จุดอัศจรรย์สี่จุดของสามเหลี่ยม โครงการวิจัยจุดสามเหลี่ยมโดดเด่น

จุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยม จุดตัดของระดับความสูงของรูปสามเหลี่ยม จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐาน (BD) ของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ค่ามัธยฐาน A B C D

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง (จุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม) และหารด้วยจุดนี้ในอัตราส่วน 2: 1 โดยนับจากจุดยอด ช่วงเช้า: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1 ก 1 บี บี 1 เอ็ม ซี ซี 1

เส้นแบ่งครึ่ง (AD) ของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

แต่ละจุดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ยังไม่ได้พัฒนาจะมีระยะห่างจากด้านข้างเท่ากัน ในทางกลับกัน: ทุกจุดที่อยู่ในมุมและห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากันจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่ง เอ เอ็ม บี ซี

เส้นแบ่งครึ่งทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - จุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม C B 1 M A V A 1 C 1 O รัศมีของวงกลม (OM) เป็นเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากศูนย์กลาง (TO) ไปยังด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

ความสูง (C D) ของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังเส้นตรงที่มีด้านตรงข้าม เอ บี ซี ดี

ความสูงของรูปสามเหลี่ยม (หรือส่วนขยาย) ตัดกันที่จุดหนึ่ง ก 1 บี บี 1 ซี ซี 1

เส้นกึ่งกลาง เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (DF) คือเส้นตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมแล้วหารครึ่ง เอ ดี เอฟ บี ซี

A M B m O แต่ละจุดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (m) กับส่วนนั้นจะมีระยะห่างจากปลายของส่วนนี้เท่ากัน ในทางกลับกัน: ทุกจุดที่อยู่ห่างจากปลายแต่ละส่วนเท่ากันจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับจุดนั้น

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งหมดของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม A B C O รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบคือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม (OA) ม เอ็น พี

งานสำหรับนักเรียน สร้างวงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมป้านโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด วิธีทำ: สร้างเส้นแบ่งครึ่งในรูปสามเหลี่ยมป้านโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งคือจุดศูนย์กลางของวงกลม สร้างรัศมีของวงกลม: ตั้งฉากจากศูนย์กลางของวงกลมถึงด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม สร้างวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

2. ใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด สร้างวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมป้าน วิธีทำ: สร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมป้าน จุดตัดกันของเส้นตั้งฉากเหล่านี้คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้ รัศมีของวงกลมคือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางถึงจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม สร้างวงกลมรอบสามเหลี่ยม.

กระทรวงการศึกษาทั่วไปและวิชาชีพแห่งภูมิภาค Sverdlovsk

สถาบันการศึกษาเทศบาลแห่งเยคาเตรินเบิร์ก

สถาบันการศึกษา – MOUSOSH หมายเลข 212 “สถานศึกษาวัฒนธรรม Ekaterinburg”

สาขาการศึกษา – คณิตศาสตร์

หัวเรื่อง - เรขาคณิต

จุดที่โดดเด่นของรูปสามเหลี่ยม

อ้างอิง: นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

เซลิทสกี้ มิทรี คอนสแตนติโนวิช

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์:

รับคานอฟ เซอร์เกย์ เปโตรวิช

เอคาเทอรินเบิร์ก, 2544

การแนะนำ 3

ส่วนที่อธิบาย:

ออร์โธเซ็นเตอร์ 4

ไอเซนเตอร์ 5

จุดศูนย์ถ่วง7

ศูนย์กลางรอบ 8

ออยเลอร์ สาย 9

ส่วนปฏิบัติ:

สามเหลี่ยมมุมฉาก 10

บทสรุปที่ 11

อ้างอิง 11

การแนะนำ.

เรขาคณิตเริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยม เป็นเวลากว่าสองพันปีครึ่งที่สามเหลี่ยมนี้เป็นสัญลักษณ์ของเรขาคณิต มีการค้นพบคุณสมบัติใหม่อย่างต่อเนื่อง การพูดถึงคุณสมบัติที่ทราบทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมจะต้องใช้เวลามาก ฉันสนใจในสิ่งที่เรียกว่า " จุดที่ยอดเยี่ยมสามเหลี่ยม." ตัวอย่างของจุดดังกล่าวคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง สิ่งที่น่าทึ่งคือถ้าคุณนำจุดสามจุดในอวกาศโดยพลการ สร้างสามเหลี่ยมจากจุดเหล่านั้นแล้ววาดเส้นแบ่งครึ่ง จากนั้นพวกมัน (เส้นแบ่งครึ่ง) จะตัดกันที่จุดหนึ่ง! ดูเหมือนว่าเป็นไปไม่ได้เพราะเราใช้คะแนนโดยพลการ แต่กฎนี้มีผลเสมอ “ประเด็นเด่น” อื่นๆ ก็มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกัน

หลังจากอ่านวรรณกรรมในหัวข้อนี้แล้ว ฉันได้กำหนดคำจำกัดความและคุณสมบัติของจุดอัศจรรย์ห้าจุดและสามเหลี่ยมให้ตัวเอง แต่งานของฉันไม่ได้จบเพียงแค่นั้น ฉันอยากจะสำรวจประเด็นเหล่านี้ด้วยตัวเอง

นั่นเป็นเหตุผล เป้างานนี้เป็นการศึกษาคุณสมบัติอันน่าทึ่งบางประการของสามเหลี่ยม และการศึกษาสามเหลี่ยมมุมฉาก ในกระบวนการบรรลุเป้าหมายนี้สามารถแยกแยะขั้นตอนต่อไปนี้ได้:

การคัดเลือกวรรณกรรมโดยได้รับความช่วยเหลือจากอาจารย์

ศึกษาคุณสมบัติพื้นฐานของจุดและเส้นตรงของรูปสามเหลี่ยม

ลักษณะทั่วไปของคุณสมบัติเหล่านี้

การวาดและแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมออร์โทเซนตริก

ข้าพเจ้าได้นำเสนอผลงานที่ได้รับในงานวิจัยนี้ ฉันวาดภาพทั้งหมดโดยใช้คอมพิวเตอร์กราฟิกส์ (โปรแกรมแก้ไขกราฟิกแบบเวกเตอร์ CorelDRAW)

ออร์โธเซ็นเตอร์ (จุดตัดกันของความสูง)

ให้เราพิสูจน์ว่าความสูงตัดกันที่จุดหนึ่ง พาคุณผ่านยอดเขากันเถอะ ก, ในและ กับสามเหลี่ยม เอบีซีเส้นตรงขนานกับด้านตรงข้าม เส้นเหล่านี้เป็นรูปสามเหลี่ยม ก 1 ใน 1 กับ 1 - ความสูงของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีคือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ก 1 ใน 1 กับ 1 - ดังนั้นพวกมันจึงตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม ก 1 ใน 1 กับ 1 - จุดตัดกันของความสูงของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าจุดออร์โธเซนเตอร์ ( ชม).

Icentre เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

(จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง)

ให้เราพิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยม เอบีซีตัดกันที่จุดหนึ่ง พิจารณาประเด็น เกี่ยวกับจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุม กและ ใน- จุดใดๆ ของเส้นแบ่งครึ่งของมุม A จะมีระยะห่างจากเส้นตรงเท่ากัน เอบีและ เครื่องปรับอากาศและจุดใดๆ ของเส้นแบ่งครึ่งมุม ในระยะห่างจากเส้นตรงเท่ากัน เอบีและ ดวงอาทิตย์ชี้เลย เกี่ยวกับระยะห่างจากเส้นตรงเท่ากัน เครื่องปรับอากาศและ ดวงอาทิตย์, เช่น. มันอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม กับ- จุด เกี่ยวกับระยะห่างจากเส้นตรงเท่ากัน เอบี, ดวงอาทิตย์และ SAซึ่งหมายความว่ามีวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง เกี่ยวกับสัมผัสกันกับเส้นเหล่านี้ และจุดสัมผัสกันอยู่ที่ด้านข้าง ไม่ใช่ที่ส่วนต่อขยาย ที่จริงแล้ว มุมที่จุดยอด กและ ในสามเหลี่ยม เอโอบีคมชัดดังนั้นจุดฉายภาพ เกี่ยวกับโดยตรง เอบีอยู่ภายในส่วน เอบี.

สำหรับงานปาร์ตี้ ดวงอาทิตย์และ SAหลักฐานคล้ายกัน

icenter มีคุณสมบัติสามประการ:

ถ้าต่อเนื่องกันของเส้นแบ่งครึ่งมุม กับตัดเส้นรอบวงของสามเหลี่ยม เอบีซีตรงจุด ม, ที่ ปริญญาโท=เอ็มวี=มอ.

ถ้า เอบี- ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เอบีซีแล้ววงกลมสัมผัสกันที่ด้านข้างของมุม เส้นผ่าศูนย์กลางที่จุด กและ ใน, ผ่านจุดนั้นไป เกี่ยวกับ.

หากมีเส้นผ่านจุดใดจุดหนึ่ง เกี่ยวกับขนานไปกับด้านข้าง เอบี, ข้ามด้านข้าง ดวงอาทิตย์และ SAที่จุด ก 1 และ ใน 1 , ที่ ก 1 ใน 1 =ก 1 ใน+เอบี 1 .

จุดศูนย์ถ่วง. (จุดตัดของค่ามัธยฐาน)

ขอให้เราพิสูจน์ว่าค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ในกรณีนี้ให้พิจารณาประเด็นนี้ มซึ่งค่ามัธยฐานตัดกัน เอเอ 1 และ BB 1 - ลองวาดเป็นรูปสามเหลี่ยมกัน BB 1 กับเส้นกึ่งกลาง ก 1 ก 2 , ขนาน BB 1 - แล้ว ก 1 ม:น=ใน 1 ก 2 :เอบี 1 =ใน 1 ก 2 :ใน 1 กับ=เวอร์จิเนีย 1 :ดวงอาทิตย์=1:2 เช่น จุดตัดกลาง BB 1 และ เอเอ 1 แบ่งค่ามัธยฐาน เอเอ 1 ในอัตราส่วน 1:2 ในทำนองเดียวกันจุดตัดของค่ามัธยฐาน เอสเอส 1 และ เอเอ 1 แบ่งค่ามัธยฐาน เอเอ 1 ในอัตราส่วน 1:2 ดังนั้นจุดตัดของค่ามัธยฐาน เอเอ 1 และ BB 1 ตรงกับจุดตัดของค่ามัธยฐาน เอเอ 1 และ เอสเอส 1 .

ถ้าจุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมเชื่อมต่อกับจุดยอด สามเหลี่ยมนั้นจะถูกแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสามรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน อันที่จริงมันก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ว่าถ้า ร– จุดใดจุดหนึ่งของค่ามัธยฐาน เอเอ 1 ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีแล้วตามด้วยพื้นที่ของสามเหลี่ยม เอวีอาร์และ ASRมีความเท่าเทียมกัน ท้ายที่สุดแล้วค่ามัธยฐาน เอเอ 1 และ ร 1 ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ อาร์วีเอสตัดให้เป็นสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า ณ จุดใดจุดหนึ่ง รนอนอยู่ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซี, พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เอวีอาร์, ทรัพยากรบุคคลและ เขตซาร์ก็เท่าเทียมกันแล้ว ร– จุดตัดกันของค่ามัธยฐาน

จุดตัดมีคุณสมบัติอีกอย่างหนึ่ง: หากคุณตัดสามเหลี่ยมออกจากวัสดุใด ๆ วาดค่ามัธยฐานลงบนมัน ติดตัวยกที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน และยึดระบบกันสะเทือนไว้บนขาตั้งกล้อง จากนั้นโมเดล (สามเหลี่ยม) จะเข้ามา สภาวะสมดุล ดังนั้น จุดตัดจึงไม่มีอะไรมากไปกว่าจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม

ศูนย์กลางของวงกลม.

ขอให้เราพิสูจน์ว่ามีจุดที่อยู่ห่างจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน หรืออีกนัยหนึ่ง ว่ามีวงกลมลากผ่านจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ตำแหน่งของจุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดเท่ากัน กและ ในตั้งฉากกับส่วน เอบีโดยผ่านตรงกลาง (เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วน เอบี- พิจารณาประเด็น เกี่ยวกับโดยที่เส้นแบ่งครึ่งของเส้นตั้งฉากกับส่วนตัดกัน เอบีและ ดวงอาทิตย์- จุด เกี่ยวกับห่างจากจุดเท่ากัน กและ ในตลอดจนจากจุดต่างๆ ในและ กับ- จึงมีระยะห่างจากจุดต่างๆ เท่าๆ กัน กและ กับ, เช่น. มันยังอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนั้นด้วย เครื่องปรับอากาศ.

ศูนย์ เกี่ยวกับวงกลมจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นแหลมเท่านั้น ถ้าสามเหลี่ยมมีมุมฉาก แสดงว่าเป็นจุด เกี่ยวกับเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก และถ้ามุมอยู่ที่จุดยอด กับทื่อแล้วตรง เอบีแยกจุด เกี่ยวกับและ กับ.

ในทางคณิตศาสตร์ มักจะเกิดขึ้นที่วัตถุที่กำหนดด้วยวิธีที่ต่างกันโดยสิ้นเชิงกลายเป็นสิ่งเดียวกัน ลองแสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

อนุญาต ก 1 , ใน 1 ,กับ 1 – จุดกึ่งกลางของด้านข้าง ดวงอาทิตย์,SAและเอบี พิสูจน์ได้ว่าวงกลมสามเหลี่ยมมีเส้นรอบวง เอบี 1 กับ, ก 1 ดวงอาทิตย์ 1 และ ก 1 ใน 1 กับ 1 ตัดกันที่จุดหนึ่ง และจุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางเส้นรอบวงของสามเหลี่ยม เอบีซี- ดังนั้นเราจึงมีจุดสองจุดที่ดูเหมือนจะแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง: จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านข้างของสามเหลี่ยม เอบีซีและจุดตัดของเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม เอบี 1 กับ 1 , ก 1 ดวงอาทิตย์และ ก 1 ใน 1 กับ 1 - แต่ปรากฎว่าสองประเด็นนี้ตรงกัน

เส้นตรงของออยเลอร์

มากที่สุด คุณสมบัติที่น่าทึ่งจุดที่น่าทึ่งของรูปสามเหลี่ยมก็คือ บางส่วนเชื่อมโยงถึงกันด้วยความสัมพันธ์บางอย่าง เช่น จุดศูนย์ถ่วง ม,ออร์โธเซ็นเตอร์ เอ็นและศูนย์กลางของวงกลม เกี่ยวกับนอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และจุด M แบ่งส่วน OH เพื่อให้ความสัมพันธ์ถูกต้อง โอม:มินนิโซตา=1:2. ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ในปี 1765 โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวสวิส Leonardo Euler

สามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉาก(orthotriangle) เป็นรูปสามเหลี่ยม ( มเอ็นถึง) จุดยอดที่เป็นฐานความสูงของรูปสามเหลี่ยมนี้ ( เอบีซี- สามเหลี่ยมนี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมาย ให้หนึ่งในนั้น

คุณสมบัติ.

พิสูจน์:

สามเหลี่ยม เอเคเอ็ม, ซีเอ็มเอ็นและ บีเคเอ็นคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบีซี;

มุมของออร์โทสามเหลี่ยม เอ็มเอ็นเคเป็น: ล เคเอ็นเอ็ม = π - 2 ล ก,ลกม = พาย – 2 ล บี, ล เอ็มเอ็นเค = π - - 2 ล ค.

การพิสูจน์:

เรามี เอบีเพราะ ก, อ.เค.เพราะ ก- เพราะฉะนั้น, เช้า./เอบี = อ.เค./เอ.ซี..

เพราะ ที่รูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ เอเคเอ็มมุม ก– ทั่วไปแล้วมันก็คล้ายกันซึ่งเราสรุปได้ว่ามุม ล เอเคเอ็ม = ล ค- นั่นเป็นเหตุผล ล บีเคเอ็ม = ล ค- ต่อไปเรามี ล เอ็มเคซี= π/2 – ล ค, ล เอ็นเคซี= π/2 – - - ล ค, เช่น. เอสเค– เส้นแบ่งครึ่งมุม เอ็มเอ็นเค- ดังนั้น, ล เอ็มเอ็นเค= π – 2 ล ค- ความเท่าเทียมกันที่เหลือได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน

บทสรุป.

เมื่อสิ้นสุดการวิจัยสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:

จุดและเส้นที่โดดเด่นของรูปสามเหลี่ยมคือ:

ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์ของสามเหลี่ยมคือจุดตัดกันของความสูง

และศูนย์กลางสามเหลี่ยมคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง

จุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมคือจุดตัดของค่ามัธยฐาน

เส้นรอบวง– เป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

เส้นตรงของออยเลอร์- นี่คือเส้นตรงที่มีจุดศูนย์ถ่วง จุดออร์โธเซนเตอร์ และจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบอยู่

สามเหลี่ยมมุมฉากแบ่งออก ให้รูปสามเหลี่ยมสามอันที่คล้ายกับอันนี้

หลังจากทำงานนี้ ฉันได้เรียนรู้มากมายเกี่ยวกับคุณสมบัติของสามเหลี่ยม งานนี้เกี่ยวข้องกับฉันในแง่ของการพัฒนาความรู้ในสาขาคณิตศาสตร์ ในอนาคตผมตั้งใจที่จะพัฒนาหัวข้อที่น่าสนใจนี้

อ้างอิง.

Kiselyov A.P. เรขาคณิตเบื้องต้น – อ.: การศึกษา, 2523.

Coxeter G.S., Greitzer S.L. การเผชิญหน้าครั้งใหม่กับเรขาคณิต

– อ.: เนากา, 1978.

ปราโซลอฟ วี.วี. ปัญหาในระนาบ – อ.: Nauka, 1986. – ตอนที่ 1.

ชาริกิน ไอ.เอฟ. ปัญหาเรขาคณิต: ระนาบ – อ.: เนากา, 1986.

Scanavi M.I. คณิตศาสตร์ ปัญหากับแนวทางแก้ไข – รอสตอฟ-ออน-ดอน: ฟีนิกซ์, 1998.

Berger M. Geometry ในสองเล่ม - M: Mir, 1984

เนื้อหา

บทนำ…………………………………………………………………………………3

บทที่ 1

1.2. 1.1 สามเหลี่ยม………………………………………………………………………..4

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

1.4. ความสูงในรูปสามเหลี่ยม

บทสรุป

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

การแนะนำ

เรขาคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขต่างๆ และคุณสมบัติของพวกมัน เรขาคณิตเริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยม เป็นเวลาสองพันปีครึ่งที่สามเหลี่ยมนี้เป็นสัญลักษณ์ของเรขาคณิต แต่มันไม่ได้เป็นเพียงสัญลักษณ์เท่านั้น สามเหลี่ยมยังเป็นอะตอมของเรขาคณิตอีกด้วย

ในงานของฉัน ฉันจะพิจารณาคุณสมบัติของจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน และความสูงของรูปสามเหลี่ยม และพูดถึงคุณสมบัติที่น่าทึ่งและเส้นของรูปสามเหลี่ยม

ประเด็นดังกล่าวที่เรียนในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน ได้แก่ :

ก) จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง (ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้)

b) จุดตัดของเส้นตั้งฉากเส้นแบ่งครึ่ง (ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ)

c) จุดตัดของความสูง (ออร์โธเซ็นเตอร์)

d) จุดตัดของค่ามัธยฐาน (เซนทรอยด์)

ความเกี่ยวข้อง: เพิ่มพูนความรู้ของคุณเกี่ยวกับสามเหลี่ยมคุณสมบัติของมันจุดที่ยอดเยี่ยม

เป้า: การสำรวจสามเหลี่ยมจนถึงจุดที่น่าทึ่งกำลังศึกษาพวกเขาการจำแนกประเภทและคุณสมบัติ

งาน:

1. สำรวจ วรรณกรรมที่จำเป็น

2. ศึกษาการจำแนกจุดน่าทึ่งของรูปสามเหลี่ยม

3. สามารถสร้างจุดสามเหลี่ยมที่โดดเด่นได้

4. สรุปเนื้อหาที่ศึกษาเพื่อการออกแบบหนังสือเล่มเล็ก

สมมติฐานโครงการ:

ความสามารถในการค้นหาจุดที่น่าทึ่งในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ช่วยให้คุณสามารถแก้ปัญหาการก่อสร้างทางเรขาคณิตได้

บทที่ 1 ข้อมูลทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับจุดน่าทึ่งของสามเหลี่ยม

ในหนังสือเล่มที่สี่ของ Elements Euclid แก้ปัญหา: "การจารึกวงกลมไว้ในรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด" ตามมาจากวิธีแก้ปัญหาที่เส้นแบ่งครึ่งทั้งสามของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ จากการแก้ปัญหาแบบยุคลิดอีกข้อหนึ่ง เส้นตั้งฉากที่กลับคืนสู่ด้านข้างของสามเหลี่ยมที่จุดกึ่งกลางของพวกมันก็ตัดกันที่จุดหนึ่งเช่นกัน นั่นคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จำกัดขอบเขต องค์ประกอบไม่ได้บอกว่าระดับความสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งเรียกว่าออร์โธเซ็นเตอร์ (คำภาษากรีก "ออร์โธส" แปลว่า "ตรง" "ถูกต้อง") อย่างไรก็ตาม ข้อเสนอนี้เป็นที่รู้จักของอาร์คิมิดีส ปัปปุส และโพรคลัส

จุดเอกพจน์ที่สี่ของรูปสามเหลี่ยมคือจุดตัดของค่ามัธยฐาน อาร์คิมิดีสพิสูจน์ให้เห็นว่าเป็นจุดศูนย์ถ่วง (แบรีเซ็นเตอร์) ของรูปสามเหลี่ยม สี่ประเด็นข้างต้นได้รับการแก้ไขแล้ว ความสนใจเป็นพิเศษและตั้งแต่ศตวรรษที่ 18 เป็นต้นมา จุดเหล่านี้ถูกเรียกว่าจุด "โดดเด่น" หรือ "พิเศษ" ของรูปสามเหลี่ยม

การศึกษาคุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องกับจุดเหล่านี้และจุดอื่น ๆ ถือเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการสร้างสาขาวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้นสาขาใหม่ - "เรขาคณิตสามเหลี่ยม" หรือ "เรขาคณิตสามเหลี่ยมใหม่" ซึ่งหนึ่งในผู้ก่อตั้งคือ Leonhard Euler ในปี ค.ศ. 1765 ออยเลอร์ได้พิสูจน์ว่าในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ แบรีเซ็นเตอร์ และศูนย์กลางเส้นรอบวงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งต่อมาเรียกว่า "เส้นตรงออยเลอร์"

สามเหลี่ยม - รูปทรงเรขาคณิตประกอบด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน และสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่กัน คะแนน -ยอดเขา สามเหลี่ยมส่วน -ด้านข้าง สามเหลี่ยม.

ใน A, B, C - จุดยอด

AB, BC, SA - ด้านข้าง

เอ ซี

สามเหลี่ยมแต่ละอันมีจุดสี่จุดที่เกี่ยวข้องกัน:

จุดตัดของค่ามัธยฐาน

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง

จุดตัดกันของความสูง

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

1.2. 1.1 สามเหลี่ยม………………………………………………………………………..4

เมดินาของสามเหลี่ยม - , เชื่อมต่อจุดยอด จากตรงกลางของฝั่งตรงข้าม (ภาพที่ 1) จุดที่ค่ามัธยฐานตัดกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าฐานของค่ามัธยฐาน

รูปที่ 1 ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

มาสร้างจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสามเหลี่ยมแล้ววาดส่วนที่เชื่อมต่อแต่ละจุดยอดกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามกัน ส่วนดังกล่าวเรียกว่าค่ามัธยฐาน

และอีกครั้งที่เราสังเกตเห็นว่าส่วนเหล่านี้ตัดกันที่จุดหนึ่ง หากเราวัดความยาวของส่วนค่ามัธยฐานผลลัพธ์ เราสามารถตรวจสอบคุณสมบัติได้อีกอย่างหนึ่ง: จุดตัดของค่ามัธยฐานจะแบ่งค่ามัธยฐานทั้งหมดออกเป็นอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด แต่สามเหลี่ยมซึ่งวางอยู่บนปลายเข็ม ณ จุดตัดของค่ามัธยฐาน กลับอยู่ในสภาวะสมดุล! จุดที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าจุดศูนย์ถ่วง (แบรีเซ็นเตอร์) จุดศูนย์กลางของมวลเท่ากันบางครั้งเรียกว่าเซนทรอยด์ ดังนั้น คุณสมบัติของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมสามารถกำหนดได้ดังนี้ ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดศูนย์ถ่วงและหารด้วยจุดตัดกันในอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด

1.3. เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

แบ่งครึ่ง เรียกว่า เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ลากจากจุดยอดของมุมถึงจุดตัดกับด้านตรงข้าม รูปสามเหลี่ยมมีเส้นแบ่งครึ่งสามเส้นที่สัมพันธ์กับจุดยอดทั้งสาม (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 เส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยม ABC ตามอำเภอใจ เราวาดเส้นแบ่งครึ่งของมุมของมัน และอีกครั้ง ด้วยโครงสร้างที่แน่นอน เส้นแบ่งครึ่งทั้งสามจะตัดกันที่จุด D จุด D ก็ไม่ธรรมดาเช่นกัน โดยมีระยะห่างจากด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการลดตั้งฉาก DA 1, DB 1 และ DC1 ลงไปที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ทั้งหมดมีค่าเท่ากัน: DA1=DB1=DC1

หากคุณวาดวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด D และมีรัศมี DA 1 วงกลมนั้นจะสัมผัสทั้งสามด้านของสามเหลี่ยม (นั่นคือ จะมีจุดร่วมเพียงจุดเดียวในแต่ละจุด) วงกลมดังกล่าวเรียกว่าถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมจะตัดกันที่ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ความสูงของรูปสามเหลี่ยม - , หล่นลงมาจากด้านบน ไปทางฝั่งตรงข้ามหรือเป็นเส้นตรงที่ขนานกับฝั่งตรงข้าม ขึ้นอยู่กับประเภทของรูปสามเหลี่ยม ความสูงอาจมีอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม (สำหรับ สามเหลี่ยม) ตรงกับด้านของมัน (เป็น สามเหลี่ยม) หรือผ่านออกไปนอกสามเหลี่ยมที่สามเหลี่ยมป้าน (รูปที่ 3)

รูปที่ 3 ความสูงในรูปสามเหลี่ยม

หากคุณสร้างระดับความสูงสามจุดในรูปสามเหลี่ยม จุดทั้งหมดจะตัดกันที่จุด H จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ (รูปที่ 4)

เมื่อใช้โครงสร้าง คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าออร์โธเซ็นเตอร์นั้นอยู่ในตำแหน่งที่แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับประเภทของสามเหลี่ยม:

สำหรับสามเหลี่ยมเฉียบพลัน - ด้านใน;

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า - บนด้านตรงข้ามมุมฉาก;

สำหรับมุมป้านจะอยู่ด้านนอก

รูปที่ 4 ศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของรูปสามเหลี่ยม

ดังนั้นเราจึงได้คุ้นเคยกับจุดที่น่าทึ่งอีกจุดหนึ่งของสามเหลี่ยม และเราสามารถพูดได้ว่า: ความสูงของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์

1.5. เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนคือเส้นตั้งฉากกับส่วนที่กำหนดและผ่านจุดกึ่งกลาง

ลองวาดรูปสามเหลี่ยม ABC ตามใจชอบแล้ววาดเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากไปด้านข้าง หากดำเนินการก่อสร้างอย่างถูกต้อง เส้นตั้งฉากทั้งหมดจะตัดกันที่จุดหนึ่ง - จุด O จุดนี้อยู่ห่างจากจุดยอดทั้งหมดของสามเหลี่ยมเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณวาดวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O โดยผ่านจุดยอดจุดหนึ่งของสามเหลี่ยม วงกลมก็จะผ่านจุดยอดอีกสองจุดด้วย

วงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่า วงกลมล้อมรอบมัน ดังนั้น คุณสมบัติที่กำหนดไว้ของรูปสามเหลี่ยมสามารถกำหนดได้ดังนี้: เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่ศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นรอบวง (รูปที่ 5)

รูปที่ 5. สามเหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลม

บทที่ 2 ศึกษาจุดน่าทึ่งของสามเหลี่ยม

ศึกษาความสูงในรูปสามเหลี่ยม

ระดับความสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดออร์โธเซนเตอร์ของรูปสามเหลี่ยม

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมจะอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมอย่างเคร่งครัด

ดังนั้นจุดตัดของความสูงจึงอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมด้วย

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ระดับความสูงสองระดับตรงกับด้านข้าง (นี่คือความสูงที่ดึงจากจุดยอดของมุมแหลมถึงขา)

ระดับความสูงที่ลากไปทางด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม

AC คือความสูงที่ดึงจากจุดยอด C ถึงด้าน AB

AB คือความสูงที่ลากจากจุดยอด B ไปยังด้าน AC

AK - ความสูงที่ลากจากจุดยอด มุมขวาและด้านตรงข้ามมุมฉาก BC

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากตัดกันที่จุดยอดของมุมขวา (A คือจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์)

ในรูปสามเหลี่ยมป้าน ภายในรูปสามเหลี่ยมจะมีระดับความสูงเพียงระดับความสูงเดียว ซึ่งเป็นระดับความสูงที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมป้าน

ระดับความสูงอีกสองระดับความสูงอยู่นอกรูปสามเหลี่ยมและถูกลดระดับลงไปจนถึงด้านต่อเนื่องของรูปสามเหลี่ยม

AK คือความสูงที่ลากไปทางด้าน BC

BF - ความสูงที่ลากไปยังความต่อเนื่องของด้าน AC

CD คือความสูงที่ลากไปต่อจากด้าน AB

จุดตัดของความสูงของรูปสามเหลี่ยมป้านก็อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน:

H คือจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของสามเหลี่ยม ABC

ศึกษาเส้นแบ่งครึ่งในรูปสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมเป็นส่วนหนึ่งของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของรูปสามเหลี่ยม (รังสี) ที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งทั้งสามของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งในรูปสามเหลี่ยมแหลม ป้าน และสามเหลี่ยมมุมฉากคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมและตั้งอยู่ด้านใน

การศึกษาค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยม

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมีจุดยอด 3 จุดและมีด้าน 3 ด้าน จึงมี 3 ส่วนเชื่อมต่อจุดยอดกับตรงกลางของด้านตรงข้ามด้วย

เมื่อตรวจสอบสามเหลี่ยมเหล่านี้แล้ว ฉันพบว่าในสามเหลี่ยมใดๆ ค่ามัธยฐานตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม

การศึกษาเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านของสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก ของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตั้งฉากที่ลากไปยังกึ่งกลางด้านของรูปสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสามเส้นของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งและเป็นศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลม

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลันนั้นอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมนั้น ในมุมป้าน - นอกรูปสามเหลี่ยม; ในรูปสี่เหลี่ยม - ตรงกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก

บทสรุป

ในระหว่างการทำงาน เราได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้:

บรรลุเป้าหมาย:สำรวจสามเหลี่ยมแล้วพบจุดที่น่าทึ่ง

งานที่ได้รับมอบหมายได้รับการแก้ไขแล้ว:

1). เราศึกษาวรรณกรรมที่จำเป็น

2). เราศึกษาการจำแนกจุดน่าทึ่งของรูปสามเหลี่ยม

3). เราเรียนรู้วิธีสร้างจุดสามเหลี่ยมอันมหัศจรรย์

4) เราสรุปเนื้อหาที่ศึกษาสำหรับการออกแบบหนังสือเล่มเล็ก

สมมติฐานที่ว่าความสามารถในการค้นหาจุดน่าทึ่งของสามเหลี่ยมช่วยในการแก้ไขปัญหาการก่อสร้างได้รับการยืนยันแล้ว

งานนี้ได้สรุปเทคนิคต่างๆ ในการสร้างจุดที่น่าทึ่งของรูปสามเหลี่ยมอย่างสม่ำเสมอ ข้อมูลทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับโครงสร้างทางเรขาคณิต

ข้อมูลจากงานนี้อาจเป็นประโยชน์ในบทเรียนเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 หนังสือเล่มเล็กสามารถเป็นหนังสืออ้างอิงเกี่ยวกับเรขาคณิตในหัวข้อที่นำเสนอได้

อ้างอิง

หนังสือเรียน- แอล.เอส. Atanasyan “เกรดเรขาคณิต 7-9ความจำเสื่อม, 2015.

Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

พอร์ทัลสการ์เล็ตเซลส์

เป็นผู้นำ พอร์ทัลการศึกษารัสเซีย http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157

ในบทนี้เราจะดูจุดมหัศจรรย์สี่จุดของสามเหลี่ยม ให้เราพิจารณารายละเอียดสองข้อนี้โดยละเอียด จำข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่สำคัญและแก้ปัญหาได้ ให้เราจดจำและอธิบายลักษณะของอีกสองคนที่เหลือ

เรื่อง:ทบทวนหลักสูตรเรขาคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

บทเรียน: จุดอัศจรรย์สี่จุดของสามเหลี่ยม

ประการแรกรูปสามเหลี่ยมคือสามส่วนและสามมุม ดังนั้นคุณสมบัติของส่วนและมุมจึงเป็นพื้นฐาน

กำหนดให้เซ็กเมนต์ AB ส่วนใดๆ มีจุดกึ่งกลาง และสามารถลากเส้นตั้งฉากผ่านมันได้ - แสดงว่ามันเป็น p ดังนั้น p คือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

ทฤษฎีบท (คุณสมบัติหลักของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก)

จุดใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากจะมีระยะห่างจากปลายของส่วนนั้นเท่ากัน

พิสูจน์ว่า

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสามเหลี่ยมและ (ดูรูปที่ 1) พวกมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเท่ากันเพราะว่า มีขาร่วมกัน OM และขา AO และ OB เท่ากันตามเงื่อนไข ดังนั้นเราจึงมีสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันซึ่งเท่ากันในสองขา ตามมาว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมก็เท่ากันเช่นกัน นั่นคือสิ่งที่ต้องพิสูจน์

ข้าว. 1

ทฤษฎีบทสนทนาเป็นจริง

ทฤษฎีบท

แต่ละจุดที่ห่างจากปลายส่วนนั้นเท่ากันจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนี้

เมื่อกำหนดเซ็กเมนต์ AB ซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับ p โดยมีจุด M มีระยะห่างเท่ากันจากปลายเซ็กเมนต์ (ดูรูปที่ 2)

พิสูจน์ว่าจุด M อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนนั้น

ข้าว. 2

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสามเหลี่ยม เป็นหน้าจั่วตามเงื่อนไข พิจารณาค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม โดยจุด O คือจุดกึ่งกลางของฐาน AB, OM คือค่ามัธยฐาน ตามคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ค่ามัธยฐานที่ลากไปที่ฐานนั้นเป็นทั้งระดับความสูงและเส้นแบ่งครึ่ง เป็นไปตามนั้น. แต่เส้นตรง p ก็ตั้งฉากกับ AB เช่นกัน เรารู้ว่าที่จุด O คุณสามารถวาดเส้นตั้งฉากกับส่วน AB ได้ ซึ่งหมายความว่าเส้น OM และ p ตรงกัน จากนั้นจุด M อยู่ในเส้นตรง p ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์

หากจำเป็นต้องอธิบายวงกลมรอบส่วนใดส่วนหนึ่ง ก็สามารถทำได้ และมีวงกลมดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน แต่จุดศูนย์กลางของแต่ละวงกลมจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนั้น

พวกเขาบอกว่าเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากปลายของเซ็กเมนต์เท่ากัน

สามเหลี่ยมประกอบด้วยสามส่วน ให้เราวาดเส้นตั้งฉากแบบสองภาคให้กับสองตัวนั้นแล้วหาจุด O ของจุดตัดกัน (ดูรูปที่ 3)

จุด O เป็นของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้าน BC ของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่ามันอยู่ห่างจากจุดยอด B และ C เท่ากัน ลองแสดงว่าระยะนี้เป็น R:

นอกจากนี้ จุด O ยังตั้งอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วน AB เช่น ในเวลาเดียวกันจากที่นี่

ดังนั้น จุด O ของจุดตัดของจุดกึ่งกลางสองจุด

ข้าว. 3

เส้นตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยมนั้นมีระยะห่างจากจุดยอดเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามันอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งที่สามตั้งฉากด้วย

เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสำคัญซ้ำแล้วซ้ำเล่า

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสามเส้นของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลม

ดังนั้นเราจึงดูจุดที่น่าทึ่งจุดแรกของสามเหลี่ยม - จุดตัดของเส้นตั้งฉากแบบสองด้านของมัน

เรามาดูคุณสมบัติของมุมใดก็ได้ (ดูรูปที่ 4)

ให้ค่ามุม โดยเส้นแบ่งครึ่งคือ AL จุด M อยู่บนเส้นแบ่งครึ่ง

ข้าว. 4

ถ้าจุด M อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม มันจะอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมนั้นเท่ากัน นั่นคือระยะทางจากจุด M ถึง AC และถึง BC ของด้านข้างของมุมนั้นเท่ากัน

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสามเหลี่ยมและ พวกนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และพวกมันเท่ากันเพราะ... มีด้านตรงข้ามมุมฉากร่วมกัน AM และมุมเท่ากัน เนื่องจาก AL คือเส้นแบ่งครึ่งของมุม ดังนั้น สามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากันในด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม ซึ่งเป็นไปตามนั้น ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ ดังนั้น จุดบนเส้นแบ่งครึ่งของมุมจึงมีระยะห่างจากด้านข้างของมุมนั้นเท่ากัน

ทฤษฎีบทสนทนาเป็นจริง

ทฤษฎีบท

หากจุดหนึ่งอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมที่ยังไม่ได้รับการพัฒนาเท่ากัน จุดนั้นจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมัน (ดูรูปที่ 5)

ให้มุมที่ยังไม่พัฒนาจุด M เพื่อให้ระยะห่างจากมุมนั้นถึงด้านข้างของมุมเท่ากัน

พิสูจน์ว่าจุด M อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม

ข้าว. 5

การพิสูจน์:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของเส้นตั้งฉาก จากจุด M เราวาดเส้นตั้งฉาก MK ไปยังด้าน AB และ MR ไปยังด้าน AC

พิจารณารูปสามเหลี่ยมและ พวกนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และพวกมันเท่ากันเพราะ... มีด้านตรงข้ามมุมฉากร่วมกัน AM ขา MK และ MR เท่ากันตามเงื่อนไข ดังนั้น สามเหลี่ยมมุมฉากจะมีด้านตรงข้ามมุมฉากและขาเท่ากัน จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นไปตามความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบที่สอดคล้องกัน มุมเท่ากัน, ดังนั้น, ดังนั้นจุด M จึงอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่กำหนด

หากคุณต้องการเขียนวงกลมในมุมหนึ่ง ก็สามารถทำได้ และมีวงกลมดังกล่าวมากมายนับไม่ถ้วน แต่จุดศูนย์กลางของพวกมันอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่กำหนด

ว่ากันว่าเส้นแบ่งครึ่งคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน

สามเหลี่ยมประกอบด้วยสามมุม มาสร้างเส้นแบ่งครึ่งของพวกมันสองตัวแล้วหาจุด O ของจุดตัดกัน (ดูรูปที่ 6)

จุด O อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม ซึ่งหมายความว่ามีระยะห่างจากด้าน AB และ BC เท่ากัน เราจะแทนค่าระยะทางเป็น r: นอกจากนี้ จุด O อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม ซึ่งหมายความว่าจากด้าน AC และ BC มีระยะห่างเท่ากัน: , , จากจุดนี้

สังเกตได้ง่ายว่าจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งนั้นอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมที่สามเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามันอยู่

ข้าว. 6

เส้นแบ่งครึ่งมุม ดังนั้น เส้นแบ่งครึ่งทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจึงตัดกันที่จุดหนึ่ง

ดังนั้นเราจึงจำข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่สำคัญอีกข้อหนึ่งได้

เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ดังนั้นเราจึงดูจุดที่น่าทึ่งจุดที่สองของสามเหลี่ยม - จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง

เราตรวจสอบเส้นแบ่งครึ่งของมุมและสังเกตคุณสมบัติที่สำคัญของมัน: จุดของเส้นแบ่งครึ่งนั้นอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน นอกจากนี้ ส่วนแทนเจนต์ที่ลากไปยังวงกลมจากจุดหนึ่งนั้นเท่ากัน

ให้เราแนะนำสัญกรณ์บางอย่าง (ดูรูปที่ 7)

ให้เราแสดงส่วนแทนเจนต์ที่เท่ากันด้วย x, y และ z ด้าน BC ที่อยู่ตรงข้ามจุดยอด A ถูกกำหนดให้เป็น a เช่นเดียวกับ AC เป็น b, AB เป็น c

ข้าว. 7

ปัญหาที่ 1: ในรูปสามเหลี่ยม จะทราบค่ากึ่งเส้นรอบรูปและความยาวของด้าน a ค้นหาความยาวของแทนเจนต์ที่ดึงมาจากจุดยอด A - AK ซึ่งเขียนแทนด้วย x

เห็นได้ชัดว่าสามเหลี่ยมนั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์และมีสามเหลี่ยมดังกล่าวอยู่มากมาย แต่ปรากฎว่ามีองค์ประกอบบางอย่างที่เหมือนกัน

สำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับวงกลมภายใน สามารถเสนอวิธีการแก้ไขได้ดังต่อไปนี้:

1. วาดเส้นแบ่งครึ่งและรับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

2. จากจุดศูนย์กลาง O วาดเส้นตั้งฉากไปด้านข้างและรับจุดสัมผัส

3. ทำเครื่องหมายแทนเจนต์เท่ากัน

4. เขียนความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมกับเส้นสัมผัสกัน

สี่ประเด็นที่น่าสังเกต

สามเหลี่ยม

เรขาคณิต

ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

ซาคาโรวา นาตาเลีย อิวานอฟนา

โรงเรียนมัธยม MBOU หมายเลข 28 ของ Simferopol

จุดตัดของค่ามัธยฐานสามเหลี่ยม
จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม
จุดตัดของความสูงของสามเหลี่ยม
จุดตัดของค่ามัธยฐานตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐาน (BD)ของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

ค่ามัธยฐานสามเหลี่ยมตัดกัน ณ จุดหนึ่ง (จุดศูนย์ถ่วงสามเหลี่ยม) และหารด้วยจุดนี้ในอัตราส่วน 2: 1 โดยนับจากจุดยอด

บิเซคเตอร์

เส้นแบ่งครึ่ง (AD)ของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ∟ BAD = ∟CAD.

ทุกจุด แบ่งครึ่งมุมที่ยังไม่ได้พัฒนาจะมีระยะห่างจากด้านข้างเท่ากัน

กลับ: ทุกจุดที่อยู่ในมุมหนึ่งและมีระยะห่างเท่ากันจากด้านข้างของมุมนั้นอยู่บนจุดนั้น แบ่งครึ่ง

เส้นแบ่งครึ่งทั้งหมดสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของสิ่งที่จารึกไว้ เป็นรูปสามเหลี่ยม วงกลม

รัศมีของวงกลม (OM) เป็นเส้นตั้งฉากทอดยาวจากจุดศูนย์กลาง (TO) ไปยังด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

ความสูง

ส่วนสูง (ซีดี)ของรูปสามเหลี่ยม คือ ส่วนตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปบนเส้นที่มีด้านตรงข้าม

ไฮท์สสามเหลี่ยม (หรือส่วนขยาย) ตัดกัน ในหนึ่งเดียว จุด.

ตั้งฉากตรงกลาง

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (DF)เรียกว่าเส้นตรงตั้งฉากกับด้านสามเหลี่ยมแล้วหารครึ่ง

ทุกจุด เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก(m) ไปยังส่วนที่มีระยะห่างเท่ากันจากปลายส่วนนี้

กลับ: ทุกจุดที่อยู่ห่างจากปลายแต่ละส่วนเท่ากันจะอยู่ที่จุดกึ่งกลาง ตั้งฉากถึงเขา

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งหมดของด้านข้างของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของสิ่งที่อธิบายไว้ ใกล้รูปสามเหลี่ยม วงกลม .

รัศมีของเส้นรอบวงคือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงจุดยอดใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม (OA)

หน้าหนังสือ 177 ฉบับที่ 675 (รูปวาด)

การบ้าน

หน้า 173 § 3 คำจำกัดความและทฤษฎีบท หน้า 177 หมายเลข 675 (จบ)