การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งการกีฬา มนุษย์ใช้สมการในสมัยโบราณ และตั้งแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น ในทางคณิตศาสตร์ มีปัญหาบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับตรรกะเชิงประพจน์ ในการแก้สมการประเภทนี้ คุณต้องมีความรู้จำนวนหนึ่ง เช่น ความรู้เกี่ยวกับกฎของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ความรู้เกี่ยวกับตารางความจริงของฟังก์ชันเชิงตรรกะของตัวแปร 1 หรือ 2 ตัว วิธีการแปลงนิพจน์เชิงตรรกะ นอกจากนี้ คุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของการดำเนินการเชิงตรรกะดังต่อไปนี้: การร่วม การแตกแยก การผกผัน การอนุมาน และความเท่าเทียมกัน
ฟังก์ชันเชิงตรรกะใดๆ ของ \variables - \can สามารถระบุได้ด้วยตารางความจริง
ลองแก้สมการเชิงตรรกะหลายสมการ:
\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]
\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]
\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]
\[\ขวาฉมวกดาวน์ X9\vee X10=1\]
มาเริ่มวิธีแก้ปัญหาด้วย \[X1\] และพิจารณาว่าตัวแปรนี้สามารถรับค่าใดได้: 0 และ 1 ต่อไป เราจะพิจารณาแต่ละค่าข้างต้นและดูว่า \[X2.\] เป็นค่าใดได้บ้าง
ดังที่เห็นจากตาราง สมการเชิงตรรกะของเรามีคำตอบ 11 ข้อ
ฉันจะแก้สมการตรรกะออนไลน์ได้ที่ไหน
คุณสามารถแก้สมการได้บนเว็บไซต์ของเรา https://site. ฟรี แก้ปัญหาออนไลน์จะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ที่ซับซ้อนได้ภายในไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงป้อนข้อมูลของคุณลงในตัวแก้ปัญหา คุณยังสามารถชมวิดีโอคำแนะนำและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณยังมีคำถาม คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม VKontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีช่วยเหลือคุณเสมอ
อนุญาต เป็นฟังก์ชันตรรกะของตัวแปร n ตัว สมการเชิงตรรกะดูเหมือนว่า:
ค่าคงที่ C มีค่า 1 หรือ 0
สมการลอจิกสามารถอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง โซลูชั่นต่างๆ- ถ้า C เท่ากับ 1 ดังนั้นคำตอบคือชุดตัวแปรทั้งหมดจากตารางความจริง ซึ่งฟังก์ชัน F รับค่าจริง (1) ชุดที่เหลือคือคำตอบของสมการที่มี C เท่ากับศูนย์ คุณสามารถพิจารณาเฉพาะสมการของแบบฟอร์มเท่านั้น:
จริง ๆ แล้วให้สมการดังนี้:
ในกรณีนี้ เราสามารถหาสมการที่เทียบเท่าได้:
พิจารณาระบบของ k สมการเชิงตรรกะ:
คำตอบของระบบคือชุดของตัวแปรที่ทำให้สมการของระบบทั้งหมดเป็นไปตามที่ต้องการ ในแง่ของฟังก์ชันลอจิคัลเพื่อให้ได้คำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะเราควรหาเซตที่ฟังก์ชันลอจิคัล Ф เป็นจริงซึ่งแสดงถึงการรวมของฟังก์ชันดั้งเดิม:
ถ้าจำนวนตัวแปรน้อย เช่น น้อยกว่า 5 ก็ไม่ยากที่จะสร้างตารางความจริงสำหรับฟังก์ชัน ซึ่งช่วยให้คุณบอกได้ว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหากี่ข้อ และเซตใดที่ให้คำตอบนั้น
ในปัญหา USE บางประการในการค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะ จำนวนตัวแปรถึง 10 จากนั้น การสร้างตารางความจริงกลายเป็นงานที่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย การแก้ปัญหาต้องใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป สำหรับระบบสมการตามอำเภอใจนั้นไม่มี วิธีการทั่วไปแตกต่างจากการใช้กำลังดุร้ายซึ่งทำให้สามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้
ในโจทย์ที่นำเสนอในข้อสอบนั้น วิธีแก้ปัญหามักจะคำนึงถึงลักษณะเฉพาะของระบบสมการด้วย ฉันขอย้ำอีกครั้งว่า นอกเหนือจากการลองใช้ตัวเลือกทั้งหมดสำหรับชุดตัวแปรแล้ว ไม่มีวิธีทั่วไปในการแก้ปัญหา โซลูชันจะต้องสร้างขึ้นตามลักษณะเฉพาะของระบบ การทำให้ระบบสมการง่ายขึ้นเบื้องต้นมักจะมีประโยชน์โดยใช้กฎของตรรกศาสตร์ที่รู้จัก เทคนิคที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่งในการแก้ปัญหานี้มีดังนี้ เราไม่ได้สนใจทุกเซต แต่สนใจเฉพาะเซตที่ฟังก์ชันมีค่า 1 แทนที่จะสร้างตารางความจริงที่สมบูรณ์ เราจะสร้างอะนาล็อกขึ้นมา - แผนผังการตัดสินใจแบบไบนารี แต่ละกิ่งของแผนภูมินี้สอดคล้องกับคำตอบเดียวและระบุชุดที่ฟังก์ชันมีค่าเป็น 1 จำนวนกิ่งในแผนภูมิการตัดสินใจเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนคำตอบของระบบสมการ
ฉันจะอธิบายว่าแผนผังการตัดสินใจแบบไบนารีคืออะไร และสร้างขึ้นได้อย่างไรโดยใช้ตัวอย่างของปัญหาต่างๆ
ปัญหาที่ 18
มีค่าที่แตกต่างกันกี่ชุดของตัวแปรลอจิคัล x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 ที่เป็นไปตามระบบของสมการทั้งสอง?
คำตอบ: ระบบมีโซลูชั่นที่แตกต่างกัน 36 แบบ
วิธีแก้: ระบบสมการมีสองสมการ ลองหาจำนวนคำตอบของสมการแรกขึ้นอยู่กับตัวแปร 5 ตัว - . สมการแรกสามารถถือเป็นระบบที่มี 5 สมการได้ ดังที่ได้แสดงไปแล้ว ระบบสมการแสดงถึงการรวมฟังก์ชันลอจิคัลเข้าด้วยกัน ข้อความตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน - การรวมกันของเงื่อนไขถือได้ว่าเป็นระบบสมการ
มาสร้างแผนผังการตัดสินใจโดยนัย () - เทอมแรกของการรวมซึ่งถือได้ว่าเป็นสมการแรก นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน ภาพกราฟิกต้นไม้ต้นนี้
ต้นไม้ประกอบด้วยสองระดับตามจำนวน ตัวแปรสมการ- ระดับแรกอธิบายตัวแปรแรก สองสาขาของระดับนี้สะท้อนถึงค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรนี้ - 1 และ 0 ในระดับที่สองกิ่งก้านของต้นไม้สะท้อนเฉพาะค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรที่สมการประเมินว่าเป็นจริง เนื่องจากสมการระบุความหมาย สาขาที่มีค่า 1 ต้องการให้สาขานี้มีค่าเป็น 1 สาขาที่มีค่า 0 จะสร้างสองสาขาที่มีค่าเท่ากับ 0 และ 1 โครงสร้างที่สร้างขึ้น ต้นไม้ระบุวิธีแก้ปัญหาสามประการโดยนัยจะใช้ค่า 1 ในแต่ละสาขาชุดของค่าตัวแปรที่สอดคล้องกันจะถูกเขียนออกมาเพื่อแก้สมการ
ชุดเหล่านี้คือ: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))
เรามาสร้างแผนผังการตัดสินใจกันต่อโดยการเพิ่มสมการต่อไปนี้ ซึ่งมีความหมายดังต่อไปนี้ ความเฉพาะเจาะจงของระบบสมการของเราคือสมการใหม่แต่ละสมการของระบบใช้ตัวแปรหนึ่งตัวจากสมการก่อนหน้า โดยเพิ่มตัวแปรใหม่หนึ่งตัว เนื่องจากตัวแปรมีค่าอยู่ในแผนผังอยู่แล้ว ดังนั้นในทุกกิ่งที่ตัวแปรมีค่า 1 ตัวแปรก็จะมีค่าเป็น 1 ด้วย สำหรับกิ่งดังกล่าว การสร้างต้นไม้ยังคงดำเนินต่อไปในระดับถัดไป แต่ไม่มีสาขาใหม่ปรากฏ สาขาเดียวที่ตัวแปรมีค่า 0 จะแยกออกเป็นสองสาขาโดยที่ตัวแปรจะได้รับค่า 0 และ 1 ดังนั้นการเพิ่มสมการใหม่แต่ละครั้งเมื่อพิจารณาถึงความจำเพาะของมันจะเพิ่มหนึ่งคำตอบ สมการแรกดั้งเดิม:
มี 6 โซลูชั่น แผนผังการตัดสินใจที่สมบูรณ์สำหรับสมการนี้มีลักษณะดังนี้:
สมการที่สองของระบบของเราคล้ายกับสมการแรก:
ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือสมการนี้ใช้ตัวแปร Y เช่นกัน เนื่องจากคำตอบของตัวแปรทุกตัวสามารถนำมารวมกับคำตอบของตัวแปรทุกตัวได้ จำนวนทั้งหมดมีทั้งหมด 36 วิธี
โปรดทราบว่าแผนผังการตัดสินใจที่สร้างขึ้นไม่เพียงแต่ให้จำนวนวิธีแก้ปัญหาเท่านั้น (ตามจำนวนสาขา) แต่ยังรวมถึงวิธีแก้ปัญหาที่เขียนไว้ในแต่ละกิ่งของแผนผังด้วย
ปัญหาที่ 19
มีค่าที่แตกต่างกันกี่ชุดของตัวแปรลอจิคัล x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 ที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่ระบุไว้ด้านล่างนี้
งานนี้เป็นการแก้ไขงานก่อนหน้า ข้อแตกต่างคือมีการเพิ่มสมการอื่นที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร X และ Y
ตามมาจากสมการที่ว่า เมื่อมีค่า 1 (มีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอยู่หนึ่งตัว) จึงมีค่า 1 จึงมีชุดหนึ่งที่และมีค่าเป็น 1 เมื่อเท่ากับ 0 ก็สามารถ มีค่าใดๆ ก็ได้ทั้ง 0 และ 1 ดังนั้น แต่ละชุดที่มี เท่ากับ 0 และมี 5 ชุดดังกล่าว ตรงกับชุดที่มีตัวแปร Y ทั้งหมด 6 ชุด ดังนั้น จำนวนคำตอบทั้งหมดคือ 31
ปัญหาที่ 20
วิธีแก้ไข: เมื่อนึกถึงความเท่าเทียมกันพื้นฐาน เราเขียนสมการของเราเป็น:
ห่วงโซ่ของความหมายโดยนัยหมายความว่าตัวแปรต่างๆ เหมือนกัน ดังนั้นสมการของเราจึงเทียบเท่ากับสมการ:
สมการนี้มีสองคำตอบเมื่อทั้งหมดเป็น 1 หรือ 0
ปัญหาที่ 21
สมการนี้มีกี่คำตอบ:
วิธีแก้ปัญหา: เช่นเดียวกับในปัญหาข้อ 20 เราย้ายจากนัยแบบวนเป็นอัตลักษณ์ โดยเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ:
มาสร้างแผนผังการตัดสินใจสำหรับสมการนี้กัน:
ปัญหาที่ 22
ระบบสมการต่อไปนี้มีคำตอบได้กี่ข้อ?
J ∧ âK ∧ L ∧ âM ∧ (N ∨ ñ) = 0 โดยที่ J, K, L, M, N เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ?
คำอธิบาย.
ดังนั้นนิพจน์ (N ∨ ñ) จึงเป็นจริงสำหรับ N ใดๆ
เจ ∧ ฌK ∧ ล ∧ ฌM = 0
ลองใช้การปฏิเสธกับทั้งสองข้างของสมการตรรกะแล้วใช้กฎของเดอมอร์แกน ฌ (A ∧ B) = ฌ A ∨ ฌ B เราจะได้ ฌJ ∨ K ∨ ฌL ∨ M = 1
ผลบวกเชิงตรรกะจะเท่ากับ 1 ถ้าประโยคที่เป็นส่วนประกอบอย่างน้อยหนึ่งประโยคมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น สมการที่ได้จะเป็นไปตามการรวมกันของตัวแปรตรรกะใดๆ ยกเว้นกรณีที่ปริมาณทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการมีค่าเท่ากับ 0 แต่ละ ตัวแปร 4 ตัวสามารถเท่ากับ 1 หรือ 0 ได้ ดังนั้นชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 2·2·2·2 = 16 ดังนั้น สมการจึงมีคำตอบ 16 −1 = 15 ข้อ
โปรดทราบว่าวิธีแก้ปัญหา 15 รายการที่พบนั้นสอดคล้องกับวิธีใดวิธีหนึ่งจากทั้งสองวิธี ค่าที่เป็นไปได้ค่าของตัวแปรลอจิคัล N ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงมีคำตอบ 30 ข้อ
คำตอบ: 30
สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?
((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ‚K) → ‚ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1
โดยที่ J, K, L, M, N เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ?
คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่าต่างๆ ทั้งหมดของ J, K, L, M และ N ที่มีความเท่าเทียมกันนี้ คำตอบคือคุณต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าว
คำอธิบาย.
เราใช้สูตร A → B = ฌA ∨ B และ ฌ(A ∨ B) = ฌA ∧ ฌB
ลองพิจารณาสูตรย่อยแรก:
(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ‚(‚J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ฌK) ∨ (M ∧ N ∧ L)
ลองพิจารณาสูตรย่อยที่สอง
(J ∧ ฌK) → ฌ(M ∧ N ∧ L) = ฌ(J ∧ ฌK) ∨ ฌ(M ∧ N ∧ L) = (ฌJ ∨ K) ∨ ฌM ∨ ฌN ∨ ฌL
ลองพิจารณาสูตรย่อยที่สาม
1) M → J = 1 ดังนั้น
(J ∧ ‚K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ‚K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ฌK ∨ N ∧ L;
(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ฌN ∨ ฌL = K ∨ ฌN ∨ ฌL;
มารวมกัน:
‚K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ‚N ∨ ‚L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ‚L = L ∨ ‚L = 1 ดังนั้น 4 คำตอบ
(J ∧ ‚K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ‚K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ‚K;
(âJ ∨ K) ∨ âM ∨ âN ∨ âL = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ âN ∨ ฌL = K ∨ 1 ∨ âN ∨ ฌL
มารวมกัน:
K ∨ 1 ∨ ‚N ∨ ‚L ∧ ‚K = 1 ∨ ‚N ∨ ‚L ดังนั้น จึงมีคำตอบ 4 ข้อ
ค) ม = 0 เจ = 0
(J ∧ ‚K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ‚K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0
(‚J ∨ K) ∨ âM ∨ ‚N ∨ âL = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ‚N ∨ ‚L
คำตอบ: 4 + 4 = 8
คำตอบ: 8
สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?
((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0
โดยที่ K, L, M, N เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ? คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่าต่างๆ ทั้งหมดของ K, L, M และ N ที่มีความเท่าเทียมกันนี้ เป็นคำตอบ คุณต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าว
คำอธิบาย.
มาเขียนสมการใหม่โดยใช้สัญลักษณ์ที่ง่ายกว่าสำหรับการดำเนินการ:
((K + L) → (L M N)) = 0
1) จากตารางความจริงของการดำเนินการ "นัย" (ดูปัญหาแรก) ตามมาว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงหากและในเวลาเดียวกันเท่านั้น
K + L = 1 และ L M N = 0
2) จากสมการแรก ตามมาด้วยว่าตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว K หรือ L มีค่าเท่ากับ 1 (หรือทั้งสองอย่างรวมกัน) ลองพิจารณาสามกรณีกัน
3) ถ้า K = 1 และ L = 0 ดังนั้นความเท่าเทียมกันที่สองจะเป็นที่พอใจสำหรับ M และ N ใด ๆ เนื่องจากมีตัวแปรบูลีนสองตัวรวมกัน 4 ตัว (00, 01, 10 และ 11) เราจึงมีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน 4 แบบ
4) ถ้า K = 1 และ L = 1 ดังนั้นความเท่าเทียมกันที่สองจะคงไว้สำหรับ M · N = 0; มีชุดค่าผสมดังกล่าว 3 แบบ (00, 01 และ 10) เรามีวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติม 3 แบบ
5) ถ้า K = 0 ดังนั้น L = 1 (จากสมการแรก) ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันที่สองจะเป็นที่พอใจเมื่อ M · N = 0; มีชุดค่าผสมดังกล่าว 3 แบบ (00, 01 และ 10) เรามีวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติม 3 แบบ
6) โดยรวมแล้วเราได้ 4 + 3 + 3 = 10 คำตอบ
คำตอบ: 10
สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?
(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1
คำอธิบาย.
นิพจน์เป็นจริงในสามกรณี เมื่อ (K ∧ L) และ (M ∧ N) เท่ากับ 01, 11, 10 ตามลำดับ
1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N เท่ากับ 1 และ K และ L เป็นอะไรก็ได้ยกเว้น 1 พร้อมกัน ดังนั้นจึงมี 3 วิธี
2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 คำตอบ
3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0 => 3 วิธี
คำตอบ: 7.
คำตอบ: 7
สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0
โดยที่ X, Y, Z, P เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ? คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่าต่างๆ ทั้งหมดที่มีความเท่าเทียมกันนี้ เพื่อเป็นคำตอบ คุณจะต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าวเท่านั้น
คำอธิบาย.
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>
ฌ(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;
(ฌX ∨ âY ∧ ฌZ) ∨ (Z ∨ P) = 0;
ตรรกะ OR เป็นเท็จในกรณีเดียวเท่านั้น: เมื่อทั้งสองนิพจน์เป็นเท็จ
เพราะฉะนั้น,
(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0
ฌX ∨ ฌY ∧ ฌZ = 0 => ฌX ∨ ฌY ∧ 1 = 0 =>
ฌX ∨ ฌY = 0 => X = 1; ย = 1.
ดังนั้นจึงมีวิธีแก้สมการเพียงวิธีเดียวเท่านั้น
คำตอบ: 1
สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?
(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1
โดยที่ K, L, M, N เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ? คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่าต่าง ๆ ทั้งหมดของ K, L, M และ N ที่มีความเท่าเทียมกันนี้ เพื่อเป็นคำตอบ คุณจะต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าวเท่านั้น
คำอธิบาย.
ตรรกะ และเป็นจริงในกรณีเดียวเท่านั้น: เมื่อนิพจน์ทั้งหมดเป็นจริง
K ∨ L = 1, M ∨ N = 1
แต่ละสมการจะให้คำตอบ 3 ข้อ
พิจารณาสมการ A ∧ B = 1 หากทั้ง A และ B รับค่าจริงเป็นสามกรณีในแต่ละกรณี โดยรวมแล้วสมการทั้งหมดจะมี 9 คำตอบ
ดังนั้นคำตอบคือ 9
คำตอบ: 9
สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?
((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ฌD)= 1,
โดยที่ A, B, C, D เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ?
คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่า A, B, C, D ที่แตกต่างกันทั้งหมดซึ่งมีความเท่าเทียมกันนี้ คำตอบคือคุณต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าว
คำอธิบาย.
ตรรกะ "OR" เป็นจริงเมื่อมีข้อความอย่างน้อยหนึ่งข้อความเป็นจริง
(D ∧ ฌD)= 0 สำหรับ D ใดๆ
เพราะฉะนั้น,
(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ฌ A ∨ B = 1 ซึ่งให้คำตอบที่เป็นไปได้ 3 แบบสำหรับแต่ละ D
(D ∧ ฌ D)= 0 สำหรับ D ใดๆ ซึ่งให้คำตอบเราได้ 2 แบบ (สำหรับ D = 1, D = 0)
ดังนั้น: ผลรวมของคำตอบ 2*3 = 6
รวม 6 โซลูชั่น
คำตอบ: 6
สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?
(‚K ∨ âL ∨ âM) ∧ (ลิตร ∨ âM ∨ âN) = 0
โดยที่ K, L, M, N เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ? คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่าต่าง ๆ ทั้งหมดของ K, L, M และ N ที่มีความเท่าเทียมกันนี้ เพื่อเป็นคำตอบ คุณจะต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าวเท่านั้น
คำอธิบาย.
ลองใช้การปฏิเสธกับทั้งสองด้านของสมการ:
(K ∧ L ∧ M) ∨ (ฌL ∧ M ∧ N) = 1
ตรรกะ OR เป็นจริงในสามกรณี
ตัวเลือกที่ 1
K ∧ L ∧ M = 1 จากนั้น K, L, M = 1 และ ‚L ∧ M ∧ N = 0 N เป็นค่าอะไรก็ได้ นั่นคือ 2 คำตอบ
ตัวเลือกที่ 2
ฌL ∧ M ∧ N = 1 จากนั้น N, M = 1; L = 0, K ใดๆ นั่นคือ 2 คำตอบ
ดังนั้นคำตอบคือ 4
คำตอบ: 4
A, B และ C เป็นจำนวนเต็มที่ข้อความเป็นจริง
ฌ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B))
B เท่ากับอะไรถ้า A = 45 และ C = 43?
คำอธิบาย.
1) ฌ(ก = ข); (ก > ข)→(ข > ค); (B > A)→(C > B);
2) คำสั่งง่าย ๆ เหล่านี้เชื่อมโยงกันด้วยการดำเนินการ ∧ (และร่วม) นั่นคือจะต้องดำเนินการพร้อมกัน
3) จาก ‚(A = B)=1 จะตามมาทันทีว่า A B;
4) สมมติว่า A > B จากนั้นจากเงื่อนไขที่สองเราได้ 1→(B > C)=1; นิพจน์นี้สามารถเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ B > C = 1;
5) ดังนั้นเราจึงมี A > B > C มีเพียงตัวเลข 44 เท่านั้นที่ตรงกับเงื่อนไขนี้
6) ในกรณีนี้ ให้ตรวจสอบตัวเลือก A 0 →(B > C)=1;
สำนวนนี้เป็นจริงสำหรับ B ใดๆ; ทีนี้มาดูเงื่อนไขที่สามที่เราได้รับ
นิพจน์นี้สามารถเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ C > B และในที่นี้เรามีความขัดแย้ง เนื่องจากไม่มีเลข B ใดที่ C > B > A
คำตอบ: 44.
คำตอบ: 44
สร้างตารางความจริงสำหรับฟังก์ชันลอจิคัล
X = (A ↔ B) ∨ ฌ(A → (B ∨ C))
โดยที่คอลัมน์ของค่าของอาร์กิวเมนต์ A เป็นตัวแทนไบนารีของหมายเลข 27 คอลัมน์ของค่าของอาร์กิวเมนต์ B คือหมายเลข 77 คอลัมน์ของค่าของอาร์กิวเมนต์ C คือหมายเลข 120 ตัวเลข ในคอลัมน์จะเขียนจากบนลงล่างจากนัยสำคัญที่สุดไปหานัยสำคัญน้อยที่สุด (รวมถึงชุดศูนย์ด้วย) แปลงผลลัพธ์การเป็นตัวแทนไบนารี่ของค่าของฟังก์ชัน X เป็นระบบเลขทศนิยม
คำอธิบาย.
มาเขียนสมการโดยใช้สัญกรณ์ที่ง่ายกว่าสำหรับการดำเนินการ:
1) นี่คือนิพจน์ที่มีตัวแปร 3 ตัว ดังนั้นจะมีเส้นในตารางความจริง ดังนั้นการแสดงเลขฐานสองของตัวเลขที่ใช้สร้างคอลัมน์ตาราง A, B และ C จะต้องประกอบด้วยตัวเลข 8 หลัก
2) แปลงตัวเลข 27, 77 และ 120 เป็นระบบไบนารี่โดยบวกเลขศูนย์ที่จุดเริ่มต้นของตัวเลขสูงสุด 8 หลักทันที
3) ไม่น่าเป็นไปได้ที่คุณจะสามารถเขียนค่าของฟังก์ชัน X สำหรับแต่ละชุดค่าผสมได้ทันที ดังนั้นจึงสะดวกในการเพิ่มคอลัมน์เพิ่มเติมลงในตารางเพื่อคำนวณผลลัพธ์ระดับกลาง (ดูตารางด้านล่าง)
| ก | ใน | กับ | เอ็กซ์|
| 0 | 0 | ||
| 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 |
4) กรอกข้อมูลในคอลัมน์ตาราง:
| ก | ใน | กับ | เอ็กซ์ | ||||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
ค่าคือ 1 เฉพาะในบรรทัดเหล่านั้นโดยที่ A = B
ค่าคือ 1 ในบรรทัดเหล่านั้นโดยที่ B หรือ C = 1
ค่าจะเป็น 0 เฉพาะในบรรทัดเหล่านั้นโดยที่ A = 1 และ B + C = 0
ค่าจะเป็นค่าผกผันของคอลัมน์ก่อนหน้า (0 ถูกแทนที่ด้วย 1 และ 1 ถูกแทนที่ด้วย 0)
ผลลัพธ์ของ X (คอลัมน์สุดท้าย) คือผลรวมเชิงตรรกะของทั้งสองคอลัมน์และ
5) เพื่อให้ได้คำตอบ ให้เขียนบิตจากคอลัมน์ X จากบนลงล่าง:
6) แปลงตัวเลขนี้เป็นระบบทศนิยม:
คำตอบ: 171
จำนวนเต็ม X ที่ใหญ่ที่สุดซึ่งคำสั่ง (10 (X+1)·(X+2)) เป็นจริงคือข้อใด
คำอธิบาย.
สมการคือการดำเนินการโดยนัยระหว่างสองความสัมพันธ์:
1) แน่นอน คุณสามารถใช้วิธีการเดียวกันกับตัวอย่าง 2208 ได้ที่นี่ แต่คุณจะต้องแก้ไข สมการกำลังสอง(ฉันไม่ต้องการที่จะ...);
2) โปรดทราบว่าตามเงื่อนไขเราสนใจเฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้นดังนั้นเราจึงสามารถลองแปลงนิพจน์ดั้งเดิมได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งโดยได้รับคำสั่งที่เทียบเท่ากัน (เราไม่สนใจค่าที่แน่นอนของรูทเลย!);
3) พิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน แน่นอนว่าอาจเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้
4) ง่ายต่อการตรวจสอบว่าในโดเมนคำสั่งนั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด และในโดเมน - สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด (เพื่อไม่ให้สับสน จะสะดวกกว่าถ้าใช้อสมการที่ไม่เข้มงวด และ แทนที่จะ และ );
5) ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็มจึงสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เทียบเท่าได้
6) ขอบเขตของความจริงของนิพจน์คือการรวมกันของสองช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด
7) พิจารณาอสมการที่สอง: เห็นได้ชัดว่าอาจเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้
8) ในโดเมน คำสั่งเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด และในโดเมน - สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด ดังนั้นสำหรับจำนวนเต็มจึงสามารถถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เทียบเท่ากัน
9) ขอบเขตของความจริงของการแสดงออกคือช่วงปิด
10) นิพจน์ที่กำหนดเป็นจริงทุกที่ ยกเว้นพื้นที่ที่ และ ;
11) โปรดทราบว่าค่านี้ไม่เหมาะสมอีกต่อไป เนื่องจากมี และ นั่นคือความหมายให้ 0;
12) เมื่อแทน 2, (10 (2+1) · (2+2)) หรือ 0 → 0 ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข
ดังนั้นคำตอบคือ 2
คำตอบ: 2
จำนวนเต็ม X ที่ใหญ่ที่สุดซึ่งคำสั่งเป็นจริงคืออะไร
(50 (X+1)·(X+1))?
คำอธิบาย.
ลองใช้การแปลงความหมายและแปลงนิพจน์:
(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ฌ(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|)
ตรรกะ OR เป็นจริงเมื่อมีคำสั่งเชิงตรรกะอย่างน้อยหนึ่งคำสั่งเป็นจริง เมื่อแก้ไขทั้งอสมการแล้วและคำนึงว่าเราเห็นว่าจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดซึ่งอย่างน้อยหนึ่งอันเป็นไปตามนั้นคือ 7 (ในรูป วิธีแก้เชิงบวกของอสมการที่สองจะแสดงเป็นสีเหลือง และอันแรกแสดงเป็นสีน้ำเงิน)
คำตอบ: 7
ระบุค่าของตัวแปร K, L, M, N ซึ่งเป็นนิพจน์เชิงตรรกะ
(ฌ(M ∨ L) ∧ K) → (ฌK ∧ âM ∨ N)
เท็จ. เขียนคำตอบเป็นสตริง 4 ตัวอักษร: ค่าของตัวแปร K, L, M และ N (ตามลำดับ) ตัวอย่างเช่น บรรทัดที่ 1101 สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า K=1, L=1, M=0, N=1
คำอธิบาย.
ทำซ้ำงาน 3584
คำตอบ: 1,000
(‚K ∨ M) → (‚L ∨ M ∨ N)
คำอธิบาย.
ลองใช้การแปลงความหมาย:
(เค ∧ ฌM) ∨ (ฌL ∨ M ∨ ยังไม่มีข้อความ) = 0
ลองใช้การปฏิเสธกับทั้งสองด้านของสมการ:
(‚K ∨ M) ∧ L ∧ âM ∧ ñ = 1
มาแปลงกัน:
(ฌK ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ฌM ∧ ฌN = 1
ดังนั้น M = 0, N = 0 ตอนนี้ให้พิจารณา (‚K ∧ L ∨ M ∧ L):
จากข้อเท็จจริงที่ว่า M = 0, N = 0 ตามด้วย M ∧ L = 0 จากนั้น ‚K ∧ L = 1 นั่นคือ K = 0, L = 1
คำตอบ: 0100
ระบุค่าของตัวแปร K, L, M, N ที่เป็นนิพจน์เชิงตรรกะ
(ฌ(M ∨ L) ∧ K) → ((‚K ∧ âM) ∨ N)
เท็จ. เขียนคำตอบของคุณเป็นสตริงสี่อักขระ: ค่าของตัวแปร K, L, M และ N (ตามลำดับ) ตัวอย่างเช่น บรรทัดที่ 1101 สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า K=1, L=1, M=0, N=1
คำอธิบาย.
มาเขียนสมการโดยใช้สัญลักษณ์การดำเนินการที่ง่ายกว่า (เงื่อนไข "นิพจน์เป็นเท็จ" หมายความว่ามีค่าเท่ากับศูนย์ตรรกะ):
1) จากการกำหนดเงื่อนไขเป็นไปตามที่นิพจน์ต้องเป็นเท็จสำหรับตัวแปรชุดเดียวเท่านั้น
2) จากตารางความจริงของการดำเนินการ "นัย" ตามมาว่านิพจน์นี้เป็นเท็จหากและในเวลาเดียวกันเท่านั้น
3) ความเสมอภาคแรก (ผลคูณเชิงตรรกะเท่ากับ 1) เป็นที่พอใจหากและเท่านั้นหาก และ ; จากนี้ไป (ผลรวมเชิงตรรกะเท่ากับศูนย์) ซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อ ; ดังนั้นเราจึงได้กำหนดตัวแปรไว้สามตัวแล้ว
4) จากเงื่อนไขที่สอง , สำหรับ และ เราได้รับ .
ทำซ้ำงาน
คำตอบ: 1,000
ระบุค่าของตัวแปรลอจิคัล P, Q, S, T ซึ่งนิพจน์โลจิคัล
(P ∨ ‚Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) เป็นเท็จ
เขียนคำตอบเป็นสตริงสี่อักขระ: ค่าของตัวแปร P, Q, S, T (ตามลำดับ)
คำอธิบาย.
(1) (P ∨ ฌQ) = 0
(2) (Q → (S ∨ T)) = 0
(1) (P ∨ ฌQ) = 0 => P = 0, Q = 1
(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 ให้เราใช้การแปลงความหมาย:
ฌQ ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0
คำตอบ: 0100
ระบุค่าของตัวแปร K, L, M, N ที่เป็นนิพจน์เชิงตรรกะ
(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ฌN
เท็จ. เขียนคำตอบของคุณเป็นสตริงสี่อักขระ: ค่าของตัวแปร K, L, M และ N (ตามลำดับ) ตัวอย่างเช่น บรรทัดที่ 1101 สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า K=1, L=1, M=0, N=1
คำอธิบาย.
ตรรกะหรือเป็นเท็จหากทั้งสองคำสั่งเป็นเท็จ
(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ฌN = 0
ลองใช้การแปลงความหมายสำหรับนิพจน์แรก:
ฌK ∨ M = 0 => K = 1, M = 0
พิจารณานิพจน์ที่สอง:
(L ∧ K) ∨ ‚N = 0 (ดูผลลัพธ์ของนิพจน์แรก) => L ∨ ñ = 0 => L = 0, N = 1
คำตอบ: 1001.
คำตอบ: 1001
ระบุค่าของตัวแปร K, L, M, N ที่เป็นนิพจน์เชิงตรรกะ
(K → M) ∧ (K → âM) ∧ (ฌK → (M ∧ ฌL ∧ N))
จริง. เขียนคำตอบของคุณเป็นสตริงสี่อักขระ: ค่าของตัวแปร K, L, M และ N (ตามลำดับ) ตัวอย่างเช่น บรรทัดที่ 1101 สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า K=1, L=1, M=0, N=1
คำอธิบาย.
ตรรกะ "AND" เป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้งสองข้อความเป็นจริงเท่านั้น
1) (K → M) = 1 ใช้การแปลงความหมาย: ‚K ∨ M = 1
2) (K → âM) = 1 ใช้การแปลงความหมาย: ‚K ∨ ‚M = 1
จะได้ว่า K = 0
3) (‚K → (M ∧ âL ∧ N)) = 1 ใช้การแปลงโดยนัย: K ∨ (M ∧ ‚L ∧ N) = 1 จากข้อเท็จจริงที่ว่า K = 0 ที่เราได้รับ:
M ∧ ฌL ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1
คำตอบ: 0011
เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับจำนวนเต็ม X, Y และ Z ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:
(Z จะเท่ากับอะไรถ้า X=25 และ Y=48?
คำอธิบาย.
หลังจากแทนตัวเลขแล้ว เราจะได้ Z = 47
โปรดทราบว่าข้อความที่ซับซ้อนนี้ประกอบด้วยข้อความง่ายๆ สามข้อความ
1) (Z 2) คำสั่งง่าย ๆ เหล่านี้เชื่อมโยงกันด้วยการดำเนินการ ∧ (AND, การรวมกัน) นั่นคือจะต้องดำเนินการพร้อมกัน
3) จาก ฌ(Z+1 24 และจาก ฌ(Z+1 47
4) จาก (ZZ คำตอบ: 47.
คำตอบ: 47
A, B และ C เป็นจำนวนเต็มซึ่งมีข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:
(C มีค่าของ C ถ้า A=45 และ B=18 เป็นเท่าใด?
คำอธิบาย.
ตรรกะ "AND" เป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้งสองข้อความเป็นจริงเท่านั้น
ลองแทนตัวเลขลงในนิพจน์:
1) (ค (ค 2) ฌ(ค+1, ค ≥ 44.
3) ฌ(ค+1, ค ≥ 17.
จาก 2) และ 1) ตามนั้น C
คำตอบ: 44
ฌ(A = B) ∧ ((BA)) ∧ ((A 2C))
ค่าของ A ถ้า C = 8 และ B = 18 คืออะไร?
คำอธิบาย.
ตรรกะ "AND" เป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้งสองข้อความเป็นจริงเท่านั้น
1) ฌ(A = B) = 1 นั่นคือ A ≠ 18 = 1
2) ((BA)) ใช้การแปลงความหมาย: (18 > A) ∨ (16 > A) = 1
3) (A 2C) ใช้การแปลงความหมาย: (A > 18) ∨ (A > 16) = 1
จาก 2) และ 3) เป็นไปตามนั้น (18 > A) และ (A > 16) เนื่องจากมิฉะนั้นจะเกิดความขัดแย้ง: A = 17
คำตอบ: 17
A, B และ C เป็นจำนวนเต็มที่ข้อความเป็นจริง
ฌ(A = B) ∧ ((A > B) → (C = B)) ∧ ((B > A) → (C = A))
ค่าของ B เป็นเท่าใดถ้า A = 45 และ C = 18?
คำอธิบาย.
ตรรกะ "AND" เป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความทั้งหมดเป็นจริง
วิธีแก้ปัญหาบางส่วนในข้อสอบวิทยาการคอมพิวเตอร์หมวด A และ B
บทเรียน #3 ลอจิก ฟังก์ชันลอจิก การแก้สมการ
ปัญหาการสอบ Unified State จำนวนมากมีไว้เพื่อตรรกะเชิงประพจน์ เพื่อแก้ปัญหาส่วนใหญ่ ก็เพียงพอที่จะรู้กฎพื้นฐานของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ความรู้เกี่ยวกับตารางความจริงของฟังก์ชันเชิงตรรกะของตัวแปรหนึ่งและสองตัว ฉันจะให้กฎพื้นฐานของตรรกะเชิงประพจน์
- การสับเปลี่ยนของการแตกแยกและการรวมกัน:
ก ˅ ข ≡ ข ˅ ก
ก^ข ≡ ข^ก - กฎหมายการจำหน่ายที่เกี่ยวข้องกับการแยกทางและการรวม:
ก ˅ (b^с) ≡ (ก ˅ ข) ^(ก ˅ с)
ก ^ (b ˅ c) ≡ (a ^ b) ˅ (a ^ c) - การปฏิเสธของการปฏิเสธ:
ฌ(â) ≡ ก - ความสม่ำเสมอ:
^ â ≡ เท็จ - สิทธิพิเศษที่สาม:
˅ ฌа ≡ จริง - กฎของเดอมอร์แกน:
ฌ(ก ˅ ข) ≡ â ˄ ¢b
ฌ(ก ˄ ข) ≡ â ˅ ¢b - ลดความซับซ้อน:
ก ˄ ก ≡ ก
ก ˅ ก ≡ ก
a ˄ จริง ≡
˄ เท็จ ≡ เท็จ - การดูดซึม:
ก ˄ (ก ˅ ข) ≡ ก
ก ˅ (ก ˄ ข) ≡ ก - การทดแทนความหมาย
ก → ข ≡ â ˅ ข - การทดแทนตัวตน
ก ≡ ข ≡(ก ˄ ข) ˅ (ฌa ˄ ฌb)
การเป็นตัวแทนของฟังก์ชันลอจิคัล
ฟังก์ชันลอจิคัลใดๆ ของตัวแปร n - F(x 1, x 2, ... x n) สามารถระบุได้ด้วยตารางความจริง ตารางดังกล่าวประกอบด้วยชุดตัวแปร 2 n ชุด โดยแต่ละชุดจะมีการระบุค่าของฟังก์ชันในชุดนี้ วิธีนี้ใช้ได้ดีเมื่อจำนวนตัวแปรค่อนข้างน้อย สำหรับ n > 5 การแสดงจะมองเห็นได้ไม่ดี
อีกวิธีหนึ่งคือการกำหนดฟังก์ชันด้วยสูตรบางสูตรโดยใช้ฟังก์ชันที่ค่อนข้างง่ายที่รู้จักกันดี ระบบของฟังก์ชัน (f 1, f 2, … f k) เรียกว่าสมบูรณ์หากฟังก์ชันลอจิคัลใดๆ สามารถแสดงได้ด้วยสูตรที่มีเฉพาะฟังก์ชัน f i
ระบบฟังก์ชัน (‚, ˄, ˅) เสร็จสมบูรณ์ กฎข้อ 9 และ 10 เป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าความหมายและอัตลักษณ์แสดงออกผ่านการปฏิเสธ การเชื่อม และการแยกออกจากกันอย่างไร
ในความเป็นจริง ระบบของสองฟังก์ชัน - การปฏิเสธและการรวมหรือการปฏิเสธและการแยกจากกัน - ก็เสร็จสมบูรณ์เช่นกัน จากกฎของ De Morgan ดำเนินตามแนวคิดที่ทำให้สามารถแสดงออกถึงความเชื่อมโยงผ่านการปฏิเสธและการแยกจากกัน และดังนั้น เพื่อแสดงการแยกส่วนผ่านการปฏิเสธและการรวมกัน:
(ก ˅ ข) ≡ ฌ(ฌa ˄ ¢b)
(ก ˄ ข) ≡ ฌ(ฌa ˅ ฌb)
ในทางตรงกันข้าม ระบบที่ประกอบด้วยฟังก์ชันเดียวจะเสร็จสมบูรณ์ มีฟังก์ชันไบนารีสองฟังก์ชัน - การต่อต้านการเชื่อมต่อและการป้องกันการแยกส่วน เรียกว่าลูกศร Peirce และจังหวะ Schaeffer ซึ่งเป็นตัวแทนของระบบกลวง
ฟังก์ชันพื้นฐานของภาษาโปรแกรมมักประกอบด้วยเอกลักษณ์ การปฏิเสธ การเชื่อม และการแยกออกจากกัน ในปัญหา Unified State Examination พร้อมด้วยฟังก์ชันเหล่านี้ มักพบความหมายโดยนัย
ลองดูปัญหาง่ายๆ สองสามข้อที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันลอจิคัล
ปัญหาที่ 15:
มีการให้ส่วนหนึ่งของตารางความจริง ฟังก์ชันใดในสามฟังก์ชันที่ให้มาซึ่งสอดคล้องกับส่วนนี้
| เอ็กซ์ 1 | เอ็กซ์ 2 | เอ็กซ์ 3 | เอ็กซ์ 4 | เอฟ |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
- (X 1 → X 2) ˄ ฌ X 3 ˅ X 4
- (ฌ X 1 ˄ X 2) ˅ (ฌ X 3 ˄ X 4)
- ฌ X 1 ˅ X 2 ˅ (X 3 ˄ X 4)
ฟังก์ชั่นหมายเลข 3
ในการแก้ปัญหา คุณจำเป็นต้องรู้ตารางความจริงของฟังก์ชันพื้นฐานและจดจำลำดับความสำคัญของการดำเนินการ ฉันขอเตือนคุณว่าการรวม (การคูณเชิงตรรกะ) มีลำดับความสำคัญสูงกว่าและดำเนินการเร็วกว่าการแยกส่วน (การบวกเชิงตรรกะ) ในระหว่างการคำนวณ จะสังเกตเห็นได้ง่ายว่าฟังก์ชันที่มีหมายเลข 1 และ 2 ในชุดที่สามมีค่า 1 และด้วยเหตุนี้จึงไม่สอดคล้องกับส่วนย่อย
ปัญหาที่ 16:
ตัวเลขใดที่กำหนดให้ตรงตามเงื่อนไข:
(ตัวเลขเริ่มจากหลักที่สำคัญที่สุดเรียงลำดับจากมากไปน้อย) → (ตัวเลข - คู่) ˄ (หลักต่ำ - คู่) ˄ (หลักสูง - คี่)
หากมีตัวเลขดังกล่าวหลายตัว ให้ระบุตัวเลขที่มากที่สุด
- 13579
- 97531
- 24678
- 15386
เงื่อนไขเป็นไปตามหมายเลข 4
ตัวเลขสองตัวแรกไม่ตรงตามเงื่อนไขเนื่องจากหลักต่ำสุดเป็นเลขคี่ การรวมเงื่อนไขจะเป็นเท็จ ถ้าเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งของการรวมเป็นเท็จ สำหรับหมายเลขที่สาม ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับหลักสูงสุด สำหรับตัวเลขที่สี่ จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนดไว้สำหรับตัวเลขหลักต่ำและสูงของตัวเลข พจน์แรกของคำร่วมก็เป็นจริงเช่นกัน เนื่องจากความหมายโดยนัยเป็นจริงหากหลักฐานเป็นเท็จ ซึ่งเป็นกรณีใน ในกรณีนี้.
ปัญหาที่ 17: พยานสองคนให้การเป็นพยานดังต่อไปนี้:
พยานคนแรก: ถ้า A มีความผิด B ก็มีความผิดมากกว่า และ C ก็บริสุทธิ์
พยานคนที่สอง: สองคนมีความผิด และอีกคนหนึ่งที่เหลือมีความผิดและมีความผิดอย่างแน่นอน แต่ฉันไม่สามารถพูดได้ว่าใครกันแน่
คำให้การสามารถสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับความผิดของ A, B และ C ได้อย่างไร
คำตอบ: จากคำให้การเป็นดังนี้ว่า A และ B มีความผิด และ C เป็นผู้บริสุทธิ์
วิธีแก้ไข: แน่นอนว่า สามารถให้คำตอบได้โดยอิงจาก สามัญสำนึก- แต่มาดูกันว่าสิ่งนี้สามารถทำได้อย่างเคร่งครัดและเป็นทางการได้อย่างไร
สิ่งแรกที่ต้องทำคือทำให้แถลงการณ์เป็นทางการ เรามาแนะนำตัวแปรเชิงตรรกะสามตัว ได้แก่ A, B และ C ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเป็นจริง (1) หากผู้ต้องสงสัยที่เกี่ยวข้องมีความผิด จากนั้นคำให้การของพยานคนแรกจะได้รับตามสูตร:
ก → (B ˄ ฌC)
คำให้การของพยานคนที่สองให้ไว้ตามสูตร:
A ˄ ((B ˄ âC) ˅ (âB ˄ C))
คำให้การของพยานทั้งสองจะถือว่าเป็นจริงและแสดงถึงความสอดคล้องของสูตรที่เกี่ยวข้อง
มาสร้างตารางความจริงสำหรับการอ่านเหล่านี้กัน:
| ก | บี | ค | ฉ 1 | ฉ 2 | ฟ 1 ˄ ฟ 2 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
สรุปหลักฐานเป็นจริงเพียงกรณีเดียว นำไปสู่คำตอบที่ชัดเจน - ก และ ข มีความผิด และ ค เป็นผู้บริสุทธิ์
จากการวิเคราะห์ตารางนี้ยังพบว่าคำให้การของพยานคนที่สองมีข้อมูลมากกว่า จากความจริงในคำให้การของเขา มีเพียงสองทางเลือกที่เป็นไปได้ตามมา - A และ B มีความผิด และ C เป็นผู้บริสุทธิ์ หรือ A และ C มีความผิด และ B เป็นผู้บริสุทธิ์ คำให้การของพยานคนแรกมีข้อมูลน้อย - มี 5 คน ตัวเลือกต่างๆสอดคล้องกับคำให้การของเขา คำให้การของพยานทั้งสองร่วมกันให้คำตอบที่ชัดเจนเกี่ยวกับความผิดของผู้ต้องสงสัย
สมการลอจิกและระบบสมการ
ให้ F(x 1, x 2, …xn) เป็นฟังก์ชันลอจิคัลของตัวแปร n ตัว สมการเชิงตรรกะดูเหมือนว่า:
F(x 1, x 2, …xn) = C,
ค่าคงที่ C มีค่า 1 หรือ 0
สมการลอจิกสามารถมีคำตอบที่แตกต่างกันได้ตั้งแต่ 0 ถึง 2n ถ้า C เท่ากับ 1 ดังนั้นคำตอบคือชุดตัวแปรทั้งหมดจากตารางความจริง ซึ่งฟังก์ชัน F รับค่าจริง (1) ชุดที่เหลือคือคำตอบของสมการที่มี C เท่ากับศูนย์ คุณสามารถพิจารณาเฉพาะสมการของแบบฟอร์มเท่านั้น:
ฉ(x 1 , x 2 , …xn) = 1
จริง ๆ แล้วให้สมการดังนี้:
ฉ(x 1 , x 2 , …xn) = 0
ในกรณีนี้ เราสามารถหาสมการที่เทียบเท่าได้:
ฌF(x 1 , x 2 , …xn) = 1
พิจารณาระบบสมการเชิงตรรกะ k:
ฉ 1 (x 1, x 2, …xn) = 1
ฉ 2 (x 1, x 2, …x n) = 1
F k (x 1 , x 2 , …xn) = 1
คำตอบของระบบคือชุดของตัวแปรที่ทำให้สมการของระบบทั้งหมดเป็นไปตามที่ต้องการ ในแง่ของฟังก์ชันลอจิคัลเพื่อให้ได้คำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะเราควรหาเซตที่ฟังก์ชันลอจิคัล F เป็นจริงซึ่งแสดงถึงการรวมของฟังก์ชันดั้งเดิม F:
Ф = F 1 ˄ F 2 ˄ … F k
หากจำนวนตัวแปรน้อย เช่น น้อยกว่า 5 ก็ไม่ยากที่จะสร้างตารางความจริงสำหรับฟังก์ชัน Ф ซึ่งช่วยให้เราบอกได้ว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเท่าใด และชุดใดบ้างที่ให้คำตอบ
ในปัญหา USE บางประการในการค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะ จำนวนตัวแปรถึง 10 จากนั้น การสร้างตารางความจริงกลายเป็นงานที่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย การแก้ปัญหาต้องใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป สำหรับระบบสมการตามอำเภอใจ ไม่มีวิธีการทั่วไปอื่นใดนอกจากการแจงนับที่ช่วยให้สามารถแก้ปัญหาดังกล่าวได้
ในโจทย์ที่นำเสนอในข้อสอบนั้น วิธีแก้ปัญหามักจะคำนึงถึงลักษณะเฉพาะของระบบสมการด้วย ฉันขอย้ำอีกครั้งว่า นอกเหนือจากการลองใช้ตัวเลือกทั้งหมดสำหรับชุดตัวแปรแล้ว ไม่มีวิธีทั่วไปในการแก้ปัญหา โซลูชันจะต้องสร้างขึ้นตามลักษณะเฉพาะของระบบ การทำให้ระบบสมการง่ายขึ้นเบื้องต้นมักจะมีประโยชน์โดยใช้กฎของตรรกศาสตร์ที่รู้จัก เทคนิคที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่งในการแก้ปัญหานี้มีดังนี้ เราไม่สนใจทุกชุด แต่เฉพาะชุดที่ฟังก์ชัน Ф มีค่า 1 แทนที่จะสร้างตารางความจริงที่สมบูรณ์ เราจะสร้างอะนาล็อกขึ้นมา - แผนผังการตัดสินใจแบบไบนารี แต่ละกิ่งของแผนผังนี้สอดคล้องกับคำตอบเดียวและระบุชุดที่ฟังก์ชัน Ф มีค่า 1 จำนวนสาขาในแผนผังการตัดสินใจเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนคำตอบของระบบสมการ
ฉันจะอธิบายว่าแผนผังการตัดสินใจแบบไบนารีคืออะไร และสร้างขึ้นได้อย่างไรโดยใช้ตัวอย่างของปัญหาต่างๆ
ปัญหาที่ 18
มีค่าที่แตกต่างกันกี่ชุดของตัวแปรลอจิคัล x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 ที่เป็นไปตามระบบของสมการทั้งสอง?
คำตอบ: ระบบมีโซลูชั่นที่แตกต่างกัน 36 แบบ
วิธีแก้: ระบบสมการมีสองสมการ มาหาจำนวนคำตอบของสมการแรกกัน ขึ้นอยู่กับตัวแปร 5 ตัว - x 1, x 2, ...x 5 สมการแรกสามารถถือเป็นระบบที่มี 5 สมการได้ ดังที่ได้แสดงไปแล้ว ระบบสมการแสดงถึงการรวมฟังก์ชันลอจิคัลเข้าด้วยกัน ในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน การรวมกันของเงื่อนไขถือได้ว่าเป็นระบบสมการ
มาสร้างแผนผังการตัดสินใจสำหรับความหมาย (x1 → x2) - เทอมแรกของการรวมซึ่งถือได้ว่าเป็นสมการแรก นี่คือลักษณะการแสดงกราฟิกของต้นไม้นี้:
ต้นไม้ประกอบด้วยสองระดับตามจำนวนตัวแปรในสมการ ระดับแรกอธิบายตัวแปรแรก X 1 สองสาขาของระดับนี้สะท้อนถึงค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรนี้ - 1 และ 0 ในระดับที่สองกิ่งก้านของต้นไม้สะท้อนเฉพาะค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปร X 2 ซึ่งสมการเป็นจริง เนื่องจากสมการระบุความหมาย สาขาที่ X 1 มีค่า 1 ต้องการให้สาขานั้น X 2 มีค่า 1 สาขาที่ X 1 มีค่า 0 จะสร้างสองสาขาที่มีค่า X 2 เท่ากับ 0 และ 1 ต้นไม้ที่สร้างขึ้นกำหนดวิธีแก้ปัญหาสามประการโดยนัย X 1 → X 2 รับค่า 1 ในแต่ละสาขาชุดของค่าตัวแปรที่สอดคล้องกันจะถูกเขียนออกมาเพื่อแก้สมการ
ชุดเหล่านี้คือ: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))
มาสร้างแผนผังการตัดสินใจกันต่อโดยการเพิ่มสมการต่อไปนี้ ซึ่งมีความหมายดังนี้ X 2 → X 3 ความเฉพาะเจาะจงของระบบสมการของเราคือสมการใหม่แต่ละสมการของระบบใช้ตัวแปรหนึ่งตัวจากสมการก่อนหน้า โดยเพิ่มตัวแปรใหม่หนึ่งตัว เนื่องจากตัวแปร X 2 มีค่าอยู่ในแผนผังอยู่แล้ว ดังนั้นในทุกกิ่งที่ตัวแปร X 2 มีค่าเป็น 1 ตัวแปร X 3 ก็จะมีค่าเป็น 1 เช่นกัน สำหรับกิ่งก้านดังกล่าวการก่อสร้างต้นไม้ ดำเนินต่อไปอีกระดับแต่สาขาใหม่ไม่ปรากฏ สาขาเดียวที่ตัวแปร X 2 มีค่า 0 จะแยกสาขาออกเป็นสองสาขาโดยที่ตัวแปร X 3 จะได้รับค่า 0 และ 1 ดังนั้นการเพิ่มสมการใหม่แต่ละครั้งตามข้อมูลเฉพาะของมันจึงเพิ่มวิธีแก้ปัญหาหนึ่งรายการ สมการแรกดั้งเดิม:
(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
มี 6 โซลูชั่น แผนผังการตัดสินใจที่สมบูรณ์สำหรับสมการนี้มีลักษณะดังนี้:
สมการที่สองของระบบของเราคล้ายกับสมการแรก:
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือสมการนี้ใช้ตัวแปร Y เช่นกัน เนื่องจากแต่ละคำตอบสำหรับตัวแปร X i สามารถรวมกับแต่ละคำตอบสำหรับตัวแปร Y j ได้ จำนวนคำตอบทั้งหมดคือ 36
โปรดทราบว่าแผนผังการตัดสินใจที่สร้างขึ้นไม่เพียงแต่ให้จำนวนวิธีแก้ปัญหาเท่านั้น (ตามจำนวนสาขา) แต่ยังรวมถึงวิธีแก้ปัญหาที่เขียนไว้ในแต่ละกิ่งของแผนผังด้วย
ปัญหาที่ 19
มีค่าที่แตกต่างกันกี่ชุดของตัวแปรลอจิคัล x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 ที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่ระบุไว้ด้านล่างนี้
(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
(x1→ y1) = 1
งานนี้เป็นการแก้ไขงานก่อนหน้า ข้อแตกต่างคือมีการเพิ่มสมการอื่นที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร X และ Y
จากสมการ X 1 → Y 1 จะได้ว่าเมื่อ X 1 มีค่า 1 (มีวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอยู่หนึ่งตัว) แล้ว Y 1 ก็มีค่า 1 ด้วย ดังนั้นจึงมีชุดหนึ่งที่ X 1 และ Y 1 มีค่า 1. เมื่อ X 1 เท่ากับ 0 Y 1 สามารถมีค่าใดๆ ก็ได้ ทั้ง 0 และ 1 ดังนั้น แต่ละชุดที่มี X 1 เท่ากับ 0 และมี 5 ชุดดังกล่าว จะตรงกับทั้ง 6 ชุดที่มีตัวแปร Y ดังนั้น จำนวนคำตอบทั้งหมดคือ 31
ปัญหาที่ 20
(ฌX 1 ˅ X 2) ˄ (ฌX 2 ˅ X 3) ˄ (ฌX 3 ˅ X 4) ˄ (ฌX 4 ˅ X 5) ˄ (ฌX 5 ˅ X 1) = 1
วิธีแก้ไข: เมื่อนึกถึงความเท่าเทียมกันพื้นฐาน เราเขียนสมการของเราเป็น:
(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 5) ˄ (X 5 → X 1) = 1
ห่วงโซ่ของความหมายโดยนัยหมายความว่าตัวแปรต่างๆ เหมือนกัน ดังนั้นสมการของเราจึงเทียบเท่ากับสมการ:
X 1 ≡ X 2 ≡ X 3 ≡ X 4 ≡ X 5 = 1
สมการนี้มีคำตอบสองวิธีเมื่อ X i ทั้งหมดเป็น 1 หรือ 0
ปัญหาที่ 21
(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 2) ˄ (X 4 → X 5) = 1
วิธีแก้ปัญหา: เช่นเดียวกับในปัญหาข้อ 20 เราย้ายจากนัยแบบวนเป็นอัตลักษณ์ โดยเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ:
(X 1 → X 2) ˄ (X 2 ≡ X 3 ≡ X 4) ˄ (X 4 → X 5) = 1
มาสร้างแผนผังการตัดสินใจสำหรับสมการนี้กัน: 
ปัญหาที่ 22
ระบบสมการต่อไปนี้มีคำตอบได้กี่ข้อ?
((เอ็กซ์ 1 ≡เอ็กซ์ 2) ˄ (เอ็กซ์ 3 ≡X 4)) ˅(ฌ(เอ็กซ์ 1 ≡X 2) ˄ ฌ(เอ็กซ์ 3 ≡X 4)) = 0
((เอ็กซ์ 3 ≡เอ็กซ์ 4) ˄ (เอ็กซ์ 5 ≡X 6)) ˅(ฌ(เอ็กซ์ 3 ≡X 4) ˄ ฌ(เอ็กซ์ 5 ≡X 6)) = 0
((เอ็กซ์ 5 ≡เอ็กซ์ 6) ˄ (เอ็กซ์ 7 ≡X 8)) ˅(ฌ(เอ็กซ์ 5 ≡X 6) ˄ ฌ(เอ็กซ์ 7 ≡X 8)) = 0
((เอ็กซ์ 7 ≡X 8) ˄ (เอ็กซ์ 9 ≡X 10)) ˅(ฌ(เอ็กซ์ 7 ≡X 8) ˄ ฌ(เอ็กซ์ 9 ≡X 10)) = 0
คำตอบ: 64
วิธีแก้ไข: ลองเปลี่ยนจากตัวแปร 10 ตัวเป็น 5 ตัวแปรโดยแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรต่อไปนี้:
ป 1 = (X 1 ≡ X 2); ป 2 = (X 3 ≡ X 4); ป 3 = (X 5 ≡ X 6); ป 4 = (X 7 ≡ X 8); ป 5 = (X 9 ≡ X 10);
จากนั้นสมการแรกจะอยู่ในรูปแบบ:
(ป 1 ˄ ย 2) ˅ (ฌย 1 ˄ ¢Y 2) = 0
สมการสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยเขียนเป็น:
(ป 1 ≡ ป 2) = 0
ก้าวต่อไป รูปแบบดั้งเดิมเราเขียนระบบหลังจากการทำให้เข้าใจง่ายในรูปแบบ:
ฌ(ป 1 ≡ ป 2) = 1
ฌ(ป 2 ≡ ป 3) = 1
ฌ(ป 3 ≡ ป 4) = 1
ฌ(ป 4 ≡ ป 5) = 1
แผนผังการตัดสินใจสำหรับระบบนี้เรียบง่ายและประกอบด้วยสองสาขาที่มีค่าตัวแปรสลับกัน:
เมื่อย้อนกลับไปที่ตัวแปร X ดั้งเดิม โปรดทราบว่าสำหรับแต่ละค่าในตัวแปร Y จะมี 2 ค่าในตัวแปร X ดังนั้นแต่ละโซลูชันในตัวแปร Y จะสร้างโซลูชัน 2 5 รายการในตัวแปร X ทั้งสองสาขาจะสร้าง 2 * 2 5 เฉลย ดังนั้น จำนวนเฉลยทั้งหมดคือ 64
อย่างที่คุณเห็น แต่ละปัญหาในการแก้ระบบสมการต้องใช้แนวทางของตัวเอง แผนกต้อนรับทั่วไปคือการดำเนินการแปลงที่เทียบเท่าเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น เทคนิคทั่วไปคือการสร้างแผนผังการตัดสินใจ วิธีการที่ใช้นั้นชวนให้นึกถึงการสร้างตารางความจริงบางส่วนโดยมีลักษณะเฉพาะที่ไม่ได้สร้างชุดค่าตัวแปรที่เป็นไปได้ทั้งหมด แต่จะมีเฉพาะค่าที่ฟังก์ชันรับค่า 1 (จริง) บ่อยครั้งในปัญหาที่นำเสนอนั้นไม่จำเป็นต้องสร้างแผนผังการตัดสินใจที่สมบูรณ์ตั้งแต่นั้นมา ระยะเริ่มแรกเป็นไปได้ที่จะสร้างรูปแบบของลักษณะที่ปรากฏของสาขาใหม่ในแต่ละระดับต่อมา ดังที่ได้กระทำไปแล้ว เช่น ในปัญหาที่ 18
โดยทั่วไป ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะถือเป็นแบบฝึกหัดทางคณิตศาสตร์ที่ดี
หากปัญหานั้นแก้ไขด้วยตนเองได้ยาก คุณสามารถมอบคำตอบให้กับคอมพิวเตอร์โดยการเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมสำหรับการแก้สมการและระบบสมการ
การเขียนโปรแกรมดังกล่าวไม่ใช่เรื่องยาก โปรแกรมดังกล่าวจะรับมือกับงานทั้งหมดที่นำเสนอในการสอบ Unified State ได้อย่างง่ายดาย
น่าแปลกที่งานค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะเป็นเรื่องยากสำหรับคอมพิวเตอร์ และปรากฎว่าคอมพิวเตอร์มีขีดจำกัด คอมพิวเตอร์สามารถรับมือกับงานที่จำนวนตัวแปร 20-30 ค่อนข้างง่าย แต่จะเริ่มคิดถึงปัญหาเป็นเวลานาน ขนาดใหญ่ขึ้น- ความจริงก็คือฟังก์ชัน 2 n ซึ่งระบุจำนวนเซต นั้นเป็นเลขชี้กำลังที่จะขยายอย่างรวดเร็วเมื่อ n เพิ่มขึ้น เร็วมากจนคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลทั่วไปไม่สามารถรับมือกับงานที่มีตัวแปร 40 ตัวในหนึ่งวันได้
โปรแกรมในภาษา C# สำหรับการแก้สมการเชิงตรรกะ
การเขียนโปรแกรมสำหรับการแก้สมการเชิงตรรกะมีประโยชน์หลายประการ หากเพียงเพราะคุณสามารถใช้เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของวิธีแก้ปัญหาของคุณเองสำหรับปัญหาการทดสอบ Unified State Exam อีกเหตุผลหนึ่งก็คือโปรแกรมดังกล่าวเป็นตัวอย่างที่ดีของงานการเขียนโปรแกรมที่ตรงตามข้อกำหนดสำหรับงานหมวด C ในการสอบ Unified State
แนวคิดในการสร้างโปรแกรมนั้นง่ายมาก - ขึ้นอยู่กับการค้นหาชุดค่าตัวแปรที่เป็นไปได้ทั้งหมดทั้งหมด เนื่องจากสำหรับสมการตรรกะหรือระบบสมการที่กำหนดจำนวนตัวแปร n จึงเป็นที่รู้จักดังนั้นจึงทราบจำนวนชุดด้วย - 2 n ซึ่งจำเป็นต้องแยกออก การใช้ฟังก์ชันพื้นฐานของภาษา C# ได้แก่ การปฏิเสธ การแยกส่วน การเชื่อม และเอกลักษณ์ การเขียนโปรแกรมได้ไม่ยากสำหรับชุดตัวแปรที่กำหนด จะคำนวณค่าของฟังก์ชันลอจิคัลที่สอดคล้องกับสมการตรรกะหรือระบบสมการ .
ในโปรแกรมดังกล่าว คุณจะต้องสร้างลูปตามจำนวนเซ็ต ในเนื้อความของลูป โดยใช้จำนวนของเซ็ต สร้างเซ็ตเอง คำนวณค่าของฟังก์ชันบนเซ็ตนี้ และหากเป็นเช่นนี้ ค่าคือ 1 จากนั้นเซตจะให้คำตอบของสมการ
ปัญหาเดียวที่เกิดขึ้นเมื่อใช้งานโปรแกรมนั้นเกี่ยวข้องกับงานสร้างชุดของค่าตัวแปรเองตามหมายเลขที่ตั้งไว้ ข้อดีของปัญหานี้ก็คือ งานที่ดูเหมือนยากนี้แท้จริงแล้วกลับกลายเป็นปัญหาง่ายๆ ที่เกิดขึ้นมาแล้วหลายครั้ง อันที่จริงก็เพียงพอที่จะเข้าใจว่าชุดของค่าตัวแปรที่สอดคล้องกับตัวเลข i ซึ่งประกอบด้วยศูนย์และหนึ่งแสดงถึงการแทนค่าไบนารี่ของตัวเลข i ดังนั้น งานที่ยากลำบากการได้รับชุดของค่าตัวแปรตามจำนวนที่กำหนดนั้นมาจากปัญหาที่รู้จักกันดีในการแปลงตัวเลขเป็นระบบไบนารี่
นี่คือลักษณะของฟังก์ชันใน C# ที่ช่วยแก้ปัญหาของเรา:
///
/// โปรแกรมสำหรับนับจำนวนโซลูชั่น
/// สมการเชิงตรรกะ (ระบบสมการ)
///
///
/// ฟังก์ชันลอจิคัล - วิธีการ
/// ซึ่งผู้รับมอบสิทธิ์ DF ระบุลายเซ็นไว้
///
/// จำนวนตัวแปร
///
SolveEquations int แบบคงที่ (สนุก DF, int n)
ชุดบูล = บูลใหม่ [n];
int m = (int) Math.Pow (2, n); //จำนวนชุด
int p = 0, q = 0, k = 0;
// ค้นหาให้เสร็จสิ้นตามจำนวนชุด
สำหรับ (int i = 0; i< m; i++)
//การก่อตัวของเซ็ตถัดไป - เซ็ต
//ระบุโดยการเป็นตัวแทนไบนารี่ของตัวเลข i
สำหรับ (int j = 0; j< n; j++)
k = (int) Math.Pow (2, j);
//คำนวณค่าของฟังก์ชันบนเซต
เพื่อทำความเข้าใจโปรแกรม ฉันหวังว่าคำอธิบายที่ให้ไว้เกี่ยวกับแนวคิดของโปรแกรมและความคิดเห็นในเนื้อหาจะเพียงพอแล้ว ฉันจะเน้นไปที่การอธิบายชื่อเรื่องของฟังก์ชันที่กำหนดเท่านั้น ฟังก์ชัน SolveEquations มีพารามิเตอร์อินพุตสองตัว พารามิเตอร์ fun ระบุฟังก์ชันลอจิคัลที่สอดคล้องกับสมการหรือระบบสมการที่กำลังหาคำตอบ พารามิเตอร์ n ระบุตัวเลข ตัวแปรฟังก์ชันสนุก. ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชัน SolveEquations จะส่งกลับจำนวนคำตอบของฟังก์ชันลอจิคัล ซึ่งก็คือจำนวนชุดที่ฟังก์ชันประเมินว่าเป็นจริง
เป็นเรื่องปกติสำหรับเด็กนักเรียนเมื่อบางฟังก์ชัน F(x) มีพารามิเตอร์อินพุต x ซึ่งเป็นตัวแปรประเภทเลขคณิต สตริง หรือตรรกะ ในกรณีของเรา จะใช้การออกแบบที่ทรงพลังกว่า ฟังก์ชัน SolveEquations เป็นของฟังก์ชัน ลำดับที่สูงขึ้น– ฟังก์ชันประเภท F(f) ซึ่งพารามิเตอร์ไม่เพียงแต่เป็นตัวแปรธรรมดาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงฟังก์ชันด้วย
คลาสของฟังก์ชันที่สามารถส่งผ่านเป็นพารามิเตอร์ไปยังฟังก์ชัน SolveEquations มีการระบุดังนี้:
ผู้รับมอบสิทธิ์บูล DF (vars บูล);
คลาสนี้เป็นเจ้าของฟังก์ชันทั้งหมดที่ส่งผ่านเป็นพารามิเตอร์ซึ่งเป็นชุดของค่าของตัวแปรลอจิคัลที่ระบุโดยอาร์เรย์ vars ผลลัพธ์คือค่าบูลีนที่แสดงถึงค่าของฟังก์ชันในชุดนี้
สุดท้ายนี้ นี่คือโปรแกรมที่ใช้ฟังก์ชัน SolveEquations เพื่อแก้สมการตรรกะหลายระบบ ฟังก์ชัน SolveEquations เป็นส่วนหนึ่งของคลาส ProgramCommon ด้านล่าง:
โปรแกรมคลาสCommon
ผู้รับมอบสิทธิ์บูล DF (vars บูล);
โมฆะคงที่หลัก (args สตริง)
Console.WriteLine("และฟังก์ชั่น - " +
แก้สมการ (FunAnd, 2));
Console.WriteLine("ฟังก์ชั่นมี 51 โซลูชั่น - " +
แก้สมการ (Fun51, 5));
Console.WriteLine("ฟังก์ชั่นมี 53 โซลูชั่น - " +
แก้สมการ (Fun53, 10));
บูลแบบคงที่ FunAnd (vars บูล)
กลับ vars && vars;
บูลแบบคงที่ Fun51 (vars บูล)
f = f && (!vars || vars);
f = f && (!vars || vars);
f = f && (!vars || vars);
f = f && (!vars || vars);
f = f && (!vars || vars);
บูลแบบคงที่ Fun53 (vars บูล)
f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));
f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));
f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));
f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));
f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));
f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));
f = f && (!((vars == vars) || (vars == vars)));
ผลลัพธ์การแก้ปัญหาสำหรับโปรแกรมนี้มีลักษณะดังนี้:
10 งานสำหรับงานอิสระ
- ฟังก์ชันใดในสามฟังก์ชันที่เทียบเท่ากัน:
- (X → Y) ˅ ñY
- ฌ(X ˅ ฌY) ˄ (X → ‚Y)
- 'X ˄Y
- ให้เป็นส่วนหนึ่งของตารางความจริง:
| เอ็กซ์ 1 | เอ็กซ์ 2 | เอ็กซ์ 3 | เอ็กซ์ 4 | เอฟ |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
ฟังก์ชันใดในสามฟังก์ชันที่แฟรกเมนต์นี้สอดคล้องกับ:
- (X 1 ˅ ฌX 2) ˄ (X 3 → X 4)
- (X 1 → X 3) ˄ X 2 ˅ X 4
- X 1 ˄ X 2 ˅ (X 3 → (X 1 ˅ X 4))
- คณะลูกขุนประกอบด้วยสามคน การตัดสินจะเกิดขึ้นหากประธานคณะลูกขุนลงคะแนนเสียง โดยได้รับการสนับสนุนจากสมาชิกคณะลูกขุนอย่างน้อยหนึ่งคน มิฉะนั้นจะไม่มีการตัดสินใจ สร้างฟังก์ชันเชิงตรรกะที่ทำให้กระบวนการตัดสินใจเป็นทางการ
- X ชนะมากกว่า Y หากการโยนเหรียญสี่ครั้งส่งผลให้ได้หัวสามครั้ง กำหนดฟังก์ชันลอจิคัลที่อธิบายผลตอบแทนของ X
- คำในประโยคจะมีหมายเลขเริ่มต้นจากหนึ่ง ประโยคจะถือว่าสร้างอย่างถูกต้องหากตรงตามกฎต่อไปนี้:
- ถ้าคำที่เป็นเลขคู่ลงท้ายด้วยสระ ถ้ามีคำถัดไปก็ต้องขึ้นต้นด้วยเสียงสระ
- ถ้าคำที่เป็นเลขคี่ลงท้ายด้วยพยัญชนะ ถ้ามีคำถัดไป จะต้องขึ้นต้นด้วยพยัญชนะและลงท้ายด้วยสระ
ประโยคใดต่อไปนี้สร้างได้ถูกต้อง: - แม่ล้าง Masha ด้วยสบู่
- ผู้นำเป็นแบบอย่างเสมอ
- ความจริงเป็นสิ่งดี แต่ความสุขนั้นดีกว่า
- สมการนี้มีกี่คำตอบ:
(ก ˄ ฌ ข) ˅ (ฌa ˄ ข) → (ค ˄ ง) = 1 - แสดงรายการคำตอบทั้งหมดของสมการ:
(ก → ข) → ค = 0 - ระบบสมการต่อไปนี้มีคำตอบได้กี่ข้อ:
X 0 → X 1 ˄ X 1 → X 2 = 1
X 2 → X 3 ˄ X 3 → X 4 = 1
X 5 → X 6 ˄ X 6 → X 7 = 1
X 7 → X 8 ˄ X 8 → X 9 = 1
X 0 → X 5 = 1 - สมการนี้มีกี่คำตอบ:
((((X 0 → X 1) → X 2) → X 3) →X 4) →X 5 = 1
คำตอบสำหรับปัญหา:
- ฟังก์ชัน b และ c เทียบเท่ากัน
- แฟรกเมนต์สอดคล้องกับฟังก์ชัน b
- ให้ตัวแปรตรรกะ P รับค่า 1 เมื่อประธานคณะลูกขุนลงมติ "สนับสนุน" การตัดสิน ตัวแปร M 1 และ M 2 แสดงถึงความคิดเห็นของสมาชิกคณะลูกขุน ฟังก์ชันลอจิกซึ่งระบุการตัดสินใจเชิงบวกสามารถเขียนได้ดังนี้:
พ ˄ (ม 1 ˅ ม 2) - ปล่อยให้ตัวแปรลอจิคัล P i รับค่า 1 เมื่อเหรียญที่ i ตกลงบนหัว ฟังก์ชันลอจิคัลที่ระบุผลตอบแทน X สามารถเขียนได้ดังนี้:
ฌ((ฌP 1 ˄ (ฌP 2 ˅ ฌP 3 ˅ ฌP 4)) ˅
(âP 2 ˄ (âP 3 ˅ âP 4)) ˅
('พี 3 ˄ 'พี 4)) - ประโยค ข.
- สมการมีวิธีแก้ปัญหา 3 แบบ: (a = 1; b = 1; c = 0); (ก = 0; ข = 0; ค = 0); (ก = 0; ข = 1; ค = 0)
นอสกิน อันเดรย์ นิโคลาวิช
ครูสอนวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์
หมวดหมู่คุณสมบัติสูงสุด
ผู้สมัครสาขาวิชาวิทยาศาสตร์การทหาร, รองศาสตราจารย์
GBOU Lyceum หมายเลข 1575 มอสโก
วิธีการทำแผนที่ที่ปรับให้เหมาะสมสำหรับการแก้ปัญหา 23 จาก KIM Unified State Examination ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์และ ICT
หนึ่งในงานที่ยากที่สุดใน Unified State Exam KIM คือปัญหา 23 ซึ่งคุณต้องค้นหาจำนวนชุดค่าต่างๆ ของตัวแปรลอจิคัลที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ
งานนี้อาจเป็นงานที่ยากที่สุดของ KIM Unified State Examination ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์และ ICT ตามกฎแล้วผู้สอบไม่เกิน 5% สามารถรับมือกับมันได้ (1)
นักเรียนส่วนน้อยที่ทำภารกิจนี้สำเร็จจะอธิบายได้ดังต่อไปนี้:
- นักเรียนอาจสับสน (ลืม) สัญญาณของการดำเนินการเชิงตรรกะ
- ข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ในกระบวนการคำนวณ
- ข้อผิดพลาดในการให้เหตุผลเมื่อค้นหาวิธีแก้ไข
- ข้อผิดพลาดในกระบวนการลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงตรรกะ
- ครูแนะนำให้แก้ไขปัญหานี้หลังจากทำงานทั้งหมดเสร็จแล้วเนื่องจากมีความน่าจะเป็น
ข้อผิดพลาดมีขนาดใหญ่มากและ “น้ำหนัก” ของงานเป็นเพียงจุดหลักจุดเดียวเท่านั้น
นอกจากนี้ ครูบางคนเองก็มีปัญหาในการแก้ปัญหาประเภทนี้ จึงพยายามแก้ไขปัญหาที่ง่ายกว่ากับเด็กๆ
สถานการณ์ที่ซับซ้อนก็คือว่าในบล็อกนี้มี จำนวนมากงานต่างๆ และไม่สามารถเลือกโซลูชันเทมเพลตได้
เพื่อแก้ไขสถานการณ์นี้ ชุมชนการสอนกำลังสรุปวิธีการหลักสองวิธีในการแก้ปัญหา ประเภทนี้: วิธีแก้ปัญหาโดยใช้บิตเชน (2) และวิธีการแมป (3)
ความจำเป็นในการปรับแต่ง (เพิ่มประสิทธิภาพ) วิธีการเหล่านี้เกิดจากการที่งานมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาทั้งในโครงสร้างและจำนวนตัวแปร (ตัวแปร X เพียงประเภทเดียว, ตัวแปร X และ Y สองประเภท, สามประเภท: X, Y , ซี)
ความยากลำบากในการฝึกฝนวิธีการเหล่านี้ในการแก้ปัญหาได้รับการยืนยันจากข้อเท็จจริงที่ว่าบนเว็บไซต์ของ K.Yu Polyakov มีการวิเคราะห์ปัญหาประเภทนี้ 38 รายการ (4) การวิเคราะห์บางอย่างมีวิธีแก้ไขปัญหามากกว่าหนึ่งประเภท
เมื่อเร็วๆ นี้ในการสอบ KIM Unified State ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ มีปัญหากับตัวแปร X และ Y สองประเภท
ฉันได้ปรับวิธีการแสดงผลให้เหมาะสมแล้ว และสนับสนุนให้นักเรียนใช้วิธีการปรับปรุงนี้
สิ่งนี้ให้ผลลัพธ์ เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนของฉันที่สามารถรับมือกับงานนี้แตกต่างกันไปมากถึง 43% ของผู้ที่สอบผ่าน ตามกฎแล้วทุกปีจาก 25 ถึง 33 คนจากเกรด 11 ทั้งหมดจะเข้าสอบ Unified State ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์
ก่อนการมาถึงของงานมีสองประเภท วิธีการแปรผันนักเรียนใช้การแมปได้สำเร็จมาก แต่หลังจากปรากฏตัว Y ในนิพจน์เชิงตรรกะ ฉันเริ่มสังเกตเห็นว่าคำตอบของเด็กไม่ตรงกับแบบทดสอบอีกต่อไป ปรากฎว่าพวกเขายังไม่ชัดเจนเกี่ยวกับวิธีการสร้างตารางการแมปด้วยตัวแปรประเภทใหม่ จากนั้นฉันก็เกิดความคิดขึ้นมาว่าเพื่อความสะดวกควรลดการแสดงออกทั้งหมดให้เป็นตัวแปรประเภทเดียวตามความสะดวกสำหรับเด็ก
ฉันจะให้เทคนิคนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น เพื่อความสะดวกผมจะพิจารณาโดยใช้ตัวอย่างระบบนิพจน์เชิงตรรกะที่ให้ไว้ใน (4)
ระบบสมการลอจิกมีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?
(x1 ^ ใช่ 1)=(€x2 วี ¬
ย 2
)
(x2 ^ ใช่ 2)= (¬
x 3
วี ¬
ย 3
)
...
(x5 ^ ใช่ 5)
= (¬
x 6
วี ¬
ย 6
)
สารละลาย:
1. จากการวิเคราะห์ระบบสมการลอจิกพบว่ามีตัวแปรอยู่ 6 ตัว เอ็กซ์และตัวแปร 6 ตัว คุณ- เนื่องจากตัวแปรใดๆ เหล่านี้สามารถรับได้เพียงสองค่า (0 และ 1) เราจึงแทนที่ตัวแปรเหล่านี้ด้วยตัวแปรประเภทเดียวกัน 12 ตัว เช่น Z
2. ตอนนี้เรามาเขียนระบบใหม่ด้วยตัวแปรใหม่ที่เป็นประเภทเดียวกัน ความยากของงานคือการจดบันทึกอย่างระมัดระวังเมื่อเปลี่ยนตัวแปร
(ซี 1 ^ ซี 2)=
(€z3วี¬
z 4
)
(ซี 3 ^ ซี 4)=
(¬
z 5
วี¬
z 6
)
...
(ซี 9 ^ ซี 10)
=
(¬
z 11
วี¬
z 12)
3. มาสร้างตารางที่เราจะพูดถึงตัวเลือกทั้งหมดกัน z 1 , z 2 , z 3 , z 4 เนื่องจากสมการตรรกะแรกมีตัวแปรสี่ตัวแปร ตารางจึงมี 16 แถว (16=2 4) ลบค่าดังกล่าวออกจากตาราง z 4 ซึ่งสมการแรกไม่มีคำตอบ (ขีดฆ่าตัวเลข)
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | |||
| 1 | 0 | ||
| 1 |
4. วิเคราะห์ตาราง เราสร้างกฎสำหรับการแสดงคู่ของตัวแปร (เช่น คู่ ซี 1 ซี 2 =00 สอดคล้องกันคู่ ซี 3 ซี 4 = 11) .
5. กรอกตารางโดยคำนวณจำนวนคู่ของตัวแปรที่ระบบมีคำตอบ 
6. รวมผลลัพธ์ทั้งหมด: 9 + 9 + 9 + 27 = 54
7. คำตอบ: 54.
วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพข้างต้นสำหรับการแก้ปัญหา 23 จาก Unified State Exam KIM ช่วยให้นักเรียนได้รับความมั่นใจและแก้ไขปัญหาประเภทนี้ได้สำเร็จ
วรรณกรรม:
1. ฟิปี. คำแนะนำที่เป็นระบบสำหรับครู ซึ่งจัดทำขึ้นบนพื้นฐานของการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดทั่วไปที่ทำโดยผู้เข้าร่วมในการสอบ Unified State ประจำปี 2558 ในสาขาวิทยาศาสตร์สารสนเทศและไอซีที โหมดการเข้าถึง: http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1442163533/informatika_i_ikt.pdf
2. ก.ย. โปลยาคอฟ, M.A. รอยต์เบิร์ก.ระบบสมการลอจิก: การแก้ปัญหาโดยใช้สตริงบิต วารสารสารสนเทศ ฉบับที่ 12, 2014, หน้า. 4-12.สำนักพิมพ์ "First of September", มอสโก3. อี.เอ. มิรอนชิค วิธีการแสดงนิตยสาร สารสนเทศ ฉบับที่ 10, 2013, น. 18-26. สำนักพิมพ์ "First of September", มอสโก
