ค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันเครื่องคิดเลขออนไลน์ การเพิ่มและลดฟังก์ชันในช่วงเวลาสุดขั้ว

งานบัณฑิตใน แบบฟอร์มสอบรวมรัฐสำหรับนักเรียนเกรด 11 จำเป็นต้องมีงานในการคำนวณขีด จำกัด ช่วงเวลาของการลดลงและการเพิ่มอนุพันธ์ของฟังก์ชันการค้นหาจุดสุดขั้วและสร้างกราฟ ความรู้ที่ดีในหัวข้อนี้ช่วยให้คุณสามารถตอบคำถามสอบหลายข้อได้อย่างถูกต้องและไม่มีปัญหาในการฝึกอบรมวิชาชีพเพิ่มเติม

พื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ - หนึ่งในหัวข้อหลักของคณิตศาสตร์ โรงเรียนสมัยใหม่- เธอศึกษาการใช้อนุพันธ์เพื่อศึกษาการขึ้นต่อกันของตัวแปร - ผ่านอนุพันธ์ที่เราสามารถวิเคราะห์การเพิ่มขึ้นและลดของฟังก์ชันโดยไม่ต้องใช้รูปวาด

การเตรียมความพร้อมของผู้สำเร็จการศึกษาอย่างครอบคลุม ผ่านการสอบ Unified Stateบน พอร์ทัลการศึกษา“ Shkolkovo” จะช่วยให้คุณเข้าใจหลักการของการสร้างความแตกต่างอย่างลึกซึ้ง - เข้าใจทฤษฎีโดยละเอียด ศึกษาตัวอย่างการแก้ปัญหาทั่วไป และลองทำงานอิสระ เราจะช่วยคุณปิดช่องว่างในความรู้ - ชี้แจงความเข้าใจของคุณเกี่ยวกับแนวคิดคำศัพท์ของหัวข้อและการพึ่งพาของปริมาณ นักเรียนจะสามารถทบทวนวิธีการหาช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจ ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงในบางเซ็กเมนต์เมื่อจุดขอบเขตอยู่และไม่รวมอยู่ในช่วงเวลาที่พบ

ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ไขปัญหาเฉพาะเรื่องโดยตรง เราขอแนะนำให้คุณไปที่ส่วน "ความเป็นมาทางทฤษฎี" ก่อน และทำซ้ำคำจำกัดความของแนวคิด กฎ และสูตรแบบตาราง คุณสามารถอ่านวิธีการค้นหาและเขียนแต่ละช่วงของฟังก์ชันการเพิ่มขึ้นและลดลงบนกราฟอนุพันธ์ได้ที่นี่

ข้อมูลทั้งหมดที่นำเสนอจะถูกนำเสนอในรูปแบบที่เข้าถึงได้มากที่สุดเพื่อความเข้าใจตั้งแต่เริ่มต้น เว็บไซต์มีสื่อสำหรับการรับรู้และการดูดซึมในหลาย ๆ รูปแบบต่างๆ– การอ่าน การดูวิดีโอ และการฝึกอบรมโดยตรงภายใต้คำแนะนำของอาจารย์ผู้มีประสบการณ์ ครูมืออาชีพจะบอกรายละเอียดวิธีการค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดอนุพันธ์ของฟังก์ชันในเชิงวิเคราะห์และ แบบกราฟิก- ในระหว่างการสัมมนาผ่านเว็บ คุณจะสามารถถามคำถามที่สนใจ ทั้งในเชิงทฤษฎีและในการแก้ปัญหาเฉพาะ

เมื่อจำประเด็นหลักของหัวข้อได้แล้ว ให้ดูตัวอย่างการเพิ่มอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งคล้ายกับงานในตัวเลือกการสอบ หากต้องการรวบรวมสิ่งที่คุณได้เรียนรู้ โปรดดูที่ "แคตตาล็อก" - ที่นี่คุณจะพบแบบฝึกหัดภาคปฏิบัติสำหรับ งานอิสระ- งานในส่วนนี้จะถูกเลือกตามระดับความยากต่าง ๆ โดยคำนึงถึงการพัฒนาทักษะ ตัวอย่างเช่นแต่ละรายการจะมาพร้อมกับอัลกอริธึมการแก้ปัญหาและคำตอบที่ถูกต้อง

เมื่อเลือกหมวด “คอนสตรัคเตอร์” นักเรียนจะสามารถฝึกศึกษาการเพิ่มขึ้นและลดอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริงได้ ตัวเลือกการสอบ Unified Stateอัปเดตอย่างต่อเนื่องโดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงและนวัตกรรมล่าสุด

มาก ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันให้ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง การค้นหาเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการตรวจสอบฟังก์ชันและวาดกราฟ นอกจากนี้ยังให้จุดสุดขั้วที่มีการเปลี่ยนแปลงจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลงหรือจากลดลงเป็นเพิ่มขึ้น ความสนใจเป็นพิเศษเมื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

ในบทความนี้ เราจะให้คำจำกัดความที่จำเป็น กำหนดเกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มและลดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่งและเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว และใช้ทฤษฎีทั้งหมดนี้ในการแก้ปัญหาตัวอย่างและปัญหา

การนำทางหน้า

การเพิ่มและลดฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

นิยามของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น

ฟังก์ชัน y=f(x) จะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา X ถ้ามีค่าใดๆ และ ความไม่เท่าเทียมกันถือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง - มูลค่าที่สูงขึ้นอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

นิยามของฟังก์ชันลดลง

ฟังก์ชัน y=f(x) จะลดลงในช่วงเวลา X ถ้ามีค่าใดๆ และ ความไม่เท่าเทียมกันถือ - กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

หมายเหตุ: ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องที่จุดสิ้นสุดของช่วงที่เพิ่มขึ้นหรือลดลง (a;b) นั่นคือที่ x=a และ x=b จุดเหล่านี้จะถูกรวมไว้ในช่วงที่เพิ่มขึ้นหรือลดลง สิ่งนี้ไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงในช่วง X

ตัวอย่างเช่น จากคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน เรารู้ว่า y=sinx ถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น จากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันไซน์ในช่วงเวลา เราสามารถยืนยันได้ว่าจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานั้น

จุดสุดขีด จุดสุดขีดของฟังก์ชัน

ประเด็นนี้เรียกว่า จุดสูงสุดฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าค่าอสมการเป็นจริงสำหรับ x ทุกตัวที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียง เรียกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุด สูงสุดของฟังก์ชันและแสดงถึง

ประเด็นนี้เรียกว่า จุดต่ำสุดฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าค่าอสมการเป็นจริงสำหรับ x ทุกตัวที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียง เรียกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด ฟังก์ชั่นขั้นต่ำและแสดงถึง

พื้นที่ใกล้เคียงของจุดหนึ่งๆ เข้าใจว่าเป็นช่วงเวลา โดยที่จำนวนบวกที่น้อยเพียงพอ

เรียกว่าจุดต่ำสุดและสูงสุด จุดสุดขั้วและเรียกค่าฟังก์ชันที่ตรงกับจุดสุดขีด สุดขั้วของฟังก์ชัน.

อย่าสับสนระหว่างสุดขั้วของฟังก์ชันกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและ ค่าต่ำสุดฟังก์ชั่น

ในภาพแรก มูลค่าสูงสุดฟังก์ชั่นบนเซ็กเมนต์บรรลุที่จุดสูงสุดและเท่ากับจุดสูงสุดของฟังก์ชัน และในรูปที่สอง - ค่าสูงสุดของฟังก์ชันบรรลุที่จุด x=b ซึ่งไม่ใช่จุดสูงสุด

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มและลดฟังก์ชัน

ตามเงื่อนไข (สัญญาณ) ที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มและลดฟังก์ชัน จะพบช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

ต่อไปนี้เป็นสูตรของสัญญาณของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงในช่วงเวลาหนึ่ง:

• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) เป็นบวกสำหรับ x ใดๆ จากช่วง X ฟังก์ชันนั้นจะเพิ่มขึ้น X
• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) เป็นลบสำหรับ x ใดๆ จากช่วง X แล้วฟังก์ชันจะลดลงบน X

ดังนั้น เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน จึงจำเป็น:

ลองพิจารณาตัวอย่างการค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลดเพื่ออธิบายอัลกอริทึม

ตัวอย่าง.

ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลด

สารละลาย.

ขั้นตอนแรกคือการหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ในตัวส่วนไม่ควรเป็นศูนย์ ดังนั้น

มาดูการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันดีกว่า:

เพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามเกณฑ์ที่เพียงพอ เราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันในโดเมนของคำจำกัดความ ลองใช้ลักษณะทั่วไปของวิธีช่วงเวลา รากที่แท้จริงเพียงรากเดียวของตัวเศษคือ x = 2 และตัวส่วนจะเป็นศูนย์ที่ x=0 จุดเหล่านี้จะแบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นระยะโดยที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงมีเครื่องหมายอยู่ ลองทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนเส้นจำนวน ตามอัตภาพเราแสดงด้วยเครื่องหมายบวกและลบช่วงเวลาที่อนุพันธ์เป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแสดงการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่สอดคล้องกันตามแผนผัง

ดังนั้น, และ .

ตรงจุด ฟังก์ชัน x=2 ถูกกำหนดไว้และต่อเนื่องกัน ดังนั้นจึงควรบวกเข้ากับทั้งช่วงที่เพิ่มขึ้นและลดลง ณ จุด x=0 ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ดังนั้นเราจึงไม่รวมจุดนี้ไว้ในช่วงเวลาที่ต้องการ

เรานำเสนอกราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับ

คำตอบ:

ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย ลดลงในช่วงเวลา (0;2]

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชัน

ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน คุณสามารถใช้เครื่องหมายใดๆ ใน 3 เครื่องหมายของค่าสุดโต่งได้ ถ้าฟังก์ชันนั้นตรงตามเงื่อนไข สิ่งที่พบบ่อยและสะดวกที่สุดคือสิ่งแรก

เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับภาวะสุดขั้ว

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=f(x) หาอนุพันธ์ได้ในย่านใกล้เคียงของจุดและต่อเนื่องที่จุดนั้นเอง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดสุดโต่งโดยอิงจากเครื่องหมายแรกของจุดสุดโต่งของฟังก์ชัน

• เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
• เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันบนโดเมนของคำจำกัดความ
• เรากำหนดศูนย์ของตัวเศษ, ศูนย์ของตัวส่วนของอนุพันธ์และจุดของโดเมนของคำจำกัดความที่ไม่มีอนุพันธ์อยู่ (เรียกว่าจุดที่ระบุไว้ทั้งหมด จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้เมื่อผ่านจุดเหล่านี้ อนุพันธ์ก็เปลี่ยนเครื่องหมายได้)
• จุดเหล่านี้จะแบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นช่วงที่อนุพันธ์ยังคงมีเครื่องหมายอยู่ เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา (เช่น โดยการคำนวณค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดใดก็ได้ในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่ง)
• เราเลือกจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและผ่านเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ - นี่คือจุดสุดขั้ว

มีคำมากเกินไป มาดูตัวอย่างการค้นหาจุดสุดขีดและจุดสุดขีดของฟังก์ชันกันดีกว่า โดยใช้เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x=2

ค้นหาอนุพันธ์:

ศูนย์ของตัวเศษคือจุด x=-1 และ x=5 ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ที่ x=2 ทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนแกนจำนวน

เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วง โดยคำนวณค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดๆ ของแต่ละช่วง เช่น ที่จุด x=-2, x=0, x=3 และ x=6.

ดังนั้น ในช่วงเวลาอนุพันธ์จะเป็นค่าบวก (ในรูปเราใส่เครื่องหมายบวกในช่วงเวลานี้) เช่นเดียวกัน

ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายลบไว้เหนือช่วงที่สอง ลบไว้เหนือช่วงที่สาม และบวกเหนือช่วงที่สี่

ยังคงต้องเลือกจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและสัญญาณการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ เหล่านี้คือจุดสุดขั้ว

ตรงจุด x=-1 ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จากบวกเป็นลบ ดังนั้นตามเครื่องหมายแรกของสุดขีด x=-1 คือจุดสูงสุด ค่าสูงสุดของฟังก์ชันสอดคล้องกับมัน .

ตรงจุด x=5 ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จากลบเป็นบวก ดังนั้น x=-1 คือจุดต่ำสุด ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสอดคล้องกับมัน .

ภาพประกอบกราฟฟิค

คำตอบ:

โปรดทราบ: เกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับปลายสุดไม่จำเป็นต้องมีฟังก์ชันที่จุดนั้นต่างกัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาจุดสุดขีดและจุดสุดขีดของฟังก์ชัน .

สารละลาย.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชั่นสามารถเขียนได้ดังนี้:

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตรงจุด x=0 ไม่มีอนุพันธ์เนื่องจากค่าของขีด จำกัด ด้านเดียวไม่ตรงกันเมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:

ในขณะเดียวกันฟังก์ชันเดิมจะต่อเนื่องกันที่จุด x=0 (ดูหัวข้อศึกษาฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่อง)

มาหาค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์มีค่าเป็นศูนย์:

เรามาทำเครื่องหมายคะแนนที่ได้รับทั้งหมดบนเส้นจำนวนและกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา ในการทำเช่นนี้เราคำนวณค่าของอนุพันธ์ที่จุดใดก็ได้ของแต่ละช่วงเวลาเช่นที่ x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

นั่นคือ

ดังนั้น ตามสัญญาณแรกของจุดสุดขั้ว จุดต่ำสุดคือ , แต้มสูงสุดคือ .

เราคำนวณค่าต่ำสุดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

เราคำนวณค่าสูงสุดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

ภาพประกอบกราฟฟิค

คำตอบ:

.

เครื่องหมายที่สองของส่วนปลายของฟังก์ชัน

อย่างที่คุณเห็น เครื่องหมายของส่วนปลายสุดของฟังก์ชันนี้ต้องมีอนุพันธ์อย่างน้อยอยู่ในลำดับที่สอง ณ จุดนั้น

สุดขีดของฟังก์ชัน

คำจำกัดความ 2

จุด $x_0$ เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน $f(x)$ หากมีย่านใกล้เคียงของจุดนี้ โดยที่ $x$ ทั้งหมดในย่านนี้จะมีความไม่เท่าเทียมกัน $f(x)\le f(x_0) $ ถือ

คำจำกัดความ 3

จุด $x_0$ เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน $f(x)$ หากมีย่านใกล้เคียงของจุดนี้ โดยที่ $x$ ทั้งหมดในย่านนี้จะมีความไม่เท่าเทียมกัน $f(x)\ge f(x_0) $ ถือ

แนวคิดเรื่องปลายสุดของฟังก์ชันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องจุดวิกฤติของฟังก์ชัน ให้เราแนะนำคำจำกัดความของมัน

คำจำกัดความที่ 4

$x_0$ เรียกว่าจุดวิกฤติของฟังก์ชัน $f(x)$ ถ้า:

1) $x_0$ - จุดภายในของโดเมนคำจำกัดความ

2) $f"\left(x_0\right)=0$ หรือไม่มีอยู่

สำหรับแนวคิดเรื่องสุดขั้ว เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทเรื่องความเพียงพอ และ เงื่อนไขที่จำเป็นการดำรงอยู่ของเขา

ทฤษฎีบท 2

สภาพที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว

ให้จุด $x_0$ เป็นจุดวิกฤตสำหรับฟังก์ชัน $y=f(x)$ และอยู่ในช่วง $(a,b)$ ในแต่ละช่วง $\left(a,x_0\right)\ and\ (x_0,b)$ อนุพันธ์ $f"(x)$ มีอยู่และรักษาเครื่องหมายคงที่ จากนั้น:

1) ถ้าในช่วง $(a,x_0)$ อนุพันธ์คือ $f"\left(x\right)>0$ และในช่วง $(x_0,b)$ อนุพันธ์คือ $f"\left( x\ขวา)

2) ถ้าในช่วง $(a,x_0)$ อนุพันธ์ $f"\left(x\right)0$ แล้วจุด $x_0$ คือจุดต่ำสุดสำหรับฟังก์ชันนี้

3) ถ้าทั้งสองอยู่ในช่วง $(a,x_0)$ และในช่วงเวลา $(x_0,b)$ อนุพันธ์ $f"\left(x\right) >0$ หรืออนุพันธ์ $f"\left(x \ขวา)

ทฤษฎีบทนี้แสดงไว้ในรูปที่ 1

ภาพที่ 1 สภาพที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของภาวะสุดโต่ง

ตัวอย่างสุดขั้ว (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 ตัวอย่างจุดสุดขั้ว

กฎสำหรับการศึกษาฟังก์ชันสำหรับสุดขั้ว

2) ค้นหาอนุพันธ์ $f"(x)$;

7) สรุปการมีอยู่ของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดในแต่ละช่วง โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 2

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

ก่อนอื่นเรามาแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันเพิ่มและลดกันก่อน

คำจำกัดความที่ 5

ฟังก์ชัน $y=f(x)$ ที่กำหนดในช่วงเวลา $X$ บอกว่าจะเพิ่มขึ้นหากจุดใดๆ $x_1,x_2\in X$ ที่ $x_1

คำนิยาม 6

ฟังก์ชัน $y=f(x)$ ที่กำหนดในช่วงเวลา $X$ บอกว่าจะลดลงหากจุดใดๆ $x_1,x_2\in X$ สำหรับ $x_1f(x_2)$

ศึกษาฟังก์ชันของการเพิ่มขึ้นและลดลง

คุณสามารถศึกษาฟังก์ชันการเพิ่มและลดโดยใช้อนุพันธ์ได้

ในการตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นและลดลง คุณต้องดำเนินการดังต่อไปนี้:

1) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน $f(x)$;

2) ค้นหาอนุพันธ์ $f"(x)$;

3) หาจุดที่มีความเท่าเทียมกัน $f"\left(x\right)=0$;

4) ค้นหาจุดที่ $f"(x)$ ไม่มีอยู่;

5) ทำเครื่องหมายจุดทั้งหมดที่พบและโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้บนเส้นพิกัด

6) หาเครื่องหมายของอนุพันธ์ $f"(x)$ ในแต่ละช่วงผลลัพธ์

7) สรุป: ในช่วงที่ $f"\left(x\right)0$ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

ตัวอย่างโจทย์ศึกษาฟังก์ชันของการเพิ่มขึ้น ลดลง และการมีอยู่ของจุดสุดขั้ว

ตัวอย่างที่ 1

ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลง และการมีอยู่ของจุดสูงสุดและต่ำสุด: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

เนื่องจาก 6 แต้มแรกเท่ากันเรามาดูกันก่อน

1) โดเมนของคำจำกัดความ - จำนวนจริงทั้งหมด

2) $f"\ซ้าย(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ มีอยู่ที่ทุกจุดของโดเมนของคำจำกัดความ

5) เส้นพิกัด:

รูปที่ 3.

6) หาเครื่องหมายของอนุพันธ์ $f"(x)$ ในแต่ละช่วง:

\ \; .

ให้เรากำหนดสัญลักษณ์ของค่าฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

ฉ(0) = 3, ฉ(0) > 0

ฉ(10) = , ฉ(10) < 0.

เนื่องจากฟังก์ชันลดลงบนเซ็กเมนต์และเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันเปลี่ยนไป จึงมีฟังก์ชันหนึ่งศูนย์ในส่วนนี้

คำตอบ: ฟังก์ชัน f(x) เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา: (-∞; 0]; ;

ในช่วงเวลาหนึ่งฟังก์ชันจะมีศูนย์หนึ่งฟังก์ชัน

2. จุดสุดขีดของฟังก์ชัน: จุดสูงสุดและจุดต่ำสุด เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว กฎสำหรับการศึกษาฟังก์ชันสำหรับสุดขั้ว .

คำจำกัดความ 1:จุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์เรียกว่าจุดวิกฤตหรือจุดคงที่

คำจำกัดความ 2. จุดเรียกว่าจุดต่ำสุด (สูงสุด) ของฟังก์ชันหากค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้น้อยกว่า (มากกว่า) มากกว่าค่าที่ใกล้ที่สุดของฟังก์ชัน

ควรจำไว้ว่าค่าสูงสุดและต่ำสุดค่ะ ในกรณีนี้เป็นคนท้องถิ่น

ในรูป 1. แสดงค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดเฉพาะที่

ฟังก์ชันสูงสุดและต่ำสุดจะรวมกัน ชื่อสามัญ: สุดขั้วของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบท 1(สัญญาณที่จำเป็นของการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว) หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ณ จุดนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นจะหายไป

ทฤษฎีบท 2(สัญญาณที่เพียงพอของการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว) ถ้า ฟังก์ชั่นต่อเนื่องมีอนุพันธ์ทุกจุดของช่วงหนึ่งที่มี จุดวิกฤติ(ยกเว้นบางทีจุดนี้เอง) และ ถ้าอนุพันธ์เมื่ออาร์กิวเมนต์ส่งจากซ้ายไปขวาผ่านจุดวิกฤติ เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะมีค่าสูงสุด และเมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนจากลบเป็นบวก ก็จะมีค่าต่ำสุด