สูตรสำหรับผลต่างของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมกับเลขคณิตเป็นชุดตัวเลขที่สำคัญที่เรียนในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ในบทความนี้ เราจะพิจารณาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และค่าของมันส่งผลต่อคุณสมบัติของมันอย่างไร

ความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

เริ่มต้นด้วยการให้คำจำกัดความของชุดตัวเลขนี้ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือชุดของจำนวนตรรกยะที่เกิดจากการคูณองค์ประกอบแรกอย่างต่อเนื่อง จำนวนคงที่ซึ่งเรียกว่าตัวส่วน

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขในชุด 3, 6, 12, 24, ... เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพราะหากเราคูณ 3 (องค์ประกอบแรก) ด้วย 2 เราจะได้ 6 ถ้าเราคูณ 6 ด้วย 2 เราจะได้ 12 และอื่น ๆ

สมาชิกของลำดับที่กำลังพิจารณามักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ai โดยที่ i เป็นจำนวนเต็มที่ระบุจำนวนขององค์ประกอบในอนุกรม

คำจำกัดความข้างต้นของความก้าวหน้าสามารถเขียนในภาษาคณิตศาสตร์ได้ดังนี้: an = bn-1 * a1 โดยที่ b คือตัวส่วน ง่ายต่อการตรวจสอบสูตรนี้: ถ้า n = 1 แล้ว b1-1 = 1 และเราจะได้ a1 = a1 ถ้า n = 2 แล้ว an = b * a1 และเรามาถึงคำจำกัดความของชุดตัวเลขที่กำลังพิจารณาอีกครั้ง เหตุผลที่คล้ายกันสามารถดำเนินการต่อได้ ค่ามากน.

ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตัวเลข b เป็นตัวกำหนดว่าชุดตัวเลขทั้งหมดจะมีอักขระใด ตัวส่วน b สามารถเป็นบวก ลบ หรือมากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่ง ตัวเลือกทั้งหมดข้างต้นนำไปสู่ลำดับที่แตกต่างกัน:

• b > 1. จำนวนตรรกยะมีจำนวนเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 8, ... หากองค์ประกอบ a1 เป็นลบ ลำดับทั้งหมดจะเพิ่มเฉพาะโมดูโล แต่จะลดลงโดยคำนึงถึงเครื่องหมายของตัวเลข
• b = 1 บ่อยครั้งที่กรณีดังกล่าวไม่เรียกว่าความก้าวหน้า เนื่องจากมีชุดจำนวนตรรกยะที่เหมือนกันอยู่ทั่วไป ตัวอย่างเช่น -4, -4, -4

สูตรสำหรับผลรวม

ก่อนดำเนินการตรวจสอบ งานเฉพาะโดยใช้ตัวส่วนของประเภทของความก้าวหน้าภายใต้การพิจารณา ควรให้สูตรที่สำคัญสำหรับผลรวมขององค์ประกอบ n ตัวแรก สูตรคือ: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)

คุณสามารถรับนิพจน์นี้ได้ด้วยตนเองหากคุณพิจารณาลำดับการเรียกซ้ำของสมาชิกของความก้าวหน้า โปรดทราบว่าในสูตรข้างต้น การรู้เฉพาะองค์ประกอบแรกและตัวส่วนก็เพียงพอที่จะหาผลรวมของจำนวนคำศัพท์ตามอำเภอใจ

ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

ด้านบนคือคำอธิบายว่ามันคืออะไร ตอนนี้รู้สูตรสำหรับ Sn แล้ว ลองใช้มันกับอนุกรมตัวเลขนี้ เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่มีโมดูลัสไม่เกิน 1 มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อยกกำลังสูง นั่นคือ b∞ => 0 ถ้า -1

เนื่องจากความแตกต่าง (1 - b) จะเป็นค่าบวกเสมอ โดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวส่วน เครื่องหมายของผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด S∞ ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายขององค์ประกอบแรก a1

ตอนนี้เราจะพิจารณาปัญหาต่าง ๆ ซึ่งเราจะแสดงวิธีใช้ความรู้ที่ได้รับกับตัวเลขเฉพาะ

งานหมายเลข 1 การคำนวณองค์ประกอบที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้าและผลรวม

จากความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ 2 และองค์ประกอบแรกคือ 3 พจน์ที่ 7 และ 10 จะเป็นเท่าใด และผลรวมขององค์ประกอบเริ่มต้นทั้งเจ็ดจะเป็นเท่าใด

เงื่อนไขของปัญหาค่อนข้างง่ายและเกี่ยวข้องกับการใช้สูตรข้างต้นโดยตรง ดังนั้น ในการคำนวณองค์ประกอบที่มีหมายเลข n เราใช้นิพจน์ an = bn-1 * a1 สำหรับองค์ประกอบที่ 7 เรามี: a7 = b6 * a1 แทนข้อมูลที่ทราบ เราได้: a7 = 26 * 3 = 192 เราทำเช่นเดียวกันกับสมาชิกที่ 10: a10 = 29 * 3 = 1536

เราใช้สูตรผลรวมที่รู้จักกันดีและกำหนดค่านี้สำหรับ 7 องค์ประกอบแรกของชุดข้อมูล เรามี: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381

งานหมายเลข 2 การหาผลรวมขององค์ประกอบโดยพลการของความก้าวหน้า

ให้ -2 เป็นตัวส่วนของการก้าวหน้าแบบเลขชี้กำลัง bn-1 * 4 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม มีความจำเป็นต้องกำหนดผลรวมจากองค์ประกอบที่ 5 ถึง 10 ของชุดนี้รวมอยู่ด้วย

ปัญหาที่เกิดขึ้นไม่สามารถแก้ไขได้โดยตรงโดยใช้สูตรที่รู้จัก คุณแก้ได้ด้วย 2 วิธีการต่างๆ. เพื่อความสมบูรณ์เรานำเสนอทั้งสองอย่าง

วิธีที่ 1 แนวคิดนั้นง่ายมาก คุณต้องคำนวณผลบวกสองค่าที่สอดคล้องกันของพจน์แรก แล้วลบอีกพจน์หนึ่งออกจากหนึ่ง คำนวณผลรวมที่น้อยกว่า: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364 ตอนนี้เราคำนวณ จำนวนมาก: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. โปรดทราบว่าในนิพจน์สุดท้าย มีการสรุปผลรวมเพียง 4 รายการ เนื่องจากรายการที่ 5 รวมอยู่ในผลรวมที่ต้องคำนวณตามเงื่อนไขของปัญหาแล้ว สุดท้าย เราหาความแตกต่าง: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344

วิธีที่ 2 ก่อนแทนที่ตัวเลขและนับ คุณสามารถรับสูตรสำหรับผลรวมระหว่างเทอม m และ n ของอนุกรมที่เป็นปัญหา เราดำเนินการในลักษณะเดียวกับวิธีที่ 1 ทุกประการ เพียงแต่เราดำเนินการก่อนด้วยการแสดงสัญลักษณ์ของผลรวม เรามี: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . ในนิพจน์ผลลัพธ์ คุณสามารถแทนจำนวนที่ทราบและคำนวณได้ ผลลัพธ์สุดท้าย: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

งานหมายเลข 3 ตัวส่วนคืออะไร?

ให้ a1 = 2 หาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมอนันต์ของมันคือ 3 และเป็นที่ทราบกันดีว่านี่คือชุดตัวเลขที่ลดลง

ตามเงื่อนไขของโจทย์เดาได้ไม่ยากว่าควรใช้สูตรไหนแก้ แน่นอนสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เรามี: S∞ = a1 / (1 - b) จากที่เราแสดงตัวส่วน: b = 1 - a1 / S∞ มันยังคงทดแทน ค่าที่ทราบและรับจำนวนที่ต้องการ: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 หรือ -0.333(3) เราสามารถตรวจสอบผลลัพธ์นี้ในเชิงคุณภาพได้หากเราจำได้ว่าสำหรับลำดับประเภทนี้ โมดูลัส b ต้องไม่เกิน 1 อย่างที่คุณเห็น |-1 / 3|

งานหมายเลข 4 การกู้คืนชุดของตัวเลข

ให้กำหนด 2 องค์ประกอบของอนุกรมตัวเลข เช่น ตัวที่ 5 เท่ากับ 30 และตัวที่ 10 เท่ากับ 60 จำเป็นต้องกู้คืนข้อมูลทั้งชุดจากข้อมูลเหล่านี้ โดยรู้ว่าเป็นไปตามคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ในการแก้ปัญหา ก่อนอื่นคุณต้องจดนิพจน์ที่เกี่ยวข้องสำหรับสมาชิกที่รู้จักแต่ละคน เรามี: a5 = b4 * a1 และ a10 = b9 * a1 ตอนนี้เราแบ่งนิพจน์ที่สองด้วยอันแรก เราได้: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 จากที่นี่ เราจะหาตัวส่วนโดยใช้รากระดับที่ห้าของอัตราส่วนของสมาชิกที่ทราบจากเงื่อนไขของปัญหา b = 1.148698 เราแทนจำนวนผลลัพธ์เป็นหนึ่งในนิพจน์สำหรับองค์ประกอบที่ทราบ เราได้รับ: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966

ดังนั้นเราจึงพบว่าตัวส่วนของความก้าวหน้า BN คืออะไร และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต bn-1 * 17.2304966 = an โดยที่ b = 1.148698

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใช้ที่ไหน?

หากไม่มีการประยุกต์ใช้ชุดตัวเลขนี้ในทางปฏิบัติ การศึกษาจะลดลงเหลือเพียงความสนใจทางทฤษฎีเท่านั้น แต่มีแอปพลิเคชันดังกล่าว

3 ตัวอย่างที่โด่งดังที่สุดมีดังต่อไปนี้:

• ความขัดแย้งของ Zeno ซึ่ง Achilles ที่ว่องไวไม่สามารถไล่ตามเต่าที่เชื่องช้าได้ ได้รับการแก้ไขโดยใช้แนวคิดของลำดับตัวเลขที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
• หากวางเมล็ดข้าวสาลีในแต่ละเซลล์ของกระดานหมากรุกเพื่อให้วางเมล็ดข้าวสาลี 1 เม็ดลงในเซลล์ที่ 1, 2 - ที่ 2, 3 - ที่ 3 และอื่น ๆ ดังนั้น 18446744073709551615 จะต้องใช้ธัญพืชเพื่อเติมเซลล์ทั้งหมดของ คณะกรรมการ!
• ในเกม "Tower of Hanoi" ในการจัดเรียงดิสก์ใหม่จากแท่งหนึ่งไปยังอีกแท่งหนึ่งจำเป็นต้องดำเนินการ 2n - 1 นั่นคือจำนวนของดิสก์จะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณจากจำนวนดิสก์ที่ใช้ n

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีความสำคัญไม่น้อยในวิชาคณิตศาสตร์มากกว่าเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับของตัวเลข b1, b2,..., b[n] แต่ละสมาชิกถัดไปซึ่งได้มาจากการคูณจำนวนก่อนหน้าด้วยจำนวนคงที่ หมายเลขนี้ซึ่งระบุลักษณะอัตราการเติบโตหรือการลดลงของความก้าวหน้าด้วย เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและแสดงว่า

สำหรับการกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์ นอกเหนือจากตัวส่วน จำเป็นต้องรู้หรือกำหนดพจน์แรกของมัน สำหรับ ค่าบวกการก้าวหน้าของตัวส่วนเป็นลำดับเสียงเดียว และถ้าลำดับของตัวเลขนี้ลดลงอย่างซ้ำซากและเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจที่ กรณีที่ตัวส่วนเท่ากับหนึ่งไม่ได้รับการพิจารณาในทางปฏิบัติ เนื่องจากเรามีลำดับของตัวเลขที่เหมือนกัน และผลรวมของพวกมันไม่เป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติ

คำทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณตามสูตร

ผลบวกของ n พจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกำหนดโดยสูตร

ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบคลาสสิก เริ่มจากสิ่งที่เข้าใจง่ายที่สุดกันก่อน

ตัวอย่างที่ 1 เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 27 และตัวส่วนคือ 1/3 ค้นหาหกพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

วิธีแก้ไข: เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาในแบบฟอร์ม

สำหรับการคำนวณ เราใช้สูตรสำหรับสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

จากข้อมูลดังกล่าว เราพบสมาชิกที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้า

อย่างที่คุณเห็น การคำนวณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตไม่ใช่เรื่องยาก ความก้าวหน้าจะมีลักษณะเช่นนี้

ตัวอย่างที่ 2 สมาชิกสามตัวแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะได้รับ: 6; -12; 24. ค้นหาตัวหารและเทอมที่เจ็ด

วิธีแก้ไข: เราคำนวณตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตตามคำจำกัดความ

เราได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับซึ่งมีตัวส่วนเป็น -2 เทอมที่เจ็ดคำนวณโดยสูตร

งานนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่ 3 ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกำหนดโดยสมาชิกสองคน . ค้นหาระยะที่สิบของความก้าวหน้า

สารละลาย:

ลองเขียนค่าที่กำหนดผ่านสูตร

ตามกฎแล้วจำเป็นต้องหาตัวส่วนแล้วมองหาค่าที่ต้องการ แต่สำหรับเทอมที่สิบเรามี

สามารถรับสูตรเดียวกันได้บนพื้นฐานของการปรับแต่งอย่างง่ายด้วยข้อมูลอินพุต เราแบ่งเทอมที่หกของซีรีส์ด้วยเทอมอื่นตามที่เราได้รับ

หากค่าผลลัพธ์คูณด้วยเทอมที่หก เราจะได้ค่าที่สิบ

ดังนั้นสำหรับปัญหาดังกล่าวด้วยความช่วยเหลือของการแปลงอย่างง่าย วิธีที่รวดเร็วคุณสามารถหาทางออกที่เหมาะสมได้

ตัวอย่างที่ 4 ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกำหนดโดยสูตรที่เกิดซ้ำ

ค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและผลรวมของพจน์หกแรก

สารละลาย:

เราเขียนข้อมูลที่กำหนดในรูปแบบของระบบสมการ

แสดงตัวส่วนโดยการหารสมการที่สองด้วยสมการแรก

ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าจากสมการแรก

คำนวณคำศัพท์ห้าคำต่อไปนี้เพื่อหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

คณิตศาสตร์คืออะไรผู้คนควบคุมธรรมชาติและตัวเอง

นักคณิตศาสตร์โซเวียต นักวิชาการ A.N. คอลโมโกรอฟ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

นอกเหนือจากงานสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตแล้ว งานที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตยังพบได้ทั่วไปในการสอบเข้าในวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าวให้สำเร็จ คุณต้องรู้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและมีทักษะที่ดีในการใช้งาน

บทความนี้อุทิศให้กับการนำเสนอคุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างการแก้ปัญหาทั่วไป, ยืมมาจากงานสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์

ให้เราทราบคุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในเบื้องต้น และระลึกถึงสูตรและข้อความที่สำคัญที่สุด, เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้

คำนิยาม.ลำดับตัวเลขเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าแต่ละตัวเลขที่เริ่มต้นจากลำดับที่สองมีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้า คูณด้วยจำนวนเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสูตรถูกต้อง

, (1)

ที่ไหน . สูตร (1) เรียกว่าสูตรของระยะทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และสูตร (2) เป็นคุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: สมาชิกแต่ละตัวของการก้าวหน้าเกิดขึ้นพร้อมกับค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของสมาชิกข้างเคียง และ

บันทึก, เป็นเพราะคุณสมบัตินี้ที่ความก้าวหน้าในคำถามเรียกว่า "เรขาคณิต"

สรุปสูตร (1) และ (2) ข้างต้นได้ดังนี้

, (3)

เพื่อคำนวณผลรวมอันดับแรก สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใช้สูตรนี้

ถ้าเรากำหนด

ที่ไหน . เนื่องจาก สูตร (6) เป็นลักษณะทั่วไปของสูตร (5)

ในกรณีที่เมื่อและ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกำลังลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อคำนวณผลรวมของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด จะใช้สูตรนี้

. (7)

ตัวอย่างเช่น , โดยใช้สูตร (7) เราสามารถแสดงได้, อะไร

ที่ไหน . ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ได้มาจากสูตร (7) โดยมีเงื่อนไขว่า , (ความเท่าเทียมกันครั้งแรก) และ , (ความเท่าเทียมกันครั้งที่สอง)

ทฤษฎีบท.ถ้า แล้ว

การพิสูจน์. ถ้า , แล้ว ,

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ "ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต"

ตัวอย่างที่ 1ให้: , และ . หา .

สารละลาย.หากใช้สูตร (5) แล้ว

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 2ให้ และ . หา .

สารละลาย.ตั้งแต่ และ เราใช้สูตร (5), (6) และได้รับระบบสมการ

ถ้าสมการที่สองของระบบ (9) ถูกหารด้วยสมการแรกแล้ว หรือ . จากนี้ก็เป็นไปตาม . ลองพิจารณาสองกรณี

1. ถ้า , จากสมการแรกของระบบ (9) เรามี.

2. ถ้า แล้ว .

ตัวอย่างที่ 3ให้ และ . หา .

สารละลาย.ต่อจากสูตร (2) ว่า หรือ ตั้งแต่นั้นมาหรือ.

ตามเงื่อนไข. อย่างไรก็ตาม ดังนั้น . เพราะ และ , เราก็มีระบบสมการ

ถ้าสมการที่สองของระบบหารด้วยสมการแรก แล้ว หรือ

เนื่องจาก สมการนี้มีรากเดียวที่เหมาะสม ในกรณีนี้ สมการแรกของระบบหมายถึง

โดยคำนึงถึงสูตร (7) เราได้รับ

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 4ให้: และ . หา .

สารละลาย.ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

เพราะงั้นหรือ

ตามสูตร (2) เรามี . ในเรื่องนี้ เราได้รับจากความเท่าเทียมกัน (10) หรือ .

อย่างไรก็ตาม ตามเงื่อนไข ดังนั้น .

ตัวอย่างที่ 5เป็นที่ทราบกันดีว่า หา .

สารละลาย. ตามทฤษฎีบท เรามีการเท่ากันสองค่า

ตั้งแต่นั้นมาหรือ. เพราะฉนั้น.

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 6ให้: และ . หา .

สารละลาย.โดยคำนึงถึงสูตร (5) เราได้รับ

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ตั้งแต่ , และ , จากนั้น .

ตัวอย่างที่ 7ให้ และ . หา .

สารละลาย.ตามสูตร (1) เราสามารถเขียนได้

ดังนั้นเราจึงมี หรือ . เป็นที่ทราบกันว่า และ , ดังนั้น และ .

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 8ค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ถ้า

และ .

สารละลาย. จากสูตร (7) จะได้ดังนี้และ . จากที่นี่และจากเงื่อนไขของปัญหา เราได้ระบบสมการ

ถ้าสมการแรกของระบบกำลังสอง, แล้วนำสมการที่ได้ไปหารด้วยสมการที่สองแล้วเราจะได้รับ

หรือ .

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 9ค้นหาค่าทั้งหมดที่ลำดับ , เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สารละลาย.ให้ และ . ตามสูตร (2) ซึ่งกำหนดคุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราสามารถเขียน หรือ

จากที่นี่เราจะได้สมการกำลังสอง, ซึ่งมีรากเหง้าและ .

ตรวจสอบกัน: ถ้า, แล้ว , และ ; ถ้า , แล้ว , และ .

ในกรณีแรกที่เรามีและ และในวินาที - และ .

คำตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 10แก้สมการ

, (11)

ที่ไหน และ .

สารละลาย. ด้านซ้ายของสมการ (11) คือผลบวกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด โดยที่ และ , ให้: และ

จากสูตร (7) จะได้ดังนี้, อะไร . ในเรื่องนี้ สมการ (11) ใช้แบบฟอร์มหรือ . รากที่เหมาะสม สมการกำลังสองเป็น

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 11พี ลำดับของจำนวนบวกสร้างความก้าวหน้าทางเลขคณิต, ก - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต, มันเกี่ยวอะไรด้วย . หา .

สารละลาย.เพราะ ลำดับเลขคณิต, ที่ (คุณสมบัติพื้นฐาน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์). เพราะว่าแล้ว หรือ . นี่หมายความว่า ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคืออะไร. ตามสูตร (2)แล้วเราเขียนว่า

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา . ในกรณีนั้นนิพจน์ใช้แบบฟอร์ม หรือ . ตามเงื่อนไข ดังนั้นจากสมการเราได้รับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะภายใต้การพิจารณา, เช่น. .

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 12คำนวณผลรวม

. (12)

สารละลาย. คูณทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกัน (12) ด้วย 5 แล้วรับ

ถ้าเราลบ (12) ออกจากนิพจน์ผลลัพธ์, ที่

หรือ .

ในการคำนวณ เราแทนค่าลงในสูตร (7) และรับ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

คำตอบ: .

ตัวอย่างการแก้ปัญหาที่ให้ไว้นี้จะเป็นประโยชน์กับผู้สมัครในการเตรียมตัว การสอบเข้า. เพื่อศึกษาวิธีการแก้ปัญหาอย่างลึกซึ้ง, เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต, สามารถใช้ได้ คู่มือการศึกษาจากรายการวรรณกรรมที่แนะนำ

1. รวบรวมงานวิชาคณิตศาสตร์สำหรับสมัครเข้ามหาวิทยาลัยเทคนิค/กศ. M.I. สกานาวิ – ม.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 น.

2. สุพรรณ วี.พี. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: ส่วนเพิ่มเติม หลักสูตรของโรงเรียน. – ม.: Lenand / URSS, 2014. - 216 น.

3. Medynsky M.M. หลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาฉบับสมบูรณ์ในงานและแบบฝึกหัด หนังสือ 2: ลำดับตัวเลขและความก้าวหน้า – ม.: แก้ไข, 2558. - 208 น.

คุณมีคำถามใดๆ?

หากต้องการความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน

ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ลำดับตัวเลข VI

§ ล.48 ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

จนถึงขณะนี้ เมื่อพูดถึงผลรวม เรามักสันนิษฐานเสมอว่าจำนวนพจน์ในผลรวมเหล่านี้มีจำกัด (เช่น 2, 15, 1,000 เป็นต้น) แต่เมื่อแก้ปัญหาบางอย่าง(โดยเฉพาะ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น) เราต้องจัดการกับผลบวกของพจน์จำนวนไม่สิ้นสุด

ส= ก 1 + ก 2 + ... + ก น + ... . (1)

จำนวนเหล่านี้คืออะไร? A-ไพรมารี ผลรวมของพจน์จำนวนอนันต์ ก 1 , ก 2 , ..., ก น , ... เรียกว่าลิมิตของผลรวมเอส น อันดับแรก พี ตัวเลขเมื่อ พี -> ∞ :

ส=ส น = (ก 1 + ก 2 + ... + ก น ). (2)

แน่นอนว่าขีดจำกัด (2) อาจมีหรือไม่มีก็ได้ ดังนั้น ผลรวม (1) จึงถูกกล่าวว่ามีอยู่หรือไม่มีอยู่

จะทราบได้อย่างไรว่าผลรวม (1) มีอยู่ในแต่ละกรณีหรือไม่? วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับคำถามนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของโปรแกรมของเรา อย่างไรก็ตาม มีกรณีพิเศษที่สำคัญประการหนึ่งที่เราต้องพิจารณาในขณะนี้ เราจะพูดถึงผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

อนุญาต ก 1 , ก 1 ถาม , ก 1 ถาม 2 , ... เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่า | ถาม |< 1. Сумма первых พี สมาชิกของความก้าวหน้านี้เท่ากับ

จากทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัดของตัวแปร (ดู§ 136) เราได้รับ:

แต่ 1 = 1 ก คิว เอ็น = 0 ดังนั้น

ดังนั้น ผลบวกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดจะเท่ากับเทอมแรกของความก้าวหน้านี้ หารด้วย 1 ลบตัวส่วนของความก้าวหน้านี้

1) ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... คือ

และผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... เท่ากับ

2) เศษส่วนเป็นระยะอย่างง่าย 0.454545 ... เปลี่ยนเป็นเศษส่วนธรรมดา

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราแสดงเศษส่วนนี้เป็นผลรวมที่ไม่สิ้นสุด:

ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้คือผลบวกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ซึ่งเทอมแรกคือ 45/100 และตัวส่วนคือ 1/100 นั่นเป็นเหตุผล

ในลักษณะที่อธิบาย หนึ่งสามารถได้รับ กฎทั่วไปการแปลงเศษส่วนตามคาบอย่างง่ายเป็นเศษส่วนธรรมดา (ดู Ch. II, § 38):

ในการแปลงเศษส่วนอย่างง่ายให้เป็นเศษส่วนธรรมดาคุณต้องดำเนินการดังนี้: ใส่ระยะเวลาของเศษส่วนทศนิยมในตัวเศษและในตัวส่วน - ตัวเลขที่ประกอบด้วยเก้านำมาหลายครั้งตามที่มีตัวเลขในช่วงเวลา ของเศษส่วนทศนิยม

3) เศษธาตุผสม 0.58333 .... เปลี่ยนเป็นเศษส่วนสามัญ

แทนเศษส่วนนี้เป็นผลรวมที่ไม่สิ้นสุด:

ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ พจน์ทั้งหมดซึ่งเริ่มต้นจาก 3/1000 จะสร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด พจน์แรกคือ 3/1000 และตัวส่วนคือ 1/10 นั่นเป็นเหตุผล

ในลักษณะที่อธิบายไว้ กฎทั่วไปสำหรับการแปลงเศษส่วนคาบผสมเป็นเศษส่วนธรรมดาก็สามารถรับได้เช่นกัน (ดูบทที่ II, § 38) เราจงใจที่จะไม่รวมไว้ที่นี่ ไม่จำเป็นต้องจำกฎที่ยุ่งยากนี้ มีประโยชน์มากกว่าที่จะรู้ว่าเศษส่วนคาบผสมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดและจำนวนจำนวนหนึ่ง และสูตร

สำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด แน่นอนว่าเราต้องจำไว้

ในแบบฝึกหัด เราขอเชิญคุณ นอกเหนือจากปัญหาหมายเลข 995-1000 ด้านล่าง ให้เปลี่ยนไปยังปัญหาหมายเลข 301 § 38 อีกครั้ง

การออกกำลังกาย

995. อะไรเรียกว่าผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด?

996. หาผลบวกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด:

997 สำหรับค่าอะไร เอ็กซ์ ความก้าวหน้า

ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด? ค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าดังกล่าว

998. ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน ก สามเหลี่ยมใหม่ถูกจารึกไว้โดยเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้าง สามเหลี่ยมใหม่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้ด้วยวิธีเดียวกัน และอื่น ๆ โฆษณาไม่มีที่สิ้นสุด

ก) ผลรวมของเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมเหล่านี้ทั้งหมด

b) ผลรวมของพื้นที่ของพวกเขา

999. ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน ก สี่เหลี่ยมใหม่ถูกจารึกไว้โดยเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้าง สี่เหลี่ยมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ในลักษณะเดียวกัน และอื่น ๆ โฆษณาไม่สิ้นสุด หาผลรวมของเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหล่านี้กับผลรวมของพื้นที่

1,000 สร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เพื่อให้ผลรวมเท่ากับ 25 / 4 และผลรวมของกำลังสองของพจน์เท่ากับ 625 / 24

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น abracadabra แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีดำเนินการในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ ให้ความสนใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่มีประโยชน์สำหรับ

ลำดับตัวเลข

ลองนั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลข ตัวอย่างเช่น:

คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้และสามารถมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ (ในกรณีของเรา) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขกี่ตัว เราสามารถบอกได้เสมอว่าตัวเลขใดคือตัวแรก ตัวที่สอง และต่อไปจนถึงตัวสุดท้าย นั่นคือ เราสามารถนับได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข:

ลำดับตัวเลขเป็นชุดของตัวเลขซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้

ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:

หมายเลขที่กำหนดเฉพาะสำหรับหมายเลขลำดับเดียวเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีตัวเลขสามตัวที่สองในลำดับ หมายเลขที่สอง (เช่นหมายเลข -th) จะเหมือนกันเสมอ

จำนวนที่มีตัวเลขเรียกว่า -th สมาชิกของลำดับ

เรามักจะเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษร (เช่น) และสมาชิกแต่ละตัวของลำดับนี้ - อักษรตัวเดียวกันที่มีดัชนีเท่ากับจำนวนของสมาชิกนี้: .

ในกรณีของเรา:

ประเภทความก้าวหน้าที่พบบ่อยที่สุดคือเลขคณิตและเรขาคณิต ในหัวข้อนี้เราจะพูดถึงประเภทที่สอง - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

ทำไมเราต้องมีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและประวัติของมัน

แม้แต่ในสมัยโบราณ นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เลโอนาร์โดแห่งปิซา (รู้จักกันดีในชื่อฟีโบนัชชี) ได้จัดการกับความต้องการในทางปฏิบัติของการค้า พระสงฆ์ต้องเผชิญกับงานที่ต้องพิจารณาว่าจำนวนใดที่น้อยที่สุดที่จะใช้ชั่งสินค้าได้? ในงานเขียนของเขา Fibonacci พิสูจน์ให้เห็นว่าระบบน้ำหนักดังกล่าวเหมาะสมที่สุด: นี่เป็นหนึ่งในสถานการณ์แรกๆ ที่ผู้คนต้องรับมือกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งคุณคงเคยได้ยินและเคยรับรู้มาบ้างแล้ว แนวคิดทั่วไป. เมื่อคุณเข้าใจหัวข้อนี้อย่างถ่องแท้แล้ว ลองคิดดูว่าเหตุใดระบบดังกล่าวจึงเหมาะสมที่สุด

ในปัจจุบัน ในทางปฏิบัติ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะปรากฏเมื่อลงทุนในธนาคาร เมื่อจำนวนดอกเบี้ยถูกเรียกเก็บจากจำนวนเงินที่สะสมในบัญชีสำหรับงวดก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณฝากเงินระยะยาวในธนาคารออมสิน เงินฝากจะเพิ่มขึ้นจากจำนวนเดิมในหนึ่งปี นั่นคือ จำนวนเงินใหม่จะเท่ากับผลงานคูณด้วย ในอีกปีหนึ่ง จำนวนนี้จะเพิ่มขึ้นอีก เช่น จำนวนเงินที่ได้รับในเวลานั้นจะถูกคูณอีกครั้งไปเรื่อยๆ มีการอธิบายสถานการณ์ที่คล้ายกันในปัญหาของการคำนวณที่เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น- เปอร์เซ็นต์จะถูกนำมาใช้ในแต่ละครั้งจากจำนวนเงินที่อยู่ในบัญชีโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยก่อนหน้า เราจะพูดถึงงานเหล่านี้ในภายหลัง

มีกรณีง่ายๆ อีกมากมายที่ใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น การแพร่กระจายของไข้หวัดใหญ่: บุคคลหนึ่งติดเชื้อบุคคลหนึ่ง ในทางกลับกัน พวกเขาก็ติดเชื้ออีกคนหนึ่ง และทำให้การติดเชื้อระลอกที่สอง - บุคคลหนึ่ง และในทางกลับกัน พวกเขาก็ติดเชื้ออีกคนหนึ่ง ... และอื่น ๆ .. .

อย่างไรก็ตาม พีระมิดการเงิน MMM เดียวกันคือการคำนวณที่เรียบง่ายและแห้งตามคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต น่าสนใจ? ลองคิดดูสิ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สมมติว่าเรามี ลำดับตัวเลข:

คุณจะตอบทันทีว่าง่าย และชื่อของลำดับนั้นขึ้นอยู่กับความแตกต่างของสมาชิก อะไรประมาณนี้:

หากคุณลบหมายเลขก่อนหน้าออกจากหมายเลขถัดไป คุณจะเห็นว่าแต่ละครั้งที่คุณได้รับความแตกต่างใหม่ (ฯลฯ ) แต่ลำดับนั้นมีอยู่จริงและสังเกตได้ง่าย - แต่ละหมายเลขถัดไปนั้นมากกว่าหมายเลขก่อนหน้าหลายเท่า!

ลำดับประเภทนี้เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและมีการทำเครื่องหมาย

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ( ) คือลำดับตัวเลข ซึ่งพจน์แรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละพจน์ที่เริ่มต้นจากลำดับที่สองจะเท่ากับพจน์ก่อนหน้า คูณด้วยจำนวนเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ข้อจำกัดที่พจน์แรก ( ) ไม่เท่ากันและไม่สุ่ม สมมติว่าไม่มีเลยและเทอมแรกก็ยังเท่ากัน และ q คือ อืม .. ปล่อยให้มันกลายเป็น:

ยอมรับว่านี่ไม่ใช่ความคืบหน้า

ตามที่คุณเข้าใจ เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันหากเป็นจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่ ในกรณีเหล่านี้ จะไม่มีความคืบหน้า เนื่องจากชุดตัวเลขทั้งหมดจะเป็นศูนย์ทั้งหมดหรือตัวเลขเดียว และศูนย์ที่เหลือทั้งหมด

ตอนนี้เรามาพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั่นคือเกี่ยวกับ

ทำซ้ำ: - นี่คือตัวเลข แต่ละเทอมเปลี่ยนกี่ครั้งความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

คุณคิดว่ามันจะเป็นอย่างไร? ถูกต้อง บวกและลบ แต่ไม่ใช่ศูนย์ (เราพูดถึงเรื่องนี้สูงกว่านี้เล็กน้อย)

สมมติว่าเรามีบวก ให้ในกรณีของเราก. เทอมสองคืออะไรและ? คุณตอบได้ง่ายๆ ว่า

เอาล่ะ. ดังนั้นหากสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเหมือนกัน - พวกเขา เชิงบวก.

แล้วถ้าเป็นลบล่ะ? ตัวอย่างเช่น ก. เทอมสองคืออะไรและ?

มันเป็นเรื่องที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ลองนับระยะเวลาของความก้าวหน้านี้ คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี. ดังนั้นถ้าสัญญาณของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสลับกัน นั่นคือ ถ้าคุณเห็นการก้าวหน้าที่มีเครื่องหมายสลับในสมาชิก แสดงว่าตัวส่วนเป็นลบ ความรู้นี้สามารถช่วยคุณทดสอบตัวเองเมื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ทีนี้มาฝึกฝนกันสักหน่อย ลองกำหนดว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และลำดับใดเป็นลำดับเลขคณิต:

เข้าใจแล้ว? เปรียบเทียบคำตอบของเรา:

• ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - 3, 6.
• ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - 2, 4
• ไม่ใช่ทั้งเลขคณิตหรือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - 1, 5, 7

กลับไปที่ความก้าวหน้าล่าสุดของเรา และลองหาคำศัพท์ด้วยวิธีเดียวกับในทางเลขคณิต อย่างที่คุณเดาได้ มีสองวิธีในการค้นหา

เราคูณแต่ละเทอมอย่างต่อเนื่อง

ดังนั้น สมาชิกตัวที่ -th ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ

ในขณะที่คุณเดา ตอนนี้คุณจะได้สูตรที่จะช่วยคุณค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต หรือคุณได้นำมันออกมาด้วยตัวเองโดยอธิบายวิธีการหาสมาชิกคนที่ th เป็นขั้นตอน? ถ้าเป็นเช่นนั้น ตรวจสอบความถูกต้องของเหตุผลของคุณ

เรามาอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างการค้นหาสมาชิกลำดับที่ - ของความก้าวหน้านี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

ค้นหาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนด

เกิดขึ้น? เปรียบเทียบคำตอบของเรา:

สังเกตว่าคุณได้เลขเดียวกับวิธีก่อนหน้านี้ทุกประการ เมื่อเราคูณสมาชิกก่อนหน้าแต่ละตัวของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างต่อเนื่อง
มาลอง "ทำให้เป็นส่วนตัว" สูตรนี้ - เรานำมาเป็นรูปแบบทั่วไปและรับ:

สูตรที่ได้รับเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมด - ทั้งบวกและลบ ตรวจสอบด้วยตัวคุณเองโดยการคำนวณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้: , ก.

คุณนับหรือไม่ ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

ยอมรับว่าเป็นไปได้ที่จะพบสมาชิกของความก้าวหน้าในลักษณะเดียวกับสมาชิก อย่างไรก็ตามมีความเป็นไปได้ที่จะคำนวณผิด และถ้าเราพบพจน์ที่ 1 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว a แล้วอะไรจะง่ายไปกว่าการใช้ส่วนที่ "ตัดทอน" ของสูตร

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้พูดคุยเกี่ยวกับสิ่งที่อาจมากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์อย่างไรก็ตามมีค่าพิเศษที่เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด.

ทำไมคุณถึงคิดว่ามันมีชื่อเช่นนี้?
ในการเริ่มต้น ให้เขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ประกอบด้วยสมาชิก
สมมติว่า:

เราเห็นว่าแต่ละเทอมที่ตามมาน้อยกว่าครั้งก่อน แต่จะมีจำนวนหรือไม่? คุณตอบทันที - "ไม่" นั่นคือเหตุผลที่การลดลงอย่างไม่สิ้นสุด - ลดลง ลดลง แต่ไม่เคยกลายเป็นศูนย์

เพื่อให้เข้าใจอย่างชัดเจนว่าสิ่งนี้มีลักษณะอย่างไร ลองวาดกราฟความก้าวหน้าของเรากัน ดังนั้นในกรณีของเรา สูตรใช้รูปแบบต่อไปนี้:

ในแผนภูมิ เราคุ้นเคยกับการสร้างการพึ่งพา ดังนั้น:

สาระสำคัญของนิพจน์ไม่ได้เปลี่ยนแปลง: ในรายการแรก เราแสดงการพึ่งพาค่าของสมาชิกความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเลขลำดับของมัน และในรายการที่สอง เราเพียงแค่ใช้ค่าของสมาชิกความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสำหรับ และ เลขลำดับไม่ได้กำหนดให้เป็น แต่เป็น ที่เหลือก็แค่วาดกราฟ
ให้ดูสิ่งที่คุณได้. นี่คือแผนภูมิที่ฉันได้รับ:

ดู? ฟังก์ชันลดลง มีแนวโน้มเป็นศูนย์ แต่ไม่เคยตัดผ่าน ดังนั้นมันจึงลดลงอย่างไม่สิ้นสุด มาทำเครื่องหมายจุดของเราบนกราฟและในเวลาเดียวกันว่าพิกัดและความหมายคืออะไร:

พยายามแสดงกราฟของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในแผนผังหากเทอมแรกมีค่าเท่ากัน วิเคราะห์ความแตกต่างจากกราฟก่อนหน้าของเราอย่างไร?

คุณจัดการหรือไม่ นี่คือแผนภูมิที่ฉันได้รับ:

ตอนนี้คุณเข้าใจพื้นฐานของหัวข้อการก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างถ่องแท้แล้ว: คุณรู้ว่ามันคืออะไร คุณรู้วิธีหาศัพท์ของมัน และคุณยังรู้ด้วยว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคืออะไร มาเริ่มที่คุณสมบัติหลักของมันกันเลย

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

คุณจำคุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้หรือไม่? ใช่ ใช่ จะหาค่าของความก้าวหน้าจำนวนหนึ่งได้อย่างไรเมื่อมีค่าก่อนหน้าและค่าที่ตามมาของสมาชิกของความก้าวหน้านี้ จำได้ไหม? นี้:

ตอนนี้เรากำลังเผชิญกับคำถามเดียวกันทุกประการสำหรับเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพื่อให้ได้สูตรมาเริ่มวาดและให้เหตุผลกัน คุณจะเห็นว่ามันง่ายมาก และถ้าคุณลืม คุณก็สามารถหยิบออกมาเองได้

ลองใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างง่าย ๆ ที่เรารู้จักและ จะหาได้อย่างไร? ด้วยความก้าวหน้าทางเลขคณิตนี่เป็นเรื่องง่ายและเรียบง่าย แต่ที่นี่เป็นอย่างไร อันที่จริงแล้วเรขาคณิตก็ไม่มีอะไรซับซ้อนเช่นกัน - คุณเพียงแค่ต้องระบายสีแต่ละค่าที่เรากำหนดตามสูตร

คุณถามว่าตอนนี้เราจะทำอย่างไรกับมัน? ใช่ง่ายมาก ในการเริ่มต้นให้แสดงสูตรเหล่านี้ในรูปแล้วลองทำดู การจัดการต่างๆเพื่อให้ได้มูลค่า

เราสรุปจากตัวเลขที่เราได้รับ เราจะเน้นเฉพาะการแสดงออกผ่านสูตร เราต้องค้นหาค่าที่เน้น ส้มรู้คำศัพท์ที่อยู่ติดกัน ลองดำเนินการต่าง ๆ กับพวกเขาซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราจะได้รับ

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.
ลองเพิ่มสองนิพจน์และเราจะได้:

จากนิพจน์นี้อย่างที่คุณเห็น เราจะไม่สามารถแสดงออกในทางใดทางหนึ่งได้ ดังนั้นเราจะลองใช้ตัวเลือกอื่น - การลบ

การลบ

อย่างที่คุณเห็น เราไม่สามารถแสดงจากสิ่งนี้ได้ ดังนั้น เราจะพยายามคูณนิพจน์เหล่านี้เข้าด้วยกัน

การคูณ

ตอนนี้ดูสิ่งที่เรามีอย่างระมัดระวัง คูณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มอบให้เราโดยเปรียบเทียบกับสิ่งที่ต้องพบ:

คาดเดาสิ่งที่ฉันพูดถึง? ใช่ เพื่อค้นหา เราต้องดำเนินการ รากที่สองจากตัวเลขความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการคูณกัน:

เอาล่ะ คุณเองอนุมานคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองเขียนสูตรนี้ใน ปริทัศน์. เกิดขึ้น?

ลืมเงื่อนไขเมื่อ? ลองคิดดูว่าทำไมถึงสำคัญ เช่น ลองคำนวณเองที่ เกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้? ถูกต้อง ไร้สาระสิ้นดี เนื่องจากสูตรมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นอย่าลืมข้อ จำกัด นี้

ทีนี้ลองคำนวณดูว่าคืออะไร

คำตอบที่ถูกต้อง - ! หากคุณไม่ลืมที่สอง ความหมายที่เป็นไปได้จากนั้นคุณก็เป็นเพื่อนที่ดีและคุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมได้ทันที และหากคุณลืม ให้อ่านสิ่งที่แยกวิเคราะห์ด้านล่างและให้ความสนใจว่าเหตุใดจึงจำเป็นต้องเขียนรากเหง้าทั้งสองลงในคำตอบ

ลองวาดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตทั้งสองอัน อันหนึ่งมีค่าและอีกอันมีค่า แล้วตรวจสอบว่าทั้งสองอันมีสิทธิ์ที่จะมีอยู่หรือไม่:

เพื่อตรวจสอบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตดังกล่าวมีอยู่จริงหรือไม่ จำเป็นต้องดูว่าสมาชิกทั้งหมดที่กำหนดให้เหมือนกันหรือไม่ คำนวณ q สำหรับกรณีที่หนึ่งและสอง

ดูว่าทำไมเราต้องเขียนสองคำตอบ? เนื่องจากเครื่องหมายของเทอมที่ต้องการนั้นขึ้นอยู่กับว่าเป็นบวกหรือลบ! และเนื่องจากเราไม่รู้ว่ามันคืออะไร เราจึงต้องเขียนคำตอบทั้งบวกและลบ

ตอนนี้คุณเข้าใจประเด็นหลักและสรุปสูตรสำหรับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว ค้นหา รู้ และ

เปรียบเทียบคำตอบของคุณกับคำตอบที่ถูกต้อง:

คุณคิดอย่างไร จะเป็นอย่างไรถ้าเราไม่ได้รับค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการ แต่ห่างจากค่านั้นเท่ากัน ตัวอย่างเช่น เราต้องการค้นหา และ ให้ และ เราสามารถใช้สูตรที่ได้มาในกรณีนี้ได้หรือไม่? พยายามยืนยันหรือหักล้างความเป็นไปได้นี้ด้วยวิธีเดียวกัน โดยอธิบายว่าแต่ละค่าประกอบด้วยอะไรบ้าง เช่นเดียวกับที่คุณทำเมื่อได้รับสูตรในตอนแรก
คุณได้อะไร?

ตอนนี้ดูอย่างระมัดระวังอีกครั้ง
และสอดคล้องกัน:

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าสูตรนี้ใช้งานได้ ไม่เฉพาะกับเพื่อนบ้านเท่านั้นด้วยเงื่อนไขที่ต้องการของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แต่ยังรวมถึง เท่ากันจากสิ่งที่สมาชิกกำลังมองหา

ดังนั้นสูตรดั้งเดิมของเราจึงกลายเป็น:

นั่นคือ, ถ้าในกรณีแรกเราพูดอย่างนั้น, ตอนนี้เราบอกว่ามันเท่ากับใดๆ ก็ได้ จำนวนธรรมชาติซึ่งน้อยกว่า. สิ่งสำคัญคือต้องเหมือนกันสำหรับทั้งสองหมายเลขที่กำหนด

ปฏิบัติสำหรับ ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมระวังให้มาก!

1. , . หา.
2. , . หา.
3. , . หา.

ตัดสินใจแล้ว? ฉันหวังว่าคุณจะใส่ใจอย่างมากและสังเกตเห็นสิ่งเล็กน้อย

เราเปรียบเทียบผลลัพธ์

ในสองกรณีแรก เราใช้สูตรด้านบนอย่างระมัดระวังและรับค่าต่อไปนี้:

ในกรณีที่สาม เมื่อพิจารณาอย่างถี่ถ้วนเกี่ยวกับหมายเลขซีเรียลของตัวเลขที่ให้เรา เราเข้าใจว่าตัวเลขเหล่านี้ไม่ได้ห่างจากหมายเลขที่เรากำลังมองหาเท่ากัน: เป็นหมายเลขก่อนหน้า แต่ถูกลบออกจากตำแหน่ง ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ เพื่อใช้สูตร

มีวิธีแก้อย่างไร? จริงๆแล้วมันไม่ยากอย่างที่คิด! มาเขียนกับคุณว่าแต่ละหมายเลขที่ให้เราและหมายเลขที่ต้องการประกอบด้วยอะไรบ้าง

ดังนั้นเราจึงมีและ มาดูกันว่าเราจะทำอะไรกับพวกมันได้บ้าง ฉันแนะนำให้แยก เราได้รับ:

เราแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตร:

ขั้นตอนต่อไปที่เราสามารถหาได้ - สำหรับสิ่งนี้เราต้องใช้รากที่สามของจำนวนผลลัพธ์

ทีนี้มาดูอีกครั้งว่ามีอะไรบ้าง เรามี แต่เราต้องค้นหา และในทางกลับกัน เท่ากับ:

เราพบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการคำนวณ แทนที่ในสูตร:

คำตอบของเรา: .

ลองแก้ปัญหาเดียวกันด้วยตัวคุณเอง:
ที่ให้ไว้: ,
หา:

คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี - .

อย่างที่คุณเห็นจริง ๆ แล้วคุณต้องการ จำเพียงสูตรเดียว- . ส่วนที่เหลือทั้งหมดคุณสามารถถอนออกได้ตลอดเวลา ในการทำเช่นนี้เพียงเขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดลงบนกระดาษแล้วจดว่าตัวเลขแต่ละตัวมีค่าเท่ากับอะไรตามสูตรข้างต้น

ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตอนนี้ให้พิจารณาสูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในช่วงเวลาที่กำหนดได้อย่างรวดเร็ว:

ในการหาสูตรสำหรับผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีขอบเขตจำกัด เราคูณทุกส่วนของสมการข้างต้นด้วย เราได้รับ:

ดูอย่างใกล้ชิด: สองสูตรสุดท้ายมีอะไรที่เหมือนกัน? ถูกต้อง สมาชิกทั่วไป เป็นต้น ยกเว้นสมาชิกตัวแรกและตัวสุดท้าย ลองลบสมการที่ 1 จากสมการที่ 2 กัน คุณได้อะไร?

ตอนนี้แสดงผ่านสูตรของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ในสูตรสุดท้ายของเรา:

จัดกลุ่มนิพจน์ คุณควรได้รับ:

สิ่งที่ต้องทำคือการแสดง:

ดังนั้นในกรณีนี้

เกิดอะไรขึ้นถ้า? สูตรไหนใช้ได้ผล? ลองนึกภาพความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ เธอชอบอะไร? ชุดตัวเลขที่เหมือนกันอย่างถูกต้อง ตามลำดับ สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิต มีตำนานมากมาย หนึ่งในนั้นคือตำนานของ Seth ผู้สร้างหมากรุก

หลายคนรู้ว่าเกมหมากรุกถูกคิดค้นในอินเดีย เมื่อกษัตริย์ฮินดูพบเธอ เขารู้สึกยินดีกับไหวพริบและตำแหน่งต่างๆ ที่เป็นไปได้ในตัวเธอ เมื่อรู้ว่ามันถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยหนึ่งในอาสาสมัครของเขา กษัตริย์จึงตัดสินใจให้รางวัลแก่เขาเป็นการส่วนตัว เขาเรียกนักประดิษฐ์มาหาเขาและสั่งให้ขอสิ่งที่เขาต้องการโดยสัญญาว่าจะเติมเต็มความปรารถนาที่เชี่ยวชาญที่สุด

Seta ขอเวลาคิด และเมื่อวันรุ่งขึ้น Seta ปรากฏตัวต่อพระพักตร์กษัตริย์ เขาทำให้กษัตริย์ประหลาดใจด้วยคำขอของเขาที่สงบเสงี่ยมอย่างไม่มีใครเทียบได้ เขาขอข้าวสาลีหนึ่งเม็ดสำหรับกระดานหมากรุกตารางแรก ข้าวสาลีสำหรับอันที่สอง สำหรับอันที่สาม สำหรับอันที่สี่ และอื่น ๆ

กษัตริย์โกรธและขับไล่ Seth ออกไปโดยบอกว่าคำขอของคนรับใช้นั้นไม่คู่ควรกับความเอื้ออาทรของราชวงศ์ แต่สัญญาว่าคนรับใช้จะรับธัญพืชของเขาสำหรับห้องขังทั้งหมดของกระดาน

และตอนนี้คำถามคือ: ใช้สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คำนวณจำนวนธัญพืชที่ Seth ควรได้รับ?

มาเริ่มกันเลย เนื่องจากตามเงื่อนไข Seth ขอเมล็ดข้าวสาลีสำหรับเซลล์แรกของกระดานหมากรุก สำหรับเซลล์ที่สอง สำหรับเซลล์ที่สาม สำหรับเซลล์ที่สี่ ฯลฯ เราจึงเห็นว่าปัญหาเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ในกรณีนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด
ขวา.

เซลล์ทั้งหมดของกระดานหมากรุก ตามลำดับ. เรามีข้อมูลทั้งหมดแล้ว เหลือเพียงการแทนที่ในสูตรและคำนวณเท่านั้น

เพื่อที่จะให้ได้ "มาตราส่วน" โดยประมาณเป็นอย่างน้อย หมายเลขที่กำหนดแปลงโดยใช้คุณสมบัติระดับ:

แน่นอน ถ้าคุณต้องการ คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขและคำนวณว่าคุณจะลงเอยด้วยตัวเลขประเภทใด และถ้าไม่ คุณจะต้องเชื่อตามที่ฉันคิด: ค่าสุดท้ายของนิพจน์จะเป็นเท่าใด
นั่นคือ:

quintillion ควอดล้านล้าน ล้านล้าน ล้านล้าน

ฟู่) ถ้าคุณอยากจินตนาการถึงความยิ่งใหญ่ของจำนวนนี้ ให้ประเมินว่าต้องใช้ยุ้งฉางขนาดไหนจึงจะสามารถรองรับเมล็ดข้าวได้ทั้งหมด
ด้วยความสูงของโรงนา m และความกว้าง m ความยาวของมันจะต้องขยายเป็นกม. เช่น จากโลกถึงดวงอาทิตย์สองเท่า

หากกษัตริย์ทรงเชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์ พระองค์สามารถเสนอให้นักวิทยาศาสตร์นับเมล็ดพืชด้วยพระองค์เอง เพราะในการนับเมล็ดข้าวหนึ่งล้านเมล็ด พระองค์ต้องใช้เวลาอย่างน้อยหนึ่งวันในการนับอย่างไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อย และเนื่องจากจำเป็นต้องนับจำนวน quintillions จะต้องนับเมล็ดข้าวไปตลอดชีวิต

และตอนนี้เราจะแก้ปัญหาง่ายๆ เกี่ยวกับผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
Vasya นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ป่วยเป็นไข้หวัด แต่ยังคงไปโรงเรียน ทุกวัน Vasya แพร่เชื้อให้กับคนสองคน ซึ่งในทางกลับกันก็แพร่เชื้ออีกสองคน และอื่น ๆ แค่คนเดียวในชั้นเรียน ทั้งชั้นจะเป็นไข้หวัดภายในกี่วัน?

ดังนั้น สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ Vasya นั่นคือบุคคล สมาชิกลำดับที่ 1 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คนเหล่านี้คือคนสองคนที่เขาติดเชื้อในวันแรกที่เขามาถึง ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าจะเท่ากับจำนวนนักเรียน 5A ดังนั้น เรากำลังพูดถึงความก้าวหน้าที่:

ลองแทนข้อมูลของเราลงในสูตรสำหรับผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ทั้งชั้นจะป่วยภายในไม่กี่วัน ไม่เชื่อในสูตรและตัวเลข? พยายามวาดภาพ "การติดเชื้อ" ของนักเรียนด้วยตัวคุณเอง เกิดขึ้น? ดูว่ามันเป็นอย่างไรสำหรับฉัน:

คำนวณด้วยตัวคุณเองว่านักเรียนจะเป็นไข้หวัดได้กี่วันถ้าทุกคนแพร่เชื้อ และมีคนๆ ​​หนึ่งอยู่ในชั้นเรียน

คุณได้รับค่าอะไร ปรากฎว่าทุกคนเริ่มป่วยหลังจากผ่านไปหนึ่งวัน

อย่างที่คุณเห็นงานและภาพวาดนั้นคล้ายกับปิรามิดซึ่งแต่ละคนจะ "นำ" ผู้คนใหม่ ๆ ตามมา อย่างไรก็ตามไม่ช้าก็เร็วช่วงเวลาที่สิ่งหลังไม่สามารถดึงดูดใครได้ ในกรณีของเรา หากเราจินตนาการว่าชั้นเรียนถูกแยกออกจากกัน บุคคลนั้นจะปิดห่วงโซ่ () ดังนั้น หากมีผู้เกี่ยวข้อง ปิรามิดทางการเงินซึ่งให้เงินถ้าคุณนำผู้เข้าร่วมอีกสองคนมาด้วย บุคคลนั้น (หรือโดยทั่วไป) จะไม่พาใครมาตามลำดับ จะสูญเสียทุกสิ่งที่พวกเขาลงทุนในกลโกงทางการเงินนี้

ทุกสิ่งที่กล่าวมาข้างต้นหมายถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงหรือเพิ่มขึ้น แต่อย่างที่คุณจำได้ เรามี ชนิดพิเศษเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด จะคำนวณผลรวมของสมาชิกได้อย่างไร? และเหตุใดความก้าวหน้าประเภทนี้จึงมีคุณสมบัติบางอย่าง ลองคิดออกด้วยกัน

สำหรับผู้เริ่มต้น ลองดูภาพนี้อีกครั้งของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดจากตัวอย่างของเรา:

ทีนี้มาดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ได้มาก่อนหน้านี้เล็กน้อย:
หรือ

เรามุ่งมั่นเพื่ออะไร? ถูกต้อง กราฟแสดงว่ามีแนวโน้มเป็นศูนย์ นั่นคือเมื่อมันเกือบจะเท่ากันตามลำดับเมื่อคำนวณนิพจน์เราจะได้เกือบ ในเรื่องนี้ เราเชื่อว่าเมื่อคำนวณผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด วงเล็บนี้อาจถูกละเลย เนื่องจากมันจะเท่ากัน

- สูตรคือผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เฉพาะในกรณีที่เงื่อนไขระบุอย่างชัดเจนว่าเราต้องหาผลรวม ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนสมาชิก

หากมีการระบุจำนวนเฉพาะ n เราจะใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n แม้ว่าจะ หรือ

และตอนนี้เรามาฝึกกัน

1. หาผลบวกของพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มี และ
2. หาผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วย และ

ฉันหวังว่าคุณจะระมัดระวังให้มาก เปรียบเทียบคำตอบของเรา:

ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว และถึงเวลาเปลี่ยนจากทฤษฎีไปสู่การปฏิบัติแล้ว ปัญหาเลขชี้กำลังที่พบบ่อยที่สุดในข้อสอบคือปัญหาดอกเบี้ยทบต้น เราจะพูดถึงพวกเขาเกี่ยวกับพวกเขา

ปัญหาการคำนวณดอกเบี้ยทบต้น

คุณต้องเคยได้ยินสูตรดอกเบี้ยทบต้น คุณเข้าใจสิ่งที่เธอหมายถึง? ถ้าไม่ ลองคิดดู เพราะเมื่อคุณเข้าใจกระบวนการนี้แล้ว คุณจะเข้าใจทันทีว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับกระบวนการนี้อย่างไร

เราทุกคนไปที่ธนาคารและรู้ว่ามีเงื่อนไขที่แตกต่างกันสำหรับการฝากเงิน: นี่คือเงื่อนไขและการบำรุงรักษาเพิ่มเติมและดอกเบี้ยด้วยสอง วิธีทางที่แตกต่างการคำนวณ - ง่ายและซับซ้อน

กับ ดอกเบี้ยง่ายๆทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย: จะมีการคิดดอกเบี้ยหนึ่งครั้งเมื่อสิ้นสุดระยะเวลาการฝาก นั่นคือถ้าเรากำลังพูดถึงการวาง 100 รูเบิลต่อปี พวกเขาจะได้รับเครดิตเมื่อสิ้นปีเท่านั้น ดังนั้นเมื่อสิ้นสุดการฝากเงิน เราจะได้รับรูเบิล

ดอกเบี้ยทบต้นเป็นทางเลือกในการที่ การแปลงดอกเบี้ยเป็นทุน, เช่น. นอกเหนือจากจำนวนเงินฝากและการคำนวณรายได้ที่ตามมาไม่ใช่จากจุดเริ่มต้น แต่มาจากจำนวนเงินฝากสะสม การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ไม่ได้เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง แต่มีบางช่วงเวลา ตามกฎแล้วช่วงเวลาดังกล่าวจะเท่ากันและธนาคารส่วนใหญ่มักจะใช้หนึ่งเดือน หนึ่งในสี่หรือหนึ่งปี

สมมติว่าเราใส่รูเบิลเท่ากันทั้งหมดต่อปี แต่ใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่เป็นรายเดือน เราได้อะไร?

คุณเข้าใจทุกอย่างที่นี่หรือไม่? ถ้าไม่ ลองทำทีละขั้นตอน

เรานำเงินรูเบิลไปที่ธนาคาร ภายในสิ้นเดือนเราควรมีจำนวนเงินในบัญชีของเราซึ่งประกอบด้วยรูเบิลบวกดอกเบี้ย นั่นคือ:

เห็นด้วย?

เราสามารถดึงมันออกมาจากวงเล็บ แล้วเราจะได้:

เห็นด้วยสูตรนี้คล้ายกับที่เราเขียนไว้ตอนต้นแล้ว มันยังคงจัดการกับเปอร์เซ็นต์

ในเงื่อนไขของปัญหาเราจะบอกเกี่ยวกับประจำปี อย่างที่คุณทราบ เราไม่คูณด้วย - เราแปลงเปอร์เซ็นต์เป็น ทศนิยม, นั่นคือ:

ขวา? ถามว่าเอาเบอร์มาจากไหน? ง่ายมาก!
ฉันพูดซ้ำ: เงื่อนไขของปัญหาพูดเกี่ยวกับ ประจำปีดอกเบี้ยค้างจ่าย รายเดือน. อย่างที่คุณทราบ ในปีเดือนตามลำดับ ธนาคารจะคิดดอกเบี้ยส่วนหนึ่งจากเราต่อเดือน:

ที่ตระหนักรู้? ตอนนี้ลองเขียนว่าส่วนนี้ของสูตรจะเป็นอย่างไรถ้าฉันบอกว่าดอกเบี้ยคำนวณทุกวัน
คุณจัดการหรือไม่ ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

ทำได้ดี! กลับไปที่งานของเรา: จดจำนวนเงินที่จะเข้าบัญชีของเราในเดือนที่สองโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยที่เรียกเก็บจากจำนวนเงินฝากสะสม
นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นกับฉัน:

หรืออีกนัยหนึ่ง:

ฉันคิดว่าคุณได้สังเกตเห็นรูปแบบและเห็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในทั้งหมดนี้แล้ว เขียนสิ่งที่สมาชิกจะเท่ากับหรืออีกนัยหนึ่งเราจะได้รับเงินเท่าไรในสิ้นเดือน
ทำ? กำลังตรวจสอบ!

อย่างที่คุณเห็น หากคุณใส่เงินในธนาคารเป็นเวลาหนึ่งปีด้วยดอกเบี้ยง่ายๆ คุณจะได้รับรูเบิลและถ้าคุณใส่ในอัตราทบต้น คุณจะได้รับรูเบิล ผลประโยชน์มีน้อย แต่จะเกิดขึ้นเฉพาะในช่วงปีที่ th แต่ในระยะยาว การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่จะทำกำไรได้มากกว่า:

พิจารณาปัญหาดอกเบี้ยทบต้นประเภทอื่น หลังจากที่คุณคิดออกแล้ว มันจะเป็นพื้นฐานสำหรับคุณ ดังนั้นงานคือ:

Zvezda เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2000 ด้วยเงินทุนดอลลาร์ ทุกปีตั้งแต่ปี 2544 มีกำไรเท่ากับทุนของปีที่แล้ว บริษัท Zvezda จะได้รับผลกำไรเท่าใด ณ สิ้นปี 2546 หากกำไรไม่ถูกถอนออกจากการหมุนเวียน

เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2543
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2544
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2545
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2546

หรือเขียนสั้นๆว่า

สำหรับกรณีของเรา:

2543 2544 2545 และ 2546

ตามลำดับ:
รูเบิล
โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่มีการหารด้วยหรือโดย เนื่องจากเปอร์เซ็นต์จะได้รับทุกปีและจะคำนวณทุกปี นั่นคือเมื่ออ่านปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ให้ใส่ใจกับเปอร์เซ็นต์ที่ได้รับและระยะเวลาที่เรียกเก็บ จากนั้นดำเนินการคำนวณต่อเท่านั้น
ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว

การฝึกอบรม.

1. ค้นหาระยะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากทราบ และ
2. ค้นหาผลบวกของพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต หากทราบเช่นนั้น และ
3. MDM Capital เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2546 ด้วยเงินทุนดอลลาร์ ทุกปีตั้งแต่ปี 2547 เธอทำกำไรได้เท่ากับทุนของปีที่แล้ว บริษัท "MSK Cash Flows" เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2548 เป็นจำนวน 10,000 ดอลลาร์ โดยเริ่มทำกำไรในปี 2549 เป็นจำนวน ทุนของบริษัทหนึ่งมีมูลค่ามากกว่าของบริษัทอื่น ณ สิ้นปี 2550 เป็นกี่ดอลลาร์ หากกำไรไม่ถูกถอนออกจากการหมุนเวียน

คำตอบ:

1. เนื่องจากเงื่อนไขของปัญหาไม่ได้บอกว่าความก้าวหน้านั้นไม่มีที่สิ้นสุดและจำเป็นต้องหาผลรวมของสมาชิกจำนวนหนึ่ง การคำนวณจึงดำเนินการตามสูตร:
2. 
   บริษัท "MDM Capital":

   2546 2547 2548 2549 2550
   - เพิ่มขึ้น 100% นั่นคือ 2 ครั้ง
   ตามลำดับ:
   รูเบิล
   กระแสเงินสด MSK:

   2548 2549 2550
   - เพิ่มขึ้นนั่นคือครั้ง
   ตามลำดับ:
   รูเบิล
   รูเบิล

มาสรุปกัน

1) การก้าวหน้าทางเรขาคณิต ( ) คือลำดับตัวเลข ซึ่งพจน์แรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละพจน์ที่เริ่มต้นจากพจน์ที่สองจะเท่ากับพจน์ก่อนหน้า คูณด้วยจำนวนเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

2) สมการของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต -

3) สามารถรับค่าใด ๆ ยกเว้นและ

• ถ้าสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเหมือนกัน - พวกเขา เชิงบวก;
• ถ้า จากนั้น สมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้า สัญญาณอื่น;
• เมื่อ - ความก้าวหน้าเรียกว่าลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

4) ที่ - คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (คำใกล้เคียง)

หรือ
, ที่ (ระยะเท่ากัน)

เมื่อพบแล้วอย่าลืมสิ่งนั้น ควรมีสองคำตอบ.

ตัวอย่างเช่น,

5) ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ

หรือ

สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขระบุอย่างชัดเจนว่าเราจำเป็นต้องหาผลรวมของพจน์จำนวนไม่สิ้นสุด

6) งานสำหรับดอกเบี้ยทบต้นยังคำนวณตามสูตรของสมาชิกลำดับที่ 1 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยมีเงื่อนไขว่าเงินจะไม่ถูกถอนออกจากการหมุนเวียน:

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สั้น ๆ เกี่ยวกับหลัก

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต( ) เป็นลำดับตัวเลข พจน์แรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละพจน์ที่เริ่มต้นจากพจน์ที่สองจะเท่ากับพจน์ก่อนหน้า คูณด้วยเลขเดียวกัน หมายเลขนี้เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถรับค่าใด ๆ ยกเว้นและ

• หากสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเหมือนกัน แสดงว่าเป็นบวก
• ถ้า จากนั้นสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของการก้าวหน้าสัญญาณอื่น;
• เมื่อ - ความก้าวหน้าเรียกว่าลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

สมการของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - .

ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ

หากความก้าวหน้าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด แสดงว่า:

หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางอย่างได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณก็อยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้เข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำว่า...มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือมันอาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับ การส่งมอบที่ประสบความสำเร็จการสอบของรัฐแบบครบวงจรสำหรับการเข้าศึกษาต่อในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดสำหรับชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวใจคุณ แต่ฉันจะพูดอย่างหนึ่ง ...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับ นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากมายที่เปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

อะไรที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่น ๆ ในการสอบและจะ ... มีความสุขมากขึ้นในท้ายที่สุด?

จับมือคุณแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบ คุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังแก้ไขไม่ได้ (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่ก็แก้ไขไม่ทัน

ก็เหมือนกับการเล่นกีฬา คุณต้องเล่นซ้ำหลายๆ ครั้งจึงจะชนะได้อย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยโซลูชั่น การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำอย่างแน่นอน

เพื่อให้รับมือกับงานของเราได้ คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทช่วยสอนทั้ง 99 บทความ - ซื้อหนังสือเรียน - 499 รูเบิล

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียน และสามารถเปิดเข้าถึงงานทั้งหมดและข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” และ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!