แก้สมการตรรกะออนไลน์ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ลอจิก ฟังก์ชันลอจิก การแก้สมการ

นอสกิน อันเดรย์ นิโคลาวิช
ครูสอนวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์
หมวดหมู่คุณสมบัติสูงสุด
ผู้สมัครสาขาวิชาวิทยาศาสตร์การทหาร, รองศาสตราจารย์
GBOU Lyceum หมายเลข 1575 มอสโก

วิธีการทำแผนที่ที่ปรับให้เหมาะสมสำหรับการแก้ปัญหา 23 จาก KIM Unified State Examination ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์และ ICT

หนึ่งในงานที่ยากที่สุดใน Unified State Exam KIM คือปัญหา 23 ซึ่งคุณต้องค้นหาจำนวนชุดค่าต่างๆ ของตัวแปรลอจิคัลที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ
งานนี้อาจจะมากที่สุด งานที่ยากลำบากการสอบ KIM Unified State ในด้านสารสนเทศและ ICT ตามกฎแล้วผู้สอบไม่เกิน 5% สามารถรับมือกับมันได้ (1)
นักเรียนส่วนน้อยที่ทำภารกิจนี้สำเร็จจะอธิบายได้ดังต่อไปนี้:
- นักเรียนอาจสับสน (ลืม) สัญญาณของการดำเนินการเชิงตรรกะ
- ข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ในกระบวนการคำนวณ
- ข้อผิดพลาดในการให้เหตุผลเมื่อค้นหาวิธีแก้ไข
- ข้อผิดพลาดในกระบวนการลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงตรรกะ
- ครูแนะนำให้แก้ไขปัญหานี้หลังจากทำงานทั้งหมดเสร็จแล้วเนื่องจากมีความน่าจะเป็น
ข้อผิดพลาดมีขนาดใหญ่มากและ “น้ำหนัก” ของงานเป็นเพียงจุดหลักจุดเดียวเท่านั้น
นอกจากนี้ ครูบางคนเองก็มีปัญหาในการแก้ปัญหาประเภทนี้ จึงพยายามแก้ไขปัญหาที่ง่ายกว่ากับเด็กๆ
สถานการณ์ที่ซับซ้อนก็คือว่าในบล็อกนี้มี จำนวนมากงานต่างๆ และไม่สามารถเลือกโซลูชันเทมเพลตได้
เพื่อแก้ไขสถานการณ์นี้ ชุมชนการสอนกำลังสรุปวิธีการหลักสองวิธีในการแก้ปัญหา ประเภทนี้: วิธีแก้ปัญหาโดยใช้บิตเชน (2) และวิธีการแมป (3)
ความจำเป็นในการปรับแต่ง (เพิ่มประสิทธิภาพ) วิธีการเหล่านี้เกิดจากการที่งานมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาทั้งในโครงสร้างและจำนวนตัวแปร (ตัวแปร X เพียงประเภทเดียว, ตัวแปร X และ Y สองประเภท, สามประเภท: X, Y , ซี)
ความยากลำบากในการฝึกฝนวิธีการเหล่านี้ในการแก้ปัญหาได้รับการยืนยันจากข้อเท็จจริงที่ว่าบนเว็บไซต์ของ K.Yu Polyakov มีการวิเคราะห์ปัญหาประเภทนี้ 38 รายการ (4) การวิเคราะห์บางอย่างมีวิธีแก้ไขปัญหามากกว่าหนึ่งประเภท
เมื่อเร็วๆ นี้ในการสอบ KIM Unified State ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ มีปัญหากับตัวแปร X และ Y สองประเภท
ฉันได้ปรับวิธีการแสดงผลให้เหมาะสมแล้ว และสนับสนุนให้นักเรียนใช้วิธีการปรับปรุงนี้
สิ่งนี้ให้ผลลัพธ์ เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนของฉันที่สามารถรับมือกับงานนี้แตกต่างกันไปมากถึง 43% ของผู้ที่สอบผ่าน ตามกฎแล้วทุกปีจาก 25 ถึง 33 คนจากเกรด 11 ทั้งหมดจะเข้าสอบ Unified State ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์
ก่อนที่จะเกิดปัญหากับตัวแปรสองประเภท นักเรียนใช้วิธีการทำแผนที่ได้สำเร็จมาก แต่หลังจากการปรากฏตัวของ Y ในนิพจน์เชิงตรรกะ ฉันเริ่มสังเกตเห็นว่าคำตอบของเด็กไม่ตรงกับการทดสอบอีกต่อไป ปรากฎว่าพวกเขายังไม่ชัดเจนเกี่ยวกับวิธีการสร้างตารางการแมปด้วยตัวแปรประเภทใหม่ จากนั้นฉันก็เกิดความคิดขึ้นมาว่าเพื่อความสะดวกควรลดการแสดงออกทั้งหมดให้เป็นตัวแปรประเภทเดียวตามความสะดวกสำหรับเด็ก
ฉันจะให้เทคนิคนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น เพื่อความสะดวกผมจะพิจารณาโดยใช้ตัวอย่างระบบนิพจน์เชิงตรรกะที่ให้ไว้ใน (4)
เท่าไหร่ โซลูชั่นต่างๆมีระบบสมการตรรกะ

(x1 ^ ใช่ 1)=(€x2 วี ¬ ย 2 )
(x2 ^ ใช่ 2)= (¬ x 3 วี ¬ ย 3 )
...
(x5 ^ ใช่ 5) = (¬ x 6 วี ¬ ย 6 )

ที่ไหนx 1 , …, x 6 , ย 1 , …, ย 6 , - ตัวแปรเชิงตรรกะ? คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดตัวแปรต่างๆ ทั้งหมดที่มีความเท่าเทียมกันนี้ คำตอบคือคุณต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าว
สารละลาย:
1. จากการวิเคราะห์ระบบสมการลอจิกพบว่ามีตัวแปรอยู่ 6 ตัว เอ็กซ์และตัวแปร 6 ตัว คุณ- เนื่องจากตัวแปรใดๆ เหล่านี้สามารถรับได้เพียงสองค่า (0 และ 1) เราจึงแทนที่ตัวแปรเหล่านี้ด้วยตัวแปรประเภทเดียวกัน 12 ตัว เช่น Z
2. ตอนนี้เรามาเขียนระบบใหม่ด้วยตัวแปรใหม่ที่เป็นประเภทเดียวกัน ความยากของงานคือการจดบันทึกอย่างระมัดระวังเมื่อเปลี่ยนตัวแปร

(ซี 1 ^ ซี 2)= (€z3วี¬ z 4 )
(ซี 3 ^ ซี 4)= (¬ z 5 วี¬ z 6 )
...
(ซี 9 ^ ซี 10) = (¬ z 11 วี¬ z 12)

3. มาสร้างตารางที่เราจะพูดถึงตัวเลือกทั้งหมดกัน z 1 , z 2 , z 3 , z 4 เนื่องจากสมการตรรกะแรกมีตัวแปรสี่ตัวแปร ตารางจึงมี 16 แถว (16=2 4) ลบค่าดังกล่าวออกจากตาราง z 4 ซึ่งสมการแรกไม่มีคำตอบ (ขีดฆ่าตัวเลข)


0	0	0	0
			1
		1	0
			1
	1	0	0
			1
		1	0
			1
1	0	0	0
			1
		1	0
			1
	1	0	0
			1
		1	0
			1

4. วิเคราะห์ตาราง เราสร้างกฎสำหรับการแสดงคู่ของตัวแปร (เช่น คู่ ซี 1 ซี 2 =00 สอดคล้องกันคู่ ซี 3 ซี 4 = 11) .

5. กรอกตารางโดยคำนวณจำนวนคู่ของตัวแปรที่ระบบมีคำตอบ

6. รวมผลลัพธ์ทั้งหมด: 9 + 9 + 9 + 27 = 54
7. คำตอบ: 54.
วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพข้างต้นสำหรับการแก้ปัญหา 23 จาก Unified State Exam KIM ช่วยให้นักเรียนได้รับความมั่นใจและแก้ไขปัญหาประเภทนี้ได้สำเร็จ

วรรณกรรม:

1. ฟิปี. คำแนะนำที่เป็นระบบสำหรับครู ซึ่งจัดทำขึ้นบนพื้นฐานของการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดทั่วไปที่ทำโดยผู้เข้าร่วมในการสอบ Unified State ประจำปี 2558 ในสาขาวิทยาศาสตร์สารสนเทศและไอซีที โหมดการเข้าถึง: http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1442163533/informatika_i_ikt.pdf

2. ก.ย. โปลยาคอฟ, M.A. รอยต์เบิร์ก.ระบบสมการลอจิก: การแก้ปัญหาโดยใช้สตริงบิต วารสารสารสนเทศ ฉบับที่ 12, 2014, หน้า. 4-12.สำนักพิมพ์ "First of September", มอสโก
3. อี.เอ. มิรอนชิค วิธีการแสดงนิตยสาร สารสนเทศ ฉบับที่ 10, 2013, น. 18-26. สำนักพิมพ์ "First of September", มอสโก

J ∧ âK ∧ L ∧ âM ∧ (N ∨ ñ) = 0 โดยที่ J, K, L, M, N เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ?

คำอธิบาย.

ดังนั้นนิพจน์ (N ∨ ñ) จึงเป็นจริงสำหรับ N ใดๆ

เจ ∧ ฌK ∧ ล ∧ ฌM = 0

ลองใช้การปฏิเสธกับทั้งสองข้างของสมการตรรกะแล้วใช้กฎของเดอมอร์แกน ฌ (A ∧ B) = ฌ A ∨ ฌ B เราจะได้ ฌJ ∨ K ∨ ฌL ∨ M = 1

ผลบวกเชิงตรรกะจะเท่ากับ 1 ถ้าประโยคที่เป็นส่วนประกอบอย่างน้อยหนึ่งประโยคมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น สมการที่ได้จะเป็นไปตามการรวมกันของตัวแปรตรรกะใดๆ ยกเว้นกรณีที่ปริมาณทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการมีค่าเท่ากับ 0 แต่ละ ตัวแปร 4 ตัวสามารถเท่ากับ 1 หรือ 0 ได้ ดังนั้นชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 2·2·2·2 = 16 ดังนั้น สมการจึงมีคำตอบ 16 −1 = 15 ข้อ

โปรดทราบว่าวิธีแก้ปัญหา 15 รายการที่พบนั้นสอดคล้องกับวิธีใดวิธีหนึ่งจากทั้งสองวิธี ค่าที่เป็นไปได้ค่าของตัวแปรลอจิคัล N ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงมีคำตอบ 30 ข้อ

คำตอบ: 30

สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ‚K) → ‚ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

โดยที่ J, K, L, M, N เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ?

คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่าต่างๆ ทั้งหมดของ J, K, L, M และ N ที่มีความเท่าเทียมกันนี้ คำตอบคือคุณต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าว

คำอธิบาย.

เราใช้สูตร A → B = ฌA ∨ B และ ฌ(A ∨ B) = ฌA ∧ ฌB

ลองพิจารณาสูตรย่อยแรก:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ‚(‚J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ฌK) ∨ (M ∧ N ∧ L)

ลองพิจารณาสูตรย่อยที่สอง

(J ∧ ฌK) → ฌ(M ∧ N ∧ L) = ฌ(J ∧ ฌK) ∨ ฌ(M ∧ N ∧ L) = (ฌJ ∨ K) ∨ ฌM ∨ ฌN ∨ ฌL

ลองพิจารณาสูตรย่อยที่สาม

1) M → J = 1 ดังนั้น

(J ∧ ‚K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ‚K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ฌK ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ฌN ∨ ฌL = K ∨ ฌN ∨ ฌL;

มารวมกัน:

‚K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ‚N ∨ ‚L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ‚L = L ∨ ‚L = 1 ดังนั้น 4 คำตอบ

(J ∧ ‚K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ‚K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ‚K;

(âJ ∨ K) ∨ âM ∨ âN ∨ âL = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ âN ∨ ฌL = K ∨ 1 ∨ âN ∨ ฌL

มารวมกัน:

K ∨ 1 ∨ ‚N ∨ ‚L ∧ ‚K = 1 ∨ ‚N ∨ ‚L ดังนั้น จึงมีคำตอบ 4 ข้อ

ค) ม = 0 เจ = 0

(J ∧ ‚K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ‚K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0

(‚J ∨ K) ∨ âM ∨ ‚N ∨ âL = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ‚N ∨ ‚L

คำตอบ: 4 + 4 = 8

คำตอบ: 8

สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

โดยที่ K, L, M, N เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ? คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่าต่างๆ ทั้งหมดของ K, L, M และ N ที่มีความเท่าเทียมกันนี้ เป็นคำตอบ คุณต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าว

คำอธิบาย.

มาเขียนสมการใหม่โดยใช้สัญลักษณ์ที่ง่ายกว่าสำหรับการดำเนินการ:

((K + L) → (L M N)) = 0

1) จากตารางความจริงของการดำเนินการ "นัย" (ดูปัญหาแรก) ตามมาว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงหากและในเวลาเดียวกันเท่านั้น

K + L = 1 และ L M N = 0

2) จากสมการแรก ตามมาด้วยว่าตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว K หรือ L มีค่าเท่ากับ 1 (หรือทั้งสองอย่างรวมกัน) ลองพิจารณาสามกรณีกัน

3) ถ้า K = 1 และ L = 0 ดังนั้นความเท่าเทียมกันที่สองจะเป็นที่พอใจสำหรับ M และ N ใด ๆ เนื่องจากมีตัวแปรบูลีนสองตัวรวมกัน 4 ตัว (00, 01, 10 และ 11) เราจึงมีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน 4 แบบ

4) ถ้า K = 1 และ L = 1 ดังนั้นความเท่าเทียมกันที่สองจะคงไว้สำหรับ M · N = 0; มีชุดค่าผสมดังกล่าว 3 แบบ (00, 01 และ 10) เรามีวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติม 3 แบบ

5) ถ้า K = 0 ดังนั้น L = 1 (จากสมการแรก) ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันที่สองจะเป็นที่พอใจเมื่อ M · N = 0; มีชุดค่าผสมดังกล่าว 3 แบบ (00, 01 และ 10) เรามีวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติม 3 แบบ

6) โดยรวมแล้วเราได้ 4 + 3 + 3 = 10 คำตอบ

คำตอบ: 10

สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

คำอธิบาย.

นิพจน์เป็นจริงในสามกรณี เมื่อ (K ∧ L) และ (M ∧ N) เท่ากับ 01, 11, 10 ตามลำดับ

1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N เท่ากับ 1 และ K และ L เป็นอะไรก็ได้ยกเว้น 1 พร้อมกัน ดังนั้นจึงมี 3 วิธี

2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 คำตอบ

3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0 => 3 วิธี

คำตอบ: 7.

คำตอบ: 7

สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

โดยที่ X, Y, Z, P เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ? คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่าต่างๆ ทั้งหมดที่มีความเท่าเทียมกันนี้ เพื่อเป็นคำตอบ คุณจะต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าวเท่านั้น

คำอธิบาย.

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>

ฌ(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(ฌX ∨ âY ∧ ฌZ) ∨ (Z ∨ P) = 0;

ตรรกะ OR เป็นเท็จในกรณีเดียวเท่านั้น: เมื่อทั้งสองนิพจน์เป็นเท็จ

เพราะฉะนั้น,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0

ฌX ∨ ฌY ∧ ฌZ = 0 => ฌX ∨ ฌY ∧ 1 = 0 =>

ฌX ∨ ฌY = 0 => X = 1; ย = 1.

ดังนั้นจึงมีวิธีแก้สมการเพียงวิธีเดียวเท่านั้น

คำตอบ: 1

สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

โดยที่ K, L, M, N เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ? คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่าต่าง ๆ ทั้งหมดของ K, L, M และ N ที่มีความเท่าเทียมกันนี้ เพื่อเป็นคำตอบ คุณจะต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าวเท่านั้น

คำอธิบาย.

ตรรกะ และเป็นจริงในกรณีเดียวเท่านั้น: เมื่อนิพจน์ทั้งหมดเป็นจริง

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1

แต่ละสมการจะให้คำตอบ 3 ข้อ

พิจารณาสมการ A ∧ B = 1 หากทั้ง A และ B รับค่าจริงเป็นสามกรณีในแต่ละกรณี โดยรวมแล้วสมการทั้งหมดจะมี 9 คำตอบ

ดังนั้นคำตอบคือ 9

คำตอบ: 9

สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ฌD)= 1,

โดยที่ A, B, C, D เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ?

คำตอบไม่จำเป็นต้องแสดงรายการชุดค่า A, B, C, D ที่แตกต่างกันทั้งหมดซึ่งมีความเท่าเทียมกันนี้ คำตอบคือคุณต้องระบุจำนวนชุดดังกล่าว

คำอธิบาย.

ตรรกะ "OR" เป็นจริงเมื่อมีข้อความอย่างน้อยหนึ่งข้อความเป็นจริง

(D ∧ ฌD)= 0 สำหรับ D ใดๆ

เพราะฉะนั้น,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ฌ A ∨ B = 1 ซึ่งให้คำตอบที่เป็นไปได้ 3 แบบสำหรับแต่ละ D

(D ∧ ฌ D)= 0 สำหรับ D ใดๆ ซึ่งให้คำตอบเราได้ 2 แบบ (สำหรับ D = 1, D = 0)

ดังนั้น: ผลรวมของคำตอบ 2*3 = 6

รวม 6 โซลูชั่น

คำตอบ: 6

สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ?

(‚K ∨ âL ∨ âM) ∧ (ลิตร ∨ âM ∨ âN) = 0

คำอธิบาย.

ลองใช้การปฏิเสธกับทั้งสองด้านของสมการ:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (ฌL ∧ M ∧ N) = 1

ตรรกะ OR เป็นจริงในสามกรณี

ตัวเลือกที่ 1

K ∧ L ∧ M = 1 จากนั้น K, L, M = 1 และ ‚L ∧ M ∧ N = 0 N เป็นค่าอะไรก็ได้ นั่นคือ 2 คำตอบ

ตัวเลือกที่ 2

ฌL ∧ M ∧ N = 1 จากนั้น N, M = 1; L = 0, K ใดๆ นั่นคือ 2 คำตอบ

ดังนั้นคำตอบคือ 4

คำตอบ: 4

A, B และ C เป็นจำนวนเต็มที่ข้อความเป็นจริง

ฌ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B))

B เท่ากับอะไรถ้า A = 45 และ C = 43?

คำอธิบาย.

1) ฌ(ก = ข); (ก > ข)→(ข > ค); (B > A)→(C > B);

2) คำสั่งง่าย ๆ เหล่านี้เชื่อมโยงกันด้วยการดำเนินการ ∧ (และร่วม) นั่นคือจะต้องดำเนินการพร้อมกัน

3) จาก ‚(A = B)=1 จะตามมาทันทีว่า A B;

4) สมมติว่า A > B จากนั้นจากเงื่อนไขที่สองเราได้ 1→(B > C)=1; นิพจน์นี้สามารถเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ B > C = 1;

5) ดังนั้นเราจึงมี A > B > C มีเพียงตัวเลข 44 เท่านั้นที่ตรงกับเงื่อนไขนี้

6) ในกรณีนี้ ให้ตรวจสอบตัวเลือก A 0 →(B > C)=1;

สำนวนนี้เป็นจริงสำหรับ B ใดๆ; ทีนี้มาดูเงื่อนไขที่สามที่เราได้รับ

นิพจน์นี้สามารถเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ C > B และในที่นี้เรามีความขัดแย้ง เนื่องจากไม่มีเลข B ใดที่ C > B > A

คำตอบ: 44.

คำตอบ: 44

สร้างตารางความจริงสำหรับฟังก์ชันลอจิคัล

X = (A ↔ B) ∨ ฌ(A → (B ∨ C))

โดยที่คอลัมน์ของค่าของอาร์กิวเมนต์ A เป็นตัวแทนไบนารีของหมายเลข 27 คอลัมน์ของค่าของอาร์กิวเมนต์ B คือหมายเลข 77 คอลัมน์ของค่าของอาร์กิวเมนต์ C คือหมายเลข 120 ตัวเลข ในคอลัมน์จะเขียนจากบนลงล่างจากนัยสำคัญที่สุดไปหานัยสำคัญน้อยที่สุด (รวมถึงชุดศูนย์ด้วย) แปลงผลลัพธ์การเป็นตัวแทนไบนารี่ของค่าของฟังก์ชัน X เป็นระบบเลขทศนิยม

คำอธิบาย.

มาเขียนสมการโดยใช้สัญกรณ์ที่ง่ายกว่าสำหรับการดำเนินการ:

1) นี่คือนิพจน์ที่มีตัวแปร 3 ตัว ดังนั้นจะมีเส้นในตารางความจริง ดังนั้นการแสดงเลขฐานสองของตัวเลขที่ใช้สร้างคอลัมน์ตาราง A, B และ C จะต้องประกอบด้วยตัวเลข 8 หลัก

2) แปลงตัวเลข 27, 77 และ 120 เป็นระบบไบนารี่โดยบวกเลขศูนย์ที่จุดเริ่มต้นของตัวเลขสูงสุด 8 หลักทันที

3) ไม่น่าเป็นไปได้ที่คุณจะสามารถเขียนค่าของฟังก์ชัน X สำหรับแต่ละชุดค่าผสมได้ทันที ดังนั้นจึงสะดวกในการเพิ่มคอลัมน์เพิ่มเติมลงในตารางเพื่อคำนวณผลลัพธ์ระดับกลาง (ดูตารางด้านล่าง)

เอ็กซ์0

ก	ใน	กับ
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) กรอกข้อมูลในคอลัมน์ตาราง:

ก	ใน	กับ					เอ็กซ์
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

ค่าคือ 1 เฉพาะในบรรทัดเหล่านั้นโดยที่ A = B

ค่าคือ 1 ในบรรทัดเหล่านั้นโดยที่ B หรือ C = 1

ค่าจะเป็น 0 เฉพาะในบรรทัดเหล่านั้นโดยที่ A = 1 และ B + C = 0

ค่าจะเป็นค่าผกผันของคอลัมน์ก่อนหน้า (0 ถูกแทนที่ด้วย 1 และ 1 ถูกแทนที่ด้วย 0)

ผลลัพธ์ของ X (คอลัมน์สุดท้าย) คือผลรวมเชิงตรรกะของทั้งสองคอลัมน์และ

5) เพื่อให้ได้คำตอบ ให้เขียนบิตจากคอลัมน์ X จากบนลงล่าง:

6) แปลงตัวเลขนี้เป็นระบบทศนิยม:

คำตอบ: 171

จำนวนเต็ม X ที่ใหญ่ที่สุดซึ่งคำสั่ง (10 (X+1)·(X+2)) เป็นจริงคือข้อใด

คำอธิบาย.

สมการคือการดำเนินการโดยนัยระหว่างสองความสัมพันธ์:

1) แน่นอน คุณสามารถใช้วิธีการเดียวกันกับตัวอย่าง 2208 ได้ที่นี่ แต่คุณจะต้องแก้ไข สมการกำลังสอง(ฉันไม่ต้องการที่จะ...);

2) โปรดทราบว่าตามเงื่อนไขเราสนใจเฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้นดังนั้นเราจึงสามารถลองแปลงนิพจน์ดั้งเดิมได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งโดยได้รับคำสั่งที่เทียบเท่ากัน (เราไม่สนใจค่าที่แน่นอนของรูทเลย!);

3) พิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน แน่นอนว่าอาจเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้

4) ง่ายต่อการตรวจสอบว่าในโดเมนคำสั่งนั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด และในโดเมน - สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด (เพื่อไม่ให้สับสน จะสะดวกกว่าถ้าใช้อสมการที่ไม่เข้มงวด และ แทนที่จะ และ );

5) ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็มจึงสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เทียบเท่าได้

6) ขอบเขตของความจริงของนิพจน์คือการรวมกันของสองช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด

7) พิจารณาอสมการที่สอง: เห็นได้ชัดว่าอาจเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้

8) ในโดเมน คำสั่งเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด และในโดเมน - สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด ดังนั้นสำหรับจำนวนเต็มจึงสามารถถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เทียบเท่ากัน

9) ขอบเขตของความจริงของการแสดงออกคือช่วงปิด

10) นิพจน์ที่กำหนดเป็นจริงทุกที่ ยกเว้นพื้นที่ที่ และ ;

11) โปรดทราบว่าค่านี้ไม่เหมาะสมอีกต่อไป เนื่องจากมี และ นั่นคือความหมายให้ 0;

12) เมื่อแทน 2, (10 (2+1) · (2+2)) หรือ 0 → 0 ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข

ดังนั้นคำตอบคือ 2

คำตอบ: 2

จำนวนเต็ม X ที่ใหญ่ที่สุดซึ่งคำสั่งเป็นจริงคืออะไร

(50 (X+1)·(X+1))?

คำอธิบาย.

ลองใช้การแปลงความหมายและแปลงนิพจน์:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ฌ(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|)

ตรรกะ OR เป็นจริงเมื่อมีคำสั่งเชิงตรรกะอย่างน้อยหนึ่งคำสั่งเป็นจริง เมื่อแก้ไขทั้งอสมการแล้วและคำนึงว่าเราเห็นว่าจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดซึ่งอย่างน้อยหนึ่งอันเป็นไปตามนั้นคือ 7 (ในรูป วิธีแก้เชิงบวกของอสมการที่สองจะแสดงเป็นสีเหลือง และอันแรกแสดงเป็นสีน้ำเงิน)

คำตอบ: 7

ระบุค่าของตัวแปร K, L, M, N ซึ่งเป็นนิพจน์เชิงตรรกะ

(ฌ(M ∨ L) ∧ K) → (ฌK ∧ âM ∨ N)

เท็จ. เขียนคำตอบเป็นสตริง 4 ตัวอักษร: ค่าของตัวแปร K, L, M และ N (ตามลำดับ) ตัวอย่างเช่น บรรทัดที่ 1101 สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า K=1, L=1, M=0, N=1

คำอธิบาย.

ทำซ้ำงาน 3584

คำตอบ: 1,000

(‚K ∨ M) → (‚L ∨ M ∨ N)

คำอธิบาย.

ลองใช้การแปลงความหมาย:

(เค ∧ ฌM) ∨ (ฌL ∨ M ∨ ยังไม่มีข้อความ) = 0

ลองใช้การปฏิเสธกับทั้งสองด้านของสมการ:

(‚K ∨ M) ∧ L ∧ âM ∧ ñ = 1

มาแปลงกัน:

(ฌK ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ฌM ∧ ฌN = 1

ดังนั้น M = 0, N = 0 ตอนนี้ให้พิจารณา (‚K ∧ L ∨ M ∧ L):

จากข้อเท็จจริงที่ว่า M = 0, N = 0 ตามด้วย M ∧ L = 0 จากนั้น ‚K ∧ L = 1 นั่นคือ K = 0, L = 1

คำตอบ: 0100

ระบุค่าของตัวแปร K, L, M, N ที่เป็นนิพจน์เชิงตรรกะ

(ฌ(M ∨ L) ∧ K) → ((‚K ∧ âM) ∨ N)

เท็จ. เขียนคำตอบของคุณเป็นสตริงสี่อักขระ: ค่าของตัวแปร K, L, M และ N (ตามลำดับ) ตัวอย่างเช่น บรรทัดที่ 1101 สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า K=1, L=1, M=0, N=1

คำอธิบาย.

มาเขียนสมการโดยใช้สัญลักษณ์การดำเนินการที่ง่ายกว่า (เงื่อนไข "นิพจน์เป็นเท็จ" หมายความว่ามีค่าเท่ากับศูนย์ตรรกะ):

1) จากการกำหนดเงื่อนไขเป็นไปตามที่นิพจน์ต้องเป็นเท็จสำหรับตัวแปรชุดเดียวเท่านั้น

2) จากตารางความจริงของการดำเนินการ "นัย" ตามมาว่านิพจน์นี้เป็นเท็จหากและในเวลาเดียวกันเท่านั้น

3) ความเสมอภาคแรก (ผลคูณเชิงตรรกะเท่ากับ 1) เป็นที่พอใจหากและเท่านั้นหาก และ ; จากนี้ไป (ผลรวมเชิงตรรกะเท่ากับศูนย์) ซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อ ; ดังนั้นเราจึงได้กำหนดตัวแปรไว้สามตัวแล้ว

4) จากเงื่อนไขที่สอง , สำหรับ และ เราได้รับ .

ทำซ้ำงาน

คำตอบ: 1,000

ระบุค่าของตัวแปรลอจิคัล P, Q, S, T ซึ่งนิพจน์โลจิคัล

(P ∨ ‚Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) เป็นเท็จ

เขียนคำตอบเป็นสตริงสี่อักขระ: ค่าของตัวแปร P, Q, S, T (ตามลำดับ)

คำอธิบาย.

(1) (P ∨ ฌQ) = 0

(2) (Q → (S ∨ T)) = 0

(1) (P ∨ ฌQ) = 0 => P = 0, Q = 1

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 ให้เราใช้การแปลงความหมาย:

ฌQ ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0

คำตอบ: 0100

ระบุค่าของตัวแปร K, L, M, N ที่เป็นนิพจน์เชิงตรรกะ

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ฌN

คำอธิบาย.

ตรรกะหรือเป็นเท็จหากทั้งสองคำสั่งเป็นเท็จ

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ฌN = 0

ลองใช้การแปลงความหมายสำหรับนิพจน์แรก:

ฌK ∨ M = 0 => K = 1, M = 0

พิจารณานิพจน์ที่สอง:

(L ∧ K) ∨ ‚N = 0 (ดูผลลัพธ์ของนิพจน์แรก) => L ∨ ñ = 0 => L = 0, N = 1

คำตอบ: 1001.

คำตอบ: 1001

ระบุค่าของตัวแปร K, L, M, N ที่เป็นนิพจน์เชิงตรรกะ

(K → M) ∧ (K → âM) ∧ (ฌK → (M ∧ ฌL ∧ N))

จริง. เขียนคำตอบของคุณเป็นสตริงสี่อักขระ: ค่าของตัวแปร K, L, M และ N (ตามลำดับ) ตัวอย่างเช่น บรรทัดที่ 1101 สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า K=1, L=1, M=0, N=1

คำอธิบาย.

ตรรกะ "AND" เป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้งสองข้อความเป็นจริงเท่านั้น

1) (K → M) = 1 ใช้การแปลงความหมาย: ‚K ∨ M = 1

2) (K → âM) = 1 ใช้การแปลงความหมาย: ‚K ∨ ‚M = 1

จะได้ว่า K = 0

3) (‚K → (M ∧ âL ∧ N)) = 1 ใช้การแปลงโดยนัย: K ∨ (M ∧ ‚L ∧ N) = 1 จากข้อเท็จจริงที่ว่า K = 0 ที่เราได้รับ:

M ∧ ฌL ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1

คำตอบ: 0011

เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับจำนวนเต็ม X, Y และ Z ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

(Z จะเท่ากับอะไรถ้า X=25 และ Y=48?

คำอธิบาย.

หลังจากแทนตัวเลขแล้ว เราจะได้ Z = 47

โปรดทราบว่าข้อความที่ซับซ้อนนี้ประกอบด้วยข้อความง่ายๆ สามข้อความ

1) (Z 2) คำสั่งง่าย ๆ เหล่านี้เชื่อมโยงกันด้วยการดำเนินการ ∧ (AND, การรวมกัน) นั่นคือจะต้องดำเนินการพร้อมกัน

3) จาก ฌ(Z+1 24 และจาก ฌ(Z+1 47

4) จาก (ZZ คำตอบ: 47.

คำตอบ: 47

A, B และ C เป็นจำนวนเต็มซึ่งมีข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

(C มีค่าของ C ถ้า A=45 และ B=18 เป็นเท่าใด?

คำอธิบาย.

ตรรกะ "AND" เป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้งสองข้อความเป็นจริงเท่านั้น

ลองแทนตัวเลขลงในนิพจน์:

1) (ค (ค 2) ฌ(ค+1, ค ≥ 44.

3) ฌ(ค+1, ค ≥ 17.

จาก 2) และ 1) ตามนั้น C

คำตอบ: 44

ฌ(A = B) ∧ ((BA)) ∧ ((A 2C))

ค่าของ A ถ้า C = 8 และ B = 18 คืออะไร?

คำอธิบาย.

ตรรกะ "AND" เป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้งสองข้อความเป็นจริงเท่านั้น

1) ฌ(A = B) = 1 นั่นคือ A ≠ 18 = 1

2) ((BA)) ใช้การแปลงความหมาย: (18 > A) ∨ (16 > A) = 1

3) (A 2C) ใช้การแปลงความหมาย: (A > 18) ∨ (A > 16) = 1

จาก 2) และ 3) เป็นไปตามนั้น (18 > A) และ (A > 16) เนื่องจากมิฉะนั้นจะเกิดความขัดแย้ง: A = 17

คำตอบ: 17

A, B และ C เป็นจำนวนเต็มที่ข้อความเป็นจริง

ฌ(A = B) ∧ ((A > B) → (C = B)) ∧ ((B > A) → (C = A))

ค่าของ B เป็นเท่าใดถ้า A = 45 และ C = 18?

คำอธิบาย.

ตรรกะ "AND" เป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความทั้งหมดเป็นจริง

คุณสามารถเลือกได้ วิธีต่างๆการแก้ระบบสมการเชิงตรรกะ นี่คือการลดลงเหลือเพียงสมการเดียว การสร้างตารางความจริง และการสลายตัว

งาน:แก้ระบบสมการตรรกะ:

ลองพิจารณาดู วิธีการลดให้เป็นสมการเดียว - วิธีนี้เป็นการแปลงสมการเชิงตรรกะเพื่อให้ด้านขวามือเท่ากับค่าความจริง (นั่นคือ 1) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้การดำเนินการปฏิเสธเชิงตรรกะ จากนั้น หากสมการมีการดำเนินการเชิงตรรกะที่ซับซ้อน เราจะแทนที่ด้วยการดำเนินการพื้นฐาน: "AND", "OR", "NOT" ขั้นตอนต่อไปคือการรวมสมการให้เป็นหนึ่งเดียว ซึ่งเทียบเท่ากับระบบ โดยใช้การดำเนินการเชิงตรรกะ "AND" หลังจากนี้คุณควรแปลงสมการผลลัพธ์ตามกฎของพีชคณิตเชิงตรรกะและรับ โซลูชั่นเฉพาะระบบ

โซลูชันที่ 1:ใช้การผกผันกับทั้งสองด้านของสมการแรก:

ลองจินตนาการถึงความหมายผ่านการดำเนินการพื้นฐาน "OR" และ "NOT":

เนื่องจากด้านซ้ายของสมการมีค่าเท่ากับ 1 เราจึงสามารถรวมพวกมันเข้าด้วยกันโดยใช้การดำเนินการ "AND" ให้เป็นสมการเดียวที่เทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม:

เราเปิดวงเล็บแรกตามกฎของ De Morgan และแปลงผลลัพธ์ที่ได้รับ:

สมการผลลัพธ์มีคำตอบเดียว: A =0, B=0 และ C=1

วิธีต่อไปก็คือ การสร้างตารางความจริง - เนื่องจากปริมาณตรรกะมีเพียงสองค่า คุณจึงสามารถดูตัวเลือกทั้งหมดและค้นหาค่าที่ตรงกับระบบสมการที่กำหนดได้ นั่นคือเรากำลังสร้างสิ่งหนึ่ง ตารางทั่วไปความจริงสำหรับสมการทั้งหมดของระบบและหาเส้นตรงที่มีค่าที่ต้องการ

โซลูชันที่ 2:มาสร้างตารางความจริงสำหรับระบบกัน:








0	0	1	1	0	1

บรรทัดที่ตรงตามเงื่อนไขของงานจะถูกเน้นด้วยตัวหนา ดังนั้น A=0, B=0 และ C=1

ทาง การสลายตัว - แนวคิดก็คือการแก้ไขค่าของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง (ตั้งค่าให้เท่ากับ 0 หรือ 1) และทำให้สมการง่ายขึ้น จากนั้นคุณสามารถแก้ไขค่าของตัวแปรตัวที่สองและอื่นๆ ได้

โซลูชันที่ 3:ให้ A = 0 แล้ว:

จากสมการแรกเราจะได้ B = 0 และจากสมการที่สอง - C = 1 คำตอบของระบบ: A = 0, B = 0 และ C = 1

ในการสอบ Unified State ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ มักจำเป็นมากในการกำหนดจำนวนคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะ โดยไม่ต้องหาคำตอบด้วยตนเอง แต่ก็มีวิธีการบางอย่างเช่นกัน วิธีหลักในการค้นหาจำนวนคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะคือการแทนที่ตัวแปร- ขั้นแรก คุณต้องลดความซับซ้อนของสมการแต่ละสมการให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ตามกฎของพีชคณิตเชิงตรรกะ จากนั้นจึงแทนที่ส่วนที่ซับซ้อนของสมการด้วยตัวแปรใหม่และกำหนดจำนวนวิธีแก้ ระบบใหม่- จากนั้น กลับไปที่การเปลี่ยนทดแทนและกำหนดจำนวนวิธีแก้ไขปัญหา

งาน:สมการ (A →B) + (C →D) = 1 มีกี่คำตอบ โดยที่ A, B, C, D เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ

สารละลาย:ขอแนะนำตัวแปรใหม่: X = A →B และ Y = C →D โดยคำนึงถึงใหม่ สมการตัวแปรจะเขียนอยู่ในรูป: X + Y = 1

การแตกแยกเป็นจริงในสามกรณี: (0;1), (1;0) และ (1;1) ในขณะที่ X และ Y มีความหมายโดยนัย กล่าวคือ เป็นจริงในสามกรณี และเป็นเท็จในกรณีเดียว ดังนั้น กรณี (0;1) จะสอดคล้องกับชุดพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้สามชุด กรณี (1;1) – จะสอดคล้องกับชุดพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้เก้าชุดของสมการดั้งเดิม รวมแล้ว แนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ของสมการนี้ 3+9=15

วิธีต่อไปในการกำหนดจำนวนคำตอบของระบบสมการตรรกะคือ ต้นไม้ไบนารี- ลองพิจารณาดู วิธีนี้ตามตัวอย่าง

งาน:ระบบสมการลอจิกมีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ:

ระบบสมการที่กำหนดนั้นเทียบเท่ากับสมการ:

(x 1 → x 2 )*(x 2 → x 3 )*…*(x ม -1 → x ม) = 1.

สมมุติว่า x 1 – เป็นจริง จากนั้นเราจะได้สมการแรกจากสมการแรก x 2 ก็จริงเช่นกันตั้งแต่วินาที - x 3 =1 และต่อๆ ไปจนกระทั่ง x ม= 1 ซึ่งหมายความว่าเซต (1; 1; …; 1) ของหน่วย m เป็นคำตอบของระบบ ปล่อยให้มันตอนนี้ x 1 =0 จากนั้นจากสมการแรกที่เรามี x 2 =0 หรือ x 2 =1.

เมื่อไร x 2 จริง เราพบว่าตัวแปรที่เหลือก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ เซต (0; 1; ...; 1) เป็นคำตอบของระบบ ที่ x 2 =0 เราเข้าใจแล้ว x 3 =0 หรือ x 3 = และอื่นๆ ดำเนินการต่อไปยังตัวแปรสุดท้าย เราพบว่าคำตอบของสมการคือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (โซลูชัน m +1 แต่ละโซลูชันมีค่า m ของตัวแปร):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

วิธีการนี้แสดงให้เห็นได้ดีโดยการสร้างต้นไม้ไบนารี จำนวนวิธีแก้ไขที่เป็นไปได้คือจำนวนกิ่งก้านที่แตกต่างกันของต้นไม้ที่สร้างขึ้น มันง่ายที่จะเห็นว่ามันเท่ากับ m +1

	ต้นไม้	จำนวนโซลูชั่น
x1
x2
x3
		…

ในกรณีที่เกิดปัญหาในการให้เหตุผล การวิจัยและการก่อสร้างของโซลูชันที่คุณสามารถค้นหาโซลูชันได้โดยใช้ ตารางความจริงสำหรับหนึ่งหรือสองสมการ

ลองเขียนระบบสมการใหม่ในรูปแบบ:

และมาสร้างตารางความจริงแยกกันสำหรับสมการเดียว:

x1	x2	(x 1 → x 2)

เรามาสร้างตารางความจริงสำหรับสองสมการกัน:

x1	x2	x3	x 1 → x 2	x 2 → x 3	(x 1 → x 2) (x 2 → x 3)*

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงตรรกะ

Kirgizova E.V., Nemkova A.E.

สถาบันสอนการสอน Lesosibirsk –

สาขามหาวิทยาลัยสหพันธ์ไซบีเรีย ประเทศรัสเซีย

ความสามารถในการคิดอย่างสม่ำเสมอ ให้เหตุผลอย่างน่าเชื่อถือ สร้างสมมติฐาน และหักล้างข้อสรุปเชิงลบไม่ได้เกิดขึ้นเอง ทักษะนี้ได้รับการพัฒนาโดยศาสตร์แห่งตรรกะ ตรรกะเป็นศาสตร์ที่ศึกษาวิธีการสร้างความจริงหรือเท็จของข้อความบางข้อความบนพื้นฐานของความจริงหรือเท็จของข้อความอื่นๆ

การเรียนรู้พื้นฐานของวิทยาศาสตร์นี้เป็นไปไม่ได้หากปราศจากการแก้ปัญหาเชิงตรรกะ การทดสอบการพัฒนาทักษะเพื่อนำความรู้ไปใช้ในสถานการณ์ใหม่นั้นดำเนินการผ่านการผ่าน โดยเฉพาะนี่คือความสามารถในการตัดสินใจ ปัญหาตรรกะ- งาน B15 ในการตรวจสอบ Unified State เป็นงานที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้นเนื่องจากมีระบบสมการตรรกะ มีหลายวิธีในการแก้ระบบสมการเชิงตรรกะ เช่น การลดลงเหลือเพียงสมการเดียว การสร้างตารางความจริง การสลายตัว การแก้สมการตามลำดับ ฯลฯ

งาน:แก้ระบบสมการตรรกะ:

ลองพิจารณาดู วิธีการลดให้เป็นสมการเดียว - วิธีนี้เป็นการแปลงสมการเชิงตรรกะเพื่อให้ด้านขวามือเท่ากับค่าความจริง (นั่นคือ 1) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้การดำเนินการปฏิเสธเชิงตรรกะ จากนั้น หากสมการมีการดำเนินการเชิงตรรกะที่ซับซ้อน เราจะแทนที่ด้วยการดำเนินการพื้นฐาน: "AND", "OR", "NOT" ขั้นตอนต่อไปคือการรวมสมการให้เป็นหนึ่งเดียว ซึ่งเทียบเท่ากับระบบ โดยใช้การดำเนินการเชิงตรรกะ "AND" หลังจากนี้ คุณควรแปลงสมการผลลัพธ์ตามกฎของพีชคณิตเชิงตรรกะและรับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของระบบ

โซลูชันที่ 1:ใช้การผกผันกับทั้งสองด้านของสมการแรก:

ลองจินตนาการถึงความหมายผ่านการดำเนินการพื้นฐาน "OR" และ "NOT":

เราเปิดวงเล็บแรกตามกฎของ De Morgan และแปลงผลลัพธ์ที่ได้รับ:

สมการผลลัพธ์มีวิธีแก้ปัญหาเดียว:ก= 0, B =0 และ C =1

วิธีต่อไปก็คือ การสร้างตารางความจริง - เนื่องจากปริมาณตรรกะมีเพียงสองค่า คุณจึงสามารถดูตัวเลือกทั้งหมดและค้นหาค่าที่ตรงกับระบบสมการที่กำหนดได้ นั่นคือเราสร้างตารางความจริงทั่วไปหนึ่งตารางสำหรับสมการทั้งหมดของระบบและค้นหาเส้นที่มีค่าที่ต้องการ

โซลูชันที่ 2:มาสร้างตารางความจริงสำหรับระบบกัน:








0	0	1	1	0	1

บรรทัดที่ตรงตามเงื่อนไขของงานจะถูกเน้นด้วยตัวหนา ดังนั้น A =0, B =0 และ C =1

ทาง การสลายตัว . แนวคิดก็คือการแก้ไขค่าของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง (ตั้งค่าให้เท่ากับ 0 หรือ 1) และทำให้สมการง่ายขึ้น จากนั้นคุณสามารถแก้ไขค่าของตัวแปรตัวที่สองและอื่นๆ ได้

โซลูชันที่ 3:อนุญาต A = 0 จากนั้น:

จากสมการแรกที่เราได้รับบี =0 และจากวินาที – C=1 คำตอบของระบบ: A = 0, B = 0 และ C = 1

คุณยังสามารถใช้วิธีนี้ได้ การแก้สมการตามลำดับ ในแต่ละขั้นตอนจะเพิ่มตัวแปรหนึ่งตัวให้กับชุดที่กำลังพิจารณา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องแปลงสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกป้อนตามลำดับตัวอักษร ต่อไป เราสร้างแผนผังการตัดสินใจ โดยเพิ่มตัวแปรเข้าไปตามลำดับ

สมการแรกของระบบขึ้นอยู่กับ A และ B เท่านั้น และสมการที่สองบน A และ C ตัวแปร A สามารถรับได้ 2 ค่า 0 และ 1:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น แล้วเมื่อไหร่ A = 0 และเราได้ B = 0 และสำหรับ A = 1 เรามี B = 1 ดังนั้น สมการแรกจึงมีคำตอบสองข้อที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร A และ B

ให้เราพรรณนาสมการที่สองซึ่งเรากำหนดค่าของ C สำหรับแต่ละตัวเลือก เมื่อ A =1 ความหมายจะเป็นเท็จไม่ได้ กล่าวคือ กิ่งที่สองของต้นไม้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ที่ก= 0 เราได้รับทางออกเดียวค= 1 :

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบของระบบ: A = 0, B = 0 และ C = 1

ในการสอบ Unified State ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ มักจำเป็นมากในการกำหนดจำนวนคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะ โดยไม่ต้องหาคำตอบด้วยตนเอง แต่ก็มีวิธีการบางอย่างเช่นกัน วิธีหลักในการค้นหาจำนวนคำตอบของระบบสมการเชิงตรรกะคือ การแทนที่ตัวแปร- ขั้นแรก คุณต้องทำให้แต่ละสมการง่ายขึ้นมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ตามกฎของพีชคณิตเชิงตรรกะ จากนั้นจึงแทนที่ส่วนที่ซับซ้อนของสมการด้วยตัวแปรใหม่ และกำหนดจำนวนคำตอบของระบบใหม่ จากนั้น กลับไปที่การเปลี่ยนทดแทนและกำหนดจำนวนวิธีแก้ไขปัญหา

งาน:สมการนี้มีคำตอบกี่ข้อ (ก → ข ) + (ค → ง ) = 1? โดยที่ A, B, C, D เป็นตัวแปรเชิงตรรกะ

สารละลาย:มาแนะนำตัวแปรใหม่กัน: X = A → B และ Y = C → D - เมื่อคำนึงถึงตัวแปรใหม่ สมการจะถูกเขียนเป็น: X + Y = 1

การแยกส่วนเป็นจริงในสามกรณี: (0;1), (1;0) และ (1;1) ในขณะที่ X และ Y เป็นนัยคือเป็นจริงในสามกรณีและเท็จในกรณีเดียว ดังนั้น กรณี (0;1) จะสอดคล้องกับชุดพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้สามชุด กรณี (1;1) – จะสอดคล้องกับชุดพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้เก้าชุดของสมการดั้งเดิม ซึ่งหมายความว่าผลรวมที่เป็นไปได้ของสมการนี้คือ 3+9=15

วิธีต่อไปในการกำหนดจำนวนคำตอบของระบบสมการตรรกะคือ ต้นไม้ไบนารี- ลองดูวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่าง

งาน:ระบบสมการตรรกะมีคำตอบที่แตกต่างกันกี่ข้อ:

ระบบสมการที่กำหนดนั้นเทียบเท่ากับสมการ:

( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( x ม -1 → x ม) = 1.

สมมุติว่าx 1 – เป็นจริง จากนั้นเราจะได้สมการแรกจากสมการแรกx 2 ก็จริงเช่นกันตั้งแต่วินาที -x 3 =1 และต่อๆ ไปจนกระทั่ง x ม= 1. ดังนั้นเซต (1; 1; …; 1) ของม หน่วยคือคำตอบของระบบ ปล่อยให้มันตอนนี้x 1 =0 จากนั้นจากสมการแรกที่เรามีx 2 =0 หรือ x 2 =1.

เมื่อไร x 2 จริง เราพบว่าตัวแปรที่เหลือก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ เซต (0; 1; ...; 1) เป็นคำตอบของระบบ ที่x 2 =0 เราเข้าใจแล้ว x 3 =0 หรือ x 3 = และอื่นๆ จากตัวแปรตัวสุดท้าย เราจะพบว่าคำตอบของสมการคือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (ม โซลูชัน +1 ในแต่ละโซลูชันม ค่าตัวแปร):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

ตัวแปร	ต้นไม้	จำนวนโซลูชั่น
x1
x2
x3

ในกรณีที่มีปัญหาในการให้เหตุผลและการสร้างแผนผังการตัดสินใจ คุณสามารถค้นหาวิธีแก้ไขได้โดยใช้ ตารางความจริงสำหรับหนึ่งหรือสองสมการ

ลองเขียนระบบสมการใหม่ในรูปแบบ:

และมาสร้างตารางความจริงแยกกันสำหรับสมการเดียว:

x1	x2	(x 1 → x 2)

เรามาสร้างตารางความจริงสำหรับสองสมการกัน:

x1	x2	x3	x 1 → x 2	x 2 → x 3	(x 1 → x 2) (x 2 → x 3)*

ต่อไป คุณจะเห็นว่าสมการหนึ่งเป็นจริงในสามกรณีต่อไปนี้: (0; 0), (0; 1), (1; 1) ระบบสองสมการเป็นจริงในสี่กรณี (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1) ในกรณีนี้เป็นที่ชัดเจนทันทีว่ามีวิธีแก้ปัญหาที่ประกอบด้วยศูนย์เท่านั้นและมากกว่านั้น มโซลูชันที่เพิ่มทีละหน่วย เริ่มจากตำแหน่งสุดท้ายจนกระทั่งเต็มทุกตำแหน่งที่เป็นไปได้ สามารถสันนิษฐานได้ว่าวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะมีรูปแบบเดียวกัน แต่สำหรับแนวทางดังกล่าวที่จะกลายเป็นวิธีแก้ปัญหา จำเป็นต้องมีการพิสูจน์ว่าสมมติฐานนั้นถูกต้อง

เพื่อสรุปทั้งหมดข้างต้น ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปยังความจริงที่ว่าวิธีการทั้งหมดที่กล่าวถึงนั้นไม่ใช่วิธีที่สากลทั้งหมด เมื่อแก้สมการเชิงตรรกะแต่ละระบบ เราควรคำนึงถึงคุณลักษณะต่างๆ ของระบบด้วย โดยพิจารณาจากวิธีการแก้ปัญหาที่เลือก

วรรณกรรม:

1. ปัญหาเชิงตรรกะ / อ.บ. โบโกโมลอฟ – ฉบับที่ 2 – ม.: บินอม. ห้องปฏิบัติการความรู้, 2549. – 271 หน้า: ป่วย.

2. Polyakov K.Yu. ระบบสมการตรรกะ / หนังสือพิมพ์การศึกษาและระเบียบวิธีสำหรับครูวิทยาการคอมพิวเตอร์: สารสนเทศ ฉบับที่ 14, 2554.

การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งการกีฬา มนุษย์ใช้สมการในสมัยโบราณ และตั้งแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น ในทางคณิตศาสตร์ มีปัญหาบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับตรรกะเชิงประพจน์ ในการแก้สมการประเภทนี้ คุณต้องมีความรู้จำนวนหนึ่ง ได้แก่ ความรู้เกี่ยวกับกฎของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ความรู้เกี่ยวกับตารางความจริงของฟังก์ชันเชิงตรรกะของตัวแปร 1 หรือ 2 ตัว วิธีการแปลงนิพจน์เชิงตรรกะ นอกจากนี้ คุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของการดำเนินการเชิงตรรกะดังต่อไปนี้: การร่วม การแตกแยก การผกผัน การอนุมาน และความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันเชิงตรรกะใดๆ ของ \variables - \can สามารถระบุได้ด้วยตารางความจริง

ลองแก้สมการเชิงตรรกะหลายสมการ:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\ขวาฉมวกดาวน์ X9\vee X10=1\]

มาเริ่มวิธีแก้ปัญหาด้วย \[X1\] และพิจารณาว่าตัวแปรนี้สามารถรับค่าใดได้: 0 และ 1 ต่อไป เราจะพิจารณาแต่ละค่าข้างต้นและดูว่า \[X2.\] เป็นค่าใดได้บ้าง

ดังที่เห็นได้จากตารางของเรา สมการเชิงตรรกะมี 11 โซลูชั่น

ฉันจะแก้สมการตรรกะออนไลน์ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการได้บนเว็บไซต์ของเรา https://site. ฟรี แก้ปัญหาออนไลน์จะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ที่ซับซ้อนได้ภายในไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงป้อนข้อมูลของคุณลงในตัวแก้ปัญหา คุณยังสามารถชมวิดีโอคำแนะนำและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณยังมีคำถาม คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม VKontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีช่วยเหลือคุณเสมอ