ex +/- _) โดยที่ d และ e เป็นสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งเมื่อคูณแล้วจะได้ d หรือ e (หรือทั้งสองค่าสัมประสิทธิ์) สามารถมีค่าเท่ากับ 1 ได้ ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ทั้งสองค่าเท่ากับ 1 ให้ใช้วิธีที่อธิบายไว้ข้างต้น

      • ตัวอย่างเช่น จากสมการ 3x 2 - 8x + 4 โดยที่ 3 มีเพียงสองตัวประกอบเท่านั้น (3 และ 1) ดังนั้นคำตอบที่เป็นไปได้จึงเขียนเป็น (3x +/- _)(x +/- _) ในกรณีนี้ เมื่อแทนช่องว่างด้วย -2 คุณจะพบคำตอบที่ถูกต้อง: -2*3x=-6x และ -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x และ -2*-2=4 นั่นคือ การขยายตัวเมื่อเปิดวงเล็บจะนำไปสู่เงื่อนไขของสมการดั้งเดิม