ตัวเลขและ นิพจน์พีชคณิต- การแปลงนิพจน์

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์คืออะไร? เหตุใดเราจึงต้องแปลงนิพจน์

อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าคำถามนี้น่าสนใจ... ความจริงก็คือแนวคิดเหล่านี้เป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด คณิตศาสตร์ทั้งหมดประกอบด้วยนิพจน์และการแปลง ไม่ชัดเจนมาก? ให้ฉันอธิบาย.

สมมติว่าคุณมีตัวอย่างที่ชั่วร้ายอยู่ตรงหน้าคุณ ใหญ่มากและซับซ้อนมาก สมมติว่าคุณเก่งคณิตศาสตร์และไม่กลัวสิ่งใดเลย! คุณสามารถให้คำตอบได้ทันที?

คุณจะต้อง ตัดสินใจตัวอย่างนี้ อย่างต่อเนื่อง ทีละขั้นตอน ตัวอย่างนี้ ลดความซับซ้อน- โดย กฎบางอย่างตามธรรมชาติ เหล่านั้น. ทำ การแปลงนิพจน์- ยิ่งคุณทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้สำเร็จมากเท่าไร คุณก็จะยิ่งแข็งแกร่งในวิชาคณิตศาสตร์มากขึ้นเท่านั้น หากคุณไม่ทราบวิธีการแปลงที่ถูกต้อง คุณจะทำการแปลงดังกล่าวในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ได้ ไม่มีอะไร...

เพื่อหลีกเลี่ยงอนาคตที่น่าอึดอัด (หรือปัจจุบัน...) การเข้าใจหัวข้อนี้ไม่ใช่เรื่องเสียหาย)

ก่อนอื่นเรามาดูกันดีกว่า การแสดงออกทางคณิตศาสตร์คืออะไร- เกิดอะไรขึ้น นิพจน์ตัวเลขและคืออะไร การแสดงออกทางพีชคณิต

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์- นี่เป็นแนวคิดที่กว้างมาก เกือบทุกสิ่งที่เราจัดการในวิชาคณิตศาสตร์คือชุดของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง สูตร เศษส่วน สมการ และอื่นๆ ทั้งหมดประกอบด้วย นิพจน์ทางคณิตศาสตร์.

3+2 คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ส 2 - วัน 2- นี่เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ด้วย ทั้งเศษส่วนที่มีประโยชน์และแม้แต่ตัวเลขเดียวต่างก็ล้วนเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น สมการคือ:

5x + 2 = 12

ประกอบด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองตัวที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ สำนวนหนึ่งอยู่ทางซ้ายและอีกอันอยู่ทางขวา

ใน มุมมองทั่วไปภาคเรียน " การแสดงออกทางคณิตศาสตร์“มักใช้เพื่อหลีกเลี่ยงการมวน เขาจะถามว่าเศษส่วนธรรมดาคืออะไร แล้วจะตอบยังไงล่ะ?!

คำตอบแรก: "นี่คือ... อืมมมม... แบบนั้น... ซึ่ง... จะเขียนเศษส่วนให้ดีขึ้นได้ไหม? คุณต้องการอันไหน?”

คำตอบที่สอง: " เศษส่วนสามัญ- นี่คือ (ร่าเริงและสนุกสนาน!) การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยทั้งเศษและส่วน!”

ตัวเลือกที่สองคงจะน่าประทับใจกว่านี้ใช่ไหม?)

นี่คือจุดประสงค์ของคำว่า " การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ “ดีมาก ทั้งถูกต้องและมั่นคง แต่ในการใช้งานจริงจำเป็นต้องมีความเข้าใจเป็นอย่างดี” นิพจน์เฉพาะทางทางคณิตศาสตร์ .

ประเภทเฉพาะเป็นอีกเรื่องหนึ่ง นี้ มันเป็นเรื่องที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง!นิพจน์ทางคณิตศาสตร์แต่ละประเภทมี ของฉันชุดกฎและเทคนิคที่ต้องใช้ในการตัดสินใจ สำหรับการทำงานกับเศษส่วน - หนึ่งชุด สำหรับการทำงานกับนิพจน์ตรีโกณมิติ - อันที่สอง สำหรับการทำงานกับลอการิทึม - อันที่สาม และอื่นๆ กฎเหล่านี้อยู่ที่ไหนสักแห่งก็เหมือนกัน แต่บางแห่งก็แตกต่างอย่างมาก แต่อย่ากลัวคำพูดที่น่ากลัวเหล่านี้ เราจะเชี่ยวชาญลอการิทึม ตรีโกณมิติ และเรื่องลึกลับอื่นๆ ในส่วนที่เหมาะสม

ที่นี่เราจะเชี่ยวชาญ (หรือ - ทำซ้ำ ขึ้นอยู่กับใคร...) นิพจน์ทางคณิตศาสตร์หลักสองประเภท นิพจน์เชิงตัวเลขและนิพจน์พีชคณิต

นิพจน์ตัวเลข

เกิดอะไรขึ้น นิพจน์ตัวเลข- นี่เป็นแนวคิดที่ง่ายมาก ชื่อนี้บอกเป็นนัยว่านี่คือสำนวนที่มีตัวเลข ใช่ มันเป็นอย่างนั้น นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข วงเล็บ และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เรียกว่านิพจน์เชิงตัวเลข

7-3 เป็นนิพจน์ตัวเลข

(8+3.2) 5.4 ก็เป็นนิพจน์ตัวเลขเช่นกัน

และสัตว์ประหลาดตัวนี้:

เป็นนิพจน์เชิงตัวเลขด้วย ใช่...

หมายเลขประจำ, เศษส่วน, ตัวอย่างการคำนวณใด ๆ ที่ไม่มี X และตัวอักษรอื่น ๆ - ทั้งหมดนี้เป็นนิพจน์ตัวเลข

ป้ายหลัก ตัวเลขการแสดงออก - ในนั้น ไม่มีตัวอักษร- ไม่มี. เฉพาะตัวเลขและ ไอคอนคณิตศาสตร์(ถ้าจำเป็น) มันง่ายใช่มั้ย?

และคุณสามารถทำอะไรได้บ้าง นิพจน์เชิงตัวเลข- โดยปกติแล้วนิพจน์ตัวเลขสามารถนับได้ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องเปิดวงเล็บ เปลี่ยนป้าย ย่อ สลับเงื่อนไข - เช่น ทำ การแปลงนิพจน์- แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับที่ด้านล่าง

ที่นี่เราจะจัดการกับกรณีที่ตลกเช่นนี้เมื่อมีนิพจน์ตัวเลข คุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรเลยไม่มีอะไรเลย! การดำเนินการที่น่าพอใจนี้ - ไม่ทำอะไรเลย)- จะถูกดำเนินการเมื่อมีการแสดงออก ไม่สมเหตุสมผล.

เมื่อใดที่นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผล?

เห็นได้ชัดว่าถ้าเราเห็นอับราคาดาบราบางอย่างอยู่ตรงหน้าเราเช่นนั้น

แล้วเราจะไม่ทำอะไรเลย เพราะยังไม่ชัดเจนว่าต้องทำอย่างไร เรื่องไร้สาระบางอย่าง อาจจะนับจำนวนข้อดี...

แต่ภายนอกมีการแสดงออกที่ค่อนข้างดี ตัวอย่างเช่น:

(2+3) : (16 - 2 8)

อย่างไรก็ตาม สำนวนนี้ก็เช่นกัน ไม่สมเหตุสมผล- ด้วยเหตุผลง่ายๆ ก็คือในวงเล็บที่สอง ถ้าคุณนับ คุณจะได้ศูนย์ แต่คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้! นี่เป็นการกระทำที่ต้องห้ามในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับนิพจน์นี้เช่นกัน สำหรับงานใดๆ ที่มีนิพจน์ดังกล่าว คำตอบจะเหมือนเดิมเสมอ: “การแสดงออกไม่มีความหมาย!”

แน่นอนว่าเพื่อที่จะตอบคำถามนี้ ผมต้องคำนวณว่าอะไรจะอยู่ในวงเล็บ และบางครั้งก็มีหลายสิ่งหลายอย่างอยู่ในวงเล็บ... คุณไม่สามารถทำอะไรกับมันได้

การดำเนินการต้องห้ามในคณิตศาสตร์มีไม่มากนัก มีเพียงหนึ่งเดียวในหัวข้อนี้ หารด้วยศูนย์ ข้อจำกัดเพิ่มเติมที่เกิดขึ้นในรูทและลอการิทึมจะกล่าวถึงในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

ดังนั้นความคิดว่ามันคืออะไร นิพจน์ตัวเลข- ได้รับ. แนวคิด นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผล- ที่ตระหนักรู้. เดินหน้าต่อไป

นิพจน์พีชคณิต

หากตัวอักษรปรากฏในนิพจน์ตัวเลข นิพจน์นี้จะกลายเป็น... นิพจน์จะกลายเป็น... ใช่! มันจะกลายเป็น การแสดงออกทางพีชคณิต- ตัวอย่างเช่น:

5ก 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (ก+ข) 2; ...

สำนวนดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่า การแสดงออกตามตัวอักษรหรือ นิพจน์ที่มีตัวแปรมันเกือบจะเป็นสิ่งเดียวกัน การแสดงออก 5a +คเช่น ทั้งตัวอักษรและพีชคณิต และนิพจน์ที่มีตัวแปร

แนวคิด การแสดงออกทางพีชคณิต -กว้างกว่าตัวเลข มัน รวมถึงและนิพจน์เชิงตัวเลขทั้งหมด เหล่านั้น. นิพจน์เชิงตัวเลขก็เป็นนิพจน์พีชคณิตเช่นกัน โดยไม่มีตัวอักษรเท่านั้น ปลาเฮอริ่งทุกตัวเป็นปลา แต่ไม่ใช่ปลาทุกตัวที่เป็นปลาเฮอริ่ง...)

ทำไม ตัวอักษร- มันชัดเจน. เนื่องจากมีตัวอักษร... วลี นิพจน์กับตัวแปรมันก็ไม่ได้น่างงมากเช่นกัน หากคุณเข้าใจว่าตัวเลขซ่อนอยู่ใต้ตัวอักษร คุณสามารถซ่อนตัวเลขทุกประเภทไว้ใต้ตัวอักษร... และ 5 และ -18 และอะไรก็ได้ที่คุณต้องการ นั่นคือจดหมายสามารถเป็นได้ แทนที่บน ตัวเลขที่แตกต่างกัน- นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกตัวอักษรเหล่านี้ ตัวแปร.

ในการแสดงออก ย+5, ตัวอย่างเช่น, ที่- ค่าตัวแปร หรือพวกเขาแค่พูดว่า " ตัวแปร"โดยไม่มีคำว่า "ขนาด" ต่างจากห้าซึ่งเป็นค่าคงที่ หรือเพียงแค่ - คงที่.

ภาคเรียน การแสดงออกทางพีชคณิตหมายความว่าในการทำงานกับสำนวนนี้คุณต้องใช้กฎหมายและกฎเกณฑ์ พีชคณิต- ถ้า เลขคณิตใช้งานได้กับตัวเลขเฉพาะแล้ว พีชคณิต- มีตัวเลขทั้งหมดพร้อมกัน ตัวอย่างง่ายๆ เพื่อการชี้แจง

ในทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนแบบนั้นได้

แต่ถ้าเราเขียนความเท่าเทียมกันผ่านนิพจน์พีชคณิต:

ก + ข = ข + ก

เราจะตัดสินใจทันที ทั้งหมดคำถาม. สำหรับ ตัวเลขทั้งหมดในการถลาลงเพียงครั้งเดียว เพื่อทุกสิ่งอันไม่มีที่สิ้นสุด เพราะใต้ตัวอักษร กและ ขโดยนัย ทั้งหมดตัวเลข และไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังมีนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ด้วย นี่คือวิธีการทำงานของพีชคณิต

เมื่อใดที่นิพจน์พีชคณิตไม่สมเหตุสมผล?

ทุกอย่างเกี่ยวกับนิพจน์ตัวเลขมีความชัดเจน คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ตรงนี้ได้. แล้วมีตัวอักษรจะรู้ไหมว่าเราหารด้วยอะไร?!

ลองใช้ตัวอย่างนิพจน์นี้กับตัวแปร:

2: (ก - 5)

มันสมเหตุสมผลไหม? ใครจะรู้? ก- เบอร์ไหนก็ได้...

ใดใดใด... แต่มีความหมายเดียวคือ กซึ่งสำนวนนี้ อย่างแน่นอนไม่สมเหตุสมผลเลย! และหมายเลขนี้คืออะไร? ใช่! นี่คือ 5! หากเป็นตัวแปร กแทนที่ (พวกเขาพูดว่า "ทดแทน") ด้วยหมายเลข 5 ในวงเล็บคุณจะได้ศูนย์ ซึ่งแบ่งแยกไม่ได้ ปรากฎว่าพจน์ของเรา ไม่สมเหตุสมผล, ถ้า ก = 5- แต่สำหรับคุณค่าอื่นๆ กมันสมเหตุสมผลไหม? แทนเลขอื่นได้ไหม

แน่นอน. ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาเพียงแต่พูดว่าสำนวนนี้

2: (ก - 5)

เหมาะสมสำหรับค่าใด ๆ ก, ยกเว้น a = 5 .

ทั้งชุดตัวเลขนั้น สามารถการแทนที่ในนิพจน์ที่กำหนดเรียกว่า ภูมิภาค ค่าที่ยอมรับได้ การแสดงออกนี้

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรยุ่งยาก ลองดูนิพจน์ที่มีตัวแปรแล้วหาคำตอบว่าการดำเนินการที่ต้องห้าม (หารด้วยศูนย์) มีค่าเท่าใดของตัวแปร?

จากนั้นอย่าลืมดูคำถามของงาน พวกเขากำลังถามอะไร?

ไม่สมเหตุสมผลความหมายต้องห้ามของเราจะเป็นคำตอบ

หากถามว่านิพจน์มีค่าเท่าใดของตัวแปร สมเหตุสมผล(รู้สึกถึงความแตกต่าง!) คำตอบจะเป็น หมายเลขอื่นๆ ทั้งหมดยกเว้นของต้องห้าม

ทำไมเราถึงต้องการความหมายของสำนวน? เขาอยู่ เขาไม่... ต่างกันยังไง! ประเด็นก็คือแนวคิดนี้มีความสำคัญมากในโรงเรียนมัธยม สำคัญมาก! นี่เป็นพื้นฐานสำหรับแนวคิดที่มั่นคงเช่นโดเมนของค่าที่ยอมรับได้หรือโดเมนของฟังก์ชัน หากไม่มีสิ่งนี้ คุณจะไม่สามารถแก้สมการหรืออสมการที่จริงจังได้เลย แบบนี้.

การแปลงนิพจน์ การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์

เราคุ้นเคยกับนิพจน์เชิงตัวเลขและพีชคณิต เราเข้าใจว่าวลี "สำนวนนี้ไม่มีความหมาย" หมายถึงอะไร ตอนนี้เราต้องหาว่ามันคืออะไร การแปลงนิพจน์คำตอบนั้นง่ายจนน่าอับอาย) นี่คือการกระทำใด ๆ ที่มีการแสดงออก นั่นคือทั้งหมดที่ คุณทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1

ลองใช้นิพจน์ตัวเลขเจ๋งๆ 3+5 กัน มันสามารถแปลงได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก! คำนวณ:

การคำนวณนี้จะเป็นการแปลงนิพจน์ คุณสามารถเขียนนิพจน์เดียวกันให้แตกต่างออกไปได้:

ที่นี่เราไม่ได้นับอะไรเลย แค่เขียนสำนวนลงไป ในรูปแบบที่แตกต่างนี่จะเป็นการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ด้วย คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

และนี่คือการเปลี่ยนแปลงของการแสดงออกด้วย คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงได้มากเท่าที่คุณต้องการ

ใดๆการกระทำต่อการแสดงออก ใดๆการเขียนในรูปแบบอื่นเรียกว่าการเปลี่ยนการแสดงออก และนั่นคือทั้งหมด มันง่ายมาก แต่มีสิ่งหนึ่งที่นี่ กฎที่สำคัญมากสำคัญมากจนสามารถเรียกได้อย่างปลอดภัย กฎหลักคณิตศาสตร์ทั้งหมด แหกกฎนี้ อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้นำไปสู่ข้อผิดพลาด เราเข้าเรื่องหรือเปล่า?)

สมมติว่าเราเปลี่ยนการแสดงออกของเราอย่างไม่ได้ตั้งใจ เช่นนี้:

การแปลง? แน่นอน. เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบอื่น เกิดอะไรขึ้นที่นี่

มันไม่ใช่แบบนั้น) ประเด็นก็คือการเปลี่ยนแปลง "โดยการสุ่ม"ไม่สนใจคณิตศาสตร์เลย) คณิตศาสตร์ทั้งหมดถูกสร้างขึ้นจากการแปลงซึ่ง รูปร่าง, แต่สาระสำคัญของการแสดงออกไม่เปลี่ยนแปลงสามบวกห้าเขียนในรูปแบบใดก็ได้ แต่ต้องเท่ากับแปด

การเปลี่ยนแปลง การแสดงออกที่ไม่เปลี่ยนสาระสำคัญถูกเรียก เหมือนกัน

อย่างแน่นอน การเปลี่ยนแปลงตัวตนและให้เราค่อยๆ เปลี่ยนแปลงไปทีละขั้น ตัวอย่างที่ซับซ้อนเป็นสำนวนง่ายๆ การเก็บรักษา สาระสำคัญของตัวอย่างหากเราทำผิดพลาดในห่วงโซ่ของการเปลี่ยนแปลง เราทำการเปลี่ยนแปลงที่ไม่เหมือนกัน จากนั้นเราจะตัดสินใจ อื่นตัวอย่าง. พร้อมคำตอบอื่นๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องกับคำตอบที่ถูกต้อง)

นี่คือกฎหลักในการแก้ปัญหางานใด ๆ นั่นคือการรักษาเอกลักษณ์ของการเปลี่ยนแปลง

ฉันยกตัวอย่างด้วยนิพจน์ตัวเลข 3+5 เพื่อความชัดเจน ในนิพจน์พีชคณิต การแปลงเอกลักษณ์ถูกกำหนดโดยสูตรและกฎเกณฑ์ สมมติว่าในพีชคณิตมีสูตร:

ก(ข+ค) = ab + เอซี

ซึ่งหมายความว่าในทุกตัวอย่างที่เราสามารถทำได้แทนการแสดงออก ก(ข+ค)รู้สึกอิสระที่จะเขียนสำนวน เอบี + เอซี- และในทางกลับกัน นี้ การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันคณิตศาสตร์ทำให้เรามีตัวเลือกระหว่างสองนิพจน์นี้ และอันไหนที่จะเขียนขึ้นอยู่กับตัวอย่างเฉพาะ

อีกตัวอย่างหนึ่ง การแปลงที่สำคัญและจำเป็นอย่างหนึ่งคือคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน คุณสามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ลิงก์ แต่ฉันจะเตือนคุณเกี่ยวกับกฎนี้: ถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนถูกคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน หรือมีนิพจน์ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เศษส่วนนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลงนี่คือตัวอย่างของการแปลงข้อมูลประจำตัวโดยใช้คุณสมบัตินี้:

อย่างที่คุณอาจเดาได้ ห่วงโซ่นี้สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด...) ทรัพย์สินที่สำคัญมาก สิ่งนี้เองที่ทำให้คุณสามารถเปลี่ยนสัตว์ประหลาดตัวอย่างทุกประเภทให้กลายเป็นสีขาวและนุ่มฟูได้)

มีหลายสูตรที่กำหนดการแปลงที่เหมือนกัน แต่ที่สำคัญที่สุดคือเป็นจำนวนที่ค่อนข้างสมเหตุสมผล การแปลงพื้นฐานประการหนึ่งคือการแยกตัวประกอบ มันถูกใช้ในคณิตศาสตร์ทั้งหมด - ตั้งแต่ระดับประถมศึกษาถึงขั้นสูง เริ่มจากเขากันก่อน ในบทเรียนต่อไป)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ตัวเลขและนิพจน์ที่ประกอบเป็นนิพจน์ดั้งเดิมสามารถถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เหมือนกันได้ การเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ดั้งเดิมดังกล่าวนำไปสู่นิพจน์ที่เท่ากันกับนิพจน์นั้น

ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 3+x สามารถแทนที่ตัวเลข 3 ได้ด้วยผลรวม 1+2 ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นนิพจน์ (1+2)+x ซึ่งเท่ากับนิพจน์ดั้งเดิมเหมือนกัน อีกตัวอย่างหนึ่ง: ในนิพจน์ 1+a 5 กำลัง a 5 สามารถถูกแทนที่ด้วยผลคูณที่เท่ากัน เช่น ในรูปแบบ a·a 4 นี่จะให้นิพจน์ 1+a·a 4 แก่เรา

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าการเปลี่ยนแปลงนี้เป็นการประดิษฐ์ขึ้น และโดยปกติจะเป็นการเตรียมการสำหรับการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมบางอย่าง ตัวอย่างเช่น ในผลรวม 4 x 3 +2 x 2 โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของระดับนั้น คำว่า 4 x 3 สามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ 2 x 2 2 x ได้ หลังจากการแปลงนี้ นิพจน์เดิมจะอยู่ในรูปแบบ 2 x 2 2 x+2 x 2 แน่นอนว่าเงื่อนไขในผลรวมจะมีตัวประกอบร่วมคือ 2 x 2 ดังนั้นเราจึงสามารถดำเนินการแปลงต่อไปนี้ได้ - การถ่ายคร่อม หลังจากนั้นเราก็มาถึงนิพจน์: 2 x 2 (2 x+1) .

การบวกและการลบจำนวนเดียวกัน

การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่ประดิษฐ์ขึ้นอีกประการหนึ่งคือการบวกและการลบตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกันพร้อมกัน การแปลงนี้เหมือนกันเพราะโดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากับการเพิ่มศูนย์ และการบวกศูนย์จะไม่เปลี่ยนค่า

ลองดูตัวอย่าง ลองใช้นิพจน์ x 2 +2·x กัน หากคุณบวกอันหนึ่งลงไปแล้วลบหนึ่งอัน จะทำให้คุณสามารถดำเนินการแปลงที่เหมือนกันอีกครั้งได้ในอนาคต - ยกกำลังสองทวินาม: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

อ้างอิง.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 17 - อ.: การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3.
พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน สถาบันการศึกษา/ เอ.จี. มอร์ดโควิช. - ฉบับที่ 17 เสริม. - อ.: Mnemosyne, 2013. - 175 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-02432-3.

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสาธารณรัฐเบลารุส

สถาบันการศึกษา

“โกเมล มหาวิทยาลัยของรัฐพวกเขา. เอฟ สโกรินา"

คณะคณิตศาสตร์

กรม ส.ส.ท

การเปลี่ยนแปลงสำนวนที่เหมือนกันและวิธีการสอนนักเรียนถึงวิธีปฏิบัติ

ผู้ดำเนินการ:

นักเรียน Starodubova A.Yu.

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์:

แคนด์ ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ รองศาสตราจารย์ Lebedeva M.T.

โกเมล 2007

การแนะนำ

1 ประเภทหลักของการเปลี่ยนแปลงและขั้นตอนการศึกษา ขั้นตอนของการเรียนรู้การใช้การเปลี่ยนแปลง

บทสรุป

วรรณกรรม

การแนะนำ

การแปลงนิพจน์และสูตรที่ง่ายที่สุดตามคุณสมบัติของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ดำเนินการใน โรงเรียนประถมศึกษาและชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และ 6 การพัฒนาทักษะและความสามารถในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นในหลักสูตรพีชคณิต นี่เป็นเพราะทั้งจำนวนและการเปลี่ยนแปลงที่หลากหลายที่กำลังดำเนินการเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว และความซับซ้อนของกิจกรรมในการพิสูจน์และชี้แจงเงื่อนไขของการบังคับใช้ การระบุและการศึกษาแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับอัตลักษณ์ การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน การเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกัน

1. ประเภทการเปลี่ยนแปลงหลักและขั้นตอนการศึกษา ขั้นตอนของการเรียนรู้การใช้การเปลี่ยนแปลง

1. จุดเริ่มต้นของพีชคณิต

มีการใช้ระบบการแปลงที่ไม่มีการแบ่งแยก ซึ่งแสดงตามกฎสำหรับการดำเนินการกับส่วนหนึ่งหรือทั้งสองส่วนของสูตร เป้าหมายคือการบรรลุความคล่องแคล่วในการทำงานเพื่อแก้สมการง่ายๆ ลดความซับซ้อนของสูตรที่กำหนดฟังก์ชัน และดำเนินการคำนวณอย่างมีเหตุผลตามคุณสมบัติของการกระทำ

ตัวอย่างทั่วไป:

แก้สมการ:

ก) ; ข) ; วี) .

การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน (a); เทียบเท่าและเหมือนกัน (b)

2. การพัฒนาทักษะในการประยุกต์การแปลงรูปแบบเฉพาะ

สรุป: สูตรคูณแบบย่อ; การแปลงที่เกี่ยวข้องกับการยกกำลัง การแปลงที่เกี่ยวข้องกับคลาสต่างๆ ของฟังก์ชันพื้นฐาน

การจัดระเบียบระบบอินทิกรัลของการเปลี่ยนแปลง (การสังเคราะห์)

เป้าหมายคือการสร้างเครื่องมือที่ยืดหยุ่นและทรงพลังซึ่งเหมาะสำหรับใช้ในการแก้ปัญหางานด้านการศึกษาที่หลากหลาย- การเปลี่ยนไปสู่ขั้นตอนนี้จะดำเนินการในระหว่างการทำซ้ำครั้งสุดท้ายของหลักสูตรในหลักสูตรการทำความเข้าใจเนื้อหาที่เรียนรู้แล้วในส่วนต่างๆ สำหรับการแปลงบางประเภท การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติจะถูกเพิ่มเข้าไปในประเภทที่ศึกษาก่อนหน้านี้ การแปลงทั้งหมดนี้เรียกว่า "พีชคณิต" การแปลง "เชิงวิเคราะห์" รวมถึงการแปลงที่อยู่ตามกฎของการสร้างความแตกต่างและการบูรณาการและการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ที่มีข้อความถึงขีดจำกัด ความแตกต่างประเภทนี้อยู่ที่ลักษณะของชุดที่ตัวแปรในข้อมูลประจำตัว (ชุดฟังก์ชันบางชุด) ทำงานผ่าน

อัตลักษณ์ที่กำลังศึกษาแบ่งออกเป็นสองประเภท:

I – ข้อมูลประจำตัวของการคูณแบบย่อใช้ได้ในวงแหวนสับเปลี่ยนและอัตลักษณ์

ยุติธรรมในสนาม

II – ตัวตนที่เชื่อมโยงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และฟังก์ชันพื้นฐานขั้นพื้นฐาน

2 คุณลักษณะของการจัดระเบียบระบบงานเมื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์

หลักการสำคัญของการจัดระบบงานคือการนำเสนอจากง่ายไปซับซ้อน

รอบการออกกำลังกาย– ผสมผสานการเรียนด้านต่าง ๆ และเทคนิคการเรียบเรียงเนื้อหาเข้าด้วยกันเป็นลำดับ เมื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ วัฏจักรของแบบฝึกหัดจะสัมพันธ์กับการศึกษาอัตลักษณ์หนึ่ง โดยมีการจัดกลุ่มอัตลักษณ์อื่น ๆ ที่มีความเกี่ยวข้องตามธรรมชาติด้วยวงจรนี้รวมถึงงานของผู้บริหารด้วย กำหนดให้ต้องรับรู้ถึงการบังคับใช้อัตลักษณ์ที่เป็นปัญหา- ข้อมูลระบุตัวตนที่กำลังศึกษานี้ใช้ในการคำนวณโดเมนตัวเลขต่างๆ งานในแต่ละรอบจะแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม- ถึง อันดับแรกซึ่งรวมถึงงานที่ทำระหว่างการทำความรู้จักกับตัวตนเบื้องต้น พวกเขาให้บริการ สื่อการศึกษาสำหรับบทเรียนติดต่อกันหลายบทรวมกันเป็นหัวข้อเดียว

กลุ่มที่สองแบบฝึกหัดเชื่อมโยงอัตลักษณ์ที่กำลังศึกษากับแอปพลิเคชันต่างๆ กลุ่มนี้ไม่ได้ก่อให้เกิดความสามัคคีในการเรียบเรียง - แบบฝึกหัดที่นี่กระจัดกระจายในหัวข้อต่างๆ

โครงสร้างวงจรที่อธิบายไว้หมายถึงขั้นตอนของการพัฒนาทักษะสำหรับการนำการเปลี่ยนแปลงเฉพาะไปใช้

ในขั้นตอนการสังเคราะห์ วงจรจะเปลี่ยนไป กลุ่มของงานจะรวมกันในทิศทางของความซับซ้อนและการรวมวงจรที่เกี่ยวข้องกับอัตลักษณ์ต่างๆ ซึ่งช่วยเพิ่มบทบาทของการดำเนินการเพื่อรับรู้การบังคับใช้ของอัตลักษณ์เฉพาะ

ตัวอย่าง.

วงจรของงานเพื่อระบุตัวตน:

ฉันจัดกลุ่มงาน:

ก) นำเสนอในรูปแบบของผลิตภัณฑ์:

b) ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน:

c) ขยายวงเล็บในนิพจน์:

ง) คำนวณ:

จ) แยกตัวประกอบ:

f) ทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น:

นักเรียนเพิ่งจะคุ้นเคยกับการกำหนดอัตลักษณ์ การเขียนในรูปแบบของอัตลักษณ์ และการพิสูจน์อัตลักษณ์

งาน ก) เกี่ยวข้องกับการแก้ไขโครงสร้างของอัตลักษณ์ที่กำลังศึกษา พร้อมสร้างความเชื่อมโยงด้วย ชุดตัวเลข(การเปรียบเทียบโครงสร้างเครื่องหมายของอัตลักษณ์และการแสดงออกที่แปลงแล้ว การแทนที่ตัวอักษรด้วยตัวเลขในอัตลักษณ์) ในตัวอย่างสุดท้าย เรายังต้องลดให้เป็นรูปแบบที่กำลังศึกษาอยู่ ในตัวอย่างต่อไปนี้ (e และ g) มีความซับซ้อนที่เกิดจากบทบาทของเอกลักษณ์และความยุ่งยากของโครงสร้างเครื่องหมาย

งานประเภท b) มีวัตถุประสงค์เพื่อพัฒนาทักษะการทดแทน บน . บทบาทของงาน c) มีความคล้ายคลึงกัน

ตัวอย่างประเภท d) ซึ่งจำเป็นต้องเลือกทิศทางหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงทำให้การพัฒนาแนวคิดนี้เสร็จสมบูรณ์

งานของกลุ่ม I มุ่งเน้นไปที่การเรียนรู้โครงสร้างของเอกลักษณ์ การดำเนินการทดแทนในกรณีที่ง่ายที่สุดและสำคัญที่สุดโดยพื้นฐาน และแนวคิดเกี่ยวกับการพลิกกลับของการเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินการโดยเอกลักษณ์ การเพิ่มคุณค่าของวิธีการทางภาษาที่แสดงให้เห็นแง่มุมต่างๆ ของอัตลักษณ์ก็มีความสำคัญมากเช่นกัน ตำราของงานให้แนวคิดเกี่ยวกับประเด็นเหล่านี้

งานกลุ่มที่สอง

g) การใช้เอกลักษณ์สำหรับ , แยกตัวประกอบพหุนาม

h) กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน

i) พิสูจน์ว่า ถ้าเป็นเลขคี่ แล้วหารด้วย 4 ลงตัว

j) ฟังก์ชันนี้กำหนดโดยนิพจน์เชิงวิเคราะห์

กำจัดเครื่องหมายโมดูลัสโดยพิจารณาสองกรณี: , .

k) แก้สมการ .

งานเหล่านี้มุ่งเป้าไปที่ให้มากที่สุด ใช้งานได้เต็มที่และคำนึงถึงลักษณะเฉพาะของอัตลักษณ์เฉพาะนี้ สมมุติว่าต้องมีการสร้างทักษะในการใช้อัตลักษณ์ที่กำลังศึกษาความแตกต่างของกำลังสอง เป้าหมายคือการทำความเข้าใจอัตลักษณ์ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นโดยการพิจารณาการใช้งานต่างๆ ของมัน สถานการณ์ที่แตกต่างกันบวกกับการใช้สื่อที่เกี่ยวข้องกับหัวข้ออื่น ๆ ในรายวิชาคณิตศาสตร์

หรือ .

คุณสมบัติของรอบงานที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลประจำตัวสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน:

1) มีการศึกษาบนพื้นฐานของวัสดุที่ใช้งานได้

2) ตัวตนของกลุ่มแรกปรากฏในภายหลังและได้รับการศึกษาโดยใช้ทักษะที่พัฒนาแล้วในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์

งานกลุ่มแรกในรอบควรรวมงานเพื่อสร้างการเชื่อมต่อระหว่างพื้นที่ตัวเลขใหม่เหล่านี้กับพื้นที่เดิมของจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่าง.

คำนวณ:

;

วัตถุประสงค์ของงานดังกล่าวคือเพื่อเชี่ยวชาญคุณสมบัติของบันทึก รวมถึงสัญลักษณ์ของการดำเนินการและฟังก์ชันใหม่ และเพื่อพัฒนาทักษะการพูดทางคณิตศาสตร์

ส่วนสำคัญของการใช้การแปลงข้อมูลประจำตัวที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันพื้นฐานอยู่ที่การแก้สมการไร้เหตุผลและสมการเหนือธรรมชาติ ลำดับขั้นตอน:

ก) ค้นหาฟังก์ชัน φ ซึ่งสมการที่กำหนด f(x)=0 สามารถแสดงเป็น:

b) แทนค่า y=φ(x) และแก้สมการ

c) แก้สมการแต่ละสมการ φ(x)=y k โดยที่ y k คือเซตของรากของสมการ F(y)=0

เมื่อใช้วิธีการที่อธิบายไว้ ขั้นตอน b) มักจะดำเนินการโดยปริยาย โดยไม่ต้องใส่สัญลักษณ์สำหรับ φ(x) นอกจากนี้นักเรียนมักจะชอบ วิธีการที่แตกต่างกันนำไปสู่การหาคำตอบเลือกข้อที่นำไปสู่สมการพีชคณิตได้เร็วและง่ายขึ้น

ตัวอย่าง. แก้สมการ 4 x -3*2=0

2)(2 2) x -3*2 x =0 (ขั้นตอน ก)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (ขั้นตอน ข)

ตัวอย่าง. แก้สมการ:

ก) 2 2x -3*2 x +2=0;

ข) 2 2x -3*2 x -4=0;

ค) 2 2x -3*2 x +1=0

(แนะนำวิธีแก้ปัญหาแบบอิสระ)

การแบ่งประเภทของงานเป็นวัฏจักรที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการอดิศัย ได้แก่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

1) สมการที่ลดเป็นสมการในรูปแบบ a x =y 0 และมีคำตอบทั่วไปง่ายๆ:

2) สมการที่ลดเหลือสมการในรูปแบบ a x = a k โดยที่ k คือจำนวนเต็ม หรือ a x = b โดยที่ b≤0

3) สมการที่ลดเหลือสมการในรูปแบบ a x =y 0 และต้องการการวิเคราะห์อย่างชัดเจนของรูปแบบที่เขียนตัวเลข y 0 อย่างชัดเจน

งานที่ใช้การแปลงข้อมูลประจำตัวเพื่อสร้างกราฟในขณะที่ลดความซับซ้อนของสูตรที่กำหนดฟังก์ชันจะเป็นประโยชน์อย่างมาก

ก) สร้างกราฟฟังก์ชัน y=;

b) แก้สมการ lgx+lg(x-3)=1

c) สูตร log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) เป็นชุดใด

การใช้การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ในการคำนวณ (Journal of Mathematics at School, no. 4, 1983, p. 45)

ภารกิจที่ 1 ฟังก์ชันนี้กำหนดโดยสูตร y=0.3x 2 +4.64x-6 ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ x=1.2

y(1,2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 .36+4.64)-6=1.2*5-6=0.

ภารกิจที่ 2 คำนวณความยาวของขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 3.6 ซม. และขาอีกข้างคือ 2.16 ซม.

ภารกิจที่ 3 พื้นที่ของแปลงสี่เหลี่ยมที่มีขนาดคือเท่าใด a) 0.64 ม. และ 6.25 ม. b) 99.8 ม. และ 2.6 ม.?

ก)0.64*6.25=0.8 2 *2.5 2 =(0.8*2.5) 2;

ข)99.8*2.6=(100-0.2)2.6=100*2.6-0.2*2.6=260-0.52

ตัวอย่างเหล่านี้ทำให้สามารถระบุได้ การประยุกต์ใช้จริงการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ นักเรียนควรทำความคุ้นเคยกับเงื่อนไขความเป็นไปได้ของการเปลี่ยนแปลง (ดูแผนภาพ)

รูปภาพของพหุนาม โดยที่พหุนามใดๆ พอดีกับรูปทรงโค้งมน (แผนภาพที่ 1)

เงื่อนไขสำหรับความเป็นไปได้ในการแปลงผลคูณของ monomial และนิพจน์ที่อนุญาตให้แปลงเป็นผลต่างของกำลังสอง (โครงการที่ 2)

ที่นี่การฟักไข่หมายถึง monomials ที่เท่ากันและมีการแสดงออกที่สามารถแปลงเป็นผลต่างของกำลังสองได้ (โครงการที่ 3)

นิพจน์ที่ช่วยให้มีปัจจัยร่วม

ทักษะของนักเรียนในการระบุเงื่อนไขสามารถพัฒนาได้โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้:

นิพจน์ใดต่อไปนี้สามารถแปลงได้โดยการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

3) 0.7a 2 +0.2b 2 ;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;

7) 0,21+0,22+0,23.

การคำนวณในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ไม่ตรงตามเงื่อนไขของความพึงพอใจ ดังนั้นนักเรียนจึงจำเป็นต้องมีทักษะในการลดการคำนวณให้อยู่ในรูปแบบที่ช่วยให้สามารถคำนวณการแปลงได้ ในกรณีนี้ งานต่อไปนี้มีความเหมาะสม:

เมื่อศึกษาโดยนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

หากเป็นไปได้ให้แปลงนิพจน์นี้เป็นนิพจน์ที่ปรากฎในแผนภาพที่ 4:

4) 2ก*ก 2 *ก 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 ข;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

เมื่อสร้างแนวคิดของ "การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน" ควรจำไว้ว่านี่ไม่เพียงหมายความว่าการแสดงออกที่กำหนดและผลลัพธ์อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงจะใช้ค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น แต่ในระหว่างการแปลงที่เหมือนกัน เราจะย้ายจากนิพจน์ที่กำหนดวิธีการคำนวณวิธีหนึ่งไปเป็นนิพจน์ที่กำหนดวิธีคำนวณค่าเดียวกันอีกวิธีหนึ่ง

คุณสามารถแสดงแผนภาพที่ 5 (กฎสำหรับการแปลงผลคูณของโมโนเมียลและพหุนาม) พร้อมตัวอย่าง

0.5a(b+c) หรือ 3.8(0.7+)

แบบฝึกหัดเพื่อเรียนรู้วิธีนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

คำนวณค่าของนิพจน์:

ก) 4.59*0.25+1.27*0.25+2.3-0.25;

b) a+bc ที่ a=0.96; ข=4.8; ค=9.8.

ค) a(a+c)-c(a+b) โดยที่ a=1.4; ข=2.8; ค=5.2.

ให้เราอธิบายด้วยตัวอย่างการสร้างทักษะในการคำนวณและ การเปลี่ยนแปลงตัวตน.(zh. คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน หมายเลข 5, 1984, หน้า 30)

1) ทักษะและความสามารถจะได้มาเร็วขึ้นและคงอยู่ได้นานขึ้นหากการพัฒนาเกิดขึ้นบนพื้นฐานของการมีสติ (หลักการสอนของการมีสติ)

1) คุณสามารถกำหนดกฎสำหรับการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกันหรือเบื้องต้นได้ ตัวอย่างเฉพาะพิจารณาสาระสำคัญของการเพิ่มหุ้นที่เท่าเทียมกัน

2) เมื่อแยกตัวประกอบโดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ สิ่งสำคัญคือต้องดูตัวประกอบร่วมนี้แล้วจึงใช้กฎการกระจายตัว เมื่อทำแบบฝึกหัดแรก จะเป็นประโยชน์ในการเขียนแต่ละเทอมของพหุนามเป็นผลคูณกัน ซึ่งเป็นปัจจัยหนึ่งที่เหมือนกันในทุกเงื่อนไข:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

การทำเช่นนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อนำหนึ่งใน monomial ของพหุนามออกจากวงเล็บ:

ครั้งที่สอง ขั้นแรกการพัฒนาทักษะ – ความชำนาญในทักษะ (แบบฝึกหัดจะดำเนินการพร้อมคำอธิบายและบันทึกโดยละเอียด)

(ปัญหาป้ายได้รับการแก้ไขก่อน)

ขั้นตอนที่สอง– ขั้นตอนของการทำให้ทักษะเป็นแบบอัตโนมัติโดยกำจัดการดำเนินการระดับกลางบางอย่าง

ที่สาม จุดแข็งของทักษะเกิดขึ้นได้จากการแก้ไขตัวอย่างที่แตกต่างกันทั้งในด้านเนื้อหาและรูปแบบ

หัวข้อ: “เอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ”

1. เขียนตัวประกอบที่หายไปแทนพหุนาม:

2. แยกตัวประกอบเพื่อให้มี monomial ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้าวงเล็บ:

3. แยกตัวประกอบเพื่อให้พหุนามในวงเล็บมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม:

4. แก้สมการ:

IV. การพัฒนาทักษะจะมีประสิทธิภาพมากที่สุดเมื่อมีการคำนวณหรือการแปลงระดับกลางด้วยวาจา

(วาจา);

V. ทักษะและความสามารถที่กำลังพัฒนาจะต้องเป็นส่วนหนึ่งของระบบความรู้ ทักษะ และความสามารถของนักเรียนที่ได้จัดทำขึ้นก่อนหน้านี้

ตัวอย่างเช่น เมื่อสอนวิธีแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ จะมีแบบฝึกหัดต่อไปนี้:

แยกตัวประกอบ:

วี. ความจำเป็นในการดำเนินการคำนวณและการแปลงอย่างมีเหตุผล

วี)ลดความซับซ้อนของการแสดงออก:

ความมีเหตุผลอยู่ที่การเปิดวงเล็บเพราะว่า

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การแปลงนิพจน์ที่มีเลขชี้กำลัง

หมายเลข 1011 (Alg.9) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

หมายเลข 1012 (Alg.9) ลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท:

หมายเลข 1013 (Alg.9) ป้อนตัวประกอบใต้เครื่องหมายรูท:

หมายเลข 1014 (Alg.9) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ในตัวอย่างทั้งหมด ขั้นแรกให้ดำเนินการแยกตัวประกอบหรือลบตัวประกอบร่วม หรือ "ดู" สูตรการลดที่สอดคล้องกัน

เลขที่ 1015 (Alg.9) ลดเศษส่วน:

นักเรียนหลายคนประสบปัญหาในการแปลงสำนวนที่มีรากศัพท์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อศึกษาความเท่าเทียมกัน:

ดังนั้นไม่ว่าจะอธิบายรายละเอียดการแสดงออกในรูปแบบหรือ หรือไปในระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ

หมายเลข 1018 (Alg.9) ค้นหาค่าของนิพจน์:

หมายเลข 1019 (Alg.9) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

2.285 (Skanavi) ลดความซับซ้อนของนิพจน์

แล้วพลอตฟังก์ชัน ยสำหรับ

หมายเลข 2.299 (Skanavi) ตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน:

การแปลงนิพจน์ที่มีระดับเป็นลักษณะทั่วไปของทักษะและความสามารถที่ได้รับในการศึกษาการแปลงพหุนามที่เหมือนกัน

หมายเลข 2.320 (Skanavi) ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

หลักสูตรพีชคณิต 7 ให้คำจำกัดความต่อไปนี้

Def. สองนิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าของตัวแปรเรียกว่าเท่ากัน

Def. ความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรที่เรียกว่า ตัวตน.

หมายเลข 94 (Alg.7) คือความเท่าเทียมกัน:

ก)

ค)

ง)

คำจำกัดความของคำอธิบาย: การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งที่เท่ากันเรียกว่าการแปลงที่เหมือนกันหรือเพียงการแปลงนิพจน์ การแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข

ลำดับที่ (Alg.7) ท่ามกลางสำนวน

หาสิ่งที่เท่าเทียมกัน

หัวข้อ: “การแปลงสำนวนที่เหมือนกัน” (เทคนิคคำถาม)

หัวข้อแรกของ "พีชคณิต-7" - "นิพจน์และการแปลง" ช่วยในการรวบรวมทักษะการคำนวณที่ได้รับในเกรด 5-6 จัดระบบและสรุปข้อมูลเกี่ยวกับการแปลงนิพจน์และการแก้สมการ

ค้นหาค่าของตัวเลขและ การแสดงออกตามตัวอักษรทำให้สามารถทำซ้ำกฎการดำเนินการกับจำนวนตรรกยะกับนักเรียนได้ ความสามารถในการดำเนินการ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนตรรกยะเป็นพื้นฐานสำหรับวิชาพีชคณิตทั้งหมด

เมื่อพิจารณาถึงการเปลี่ยนแปลงของการแสดงออก ทักษะที่เป็นทางการและการปฏิบัติยังคงอยู่ในระดับเดียวกับที่ทำได้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6

อย่างไรก็ตาม นักเรียนจะก้าวไปสู่ระดับใหม่ในการเรียนรู้ทฤษฎี มีการแนะนำแนวคิดของ "การแสดงออกที่เท่าเทียมกัน", "ตัวตน", "การเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ที่เหมือนกัน" ซึ่งเนื้อหาจะถูกเปิดเผยและเจาะลึกอย่างต่อเนื่องเมื่อศึกษาการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์พีชคณิตต่างๆ มีการเน้นย้ำว่าพื้นฐานของการแปลงข้อมูลประจำตัวคือคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข

เมื่อศึกษาหัวข้อ "พหุนาม" จะมีการสร้างทักษะการปฏิบัติงานอย่างเป็นทางการของการแปลงนิพจน์พีชคณิตที่เหมือนกัน สูตรการคูณแบบย่อมีส่วนช่วยในกระบวนการต่อไปในการพัฒนาความสามารถในการทำการแปลงนิพจน์ทั้งหมดที่เหมือนกัน ความสามารถในการใช้สูตรสำหรับการคูณแบบย่อและการแยกตัวประกอบของพหุนามนั้นไม่เพียงแต่ใช้ในการแปลงนิพจน์ทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังใช้ในการดำเนินการกับเศษส่วน, รากด้วย , กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ทักษะที่ได้รับในการแปลงอัตลักษณ์จะได้รับการฝึกฝนในการดำเนินการกับเศษส่วนพีชคณิต รากที่สองและนิพจน์ที่มีพลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

ในอนาคต เทคนิคการแปลงอัตลักษณ์จะสะท้อนให้เห็นในนิพจน์ที่มีระดับพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ

กลุ่มพิเศษการแปลงที่เหมือนกันคือนิพจน์ตรีโกณมิติและนิพจน์ลอการิทึม

ผลการเรียนรู้ภาคบังคับสำหรับหลักสูตรพีชคณิตเกรด 7-9 ได้แก่

1) การแปลงเอกลักษณ์ของนิพจน์จำนวนเต็ม

ก) การเปิดและปิดวงเล็บ;

b) นำสมาชิกที่คล้ายกัน;

c) การบวก การลบ และการคูณพหุนาม

d) การแยกตัวประกอบพหุนามโดยการใส่ตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บและสูตรการคูณแบบย่อ

จ) การสลายตัว ตรีโกณมิติกำลังสองโดยตัวคูณ

“คณิตศาสตร์ในโรงเรียน” (บ.ม.) หน้า 110

2) การแปลงนิพจน์เชิงตรรกศาสตร์ที่เหมือนกัน: การบวก การลบ การคูณ และการหารเศษส่วน รวมถึงการใช้ทักษะที่ระบุไว้เมื่อทำการแปลงแบบรวมอย่างง่าย [p. 111]

3) นักเรียนควรจะสามารถแปลงนิพจน์อย่างง่ายที่มีองศาและรากได้ (หน้า 111-112)

พิจารณาปัญหาประเภทหลักๆ ความสามารถในการแก้ไขซึ่งทำให้นักเรียนได้คะแนนเป็นบวก

ด้านที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของระเบียบวิธีในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์คือการพัฒนาเป้าหมายในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ของนักเรียน

1) - ลดความซับซ้อนของค่าตัวเลขของนิพจน์

2) การเปลี่ยนแปลงใดที่ควรทำ: (1) หรือ (2) การวิเคราะห์ตัวเลือกเหล่านี้เป็นแรงจูงใจ (ควร (1) เนื่องจากใน (2) ขอบเขตของคำจำกัดความแคบลง)

3) แก้สมการ:

แยกตัวประกอบเมื่อแก้สมการ

4) คำนวณ:

ลองใช้สูตรคูณแบบย่อ:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) ค้นหาค่าของนิพจน์:

หากต้องการค้นหาค่า ให้คูณแต่ละเศษส่วนด้วยสังยุค:

6) สร้างกราฟฟังก์ชัน:

มาเลือกทั้งส่วนกัน: .

การป้องกันข้อผิดพลาดเมื่อดำเนินการแปลงข้อมูลประจำตัวสามารถรับได้จากตัวอย่างการใช้งานที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ จะมีการฝึกฝนเทคนิค "เล็ก" ซึ่งในฐานะส่วนประกอบจะรวมอยู่ในกระบวนการเปลี่ยนแปลงที่ใหญ่กว่า

ตัวอย่างเช่น:

ขึ้นอยู่กับทิศทางของสมการ สามารถพิจารณาปัญหาหลายประการได้: การคูณพหุนามจากขวาไปซ้าย; จากซ้ายไปขวา - การแยกตัวประกอบ ด้านซ้ายคือตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งทางด้านขวา ฯลฯ

นอกจากตัวอย่างที่แตกต่างกันแล้ว คุณยังสามารถใช้ ขอโทษระหว่างอัตลักษณ์และความเท่าเทียมกันของตัวเลข

นัดต่อไป– คำอธิบายตัวตน

เพื่อเพิ่มความสนใจของนักเรียน เราสามารถรวมการค้นหาไว้ด้วย ในรูปแบบต่างๆการแก้ปัญหา

บทเรียนเกี่ยวกับการศึกษาการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์จะน่าสนใจยิ่งขึ้นหากคุณทุ่มเทให้กับมัน ค้นหาวิธีแก้ไขปัญหา .

ตัวอย่างเช่น: 1) ลดเศษส่วน:

3) พิสูจน์สูตรของ “อนุมูลเชิงซ้อน”

พิจารณา:

มาเปลี่ยนด้านขวาของความเท่าเทียมกันกัน:

ผลรวมของนิพจน์คอนจูเกต พวกมันสามารถคูณและหารด้วยสังยุคของมันได้ แต่การดำเนินการดังกล่าวจะนำเราไปสู่เศษส่วนที่ตัวส่วนคือผลต่างของราก

โปรดทราบว่าเทอมแรกในส่วนแรกของเอกลักษณ์นั้นเป็นตัวเลขที่มากกว่าเทอมที่สอง ดังนั้นเราจึงสามารถยกกำลังสองส่วนได้ทั้งสองส่วน:

บทเรียนภาคปฏิบัติ №3.

หัวข้อ: การแปลงสำนวนที่เหมือนกัน (เทคนิคคำถาม)

วรรณกรรม: “การประชุมเชิงปฏิบัติการเรื่อง MPM”, หน้า 87-93

สัญญาณของวัฒนธรรมระดับสูงในการคำนวณและการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ในหมู่นักเรียนคือความรู้ที่ดีเกี่ยวกับคุณสมบัติและอัลกอริธึมของการดำเนินงานเกี่ยวกับปริมาณที่แน่นอนและโดยประมาณและการประยุกต์ใช้อย่างมีทักษะ วิธีการคำนวณและการแปลงอย่างมีเหตุผลและการทวนสอบ ความสามารถในการปรับใช้วิธีการและกฎของการคำนวณและการแปลงทักษะอัตโนมัติของการดำเนินการคำนวณโดยปราศจากข้อผิดพลาด

นักเรียนควรเริ่มทำงานเพื่อพัฒนาทักษะที่ระบุไว้ในระดับชั้นใด

เส้นของการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันเริ่มต้นด้วยการใช้เทคนิคการคำนวณเชิงตรรกะ โดยเริ่มต้นด้วยการใช้เทคนิคการคำนวณเชิงเหตุผลสำหรับค่าของนิพจน์ตัวเลข (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5)

เมื่อศึกษาหัวข้อดังกล่าวในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน คุณต้องให้ความสนใจกับหัวข้อเหล่านี้ ความสนใจเป็นพิเศษ!

การดำเนินการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์อย่างมีสติของนักเรียนได้รับการอำนวยความสะดวกโดยความเข้าใจในข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์พีชคณิตไม่มีอยู่ด้วยตัวมันเอง แต่ในความเชื่อมโยงที่แยกไม่ออกกับชุดตัวเลขบางชุด นิพจน์เหล่านี้ถือเป็นบันทึกทั่วไปของนิพจน์ตัวเลข การเปรียบเทียบระหว่างนิพจน์พีชคณิตและตัวเลข (และการแปลง) เป็นตรรกะ การนำไปใช้ในการสอนช่วยป้องกันนักเรียนจากการทำผิดพลาด

การเปลี่ยนแปลงตัวตนไม่มีเลย หัวข้อแยกต่างหากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนจะเรียนตลอดหลักสูตรพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

โปรแกรมคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 1-5 เป็นสื่อการเรียนรู้สำหรับศึกษาการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันกับตัวแปร

ในหลักสูตรพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 มีการแนะนำคำจำกัดความของอัตลักษณ์และการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์

Def.เรียกว่าสองนิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร เท่าเทียมกัน

โอดีเอ- ความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรเรียกว่าเอกลักษณ์

คุณค่าของตัวตนอยู่ที่ความจริงที่ว่ามันยอมให้นิพจน์ที่กำหนดถูกแทนที่ด้วยอันอื่นที่เท่ากันกับนิพจน์นั้น

Def.เรียกว่าการแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์ที่เหมือนกันเหมือนกัน การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันหรือเพียงแค่ การเปลี่ยนแปลงการแสดงออก

การแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข

พื้นฐานของการเปลี่ยนแปลงข้อมูลประจำตัวถือได้ว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงที่เทียบเท่ากัน

โอดีเอ- เรียกว่าสองประโยคซึ่งแต่ละประโยคเป็นผลเชิงตรรกะของอีกประโยคหนึ่ง เทียบเท่า.

โอดีเอ- ประโยคที่มีตัวแปร A เรียกว่า ผลที่ตามมาของประโยคที่มีตัวแปร Bถ้าโดเมนของความจริง B เป็นสับเซตของโดเมนของความจริง A

สามารถให้คำจำกัดความของประโยคที่เทียบเท่าได้อีกคำหนึ่ง: สองประโยคที่มีตัวแปรจะเทียบเท่ากันหากโดเมนความจริงตรงกัน

ก) B: x-1=0 ส่วน R; A: (x-1) 2 ส่วน R => A~B เพราะ พื้นที่แห่งความจริง (ทางแก้ไข) ตรงกัน (x=1)

b) A: x=2 ส่วน R; B: x 2 =4 ส่วน R => โดเมนของความจริง A: x = 2; โดเมนความจริง B: x=-2, x=2; เพราะ โดเมนของความจริงของ A มีอยู่ใน B ดังนั้น: x 2 =4 เป็นผลมาจากประพจน์ x = 2

พื้นฐานของการเปลี่ยนแปลงข้อมูลระบุตัวตนคือความสามารถในการแสดงตัวเลขเดียวกันในรูปแบบต่างๆ ตัวอย่างเช่น,

การเป็นตัวแทนนี้จะช่วยในการศึกษาหัวข้อ “คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน”

ทักษะในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์เริ่มพัฒนาเมื่อแก้ตัวอย่างที่คล้ายกับต่อไปนี้: “ ค้นหาค่าตัวเลขของนิพจน์ 2a 3 +3ab+b 2 โดยมี a = 0.5, b = 2/3” ซึ่งมอบให้กับนักเรียนในระดับชั้นประถมศึกษา 5 และอนุญาตให้มีแนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันของโพรพีดีวิติกส์

เมื่อศึกษาสูตรการคูณแบบย่อ คุณควรใส่ใจกับความเข้าใจอย่างลึกซึ้งและการดูดซึมที่แข็งแกร่ง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้ภาพประกอบกราฟิกต่อไปนี้:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

คำถาม: จะอธิบายให้นักเรียนทราบถึงสาระสำคัญของสูตรที่กำหนดตามภาพวาดเหล่านี้ได้อย่างไร

ข้อผิดพลาดทั่วไปคือการสร้างความสับสนระหว่างนิพจน์ "กำลังสองของผลรวม" และ "ผลรวมของกำลังสอง" ข้อบ่งชี้ของครูว่าสำนวนเหล่านี้แตกต่างกันตามลำดับการดำเนินการดูเหมือนจะไม่มีนัยสำคัญ เนื่องจากนักเรียนเชื่อว่าการกระทำเหล่านี้ดำเนินการด้วยตัวเลขเดียวกัน ดังนั้นผลลัพธ์จึงไม่เปลี่ยนแปลงโดยการเปลี่ยนลำดับการกระทำ

งานมอบหมาย: สร้างแบบฝึกหัดปากเปล่าเพื่อพัฒนาทักษะการใช้สูตรข้างต้นของผู้เรียนโดยไม่มีข้อผิดพลาด เราจะอธิบายได้อย่างไรว่าสำนวนทั้งสองนี้คล้ายกันและแตกต่างกันอย่างไร?

การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันที่หลากหลายทำให้ยากสำหรับนักเรียนที่จะกำหนดทิศทางของตนเองตามวัตถุประสงค์ที่พวกเขาทำ ความรู้คลุมเครือเกี่ยวกับจุดประสงค์ในการดำเนินการเปลี่ยนแปลง (ในแต่ละกรณี) มีผลกระทบด้านลบต่อการรับรู้ของพวกเขาและทำหน้าที่เป็นแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดครั้งใหญ่ในหมู่นักเรียน สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าการอธิบายให้นักเรียนฟังถึงเป้าหมายของการดำเนินการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันต่างๆ เป็นส่วนสำคัญของระเบียบวิธีในการศึกษาสิ่งเหล่านั้น

ตัวอย่างแรงจูงใจในการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์:

1. ลดความซับซ้อนของการค้นหาค่าตัวเลขของนิพจน์

2. การเลือกการแปลงสมการที่ไม่นำไปสู่การสูญเสียราก

3. เมื่อทำการแปลง คุณสามารถทำเครื่องหมายพื้นที่การคำนวณได้

4. การใช้การแปลงในการคำนวณ เช่น 99 2 -1=(99-1)(99+1);

ในการจัดการกระบวนการตัดสินใจ สิ่งสำคัญคือครูจะต้องมีความสามารถในการให้คำอธิบายที่ถูกต้องเกี่ยวกับสาระสำคัญของข้อผิดพลาดที่นักเรียนทำ การระบุลักษณะข้อผิดพลาดที่แม่นยำเป็นกุญแจสำคัญ ทางเลือกที่เหมาะสมการกระทำที่ตามมาของครู

ตัวอย่างข้อผิดพลาดของนักเรียน:

1. ทำการคูณ: นักเรียนได้รับ -54abx 6 (7 เซลล์)

2. โดยการเพิ่มพลัง (3x 2) 3 นักเรียนได้รับ 3x 6 (7 เกรด);

3. การแปลง (m + n) 2 เป็นพหุนามนักเรียนได้รับ m 2 + n 2 (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7)

4. โดยการลดเศษส่วนที่นักเรียนได้รับ (8 คะแนน)

5. การดำเนินการลบ: , นักเรียนจดบันทึก (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8)

6. เป็นตัวแทนของเศษส่วนในรูปเศษส่วน นักเรียนได้รับ: (8 เกรด);

7. การถอด รากเลขคณิตนักเรียนได้รับ x-1 (เกรด 9);

8. การแก้สมการ (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9)

9. เมื่อเปลี่ยนการแสดงออก นักเรียนจะได้รับ: (เกรด 9)

บทสรุป

การศึกษาการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์จะดำเนินการอย่างใกล้ชิดกับชุดตัวเลขที่ศึกษาในชั้นเรียนเฉพาะ

ในตอนแรก คุณควรขอให้นักเรียนอธิบายแต่ละขั้นตอนของการเปลี่ยนแปลง เพื่อกำหนดกฎเกณฑ์และกฎหมายที่ใช้บังคับ

ในการแปลงนิพจน์พีชคณิตที่เหมือนกัน จะใช้กฎสองข้อ: การแทนที่และการแทนที่ด้วยค่าเท่ากัน การทดแทนมักใช้บ่อยที่สุดเพราะว่า การคำนวณโดยใช้สูตรนั้นขึ้นอยู่กับมันเช่น ค้นหาค่าของนิพจน์ a*b ด้วย a=5 และ b=-3 บ่อยครั้งที่นักเรียนละเลยวงเล็บเมื่อทำการคูณ โดยเชื่อว่าเครื่องหมายการคูณนั้นมีความหมายเป็นนัย ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้เป็นไปได้: 5*-3

วรรณกรรม

1. เอไอ อาซารอฟ เอส.เอ. Barvenov “ วิธีการทำงานและกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการสอบ”, Mn..Aversev, 2004

2. อ.น. Piryutko “ข้อผิดพลาดทั่วไปในการทดสอบแบบรวมศูนย์”, Mn..Aversev, 2006

3. เอไอ อาซารอฟ เอส.เอ. Barvenov “งานกับดักในการทดสอบแบบรวมศูนย์”, Mn..Aversev, 2549

4. เอไอ อาซารอฟ เอส.เอ. Barvenov “ วิธีการแก้ปัญหาตรีโกณมิติ”, Mn..Aversev, 2005