ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วง X อนุพันธ์ฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x o เรียกว่าลิมิต
=
.
ถ้าจำกัดขนาดนี้ มีจำกัด,จากนั้นจึงเรียกฟังก์ชัน f(x) หาความแตกต่างได้ตรงจุด x โอ- ยิ่งกว่านั้น ปรากฎว่าจำเป็นต้องต่อเนื่องกัน ณ จุดนี้
หากขีดจำกัดที่พิจารณาเท่ากับ (หรือ - ) ให้ถือว่าฟังก์ชันอยู่ที่จุดนั้น เอ็กซ์ โอมีความต่อเนื่อง เราจะบอกว่าฟังก์ชัน f(x) มี ณ จุดนั้น เอ็กซ์ โอ อนุพันธ์อนันต์.
อนุพันธ์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์
y , f (x o), , .
การหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชั่น ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ก็คืออนุพันธ์คือ ความลาดชันสัมผัสเส้นโค้ง y=f(x) ที่จุดที่กำหนด เอ็กซ์ โอ ; ความหมายทางกายภาพ -คืออนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาคือความเร็วชั่วขณะของจุดที่เคลื่อนที่ไป การเคลื่อนไหวตรง s = s(t) ณ เวลา t o
ถ้า กับ - จำนวนคงที่และ u = u(x), v = v(x) ก็เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ กฎต่อไปนี้ความแตกต่าง:
1) (ค) " = 0, (ลูกบาศ์ก) " = ลูกบาศ์ก";
2) (ยู+วี)" = ยู"+วี";
3) (ยูวี)" = ยู"วี+วี"ยู;
4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;
5) ถ้า y = f(u), u = (x) เช่น y = ฉ((x)) - ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนหรือ การซ้อนทับประกอบด้วยฟังก์ชันหาอนุพันธ์ และ f จากนั้น , หรือ
6) ถ้าสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) มีฟังก์ชันหาอนุพันธ์แบบผกผัน x = g(y) และ 0 แล้ว
ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของอนุพันธ์และกฎของการสร้างความแตกต่าง คุณสามารถรวบรวมรายการอนุพันธ์แบบตารางของฟังก์ชันพื้นฐานหลักได้
1. (คุณ )" = คุณ 1 คุณ" ( ร).
2. (คุณ)" = คุณ lna คุณ".
3. (อี ยู)" = อี ยู".
4. (log a u)" = u"/(u ln a)
5. (คุณ)" = คุณ"/u.
6. (บาป u)" = cos u u".
7. (เพราะคุณ)" = - บาป คุณ คุณ".
8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".
9. (ctg u)" = - u" / บาป 2 คุณ.
10. (อาร์คซิน u)" = u" / .
11. (อาร์คคอส u)" = - u" / .
12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).
13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).
ลองคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์กำลัง-เลขชี้กำลัง y=u v , (u>0) โดยที่ คุณและ โวลต์สาระสำคัญของฟังก์ชันจาก เอ็กซ์มีอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด คุณ",วี".
เมื่อหาลอการิทึมของความเท่าเทียมกัน y=u v เราจะได้ ln y = v ln u
การเทียบอนุพันธ์ด้วยความเคารพ เอ็กซ์จากทั้งสองด้านของผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันโดยใช้กฎ 3, 5 และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมเราจะได้:
y"/y = vu"/u +v" ln u, ที่ไหน y" = y (vu"/u +v" ln u)
(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.
ตัวอย่างเช่น ถ้า y = x sin x แล้ว y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x)
ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น x, เช่น. มีอนุพันธ์จำกัด ณ จุดนี้ คุณ"จากนั้น = y"+ โดยที่ 0 ที่ х 0; ดังนั้น y = y" х + x
ส่วนหลักของการเพิ่มฟังก์ชันซึ่งเป็นเส้นตรงเทียบกับ x เรียกว่า ส่วนต่าง ฟังก์ชั่นและเขียนแทนด้วย dy: dy = y" х หากเราใส่ y=x ในสูตรนี้ เราจะได้ dx = x"х = 1х =х ดังนั้น dy=y"dx นั่นคือสัญลักษณ์ สำหรับสัญกรณ์อนุพันธ์สามารถมองเป็นเศษส่วนได้
การเพิ่มฟังก์ชัน ยคือการเพิ่มขึ้นของพิกัดของเส้นโค้ง และส่วนต่าง d ยคือการเพิ่มลำดับของแทนเจนต์
ให้เราค้นหาฟังก์ชัน y=f(x) อนุพันธ์ของมัน y = f (x) อนุพันธ์ของอนุพันธ์นี้เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสอง ฟังก์ชัน f(x) หรืออนุพันธ์อันดับสอง 
.
และถูกกำหนดไว้
ต่อไปนี้ถูกกำหนดและกำหนดในลักษณะเดียวกัน:
-
,
อนุพันธ์อันดับสาม
อนุพันธ์อันดับสี่ - และโดยทั่วไป
-
.
อนุพันธ์ลำดับที่ n.15. ตัวอย่างที่ 3
คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=(3x 3 -2x+1)sin xสารละลาย.
ตามกฎข้อที่ 3 y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1)คอส x 3.16 ตัวอย่าง
คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=(3x 3 -2x+1)sin x- ค้นหา y", y = tan x + 
=
.
อนุพันธ์ลำดับที่ n.17. เมื่อใช้กฎในการแยกผลรวมและผลหาร เราได้: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = +
คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=(3x 3 -2x+1)sin xค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน y= , u=x 4 +1 
.
ตามกฎการหาความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน เราจะได้: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u + เนื่องจาก u=x 4 +1 ดังนั้น (2x4+2+
วันที่: 20/11/2557
อนุพันธ์คืออะไร?
ตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดหลักคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น
- ในบทนี้เราจะแนะนำแนวคิดนี้ มาทำความรู้จักกันโดยไม่ต้องมีสูตรทางคณิตศาสตร์และการพิสูจน์ที่เข้มงวด
ความคุ้นเคยนี้จะช่วยให้คุณ:
เข้าใจสาระสำคัญของงานง่ายๆ ด้วยอนุพันธ์ แก้ไขปัญหาเหล่านี้ได้สำเร็จ;
งานที่ยากลำบาก
เตรียมบทเรียนที่จริงจังยิ่งขึ้นเกี่ยวกับอนุพันธ์
ประการแรก - เซอร์ไพรส์ที่น่ายินดี)
คำจำกัดความที่เข้มงวดของอนุพันธ์นั้นขึ้นอยู่กับทฤษฎีขีดจำกัดและสิ่งนี้ค่อนข้างซับซ้อน นี่เป็นเรื่องที่น่าหงุดหงิด แต่ตามกฎแล้วการประยุกต์ใช้อนุพันธ์ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องมีความรู้ที่กว้างขวางและลึกซึ้งเช่นนี้! แค่รู้ก็เพียงพอที่จะทำงานส่วนใหญ่ที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยให้สำเร็จเพียงไม่กี่เงื่อนไข - เพื่อทำความเข้าใจงานและกฎเพียงไม่กี่ข้อ
- เพื่อแก้ไขมัน นั่นคือทั้งหมดที่ นี่ทำให้ฉันมีความสุข
มาเริ่มทำความรู้จักกันดีกว่า?)
มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากมายในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา การบวก ลบ การคูณ การยกกำลัง ลอการิทึม ฯลฯ หากคุณเพิ่มการดำเนินการอีกหนึ่งรายการให้กับการดำเนินการเหล่านี้ คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาก็จะสูงขึ้น นี้ การดำเนินการใหม่เรียกว่า ความแตกต่างคำจำกัดความและความหมายของการดำเนินการนี้จะกล่าวถึงในบทเรียนที่แยกจากกัน
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจในที่นี้ว่าการสร้างความแตกต่างเป็นเพียงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชัน เรารับหน้าที่ใดๆ และตามนั้น กฎบางอย่างแปลงมัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเป็น คุณลักษณะใหม่- ฟังก์ชันใหม่นี้เรียกว่า: อนุพันธ์
ความแตกต่าง- การกระทำบนฟังก์ชัน
อนุพันธ์- ผลของการกระทำนี้
เช่นเดียวกับตัวอย่างเช่น ผลรวม- ผลลัพธ์ของการบวก หรือ ส่วนตัว- ผลการแบ่งส่วน
เมื่อรู้เงื่อนไขแล้วอย่างน้อยคุณก็สามารถเข้าใจงานได้) สูตรมีดังนี้: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน หาอนุพันธ์; แยกความแตกต่างของฟังก์ชัน คำนวณอนุพันธ์ฯลฯ นี่คือทั้งหมด หนึ่งสิ่งเดียวกันแน่นอนว่ายังมีงานที่ซับซ้อนกว่าด้วย โดยการค้นหาอนุพันธ์ (ความแตกต่าง) จะเป็นเพียงขั้นตอนหนึ่งในการแก้ปัญหา
อนุพันธ์จะแสดงด้วยเครื่องหมายขีดกลางที่มุมขวาบนของฟังก์ชัน แบบนี้: คุณ"หรือ ฉ"(x)หรือ ส"(ที)และอื่น ๆ
การอ่าน igrek จังหวะ, ef จังหวะจาก x, es จังหวะจาก te,เข้าใจแล้ว...)
ไพรม์ยังสามารถระบุอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะได้ เช่น (2x+3)", (x 3 )" , (บาป)"ฯลฯ อนุพันธ์มักจะแสดงโดยใช้ส่วนต่าง แต่เราจะไม่พิจารณาสัญลักษณ์ดังกล่าวในบทเรียนนี้
สมมติว่าเราได้เรียนรู้ที่จะเข้าใจงานต่างๆ สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหา) ฉันขอเตือนคุณอีกครั้ง: การค้นหาอนุพันธ์คือ การเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันตามกฎเกณฑ์บางประการน่าแปลกที่มีกฎเหล่านี้น้อยมาก
หากต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องรู้เพียงสามสิ่งเท่านั้น สามเสาหลักที่ตั้งอยู่บนความแตกต่างทั้งหมด นี่คือสามเสาหลักเหล่านี้:
1. ตารางอนุพันธ์ (สูตรความแตกต่าง)
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
มาเริ่มกันตามลำดับ ในบทนี้เราจะดูตารางอนุพันธ์
อนุพันธ์คืออะไร?
ในโลกนี้มีฟังก์ชันจำนวนอนันต์ ในบรรดาความหลากหลายนี้มีฟังก์ชันที่สำคัญที่สุดสำหรับ การประยุกต์ใช้จริง- ฟังก์ชั่นเหล่านี้พบได้ในกฎธรรมชาติทั้งหมด จากฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับจากอิฐ คุณสามารถสร้างฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดได้ คลาสของฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฟังก์ชันเบื้องต้นฟังก์ชั่นเหล่านี้ได้รับการศึกษาที่โรงเรียน - เชิงเส้น, สมการกำลังสอง, ไฮเปอร์โบลา ฯลฯ
ความแตกต่างของฟังก์ชัน "ตั้งแต่เริ่มต้น" เช่น จากคำจำกัดความของอนุพันธ์และทฤษฎีขีดจำกัด นี่เป็นสิ่งที่ต้องใช้แรงงานมาก และนักคณิตศาสตร์ก็เป็นคนเช่นกัน ใช่ ใช่!) ดังนั้น พวกเขาจึงทำให้ชีวิตของพวกเขา (และเรา) ง่ายขึ้น พวกเขาคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานที่อยู่ตรงหน้าเรา ผลลัพธ์ที่ได้คือตารางอนุพันธ์ซึ่งทุกอย่างพร้อมแล้ว)
นี่ครับ จานนี้ฟังก์ชั่นยอดนิยม ด้านซ้ายเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน ด้านขวาเป็นอนุพันธ์ของมัน
| การทำงาน ย |
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y คุณ" |
|
| 1 | C (ค่าคงที่) | ค" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | xn (n - หมายเลขใด ๆ ) | (x n)" = n x n-1 |
| x 2 (น = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | บาป x | (บาป x)" = cosx |
| เพราะ x | (cos x)" = - บาป x | |
| ทีจีเอ็กซ์ |  |
|
| ซีทีจี x |  |
|
| 5 | อาร์คซิน x |  |
| อาร์คคอส x |  |
|
| อาร์คแทน เอ็กซ์ |  |
|
| อาร์คซีจี x |  |
|
| 4 | ก x |  |
| จ x | ||
| 5 | บันทึก ก x |  |
| ใน x ( ก = อี) |
ฉันแนะนำให้ใส่ใจกับฟังก์ชันกลุ่มที่สามในตารางอนุพันธ์นี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลังเป็นหนึ่งในสูตรที่ใช้บ่อยที่สุด หากไม่ใช่สูตรที่ธรรมดาที่สุด! คุณได้รับคำใบ้หรือไม่?) ใช่ขอแนะนำให้รู้ตารางอนุพันธ์ด้วยใจ อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่เรื่องยากอย่างที่คิด ลองแก้ตัวอย่างเพิ่มเติมตารางจะจำได้!)
การค้นหาค่าตารางของอนุพันธ์ตามที่คุณเข้าใจไม่ใช่งานที่ยากที่สุด ดังนั้นบ่อยครั้งมากในงานดังกล่าวจึงมีชิปเพิ่มเติม ไม่ว่าจะในถ้อยคำของงานหรือในฟังก์ชั่นดั้งเดิมซึ่งดูเหมือนจะไม่มีอยู่ในตาราง...
ลองดูตัวอย่างบางส่วน:
1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x 3
ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตาราง แต่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังอยู่ มุมมองทั่วไป(กลุ่มที่สาม) ในกรณีของเรา n=3 ดังนั้นเราจึงแทนที่สามแทน n และจดผลลัพธ์อย่างระมัดระวัง:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
แค่นั้นแหละ.
คำตอบ: ย" = 3x 2
2. ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = sinx ที่จุด x = 0
งานนี้หมายความว่าคุณต้องหาอนุพันธ์ของไซน์ก่อน แล้วจึงแทนค่า x = 0ในอนุพันธ์นี้เอง ตามลำดับนั่นแหละ!มิฉะนั้นจะเกิดขึ้นว่าพวกเขาแทนที่ศูนย์ทันทีในฟังก์ชันดั้งเดิม... เราถูกขอให้ค้นหาไม่ใช่ค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม แต่เป็นค่า อนุพันธ์ของมันผมขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์คือฟังก์ชันใหม่
การใช้แท็บเล็ตเราจะค้นหาไซน์และอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง:
y" = (บาป x)" = cosx
เราแทนที่ศูนย์เป็นอนุพันธ์:
y"(0) = cos 0 = 1
นี่จะเป็นคำตอบ
3. สร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชัน:
มันเป็นแรงบันดาลใจอะไร?) ตารางอนุพันธ์ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าว
ผมขอเตือนคุณว่าการแยกแยะฟังก์ชันก็แค่หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ หากคุณลืมตรีโกณมิติเบื้องต้น การมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเราค่อนข้างยุ่งยาก โต๊ะไม่ได้ช่วยอะไร...
แต่ถ้าเราเห็นว่าหน้าที่ของเราคือ โคไซน์มุมคู่แล้วทุกอย่างจะดีขึ้นทันที!
ใช่ ใช่! จำไว้ว่าการแปลงฟังก์ชันดั้งเดิม ก่อนที่จะสร้างความแตกต่างค่อนข้างยอมรับได้! และมันก็ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก ใช้สูตรโคไซน์มุมคู่:
เหล่านั้น. ฟังก์ชั่นที่ยุ่งยากของเรานั้นไม่มีอะไรมากไปกว่า y = cosx- และนี่คือฟังก์ชันตาราง เราได้รับทันที:
คำตอบ: y" = - บาป x.
ตัวอย่างสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาระดับสูงและนักศึกษา:
4. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
แน่นอนว่าไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตารางอนุพันธ์ แต่ถ้าคุณจำคณิตศาสตร์เบื้องต้น การดำเนินการด้วยกำลัง... ก็เป็นไปได้ที่จะทำให้ฟังก์ชันนี้ง่ายขึ้น แบบนี้:
และ x ยกกำลัง 1/10 ก็เป็นฟังก์ชันตารางอยู่แล้ว! กลุ่มที่สาม n=1/10 เราเขียนโดยตรงตามสูตร:
แค่นั้นแหละ. นี่จะเป็นคำตอบ
ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจนกับเสาหลักแรกของความแตกต่าง - ตารางอนุพันธ์ ยังคงต้องจัดการกับวาฬสองตัวที่เหลืออยู่ ในบทต่อไป เราจะเรียนรู้กฎของการสร้างความแตกต่าง
การพิสูจน์และการได้มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง (e กำลัง x) และฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (a กำลัง x) ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ e^2x, e^3x และ e^nx สูตรอนุพันธ์ที่มีลำดับสูงกว่า
อนุพันธ์ของเลขชี้กำลังเท่ากับเลขชี้กำลังนั้นเอง (อนุพันธ์ของ e กำลัง x เท่ากับ e กำลัง x):
(1)
(เช่น x )′ = เช่น.
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเป็นระดับ a เท่ากับฟังก์ชันนั้นคูณด้วย ลอการิทึมธรรมชาติจาก:
(2)
.
ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง e กำลัง x
เลขยกกำลังคือ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งมีฐานเท่ากับจำนวน e ซึ่งเป็นขีดจำกัดต่อไปนี้
.
ในที่นี้อาจเป็นจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนจริงก็ได้ ต่อไปเราจะได้สูตร (1) สำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
ที่มาของสูตรอนุพันธ์เลขชี้กำลัง
พิจารณาเลขชี้กำลัง e กำลัง x:
ย = อีเอ็กซ์ .
ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกคน
(3)
.
ลองหาอนุพันธ์ของมันเทียบกับตัวแปร x กัน
ตามคำนิยาม อนุพันธ์มีขีดจำกัดดังต่อไปนี้:มาแปลงนิพจน์นี้เพื่อลดคุณสมบัติและกฎทางคณิตศาสตร์ที่ทราบกัน ในการดำเนินการนี้ เราจำเป็นต้องมีข้อเท็จจริงต่อไปนี้:
(4)
;
ก)คุณสมบัติเลขชี้กำลัง:
(5)
;
ข)คุณสมบัติของลอการิทึม:
(6)
.
ใน)
ความต่อเนื่องของลอการิทึมและคุณสมบัติของขีดจำกัดสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง:นี่คือฟังก์ชันที่มีขีดจำกัด และขีดจำกัดนี้เป็นค่าบวก
(7)
.
ช)
;
.
ความหมายของขีด จำกัด ที่น่าทึ่งประการที่สอง:
ลองใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้กับขีดจำกัดของเรา (3) เราใช้ทรัพย์สิน (4):
.
มาทำการทดแทนกันเถอะ
.
แล้ว ; -
.
เนื่องจากความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง
ดังนั้น เมื่อ , .
.
ลองใช้คุณสมบัติ (6) กัน เนื่องจากมีขีดจำกัดที่เป็นบวกและลอการิทึมมีความต่อเนื่อง ดังนั้น:
.
ในที่นี้ เรายังใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สอง (7) แล้ว
.
ดังนั้นเราจึงได้สูตร (1) สำหรับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
ที่มาของสูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ตอนนี้เราได้สูตร (2) สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานของดีกรี a
(8)
เราเชื่อเช่นนั้นและ.
แล้วฟังก์ชันเลขชี้กำลัง กำหนดสำหรับทุกคนมาแปลงสูตร (8) กัน สำหรับสิ่งนี้เราจะใช้
;
.
คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
.
และลอการิทึม
ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนสูตร (8) เป็นรูปแบบต่อไปนี้:
(14)
.
(1)
.
อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าของ e กำลัง x กำลัง
;
.
ตอนนี้เรามาดูอนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่ากัน ลองดูที่เลขชี้กำลังก่อน:
.
เราจะเห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (14) เท่ากับฟังก์ชัน (14) เอง การแยกความแตกต่าง (1) เราได้รับอนุพันธ์ของลำดับที่สองและสาม:
นี่แสดงว่าอนุพันธ์ลำดับที่ n ก็เท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิมด้วย:
.
อนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
(15)
.
ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเป็นระดับ a:
;
.
เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
.
การแยกความแตกต่าง (15) เราได้รับอนุพันธ์ของลำดับที่สองและสาม:.
เราเห็นว่าแต่ละความแตกต่างนำไปสู่การคูณของฟังก์ชันดั้งเดิมด้วย ดังนั้นอนุพันธ์ลำดับที่ n จึงมีรูปแบบดังนี้สร้างอัตราส่วนและคำนวณขีดจำกัด มันมาจากไหน?ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่าง - ขอบคุณขีดจำกัดเท่านั้น ดูเหมือนเป็นเวทมนตร์ แต่ในความเป็นจริงแล้ว มันเป็นการใช้มืออันชาญฉลาดและไม่มีการฉ้อโกง ในชั้นเรียนอนุพันธ์คืออะไร? ฉันเริ่มมองดูตัวอย่างเฉพาะ โดยที่เมื่อใช้คำจำกัดความ ฉันพบอนุพันธ์ของเชิงเส้นและฟังก์ชันกำลังสอง - เพื่อจุดประสงค์ในการอุ่นเครื่องทางปัญญา เราจะรบกวนต่อไปตารางอนุพันธ์
, สร้างเสริมอัลกอริธึมและ
เทคนิค โซลูชั่น:ตัวอย่างที่ 1
โดยพื้นฐานแล้วคุณต้องพิสูจน์กรณีพิเศษ
อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังซึ่งมักจะปรากฏในตาราง: สารละลายเป็นทางการทางเทคนิคในสองวิธี มาเริ่มกันด้วยวิธีแรกที่คุ้นเคยอยู่แล้ว: บันไดเริ่มต้นด้วยไม้กระดาน และฟังก์ชันอนุพันธ์เริ่มต้นด้วยอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง ลองพิจารณาดูบาง (เฉพาะ) จุดที่เป็นของขอบเขตของคำจำกัดความ
ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ให้เราตั้งค่าส่วนเพิ่ม ณ จุดนี้(แน่นอนว่าอยู่ในขอบเขต
โอ/โอ
-ฉัน) 
:
เทคนิคในการแก้ไขขีด จำกัด ดังกล่าวจะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียนเบื้องต้น เกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชัน.
เนื่องจากคุณสามารถเลือกจุดใดก็ได้ของช่วงเวลาเป็นคุณภาพ จากนั้นเมื่อทำการเปลี่ยนใหม่ เราจะได้รับ:
คำตอบ
มาชื่นชมยินดีกับลอการิทึมอีกครั้ง:
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้นิยามของอนุพันธ์
โดยพื้นฐานแล้วคุณต้องพิสูจน์: ลองพิจารณาแนวทางอื่นในการส่งเสริมงานเดียวกัน มันเหมือนกันทุกประการ แต่มีเหตุผลมากกว่าในแง่ของการออกแบบ แนวคิดคือกำจัดตัวห้อยที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหา และใช้ตัวอักษรแทนตัวอักษร
อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังซึ่งมักจะปรากฏในตาราง: โดยพลการจุดที่เป็นของ ลองพิจารณาดูฟังก์ชั่น (ช่วงเวลา) และตั้งค่าส่วนเพิ่มในนั้น แต่ที่นี่ เช่นเดียวกับในกรณีส่วนใหญ่ คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องสำรองใดๆ เนื่องจากฟังก์ชันลอการิทึมสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดใดก็ได้ในโดเมนของคำจำกัดความ
จากนั้นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่สอดคล้องกันคือ:
มาหาอนุพันธ์กัน:
ความเรียบง่ายของการออกแบบนั้นสมดุลกับความสับสนที่อาจเกิดขึ้นสำหรับผู้เริ่มต้น (และไม่เพียงเท่านั้น) ท้ายที่สุดเราคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าตัวอักษร "X" เปลี่ยนไปในขีด จำกัด! แต่ที่นี่ทุกอย่างแตกต่างออกไป: - รูปปั้นโบราณและ - ผู้มาเยือนที่มีชีวิตกำลังเดินไปตามทางเดินของพิพิธภัณฑ์อย่างกระฉับกระเฉง นั่นคือ "x" คือ "เหมือนค่าคงที่"
ฉันจะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการขจัดความไม่แน่นอนทีละขั้นตอน:
(1) เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึม
(2) ในวงเล็บ ให้หารตัวเศษด้วยเทอมของตัวส่วนทีละเทอม
(3) ในตัวส่วน เราจะคูณและหารด้วย "x" แบบเทียมเพื่อใช้ประโยชน์จาก ขีด จำกัด ที่น่าทึ่ง 
ในขณะที่ ไม่มีที่สิ้นสุดโดดเด่น
คำตอบ: ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์:
หรือเรียกสั้น ๆ ว่า:
ฉันเสนอให้สร้างสูตรตารางเพิ่มอีกสองสูตรด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 3
ใน ในกรณีนี้สะดวกในการลดส่วนเพิ่มที่คอมไพล์แล้วให้เป็นตัวส่วนร่วมทันที ตัวอย่างโดยประมาณทำงานที่ได้รับมอบหมายให้เสร็จสิ้นเมื่อสิ้นสุดบทเรียน (วิธีแรก)
ตัวอย่างที่ 3:โดยพื้นฐานแล้วคุณต้องพิสูจน์
: พิจารณาบางประเด็น
ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
- ให้เราตั้งค่าส่วนเพิ่ม ณ จุดนี้
และเขียนส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน:
ลองหาอนุพันธ์ ณ จุดนั้นกัน
:
ตั้งแต่เป็น
คุณสามารถเลือกจุดใดก็ได้
โดเมนฟังก์ชัน
, ที่
และ
คำตอบ
:
ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอนุพันธ์ตามคำจำกัดความ
และที่นี่ทุกอย่างจะต้องลดลงไป ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยม- การแก้ปัญหาเป็นทางการในวิธีที่สอง
อื่นๆ อีกจำนวนหนึ่ง อนุพันธ์แบบตาราง. รายการเต็มสามารถพบได้ในหนังสือเรียนของโรงเรียนหรือตัวอย่างเช่น Fichtenholtz เล่มที่ 1 ฉันไม่เห็นประโยชน์มากนักในการคัดลอกหลักฐานกฎการแยกความแตกต่างจากหนังสือ - กฎเหล่านี้สร้างขึ้นจากสูตรด้วย
ตัวอย่างที่ 4:โดยพื้นฐานแล้วคุณต้องพิสูจน์
ที่เป็นของ
และตั้งค่าส่วนเพิ่มในนั้น
มาหาอนุพันธ์กัน:
ใช้ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์
คำตอบ
:
ตามคำจำกัดความ
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้นิยามของอนุพันธ์
โดยพื้นฐานแล้วคุณต้องพิสูจน์: เราใช้รูปแบบการออกแบบแรก ลองพิจารณาบางจุดที่เป็นของ และระบุการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์นั้น จากนั้นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่สอดคล้องกันคือ:
บางทีผู้อ่านบางคนอาจยังไม่เข้าใจหลักการที่ต้องเพิ่มทีละขั้น ใช้จุด (ตัวเลข) แล้วค้นหาค่าของฟังก์ชันในนั้น: 
นั่นคือเข้าไปในฟังก์ชัน แทนควรแทนที่ "X" ตอนนี้เรายังหาจำนวนเฉพาะเจาะจงมากและแทนที่มันลงในฟังก์ชันด้วย แทน"อิกซ่า": . เราเขียนความแตกต่างไว้ และจำเป็น ใส่วงเล็บให้เรียบร้อย.
การเพิ่มฟังก์ชันที่คอมไพล์ มันจะมีประโยชน์ในการลดความซับซ้อนทันที- เพื่ออะไร? อำนวยความสะดวกและลดขนาดวิธีแก้ปัญหาให้เหลือขีดจำกัดเพิ่มเติม
เราใช้สูตร เปิดวงเล็บ และลดทุกอย่างที่สามารถลดได้: 
ไก่งวงควักไส้ออก ไม่มีปัญหากับการย่าง:
เนื่องจากเราสามารถเลือกจำนวนจริงใดๆ เป็นค่าได้ เราจึงทำการแทนที่และรับค่า 
.
คำตอบ: ตามคำจำกัดความ
เพื่อวัตถุประสงค์ในการตรวจสอบ เรามาค้นหาอนุพันธ์โดยใช้ กฎและตารางการแยกความแตกต่าง:
การทราบคำตอบที่ถูกต้องล่วงหน้าจะเป็นประโยชน์และน่ายินดีเสมอ ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะแยกแยะฟังก์ชันที่เสนอด้วยวิธีที่ "รวดเร็ว" ไม่ว่าจะเป็นทางจิตใจหรือแบบร่างในช่วงเริ่มต้นของการแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามนิยามของอนุพันธ์
นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- ผลลัพธ์ที่ได้ชัดเจน:
ตัวอย่างที่ 6:โดยพื้นฐานแล้วคุณต้องพิสูจน์
: พิจารณาบางประเด็น
ที่เป็นของ
และตั้งค่าส่วนเพิ่มของการโต้แย้งในนั้น
- จากนั้นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่สอดคล้องกันคือ:
มาคำนวณอนุพันธ์กัน:
ดังนั้น: 
เพราะอย่าง
คุณสามารถเลือกจำนวนจริงใดก็ได้
และ
คำตอบ
:
ตามคำจำกัดความ
กลับไปที่สไตล์ #2:
ตัวอย่างที่ 7
เรามาดูกันทันทีว่าจะเกิดอะไรขึ้น โดย กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
โดยพื้นฐานแล้วคุณต้องพิสูจน์: พิจารณาจุดใดก็ได้ที่เป็นของ ตั้งค่าส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์และเขียนส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน:
มาหาอนุพันธ์กัน: 
(1) การใช้งาน สูตรตรีโกณมิติ
.
(2) ใต้ไซน์เราเปิดวงเล็บ ใต้โคไซน์เราแสดงพจน์ที่คล้ายกัน
(3) ใต้ไซน์เราลดเทอม, ใต้โคไซน์เราหารตัวเศษด้วยเทอมตัวส่วนทีละเทอม
(4) เนื่องจากความแปลกของไซน์ เราจึงนำ "เครื่องหมายลบ" ออกไป ภายใต้โคไซน์เราระบุว่าคำว่า .
(5) เราทำการคูณเทียมในตัวส่วนเพื่อนำไปใช้ ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์ครั้งแรก- ดังนั้นความไม่แน่นอนจึงหมดไป เรามาจัดระเบียบผลลัพธ์กันดีกว่า
คำตอบ: ตามคำนิยาม
อย่างที่คุณเห็น ปัญหาหลักของปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของขีดจำกัด + เอกลักษณ์เล็กน้อยของบรรจุภัณฑ์ ในทางปฏิบัติ การออกแบบทั้งสองวิธีเกิดขึ้น ดังนั้นฉันจึงอธิบายทั้งสองวิธีอย่างละเอียดที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ พวกมันเทียบเท่ากัน แต่ในความรู้สึกส่วนตัวของฉัน แนะนำให้หุ่นจำลองยึดติดกับตัวเลือก 1 ด้วย "X-zero" มากกว่า
ตัวอย่างที่ 8
ใช้คำจำกัดความค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 8:โดยพื้นฐานแล้วคุณต้องพิสูจน์
: พิจารณาจุดใดจุดหนึ่ง
ที่เป็นของ
ให้เราตั้งค่าส่วนเพิ่มในนั้น
และเขียนส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน:
มาหาอนุพันธ์กัน:
เราใช้สูตรตรีโกณมิติ
และขีดจำกัดอันน่าทึ่งประการแรก:
คำตอบ
:
ตามคำจำกัดความ
ลองดูปัญหาในเวอร์ชันที่หายากกว่านี้:
ตัวอย่างที่ 9
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดโดยใช้นิยามของอนุพันธ์
ประการแรก อะไรคือสิ่งสำคัญที่สุด? ตัวเลข
ลองคำนวณคำตอบด้วยวิธีมาตรฐาน: 
โดยพื้นฐานแล้วคุณต้องพิสูจน์: จากมุมมองของความชัดเจน งานนี้ง่ายกว่ามาก เนื่องจากสูตรจะพิจารณาค่าเฉพาะแทน
มาตั้งค่าส่วนเพิ่มที่จุดและเขียนส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน:
ลองคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง:
เราใช้สูตรผลต่างแทนเจนต์ที่หายากมาก 
และอีกครั้งหนึ่งที่เราลดวิธีแก้ปัญหาลง ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์อันแรก:
คำตอบ: โดยนิยามของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง
ปัญหาไม่ใช่เรื่องยากที่จะแก้ไข "โดยทั่วไป" - ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่หรือขึ้นอยู่กับวิธีการออกแบบ ในกรณีนี้ ชัดเจนว่าผลลัพธ์จะไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นฟังก์ชันที่ได้รับ
ตัวอย่างที่ 10
ใช้คำจำกัดความค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
ณ จุดหนึ่ง (จุดหนึ่งอาจกลายเป็นอนันต์) ซึ่งฉันกำลังพูดถึง โครงร่างทั่วไปบอกไปแล้ว บทเรียนเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับอนุพันธ์.
ฟังก์ชันที่กำหนดทีละชิ้นบางฟังก์ชันยังสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด "ทางแยก" ของกราฟ เช่น catdog มีอนุพันธ์ร่วมและแทนเจนต์ร่วม (แกน x) ที่จุดนั้น เส้นโค้ง แต่หาอนุพันธ์ได้ด้วย ! ผู้ที่สนใจสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ด้วยตนเองโดยใช้ตัวอย่างที่เพิ่งแก้ไขได้
©2015-2019 เว็บไซต์
สิทธิ์ทั้งหมดเป็นของผู้เขียน ไซต์นี้ไม่ได้อ้างสิทธิ์ในการประพันธ์ แต่ให้ใช้งานฟรี
วันที่สร้างเพจ: 2017-06-11
ปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดเป็นหนึ่งในปัญหาหลักในวิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยมปลายและในระดับที่สูงขึ้น สถาบันการศึกษา- เป็นไปไม่ได้ที่จะสำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟโดยสมบูรณ์โดยไม่ต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันสามารถหาได้ง่ายหากคุณรู้กฎพื้นฐานของการหาอนุพันธ์ รวมถึงตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน ลองหาวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน
อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์
การทำความเข้าใจคำจำกัดความนี้ค่อนข้างยาก เนื่องจากแนวคิดเรื่องขีดจำกัด อย่างเต็มที่ไม่ได้เรียนที่โรงเรียน แต่เพื่อที่จะหาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นต่างๆไม่จำเป็นต้องเข้าใจคำจำกัดความ ปล่อยให้เป็นหน้าที่ของนักคณิตศาสตร์แล้วมุ่งตรงไปที่การหาอนุพันธ์
กระบวนการค้นหาอนุพันธ์เรียกว่าการสร้างความแตกต่าง เมื่อเราแยกฟังก์ชันเราจะได้ฟังก์ชันใหม่
เราจะใช้เพื่อแสดงถึงพวกเขา ตัวอักษรละตินฉ กรัม ฯลฯ
มีสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันมากมายสำหรับอนุพันธ์ เราจะใช้จังหวะ เช่น เขียน g" หมายความว่า เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน g ได้
ตารางอนุพันธ์
เพื่อที่จะตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหาอนุพันธ์ จำเป็นต้องจัดทำตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันหลัก ในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน ไม่จำเป็นต้องคำนวณที่ซับซ้อน แค่ดูมูลค่าในตารางอนุพันธ์ก็เพียงพอแล้ว
- (บาป x)"=คอส x
- (cos x)"= –บาป x
- (x n)"= n x n-1
- (อีเอ็กซ์)"=อีเอ็กซ์
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (บันทึก a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/บาป 2 x
- (อาร์คซิน x)"= 1/√(1-x 2)
- (อาร์คคอส x)"= - 1/√(1-x 2)
- (ส่วนโค้ง x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=500
เราเห็นว่านี่เป็นค่าคงที่ จากตารางอนุพันธ์เป็นที่ทราบกันว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ (สูตร 1)
ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=x 100
นี้ ฟังก์ชั่นพลังงานซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็น 100 และเพื่อหาอนุพันธ์ของมัน คุณต้องคูณฟังก์ชันด้วยเลขชี้กำลังและลดด้วย 1 (สูตร 3)
(x 100)"=100 x 99
ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=5 x
นี่คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลองคำนวณอนุพันธ์ของมันโดยใช้สูตร 4 กัน
ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= log 4 x
เราค้นหาอนุพันธ์ของลอการิทึมโดยใช้สูตร 7
(บันทึก 4 x)"=1/x ln 4
กฎของความแตกต่าง
ตอนนี้เรามาดูวิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหากไม่ได้อยู่ในตาราง ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่ศึกษาไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่เป็นการรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐานโดยใช้การดำเนินการง่ายๆ (การบวก การลบ การคูณ การหาร และการคูณด้วยตัวเลข) ในการค้นหาอนุพันธ์ คุณจำเป็นต้องรู้กฎของการสร้างความแตกต่าง ด้านล่าง ตัวอักษร f และ g แสดงถึงฟังก์ชัน และ C เป็นค่าคงที่
1. ค่าสัมประสิทธิ์คงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้
ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= 6*x 8
เราเอาตัวประกอบคงที่เป็น 6 และหาอนุพันธ์เพียง x 4 เท่านั้น นี่คือฟังก์ชันยกกำลัง ซึ่งเป็นอนุพันธ์ซึ่งพบได้โดยใช้สูตร 3 ของตารางอนุพันธ์
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์
(ฉ + ก)"=ฉ" + ก"
ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 100 +sin x
ฟังก์ชันคือผลรวมของสองฟังก์ชัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราหาได้จากตาราง เนื่องจาก (x 100)"=100 x 99 และ (บาป x)"=cos x อนุพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์เหล่านี้:
(x 100 +ซิน x)"= 100 x 99 +คอส x
3. อนุพันธ์ของส่วนต่างเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์
(ฉ – ก)"=ฉ" – ก"
ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 100 – cos x
ฟังก์ชันนี้คือผลต่างของสองฟังก์ชัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราหาได้ในตาราง จากนั้นอนุพันธ์ของผลต่างจะเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์และอย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย เนื่องจาก (cos x)"= – sin x
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + บาป x
ตัวอย่างที่ 8 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=e x +tg x– x 2
ฟังก์ชันนี้มีทั้งผลรวมและส่วนต่าง มาหาอนุพันธ์ของแต่ละเทอมกัน:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดิมจะเท่ากับ:
(เช่น x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
(ฉ * ก)"=ฉ" * ก + ฉ * ก"
ตัวอย่างที่ 9 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= cos x *e x
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะหาอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัย (cos x)"=–sin x และ (e x)"=e x ทีนี้ลองแทนที่ทุกอย่างลงในสูตรผลิตภัณฑ์กัน เราคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยวินาที และเพิ่มผลคูณของฟังก์ชันแรกด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. อนุพันธ์ของผลหาร
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
ตัวอย่างที่ 10 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 50 /sin x
ในการหาอนุพันธ์ของผลหาร ขั้นแรกให้หาอนุพันธ์ของทั้งเศษและส่วนแยกจากกัน: (x 50)"=50 x 49 และ (sin x)"= cos x เมื่อแทนอนุพันธ์ของผลหารลงในสูตร เราจะได้:
(x 50 /บาป x)"= 50x 49 *บาป x – x 50 *cos x/บาป 2 x
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่แสดงโดยองค์ประกอบของฟังก์ชันต่างๆ นอกจากนี้ยังมีกฎสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
(คุณ (วี))"=คุณ"(วี)*วี"
ลองหาวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวกัน ให้ y= คุณ(v(x)) - ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- มาเรียกฟังก์ชันกัน คุณภายนอก และ v - ภายใน
ตัวอย่างเช่น:
y=sin (x 3) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน
จากนั้น y=sin(t) คือฟังก์ชันภายนอก
เสื้อ=x 3 - ภายใน
ลองคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กัน ตามสูตร คุณต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและภายนอก
(sin t)"=cos (t) - อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (โดยที่ t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน
จากนั้น (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
