พ.สูตรเลขคณิต. ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก - มันคืออะไรและจะคำนวณได้อย่างไร

ในการหาค่าเฉลี่ยใน Excel (ไม่ว่าจะเป็นค่าตัวเลข ข้อความ เปอร์เซ็นต์ หรือค่าอื่นๆ) มีฟังก์ชันมากมาย และแต่ละคนมีลักษณะและข้อดีของตัวเอง ท้ายที่สุดแล้ว เงื่อนไขบางอย่างสามารถตั้งค่าได้ในงานนี้

ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของชุดตัวเลขใน Excel จะคำนวณโดยใช้ฟังก์ชันทางสถิติ คุณยังสามารถป้อนสูตรของคุณเองได้ ลองพิจารณาตัวเลือกต่างๆ

จะหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขได้อย่างไร?

ในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต คุณต้องบวกตัวเลขทั้งหมดในชุดแล้วหารผลรวมด้วยตัวเลข ตัวอย่างเช่น คะแนนของนักเรียนในวิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์: 3, 4, 3, 5, 5 ไตรมาสละเท่าไร: 4 เราพบค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้สูตร: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

วิธีการทำอย่างรวดเร็วด้วย ฟังก์ชันของเอกเซล? ยกตัวอย่างชุดตัวเลขสุ่มในสตริง:

หรือ: ทำให้เซลล์ทำงานและป้อนสูตรด้วยตนเอง: =AVERAGE(A1:A8)

ทีนี้มาดูกันว่าฟังก์ชัน AVERAGE ทำอะไรได้อีกบ้าง

ค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขสองตัวแรกและสามตัวหลัง สูตร: =AVERAGE(A1:B1;F1:H1) ผลลัพธ์:



เฉลี่ยตามเงื่อนไข

เงื่อนไขในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจเป็นเกณฑ์ที่เป็นตัวเลขหรือเป็นข้อความก็ได้ เราจะใช้ฟังก์ชัน: =AVERAGEIF()

ค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขที่มากกว่าหรือเท่ากับ 10

ฟังก์ชัน: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

ผลลัพธ์ของการใช้ฟังก์ชัน AVERAGEIF ในเงื่อนไข ">=10":

อาร์กิวเมนต์ที่สาม - "ช่วงค่าเฉลี่ย" - ถูกละไว้ ประการแรกไม่จำเป็น ประการที่สอง ช่วงที่แยกวิเคราะห์โดยโปรแกรมมีค่าตัวเลขเท่านั้น ในเซลล์ที่ระบุในอาร์กิวเมนต์แรก การค้นหาจะดำเนินการตามเงื่อนไขที่ระบุในอาร์กิวเมนต์ที่สอง

ความสนใจ! สามารถระบุเกณฑ์การค้นหาในเซลล์ได้ และในสูตรก็นำไปอ้างอิงได้เลย

มาหาค่าเฉลี่ยของตัวเลขตามเกณฑ์ข้อความ ตัวอย่างเช่น ยอดขายเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ "ตาราง"

ฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12) ช่วง - คอลัมน์ที่มีชื่อผลิตภัณฑ์ เกณฑ์การค้นหาคือลิงก์ไปยังเซลล์ที่มีคำว่า "ตาราง" (คุณสามารถแทรกคำว่า "ตาราง" แทนลิงก์ A7) ช่วงค่าเฉลี่ย - เซลล์ที่ข้อมูลจะถูกนำไปคำนวณค่าเฉลี่ย

จากการคำนวณฟังก์ชัน เราได้ค่าต่อไปนี้:

ความสนใจ! สำหรับเกณฑ์ข้อความ (เงื่อนไข) ต้องระบุช่วงค่าเฉลี่ย

วิธีการคำนวณราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักใน Excel?

เราจะทราบราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักได้อย่างไร?

สูตร: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12)

เมื่อใช้สูตร SUMPRODUCT เราจะหารายได้รวมหลังการขายสินค้าตามจำนวนทั้งหมด และฟังก์ชัน SUM - สรุปปริมาณสินค้า เราพบราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักโดยการหารรายได้จากการขายสินค้าด้วยจำนวนหน่วยสินค้าทั้งหมด ตัวบ่งชี้นี้คำนึงถึง "น้ำหนัก" ของแต่ละราคา มีส่วนร่วมในมวลรวมของมูลค่า

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน: สูตรใน Excel

แยกแยะสื่อ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดย ประชากรและตามตัวอย่าง ในกรณีแรก นี่คือรากของ ความแปรปรวนทั่วไป. ในวินาที จากความแปรปรวนตัวอย่าง

ในการคำนวณตัวบ่งชี้ทางสถิตินี้ จะมีการรวบรวมสูตรการกระจาย รากถูกนำมาจากมัน แต่ใน Excel มีฟังก์ชันสำเร็จรูปสำหรับหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเชื่อมโยงกับขนาดของแหล่งข้อมูล นี่ยังไม่เพียงพอสำหรับการแสดงโดยเป็นรูปเป็นร่างของความแปรผันของช่วงที่วิเคราะห์ ในการรับระดับสัมพัทธ์ของการกระจายในข้อมูล จะมีการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน:

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน / ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

สูตรใน Excel มีลักษณะดังนี้:

STDEV (ช่วงของค่า) / AVERAGE (ช่วงของค่า)

ค่าสัมประสิทธิ์ของการเปลี่ยนแปลงจะคำนวณเป็นเปอร์เซ็นต์ ดังนั้นเราจึงกำหนดรูปแบบเปอร์เซ็นต์ในเซลล์

สัญญาณของหน่วยของมวลรวมทางสถิติมีความหมายต่างกัน ตัวอย่างเช่น ค่าจ้างของคนงานในอาชีพหนึ่งขององค์กรไม่เหมือนกันในช่วงเวลาเดียวกัน ราคาตลาดสำหรับผลิตภัณฑ์ชนิดเดียวกันแตกต่างกัน ผลผลิตพืชผลในฟาร์ม ของภูมิภาค เป็นต้น ดังนั้นเพื่อกำหนดค่าของลักษณะเฉพาะของประชากรทั้งหมดของหน่วยภายใต้การศึกษาจึงมีการคำนวณค่าเฉลี่ย
ค่าเฉลี่ย – มันเป็นลักษณะทั่วไปของชุดค่าส่วนบุคคลของลักษณะเชิงปริมาณบางอย่าง

ประชากรที่ศึกษาโดยคุณลักษณะเชิงปริมาณประกอบด้วยค่าส่วนบุคคล พวกเขาได้รับอิทธิพลเช่น สาเหตุทั่วไปและเงื่อนไขของแต่ละคน ในค่าเฉลี่ย ลักษณะการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าจะถูกยกเลิก ค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นฟังก์ชันของชุดของค่าแต่ละค่า แสดงถึงทั้งชุดด้วยค่าเดียวและสะท้อนถึงสิ่งทั่วไปที่มีอยู่ในหน่วยทั้งหมด

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณสำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพเรียกว่า ค่าเฉลี่ยทั่วไป. ตัวอย่างเช่น คุณสามารถคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานของกลุ่มอาชีพหนึ่งหรือกลุ่มอื่น (คนงานเหมือง แพทย์ บรรณารักษ์) แน่นอนว่าระดับรายเดือน ค่าจ้างคนงานเหมืองเนื่องจากคุณสมบัติที่แตกต่างกัน ระยะเวลาการทำงาน ชั่วโมงทำงานต่อเดือนและปัจจัยอื่น ๆ แตกต่างกันและจากระดับค่าจ้างเฉลี่ย อย่างไรก็ตาม ระดับค่าเฉลี่ยจะสะท้อนถึงปัจจัยหลักที่ส่งผลต่อระดับค่าจ้างและหักกลบลบกับความแตกต่างที่เกิดขึ้นเนื่องจาก คุณลักษณะเฉพาะคนงาน ค่าจ้างเฉลี่ยสะท้อนถึงระดับค่าจ้างโดยทั่วไปสำหรับพนักงานประเภทนี้ การได้รับค่าเฉลี่ยทั่วไปควรนำหน้าด้วยการวิเคราะห์ว่าประชากรกลุ่มนี้มีลักษณะเหมือนกันในเชิงคุณภาพอย่างไร ถ้าในเซ็ตประกอบด้วย แยกชิ้นส่วนควรแบ่งออกเป็นกลุ่มทั่วไป (อุณหภูมิเฉลี่ยในโรงพยาบาล)

ค่าเฉลี่ยที่ใช้เป็นคุณลักษณะสำหรับประชากรต่างกันเรียกว่า ค่าเฉลี่ยของระบบ. ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์มวลรวมภายในประเทศ (GDP) ต่อหัว การบริโภคเฉลี่ยของสินค้ากลุ่มต่างๆ ต่อคน และค่าอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกันซึ่งแสดงถึงลักษณะทั่วไปของรัฐในฐานะระบบเศรษฐกิจเดียว

ควรคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับจำนวนประชากรที่เพียงพอ จำนวนมากหน่วย การปฏิบัติตามเงื่อนไขนี้เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้กฎหมายมีผลบังคับใช้ ตัวเลขขนาดใหญ่อันเป็นผลมาจากการเบี่ยงเบนแบบสุ่มของค่าแต่ละค่าจากแนวโน้มทั่วไปจะหักล้างกัน

ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

การเลือกประเภทของค่าเฉลี่ยจะพิจารณาจากเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้บางตัวและข้อมูลเริ่มต้น อย่างไรก็ตาม ควรคำนวณค่าเฉลี่ยใดๆ เพื่อที่ว่าเมื่อแทนที่ตัวแปรแต่ละรายการของฟีเจอร์เฉลี่ย ค่าสุดท้าย ค่าทั่วไป หรือที่เรียกกันทั่วไปว่า ตัวบ่งชี้ที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ย ตัวอย่างเช่น เมื่อแทนที่ความเร็วจริงในแต่ละส่วนของเส้นทาง ความเร็วเฉลี่ยไม่ควรเปลี่ยนระยะทางทั้งหมดที่เดินทาง ยานพาหนะในเวลาเดียวกัน; เมื่อแทนที่ค่าจ้างจริงของพนักงานแต่ละคนในองค์กรด้วยค่าจ้างเฉลี่ย กองทุนค่าจ้างไม่ควรเปลี่ยนแปลง ดังนั้น ในแต่ละกรณี ขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูลที่มีอยู่ จึงมีค่าเฉลี่ยที่แท้จริงเพียงค่าเดียวของตัวบ่งชี้ที่เพียงพอต่อคุณสมบัติและสาระสำคัญของปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจและสังคมภายใต้การศึกษา
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยกำลังสอง และค่าเฉลี่ยลูกบาศก์
ค่าเฉลี่ยที่แสดงเป็นของชั้นเรียน พลังค่าเฉลี่ยและรวมกันโดยสูตรทั่วไป:
,
ค่าเฉลี่ยของลักษณะที่ศึกษาอยู่ที่ไหน
m เป็นเลขชี้กำลังของค่าเฉลี่ย
– ค่าปัจจุบัน (ตัวแปร) ของคุณลักษณะเฉลี่ย
n คือจำนวนคุณสมบัติ
ขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง m ประเภทของค่าเฉลี่ยพลังงานต่อไปนี้จะแตกต่างกัน:
ที่ m = -1 – ฮาร์มอนิกเฉลี่ย ;
ที่ m = 0 – ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ;
ที่ m = 1 – ค่าเฉลี่ยเลขคณิต;
ที่ m = 2 – รูทค่าเฉลี่ยกำลังสอง ;
ที่ m = 3 - ลูกบาศก์เฉลี่ย
เมื่อใช้ข้อมูลอินพุตเดียวกัน ยิ่งเลขชี้กำลัง m ในสูตรข้างต้นมีค่ามากเท่าไร มูลค่ามากขึ้นขนาดกลาง:
.
คุณสมบัติของกฎกำลังนี้หมายถึงการเพิ่มขึ้นเมื่อเลขชี้กำลังของฟังก์ชันที่กำหนดเพิ่มขึ้นเรียกว่า กฎของวิธีการส่วนใหญ่.
ค่าเฉลี่ยที่ทำเครื่องหมายแต่ละรายการสามารถมีได้สองรูปแบบ: เรียบง่ายและ ถ่วงน้ำหนัก.
รูปแบบที่เรียบง่ายของกลางใช้เมื่อมีการคำนวณค่าเฉลี่ยจากข้อมูลหลัก (ไม่ได้จัดกลุ่ม) แบบฟอร์มถ่วงน้ำหนัก– เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับข้อมูลทุติยภูมิ (จัดกลุ่ม)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะใช้เมื่อปริมาตรของประชากรคือผลรวมของค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์ที่แตกต่างกัน ควรสังเกตว่าหากไม่ได้ระบุประเภทของค่าเฉลี่ย ให้ถือว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต สูตรตรรกะของมันคือ:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคำนวณ โดยข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ตามสูตร:
หรือ ,
ค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์อยู่ที่ไหน
j คือหมายเลขซีเรียลของหน่วยการสังเกต ซึ่งแสดงค่าด้วยค่า ;
N คือจำนวนหน่วยการสังเกต (ขนาดชุด)
ตัวอย่าง.ในการบรรยาย “การสรุปและจัดกลุ่มข้อมูลสถิติ” ได้พิจารณาผลการสังเกตประสบการณ์การทำงานของทีมงานจำนวน 10 คน คำนวณประสบการณ์การทำงานโดยเฉลี่ยของคนงานในกองพลน้อย 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

ตามสูตรของค่าเฉลี่ยเลขคณิตง่าย ๆ ก็คำนวณได้เช่นกัน ค่าเฉลี่ยตามลำดับเวลาถ้าช่วงเวลาที่แสดงค่าคุณลักษณะเท่ากัน
ตัวอย่าง.ปริมาณการขายผลิตภัณฑ์สำหรับไตรมาสแรกมีจำนวน 47 สำรับ หน่วยสำหรับ 54 ที่สองสำหรับ 65 ที่สามและสำหรับ 58 ถ้ำที่สี่ หน่วย มูลค่าการซื้อขายเฉลี่ยรายไตรมาสคือ (47+54+65+58)/4 = 56 เดน หน่วย
หากกำหนดตัวบ่งชี้ชั่วขณะในซีรีส์ตามลำดับเวลา เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ค่าเหล่านั้นจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมครึ่งหนึ่งของค่าที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงเวลา
หากมีมากกว่าสองช่วงเวลาและช่วงเวลาระหว่างช่วงเวลาเท่ากัน ค่าเฉลี่ยจะคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยตามลำดับเวลา

,
โดยที่ n คือจำนวนจุดเวลา
เมื่อข้อมูลถูกจัดกลุ่มตามค่าแอตทริบิวต์ (กล่าวคือ มีการสร้างชุดการแจกแจงแบบแปรผันแบบไม่ต่อเนื่อง) ด้วย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักคำนวณโดยใช้ความถี่ หรือความถี่ของการสังเกตค่าเฉพาะของคุณลักษณะ จำนวนที่ (k) มีนัยสำคัญ น้อยกว่าจำนวนการสังเกต (น).
,
,
โดยที่ k คือจำนวนกลุ่มของชุดการเปลี่ยนแปลง
ฉันคือหมายเลขของกลุ่มของชุดการเปลี่ยนแปลง
เนื่องจาก และ เราได้รับสูตรที่ใช้สำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติ:
และ
ตัวอย่าง.ลองคำนวณระยะเวลาการให้บริการโดยเฉลี่ยของทีมงานสำหรับซีรีส์ที่จัดกลุ่ม
ก) การใช้ความถี่:

b) การใช้ความถี่:

เมื่อข้อมูลถูกจัดกลุ่มตามช่วงเวลา , เช่น. นำเสนอในรูปแบบของอนุกรมการแจกแจงช่วงเวลา เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่ากลางของช่วงเวลาจะถือเป็นค่าของคุณลักษณะ โดยอิงตามสมมติฐานของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอของหน่วยประชากรในช่วงเวลานี้ การคำนวณดำเนินการตามสูตร:
และ
ตรงกลางของช่วงเวลาอยู่ที่ไหน: ,
ที่ไหน และ คือขอบเขตล่างและบนของช่วงเวลา (โดยมีเงื่อนไขว่า ขอบเขตบนของช่วงเวลานี้ตรงกับขอบเขตล่างของช่วงเวลาถัดไป)

ตัวอย่าง.ให้เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดการเปลี่ยนแปลงช่วงเวลาที่สร้างขึ้นจากผลการศึกษาค่าจ้างประจำปีของพนักงาน 30 คน (ดูการบรรยาย "สรุปและจัดกลุ่มข้อมูลสถิติ")
ตารางที่ 1 - อนุกรมการแปรผันของช่วงเวลา

ช่วงเวลา UAH	ความถี่ต่อ	ความถี่,	ช่วงกลางของช่วงเวลา
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH หรือ UAH
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่คำนวณบนพื้นฐานของข้อมูลเริ่มต้นและชุดการเปลี่ยนแปลงช่วงเวลาอาจไม่ตรงกันเนื่องจากการแจกแจงค่าแอตทริบิวต์ที่ไม่สม่ำเสมอภายในช่วงเวลา ในกรณีนี้ สำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตที่แม่นยำยิ่งขึ้น เราไม่ควรใส่ค่ากึ่งกลางของช่วงเวลา แต่ควรใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายสำหรับแต่ละกลุ่ม ( ค่าเฉลี่ยของกลุ่ม). ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากกลุ่มหมายถึงการใช้สูตรการคำนวณถ่วงน้ำหนักที่เรียกว่า ค่าเฉลี่ยทั่วไป.
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีคุณสมบัติหลายอย่าง
1. ผลรวมของการเบี่ยงเบนของตัวแปรจากค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์:
.
2. หากค่าทั้งหมดของตัวเลือกเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามค่า A ค่าเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามค่า A เดียวกัน:

3. หากแต่ละตัวเลือกเพิ่มขึ้นหรือลดลง B เท่า ค่าเฉลี่ยก็จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงในจำนวนครั้งเท่ากันด้วย:
หรือ
4. ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรตามความถี่จะเท่ากับผลคูณของค่าเฉลี่ยโดยผลรวมของความถี่:

5. หากความถี่ทั้งหมดถูกหารหรือคูณด้วยจำนวนใด ๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลง:

6) หากความถี่เท่ากันในทุกช่วงเวลาค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิตจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย:
,
โดยที่ k คือจำนวนของกลุ่มในชุดการเปลี่ยนแปลง

การใช้คุณสมบัติของค่าเฉลี่ยทำให้การคำนวณง่ายขึ้น
สมมติว่าตัวเลือกทั้งหมด (x) ลดลงด้วยจำนวน A เท่ากันก่อน แล้วจึงลดลงด้วยค่า B การทำให้เข้าใจง่ายที่สุดทำได้เมื่อเลือกค่าของช่วงกลางของช่วงที่มีความถี่สูงสุดเป็น A และเลือกค่าของช่วง (สำหรับแถวที่มีช่วงเดียวกัน) เป็น B ปริมาณ A เรียกว่าจุดกำเนิด ดังนั้นวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยนี้จึงเรียกว่า ทางข โอห์มอ้างอิงจากศูนย์เงื่อนไขหรือ ทางแห่งช่วงเวลา.
หลังจากการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว เราได้รับชุดการแจกแจงแบบแปรผันใหม่ ซึ่งชุดการแปรผันนั้นมีค่าเท่ากับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพวกเขาเรียกว่า ช่วงเวลาของการสั่งซื้อครั้งแรกจะแสดงโดยสูตรและตามคุณสมบัติที่สองและสาม ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของรุ่นเดิม ลดลงก่อนด้วย A แล้วตามด้วย B คูณ นั่นคือ .
สำหรับการได้รับ ค่าเฉลี่ยที่แท้จริง(กลางแถวเดิม) คุณต้องคูณโมเมนต์ของลำดับแรกด้วย B แล้วบวก A:

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยวิธีโมเมนต์แสดงโดยข้อมูลในตาราง 2.
ตารางที่ 2 - การกระจายพนักงานของร้านค้าขององค์กรตามระยะเวลาการทำงาน

ประสบการณ์การทำงาน, ปี	จำนวนคนงาน	จุดกึ่งกลางของช่วงเวลา
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

การหาช่วงเวลาของลำดับแรก . จากนั้นเมื่อรู้ว่า A = 17.5 และ B = 5 เราจะคำนวณประสบการณ์ทำงานโดยเฉลี่ยของพนักงานในร้าน:
ปี

ฮาร์มอนิกเฉลี่ย
ดังที่แสดงไว้ข้างต้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะใช้ในการคำนวณค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะในกรณีที่ทราบค่าตัวแปร x และความถี่ f
ถ้าข้อมูลทางสถิติไม่มีความถี่ f สำหรับแต่ละตัวเลือก x ของประชากร แต่แสดงเป็นผลคูณ สูตรจะถูกนำไปใช้ ฮาร์มอนิกเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก. ในการคำนวณค่าเฉลี่ย แสดงว่า จากไหน การแทนที่นิพจน์เหล่านี้ลงในสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก เราได้สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนัก:
,
โดยที่ปริมาตร (น้ำหนัก) ของค่าแอตทริบิวต์ตัวบ่งชี้ในช่วงเวลาที่มีหมายเลข i (i=1,2, …, k)

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจึงใช้ในกรณีที่ไม่ใช่ตัวเลือกที่ขึ้นอยู่กับผลรวม แต่เป็นการกลับกัน: .
ในกรณีที่น้ำหนักของแต่ละตัวเลือกเท่ากับหนึ่ง เช่น ค่าแต่ละค่าของคุณสมบัติผกผันเกิดขึ้นครั้งเดียว ใช้ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกอย่างง่าย:
,
โดยที่ตัวแปรแต่ละตัวของลักษณะผกผันที่เกิดขึ้นครั้งเดียว
N คือจำนวนตัวเลือก
หากมีค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสำหรับสองส่วนของประชากรที่มีจำนวน และ ค่าเฉลี่ยทั้งหมดสำหรับประชากรทั้งหมดจะคำนวณโดยสูตร:

และโทร ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักของกลุ่มหมายถึง.

ตัวอย่าง.มีการทำข้อตกลงสามข้อในช่วงชั่วโมงแรกของการซื้อขายแลกเปลี่ยนเงินตรา ข้อมูลเกี่ยวกับปริมาณการขาย Hryvnia และอัตราแลกเปลี่ยน Hryvnia เทียบกับดอลลาร์สหรัฐแสดงไว้ในตาราง 3 (คอลัมน์ 2 และ 3) กำหนดอัตราแลกเปลี่ยนเฉลี่ยของ Hryvnia เทียบกับดอลลาร์สหรัฐสำหรับชั่วโมงแรกของการซื้อขาย
ตารางที่ 3 - ข้อมูลเกี่ยวกับการซื้อขายแลกเปลี่ยนสกุลเงิน

อัตราแลกเปลี่ยนเงินดอลลาร์เฉลี่ยถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของจำนวน Hryvnias ที่ขายในระหว่างการทำธุรกรรมทั้งหมดต่อจำนวนเงินที่ได้รับจากการทำธุรกรรมเดียวกัน จำนวนเงินทั้งหมดของการขาย Hryvnia นั้นทราบได้จากคอลัมน์ 2 ของตาราง และจำนวนดอลลาร์ที่ซื้อในแต่ละธุรกรรมจะถูกกำหนดโดยการหารยอดขาย Hryvnia ด้วยอัตราแลกเปลี่ยน (คอลัมน์ 4) มีการซื้อทั้งหมด 22 ล้านดอลลาร์ระหว่างการทำธุรกรรมสามครั้ง ซึ่งหมายความว่าอัตราแลกเปลี่ยน Hryvnia เฉลี่ยต่อหนึ่งดอลลาร์คือ
.
ค่าผลลัพธ์เป็นจริงเนื่องจาก การแทนที่อัตราแลกเปลี่ยน Hryvnia ที่เกิดขึ้นจริงในการทำธุรกรรมจะไม่เปลี่ยนยอดขายรวมของ Hryvnia ซึ่งทำหน้าที่เป็น ตัวบ่งชี้ที่กำหนด: mln. UAH
หากใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตในการคำนวณ เช่น Hryvnia แล้วที่อัตราแลกเปลี่ยนสำหรับการซื้อ 22 ล้านดอลลาร์ จะต้องใช้เงินจำนวน 110.66 ล้าน UAH ซึ่งไม่เป็นความจริง

เฉลี่ยเรขาคณิต
ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตใช้เพื่อวิเคราะห์ไดนามิกของปรากฏการณ์และช่วยให้คุณกำหนดอัตราการเติบโตเฉลี่ย เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต ค่าแต่ละค่าของลักษณะจะเป็นตัวบ่งชี้สัมพัทธ์ของไดนามิก ซึ่งสร้างขึ้นในรูปแบบของค่าลูกโซ่ เป็นอัตราส่วนของแต่ละระดับกับค่าก่อนหน้า
ค่าเฉลี่ยอย่างง่ายทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
,
ป้ายสินค้าอยู่ที่ไหน
N คือจำนวนของค่าเฉลี่ย
ตัวอย่าง.จำนวนอาชญากรรมที่ลงทะเบียนในช่วง 4 ปีเพิ่มขึ้น 1.57 เท่ารวมถึงครั้งที่ 1 - 1.08 เท่าสำหรับครั้งที่ 2 - 1.1 เท่าสำหรับครั้งที่ 3 - 1.18 และครั้งที่ 4 - 1.12 เท่า จากนั้นอัตราการเติบโตเฉลี่ยต่อปีของจำนวนอาชญากรรมคือ: เช่น จำนวนอาชญากรรมที่ลงทะเบียนเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย 12% ต่อปี

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

ในการคำนวณค่าเฉลี่ยกำลังสอง เรากำหนดและป้อนในตารางและ จากนั้นค่าเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของความยาวของผลิตภัณฑ์จากบรรทัดฐานที่กำหนดจะเท่ากับ:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตใน กรณีนี้จะไม่เหมาะสมเพราะ ผลก็คือเราจะได้ค่าเบี่ยงเบนเป็นศูนย์
การใช้ค่าเฉลี่ยกำลังสองของรูทจะกล่าวถึงในภายหลังในเรื่องเลขยกกำลังของการแปรผัน

ในการคำนวณค่าเฉลี่ยจะหายไป

เฉลี่ย ความหมายชุดของตัวเลขจะเท่ากับผลรวมของตัวเลข S หารด้วยจำนวนของตัวเลขเหล่านี้ นั่นคือปรากฎว่า เฉลี่ย ความหมายเท่ากับ: 19/4 = 4.75

บันทึก

หากคุณต้องการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขเพียงสองตัว คุณไม่จำเป็นต้องใช้เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม: แยกรากของระดับที่สอง ( รากที่สอง) จากตัวเลขใด ๆ สามารถทำได้โดยใช้เครื่องคิดเลขทั่วไป

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตไม่ได้รับอิทธิพลอย่างมากจากการเบี่ยงเบนและความผันผวนระหว่างค่าแต่ละค่าในชุดตัวบ่งชี้ที่ศึกษา ซึ่งแตกต่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต

แหล่งที่มา:

• เครื่องคิดเลขออนไลน์ที่คำนวณค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต
• เฉลี่ย สูตรทางเรขาคณิต

เฉลี่ยค่าเป็นลักษณะหนึ่งของชุดตัวเลข แสดงถึงจำนวนที่ไม่สามารถอยู่นอกช่วงที่กำหนดโดยที่ใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุดในเลขชุดนี้. เฉลี่ยค่าเลขคณิต - ค่าเฉลี่ยที่หลากหลายที่ใช้บ่อยที่สุด

คำแนะนำ

นำตัวเลขทั้งหมดในชุดมาบวกกันแล้วหารด้วยจำนวนเทอมเพื่อหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเฉพาะของการคำนวณ บางครั้งก็ง่ายกว่าที่จะแบ่งแต่ละตัวเลขด้วยจำนวนของค่าในชุดและรวมผลลัพธ์

ใช้ ตัวอย่างเช่น รวมอยู่ในระบบปฏิบัติการ Windows หากไม่สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตในใจของคุณได้ คุณสามารถเปิดได้โดยใช้กล่องโต้ตอบตัวเรียกใช้งานโปรแกรม ในการทำเช่นนี้ให้กด "ปุ่มลัด" WIN + R หรือคลิกปุ่ม "เริ่ม" แล้วเลือกคำสั่ง "เรียกใช้" จากเมนูหลัก จากนั้นพิมพ์ calc ในช่องป้อนข้อมูลแล้วกด Enter หรือคลิกปุ่ม OK สามารถทำได้เช่นเดียวกันผ่านเมนูหลัก - เปิดไปที่ส่วน "โปรแกรมทั้งหมด" และในส่วน "มาตรฐาน" แล้วเลือกบรรทัด "เครื่องคิดเลข"

ป้อนตัวเลขทั้งหมดในชุดต่อเนื่องกันโดยกดปุ่มบวกหลังจากแต่ละตัวเลข (ยกเว้นตัวเลขสุดท้าย) หรือคลิกปุ่มที่เกี่ยวข้องในอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลข คุณยังสามารถป้อนตัวเลขได้ทั้งจากแป้นพิมพ์และโดยคลิกที่ปุ่มอินเทอร์เฟซที่เกี่ยวข้อง

กดปุ่มเครื่องหมายทับหรือคลิกที่นี่ในอินเทอร์เฟซเครื่องคิดเลขหลังจากป้อนค่าชุดสุดท้ายแล้วพิมพ์จำนวนตัวเลขในลำดับ จากนั้นกดเครื่องหมายเท่ากับแล้วเครื่องคิดเลขจะคำนวณและแสดงค่าเฉลี่ยเลขคณิต

คุณสามารถใช้โปรแกรมแก้ไขสเปรดชีตเพื่อจุดประสงค์เดียวกันได้ ไมโครซอฟต์ เอ็กเซล. ในกรณีนี้ ให้เริ่มโปรแกรมแก้ไขและป้อนค่าทั้งหมดของลำดับตัวเลขลงในเซลล์ที่อยู่ติดกัน หากหลังจากป้อนแต่ละหมายเลขแล้ว คุณกด Enter หรือปุ่มลูกศรลงหรือลูกศรขวา ตัวแก้ไขจะย้ายโฟกัสอินพุตไปยังเซลล์ที่อยู่ติดกัน

คลิกเซลล์ที่อยู่ถัดจากตัวเลขล่าสุดที่คุณป้อน หากคุณไม่ต้องการดูแค่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ขยายรายการดรอปดาวน์ Greek sigma (Σ) ของคำสั่ง Editing บนแท็บ Home เลือกบรรทัด " เฉลี่ย” และตัวแก้ไขจะใส่สูตรที่ต้องการสำหรับคำนวณค่าเฉลี่ย ค่าเลขคณิตไปยังเซลล์ที่ไฮไลต์ กดปุ่ม Enter และค่าจะถูกคำนวณ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นหนึ่งในการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์และการคำนวณทางสถิติ การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าต่าง ๆ นั้นง่ายมาก แต่แต่ละงานมีความแตกต่างของตัวเองซึ่งจำเป็นต้องรู้เพื่อทำการคำนวณที่ถูกต้อง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคืออะไร

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตกำหนดค่าเฉลี่ยสำหรับอาร์เรย์เดิมของตัวเลขทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง จากชุดตัวเลขจำนวนหนึ่ง จะมีการเลือกค่าทั่วไปสำหรับองค์ประกอบทั้งหมด การเปรียบเทียบทางคณิตศาสตร์ซึ่งกับองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากันโดยประมาณ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะใช้เป็นหลักในการจัดทำรายงานทางการเงินและสถิติ หรือสำหรับการคำนวณผลการทดลองที่คล้ายคลึงกัน

วิธีหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

การหาค่าเฉลี่ย เลขคณิตสำหรับอาร์เรย์ของตัวเลข คุณควรเริ่มต้นด้วยการหาผลรวมเชิงพีชคณิตของค่าเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น หากอาร์เรย์ประกอบด้วยตัวเลข 23, 43, 10, 74 และ 34 ผลรวมเชิงพีชคณิตของพวกมันจะเท่ากับ 184 เมื่อเขียน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะแสดงด้วยตัวอักษร μ (mu) หรือ x (x พร้อมแถบ) . ถัดไป ผลรวมเชิงพีชคณิตควรหารด้วยจำนวนตัวเลขในอาร์เรย์ ในตัวอย่างนี้ มีตัวเลขห้าตัว ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเป็น 184/5 และจะเป็น 36.8

คุณสมบัติของการทำงานกับจำนวนลบ

หากมีจำนวนลบในอาร์เรย์ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะพบได้โดยใช้อัลกอริทึมที่คล้ายกัน มีความแตกต่างเฉพาะเมื่อทำการคำนวณในสภาพแวดล้อมการเขียนโปรแกรม หรือหากมีเงื่อนไขเพิ่มเติมในงาน ในกรณีเหล่านี้ การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขด้วย สัญญาณที่แตกต่างกันเดือดลงไปสามขั้นตอน:

1. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตร่วมโดยวิธีมาตรฐาน
2. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนลบ
3. การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนบวก

คำตอบของแต่ละการกระทำจะถูกเขียนคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค

เศษส่วนธรรมชาติและทศนิยม

หากมีการแสดงตัวเลขแบบอาร์เรย์ ทศนิยมการแก้ปัญหาเกิดขึ้นตามวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนเต็ม แต่ผลลัพธ์จะลดลงตามความต้องการของปัญหาเพื่อความถูกต้องของคำตอบ

เมื่อทำงานร่วมกับ เศษส่วนตามธรรมชาติควรลดให้เหลือส่วนร่วมซึ่งคูณด้วยจำนวนตัวเลขในอาร์เรย์ ตัวเศษของคำตอบจะเป็นผลรวมของตัวเศษที่กำหนดขององค์ประกอบที่เป็นเศษส่วนเดิม

• เครื่องคิดเลขวิศวกรรม

คำแนะนำ

โปรดทราบว่าในกรณีทั่วไป ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขพบได้โดยการคูณตัวเลขเหล่านี้และแยกรากของระดับที่สอดคล้องกับจำนวนตัวเลข ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขห้าตัว คุณจะต้องแยกรากขององศาออกจากผลคูณ

หากต้องการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขสองตัว ให้ใช้กฎพื้นฐาน ค้นหาผลคูณจากนั้นแยกรากที่สองออกจากผลคูณ เนื่องจากตัวเลขคือสองซึ่งสอดคล้องกับระดับของราก ตัวอย่างเช่น หากต้องการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข 16 และ 4 ให้หาผลคูณ 16 4=64 จากจำนวนผลลัพธ์ ให้แยกเครื่องหมายกรณฑ์ √64=8 นี่จะเป็นค่าที่ต้องการ โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขสองตัวนี้มีค่ามากกว่าและเท่ากับ 10 หากรากไม่ครบ ให้ปัดเศษผลลัพธ์ตามลำดับที่ต้องการ

หากต้องการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขมากกว่าสองจำนวน ให้ใช้กฎพื้นฐานเช่นกัน ในการทำเช่นนี้ ให้หาผลคูณของตัวเลขทั้งหมดที่คุณต้องการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิต จากผลคูณของผลลัพธ์ ให้แยกรากของระดับที่เท่ากับจำนวนของตัวเลข ตัวอย่างเช่น หากต้องการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข 2, 4 และ 64 ให้หาผลคูณ 2 4 64=512. เนื่องจากคุณต้องค้นหาผลลัพธ์ของค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขสามตัว ให้แยกรากของระดับที่สามออกจากผลคูณ เป็นการยากที่จะทำสิ่งนี้ด้วยวาจา ดังนั้นให้ใช้เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม ในการทำเช่นนี้จะมีปุ่ม "x ^ y" กดหมายเลข 512 กดปุ่ม "x^y" จากนั้นกดหมายเลข 3 แล้วกดปุ่ม "1/x" หากต้องการค้นหาค่า 1/3 ให้กดปุ่ม "=" เราได้ผลลัพธ์ของการยกกำลัง 512 เป็น 1/3 ซึ่งสอดคล้องกับรากของระดับที่สาม ได้ 512^1/3=8 นี่คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข 2.4 และ 64

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม คุณสามารถค้นหาค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตได้อีกทางหนึ่ง ค้นหาปุ่มบันทึกบนแป้นพิมพ์ของคุณ หลังจากนั้น ให้หาลอการิทึมของแต่ละตัวเลข หาผลรวมแล้วหารด้วยจำนวนตัวเลข จากจำนวนผลลัพธ์ ใช้ antilogarithm นี่จะเป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของตัวเลข ตัวอย่างเช่น หากต้องการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข 2, 4 และ 64 ที่เหมือนกัน ให้สร้างชุดการดำเนินการบนเครื่องคิดเลข พิมพ์เลข 2 แล้วกดปุ่ม log กดปุ่ม "+" พิมพ์เลข 4 แล้วกด log และ "+" อีกครั้ง พิมพ์ 64 กด log และ "=" ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลข เท่ากับผลรวมลอการิทึมทศนิยมของตัวเลข 2, 4 และ 64 หารจำนวนผลลัพธ์ด้วย 3 เนื่องจากเป็นจำนวนของตัวเลขที่ต้องการหาค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต จากผลลัพธ์ ให้ใช้แอนติโลการิทึมโดยการสลับคีย์รีจิสเตอร์และใช้คีย์บันทึกเดียวกัน ผลลัพธ์คือเลข 8 นี่คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตที่ต้องการ

ค่าเฉลี่ยใช้กันอย่างแพร่หลายในสถิติ ค่าเฉลี่ยกำหนดตัวบ่งชี้เชิงคุณภาพของกิจกรรมเชิงพาณิชย์: ต้นทุนการจัดจำหน่าย กำไร ความสามารถในการทำกำไร ฯลฯ

ปานกลาง นี่เป็นหนึ่งในการสรุปทั่วไปที่พบบ่อยที่สุด ความเข้าใจที่ถูกต้องเกี่ยวกับสาระสำคัญของค่าเฉลี่ยจะกำหนดความสำคัญเป็นพิเศษในแง่ของ เศรษฐกิจตลาดเมื่อค่าเฉลี่ยผ่านบุคคลและการสุ่มช่วยให้คุณสามารถระบุข้อมูลทั่วไปและจำเป็นเพื่อระบุแนวโน้มของรูปแบบการพัฒนาเศรษฐกิจ

ค่าเฉลี่ย - สิ่งเหล่านี้เป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปที่พวกเขาพบการแสดงออกของการกระทำของเงื่อนไขทั่วไป, รูปแบบของปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษา

ค่าเฉลี่ยทางสถิติคำนวณจากข้อมูลมวลของการสังเกตมวลที่จัดระบบทางสถิติอย่างถูกต้อง (แบบต่อเนื่องและแบบเลือก) อย่างไรก็ตาม ค่าเฉลี่ยทางสถิติจะเป็นไปตามวัตถุประสงค์และโดยทั่วไป หากคำนวณจากข้อมูลมวลสำหรับประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงคุณภาพ (ปรากฏการณ์มวล) ตัวอย่างเช่น หากเราคำนวณค่าจ้างเฉลี่ยในสหกรณ์และรัฐวิสาหกิจ และขยายผลไปยังประชากรทั้งหมด ค่าเฉลี่ยนั้นเป็นเรื่องสมมติ เนื่องจากคำนวณสำหรับประชากรที่แตกต่างกัน และค่าเฉลี่ยดังกล่าวจะสูญเสียความหมายทั้งหมด

ด้วยความช่วยเหลือของค่าเฉลี่ยมีความแตกต่างที่ราบรื่น ขนาดคุณสมบัติที่เกิดขึ้นด้วยเหตุผลใดเหตุผลหนึ่งในแต่ละหน่วยการสังเกต

ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์โดยเฉลี่ยของพนักงานขายขึ้นอยู่กับปัจจัยหลายอย่าง: คุณสมบัติ อายุงาน อายุ รูปแบบการบริการ สุขภาพ และอื่นๆ

ผลผลิตเฉลี่ยสะท้อนถึงคุณสมบัติทั่วไปของประชากรทั้งหมด

ค่าเฉลี่ยเป็นภาพสะท้อนของค่าของลักษณะที่ศึกษา ดังนั้นจึงวัดในมิติเดียวกับลักษณะนี้

ค่าเฉลี่ยแต่ละค่าแสดงลักษณะของประชากรที่ศึกษาตามคุณลักษณะใดคุณลักษณะหนึ่ง เพื่อให้ได้ภาพรวมที่สมบูรณ์และครอบคลุมของประชากรภายใต้การศึกษาในแง่ของคุณสมบัติที่จำเป็นหลายประการ โดยทั่วไปจำเป็นต้องมีระบบค่าเฉลี่ยที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์จากมุมต่างๆ

มีค่าเฉลี่ยต่างๆ:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

เฉลี่ยเรขาคณิต;

ฮาร์มอนิกเฉลี่ย

รูทค่าเฉลี่ยกำลังสอง;

ค่าเฉลี่ยตามลำดับเวลา

พิจารณาค่าเฉลี่ยบางประเภทที่ใช้บ่อยที่สุดในสถิติ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย (ไม่ถ่วงน้ำหนัก) เท่ากับผลรวมของค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะ หารด้วยจำนวนของค่าเหล่านี้

แต่ละค่าของแอตทริบิวต์เรียกว่าตัวแปรและแสดงโดย x (); จำนวนหน่วยประชากรแสดงด้วย n ค่าเฉลี่ยของคุณสมบัติ - โดย . ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคือ:

ตามข้อมูลของชุดการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง จะเห็นได้ว่าค่าเดียวกันของแอตทริบิวต์ (ตัวเลือก) ซ้ำกันหลายครั้ง ดังนั้น ตัวแปร x จึงเกิดขึ้นในผลรวม 2 ครั้ง และตัวแปร x - 16 ครั้ง เป็นต้น

จำนวนค่าที่เหมือนกันของคุณสมบัติในชุดการกระจายเรียกว่าความถี่หรือน้ำหนักและแสดงด้วยสัญลักษณ์ n

คำนวณค่าจ้างเฉลี่ยต่อคนงาน ในรูเบิล:

ใบเรียกเก็บเงินค่าจ้างสำหรับพนักงานแต่ละกลุ่มจะเท่ากับผลคูณของตัวเลือกและความถี่ และผลรวมของผลิตภัณฑ์เหล่านี้จะให้ค่าผลรวมของใบแจ้งยอดค่าจ้างของพนักงานทุกคน

ตามนี้ การคำนวณสามารถแสดงในรูปแบบทั่วไป:

สูตรผลลัพธ์เรียกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

เนื้อหาทางสถิติอันเป็นผลมาจากการประมวลผลสามารถนำเสนอได้ไม่เฉพาะในรูปแบบของชุดการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น แต่ยังอยู่ในรูปของชุดการแปรผันของช่วงเวลาที่มีช่วงปิดหรือช่วงเปิด

การคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่มดำเนินการตามสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:

ในทางปฏิบัติของสถิติเศรษฐกิจ บางครั้งจำเป็นต้องคำนวณค่าเฉลี่ยโดยค่าเฉลี่ยกลุ่มหรือค่าเฉลี่ยของแต่ละส่วนของประชากร (ค่าเฉลี่ยบางส่วน) ในกรณีดังกล่าว ค่าเฉลี่ยกลุ่มหรือบางส่วนจะถูกนำมาใช้เป็นตัวเลือก (x) โดยพิจารณาจากค่าเฉลี่ยทั้งหมดซึ่งคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางเลขคณิตตามปกติ

คุณสมบัติพื้นฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิต .

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีคุณสมบัติหลายประการ:

1. จากความถี่ของแต่ละค่าของแอตทริบิวต์ x ที่ลดลงหรือเพิ่มขึ้น n ครั้ง ค่าของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลง

หากความถี่ทั้งหมดถูกหารหรือคูณด้วยตัวเลข ค่าของค่าเฉลี่ยจะไม่เปลี่ยนแปลง

2. ตัวคูณรวมของแต่ละค่าของแอตทริบิวต์สามารถนำมาจากเครื่องหมายของค่าเฉลี่ยได้:

3. ผลรวมเฉลี่ย (ผลต่าง) ของปริมาณตั้งแต่สองปริมาณขึ้นไปเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของค่าเฉลี่ย:

4. ถ้า x \u003d c โดยที่ c เป็นค่าคงที่ ดังนั้น
.

5. ผลรวมของการเบี่ยงเบนของค่าของคุณลักษณะ X จากค่าเฉลี่ยเลขคณิต x เท่ากับศูนย์:

ฮาร์มอนิกเฉลี่ย

ควบคู่ไปกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต สถิติใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าส่วนกลับของแอตทริบิวต์ เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต มันสามารถง่ายและถ่วงน้ำหนักได้

นอกจากค่าเฉลี่ยแล้ว ลักษณะของชุดการเปลี่ยนแปลงคือโหมดและค่ามัธยฐาน

แฟชั่น - นี่คือค่าของลักษณะ (ตัวแปร) ซึ่งซ้ำบ่อยที่สุดในประชากรที่ศึกษา สำหรับชุดการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง โหมดจะเป็นค่าของตัวแปรที่มีความถี่สูงสุด

สำหรับอนุกรมการแจกแจงช่วงเวลาที่มีช่วงเท่ากัน โหมดจะกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน
- ค่าเริ่มต้นของช่วงเวลาที่มีโหมด

- ค่าของช่วงเวลาโมดอล

- ความถี่ช่วงเวลาโมดอล

- ความถี่ของช่วงเวลาก่อนหน้าโมดอล

- ความถี่ของช่วงเวลาตามโมดอล

ค่ามัธยฐาน เป็นตัวแปรที่อยู่ตรงกลางของแถวรูปแบบ ถ้าอนุกรมการกระจายไม่ต่อเนื่องกันและมีจำนวนสมาชิกเป็นเลขคี่ ค่ามัธยฐานจะเป็นตัวแปรที่อยู่ตรงกลางของอนุกรมที่เรียงลำดับ (อนุกรมที่เรียงลำดับคือการจัดเรียงหน่วยประชากรในลำดับจากน้อยไปหามากหรือจากมากไปน้อย)

ในทางสถิติ มีการใช้ค่าเฉลี่ยประเภทต่างๆ ซึ่งแบ่งออกเป็นสองกลุ่มใหญ่:

ค่าเฉลี่ยกำลัง (ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยกำลังสอง ค่าเฉลี่ยลูกบาศก์);

ค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง (ฐานนิยม, ค่ามัธยฐาน)

การคำนวณ พลังหมายถึงต้องใช้ค่าคุณลักษณะที่มีอยู่ทั้งหมด แฟชั่นและ ค่ามัธยฐานถูกกำหนดโดยโครงสร้างการกระจายเท่านั้น ดังนั้นจึงเรียกว่าโครงสร้าง ค่าเฉลี่ยตำแหน่ง มัธยฐานและฐานนิยมมักใช้เป็น ลักษณะเฉลี่ยในประชากรเหล่านั้นซึ่งการคำนวณกำลังเฉลี่ยเป็นไปไม่ได้หรือไม่สามารถทำได้

ประเภทของค่าเฉลี่ยที่พบมากที่สุดคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต ภายใต้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นค่าของคุณลักษณะที่แต่ละหน่วยของประชากรจะมีหากผลรวมของค่าคุณลักษณะทั้งหมดถูกกระจายอย่างเท่าเทียมกันในทุกหน่วยของประชากร การคำนวณค่านี้จะลดลงเป็นผลรวมของค่าทั้งหมดของแอตทริบิวต์ตัวแปรและการหารจำนวนผลลัพธ์ด้วยจำนวนหน่วยประชากรทั้งหมด ตัวอย่างเช่น พนักงานห้าคนดำเนินการตามคำสั่งการผลิตชิ้นส่วน ในขณะที่คนแรกผลิตชิ้นส่วนได้ 5 ชิ้น ชิ้นที่สอง - 7 ชิ้นที่สาม - 4 ชิ้น ชิ้นที่สี่ - 10 ชิ้น ชิ้นที่ห้า - 12 เนื่องจากมูลค่าของแต่ละตัวเลือกเกิดขึ้นเท่านั้น ครั้งเดียวในข้อมูลเริ่มต้นเพื่อตรวจสอบ

เมื่อคำนวณผลลัพธ์เฉลี่ยของคนงานหนึ่งคน ควรใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย:

เช่น ในตัวอย่างของเรา ผลลัพธ์เฉลี่ยของคนงานหนึ่งคนเท่ากับ

พวกเขาศึกษาควบคู่ไปกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักตัวอย่างเช่นลองคำนวณ อายุเฉลี่ยนักเรียนในกลุ่ม 20 คน อายุตั้งแต่ 18 ถึง 22 ปี โดยที่ สิบเอ็ด– ตัวแปรของคุณลักษณะเฉลี่ย ไฟ- ความถี่ซึ่งแสดงว่าเกิดขึ้นกี่ครั้ง ฉัน-thมูลค่ารวม (ตารางที่ 5.1)

ตารางที่ 5.1

อายุเฉลี่ยของนักเรียน

การใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก เราได้รับ:

ในการเลือกค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักก็มี กฎบางอย่าง: หากมีชุดข้อมูลในตัวบ่งชี้สองตัว ซึ่งหนึ่งในนั้นจำเป็นต้องคำนวณ

ค่าเฉลี่ยและในเวลาเดียวกันจะทราบค่าตัวเลขของตัวส่วนของสูตรตรรกะและไม่ทราบค่าของตัวเศษ แต่สามารถพบได้เป็นผลคูณของ ตัวบ่งชี้เหล่านี้ควรคำนวณค่าเฉลี่ยโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต

ในบางกรณี ลักษณะของข้อมูลสถิติเริ่มต้นนั้นทำให้การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสูญเสียความหมายไป และตัวบ่งชี้ทั่วไปเพียงอย่างเดียวเท่านั้นที่สามารถเป็นค่าเฉลี่ยประเภทอื่นได้เท่านั้น - ฮาร์มอนิกเฉลี่ยในปัจจุบัน คุณสมบัติการคำนวณของค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้สูญเสียความเกี่ยวข้องในการคำนวณตัวบ่งชี้ทางสถิติโดยทั่วไป เนื่องจากมีการนำคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์มาใช้อย่างแพร่หลาย ค่าฮาร์มอนิกเฉลี่ยซึ่งเรียบง่ายและมีน้ำหนัก ได้รับความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมาก หากทราบค่าตัวเลขของตัวเศษของสูตรลอจิคัลและไม่ทราบค่าของตัวส่วน แต่สามารถหาได้ว่าเป็นการหารส่วนตัวของตัวบ่งชี้หนึ่งโดยอีกตัวบ่งชี้หนึ่ง ค่าเฉลี่ยจะถูกคำนวณโดยการถ่วงน้ำหนัก สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ตัวอย่างเช่น บอกให้รู้ว่ารถแล่นไปได้ 210 กม. แรกด้วยความเร็ว 70 กม./ชม. และอีก 150 กม. ที่เหลือด้วยความเร็ว 75 กม./ชม. เป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดความเร็วเฉลี่ยของรถตลอดการเดินทาง 360 กม. โดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต เนื่องจากตัวเลือกเป็นความเร็วในแต่ละส่วน xj= 70 กม./ชม. และ เอ็กซ์ทู= 75 กม./ชม. และน้ำหนัก (fi) คือส่วนที่สอดคล้องกันของเส้นทาง ดังนั้นผลคูณของตัวเลือกตามน้ำหนักจะไม่มีความหมายทางกายภาพหรือทางเศรษฐกิจ ในกรณีนี้ การแบ่งส่วนของเส้นทางออกเป็นความเร็วที่สอดคล้องกัน (ตัวเลือก xi) เป็นเรื่องที่สมเหตุสมผล (ตัวเลือก xi) กล่าวคือ เวลาที่ใช้ในการผ่านแต่ละส่วนของเส้นทาง (fi / xi). หากส่วนของเส้นทางแสดงด้วย fi เส้นทางทั้งหมดสามารถแสดงเป็น fi และเวลาที่ใช้ในเส้นทางทั้งหมดได้อย่างไร ไฟ / สิบเอ็ด , จากนั้นสามารถหาความเร็วเฉลี่ยเป็นผลหารของระยะทางทั้งหมดหารด้วยเวลาทั้งหมดที่ใช้:

ในตัวอย่างของเรา เราได้รับ:

หากเมื่อใช้น้ำหนักฮาร์มอนิกเฉลี่ยของตัวเลือกทั้งหมด (f) เท่ากัน คุณสามารถใช้น้ำหนักฮาร์มอนิกแทนได้ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกอย่างง่าย (ไม่ถ่วงน้ำหนัก):

โดยที่ xi เป็นตัวเลือกส่วนบุคคล นคือจำนวนรูปแบบต่างๆ ของคุณลักษณะเฉลี่ย ในตัวอย่างด้วยความเร็ว ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกอย่างง่ายสามารถใช้ได้หากส่วนของเส้นทางที่เดินทางด้วยความเร็วต่างกันเท่ากัน

ค่าเฉลี่ยใด ๆ ควรคำนวณเพื่อที่ว่าเมื่อแทนที่ตัวแปรแต่ละรายการของคุณลักษณะค่าเฉลี่ย ค่าของตัวบ่งชี้สรุปขั้นสุดท้ายบางค่า ซึ่งเชื่อมโยงกับตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ย จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น เมื่อแทนที่ความเร็วจริงในแต่ละส่วนของเส้นทางด้วยค่าเฉลี่ย (ความเร็วเฉลี่ย) ระยะทางทั้งหมดไม่ควรเปลี่ยนแปลง

รูปแบบ (สูตร) ​​ของค่าเฉลี่ยถูกกำหนดโดยธรรมชาติ (กลไก) ของความสัมพันธ์ของตัวบ่งชี้สุดท้ายนี้กับค่าเฉลี่ย ดังนั้นตัวบ่งชี้สุดท้าย ค่าที่ไม่ควรเปลี่ยนแปลงเมื่อตัวเลือกถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ย , ถูกเรียก ตัวบ่งชี้ที่กำหนดในการรับสูตรค่าเฉลี่ย คุณต้องเขียนและแก้สมการโดยใช้ความสัมพันธ์ของตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยกับตัวกำหนด สมการนี้สร้างขึ้นโดยการแทนที่ตัวแปรของคุณลักษณะเฉลี่ย (ตัวบ่งชี้) ด้วยค่าเฉลี่ย

นอกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกแล้ว ค่าเฉลี่ยประเภทอื่นๆ (รูปแบบ) ยังใช้ในทางสถิติอีกด้วย ทั้งหมดเป็นกรณีพิเศษ เกรดเฉลี่ยหากเราคำนวณค่าเฉลี่ยกฎกำลังทุกประเภทสำหรับข้อมูลเดียวกัน ค่าดังกล่าว

พวกเขาจะเหมือนกัน ใช้กฎที่นี่ วิชาเอกปานกลาง. เมื่อเลขยกกำลังของค่าเฉลี่ยเพิ่มขึ้น ค่าเฉลี่ยก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน สูตรการคำนวณที่ใช้บ่อยที่สุดในการวิจัยเชิงปฏิบัติ ชนิดต่างๆค่าเฉลี่ยพลังงานแสดงในตาราง 5.2.

ตารางที่ 5.2

ประเภทของพลังงานหมายถึง

จะใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเมื่อมี นปัจจัยการเจริญเติบโตในขณะที่ค่านิยมส่วนบุคคลของลักษณะนั้นตามกฎแล้ว ค่าสัมพัทธ์พลวัตที่สร้างขึ้นในรูปแบบของค่าลูกโซ่ เป็นอัตราส่วนกับระดับก่อนหน้าของแต่ละระดับในชุดของไดนามิก ค่าเฉลี่ยจึงเป็นลักษณะของอัตราการเติบโตเฉลี่ย เรขาคณิตหมายถึงง่ายคำนวณโดยสูตร

สูตร ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตถ่วงน้ำหนักมีรูปแบบดังนี้

สูตรข้างต้นเหมือนกัน แต่สูตรหนึ่งใช้กับค่าสัมประสิทธิ์ปัจจุบันหรืออัตราการเติบโตและสูตรที่สอง - ที่ค่าสัมบูรณ์ของระดับของซีรีส์

รากหมายถึงกำลังสองใช้เมื่อคำนวณด้วยค่าของฟังก์ชันกำลังสอง ใช้เพื่อวัดระดับความผันผวนของค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์รอบค่าเฉลี่ยเลขคณิตในชุดการแจกแจงและคำนวณโดยสูตร

ค่าเฉลี่ยกำลังสองถ่วงน้ำหนักคำนวณโดยใช้สูตรอื่น:

ลูกบาศก์เฉลี่ยใช้เมื่อคำนวณด้วยค่าของฟังก์ชันลูกบาศก์และคำนวณโดยสูตร

ลูกบาศก์เฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก:

ค่าเฉลี่ยข้างต้นทั้งหมดสามารถแสดงเป็นสูตรทั่วไป:

ค่าเฉลี่ยอยู่ที่ไหน – ค่าส่วนตัว; น- จำนวนหน่วยของประชากรที่ศึกษา เคเป็นเลขยกกำลังที่กำหนดประเภทของค่าเฉลี่ย

เมื่อใช้แหล่งข้อมูลเดียวกันก็ยิ่งมากขึ้น เควี สูตรทั่วไปค่าเฉลี่ยพลัง ยิ่งค่าเฉลี่ยมาก จากนี้ไปมีความสัมพันธ์ปกติระหว่างค่าของพลังงานหมายถึง:

ค่าเฉลี่ยที่อธิบายไว้ข้างต้นให้แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับประชากรที่กำลังศึกษาอยู่ และจากมุมมองนี้ ความสำคัญทางทฤษฎี การนำไปใช้ และความรู้ความเข้าใจของพวกเขานั้นไม่อาจโต้แย้งได้ แต่มันเกิดขึ้นที่ค่าเฉลี่ยไม่ตรงกับตัวเลือกที่มีอยู่จริง ๆ ดังนั้นนอกเหนือจากค่าเฉลี่ยที่พิจารณาใน การวิเคราะห์ทางสถิติเป็นการสมควรที่จะใช้ค่าของตัวแปรเฉพาะที่อยู่ในตำแหน่งที่กำหนดไว้อย่างดีในชุดค่าแอตทริบิวต์ที่เรียงลำดับ (อันดับ) ในบรรดาปริมาณเหล่านี้ ปริมาณที่ใช้กันมากที่สุดคือ โครงสร้าง,หรือ พรรณนาเฉลี่ย– โหมด (Mo) และค่ามัธยฐาน (Me)

แฟชั่น- ค่าของลักษณะที่พบมากที่สุดในประชากรกลุ่มนี้ สำหรับชุดการเปลี่ยนแปลง โหมดคือค่าที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดของชุดอันดับ นั่นคือ ตัวแปรที่มีความถี่สูงสุด แฟชั่นสามารถใช้เพื่อระบุร้านค้าที่เข้าชมบ่อยที่สุด ซึ่งเป็นราคาทั่วไปสำหรับสินค้าใดๆ แสดงขนาดของลักษณะเด่นของส่วนสำคัญของประชากร และถูกกำหนดโดยสูตร

โดยที่ x0 คือขีดจำกัดล่างของช่วงเวลา ชม.– ค่าช่วงเวลา เอฟเอ็ม– ความถี่ของช่วงเวลา เอฟเอ็ม_ 1 – ความถี่ของช่วงเวลาก่อนหน้า เอฟเอ็ม+ 1 – ความถี่ของช่วงเวลาถัดไป

ค่ามัธยฐานตัวแปรที่อยู่ตรงกลางของแถวที่จัดอันดับเรียกว่า ค่ามัธยฐานแบ่งซีรีส์ออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันในลักษณะที่ทั้งสองด้านมีจำนวนหน่วยประชากรเท่ากัน ในเวลาเดียวกันในครึ่งหนึ่งของหน่วยประชากรค่าของแอตทริบิวต์ตัวแปรจะน้อยกว่าค่ามัธยฐานและอีกครึ่งหนึ่งมีค่ามากกว่าค่ามัธยฐาน ค่ามัธยฐานใช้เมื่อตรวจสอบองค์ประกอบที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับหรือพร้อมกันน้อยกว่าหรือเท่ากับครึ่งหนึ่งขององค์ประกอบของชุดการกระจาย ค่ามัธยฐานให้ ความคิดทั่วไปเกี่ยวกับจุดที่มีความเข้มข้นของค่าคุณลักษณะหรืออีกนัยหนึ่งคือจุดศูนย์กลางตั้งอยู่

ลักษณะเชิงพรรณนาของค่ามัธยฐานเป็นที่ประจักษ์ในความจริงที่ว่ามันเป็นลักษณะขอบเขตเชิงปริมาณของค่าของแอตทริบิวต์ที่แตกต่างกันซึ่งครอบครองโดยครึ่งหนึ่งของหน่วยประชากร ปัญหาในการหาค่ามัธยฐานสำหรับอนุกรมการแปรผันแบบไม่ต่อเนื่องนั้นแก้ไขได้ง่ายๆ หากหน่วยทั้งหมดของอนุกรมได้รับหมายเลขซีเรียล หมายเลขซีเรียลของตัวแปรมัธยฐานจะถูกกำหนดเป็น (n + 1) / 2 โดยมีสมาชิกเป็นเลขคี่ n หากจำนวนสมาชิกของอนุกรมเป็นเลขคู่ ค่ามัธยฐานจะเป็นค่าเฉลี่ยของตัวแปรสองตัวที่มีหมายเลขซีเรียล น/ 2 และ น/ 2 + 1.

เมื่อพิจารณาค่ามัธยฐานในชุดการเปลี่ยนแปลงช่วงเวลา ช่วงเวลาที่ค่ามัธยฐาน (ค่ามัธยฐาน) จะถูกกำหนดก่อน ช่วงเวลานี้มีลักษณะเฉพาะคือผลรวมความถี่สะสมเท่ากับหรือเกินครึ่งผลรวมของความถี่ทั้งหมดของซีรีส์ การคำนวณค่ามัธยฐานของชุดการเปลี่ยนแปลงช่วงเวลาดำเนินการตามสูตร

ที่ไหน X0เป็นขอบเขตล่างของช่วงเวลา ชม.– ค่าช่วงเวลา เอฟเอ็ม– ความถี่ของช่วงเวลา ฉคือจำนวนสมาชิกของซีรีส์

ม -1 - ผลรวมของสมาชิกสะสมของซีรีส์ก่อนหน้านี้

พร้อมกับค่ามัธยฐานเพิ่มเติม ลักษณะที่สมบูรณ์โครงสร้างของประชากรที่ศึกษายังใช้ค่าอื่น ๆ ของตัวเลือกที่อยู่ในตำแหน่งที่ค่อนข้างแน่นอนในซีรีส์อันดับ เหล่านี้รวมถึง ควอไทล์และ เดซิลิตรควอไทล์แบ่งซีรีส์ด้วยผลรวมของความถี่ออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน และเดซิลิตร - เป็น 10 ส่วนเท่าๆ กัน มีสามควอไทล์และเก้าเดซิลิตร

ค่ามัธยฐานและฐานนิยมซึ่งตรงกันข้ามกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่ได้ดับความแตกต่างของแต่ละบุคคลในค่าของแอตทริบิวต์ตัวแปร ดังนั้นจึงเป็นลักษณะเพิ่มเติมและสำคัญมากของประชากรทางสถิติ ในทางปฏิบัติมักใช้แทนค่าเฉลี่ยหรือร่วมกับมัน เป็นการสมควรอย่างยิ่งที่จะคำนวณค่ามัธยฐานและฐานนิยมในกรณีเหล่านั้นเมื่อประชากรที่ศึกษามีจำนวนหน่วยจำนวนหนึ่งที่มีค่าแอตทริบิวต์ตัวแปรมากหรือน้อย ค่าตัวเลือกเหล่านี้ซึ่งไม่มีลักษณะเฉพาะสำหรับประชากรในขณะที่ส่งผลต่อค่าของค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่ส่งผลต่อค่ามัธยฐานและฐานนิยมซึ่งทำให้ตัวบ่งชี้ที่มีค่ามากสำหรับการวิเคราะห์ทางเศรษฐกิจและสถิติ .