ในบทความนี้ เราจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยพื้นฐานของการวัดมุม - องศาและเรเดียน การเชื่อมต่อนี้จะทำให้เราดำเนินการได้ในที่สุด การแปลงองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน. เพื่อให้กระบวนการเหล่านี้ไม่ก่อให้เกิดปัญหา เราจะได้สูตรสำหรับการแปลงองศาเป็นเรเดียนและสูตรสำหรับการแปลงจากเรเดียนเป็นองศา หลังจากนั้นเราจะวิเคราะห์รายละเอียดการแก้ปัญหาของตัวอย่าง

การนำทางหน้า

ความสัมพันธ์ระหว่างองศาและเรเดียน

ความเชื่อมโยงระหว่างองศาและเรเดียนจะเกิดขึ้นหากทราบทั้งการวัดองศาและเรเดียนของมุม (สามารถดูการวัดองศาและเรเดียนของมุมได้ในหัวข้อ)

ใช้มุมศูนย์กลางตามเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมรัศมี r เราสามารถคำนวณการวัดมุมนี้เป็นเรเดียนได้: สำหรับสิ่งนี้เราจำเป็นต้องหารความยาวของส่วนโค้งด้วยความยาวของรัศมีของวงกลม มุมนี้สอดคล้องกับความยาวส่วนโค้งเท่ากับครึ่งหนึ่ง เส้นรอบวง, นั่นคือ, . หารความยาวนี้ด้วยความยาวของรัศมี r เราจะได้ค่าเรเดียนของมุมที่เราถ่าย ดังนั้นมุมของเราคือแรด ในทางกลับกัน มุมนี้ขยายออกเท่ากับ 180 องศา ดังนั้น ไพเรเดียนคือ 180 องศา

ดังนั้นจึงแสดงโดยสูตร π เรเดียน = 180 องศา, นั่นคือ, .

สูตรสำหรับการแปลงองศาเป็นเรเดียนและเรเดียนเป็นองศา

จากความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม ซึ่งเราได้มาในย่อหน้าก่อนหน้า มันเป็นเรื่องง่ายที่จะได้มา สูตรสำหรับการแปลงเรเดียนเป็นองศาและองศาเป็นเรเดียน.

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย pi เราจะได้สูตรที่แสดงหนึ่งเรเดียนเป็นองศา: . สูตรนี้หมายความว่าการวัดองศาของมุมหนึ่งเรเดียนคือ 180/π หากเราสลับส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกัน จากนั้นหารทั้งสองส่วนด้วย 180 เราจะได้สูตรของแบบฟอร์ม . มันแสดงหนึ่งองศาในเรเดียน

เพื่อสนองความอยากรู้ของเรา เราจึงคำนวณค่าโดยประมาณของมุมหนึ่งเรเดียนเป็นองศาและค่าของมุมหนึ่งองศาเป็นเรเดียน ในการทำเช่นนี้ ให้นำค่าของจำนวน pi ที่แม่นยำถึงหนึ่งในหมื่น แทนค่าลงในสูตร และ และทำการคำนวณ เรามี และ . ดังนั้น หนึ่งเรเดียนมีค่าประมาณ 57 องศา และหนึ่งองศาคือ 0.0175 เรเดียน

ในที่สุดจากความสัมพันธ์ที่ได้รับ และ มาดูสูตรสำหรับการแปลงเรเดียนเป็นองศาและในทางกลับกัน และพิจารณาตัวอย่างการใช้สูตรเหล่านี้ด้วย

สูตรสำหรับแปลงเรเดียนเป็นองศาดูเหมือน: . ดังนั้นหากทราบค่าของมุมเป็นเรเดียน ให้คูณด้วย 180 แล้วหารด้วย pi เราจะได้ค่าของมุมนี้เป็นองศา

ตัวอย่าง.

กำหนดมุม 3.2 เรเดียน มุมนี้มีหน่วยเป็นองศาเท่าใด

สารละลาย.

เราใช้สูตรสำหรับการแปลงจากเรเดียนเป็นองศา เรามี

คำตอบ:

.

สูตรสำหรับแปลงองศาเป็นเรเดียนมีแบบฟอร์ม . นั่นคือถ้าทราบค่าของมุมเป็นองศาแล้วคูณด้วย pi และหารด้วย 180 เราจะได้ค่าของมุมนี้เป็นเรเดียน ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหา

ความจำเป็นในการวัดมุมปรากฏขึ้นสำหรับผู้คนตั้งแต่อารยธรรมถึงระดับทางเทคนิคขั้นต่ำ ทุกคนรู้ถึงความแม่นยำที่น่าอัศจรรย์ของการปฏิบัติตามความเอียงและการวางแนวไปยังจุดสำคัญซึ่งจัดทำโดยผู้สร้าง ปิรามิดอียิปต์. ปัจจุบันเชื่อกันว่าการวัดองศาของมุมสมัยใหม่ได้รับการคิดค้นโดยชาวอัคคาเดียนโบราณ

องศาคืออะไร?

องศาเป็นหน่วยวัดทั่วไปสำหรับมุม ในวงกลมเต็ม 360 องศา ไม่ทราบเหตุผลที่เลือกหมายเลขเฉพาะนี้ ชาวอัคคาเดียอาจแบ่งวงกลมออกเป็นภาคโดยใช้มุมของสามเหลี่ยมด้านเท่า จากนั้นแบ่งส่วนที่เป็นผลอีกครั้งออกเป็น 60 ส่วนตามระบบตัวเลข ระดับยังแบ่งออกเป็น 60 นาที และนาทีเป็น 60 วินาที สัญกรณ์ที่ยอมรับกันทั่วไปคือ:

° - องศาเชิงมุม

' - นาที,

'' - วินาที

กว่าพันปี การวัดระดับของมุมได้เข้ามามีบทบาทในกิจกรรมต่างๆ ของมนุษย์อย่างแน่นหนา มันยังคงขาดไม่ได้ในทุกด้านของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ตั้งแต่การทำแผนที่ไปจนถึงการคำนวณวงโคจรของดาวเทียมโลกเทียม

เรเดียนคืออะไร?

อาร์คิมิดีสได้รับเครดิตจากการค้นพบความคงที่ของอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมและเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน เราชื่อปี่ เป็นจำนวนอตรรกยะ กล่าวคือ ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาหรือเศษส่วนได้ ส่วนใหญ่มักจะใช้ค่าของตัวเลขπโดยมีทศนิยมสองตำแหน่ง - 3.14 เส้นรอบวง L ที่มีรัศมี R คำนวณได้ง่ายๆ โดยใช้สูตร: L=2πR

วงกลมรัศมี R=1 มีความยาว 2π ความสัมพันธ์นี้ใช้ในรูปทรงเรขาคณิตเป็นการกำหนดหน่วยวัดเรเดียนของมุม

ตามคำนิยาม เรเดียนคือมุมที่มีจุดยอดที่จุดศูนย์กลางของวงกลม โดยขึ้นอยู่กับส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม การกำหนดระหว่างประเทศของเรเดียนคือ rad ส่วนในประเทศคือ rad มันไม่มีมิติ

ส่วนโค้งของวงกลมที่มีรัศมี R มีค่าเชิงมุมเป็น α เรเดียน มีความยาว α * R

เหตุใดจึงต้องแนะนำหน่วยวัดมุมใหม่

การพัฒนาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีได้นำไปสู่การกำเนิดของตรีโกณมิติและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งจำเป็นสำหรับการคำนวณที่แม่นยำของอุปกรณ์ทางกลและทางแสง งานอย่างหนึ่งคือการวัดความยาวของเส้นโค้ง กรณีที่พบบ่อยที่สุดคือการกำหนดความยาวของส่วนโค้งของวงกลม การใช้การวัดระดับของมุมเพื่อจุดประสงค์นี้ไม่สะดวกอย่างยิ่ง แนวคิดในการเปรียบเทียบความยาวของส่วนโค้งกับรัศมีของวงกลมเกิดขึ้นในหมู่นักคณิตศาสตร์หลายคน แต่คำว่า "เรเดียน" นั้นถูกนำมาใช้ในทางวิทยาศาสตร์ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 เท่านั้น ตอนนี้ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดอยู่ใน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ตามค่าเริ่มต้น จะใช้การวัดเรเดียนของมุม

วิธีแปลงองศาเป็นเรเดียน

จากสูตรหาเส้นรอบวง จะได้ว่ารัศมี 2π พอดีกับวงกลมนั้น นี่หมายความว่า: 1⁰=2π/360= π/180 rad

และสูตรการแปลงง่ายๆ จากเรเดียนเป็นองศา: 1 rad = 180/π

สมมุติว่าเรามีมุม N องศา จากนั้นสูตรสำหรับการแปลงจากองศาเป็นเรเดียนจะเป็น: α(เรเดียน) = N/(180/π) = N*π/180

คุณมีคำถามใดๆ?

สามารถหาคำตอบได้จากแนวคิดของเส้นรอบวงของวงกลม การวัดเรเดียนของมุมและ ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมแสดงการแปลงองศาเป็นเรเดียน ความรู้ในเรื่องดังกล่าวมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ หากปราศจากการดำรงอยู่ของอารยธรรมสมัยใหม่ก็เป็นไปไม่ได้

เป็นเรื่องปกติที่คนในวิชาคณิตศาสตร์ต้องเผชิญกับงานแปลงองศาเป็นเรเดียนหรือกลับกัน เพื่อให้งานนี้สำเร็จค่อนข้างง่ายและคุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้เชิงลึกในวิทยาศาสตร์ประยุกต์หรือคณิตศาสตร์ต่างๆ ก่อนอื่นคุณต้องจัดการกับค่าการวัดเหล่านี้ องศาและเรเดียนเป็นหน่วยพื้นฐานที่ใช้ในการวัดมุมระนาบในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ หน่วยเหล่านี้ยังใช้ในการทำแผนที่เพื่อกำหนดพิกัดที่ใดก็ได้ในโลก

ปริมาณการวัดเหล่านี้กำหนดไว้ดังนี้:

• แรด - เรเดียน
• องศา - º

วิธีแปลงองศาเป็นเรเดียน

ในการเริ่มต้น เพื่อให้สูตรการแปลงองศาเป็นเรเดียนมีความชัดเจน คุณต้องเรียนรู้วิธีแปลมุมเป็นเรเดียนและเรเดียนเป็นมุม:

• 1 rad = (180/π)ºπ 57.295779513 โดยที่ π เท่ากับ 3.14
• 1° = (π/180) ราด π 0.017453293 ราด

ตามสูตรข้างต้นจะชัดเจนในทันทีว่า π rad \u003d 180 ° มาจากสูตรที่ง่ายและเข้าใจได้สำหรับการแปลค่าการวัด ทีนี้มาดูสูตรหลักที่ใช้ในการแปล:

1. องศาเรเดียน

Zº=Z rad × (180/π) โดยที่ Zº คือมุมในหน่วยองศา และ Z rad คือมุมในหน่วยเรเดียน π = 3.14

2. เรเดียนเป็นองศา

Z ราด = Z° × (π/180)

ทีนี้มาดูตัวอย่างเพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าจะใช้สูตรข้างต้นอย่างไรในทางปฏิบัติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ใช้สองมุม 20º และ 100º:

1. แปลงองศาเป็นเรเดียน

• 20º = 20 แรด × (π/180) π 0.35 แรด
• 100º = 100 แรด × (180/π) π 1.7453 แรด

2. แปลงเรเดียนเป็นองศา

• 20 rad = 20º × (180/π) π 1146.15 โดยที่ π = 3.14
• 100 rad = 100° × (180/π) π 5729.577 โดยที่ π = 3.14

เมื่อพิจารณาสูตรการแปลงค่าการวัดแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าการรับมือกับงานนั้นค่อนข้างง่าย สำหรับผู้ที่ไม่ต้องการคำนวณด้วยตนเอง มีเว็บไซต์มากมายบนอินเทอร์เน็ตที่สามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์เพื่อแปลงองศาเป็นเรเดียนหรือกลับกัน การใช้งานเหล่านี้จะช่วยอำนวยความสะดวกในการทำงานตรีโกณมิติต่างๆ ของคุณอย่างมาก

เครื่องคิดเลขออนไลน์ดำเนินการ แปลงองศาเป็นเรเดียน, แปลงเรเดียนเป็นองศา, การแปลงเศษส่วนองศา (องศาแทน ทศนิยม) เป็นองศา ลิปดา และวินาทีและแสดงสูตรพร้อมวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียด

แปลงองศาเป็นเรเดียน: องศาต้องคูณด้วย π/180 หากกำหนดองศาในรูปแบบ "องศา ลิปดา และวินาที" จะต้องแปลงเป็นทศนิยมก่อนโดยใช้สูตร: องศา + นาที / 60 + วินาที / 3600;

สูตรสำหรับแปลงเรเดียนเป็นองศา: ถ้ามุมคือ α rad เรเดียน ก็จะเท่ากับ สูตรแปลงเรเดียนเป็นองศา องศา โดยที่ π ≈ 3.1415

แปลงเรเดียนเป็นองศา: เรเดียนต้องคูณด้วย 180/π ส่วนจำนวนเต็มของผลคูณที่ได้คือจำนวนองศา ในการแปลงเศษส่วนเป็นนาที คุณต้องคูณด้วย 60 ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของผลคูณที่ได้คือจำนวนนาที ในการคำนวณวินาที คุณต้องคูณส่วนที่เป็นเศษส่วนของการดำเนินการก่อนหน้าด้วย 60 อีกครั้ง ปัดเศษผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด - นี่คือจำนวนวินาที

สูตรสำหรับแปลงองศาเป็นเรเดียน: ถ้ามุมคือ α องศาเรเดียน ก็จะเท่ากับ สูตรสำหรับแปลงองศาเป็นเรเดียน เรเดียน โดยที่ π ≈ 3.1415

ช่วยในการพัฒนาโครงการไซต์

เรียนผู้เยี่ยมชมเว็บไซต์
หากคุณไม่พบสิ่งที่คุณต้องการ - อย่าลืมเขียนเกี่ยวกับสิ่งนี้ในความคิดเห็น สิ่งที่ไซต์ขาดหายไปในขณะนี้ สิ่งนี้จะช่วยให้เราเข้าใจว่าเราต้องก้าวต่อไปในทิศทางใด และผู้เยี่ยมชมคนอื่นๆ จะสามารถรับเนื้อหาที่จำเป็นได้ในเร็วๆ นี้
หากไซต์นั้นมีประโยชน์กับคุณ ให้บริจาคไซต์ให้กับโครงการ เพียง 2 ₽แล้วเราจะรู้ว่าเรามาถูกทางแล้ว

ขอบคุณที่ไม่ผ่าน!

ฉันโน้ต:

1. ผลการคำนวณจะปัดเศษเป็นจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่ระบุ

ครั้งที่สอง สำหรับการอ้างอิง:

1. การวัดองศาของมุม- การวัดเชิงมุมซึ่งใช้หน่วยวัดมุม 1 องศา และแสดงจำนวนครั้งที่องศาและส่วนต่างๆ (นาทีและวินาที) พอดีกับมุมที่กำหนด
2. การวัดเรเดียนของมุม- การวัดเชิงมุมซึ่งใช้หน่วยวัดมุม 1 เรเดียน และแสดงจำนวนครั้งที่เรเดียนพอดีในมุมที่กำหนด
3. องศาและเรเดียน- หน่วยวัดมุมระนาบในรูปทรงเรขาคณิต
4. หนึ่งองศาเท่ากับ 1/180 ของมุมที่ยืดออก
5. เรเดียนคือมุมที่สอดคล้องกับส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมี

Nomogram เพื่อแปลงเรเดียนเป็นองศาและองศาเป็นเรเดียน

ตารางค่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บันทึก. ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ใช้เครื่องหมาย √ เพื่อแสดงถึง รากที่สอง. เพื่อแสดงเศษส่วน - สัญลักษณ์ "/"

ดูสิ่งนี้ด้วยวัสดุที่เป็นประโยชน์:

สำหรับ การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้หาที่จุดตัดของเส้นที่ระบุฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น ไซน์ 30 องศา - เรากำลังมองหาคอลัมน์ที่มีหัวเรื่อง บาป (ไซน์) และเราพบจุดตัดของคอลัมน์นี้ของตารางด้วยเส้น "30 องศา" ที่จุดตัดกัน เราอ่านผลลัพธ์ - หนึ่ง ที่สอง. ในทำนองเดียวกันเราพบ โคไซน์ 60องศา ไซน์ 60องศา (อีกครั้งที่จุดตัดของคอลัมน์ sin (ไซน์) และแถว 60 องศา เราจะพบค่า sin 60 = √3/2) เป็นต้น ในทำนองเดียวกันจะพบค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม "ยอดนิยม" อื่น ๆ

ไซน์ของ pi, โคไซน์ของ pi, แทนเจนต์ของ pi และมุมอื่นๆ ในหน่วยเรเดียน

ตารางของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ด้านล่างยังเหมาะสำหรับการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีอาร์กิวเมนต์ กำหนดเป็นเรเดียน. ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้คอลัมน์ที่สองของค่ามุม ด้วยเหตุนี้ คุณจึงสามารถแปลงค่าของมุมยอดนิยมจากองศาเป็นเรเดียนได้ ตัวอย่างเช่น ลองหามุม 60 องศาในบรรทัดแรกแล้วอ่านค่าเป็นเรเดียนข้างใต้ 60 องศา เท่ากับ π/3 เรเดียน

ตัวเลข pi เป็นการแสดงออกถึงการพึ่งพาของเส้นรอบวงของวงกลมกับการวัดองศาของมุมโดยเฉพาะ ดังนั้น ไพเรเดียน เท่ากับ 180 องศา

ตัวเลขใด ๆ ที่แสดงในรูปของ pi (เรเดียน) สามารถแปลงเป็นองศาได้ง่าย ๆ โดยแทนที่จำนวน pi (π) ด้วย 180.

ตัวอย่าง:
1. ไซน์ไพ.
บาป π = บาป 180 = 0
ดังนั้น ไซน์ของไพจะเหมือนกับไซน์ของ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

2. โคไซน์ไพ.
คอส π = คอส 180 = -1
ดังนั้น โคไซน์ของไพจะเท่ากับโคไซน์ของ 180 องศา และเท่ากับลบหนึ่ง

3. แทนเจนต์ pi
tg π = tg 180 = 0
ดังนั้น แทนเจนต์ของ pi จะเหมือนกับแทนเจนต์ของ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

ตารางค่าไซน์ โคไซน์ ค่าแทนเจนต์สำหรับมุม 0 - 360 องศา (ค่าที่พบบ่อย)

หากในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แทนที่จะเป็นค่าของฟังก์ชัน จะมีการระบุเส้นประ (แทนเจนต์ (tg) 90 องศา, โคแทนเจนต์ (ctg) 180 องศา) จากนั้นสำหรับค่าที่กำหนดของการวัดระดับของ มุม ฟังก์ชันไม่มีค่าแน่นอน ถ้าไม่มีเส้นประ แสดงว่าเซลล์นั้นว่างเปล่า เราจึงยังไม่ได้ป้อนค่าที่ต้องการ เราสนใจในสิ่งที่ผู้ใช้ร้องขอและเสริมตารางด้วยค่าใหม่แม้ว่าข้อมูลปัจจุบันเกี่ยวกับค่าของโคไซน์, ไซน์และแทนเจนต์ของค่ามุมที่พบมากที่สุดก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาได้มากที่สุด ปัญหา.

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tg สำหรับมุมที่นิยมมากที่สุด
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 องศา
(ค่าตัวเลข "ตามตาราง Bradis")