ตรีโกณมิติกำลังสองและรากของมัน

ครู หมวดหมู่สูงสุด: Minaichenko N.S. โรงยิมหมายเลข 24 เซวาสโทพอล

บทเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: “จตุรัสตรีโกณมิติและรากของมัน”

ประเภทบทเรียน : บทเรียนความรู้ใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

จัดกิจกรรมนักศึกษาเพื่อรวบรวมและพัฒนาองค์ความรู้เกี่ยวกับการสลายตัวของตรีโกณมิติกำลังสองให้เป็นตัวประกอบเชิงเส้นและการลดทอนของเศษส่วน

พัฒนาทักษะในการประยุกต์ความรู้วิธีการแยกตัวประกอบทุกวิธี ได้แก่ การถ่ายคร่อม การใช้สูตรคูณแบบย่อ และวิธีการจัดกลุ่ม เพื่อเตรียมความพร้อม สำเร็จลุล่วงได้การสอบพีชคณิต

สร้างเงื่อนไขในการพัฒนา ความสนใจทางปัญญาในเรื่องการก่อตัว การคิดเชิงตรรกะและการควบคุมตนเองเมื่อใช้การแยกตัวประกอบ

อุปกรณ์: เครื่องฉายมัลติมีเดีย, หน้าจอ, การนำเสนอ: “รากของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตรีโนเมียล”, ปริศนาอักษรไขว้, แบบทดสอบ, เอกสารประกอบคำบรรยาย

แนวคิดพื้นฐาน . แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

กิจกรรมอิสระของนักเรียน การประยุกต์ทฤษฎีบทเรื่องการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสองในการแก้ปัญหา

แผนการสอน

การแก้ปัญหา

คำตอบสำหรับคำถามของนักเรียน

IV. การทดสอบเบื้องต้นของการได้มาซึ่งความรู้ การสะท้อนกลับ

ข้อความของครู.

ข้อความของนักเรียน

วี. การบ้าน

การเขียนบนกระดาน

ความคิดเห็นเกี่ยวกับระเบียบวิธี:

หัวข้อนี้เป็นพื้นฐานในส่วน " การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ นิพจน์พีชคณิต- ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่นักเรียนไม่เพียงแต่สามารถดูสูตรการแยกตัวประกอบในตัวอย่างได้โดยอัตโนมัติ แต่ยังนำไปประยุกต์ในงานอื่นๆ ได้ด้วย เช่น การแก้สมการ การแปลงนิพจน์ การพิสูจน์ตัวตน

หัวข้อนี้เน้นที่การแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:

ขวาน+ bx + c = ก(x – x)(x – x),

โดยที่ x และ x – ราก สมการกำลังสองขวาน + bx + c = 0

สิ่งนี้ช่วยให้คุณสามารถขยายขอบเขตการมองเห็นของนักเรียน สอนให้เขาคิดได้ สถานการณ์ที่ไม่ได้มาตรฐานโดยใช้เนื้อหาที่กำลังศึกษา ได้แก่ โดยใช้สูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:

ความสามารถในการลดเศษส่วนพีชคณิต

ความสามารถในการลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิต

ความสามารถในการแก้สมการ

ความสามารถในการพิสูจน์ตัวตน

เนื้อหาบทเรียนหลัก:

ก) 3x + 5x – 2;

ข) –x + 16x – 15;

ค) x – 12x + 24;

ง) –5x + 6x – 1

№2. ลดเศษส่วน:

№3. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

№4. แก้สมการ:

ข)

ความคืบหน้าของบทเรียน:

I. ขั้นตอนการอัพเดตความรู้

แรงจูงใจในการทำกิจกรรมการเรียนรู้

ก) จากประวัติศาสตร์:

ข) คำไขว้:

อุ่นเครื่องฝึกจิตใจ - ปริศนาอักษรไขว้:

แนวนอน:

1) รากของดีกรีที่สองเรียกว่า…. (สี่เหลี่ยม)

2) ค่าของตัวแปรที่สมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง (ราก)

3) ความเท่าเทียมกันที่มีสิ่งไม่รู้เรียกว่า... (สมการ)

4) นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียซึ่งสรุปไว้ กฎทั่วไปการแก้สมการกำลังสอง (พรหมคุปต์)

5) ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองคือ... (ตัวเลข)

6) นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณผู้คิดค้นวิธีการแก้สมการทางเรขาคณิต (Euclid)

7) ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์และรากของสมการกำลังสอง (Vieta)

8) “จำแนก” กำหนดรากของสมการกำลังสอง – นี่คือ... (จำแนก)

นอกจากนี้:

ถ้า D>0 จะได้รากกี่อัน? (สอง)

ถ้า D=0 จะได้กี่ราก? (หนึ่ง)

ถ้า D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

หัวข้อของบทเรียนในแนวนอนและแนวตั้ง: “ สี่เหลี่ยมจัตุรัสตรีโกณมิติ»

ข) แรงจูงใจ:

หัวข้อนี้เป็นหัวข้อพื้นฐานในหัวข้อ “การแปลงนิพจน์พีชคณิตที่เหมือนกัน” ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่คุณไม่เพียงแต่สามารถดูสูตรการแยกตัวประกอบในตัวอย่างได้โดยอัตโนมัติ แต่ยังนำไปประยุกต์ในงานอื่นๆ ได้ด้วย เช่น การลดเศษส่วน การแก้สมการ การแปลงนิพจน์ การพิสูจน์ตัวตน

วันนี้เราจะเน้นเรื่องการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:

ครั้งที่สอง การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

หัวข้อ: ตรีโกณมิติกำลังสองและรากของมัน

ทฤษฎีทั่วไปของพหุนามของตัวแปรหลายตัวไปไกลเกินกว่าขอบเขตของหลักสูตรของโรงเรียน ดังนั้น เราจะจำกัดตัวเองให้ศึกษาพหุนามของตัวแปรจริงตัวเดียว และเฉพาะในกรณีที่ง่ายที่สุดเท่านั้น ให้เราพิจารณาพหุนามของตัวแปรตัวหนึ่งซึ่งถูกรีดิวซ์เป็นรูปแบบมาตรฐาน

รากของพหุนาม คือค่าของตัวแปรที่มีค่าพหุนามเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าในการค้นหารากของพหุนาม คุณต้องทำให้มันเป็นศูนย์ นั่นคือ แก้สมการ

รากของพหุนามของดีกรี 1
หาง่าย
- การตรวจสอบ:
.

รากของตรีโกณมิติกำลังสองสามารถพบได้โดยการแก้สมการ:
.

จากการใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง เราพบว่า:

;

ทฤษฎีบท (ในการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง ):

ถ้า และ -รากของตรีโกณมิติกำลังสอง
, ที่ไหน ≠ 0,

ที่ .

การพิสูจน์:

ให้เราทำการแปลงตรีโกณมิติกำลังสองต่อไปนี้:

=
=
=

=
=
=

=
=

ตั้งแต่การเลือกปฏิบัติ
เราได้รับ:

=
=

ให้เราใช้ผลต่างของสูตรกำลังสองในวงเล็บแล้วได้:

=
=
,

เพราะ
;
- ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สูตรผลลัพธ์เรียกว่าสูตรแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ที่สาม การก่อตัวของทักษะและความสามารถ

№1. แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:

ก) 3x + 5x – 2;

สารละลาย:

คำตอบ: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

บนกระดาน:

ข) –5x + 6x – 1;

นอกจากนี้:

ค) x – 12x + 24;

ง) –x + 16x – 15

№2. ลดเศษส่วน:

ก)

№4. แก้สมการ:

ข)

IV. การทดสอบเบื้องต้นของการได้มาซึ่งความรู้

ก) ทดสอบ.

ตัวเลือกที่ 1

1. ค้นหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง:2x 2 -9x-5

คำตอบ:

2. พหุนามใดที่ต้องแทนที่ด้วยจุดไข่ปลาเพื่อให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

b) การตรวจสอบทางเลือกร่วมกัน (คำตอบ และมีภาพประกอบแสดงพารามิเตอร์การประเมิน)

ค) การสะท้อนกลับ

V. การบ้าน.

การศึกษารูปแบบทางกายภาพและเรขาคณิตจำนวนมากมักนำไปสู่การแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ มหาวิทยาลัยบางแห่งยังรวมสมการ อสมการ และระบบของสมการไว้ในข้อสอบด้วย ซึ่งมักจะซับซ้อนมากและต้องใช้แนวทางการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน ที่โรงเรียน หนึ่งในส่วนที่ยากที่สุดของหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนจะพิจารณาเฉพาะในวิชาเลือกหรือวิชาเพียงไม่กี่วิชาเท่านั้น
ในความคิดของฉัน วิธีกราฟิกเชิงฟังก์ชันเป็นวิธีที่สะดวกและรวดเร็วในการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์
ดังที่ทราบกันดีว่าสมการที่มีพารามิเตอร์มีสองสูตรของปัญหา

1. แก้สมการ (สำหรับแต่ละค่าพารามิเตอร์ ให้หาคำตอบทั้งหมดของสมการ)
2. ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์สำหรับแต่ละค่าซึ่งคำตอบของสมการตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด

ในบทความนี้ พิจารณาและศึกษาปัญหาประเภทที่สองเกี่ยวกับรากของตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งหาได้เพียงการแก้สมการกำลังสองเท่านั้น
ผู้เขียนหวังว่างานนี้จะช่วยครูในการพัฒนาบทเรียนและเตรียมนักเรียนสำหรับการสอบ Unified State

1. พารามิเตอร์คืออะไร

การแสดงออกของแบบฟอร์ม อา 2 + bx + คในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน เขาเรียกว่าตรีโกณมิติกำลังสองด้วยความเคารพ เอ็กซ์,ที่ไหน ก, ข, c จะได้รับจำนวนจริง และ ก=/= 0 ค่าของตัวแปร x ที่นิพจน์กลายเป็นศูนย์เรียกว่ารากของตรีโกณมิติกำลังสอง หากต้องการหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง คุณต้องแก้สมการกำลังสอง อา 2 + bх + c = 0.
มาจำสมการพื้นฐานจากหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนกัน ขวาน + ข = 0;
aх2 + bх + c = 0เมื่อค้นหารากค่าของตัวแปร ก, ข, ค,รวมอยู่ในสมการถือว่าคงที่และให้ ตัวแปรเองเรียกว่าพารามิเตอร์ เนื่องจากไม่มีคำจำกัดความของพารามิเตอร์ในหนังสือเรียนของโรงเรียนฉันจึงเสนอให้ใช้เวอร์ชันที่ง่ายที่สุดต่อไปนี้เป็นพื้นฐาน

คำนิยาม.พารามิเตอร์เป็นตัวแปรอิสระ ซึ่งค่าในปัญหาถือเป็นจำนวนจริงคงที่หรือตามอำเภอใจ หรือตัวเลขที่เป็นของชุดที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

2. ประเภทและวิธีการพื้นฐานในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์

ในงานที่มีพารามิเตอร์ สามารถแยกแยะประเภทงานหลักต่อไปนี้ได้

1. สมการที่ต้องแก้ไขสำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์หรือสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่เป็นของชุดที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ตัวอย่างเช่น. แก้สมการ: ขวาน = 1, (ก – 2)x = ก 2 – 4.
2. สมการที่จำเป็นในการกำหนดจำนวนวิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ (พารามิเตอร์) ตัวอย่างเช่น. ที่ค่าพารามิเตอร์ใด กสมการ 4เอ็กซ์ 2 – 4ขวาน + 1 = 0มีรากเดียวเหรอ?
3. สมการที่ชุดโซลูชันเป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุในขอบเขตของคำจำกัดความสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการ

ตัวอย่างเช่น ค้นหาค่าพารามิเตอร์ที่รากของสมการ ( ก – 2)เอ็กซ์ 2 – 2ขวาน + ก + 3 = 0 เชิงบวก.
วิธีหลักในการแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์: การวิเคราะห์และกราฟิก

วิเคราะห์- นี่คือวิธีการที่เรียกว่าการแก้ปัญหาโดยตรงโดยทำซ้ำขั้นตอนมาตรฐานเพื่อค้นหาคำตอบในปัญหาโดยไม่มีพารามิเตอร์ ลองดูตัวอย่างงานดังกล่าว

ภารกิจที่ 1

ค่าของพารามิเตอร์ a ใดที่สมการ เอ็กซ์ 2 – 2ขวาน + ก 2 – 1 = 0 มีสองรากที่แตกต่างกันซึ่งอยู่ในช่วง (1; 5)?

สารละลาย

เอ็กซ์ 2 – 2ขวาน + ก 2 – 1 = 0.
ตามเงื่อนไขของปัญหา สมการจะต้องมีรากที่แตกต่างกันสองค่า และเป็นไปได้ภายใต้เงื่อนไขเท่านั้น: D > 0
เรามี: D = 4 ก 2 – 2(ก 2 – 1) = 4 ดังที่เราเห็นแล้วว่าการแบ่งแยกไม่ได้ขึ้นอยู่กับ a ดังนั้นสมการจึงมีรากที่แตกต่างกันสองค่าสำหรับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์ a มาหารากของสมการกัน: เอ็กซ์ 1 = ก + 1, เอ็กซ์ 2 = ก – 1
รากของสมการจะต้องอยู่ในช่วง (1; 5) เช่น
ดังนั้นตอนตี 2<ก < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

คำตอบ: 2<ก < 4.
แนวทางในการแก้ปัญหาประเภทที่พิจารณานี้เป็นไปได้และมีเหตุผลในกรณีที่การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองนั้น "ดี" เช่น คือกำลังสองที่แน่นอนของจำนวนหรือนิพจน์ใดๆ หรือสามารถหารากของสมการได้โดยใช้ทฤษฎีบทผกผันของเวียตตา จากนั้นรากจะไม่แสดงถึงการแสดงออกที่ไม่ลงตัว มิฉะนั้น การแก้ปัญหาประเภทนี้เกี่ยวข้องกับขั้นตอนที่ค่อนข้างซับซ้อนจากมุมมองทางเทคนิค และการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผลต้องอาศัยความรู้ใหม่จากนักเรียน

กราฟิก- นี่เป็นวิธีการใช้กราฟในระนาบพิกัด (x; y) หรือ (x; a) ความชัดเจนและสวยงามของวิธีการแก้ปัญหานี้ช่วยให้พบวิธีแก้ปัญหาที่รวดเร็ว มาแก้ปัญหาหมายเลข 1 แบบกราฟิกกัน
ดังที่คุณทราบจากหลักสูตรพีชคณิต รากของสมการกำลังสอง (ตรีโกณมิติกำลังสอง) คือศูนย์ของสมการที่สอดคล้องกัน ฟังก์ชันกำลังสอง: ยู = เอ็กซ์ 2 – 2โอ้ + ก 2 – 1 กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา โดยกิ่งก้านจะชี้ขึ้นด้านบน (สัมประสิทธิ์แรกคือ 1) แบบจำลองทางเรขาคณิตที่ตรงตามข้อกำหนดทั้งหมดของปัญหาจะมีลักษณะดังนี้

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือ "แก้ไข" พาราโบลาในตำแหน่งที่ต้องการโดยใช้เงื่อนไขที่จำเป็น

1. เนื่องจากพาราโบลามีจุดตัดกับแกนสองจุด เอ็กซ์จากนั้น D > 0
2. จุดยอดของพาราโบลาอยู่ระหว่างเส้นแนวตั้ง เอ็กซ์= 1 และ เอ็กซ์= 5 ดังนั้น abscissa ของจุดยอดของพาราโบลา x o อยู่ในช่วง (1; 5) นั่นคือ
   1 <เอ็กซ์โอ< 5.
3. เราสังเกตเห็นว่า ที่(1) > 0, ที่(5) > 0.

ดังนั้น การย้ายจากแบบจำลองทางเรขาคณิตของปัญหาไปสู่แบบจำลองเชิงวิเคราะห์ เราได้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน

คำตอบ: 2<ก < 4.

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง วิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาประเภทที่พิจารณานั้นเป็นไปได้ในกรณีที่รากนั้น "ไม่ดี" เช่น มีพารามิเตอร์อยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ (ในกรณีนี้ ตัวจำแนกสมการไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์)
ในวิธีแก้โจทย์ข้อที่สอง เราทำงานกับค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและพิสัยของฟังก์ชัน ที่ = เอ็กซ์ 2 – 2โอ้ + ก 2 – 1.
วิธีการแก้ปัญหานี้ไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นแบบกราฟิกเท่านั้นเพราะ ที่นี่เราต้องแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน แต่วิธีนี้ถูกรวมเข้าด้วยกัน: ใช้งานได้จริงและกราฟิก จากทั้งสองวิธีนี้ วิธีหลังไม่เพียงแต่สวยงามเท่านั้น แต่ยังเป็นวิธีที่สำคัญที่สุดด้วย เนื่องจากมันแสดงให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทุกประเภท: คำอธิบายทางวาจาของปัญหา แบบจำลองทางเรขาคณิต - กราฟของตรีโกณมิติกำลังสอง การวิเคราะห์ model - คำอธิบายของแบบจำลองทางเรขาคณิตโดยระบบอสมการ
ดังนั้นเราจึงพิจารณาถึงปัญหาที่รากของตรีโกณมิติกำลังสองเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนดในขอบเขตของคำจำกัดความสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการ

เงื่อนไขที่เป็นไปได้อื่นใดที่รากของตรีโกณมิติกำลังสองสามารถตอบสนองค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการได้

การหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง

เป้าหมาย:แนะนำแนวคิดเรื่องตรีโกณมิติกำลังสองและรากของมัน พัฒนาความสามารถในการค้นหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง

ความคืบหน้าของบทเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง งานช่องปาก.

ตัวเลขใด: –2; –1; 1; 2 – เป็นรากของสมการหรือไม่?

ก) 8 เอ็กซ์+16 = 0; วี) เอ็กซ์ 2 + 3เอ็กซ์ – 4 = 0;

ข) 5 เอ็กซ์ 2 – 5 = 0; ช) เอ็กซ์ 3 – 3เอ็กซ์ – 2 = 0.

ที่สาม คำอธิบายของวัสดุใหม่

คำอธิบายของวัสดุใหม่ควรดำเนินการตามรูปแบบต่อไปนี้:

1) แนะนำแนวคิดเรื่องรากของพหุนาม

2) แนะนำแนวคิดเกี่ยวกับตรีโกณมิติกำลังสองและรากของมัน

3) วิเคราะห์คำถามเกี่ยวกับจำนวนรากที่เป็นไปได้ของตรีโกณมิติกำลังสอง

คำถามในการแยกกำลังสองของทวินามออกจากกำลังสองของตรีโกณมิติจะพูดคุยกันได้ดีที่สุดในบทเรียนถัดไป

ในแต่ละขั้นตอนของการอธิบายเนื้อหาใหม่ จำเป็นต้องเสนองานปากเปล่าให้นักเรียนเพื่อทดสอบความเข้าใจในประเด็นหลักของทฤษฎี

ภารกิจที่ 1 ตัวเลขใด: –1; 1; - 0 – คือรากของพหุนาม เอ็กซ์ 4 + 2เอ็กซ์ 2 – 3?

งานมอบหมายที่ 2 พหุนามใดต่อไปนี้เป็นพหุนามกำลังสอง?

1) 2เอ็กซ์ 2 + 5เอ็กซ์ – 1; 6) เอ็กซ์ 2 – เอ็กซ์ – ;

2) 2เอ็กซ์ – ; 7) 3 – 4เอ็กซ์ + เอ็กซ์ 2 ;

3) 4เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์ + เอ็กซ์ 3 ; 8) เอ็กซ์ + 4เอ็กซ์ 2 ;

4) 3เอ็กซ์ 2 – ; 9) + 3เอ็กซ์ – 6;

5) 5เอ็กซ์ 2 – 3เอ็กซ์; 10) 7เอ็กซ์ 2 .

ตรีโกณมิติกำลังสองใดมีรูท 0?

ภารกิจที่ 3 ตรีโกณมิติกำลังสองสามารถมีสามรากได้หรือไม่? ทำไม ตรีโกณมิติกำลังสองมีกี่ราก? เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ – 5?

IV. การก่อตัวของทักษะและความสามารถ

แบบฝึกหัด:

1. № 55, № 56, № 58.

2. หมายเลข 59 (ก, ค, ง), หมายเลข 60 (ก, ค)

ในงานนี้ คุณไม่จำเป็นต้องมองหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง ก็เพียงพอแล้วที่จะค้นหาการเลือกปฏิบัติและตอบคำถามที่ถูกตั้งไว้

ก) 5 เอ็กซ์ 2 – 8เอ็กซ์ + 3 = 0;

ดี 1 = 16 – 15 = 1;

ดี 1 0 ซึ่งหมายความว่าตรีโกณมิติกำลังสองนี้มีสองราก

ข) 9 เอ็กซ์ 2 + 6เอ็กซ์ + 1 = 0;

ดี 1 = 9 – 9 = 0;

ดี 1 = 0 ซึ่งหมายความว่ากำลังสองตรีโกณมิติมีรากเดียว

ค) –7 เอ็กซ์ 2 + 6เอ็กซ์ – 2 = 0;

7เอ็กซ์ 2 – 6เอ็กซ์ + 2 = 0;

ดี 1 = 9 – 14 = –5;

หากมีเวลาเหลือทำข้อ 63 ได้

สารละลาย

อนุญาต ขวาน 2 + บีเอ็กซ์ + คคือตรีโกณมิติกำลังสองที่กำหนด เพราะ ก+ ข +
+ค= 0 ดังนั้นรากหนึ่งของตรีโกณมิตินี้จะเท่ากับ 1 ตามทฤษฎีบทของเวียตา รากที่สองจะเท่ากับ ตามเงื่อนไข กับ = 4กดังนั้นรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสองนี้จึงเท่ากับ
.

คำตอบ: 1 และ 4

V. สรุปบทเรียน

คำถามที่พบบ่อย:

– รากของพหุนามคืออะไร?

– พหุนามใดเรียกว่าตรีโกณมิติกำลังสอง?

– จะหารากของตรีโกณมิติกำลังสองได้อย่างไร?

– อะไรคือการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง?

- ตรีโกณมิติกำลังสองสามารถมีได้กี่ราก? สิ่งนี้ขึ้นอยู่กับอะไร?

การบ้าน:หมายเลข 57, หมายเลข 59 (ข, ง, ฉ), หมายเลข 60 (ข, ง), หมายเลข 62

หัวข้อบทเรียน: "กำลังสองตรีโกณมิติและรากของมัน"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อแนะนำให้นักเรียนรู้จักแนวคิดเกี่ยวกับตรีโกณมิติกำลังสองและรากเหง้าของมัน เพื่อพัฒนาทักษะในการแก้โจทย์การแยกกำลังสองของทวินามออกจากกำลังสองของตรีโนเมียล

บทเรียนประกอบด้วย สี่ขั้นตอนหลัก:

การควบคุมความรู้

คำอธิบายของวัสดุใหม่

การรวมระบบสืบพันธุ์

การเสริมกำลังการฝึกอบรม

การสะท้อนกลับ

ขั้นที่ 1 การควบคุมความรู้

ครูดำเนินการเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์ "เหมือนสำเนาคาร์บอน" โดยอิงจากเนื้อหาจากรอบที่แล้ว สำหรับการเขียนตามคำบอกจะใช้การ์ดสองสี: สีน้ำเงินสำหรับ 1 ตัวเลือก, สีแดงสำหรับ 2 ตัวเลือก

จากแบบจำลองการวิเคราะห์ของฟังก์ชันที่กำหนด ให้เลือกเฉพาะกำลังสองเท่านั้น

ตัวเลือกที่ 1 y=ax+4, y=45-4x, y=x²+4x-5, y=x³+x²-1

ตัวเลือกที่ 2 y=8x-b, y=13+2x, y= -x²+4x, y=-x³+4x²-1

ร่างฟังก์ชันกำลังสอง เป็นไปได้หรือไม่ที่จะกำหนดตำแหน่งของฟังก์ชันกำลังสองบนระนาบพิกัดโดยไม่ซ้ำกัน พยายามปรับคำตอบของคุณ

แก้สมการกำลังสอง

ตัวเลือก 1. ก) x² +11x-12=0

ข) x² +11x =0

ตัวเลือก 2. ก) x² -9x+20=0

ข) x² -9 x =0

4. หากไม่แก้สมการ ให้หาว่ามีรากหรือไม่

ตัวเลือก 1. A) x² + x +12=0

ตัวเลือก 2 A) x² + x - 12=0

ครูตรวจสอบคำตอบที่ได้รับจากสองคู่แรก คำตอบที่ได้รับที่ไม่ถูกต้องจะถูกหารือกับทั้งชั้นเรียน

ตัวเลือกที่ 1	ตัวเลือกที่ 2
1. y=x²+4x-5	1. y= -x²+4x
2. กิ่งก้านขึ้นแล้ว แต่ไม่สามารถระบุตำแหน่งได้ชัดเจนเนื่องจากมีข้อมูลไม่เพียงพอ	แยกสาขาออกไป แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุตำแหน่งอย่างไม่คลุมเครือเนื่องจากมีข้อมูลไม่เพียงพอ
3.ก) –12; 1 ข) –11;0	3.ก) 4;5 ข) 9;0
	4. D0 มีสองราก

ขั้นที่ 2 มาสร้างคลัสเตอร์กันเถอะ คุณมีความสัมพันธ์อะไรบ้างเมื่อพิจารณาตรีโกณมิติกำลังสอง?

การสร้างคลัสเตอร์

คำตอบที่เป็นไปได้:

ตรีโกณมิติกำลังสองใช้ในการพิจารณากำลังสอง ฟังก์ชั่น;

คุณสามารถหาเลขศูนย์ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ ฟังก์ชั่น

ใช้ค่าจำแนกเพื่อประมาณจำนวนราก

อธิบายกระบวนการจริง ฯลฯ

คำอธิบายของวัสดุใหม่

ย่อหน้า 2 ข้อ 3 หน้า 19-22

มีการพิจารณานิพจน์ และให้คำจำกัดความของตรีโกณมิติกำลังสองและรากของพหุนาม (ในระหว่างการอภิปรายนิพจน์ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้)

มีการกำหนดคำจำกัดความของรากของพหุนามแล้ว

มีการกำหนดคำจำกัดความของตรีโกณมิติกำลังสองขึ้นมา

ตัวอย่างของการแก้ตรีโกณมิติได้รับการวิเคราะห์:

ค้นหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง

ขอให้เราแยกทวินามกำลังสองออกจากกำลังสองตรีโนเมียล

3x²-36x+140=0

ไดอะแกรมของพื้นฐานโดยประมาณของการกระทำถูกวาดขึ้น

อัลกอริทึมสำหรับการแยกทวินามจากตรีโกณมิติกำลังสอง

1. กำหนดค่าตัวเลขของค่าสัมประสิทธิ์กำลังสองนำหน้า ตรีโกณมิติ

2. ดำเนินการเหมือนกัน และ 2. แปลงนิพจน์

การแปลงที่เท่ากันโดยใช้สูตร

(นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ ได้แก่ กำลังสองของผลรวมและผลต่าง

แปลงนิพจน์ในวงเล็บ

สร้างมันขึ้นมาเป็นสูตรกำลังสองของผลรวม

หรือความแตกต่าง)

a²+2ab+b²= (a+c)² a²-2ab+b²= (a-c)²

ด่าน 3 การแก้ปัญหางานทั่วไปจากหนังสือเรียน (หมายเลข 60 a, c; 61 a, 64 a, c) ทำที่กระดานและแสดงความคิดเห็น

ด่าน 4 งานอิสระใน 2 ตัวเลือก (หมายเลข 60a, b; 65 a, b) นักเรียนตรวจคำตอบตัวอย่างบนกระดาน

การบ้าน ป.3 (เรียนทฤษฎีข้อ 56, 61g, 64g)

การสะท้อนกลับ ครูให้งาน: ประเมินความก้าวหน้าของคุณในแต่ละขั้นตอนของบทเรียนโดยใช้ภาพวาดแล้วส่งให้ครู (งานเสร็จสิ้นในแผ่นงานแยกต่างหาก มีตัวอย่างให้ไว้)

ตัวอย่าง:

ใช้ลำดับขององค์ประกอบในภาพ กำหนดว่าขั้นตอนใดของบทเรียนที่คุณไม่รู้ ไฮไลต์ขั้นตอนนี้เป็นสีแดง

แบบฝึกหัดการสอบคณิตศาสตร์แสดงให้เห็นว่าปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์นั้นยากที่สุดทั้งในด้านตรรกะและทางเทคนิคดังนั้นความสามารถในการแก้ไขส่วนใหญ่จะเป็นตัวกำหนดความสำเร็จของการสอบในทุกระดับ

ในปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์พร้อมกับปริมาณที่ไม่ทราบ ปรากฏปริมาณที่มีค่าตัวเลข แม้จะไม่ได้ระบุไว้เป็นพิเศษ แต่ถือว่าทราบและระบุไว้ในชุดตัวเลขบางชุด ในกรณีนี้ พารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในเงื่อนไขจะมีอิทธิพลอย่างมากต่อแนวทางตรรกะและทางเทคนิคของการแก้ปัญหาและรูปแบบของคำตอบ ปัญหาดังกล่าวสามารถพบได้ในหนังสือ “514 ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์” ในวรรณกรรมคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา มีตำราเรียน หนังสือปัญหา และคู่มือระเบียบวิธีจำนวนมากที่มีปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ แต่ส่วนใหญ่ครอบคลุมประเด็นแคบๆ โดยเน้นที่สูตรเป็นหลักมากกว่าตรรกะในการแก้ปัญหา นอกจากนี้ หนังสือที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดยังกลายเป็นหนังสือหายากมาเป็นเวลานาน ในตอนท้ายของงานจะมีรายชื่อหนังสือบทความที่ช่วยรวบรวมการจัดหมวดหมู่ข้อความในหัวข้องาน สิ่งที่สำคัญที่สุดคือคู่มือของ A. Kh. สมการและอสมการพร้อมพารามิเตอร์

เป้าหมายหลักของงานนี้คือเพื่อเติมเต็มช่องว่างที่สำคัญในหลักสูตรพีชคณิตพื้นฐานและสร้างข้อเท็จจริงของการใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสองซึ่งสามารถลดความซับซ้อนในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่งของรากของสมการกำลังสองด้วย ด้วยความเคารพอย่างแน่นอน จุดลักษณะ.

วัตถุประสงค์ของงาน:

สร้างกรณีที่เป็นไปได้เกี่ยวกับตำแหน่งของรากของตรีโกณมิติกำลังสองบนเส้นจำนวน

ระบุอัลกอริทึมที่ช่วยให้แก้สมการกำลังสองด้วยพารามิเตอร์ตามตำแหน่งของรากของตรีโกณมิติกำลังสองบนเส้นจำนวน

เรียนรู้การแก้ปัญหาที่มีความซับซ้อนสูงกว่าระดับที่ต้องการ ฝึกฝนทักษะทางคณิตศาสตร์ทางเทคนิคและทางปัญญาในระดับการใช้งานฟรี ปรับปรุงวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: ตำแหน่งของรากของตรีโกณมิติกำลังสองบนเส้นพิกัด

หัวข้อวิจัย: สมการกำลังสองพร้อมพารามิเตอร์

วิธีการวิจัย วิธีการหลักในการศึกษาปัญหาด้วยพารามิเตอร์: การวิเคราะห์แบบกราฟิกและแบบรวม (เชิงฟังก์ชัน - แบบกราฟิก) การวิเคราะห์เป็นวิธีการที่เรียกว่าการแก้ปัญหาโดยตรง โดยทำซ้ำขั้นตอนมาตรฐานเพื่อค้นหาคำตอบในปัญหาโดยไม่มีพารามิเตอร์ กราฟิกเป็นวิธีการใช้กราฟในระนาบพิกัด (x; y) ความชัดเจนของวิธีการแบบกราฟิกช่วยในการค้นหาวิธีที่รวดเร็วในการแก้ปัญหา จากทั้งสองวิธีนี้ วิธีหลังไม่เพียงแต่สวยงามเท่านั้น แต่ยังเป็นวิธีที่สำคัญที่สุดด้วย เนื่องจากมันแสดงให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทุกประเภท: คำอธิบายทางวาจาของปัญหา แบบจำลองทางเรขาคณิต - กราฟของตรีโกณมิติกำลังสอง การวิเคราะห์ แบบจำลอง - คำอธิบายของแบบจำลองทางเรขาคณิตโดยระบบอสมการที่รวบรวมบนพื้นฐานของข้อความทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่ระบุจากกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ในหลายกรณี การแก้สมการกำลังสองด้วยพารามิเตอร์ทำให้เกิดการแปลงที่ยุ่งยาก สมมติฐาน: การใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสองจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก โดยลดไปสู่การแก้อสมการเชิงตรรกศาสตร์

ส่วนหลัก. ตำแหน่งของรากของตรีโกณมิติกำลังสองบนเส้นพิกัด

ลองพิจารณาข้อความบางข้อความที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่งของรากของตรีโกณมิติกำลังสอง f(x)=ax2+bx+c บนเส้นจำนวนสัมพันธ์กับจุด m และ n โดยที่ m

x1 และ x2 เป็นรากของตรีโกณมิติกำลังสอง

D=b2-4ac- แยกแยะของตรีโกณมิติกำลังสอง, D≥0

m, n, m1, m2, n1, n2 - ตัวเลขที่กำหนด

อาร์กิวเมนต์ทั้งหมดได้รับการพิจารณาสำหรับ a>0 กรณีของ a

คำชี้แจงที่หนึ่ง

เพื่อให้เลข m อยู่ระหว่างรากของตรีโกณมิติกำลังสอง (x1

การพิสูจน์.

ให้ x1

การตีความทางเรขาคณิต

ให้ x1 และ x2 เป็นรากของสมการ สำหรับ > 0 f(x)

ปัญหาที่ 1. ค่า k ใดที่สมการ x2-(2k+1)x + 3k-4=0 มีสองราก โดยค่าหนึ่งน้อยกว่า 2 และอีกค่ามากกว่า 2

สารละลาย. ฉ(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1

สำหรับ k>-2 สมการ x2-(2k+1)x + 3k-4=0 มีสองราก โดยค่าหนึ่งน้อยกว่า 2 และอีกค่ามากกว่า 2

คำตอบ: k>-2

ปัญหาที่ 2. สมการ kx2+(3k-2)x + k-3=0 มีรากของเครื่องหมายต่างกันสำหรับค่าใดของ k?

ปัญหานี้สามารถกำหนดได้ดังนี้: ค่า k ใดที่เลข 0 อยู่ระหว่างรากของสมการนี้

วิธีแก้ (ทางเดียว) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1

วิธีที่ 2 (ใช้ทฤษฎีบทของ Vieta) ถ้าสมการกำลังสองมีราก (D>0) และ c/a

ปัญหาที่ 3. ค่า k ใดที่สมการ (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 มีสองราก โดยค่าหนึ่งมีค่าน้อยกว่า k และอีกค่ามีค่ามากกว่า เค?

ฉ(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 แทนที่ค่า k จากชุดที่พบ เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าสำหรับค่า k D>0 เหล่านี้

คำชี้แจงที่สอง (ก)

เพื่อให้รากของตรีโกณมิติกำลังสองเป็น จำนวนน้อยลงม.(x1

พิสูจน์: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; ม2-(x1+x2)ม+x1x2

ปัญหาที่ 4 ค่าของพารามิเตอร์ใดที่เป็นรากของสมการ x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 น้อยกว่า -1?

ดี≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (เค-5)2≥0; k- ใด ๆ; x0-3/2; k0 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2

คำชี้แจงที่สอง (b)

เพื่อให้รากของตรีโกณมิติกำลังสองเป็น จำนวนมากขึ้นม(ม

ง ≥0; x0>ม; af(ม.)>0.

ถ้าเงื่อนไข ม. เนื่องจาก m ไม่อยู่ในช่วง (x1; x2) ดังนั้น f(m) > O สำหรับ a > 0 และ f(m)

ในทางกลับกัน ปล่อยให้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ เงื่อนไข D > 0 หมายถึงการมีอยู่ของราก x1 และ x2 (x1 m

ยังคงแสดงว่า x1 > m ถ้า D = 0 แล้ว x1 = x2 > m ถ้า D > 0 ดังนั้น f(x0) = -D/4a และ af(x0) 0 ดังนั้นที่จุด x0 และ m ฟังก์ชันจะใช้ค่าของเครื่องหมายตรงข้ามและ x1 เป็นของช่วงเวลา (m; x0)

ปัญหาที่ 5. ค่าของพารามิเตอร์ m คือรากของสมการ x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) มากกว่า 1? ข) น้อยกว่า -1?

วิธีแก้ไข ก) D≥0; ดี≥0; (3ม.+1)2-4(2ม.2+4ม.-6) ≥0; x0>ม; x0>1; ½(3m+1)>1; ฉ(ม.)>0. ฉ(1)>0. 1-(3ม.+1)+(2ม.2+4ม.-6)>0.

(ม-5)2≥0; ม. - ใด ๆ ม.>1/3; ม.>1/3;

(2 กม.-3)(ม.+2)>0. ลบ.ม./2. คำตอบ: ม>3/2

ข) D≥0; (3ม.+1)2-4(2ม.2+4ม.-6)≥0; (ม-5)2 ≥0; ม. - ใด ๆ x0-3/2; ม0 1+(3ม.+1)+(2ม.2+4ม.-6)>0 2(ม.+4)(ม.-1/2)>0. ม1/2.

ปัญหาที่ 6 ค่าของพารามิเตอร์ใดที่รากของสมการ kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 มากกว่า 1?

สารละลาย. เห็นได้ชัดว่าปัญหาเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้: ค่าใดของพารามิเตอร์ m คือรากของตรีโกณมิติกำลังสองที่มากกว่า 1?

ดี≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>ม; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2พัน+1 > 2พัน; af(ม.)>0. อัฟ(1)>0. k(เค-(2k+1)+(3k-1)) >0 2k2-2k>0

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะพบว่า

คำชี้แจงที่สาม

เพื่อให้รากของตรีโกณมิติกำลังสองมีค่ามากกว่าเลข m และน้อยกว่า n (m

ง ≥0; ม. 0 af(n)>0.

บันทึก คุณสมบัติลักษณะกราฟิก

1) สมการนี้มีราก ซึ่งหมายถึง D > 0

2) แกนสมมาตรอยู่ระหว่างเส้น x = m และ x = n ซึ่งหมายถึง m

3) ที่จุด x = m และ x = n กราฟจะอยู่เหนือแกน OX ดังนั้น f(m) > 0 และ f(n) > 0 (ที่ m

เงื่อนไขที่ระบุไว้ข้างต้น (1; 2; 3) จำเป็นและเพียงพอสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการ

ปัญหาที่ 7. m x2-2mx+m2-2m+5=0 ตัวเลขใดมีค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 4?

สารละลาย. เงื่อนไขของปัญหาสามารถกำหนดได้ดังนี้: สำหรับอะไร m มีความสัมพันธ์ -4

เราค้นหาค่า m จากระบบ

ง > 0; ม2 - (ม2 – 2ม. + 5) ≥ 0;

4 ≤ x0 ≤ 4; -4 ≤ ม.≤ 4; ฉ(-4)≥ 0; 16 + 8ม.+ ตร.ม. – 2 ม. + 5 ≥ 0; ฉ(4)≥0; 16-8ม. + ม2-2ม. + 5 ≥0; ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาคือกลุ่ม คำตอบ: ม.

ปัญหาที่ 8. ค่า m คือรากของตรีโกณมิติกำลังสอง

(2m - 2)x2 + (m+1)x + 1 มากกว่า -1 แต่น้อยกว่า 0?

สารละลาย. สามารถหาค่าของ m ได้จากระบบ

ดี≥0; (ม.+1)2-4(2ม.-2) ≥ 0;

(2ม. - 2)/(-1) > 0 (2ม. -2)(2ม. -2 -ม. -1 +1) > 0;

(2m-2)ฉ(0)>0; (2m-2)>0;

คำตอบ: ม > 2

คำชี้แจงที่สี่

เพื่อให้รากที่เล็กกว่าของตรีโกณมิติกำลังสองอยู่ในช่วง (m;n) และรากที่ใหญ่กว่านั้นไม่อยู่ใน (m

ง ≥0; af(ม.)>0 af(n)

กราฟของตรีโกณมิติกำลังสองตัดกับแกน OX หนึ่งครั้งในช่วงเวลา (m; n) ซึ่งหมายความว่าที่จุด x=m และ x=n ตรีโกณมิติกำลังสองจะใช้ค่าของเครื่องหมายที่แตกต่างกัน

ปัญหาที่ 10 สำหรับค่าใดของพารามิเตอร์ a มีเพียงรากที่เล็กกว่าของสมการกำลังสอง x2+2ax+a=0 เท่านั้นที่เป็นของช่วง X(0;3)

สารละลาย. พิจารณาตรีโกณมิติกำลังสอง y(x) = x2-2ax+a กราฟจะเป็นพาราโบลา กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น ให้ x1 เป็นรากที่น้อยกว่าของตรีโกณมิติกำลังสอง ตามเงื่อนไขของปัญหา x1 อยู่ในช่วง (0;3) ให้เราพรรณนาแบบจำลองทางเรขาคณิตของปัญหาที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา

เรามาดูระบบความไม่เท่าเทียมกันกันดีกว่า

1) เราสังเกตว่า y(0)>0 และ y(3) 0 ดังนั้น เงื่อนไขนี้จึงไม่จำเป็นต้องเขียนลงในระบบอสมการ

ดังนั้นเราจึงได้ระบบอสมการดังต่อไปนี้:

คำตอบ: ก>1.8

ข้อความที่สี่ (ข)

เพื่อให้รากที่ใหญ่กว่าของตรีโกณมิติกำลังสองอยู่ในช่วง (m; n) และรากที่เล็กกว่าไม่อยู่ใน (x1

ง ≥0; เอฟ(ม.) 0.

ข้อความที่สี่ (รวมกัน)

ความคิดเห็น ให้กำหนดปัญหาดังนี้: รากหนึ่งของสมการมีค่าใดของพารามิเตอร์ที่อยู่ในช่วงเวลา (b;m) และอีกค่าหนึ่งไม่มี? เพื่อแก้ปัญหานี้ ไม่จำเป็นต้องแยกแยะระหว่างสองกรณีย่อย เราพบคำตอบจากอสมการ f(m) f(n)

ง ≥0; ฉ(ม) ฉ(n)

ปัญหาที่ 11 สำหรับสิ่งที่ m มีรากเดียวของสมการ x2-mх+6=0 ตรงตามเงื่อนไขที่ 2

สารละลาย. จากข้อความที่ 4(b) เราจะหาค่าของ m จากเงื่อนไข f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0 เช่น สำหรับ m = ±2√6 สำหรับ m = -2√6 x = - √6 ซึ่งไม่อยู่ในช่วง (2; 5) โดยที่ m = 2√6 x =√6 อยู่ในช่วง (2; 5)

คำตอบ: ม. (2√6) ยู (5; 31/5)

คำชี้แจงที่ห้า

เพื่อให้รากของตรีโกณมิติกำลังสองเป็นไปตามความสัมพันธ์ (x1

ง ≥0; af(m)ปัญหาที่ 12. จงหาค่าทั้งหมดของ m ที่มีอสมการ x2+2(m-3)x + m2-6m

สารละลาย. ตามเงื่อนไขจะต้องมีช่วง (0; 2) อยู่ในชุดคำตอบของอสมการ x2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m ตามคำสั่งที่ 5 เราจะหาค่า m จากระบบ ของอสมการ f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4] โดยที่ m

คำตอบ: ม.

คำชี้แจงที่หก

เพื่อให้รากที่เล็กกว่าของตรีโกณมิติกำลังสองอยู่ในช่วง (m1; m2) และรากที่ใหญ่กว่าจะอยู่ในช่วง (n1; n2) (m2

ง ≥0; เอเอฟ(m1)>0; af(m2)คำสั่งนี้เป็นการรวมกันของคำสั่ง 4a และ 4b อสมการสองอันแรกรับประกันว่า x1(m1, n1) และอสมการสองอันสุดท้ายรับประกันว่า x2(m2, n2)

ปัญหาที่ 13 ที่ m คือหนึ่งในรากของสมการ x2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 อยู่ระหว่างตัวเลข 1 และ 3 และอันที่สอง - ระหว่างตัวเลข 4 ถึง 6?

สารละลาย. 1 วิธี. เมื่อพิจารณาว่า a = 1 ค่าของ m สามารถพบได้จากระบบ f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + m-2 >0; m2-m-2>0 ม. (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)

4(4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 ม. (-∞;4)U (7;+∞) ดังนั้น ม.(2; 4)

คำตอบ: ม(2; 4)

ดังนั้นเราจึงสร้างข้อความที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่งของรากของตรีโกณมิติกำลังสอง f(x)=ax2+bx+ บนเส้นจำนวนเทียบกับจุดบางจุด

บทสรุป

ในระหว่างการทำงานของฉัน ฉันได้เรียนรู้ทักษะทางเทคนิคและคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งในระดับการใช้งานฟรี และปรับปรุงวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของฉันโดยเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

ผลจากการทำงานบรรลุเป้าหมายที่ตั้งไว้: มีการสร้างคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสองซึ่งทำให้สามารถแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่งของรากของสมการกำลังสองที่เกี่ยวข้องกับจุดคุณลักษณะบางอย่างได้ง่ายขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ มีการสร้างกรณีที่เป็นไปได้ของตำแหน่งของรากของตรีโกณมิติกำลังสองบนเส้นจำนวน มีการระบุอัลกอริทึมที่ช่วยให้แก้สมการกำลังสองด้วยพารามิเตอร์ตามตำแหน่งของรากของตรีโกณมิติกำลังสองบนเส้นจำนวน งานที่มีความซับซ้อนสูงกว่าระดับที่ต้องการได้รับการแก้ไขแล้ว งานนำเสนอวิธีแก้ปัญหาเพียง 12 ปัญหาเนื่องจากจำนวนหน้างานมีจำกัด แน่นอนว่าปัญหาที่กล่าวถึงในงานสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น: การใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง การใช้คุณสมบัติของราก (ทฤษฎีบทของ Vieta)

ในความเป็นจริงปัญหาจำนวนมากได้รับการแก้ไขแล้ว จึงมีการตัดสินใจสร้างชุดปัญหาในหัวข้อการออกแบบและงานวิจัย “ผู้แก้ปัญหาการนำคุณสมบัติของตรีโกณมิติกำลังสองที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่งของรากบนเส้นพิกัด” นอกจากนี้ ผลงาน (ผลงานการออกแบบและงานวิจัย) ยังเป็นการนำเสนอด้วยคอมพิวเตอร์ที่สามารถนำไปใช้ในชั้นเรียนวิชาเลือก “การแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์”