การค้นหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขตั้งแต่ 3 จำนวนขึ้นไปสามารถลดเหลือเป็นการค้นหา gcd ของตัวเลข 2 จำนวนตามลำดับได้ เรากล่าวถึงสิ่งนี้เมื่อศึกษาคุณสมบัติของ GCD ที่นั่นเราได้กำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบท: ใหญ่ที่สุด ตัวหารร่วมตัวเลขหลายตัว ก 1 , 2 , … , หรือเค เท่ากับจำนวน ดีเคซึ่งพบได้โดยการคำนวณตามลำดับ GCD(ก 1 , ก 2)=ง 2, GCD(วัน 2 , ก 3)=ง 3, GCD(วัน 3 , ก 4)=ง 4, …,GCD(d k-1 , หรือ k)=d k.
เรามาดูกันว่ากระบวนการค้นหา gcd ของตัวเลขหลายๆ ตัวจะเป็นอย่างไรโดยดูจากคำตอบของตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
หาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสี่ตัว 78 , 294 , 570 และ 36 .
สารละลาย.
ในตัวอย่างนี้ ก 1 = 78, ก 2 = 294, ก 3 = 570, ก 4 =36.
ขั้นแรก โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด เราจะหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด วันที่ 2ตัวเลขสองตัวแรก 78 และ 294 - เมื่อหารเราจะได้ความเท่าเทียมกัน 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6และ 18=6·3- ดังนั้น, วัน 2 =GCD(78, 294)=6.
ตอนนี้เรามาคำนวณกัน วัน 3 =GCD(วัน 2, 3)=GCD(6, 570)- ลองใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดอีกครั้ง: 570=6·95, เพราะฉะนั้น, วัน 3 =GCD(6, 570)=6.
มันยังคงคำนวณ วัน 4 =GCD(วัน 3, ก 4)=GCD(6, 36)- เพราะ 36 หารด้วย 6 , ที่ วัน 4 =GCD(6, 36)=6.
ดังนั้น ตัวหารร่วมมากของตัวเลขทั้ง 4 ตัวจึงมีค่าเท่ากับ วัน 4 = 6นั่นคือ GCD(78, 294, 570, 36)=6.
คำตอบ:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
การแยกตัวประกอบตัวเลขเข้ากับตัวประกอบเฉพาะยังทำให้คุณสามารถคำนวณ gcd ของตัวเลขตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไปได้ ในกรณีนี้ ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดจะพบว่าเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะร่วมทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด
ตัวอย่าง.
คำนวณ gcd ของตัวเลขจากตัวอย่างที่แล้วโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ
สารละลาย.
มาแจกแจงตัวเลขกันดีกว่า 78 , 294 , 570 และ 36 จากปัจจัยเฉพาะ เราได้ 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3- ตัวประกอบเฉพาะร่วมของตัวเลขทั้งสี่ที่กำหนดคือตัวเลข 2 และ 3 - เพราะฉะนั้น, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
คำตอบ:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
ด้านบนของหน้า
การค้นหา GCD ของจำนวนลบ
ถ้าเป็นตัวเลขตัวเดียวหรือหลายจำนวน ตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดซึ่งต้องหาเป็นจำนวนลบ แล้ว gcd ของพวกมันจะเท่ากับตัวหารร่วมมากของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าตัวเลขตรงข้ามกัน กและ −กมีตัวหารเหมือนกันดังที่เราได้คุยกันเมื่อศึกษาคุณสมบัติของการหารลงตัว
ตัวอย่าง.
ค้นหา gcd ของจำนวนเต็มลบ −231 และ −140 .
สารละลาย.
โมดูลัสจำนวน −231 เท่ากับ 231 และโมดูลัสของจำนวน −140 เท่ากับ 140 , และ GCD(−231, −140)=GCD(231, 140)- อัลกอริธึมแบบยุคลิดให้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7และ 42=7 6- เพราะฉะนั้น, GCD(231, 140)=7- แล้วตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนลบที่ต้องการคือ −231 และ −140 เท่ากับ 7 .
คำตอบ:
GCD(−231, −140)=7.
ตัวอย่าง.
กำหนด gcd ของตัวเลขสามตัว −585 , 81 และ −189 .
สารละลาย.
เมื่อค้นหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด จำนวนลบสามารถแทนที่ด้วยค่าสัมบูรณ์ได้ กล่าวคือ GCD(−585, 81, −189)=GCD(585, 81, 189)- การขยายจำนวน 585 , 81 และ 189 เป็นปัจจัยสำคัญมีรูปแบบ 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3และ 189=3·3·3·7- ตัวประกอบเฉพาะร่วมของตัวเลขทั้งสามตัวนี้คือ 3 และ 3 - แล้ว GCD(585, 81, 189)=3·3=9, เพราะฉะนั้น, GCD(−585, 81, −189)=9.
คำตอบ:
GCD(−585, 81, −189)=9.
35. รากของพหุนาม ทฤษฎีบทของเบซูต์ (33 ขึ้นไป)
36. หลายราก เกณฑ์สำหรับหลายราก
สัญญาณของการแบ่งแยก ตัวเลขธรรมชาติ.
เรียกตัวเลขที่หารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษสม่ำเสมอ .
เรียกว่าตัวเลขที่หารด้วย 2 ลงตัวไม่เท่ากันแปลก .
ทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว
ถ้าจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยเลขคู่ ตัวเลขนี้จะหารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษ และถ้าตัวเลขลงท้ายด้วยเลขคี่ ตัวเลขนี้จะหารด้วย 2 ไม่เท่ากัน
เช่น เลข 60 , 30 8 , 8 4 หารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษ และตัวเลขคือ 51 , 8 5 , 16 7 หารด้วย 2 ลงตัวไม่เหลือเศษ.
ทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว
หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 3 ลงตัว ถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ไม่ลงตัว แสดงว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 3 ไม่ลงตัว
ตัวอย่างเช่น ลองหาว่าตัวเลข 2772825 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ โดยลองคำนวณผลรวมของตัวเลข: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 2772825 หารด้วย 3 ลงตัว
การทดสอบการหารลงตัวด้วย 5
หากบันทึกของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยเลข 0 หรือ 5 ตัวเลขนี้จะหารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษ
เช่น เลข 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 หารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษ และมีตัวเลขเป็น 17 , 37 8 , 9 1 อย่าแบ่งปัน
การทดสอบการหารด้วย 9 ลงตัว
หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว แสดงว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 9 ลงตัว ถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ไม่ลงตัว แสดงว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 9 ไม่ลงตัว
ตัวอย่างเช่น ลองดูว่าตัวเลข 5402070 หารด้วย 9 ลงตัวหรือไม่ โดยลองคำนวณผลรวมของตัวเลข: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - หารด้วย 9 ไม่ลงตัว ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 5402070 หารด้วย 9 ไม่ลงตัว
การทดสอบการหารลงตัวด้วย 10
ถ้าจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยเลข 0 ตัวเลขนี้จะหารด้วย 10 ลงตัวโดยไม่มีเศษ ถ้าจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยตัวเลขอีกหลักหนึ่ง จะหารด้วย 10 ไม่เท่ากัน
เช่น เลข 40 , 17 0 , 1409 0 หารด้วย 10 ลงตัวไม่มีเศษ และเลข 17 , 9 3 , 1430 7 - อย่าแชร์
กฎการหาตัวหารร่วมมาก (GCD)
หากต้องการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนธรรมชาติหลายจำนวน คุณต้อง:
2) จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายของตัวเลขใดจำนวนหนึ่งเหล่านี้ ให้ขีดฆ่าปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายของตัวเลขอื่น
3) ค้นหาผลคูณของปัจจัยที่เหลือ
ตัวอย่าง. ลองหา GCD (48;36) ลองใช้กฎกันดู
1. ลองแยกตัวเลข 48 และ 36 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายหมายเลข 48 เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลข 36
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
ตัวประกอบที่เหลือคือ 2, 2 และ 3
3. คูณตัวประกอบที่เหลือแล้วได้ 12 ตัวเลขนี้คือตัวหารร่วมมากของตัวเลข 48 และ 36
จีซีดี (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
กฎสำหรับการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM)
หากต้องการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนธรรมชาติหลายจำนวน คุณต้อง:
1) แยกปัจจัยเหล่านั้นออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
2) เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง
3) เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายตัวเลขที่เหลือ
4) ค้นหาผลคูณของปัจจัยผลลัพธ์
ตัวอย่าง.มาหา LOC กัน (75;60) ลองใช้กฎกันดู
1. ลองแยกตัวเลข 75 และ 60 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. มาเขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายจำนวน 75: 3, 5, 5 กัน
ล.ซม.(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายหมายเลข 60 เช่น 2, 2.
ล.ซม.(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. ค้นหาผลคูณของปัจจัยผลลัพธ์
ล.ซม.(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
กลับไปข้างหน้า
ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของงานนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม
นักเรียนระดับมัธยมศึกษาจะต้องเผชิญกับแนวคิดเรื่องตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 หัวข้อนี้เข้าใจยากเสมอ เด็กๆ มักจะสับสนกับแนวคิดเหล่านี้และไม่เข้าใจว่าทำไมจึงต้องศึกษาพวกเขา ใน เมื่อเร็วๆ นี้และในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ยอดนิยม มีข้อความแต่ละฉบับว่าเนื้อหานี้ควรถูกแยกออกจากหลักสูตรของโรงเรียน ฉันคิดว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริงทั้งหมดและจำเป็นต้องศึกษาหากไม่ได้อยู่ในชั้นเรียนในช่วงเวลานอกหลักสูตรระหว่างชั้นเรียนในโรงเรียนเนื่องจากมีส่วนช่วยในการพัฒนาการคิดเชิงตรรกะในเด็กนักเรียนเพิ่มความเร็วในการดำเนินการคำนวณ และความสามารถในการแก้ไขปัญหาด้วยวิธีที่สวยงาม
เมื่อศึกษาหัวข้อ "การบวกและการลบเศษส่วนด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกัน“เราสอนให้เด็กๆ หาตัวส่วนร่วมของตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไป เช่น ต้องบวกเศษส่วน 1/3 และ 1/5 นักเรียนสามารถหาตัวเลขที่หารด้วย 3 และ 5 ลงตัวได้ง่ายๆ โดยไม่มีเศษเหลืออยู่ นี่ คือเลข 15 แน่นอนว่าถ้าตัวเลขน้อยก็หาตัวส่วนร่วมได้ง่ายถ้ารู้จักตารางสูตรคูณดี เด็กคนหนึ่งสังเกตเห็นว่าตัวเลขนี้เป็นผลคูณของเลข 3 และ 5 เด็ก ๆ มี ความเห็นที่ว่าสามารถหาตัวส่วนร่วมของตัวเลขได้เสมอ เช่น ลบเศษส่วน 7/ 18 และ 5/24 ให้เราหาผลคูณของตัวเลข 18 และ 24 ซึ่งจะเท่ากับ 432 . เราได้รับมันแล้ว. จำนวนมากและหากคุณจำเป็นต้องทำการคำนวณเพิ่มเติม (โดยเฉพาะตัวอย่างสำหรับการดำเนินการทั้งหมด) โอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดก็จะเพิ่มขึ้น แต่ค่าตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ที่พบ ซึ่งในกรณีนี้เทียบเท่ากับตัวส่วนร่วมน้อย (LCD) นั่นคือ 72 จะช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณอย่างมาก และนำไปสู่วิธีแก้ปัญหาที่รวดเร็วกว่าสำหรับตัวอย่าง และด้วยเหตุนี้จึงช่วยประหยัดค่า เวลาที่จัดสรรไว้สำหรับการทำงานนี้ให้เสร็จสิ้นซึ่งมีบทบาทสำคัญในการทำการทดสอบขั้นสุดท้ายให้เสร็จสิ้น การทดสอบโดยเฉพาะในระหว่างการประเมินขั้นสุดท้าย
เมื่อศึกษาหัวข้อ “การลดเศษส่วน” คุณสามารถเคลื่อนที่ตามลำดับได้โดยการหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน โดยใช้เครื่องหมายของการหารตัวเลขลงตัว จนได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ในที่สุด เช่น คุณต้องลดเศษส่วน 128/344 ขั้นแรก หารเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยเลข 2 เราจะได้เศษส่วน 64/172 อีกครั้ง หารเศษและส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ด้วย 2 เราจะได้เศษส่วน 32/86 หารเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 2 อีกครั้ง เราจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ 16/43 แต่การลดเศษส่วนสามารถทำได้ง่ายกว่ามากหากเราหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 128 และ 344 ได้ GCD(128, 344) = 8 การหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ เราจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ทันที .
ต้องแสดงให้เด็กๆดู. วิธีการที่แตกต่างกันการหาตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข ในกรณีง่าย ๆ สะดวกในการค้นหาตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCD) ของตัวเลขโดยการแจงนับแบบง่าย เมื่อตัวเลขมากขึ้น คุณสามารถใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะได้ หนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 (ผู้เขียน N.Ya. Vilenkin) แสดงวิธีการต่อไปนี้ในการค้นหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลข ลองแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
จากนั้น จากปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายของตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง เราจะขีดฆ่าปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายของตัวเลขอีกจำนวนหนึ่ง ผลคูณของตัวประกอบที่เหลือจะเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลขเหล่านี้ ในกรณีนี้ นี่คือเลข 8 จากประสบการณ์ของฉันเอง ฉันเชื่อว่าเด็กๆ จะชัดเจนมากขึ้นหากเราขีดเส้นใต้ปัจจัยเดียวกันในการสลายตัวของตัวเลข แล้วในการสลายตัวครั้งหนึ่ง เราพบผลคูณของ ปัจจัยที่ขีดเส้นใต้ นี่คือตัวหารร่วมมากของจำนวนเหล่านี้ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 เด็กๆ มีความกระตือรือร้นและอยากรู้อยากเห็น คุณสามารถกำหนดภารกิจต่อไปนี้ได้: ลองใช้วิธีที่อธิบายไว้เพื่อค้นหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 343 และ 287 ยังไม่ทราบแน่ชัดว่าจะแยกตัวประกอบเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้อย่างไร และที่นี่ คุณสามารถเล่าให้พวกเขาฟังเกี่ยวกับวิธีการอันมหัศจรรย์ที่ชาวกรีกโบราณคิดค้นขึ้น ซึ่งช่วยให้คุณสามารถค้นหาตัวหารร่วมมาก (GCD) โดยไม่ต้องแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ วิธีการหาตัวหารร่วมมากนี้มีอธิบายไว้ครั้งแรกในองค์ประกอบของยุคลิด มันถูกเรียกว่าอัลกอริทึมแบบยุคลิด ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้ ขั้นแรก ให้หารจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่น้อยกว่า ถ้าได้เศษมาให้หารจำนวนที่น้อยกว่าด้วยเศษ ถ้าได้เศษมาอีก ให้นำเศษแรกมาหารด้วยวินาที หารต่อด้วยวิธีนี้จนกว่าเศษที่เหลือจะเป็นศูนย์ ตัวหารสุดท้ายคือตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลขเหล่านี้
กลับมาที่ตัวอย่างของเรา และเพื่อความชัดเจน ให้เขียนคำตอบในรูปแบบของตาราง
| เงินปันผล | ตัวแบ่ง | ส่วนตัว | ที่เหลือ |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
ดังนั้น gcd(344,287) = 7
จะค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลขเดียวกันได้อย่างไร? มีวิธีใดบ้างที่ไม่จำเป็นต้องแยกตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะก่อน? ปรากฎว่ามี และเป็นเรื่องง่ายมากในนั้น เราจำเป็นต้องคูณตัวเลขเหล่านี้และหารผลคูณด้วยตัวหารร่วมมาก (GCD) ที่เราพบ ในตัวอย่างนี้ ผลคูณของตัวเลขคือ 98441 หารด้วย 7 แล้วได้ตัวเลข 14063 LCM(343,287) = 14063
หัวข้อที่ยากอย่างหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์คือการแก้โจทย์ปัญหาคำศัพท์ เราจำเป็นต้องแสดงให้นักเรียนเห็นว่าแนวคิดของตัวหารร่วมมาก (GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (LCM) สามารถใช้แก้ปัญหาที่บางครั้งแก้ไขได้ยากด้วยวิธีปกติได้อย่างไร เป็นการเหมาะสมที่จะพิจารณาร่วมกับนักเรียนพร้อมกับงานที่เสนอโดยผู้เขียนตำราเรียนของโรงเรียนโบราณและ งานบันเทิงพัฒนาความอยากรู้อยากเห็นของเด็กและเพิ่มความสนใจในการศึกษาหัวข้อนี้ การเรียนรู้แนวคิดเหล่านี้อย่างมีทักษะช่วยให้นักเรียนมองเห็นวิธีแก้ปัญหาที่สวยงามสำหรับปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน และหากเด็กมีอารมณ์เพิ่มขึ้นหลังจากแก้ไขปัญหาได้ดี นี่ถือเป็นสัญญาณของความสำเร็จในการทำงาน
ดังนั้นการเรียนในโรงเรียนจึงมีแนวคิดเรื่อง “ตัวหารร่วมมาก (GCD)” และ “ตัวคูณร่วมน้อย (LCD)” ของตัวเลข
ช่วยให้คุณประหยัดเวลาที่กำหนดในการทำงานให้เสร็จสิ้นซึ่งนำไปสู่การเพิ่มขึ้นอย่างมากในปริมาณงานที่เสร็จสมบูรณ์
เพิ่มความเร็วและความแม่นยำในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งนำไปสู่การลดจำนวนข้อผิดพลาดในการคำนวณลงอย่างมาก
ช่วยให้คุณค้นหาวิธีที่สวยงามในการแก้ปัญหาข้อความที่ไม่ได้มาตรฐาน
พัฒนาความอยากรู้อยากเห็นของนักเรียน ขยายขอบเขตอันไกลโพ้นของพวกเขา
สร้างข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการศึกษาบุคลิกภาพเชิงสร้างสรรค์ที่หลากหลาย
ตัวหารหลายตัว
ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: ค้นหาตัวหารของตัวเลข 140 แน่นอนว่าตัวเลข 140 ไม่มีตัวหารเพียงตัวเดียวแต่มีหลายตัว ในกรณีเช่นนี้มีการกล่าวถึงปัญหา มากมายการตัดสินใจ มาหาพวกเขาทั้งหมดกันเถอะ ก่อนอื่นมาย่อยสลายกันก่อน หมายเลขที่กำหนดเป็นปัจจัยสำคัญ:
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
ตอนนี้เราสามารถเขียนตัวหารทั้งหมดได้อย่างง่ายดาย. เริ่มจากปัจจัยหลักกันก่อน นั่นคือปัจจัยที่มีอยู่ในส่วนขยายที่ระบุข้างต้น:
จากนั้นเราเขียนสิ่งที่ได้จากการคูณตัวหารเฉพาะเป็นคู่:
2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.
จากนั้น - ตัวที่มีตัวหารเฉพาะสามตัว:
2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.
สุดท้ายนี้ อย่าลืมหน่วยและจำนวนที่สลายตัวด้วย:
ตัวหารทั้งหมดที่เราพบมีรูปแบบ มากมายตัวหารของตัวเลข 140 ซึ่งเขียนด้วยเครื่องหมายปีกกา:
เซตตัวหารของตัวเลข 140 =
{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
เพื่อความสะดวกในการรับรู้ เราได้เขียนตัวหารไว้ที่นี่ ( องค์ประกอบของชุด) ตามลำดับจากน้อยไปหามาก แต่โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้ไม่จำเป็น นอกจากนี้เรายังแนะนำตัวย่อ แทนที่จะเขียนว่า “เซตตัวหารของตัวเลข 140” เราจะเขียนเป็น “D(140)” ดังนั้น,
ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถค้นหาเซตตัวหารของจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ได้ เช่นจากการย่อยสลาย
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
เราได้รับ:
ง(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105)
จากเซตของตัวหารทั้งหมด ควรแยกเซตของตัวหารอย่างง่าย ซึ่งสำหรับตัวเลข 140 และ 105 จะเท่ากันตามลำดับ:
PD(140) = (2, 5, 7)
PD(105) = (3, 5, 7)
ควรเน้นเป็นพิเศษว่าในการสลายตัวของจำนวน 140 ไปเป็นตัวประกอบเฉพาะ ทั้งสองจะปรากฏขึ้นสองครั้ง ในขณะที่ในชุด PD(140) มีเพียงตัวเดียวเท่านั้น โดยพื้นฐานแล้ว เซตของ PD(140) คือคำตอบของปัญหาทั้งหมด: “จงหาตัวประกอบเฉพาะของจำนวน 140” เป็นที่ชัดเจนว่าไม่ควรตอบคำตอบเดียวกันซ้ำมากกว่าหนึ่งครั้ง
การลดเศษส่วน ตัวหารร่วมมาก
พิจารณาเศษส่วน
เรารู้ว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ด้วยตัวเลขที่เป็นทั้งตัวหารของตัวเศษ (105) และตัวหารของตัวส่วน (140) ลองดูเซต D(105) และ D(140) แล้วเขียนลงไป องค์ประกอบทั่วไป.
ง(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);
ด(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140)
องค์ประกอบทั่วไปของเซต D(105) และ D(140) =
ความเสมอภาคสุดท้ายสามารถเขียนให้สั้นลงได้ กล่าวคือ:
ง(105) ∩ ง(140) = (1, 5, 7, 35)
ไอคอนพิเศษ “∩” (“กระเป๋าที่มีรูอยู่ด้านล่าง”) แสดงถึงกระเป๋าทั้งสองชุดที่เขียนตาม ด้านที่แตกต่างกันจากนั้นคุณจะต้องเลือกเฉพาะองค์ประกอบทั่วไปเท่านั้น รายการ “D(105) ∩ D(140)” อ่านว่า “ จุดตัดชุดของ De จาก 105 และ De จาก 140”
[หมายเหตุตลอดทางว่าคุณสามารถดำเนินการไบนารี่ต่างๆ ด้วยเซตได้ เกือบจะเหมือนกับตัวเลข การดำเนินการไบนารีทั่วไปอีกอย่างหนึ่งคือ สมาคมซึ่งระบุด้วยไอคอน “∪” (“กระเป๋าโดยหงายรูขึ้น”) การรวมกันของสองชุดประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของทั้งสองชุด:
PD(105) = (3, 5, 7);
PD(140) = (2, 5, 7);
พีดี(105) ∪ พีดี(140) = (2, 3, 5, 7) -
เราจึงพบว่าเศษส่วน
สามารถลดจำนวนลงด้วยตัวเลขใดๆ ที่อยู่ในเซตได้
ง(105) ∩ ง(140) = (1, 5, 7, 35)
และไม่สามารถลดลงเป็นจำนวนธรรมชาติอื่นได้ นั่นคือทั้งหมดที่ วิธีที่เป็นไปได้คำย่อ (ยกเว้นคำย่อที่ไม่น่าสนใจโดยหนึ่ง):
แน่นอนว่า วิธีที่ดีที่สุดคือการลดเศษส่วนด้วยจำนวนที่มีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ใน ในกรณีนี้นี่คือหมายเลข 35 ที่พวกเขาบอกว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก (จีซีดี) หมายเลข 105 และ 140 เขียนว่า
GCD(105, 140) = 35.
อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ หากเราได้รับตัวเลขสองตัวและต้องการหาตัวหารร่วมมากของพวกมัน เราไม่ควรสร้างเซตใดๆ เลย ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวเลขทั้งสองออกเป็นปัจจัยเฉพาะและเน้นปัจจัยเหล่านี้ซึ่งพบได้ทั่วไปในการสลายตัวทั้งสอง เช่น:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
การคูณตัวเลขที่ขีดเส้นใต้ (ในส่วนขยายใดๆ) เราจะได้:
gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.
แน่นอนว่าอาจมีปัจจัยที่ขีดเส้นใต้ไว้มากกว่า 2 ปัจจัย:
168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;
396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.
จากนี้ก็ชัดเจนว่า
gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
สถานการณ์นี้สมควรได้รับการกล่าวถึงเป็นพิเศษเมื่อไม่มีปัจจัยร่วมกันเลยและไม่มีอะไรต้องเน้น เช่น:
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;
ในกรณีนี้
GCD(42, 55) = 1.
เรียกจำนวนธรรมชาติสองตัวที่ GCD เท่ากับหนึ่ง สำคัญซึ่งกันและกัน- หากคุณสร้างเศษส่วนจากตัวเลขดังกล่าว เช่น
แล้วเศษส่วนนั้นก็คือ ลดไม่ได้.
โดยทั่วไป กฎการลดเศษส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้:
|
ก/ gcd( ก, ข) |
|||
|
ข/ gcd( ก, ข) |
นี่ก็สันนิษฐานว่า กและ ขเป็นจำนวนธรรมชาติ และเศษส่วนทั้งหมดเป็นบวก หากตอนนี้เราเพิ่มเครื่องหมายลบทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน เราจะได้กฎที่สอดคล้องกันสำหรับเศษส่วนลบ
การบวกและการลบเศษส่วน ตัวคูณร่วมน้อย
สมมติว่าคุณต้องคำนวณผลรวมของเศษส่วนสองส่วน:
เรารู้แล้วว่าตัวส่วนถูกแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะอย่างไร:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
จากการสลายตัวนี้จะตามมาทันทีเพื่อที่จะนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม ก็เพียงพอที่จะคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกด้วย 2 ∙ 2 (ผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่ไม่เน้นของตัวส่วนที่สอง) และ ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่สองด้วย 3 (“ผลคูณ” ตัวประกอบเฉพาะที่ไม่เน้นความเครียดของตัวส่วนแรก) เป็นผลให้ตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองจะเท่ากับตัวเลขซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้:
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.
จะสังเกตได้ง่ายว่าทั้งตัวส่วนดั้งเดิม (ทั้ง 105 และ 140) เป็นตัวหารของตัวเลข 420 และตัวเลข 420 ก็เป็นจำนวนทวีคูณของตัวส่วนทั้งสอง - และไม่ใช่แค่ตัวคูณเท่านั้น ตัวคูณร่วมน้อย (NOC) หมายเลข 105 และ 140 เขียนดังนี้:
ล.ซม.(105, 140) = 420.
เมื่อพิจารณาการสลายตัวของตัวเลข 105 และ 140 ให้ละเอียดยิ่งขึ้น เราจะเห็นเช่นนั้น
105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140)
ในทำนองเดียวกัน สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ขและ ง:
ข ∙ ง= ล็อค( ข, ง) ∙ GCD( ข, ง).
ทีนี้มาสรุปผลรวมเศษส่วนของเรากัน:
|
3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 |
|
บันทึก.ในการแก้ปัญหาบางอย่าง คุณต้องรู้ว่ากำลังสองของตัวเลขคืออะไร ยกกำลังสองตัวเลข กหมายเลขที่เรียก กคูณด้วยตัวมันเองนั่นคือ ก∙ก- (ตามที่สังเกตง่ายจะเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง ก). |
