คำนิยาม.ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) ถูกกำหนดในช่วงเวลาหนึ่งโดยมีจุด \(x_0\) อยู่ข้างใน ลองเพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ \(\Delta x \) เพื่อไม่ให้ออกจากช่วงเวลานี้ เรามาค้นหาส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน \(\Delta y \) (เมื่อย้ายจากจุด \(x_0 \) ไปยังจุด \(x_0 + \Delta x \)) และเขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\เดลต้า x) \) หากมีขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้ที่ \(\Delta x \rightarrow 0\) ขีดจำกัดที่ระบุจะถูกเรียก อนุพันธ์ของฟังก์ชัน\(y=f(x) \) ที่จุด \(x_0 \) และแสดงถึง \(f"(x_0) \)
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
สัญลักษณ์ y มักใช้เพื่อแสดงถึงอนุพันธ์ โปรดทราบว่า y" = f(x) เป็นฟังก์ชันใหม่ แต่โดยธรรมชาติแล้วจะเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้ที่จุด x ทั้งหมดซึ่งมีขีดจำกัดข้างต้นอยู่ ฟังก์ชันนี้เรียกว่าดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x).
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์เป็นดังนี้ หากเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสกันบนกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุดที่มี abscissa x=a ซึ่งไม่ขนานกับแกน y แล้ว f(a) จะแสดงความชันของเส้นสัมผัสกัน : :
\(k = ฉ"(ก)\)
เนื่องจาก \(k = tg(a) \) ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน \(f"(a) = tan(a) \) จึงเป็นจริง
ทีนี้มาตีความคำจำกัดความของอนุพันธ์จากมุมมองของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) มีอนุพันธ์ ณ จุดเฉพาะ \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ซึ่งหมายความว่า เมื่อใกล้กับจุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), เช่น \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ เดลต้า x\) ความหมายที่มีความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เกิดขึ้นมีดังนี้: การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือ "เกือบเป็นสัดส่วน" กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด x ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน \(y = x^2\) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) นั้นใช้ได้ หากเราวิเคราะห์คำจำกัดความของอนุพันธ์อย่างรอบคอบ เราจะพบว่ามันมีอัลกอริธึมในการค้นหา
มากำหนดกัน
จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ได้อย่างไร?
1. แก้ไขค่าของ \(x\), หา \(f(x)\)
2. เพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ \(x\) \(\Delta x\) ไปที่จุดใหม่ \(x+ \Delta x \) ค้นหา \(f(x+ \Delta x) \)
3. ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. สร้างความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. คำนวณ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ลิมิตนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x
ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x จะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ขั้นตอนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชัน y = ฉ(x)
ให้เราอภิปรายคำถามต่อไปนี้: ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดที่เกี่ยวข้องกันเป็นอย่างไร
ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จากนั้นสามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันที่จุด M(x; f(x)) และจำได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับ f "(x) กราฟดังกล่าวไม่สามารถ "แตกหัก" ที่จุด M นั่นคือ ฟังก์ชันจะต้องต่อเนื่องที่จุด x
สิ่งเหล่านี้เป็นข้อโต้แย้งแบบ "ลงมือปฏิบัติ" ให้เราให้เหตุผลที่เข้มงวดมากขึ้น หากฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ยังคงอยู่ หากในความเท่าเทียมกันนี้ \(\Delta x \) มีแนวโน้มเป็นศูนย์ จากนั้น \(\Delta y \) จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ และนี่คือเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
ดังนั้น, ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x แสดงว่าฟังก์ชันดังกล่าวมีความต่อเนื่องที่จุดนั้น.
ข้อความย้อนกลับไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น: ฟังก์ชัน y = |x| มีความต่อเนื่องในทุกที่ โดยเฉพาะที่จุด x = 0 แต่ไม่มีค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่ "จุดเชื่อมต่อ" (0; 0) ถ้า ณ จุดหนึ่งไม่สามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันได้ ก็แสดงว่าไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น
อีกตัวอย่างหนึ่ง ฟังก์ชัน \(y=\sqrt(x)\) ต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด รวมถึงที่จุด x = 0 และค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนั้นมีอยู่ที่จุดใดๆ รวมถึงที่จุด x = 0 . แต่ ณ จุดนี้ แทนเจนต์เกิดขึ้นพร้อมกับแกน y กล่าวคือ มันตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา สมการของมันมีรูปแบบ x = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ความชันบรรทัดดังกล่าวไม่มี ซึ่งหมายความว่า \(f"(0) \) ไม่มีอยู่เช่นกัน
ดังนั้นเราจึงได้ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชัน - การหาอนุพันธ์ เราจะสรุปจากกราฟของฟังก์ชันว่ามันหาอนุพันธ์ได้อย่างไร
คำตอบได้รับจริงข้างต้น หาก ณ จุดใดจุดหนึ่ง มีความเป็นไปได้ที่จะวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะสามารถหาอนุพันธ์ได้ ถ้า ณ จุดหนึ่ง แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้
กฎของความแตกต่าง
การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง- เมื่อดำเนินการนี้ คุณมักจะต้องทำงานกับผลหาร ผลรวม ผลคูณของฟังก์ชัน รวมถึง "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" ซึ่งก็คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหากฎการหาอนุพันธ์ที่ทำให้งานนี้ง่ายขึ้น ถ้าค- จำนวนคงที่และ f=f(x), g=g(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ดังนั้นสิ่งต่อไปนี้จึงเป็นจริง กฎความแตกต่าง:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่าง
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln ก) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $เนื้อหาของบทความ
อนุพันธ์– อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x) กำหนดในช่วงเวลาหนึ่ง ( ก, ข) ณ จุดนั้น xของช่วงเวลานี้เรียกว่าลิมิตซึ่งอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันมีแนวโน้ม ฉณ จุดนี้การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่สอดคล้องกันเมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์
อนุพันธ์มักจะแสดงดังนี้:
การกำหนดอื่น ๆ ก็ใช้กันอย่างแพร่หลายเช่นกัน:
ความเร็วทันที
ปล่อยให้ประเด็น มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ระยะทาง สจุดที่เคลื่อนที่นับจากตำแหน่งเริ่มต้นบางตำแหน่ง ม 0 ขึ้นอยู่กับเวลา ที, เช่น. สมีฟังก์ชันของเวลา ที: ส= ฉ(ที). ปล่อยให้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ทีจุดเคลื่อนที่ มอยู่ในระยะไกล สจากตำแหน่งเริ่มต้น ม 0 และในบางครั้ง ช่วงเวลาถัดไป ที+ดี ทีพบว่าตัวเองอยู่ในตำแหน่ง ม 1 – ในระยะไกล ส+ดี สจากตำแหน่งเริ่มต้น ( ดูรูป.).
ดังนั้นในช่วงเวลาหนึ่ง D ทีระยะทาง สเปลี่ยนตามจำนวน D ส- ในกรณีนี้พวกเขาบอกว่าในช่วงเวลา D ทีขนาด สได้รับการเพิ่มขึ้น D ส.
ความเร็วเฉลี่ยไม่สามารถระบุลักษณะความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดได้อย่างแม่นยำในทุกกรณี มในช่วงเวลาหนึ่ง ที- ตัวอย่างเช่น หากร่างกายอยู่ที่จุดเริ่มต้นของช่วง D ทีเคลื่อนที่เร็วมากและสุดท้ายช้ามากความเร็วเฉลี่ยจะไม่สามารถสะท้อนลักษณะการเคลื่อนที่ของจุดที่ระบุและให้ทราบถึงความเร็วที่แท้จริงของการเคลื่อนที่ในขณะนั้น ที- หากต้องการแสดงความเร็วจริงโดยใช้ความเร็วเฉลี่ยได้แม่นยำยิ่งขึ้น คุณต้องใช้เวลา D น้อยลง ที- แสดงลักษณะความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดในขณะนั้นได้อย่างสมบูรณ์ที่สุด ทีขีดจำกัดที่ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มที่ D ที® 0. ขีดจำกัดนี้เรียกว่าความเร็วของการเคลื่อนที่เข้า ในขณะนี้:
ดังนั้น ความเร็วของการเคลื่อนที่ ณ ขณะหนึ่งเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนการเพิ่มเส้นทาง D สการเพิ่มเวลา D ทีเมื่อการเพิ่มเวลามีแนวโน้มเป็นศูนย์ เพราะ
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน
การสร้างเส้นสัมผัสกันเป็นหนึ่งในปัญหาที่นำไปสู่การเกิดแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ งานตีพิมพ์ครั้งแรกที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ซึ่งเขียนโดยไลบ์นิซมีชื่อว่า วิธีการใหม่สูงสุดและต่ำสุดเช่นเดียวกับแทนเจนต์ซึ่งทั้งปริมาณเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะและแคลคูลัสชนิดพิเศษสำหรับสิ่งนี้ทำหน้าที่เป็นอุปสรรค.
ให้เส้นโค้งเป็นกราฟของฟังก์ชัน ย =ฉ(x) ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ( ซม- ข้าว.).
ในระดับหนึ่งค่า xฟังก์ชั่นมีความสำคัญ ย =ฉ(x- ค่านิยมเหล่านี้ xและ ยจุดบนเส้นโค้งสอดคล้องกัน ม 0(x, ย- ถ้าจะเถียง. xให้ เพิ่มขึ้น D xแล้วค่าใหม่ของอาร์กิวเมนต์ x+ดี xสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันใหม่ ย+ดี ย = ฉ(x + ดี x- จุดที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งจะเป็นจุด ม 1(x+ดี x,ย+ดี ย- ถ้าคุณวาดเส้นตัด ม 0ม 1 และเขียนแทนด้วย j มุมที่เกิดจากเส้นตัดขวางที่มีทิศทางบวกของแกน วัวจากรูปก็ชัดเจนทันทีว่า
ถ้าตอนนี้ D xมีแนวโน้มเป็นศูนย์ แล้วจึงถึงจุด ม 1 เคลื่อนที่ไปตามโค้งเข้าใกล้จุด ม 0 และมุม เจ เปลี่ยนแปลงด้วย D x- ที่ ดีเอ็กซ์® 0 มุม j มีแนวโน้มที่จะถึงขีดจำกัด a และเส้นตรงที่ผ่านจุดนั้น ม 0 และองค์ประกอบที่มีทิศทางบวกของแกน x มุม a จะเป็นแทนเจนต์ที่ต้องการ ความชันของมันคือ:
เพราะฉะนั้น, ฉ´( x) = ทีจีเอ
เหล่านั้น. มูลค่าอนุพันธ์ ฉ´( x) สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด xเท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ณ จุดที่สอดคล้องกัน ม 0(x,ย) โดยมีทิศทางแกนบวก วัว.
ความแตกต่างของฟังก์ชัน
คำนิยาม. ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) มีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น x = x 0 จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้
ความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ทฤษฎีบท.
ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางจุด x = x 0 แล้วมันจะต่อเนื่อง ณ จุดนี้
ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถมีอนุพันธ์ที่จุดไม่ต่อเนื่องได้ ข้อสรุปตรงกันข้ามไม่ถูกต้องเช่น จากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อถึงจุดหนึ่ง x = x 0 ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) มีความต่อเนื่องไม่ได้หมายความว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ย = |x- อย่างต่อเนื่องสำหรับทุกคน x(–Ґ x x = 0 ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้กราฟไม่มีแทนเจนต์ มีแทนเจนต์ขวาและซ้าย แต่ไม่ตรงกัน
ทฤษฎีบทบางประการเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบทเรื่องรากของอนุพันธ์ (ทฤษฎีบทของโรล)ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) มีความต่อเนื่องในส่วนนี้ [ก,ข] สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของส่วนนี้และที่ส่วนท้าย x = กและ x = ขไปที่ศูนย์ ( ฉ(ก) = ฉ(ข) = 0) จากนั้นอยู่ภายในส่วน [ ก,ข] มีอย่างน้อยหนึ่งจุด x= กับ, ก c b ซึ่งอนุพันธ์ ฉў( x) ไปที่ศูนย์ เช่น ฉў( ค) = 0.
ทฤษฎีบทการเพิ่มขึ้นจำกัด (ทฤษฎีบทลากรองจ์)ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] และสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของส่วนนี้ จากนั้นจึงอยู่ภายในส่วน [ ก, ข] มีอย่างน้อยหนึ่งจุด กับ, กค ข อันนั้น
ฉ(ข) – ฉ(ก) = ฉў( ค)(ข– ก).
ทฤษฎีบทว่าด้วยอัตราส่วนส่วนเพิ่มของสองฟังก์ชัน (ทฤษฎีบทของคอชี)ถ้า ฉ(x) และ ก(x) – สองฟังก์ชันต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ [ก, ข] และหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของเซ็กเมนต์นี้ และ กў( x) จะไม่หายไปจากส่วนใดภายในส่วนนี้ จากนั้นจึงอยู่ภายในส่วน [ ก, ข] มีจุดดังกล่าว x = กับ, กค ข อันนั้น
อนุพันธ์ของคำสั่งต่างๆ
ให้ฟังก์ชัน ย =ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางช่วง [ ก, ข- ค่าอนุพันธ์ ฉ ў( x) พูดโดยทั่วไปขึ้นอยู่กับ x, เช่น. อนุพันธ์ ฉ ў( x) ยังเป็นฟังก์ชันของ x- เมื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันนี้ เราจะได้สิ่งที่เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ฉ(x) ซึ่งแสดงแทน ฉ ўў ( x).
อนุพันธ์ ไม่มีลำดับที่ของฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่าอนุพันธ์ (ลำดับแรก) ของอนุพันธ์ ไม่มี 1- th และแสดงด้วยสัญลักษณ์ ย(n) = (ย(n– 1))ў.
ส่วนต่างของคำสั่งต่างๆ
ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ย = ฉ(x), ที่ไหน x– ตัวแปรอิสระ ใช่ ดี้ = ฉ ў( x)ดีเอ็กซ์, ฟังก์ชั่นบางอย่างจาก x, แต่จาก xขึ้นอยู่กับปัจจัยแรกเท่านั้น ฉ ў( x) ปัจจัยที่สอง ( ดีเอ็กซ์) คือการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ xและไม่ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรนี้ เพราะ ดี้มีฟังก์ชันจาก xจากนั้นเราจะหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ได้ ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลที่สองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สองของฟังก์ชันนี้ และแสดงแทนด้วย ง 2ย:
ง(ดีเอ็กซ์) = ง 2ย = ฉ ўў( x)(ดีเอ็กซ์) 2 .
ดิฟเฟอเรนเชียล ไม่มีของลำดับแรกเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลแรกของดิฟเฟอเรนเชียล ไม่มี 1- ลำดับที่:
ไม่เป็นไร = ง(ดีเอ็น–1ย) = ฉ(n)(x)ดีเอ็กซ์(n).
อนุพันธ์บางส่วน
หากฟังก์ชันไม่ได้ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งเพียงข้อเดียว แต่ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งหลายข้อ x ฉัน(ฉันแตกต่างกันไปตั้งแต่ 1 ถึง n,ฉัน= 1, 2,… n),ฉ(x 1,x 2,… เอ็กซ์เอ็น) จากนั้นในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะมีการนำแนวคิดของอนุพันธ์บางส่วนมาใช้ซึ่งแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้นเช่น x ฉัน- อนุพันธ์ย่อยอันดับ 1 เทียบกับ x ฉันถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์สามัญและถือว่าอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดยกเว้น x ฉัน, คงค่าคงที่ไว้ สำหรับอนุพันธ์บางส่วน ให้ใช้สัญลักษณ์
อนุพันธ์บางส่วนอันดับ 1 ที่กำหนดในลักษณะนี้ (เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เดียวกัน) ก็สามารถมีอนุพันธ์บางส่วนได้เช่นกัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์บางส่วนอันดับสอง เป็นต้น อนุพันธ์ดังกล่าวที่นำมาจากข้อโต้แย้งที่แตกต่างกันเรียกว่าแบบผสม อนุพันธ์แบบผสมต่อเนื่องในลำดับเดียวกันไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของความแตกต่างและมีค่าเท่ากัน
แอนนา ชูไกโนวา
วันที่: 20/11/2557
อนุพันธ์คืออะไร?
ตารางอนุพันธ์
อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดหลัก คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- ในบทนี้เราจะแนะนำแนวคิดนี้ มาทำความรู้จักกันโดยไม่ต้องมีสูตรทางคณิตศาสตร์และการพิสูจน์ที่เข้มงวด
ความคุ้นเคยนี้จะช่วยให้คุณ:
เข้าใจสาระสำคัญของงานง่ายๆ ด้วยอนุพันธ์
แก้ไขปัญหาเหล่านี้ได้สำเร็จ งานที่ยากลำบาก;
เตรียมบทเรียนที่จริงจังยิ่งขึ้นเกี่ยวกับอนุพันธ์
ประการแรก - เซอร์ไพรส์ที่น่ายินดี)
คำจำกัดความที่เข้มงวดของอนุพันธ์นั้นขึ้นอยู่กับทฤษฎีขีดจำกัดและสิ่งนี้ค่อนข้างซับซ้อน นี่เป็นเรื่องที่น่าหงุดหงิด แต่ตามกฎแล้วการประยุกต์ใช้อนุพันธ์ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องมีความรู้ที่กว้างขวางและลึกซึ้งเช่นนี้!
แค่รู้ก็เพียงพอที่จะทำงานส่วนใหญ่ที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยให้สำเร็จ เพียงไม่กี่เงื่อนไข- เพื่อทำความเข้าใจงานและ กฎเพียงไม่กี่ข้อ- เพื่อแก้ไขมัน นั่นคือทั้งหมดที่ นี่ทำให้ฉันมีความสุข
มาเริ่มทำความรู้จักกันดีกว่า?)
ข้อกำหนดและการกำหนด
มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากมายในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา การบวก ลบ การคูณ การยกกำลัง ลอการิทึม ฯลฯ หากคุณเพิ่มการดำเนินการอีกหนึ่งรายการให้กับการดำเนินการเหล่านี้ คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาก็จะสูงขึ้น นี้ การดำเนินการใหม่เรียกว่า ความแตกต่างคำจำกัดความและความหมายของการดำเนินการนี้จะกล่าวถึงในบทเรียนที่แยกจากกัน
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจในที่นี้ว่าการสร้างความแตกต่างเป็นเพียงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชัน เราใช้ฟังก์ชั่นใด ๆ และแปลงมันตามกฎเกณฑ์บางประการ ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันใหม่ ฟังก์ชันใหม่นี้เรียกว่า: อนุพันธ์
ความแตกต่าง- การกระทำบนฟังก์ชัน
อนุพันธ์- ผลของการกระทำนี้
เช่นเดียวกับตัวอย่างเช่น ผลรวม- ผลลัพธ์ของการบวก หรือ ส่วนตัว- ผลการแบ่งส่วน
เมื่อรู้เงื่อนไขแล้วอย่างน้อยคุณก็สามารถเข้าใจงานได้) สูตรมีดังนี้: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน หาอนุพันธ์; แยกความแตกต่างของฟังก์ชัน คำนวณอนุพันธ์ฯลฯ นี่คือทั้งหมด หนึ่งสิ่งเดียวกันแน่นอนว่ายังมีงานที่ซับซ้อนกว่าด้วย โดยการค้นหาอนุพันธ์ (ความแตกต่าง) จะเป็นเพียงขั้นตอนหนึ่งในการแก้ปัญหา
อนุพันธ์จะแสดงด้วยเครื่องหมายขีดกลางที่มุมขวาบนของฟังก์ชัน แบบนี้: คุณ"หรือ ฉ"(x)หรือ ส"(ที)และอื่น ๆ
การอ่าน igrek จังหวะ, ef จังหวะจาก x, es จังหวะจาก te,เข้าใจแล้ว...)
ไพรม์ยังสามารถระบุอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะได้ เช่น (2x+3)", (x 3 )" , (บาป)"ฯลฯ อนุพันธ์มักจะแสดงโดยใช้ส่วนต่าง แต่เราจะไม่พิจารณาสัญลักษณ์ดังกล่าวในบทเรียนนี้
สมมติว่าเราได้เรียนรู้ที่จะเข้าใจงานต่างๆ สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหา) ฉันขอเตือนคุณอีกครั้ง: การค้นหาอนุพันธ์คือ การเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันตามกฎเกณฑ์บางประการน่าแปลกที่มีกฎเหล่านี้น้อยมาก
หากต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องรู้เพียงสามสิ่งเท่านั้น สามเสาหลักที่ตั้งอยู่บนความแตกต่างทั้งหมด นี่คือสามเสาหลักเหล่านี้:
1. ตารางอนุพันธ์ (สูตรความแตกต่าง)
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
มาเริ่มกันตามลำดับ ในบทนี้เราจะดูตารางอนุพันธ์
ตารางอนุพันธ์
ในโลกนี้มีฟังก์ชันจำนวนอนันต์ ในบรรดาความหลากหลายนี้มีฟังก์ชันที่สำคัญที่สุดสำหรับ การประยุกต์ใช้จริง- ฟังก์ชั่นเหล่านี้พบได้ในกฎธรรมชาติทั้งหมด จากฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับจากอิฐ คุณสามารถสร้างฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดได้ คลาสของฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฟังก์ชันเบื้องต้นฟังก์ชั่นเหล่านี้ได้รับการศึกษาที่โรงเรียน - เชิงเส้น, สมการกำลังสอง, ไฮเปอร์โบลา ฯลฯ
ความแตกต่างของฟังก์ชัน "ตั้งแต่เริ่มต้น" เช่น จากคำจำกัดความของอนุพันธ์และทฤษฎีขีดจำกัด นี่เป็นสิ่งที่ต้องใช้แรงงานมาก และนักคณิตศาสตร์ก็เป็นคนเช่นกัน ใช่ ใช่!) ดังนั้น พวกเขาจึงทำให้ชีวิตของพวกเขา (และเรา) ง่ายขึ้น พวกเขาคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานที่อยู่ตรงหน้าเรา ผลลัพธ์ที่ได้คือตารางอนุพันธ์ซึ่งทุกอย่างพร้อมแล้ว)
นี่ครับ จานนี้ฟังก์ชั่นยอดนิยม ด้านซ้ายเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน ด้านขวาเป็นอนุพันธ์ของมัน
| การทำงาน ย |
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y คุณ" |
|
| 1 | C (ค่าคงที่) | ค" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | xn (n - หมายเลขใด ๆ ) | (x n)" = n x n-1 |
| x 2 (น = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | บาป x | (บาป x)" = cosx |
| เพราะ x | (cos x)" = - บาป x | |
| ทีจีเอ็กซ์ |  |
|
| ซีทีจี x |  |
|
| 5 | อาร์คซิน x |  |
| อาร์คคอส x |  |
|
| อาร์คแทน เอ็กซ์ |  |
|
| อาร์คซีจี x |  |
|
| 4 | ก x |  |
| จ x | ||
| 5 | บันทึก ก x |  |
| ใน x ( ก = อี) |
ฉันแนะนำให้ใส่ใจกับฟังก์ชันกลุ่มที่สามในตารางอนุพันธ์นี้ อนุพันธ์ ฟังก์ชั่นพลังงาน- หนึ่งในสูตรที่พบบ่อยที่สุด หากไม่ธรรมดาที่สุด! คุณได้รับคำใบ้หรือไม่?) ใช่ขอแนะนำให้รู้ตารางอนุพันธ์ด้วยใจ อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่เรื่องยากอย่างที่คิด ลองแก้ตัวอย่างเพิ่มเติมตารางจะจำได้!)
การค้นหาค่าตารางของอนุพันธ์ตามที่คุณเข้าใจไม่ใช่งานที่ยากที่สุด ดังนั้นบ่อยครั้งมากในงานดังกล่าวจึงมีชิปเพิ่มเติม ไม่ว่าจะในถ้อยคำของงานหรือในฟังก์ชั่นดั้งเดิมซึ่งดูเหมือนจะไม่มีอยู่ในตาราง...
ลองดูตัวอย่างบางส่วน:
1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x 3
ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตาราง แต่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังอยู่ มุมมองทั่วไป(กลุ่มที่สาม) ในกรณีของเรา n=3 ดังนั้นเราจึงแทนที่สามแทน n และจดผลลัพธ์อย่างระมัดระวัง:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
แค่นั้นแหละ.
คำตอบ: ย" = 3x 2
2. ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = sinx ที่จุด x = 0
งานนี้หมายความว่าคุณต้องหาอนุพันธ์ของไซน์ก่อน แล้วจึงแทนค่า x = 0ในอนุพันธ์นี้เอง ตามลำดับนั่นแหละ!มิฉะนั้นจะเกิดขึ้นว่าพวกเขาแทนที่ศูนย์ทันทีในฟังก์ชันดั้งเดิม... เราถูกขอให้ค้นหาไม่ใช่ค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม แต่เป็นค่า อนุพันธ์ของมันผมขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์คือฟังก์ชันใหม่
การใช้แท็บเล็ตเราจะค้นหาไซน์และอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง:
y" = (บาป x)" = cosx
เราแทนที่ศูนย์เป็นอนุพันธ์:
y"(0) = cos 0 = 1
นี่จะเป็นคำตอบ
3. สร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชัน:
มันเป็นแรงบันดาลใจอะไร?) ตารางอนุพันธ์ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าว
ผมขอเตือนคุณว่าการแยกแยะฟังก์ชันก็แค่หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ หากคุณลืมตรีโกณมิติเบื้องต้น การมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเราค่อนข้างยุ่งยาก โต๊ะไม่ได้ช่วยอะไร...
แต่ถ้าเราเห็นว่าหน้าที่ของเราคือ โคไซน์มุมคู่แล้วทุกอย่างจะดีขึ้นทันที!
ใช่ ใช่! จำไว้ว่าการแปลงฟังก์ชันดั้งเดิม ก่อนที่จะสร้างความแตกต่างค่อนข้างยอมรับได้! และมันก็ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก ใช้สูตรโคไซน์มุมคู่:
เหล่านั้น. ฟังก์ชั่นที่ยุ่งยากของเรานั้นไม่มีอะไรมากไปกว่า y = cosx- และนี่คือฟังก์ชันตาราง เราได้รับทันที:
คำตอบ: y" = - บาป x.
ตัวอย่างสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาระดับสูงและนักศึกษา:
4. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
แน่นอนว่าไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตารางอนุพันธ์ แต่ถ้าคุณจำคณิตศาสตร์เบื้องต้น การดำเนินการด้วยกำลัง... ก็เป็นไปได้ที่จะทำให้ฟังก์ชันนี้ง่ายขึ้น แบบนี้:
และ x ยกกำลัง 1/10 ก็เป็นฟังก์ชันตารางอยู่แล้ว! กลุ่มที่สาม n=1/10 เราเขียนโดยตรงตามสูตร:
แค่นั้นแหละ. นี่จะเป็นคำตอบ
ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจนกับเสาหลักแรกของความแตกต่าง - ตารางอนุพันธ์ ยังคงต้องจัดการกับวาฬสองตัวที่เหลืออยู่ ในบทต่อไป เราจะเรียนรู้กฎของการสร้างความแตกต่าง
หากคุณทำตามคำจำกัดความอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δ ยถึงการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ Δ x:
ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองใช้สูตรนี้คำนวณ เช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) · จ xบาป x- หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากคำนวณไปสองสามหน้าคุณก็เผลอหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากกว่า
ประการแรก เราสังเกตว่าจากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด เราสามารถแยกแยะสิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐานได้ สิ่งเหล่านี้เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งมีการคำนวณและป้อนอนุพันธ์มาเป็นเวลานานในตาราง ฟังก์ชันดังกล่าวค่อนข้างง่ายต่อการจดจำ - พร้อมด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น
ฟังก์ชั่นเบื้องต้นมีทั้งหมดตามรายการด้านล่างนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องรู้ด้วยใจ ยิ่งกว่านั้นการจดจำไม่ใช่เรื่องยากเลย - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นระดับประถมศึกษา
ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน:
| ชื่อ | การทำงาน | อนุพันธ์ |
| คงที่ | ฉ(x) = ค, ค ∈ ร | 0 (ใช่ ศูนย์!) |
| กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ | ฉ(x) = x n | n · x n − 1 |
| ไซนัส | ฉ(x) = บาป x | เพราะ x |
| โคไซน์ | ฉ(x) = cos x | −บาป x(ลบไซน์) |
| แทนเจนต์ | ฉ(x) = ทีจี x | 1/คอส 2 x |
| โคแทนเจนต์ | ฉ(x) = กะรัต x | − 1/บาป 2 x |
| ลอการิทึมธรรมชาติ | ฉ(x) = บันทึก x | 1/x |
| ลอการิทึมตามอำเภอใจ | ฉ(x) = บันทึก ก x | 1/(x ln ก) |
| ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง | ฉ(x) = จ x | จ x(ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง) |
หากฟังก์ชันพื้นฐานคูณด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็จะถูกคำนวณอย่างง่ายดายเช่นกัน:
(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.
โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:
(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .
แน่นอนว่าคุณสามารถเพิ่มฟังก์ชันพื้นฐานเข้าด้วยกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมายได้ นี่คือลักษณะที่ฟังก์ชันใหม่ๆ จะปรากฏขึ้น ไม่ใช่แบบพื้นฐานอีกต่อไป แต่ยังสามารถสร้างความแตกต่างได้ด้วย กฎบางอย่าง- กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่าง
อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง
ให้ฟังก์ชันได้รับ ฉ(x) และ ก(x) อนุพันธ์ที่เรารู้จัก ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้นได้ จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:
- (ฉ + ก)’ = ฉ ’ + ก ’
- (ฉ − ก)’ = ฉ ’ − ก ’
ดังนั้น อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น, ( ฉ + ก + ชม.)’ = ฉ ’ + ก ’ + ชม. ’.
พูดอย่างเคร่งครัด ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดเรื่อง "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − กสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมได้ ฉ+ (−1) กแล้วเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม
ฉ(x) = x 2 + บาป x; ก(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้น:
ฉ ’(x) = (x 2 + บาป x)’ = (x 2)’ + (บาป x)’ = 2x+ คอส x;
เราให้เหตุผลคล้ายกันสำหรับฟังก์ชันนี้ ก(x- มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):
ก ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ คอส x;
ก ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ ผู้คนจำนวนมากเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลคูณก็จะตามมาด้วย โจมตี">เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่สกรูคุณ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:
(ฉ · ก) ’ = ฉ ’ · ก + ฉ · ก ’
สูตรนั้นเรียบง่ายแต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์ที่ได้คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 คอส x; ก(x) = (x 2 + 7x− 7) · จ x .
การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้นทุกอย่างจึงเป็นเรื่องง่าย:
ฉ ’(x) = (x 3คอส x)’ = (x 3)’ เพราะ x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2คอส x + x 3 (−บาป x) = x 2 (3คอส x − xบาป x)
การทำงาน ก(x) ปัจจัยแรกนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่ โครงการทั่วไปสิ่งนี้ไม่เปลี่ยนแปลง แน่นอนว่าปัจจัยแรกของฟังก์ชัน ก(x) เป็นพหุนามและอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:
ก ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · จ x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · จ x + (x 2 + 7x− 7) ( จ x)’ = (2x+ 7) · จ x + (x 2 + 7x− 7) · จ x = จ x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · จ x = x(x+ 9) · จ x .
คำตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3คอส x − xบาป x);
ก ’(x) = x(x+ 9) · จ
x
.
โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้าย อนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อตรวจสอบฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์เพิ่มเติมจะเท่ากับศูนย์ สัญญาณจะถูกกำหนด และอื่นๆ ในกรณีเช่นนี้ ควรแยกตัวประกอบนิพจน์จะดีกว่า
ถ้ามีสองฟังก์ชัน ฉ(x) และ ก(x), และ ก(x) ≠ 0 บนเซตที่เราสนใจ เรากำหนดได้ คุณลักษณะใหม่ ชม.(x) = ฉ(x)/ก(x- สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณยังสามารถหาอนุพันธ์ได้:
ไม่อ่อนแอใช่ไหม? ลบมาจากไหน? ทำไม ก 2? แล้วไงล่ะ! นี่คือหนึ่งในที่สุด สูตรที่ซับซ้อน- คุณไม่สามารถเข้าใจได้หากไม่มีขวด ดังนั้นจึงควรศึกษาที่ ตัวอย่างเฉพาะ.
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
ตัวเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนมีฟังก์ชันพื้นฐาน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรหาอนุพันธ์ของผลหาร:
ตามธรรมเนียมแล้ว เรามาแยกตัวประกอบของตัวเศษกัน - นี่จะทำให้คำตอบง่ายขึ้นมาก:
ฟังก์ชันที่ซับซ้อนไม่จำเป็นต้องมีสูตรยาวครึ่งกิโลเมตร ตัวอย่างเช่น การรับฟังก์ชันก็เพียงพอแล้ว ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร xพูดเปิด x 2 + อิน x- มันจะได้ผล ฉ(x) = บาป ( x 2 + อิน x) - นี่คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน นอกจากนี้ยังมีอนุพันธ์ด้วย แต่จะไม่สามารถค้นหาได้โดยใช้กฎที่กล่าวถึงข้างต้น
ฉันควรทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะช่วย:
ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย ที(x).
ตามกฎแล้ว สถานการณ์ที่มีการทำความเข้าใจสูตรนี้น่าเศร้ายิ่งกว่าอนุพันธ์ของผลหารด้วยซ้ำ ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายด้วยตัวอย่างเฉพาะด้วย คำอธิบายโดยละเอียดทุกขั้นตอน
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = จ 2x + 3 ; ก(x) = บาป ( x 2 + อิน x)
โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์ 2 x+3 จะเป็นเรื่องง่าย xแล้วเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = จ x- ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้ 2 x + 3 = ที, ฉ(x) = ฉ(ที) = จ ที- เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยใช้สูตร:
ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (จ ที)’ · ที ’ = จ ที · ที ’
และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! เราทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ: ที = 2x+ 3 เราได้รับ:
ฉ ’(x) = จ ที · ที ’ = จ 2x+3 (2 x + 3)’ = จ 2x+ 3 2 = 2 จ 2x + 3
ทีนี้มาดูฟังก์ชั่นกัน ก(x- แน่นอนว่ามันจำเป็นต้องเปลี่ยนใหม่ x 2 + อิน x = ที- เรามี:
ก ’(x) = ก ’(ที) · ที’ = (บาป ที)’ · ที' = cos ที · ที ’
การแทนที่แบบย้อนกลับ: ที = x 2 + อิน x- แล้ว:
ก ’(x) = คอส ( x 2 + อิน x) · ( x 2 + อิน x)' = คอส ( x 2 + อิน x) · (2 x + 1/x).
แค่นั้นแหละ! ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ที่แล้ว ปัญหาทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการคำนวณผลรวมอนุพันธ์
คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2 · จ
2x + 3 ;
ก ’(x) = (2x + 1/x) เพราะ ( x 2 + อิน x).
บ่อยครั้งในบทเรียนของฉัน แทนที่จะใช้คำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "เฉพาะ" ตัวอย่างเช่น จำนวนเฉพาะจากจำนวน เท่ากับผลรวมจังหวะ นั่นชัดเจนกว่าเหรอ? นั่นเป็นสิ่งที่ดี
ดังนั้นการคำนวณอนุพันธ์จึงต้องกำจัดจังหวะเดียวกันนี้ตามกฎที่กล่าวไว้ข้างต้น จากตัวอย่างสุดท้าย ลองกลับไปสู่กำลังอนุพันธ์ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:
(x n)’ = n · x n − 1
น้อยคนที่รู้ว่าในบทบาทนี้ nอาจเป็นเลขเศษส่วนก็ได้ ตัวอย่างเช่นรากคือ x 0.5. จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีอะไรแปลก ๆ อยู่ใต้ราก? ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง - พวกเขาต้องการสร้างโครงสร้างดังกล่าวให้ การทดสอบและการสอบ
งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
ขั้นแรก ลองเขียนรากใหม่เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:
ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ x 2 + 8x − 7 = ที- เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร:
ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (ที 0.5)’ · ที’ = 0.5 · ที−0.5 · ที ’.
มาทำการแทนที่แบบย้อนกลับกัน: ที = x 2 + 8x− 7. เรามี:
ฉ ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
สุดท้ายก็กลับไปสู่รากเหง้า:
การแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุด การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ทางกายภาพคืออะไร และ ความหมายทางเรขาคณิตจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อย่างไร? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?
ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์
ให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) ระบุไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก ข) - คะแนน x และ x0 อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างในค่าของมัน x-x0 - ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำจำกัดความของอนุพันธ์:
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์
มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:
จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? และนี่คือสิ่งที่:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด
ความหมายทางกายภาพอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง
อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที - ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:
เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:
กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่
ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นจะต้องทำสิ่งนี้ เมื่อแก้ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้ อย่าลืมทำให้ง่ายขึ้นด้วย .
ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:
กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน
เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:
ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
สารละลาย: 
สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่นี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ
ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:
ใน ในกรณีนี้อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ขั้นแรกเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ตัวกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ
กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:
เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์
หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ สำหรับ ระยะสั้นเราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและแก้ปัญหา แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม
