ฟังก์ชันเชิงเส้นและมัน จีไอเอ ฟังก์ชันกำลังสอง

คำแนะนำ

หากกราฟเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัดและสร้างมุม α ด้วยแกน OX (มุมเอียงของเส้นตรงถึง OX ครึ่งแกนบวก) ฟังก์ชันที่อธิบายบรรทัดนี้จะมีรูปแบบ y = kx ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน k เท่ากับ tan α ถ้าเส้นตรงผ่านพิกัดควอเตอร์ที่ 2 และ 4 แล้ว k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 และฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ปล่อยให้มันแสดงเส้นตรงที่อยู่ในรูปแบบต่างๆ ที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด นี่คือฟังก์ชันเชิงเส้นและมีรูปแบบ y = kx + b โดยที่ตัวแปร x และ y อยู่ในกำลังแรก และ k และ b สามารถเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ ค่าลบหรือเท่ากับศูนย์ เส้นตรงขนานกับเส้น y = kx และตัดที่แกน |b| หน่วย ถ้าเส้นตรงขนานกับแกนแอบซิสซา ดังนั้น k = 0 ถ้าเป็นแกนพิกัด สมการจะมีรูปแบบ x = const

เส้นโค้งที่ประกอบด้วยสองกิ่งที่ตั้งอยู่ในไตรมาสที่ต่างกันและสมมาตรสัมพันธ์กับจุดกำเนิดของพิกัดคือไฮเปอร์โบลา กราฟนี้คือการพึ่งพาแบบผกผันของตัวแปร y บน x และอธิบายได้ด้วยสมการ y = k/x โดยที่ k ≠ 0 คือสัมประสิทธิ์สัดส่วน ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า k > 0 ฟังก์ชันจะลดลง ถ้าเค< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

ฟังก์ชันกำลังสองมีรูปแบบ y = ax2 + bx + c โดยที่ a, b และ c เป็นปริมาณคงที่ และ a  0 เมื่อตรงตามเงื่อนไข b = c = 0 สมการของฟังก์ชันจะดูเหมือน y = ax2 (กรณีที่ง่ายที่สุด ) และกราฟของมันคือพาราโบลาที่ผ่านจุดกำเนิด กราฟของฟังก์ชัน y = ax2 + bx + c มีรูปร่างเหมือนกับกรณีที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชัน แต่จุดยอด (จุดตัดกับแกน OY) ไม่ได้อยู่ที่จุดกำเนิด

กราฟก็เป็นพาราโบลาเช่นกัน ฟังก์ชั่นพลังงานแสดงโดยสมการ y = xⁿ ถ้า n เป็นค่าใดๆ เลขคู่- ถ้า n เป็นเลขคี่ กราฟของฟังก์ชันยกกำลังจะมีลักษณะเหมือนลูกบาศก์พาราโบลา
ถ้า n เป็นค่าใดๆ สมการของฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ กราฟของฟังก์ชันสำหรับเลขคี่ n จะเป็นไฮเปอร์โบลา และสำหรับเลขคู่ n กิ่งก้านของพวกมันจะสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนสหกรณ์

แม้แต่ในปีการศึกษา ฟังก์ชันต่างๆ ก็ยังได้รับการศึกษาอย่างละเอียดและสร้างกราฟขึ้นมา แต่น่าเสียดายที่พวกเขาไม่ได้สอนวิธีอ่านกราฟของฟังก์ชันและค้นหาประเภทของฟังก์ชันจากภาพวาดที่นำเสนอในทางปฏิบัติ จริงๆ แล้วมันจะค่อนข้างง่ายหากคุณจำประเภทฟังก์ชันพื้นฐานได้

คำแนะนำ

หากกราฟที่นำเสนอคือ ซึ่งผ่านจุดกำเนิดของพิกัดและด้วยแกน OX มุม α (ซึ่งเป็นมุมเอียงของเส้นตรงถึงกึ่งแกนบวก) จากนั้นฟังก์ชันที่อธิบายเส้นตรงดังกล่าวจะเป็น แสดงเป็น y = kx ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน k เท่ากับแทนเจนต์ของมุม α

หากเส้นที่กำหนดผ่านควอเตอร์พิกัดที่สองและสี่ ดังนั้น k จะเท่ากับ 0 และฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น ให้กราฟที่นำเสนอเป็นเส้นตรงที่อยู่ในตำแหน่งใด ๆ สัมพันธ์กับแกนพิกัด แล้วหน้าที่ดังกล่าว กราฟิกจะเป็นเส้นตรงซึ่งแสดงด้วยรูปแบบ y = kx + b โดยที่ตัวแปร y และ x อยู่ในตัวแรก และ b และ k สามารถใช้ทั้งค่าลบและ ค่าบวกหรือ .

หากเส้นตรงขนานกับเส้นตรงโดยมีกราฟ y = kx และตัดหน่วย b บนแกนพิกัด สมการจะมีรูปแบบ x = const หากกราฟขนานกับแกน abscissa ดังนั้น k = 0

เส้นโค้งที่ประกอบด้วยกิ่งสองกิ่งซึ่งสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดและตั้งอยู่ในไตรมาสที่ต่างกันคือไฮเปอร์โบลา กราฟดังกล่าวแสดงการพึ่งพาแบบผกผันของตัวแปร y บนตัวแปร x และอธิบายได้ด้วยสมการในรูปแบบ y = k/x โดยที่ k ไม่ควรเท่ากับศูนย์ เนื่องจากเป็นสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนผกผัน ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าค่าของ k มากกว่าศูนย์ ฟังก์ชันจะลดลง ถ้า k น้อยกว่าศูนย์ มันจะเพิ่มขึ้น

ถ้ากราฟที่เสนอเป็นพาราโบลาที่ผ่านจุดกำเนิด ฟังก์ชันของพาราโบลาจะมีรูปแบบ y = ax2 ภายใต้เงื่อนไขที่ว่า b = c = 0 นี่เป็นกรณีที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ y = ax2 + bx + c จะมีรูปแบบเดียวกันกับกรณีที่ง่ายที่สุด อย่างไรก็ตาม จุดยอด (จุดที่กราฟตัดกับแกนพิกัด) จะไม่อยู่ที่จุดกำเนิด ในฟังก์ชันกำลังสองซึ่งแสดงด้วยรูปแบบ y = ax2 + bx + c ค่าของ a, b และ c จะเป็นค่าคงที่ ในขณะที่ a ไม่เท่ากับศูนย์

พาราโบลายังสามารถเป็นกราฟของฟังก์ชันยกกำลังที่แสดงโดยสมการที่อยู่ในรูปแบบ y = xⁿ ได้ก็ต่อเมื่อ n เป็นเลขคู่ใดๆ ถ้าค่าของ n เป็นเลขคี่ กราฟของฟังก์ชันยกกำลังจะแสดงด้วยพาราโบลาลูกบาศก์ หากตัวแปร n เป็นจำนวนลบ สมการของฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ

วิดีโอในหัวข้อ

พิกัดของจุดใดๆ บนระนาบถูกกำหนดโดยปริมาณสองค่า: ตามแกนแอบซิสซาและแกนพิกัด การรวมตัวกันของจุดดังกล่าวจำนวนมากแสดงถึงกราฟของฟังก์ชัน จากนั้นคุณจะเห็นว่าค่า Y เปลี่ยนแปลงอย่างไรขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของค่า X คุณยังสามารถกำหนดได้ว่าฟังก์ชันใดจะเพิ่มขึ้นและลดลงในส่วนใด

คำแนะนำ

คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับฟังก์ชันถ้ากราฟของมันเป็นเส้นตรง? ดูว่าเส้นนี้ผ่านจุดกำเนิดของพิกัดหรือไม่ (นั่นคือจุดที่มีค่า X และ Y เท่ากับ 0) ถ้ามันผ่าน แสดงว่าฟังก์ชันดังกล่าวอธิบายได้ด้วยสมการ y = kx เข้าใจได้ง่ายว่ายิ่งค่า k มากเท่าใด เส้นตรงก็จะยิ่งอยู่ใกล้แกนกำหนดมากขึ้นเท่านั้น และแกน Y เองก็สอดคล้องกันอย่างไม่สิ้นสุด มีความสำคัญอย่างยิ่งเค

1) โดเมนฟังก์ชันและช่วงฟังก์ชัน.

โดเมนของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องทั้งหมด x(ตัวแปร x) ซึ่งฟังก์ชัน ย = ฉ(x)มุ่งมั่น. พิสัยของฟังก์ชันคือเซตของค่าจริงทั้งหมด ยซึ่งฟังก์ชันยอมรับ

ในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ฟังก์ชันจะศึกษาเฉพาะเซตของจำนวนจริงเท่านั้น

2) ฟังก์ชั่นศูนย์.

ฟังก์ชันศูนย์คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่มีค่าของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์

3) ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน.

ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ซึ่งค่าฟังก์ชันเป็นเพียงค่าบวกหรือค่าลบเท่านั้น

4) ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ในช่วงเวลาหนึ่ง) เป็นฟังก์ชันที่ มูลค่าที่สูงขึ้นอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันลดลง (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

5) ฟังก์ชันคู่ (คี่).

ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับจุดใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความคือความเท่าเทียมกัน ฉ(-x) = ฉ(x)- กำหนดการ แม้กระทั่งฟังก์ชั่นสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด

ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง ฉ(-x) = - ฉ(x- กำหนดการ ฟังก์ชั่นคี่สมมาตรเกี่ยวกับต้นกำเนิด

6) ฟังก์ชั่นที่จำกัดและไม่ จำกัด.

ฟังก์ชันจะเรียกว่ามีขอบเขตหากมีจำนวนบวก M โดยที่ |f(x)| ≤ M สำหรับค่าทั้งหมดของ x หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าฟังก์ชันนั้นไม่จำกัด

7) ช่วงเวลาของฟังก์ชัน.

ฟังก์ชัน f(x) จะเป็นคาบหากมีตัวเลข T ที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นสำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จะคงค่าไว้ดังนี้: f(x+T) = f(x) จำนวนที่น้อยที่สุดนี้เรียกว่าคาบของฟังก์ชัน ทั้งหมด ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นช่วงๆ (สูตรตรีโกณมิติ)

19. ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น คุณสมบัติ และกราฟ การประยุกต์ฟังก์ชันทางเศรษฐศาสตร์

ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น คุณสมบัติและกราฟของพวกเขา

1. ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้น เรียกว่าฟังก์ชันในรูปแบบ โดยที่ x เป็นตัวแปร a และ b เป็นจำนวนจริง

ตัวเลข กเรียกว่าความชันของเส้น ซึ่งเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นนี้กับทิศทางบวกของแกนแอบซิสซา กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง มันถูกกำหนดโดยสองจุด

คุณสมบัติของฟังก์ชันเชิงเส้น

1. โดเมนของคำจำกัดความ - เซตของจำนวนจริงทั้งหมด: D(y)=R

2. ชุดค่าคือชุดของจำนวนจริงทั้งหมด: E(y)=R

3. ฟังก์ชันจะใช้ค่าศูนย์เมื่อหรือ

4. ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) ทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ

5. ฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด หาอนุพันธ์ได้ และ

2. ฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันในรูปแบบที่ x เป็นตัวแปร เรียกว่าสัมประสิทธิ์ a, b, c เป็นจำนวนจริง กำลังสอง

ความหมายของฟังก์ชันเชิงเส้น

ให้เราแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงเส้น

คำนิยาม

ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ $y=kx+b$ โดยที่ $k$ ไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้น

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง ตัวเลข $k$ เรียกว่าความชันของเส้นตรง

เมื่อ $b=0$ ฟังก์ชันเชิงเส้นเรียกว่าฟังก์ชันที่มีสัดส่วนโดยตรง $y=kx$

พิจารณารูปที่ 1

ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของความชันของเส้นตรง

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC เราจะเห็นว่า $ВС=kx_0+b$ ลองหาจุดตัดของเส้น $y=kx+b$ กับแกน $Ox$:

\ \

ดังนั้น $AC=x_0+\frac(b)(k)$ ลองหาอัตราส่วนของด้านเหล่านี้:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

ในทางกลับกัน $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$

ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:

บทสรุป

ความหมายทางเรขาคณิตค่าสัมประสิทธิ์ $k$ ปัจจัยความลาดชันเส้นตรง $k$ เท่ากับแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงนี้กับแกน $Ox$

ศึกษาฟังก์ชันเชิงเส้น $f\left(x\right)=kx+b$ และกราฟ

ขั้นแรก ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(x\right)=kx+b$ โดยที่ $k > 0$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. เพราะฉะนั้น, ฟังก์ชั่นนี้เพิ่มขึ้นตลอดทั้งขอบเขตของคำจำกัดความ ไม่มีจุดที่รุนแรง
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. กราฟ (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. กราฟของฟังก์ชัน $y=kx+b$ สำหรับ $k > 0$

ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(x\right)=kx$ โดยที่ $k

1. โดเมนของคำจำกัดความคือตัวเลขทั้งหมด
2. ช่วงของค่าเป็นตัวเลขทั้งหมด
3. $f\ซ้าย(-x\right)=-kx+b$. ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่
4. สำหรับ $x=0,f\left(0\right)=b$ เมื่อ $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$

จุดตัดที่มีแกนพิกัด: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ และ $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$ ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. กราฟ (รูปที่ 3)