พลังงานจลน์ของการหมุน พลังงานหมุนเวียน

« ฟิสิกส์ - ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10"

เหตุใดนักเล่นสเก็ตจึงยืดไปตามแกนการหมุนเพื่อเพิ่มความเร็วเชิงมุมของการหมุน
เฮลิคอปเตอร์ควรหมุนเมื่อโรเตอร์หมุนหรือไม่?

คำถามที่ถามชี้ให้เห็นว่าถ้าแรงภายนอกไม่กระทำต่อร่างกายหรือการกระทำของพวกมันได้รับการชดเชยและส่วนหนึ่งของร่างกายเริ่มหมุนไปในทิศทางเดียว อีกส่วนหนึ่งก็ควรหมุนไปในทิศทางอื่น เช่นเดียวกับเมื่อเชื้อเพลิงถูกขับออกมาจาก จรวด ตัวจรวดเองก็เคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม

ช่วงเวลาแห่งแรงกระตุ้น

หากเราพิจารณาดิสก์ที่หมุนได้จะเห็นได้ชัดว่าโมเมนตัมรวมของดิสก์นั้นเป็นศูนย์เนื่องจากอนุภาคใด ๆ ของร่างกายสอดคล้องกับอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากัน แต่ไปในทิศทางตรงกันข้าม (รูปที่ 6.9)

แต่ดิสก์กำลังเคลื่อนที่ความเร็วเชิงมุมของการหมุนของอนุภาคทั้งหมดจะเท่ากัน อย่างไรก็ตาม เห็นได้ชัดว่ายิ่งอนุภาคอยู่ห่างจากแกนหมุนมากเท่าใด โมเมนตัมก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้นเพื่อ การเคลื่อนไหวแบบหมุนจำเป็นต้องแนะนำคุณลักษณะอื่นที่คล้ายกับแรงกระตุ้น - โมเมนตัมเชิงมุม

โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคที่เคลื่อนที่ในวงกลมเป็นผลคูณของโมเมนตัมของอนุภาคและระยะห่างจากอนุภาคนั้นถึงแกนการหมุน (รูปที่ 6.10):

ความเร็วเชิงเส้นและเชิงมุมมีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ v = ωr ดังนั้น

จุดทั้งหมดของวัตถุแข็งเคลื่อนที่สัมพันธ์กับแกนการหมุนคงที่ด้วยความเร็วเชิงมุมเท่ากัน วัตถุที่เป็นของแข็งสามารถแสดงเป็นกลุ่มของจุดวัสดุได้

โมเมนตัม แข็งเท่ากับผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยและความเร็วเชิงมุมของการหมุน:

โมเมนตัมเชิงมุมคือปริมาณเวกเตอร์ ตามสูตร (6.3) โมเมนตัมเชิงมุมมีทิศทางในลักษณะเดียวกับความเร็วเชิงมุม

สมการพื้นฐานสำหรับพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนในรูปพัลส์

ความเร่งเชิงมุมของร่างกายเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมหารด้วยระยะเวลาที่เกิดการเปลี่ยนแปลงนี้: แทนที่นิพจน์นี้เป็นสมการพื้นฐานของพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน ด้วยเหตุนี้ I(ω 2 - ω 1) = MΔt หรือ IΔω = MΔt

ดังนั้น,

ΔL = MΔt (6.4)

การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมเท่ากับผลคูณของโมเมนต์รวมของแรงที่กระทำต่อวัตถุหรือระบบและระยะเวลาของแรงเหล่านี้

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม:

ถ้าโมเมนต์รวมของแรงที่กระทำต่อวัตถุหรือระบบของวัตถุที่มีแกนหมุนคงที่เท่ากับศูนย์ การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมก็จะเป็นศูนย์เช่นกัน กล่าวคือ โมเมนตัมเชิงมุมของระบบยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

∆L = 0, L = ค่าคงที่.

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบเท่ากับโมเมนตัมรวมของแรงที่กระทำต่อระบบ

นักเล่นสเก็ตที่หมุนได้จะกางแขนออกไปด้านข้าง ซึ่งจะช่วยเพิ่มโมเมนต์ความเฉื่อยเพื่อลดความเร็วเชิงมุมของการหมุน

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมสามารถแสดงให้เห็นได้โดยใช้การทดลองต่อไปนี้ เรียกว่า "การทดลองแบบม้านั่งจูคอฟสกี้" บุคคลยืนอยู่บนม้านั่งที่มีแกนหมุนในแนวตั้งผ่านจุดศูนย์กลาง ชายคนหนึ่งถือดัมเบลล์ไว้ในมือ หากม้านั่งหมุนได้ บุคคลนั้นสามารถเปลี่ยนความเร็วในการหมุนได้โดยการกดดัมเบลล์ไปที่หน้าอกหรือลดแขนลงแล้วยกขึ้น เมื่อกางแขนออกเขาจะเพิ่มโมเมนต์ความเฉื่อยและความเร็วเชิงมุมของการหมุนลดลง (รูปที่ 6.11, a) ลดแขนลงเขาลดโมเมนต์ความเฉื่อยและความเร็วเชิงมุมของการหมุนของม้านั่งเพิ่มขึ้น (รูปที่ .6.11 ข)

บุคคลยังสามารถหมุนม้านั่งได้โดยเดินไปตามขอบ ในกรณีนี้ ม้านั่งจะหมุนไปในทิศทางตรงกันข้าม เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมรวมควรมีค่าเท่ากับศูนย์

หลักการทำงานของอุปกรณ์ที่เรียกว่าไจโรสโคปนั้นเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม คุณสมบัติหลักของไจโรสโคปคือการรักษาทิศทางของแกนการหมุนหากแรงภายนอกไม่กระทำบนแกนนี้ ในศตวรรษที่ 19 กะลาสีใช้ไจโรสโคปเพื่อปฐมนิเทศในทะเล

พลังงานจลน์ของวัตถุแข็งเกร็งที่กำลังหมุนอยู่

พลังงานจลน์ของวัตถุแข็งที่หมุนได้มีค่าเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของอนุภาคแต่ละตัว ให้เราแบ่งร่างกายออกเป็นองค์ประกอบเล็กๆ ซึ่งแต่ละส่วนถือได้ว่าเป็นจุดวัตถุ จากนั้นพลังงานจลน์ของร่างกายจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของจุดวัตถุที่ประกอบด้วย:

ความเร็วเชิงมุมของการหมุนของจุดต่างๆ ของร่างกายจะเท่ากัน ดังนั้น

อย่างที่เรารู้อยู่แล้วว่าค่าในวงเล็บคือโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็ง ในที่สุด สูตรสำหรับพลังงานจลน์ของวัตถุแข็งเกร็งที่มีแกนหมุนคงที่ก็มีรูปแบบ

ในกรณีทั่วไปของการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง เมื่อแกนหมุนเป็นอิสระ พลังงานจลน์ของมันจะเท่ากับผลรวมของพลังงานของการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุน ดังนั้นพลังงานจลน์ของล้อซึ่งมีมวลกระจุกอยู่ที่ขอบล้อและกลิ้งไปตามถนนด้วย ความเร็วคงที่มีค่าเท่ากัน

ตารางเปรียบเทียบสูตรสำหรับกลไกการเคลื่อนที่แบบแปลนของจุดวัสดุกับสูตรที่คล้ายกันสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

ลักษณะไดนามิกหลักของการเคลื่อนที่แบบหมุน - โมเมนตัมเชิงมุมสัมพันธ์กับแกนการหมุน z:

และพลังงานจลน์

โดยทั่วไป พลังงานระหว่างการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมจะพบได้จากสูตร:

, เทนเซอร์ความเฉื่อยอยู่ที่ไหน

ในอุณหพลศาสตร์

ด้วยเหตุผลเดียวกันกับในกรณีของการเคลื่อนที่แบบแปลน การจัดอุปกรณ์ให้สมนัยว่าที่สมดุลทางความร้อน พลังงานการหมุนโดยเฉลี่ยของแต่ละอนุภาคของก๊าซเชิงเดี่ยวคือ: (3/2)k บี ต- ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีบทการจัดอุปกรณ์ช่วยให้สามารถคำนวณความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยกำลังสองของโมเลกุลได้

ดูเพิ่มเติม

มูลนิธิวิกิมีเดีย

2010.

ดูว่า "พลังงานของการเคลื่อนที่แบบหมุน" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

คำนี้มีความหมายอื่น ดูพลังงาน (ความหมาย) พลังงาน มิติ... วิกิพีเดียการเคลื่อนไหว - การเคลื่อนไหว สารบัญ: เรขาคณิต D....................452 จลนศาสตร์ D................456 Dynamics D. . ..................461 กลไกของมอเตอร์................465 วิธีศึกษาการเคลื่อนไหวของมนุษย์......471 พยาธิวิทยาของมนุษย์ D............. 474… …

สารานุกรมการแพทย์ที่ยิ่งใหญ่

พลังงานจลน์คือพลังงานของระบบกลไก ขึ้นอยู่กับความเร็วการเคลื่อนที่ของจุดต่างๆ พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนมักถูกปล่อยออกมา หากให้ละเอียดกว่านั้น พลังงานจลน์คือความแตกต่างระหว่างผลรวม... ... วิกิพีเดีย

พลังงานจลน์คือพลังงานของระบบกลไก ขึ้นอยู่กับความเร็วการเคลื่อนที่ของจุดต่างๆ พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนมักถูกปล่อยออกมา หากให้ละเอียดกว่านั้น พลังงานจลน์คือความแตกต่างระหว่างผลรวม... ... วิกิพีเดีย

การเคลื่อนที่ด้วยความร้อนของ α เปปไทด์ การเคลื่อนไหวที่สั่นไหวที่ซับซ้อนของอะตอมที่ประกอบเป็นเปปไทด์นั้นเป็นแบบสุ่มและพลังงานของแต่ละอะตอมมีความผันผวนอย่างมาก แต่เมื่อใช้กฎการแบ่งส่วนจะคำนวณเป็นพลังงานจลน์เฉลี่ยของแต่ละ ... ... Wikipedia - (French marées, German Gezeiten, กระแสน้ำอังกฤษ) ความผันผวนของระดับน้ำเป็นระยะเนื่องจากการดึงดูดของดวงจันทร์และดวงอาทิตย์ข้อมูลทั่วไป - P. จะสังเกตเห็นได้ชัดเจนที่สุดตามชายฝั่งมหาสมุทร ทันทีหลังจากนั้นน้ำต่ำ น้ำลงต่ำสุด ระดับมหาสมุทรเริ่ม... ...พจนานุกรมสารานุกรม

เอฟ บร็อคเฮาส์ และ ไอ.เอ. เอฟรอน

เรือห้องเย็น Ivory Tirupati ความเสถียรเริ่มต้นติดลบ ความเสถียรความสามารถ ... Wikipedia

เรือห้องเย็น Ivory Tirupati ความเสถียรเริ่มต้นเป็นลบ ความเสถียรคือความสามารถของยานลอยน้ำที่จะทนต่อแรงภายนอกที่ทำให้มันม้วนหรือเล็มและกลับสู่สภาวะสมดุลหลังจากการสิ้นสุดของการรบกวน... ... Wikipedia

ขอให้เราพิจารณาพลังงานจลน์ของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่ ลองแบ่งส่วนนี้ออกเป็นจุดวัตถุ n จุด แต่ละจุดเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงเส้น υ i =ωr i จากนั้นพลังงานจลน์ของจุด

หรือ

(3.22)

พลังงานจลน์รวมของวัตถุแข็งเกร็งที่กำลังหมุนอยู่มีค่าเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของจุดวัสดุทั้งหมด:

ถ้าวิถีโคจรของจุดทั้งหมดอยู่ในระนาบขนานกัน (เช่น ทรงกระบอกที่กลิ้งลงมาในระนาบเอียง แต่ละจุดจะเคลื่อนที่ในระนาบของมันเอง) สิ่งนี้ การเคลื่อนไหวแบบเรียบ- ตามหลักการของออยเลอร์ การเคลื่อนที่ของเครื่องบินสามารถแบ่งออกเป็นการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนได้หลายวิธี ถ้าลูกบอลตกหรือเลื่อนไปตามระนาบเอียง มันจะเคลื่อนที่เฉพาะการแปลเท่านั้น เมื่อลูกบอลกลิ้ง มันก็หมุนด้วย

หากวัตถุทำการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนพร้อมกัน พลังงานจลน์รวมของวัตถุจะเท่ากับ

(3.23)

จากการเปรียบเทียบสูตรพลังงานจลน์สำหรับการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุน เห็นได้ชัดว่าการวัดความเฉื่อยระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนคือโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย

§ 3.6 การทำงานของแรงภายนอกระหว่างการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุน พลังงานศักย์ของมันจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น งานเบื้องต้นของแรงภายนอกจึงเท่ากับการเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์ของร่างกาย:

ดีเอ = เดอี หรือ

โดยคำนึงถึงว่า Jβ = M, ωdr = dφ เรามี α ของร่างกายที่มุมจำกัด φ เท่ากับ

(3.25)

เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนคงที่ การทำงานของแรงภายนอกจะถูกกำหนดโดยการกระทำของโมเมนต์ของแรงเหล่านี้สัมพันธ์กับแกนนี้ ถ้าโมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับแกนเป็นศูนย์ แรงเหล่านี้จะไม่สร้างงาน

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 2.1 มวลมู่เล่ม=5กก.และรัศมีร= 0.2 ม. หมุนรอบแกนนอนด้วยความถี่ν 0 =720 นาที -1 และเมื่อเบรกก็จะหยุดตามหลังที=20 วิ ค้นหาแรงบิดในการเบรกและจำนวนรอบก่อนที่จะหยุด

เพื่อกำหนดแรงบิดในการเบรก เราใช้สมการพื้นฐานของไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุน

โดยที่ I=mr 2 – โมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์ Δω =ω - ω 0 และ ω =0 คือความเร็วเชิงมุมสุดท้าย ω 0 =2πν 0 คือความเร็วเริ่มต้น M คือโมเมนต์เบรกของแรงที่กระทำต่อจาน

เมื่อรู้ปริมาณทั้งหมดแล้ว คุณก็สามารถกำหนดแรงบิดในการเบรกได้

นาย 2 2πν 0 = เม็ท (1)

(2)

จากจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนมุมของการหมุนระหว่างการหมุนของดิสก์ก่อนที่จะหยุดสามารถกำหนดได้โดยสูตร

(3)

โดยที่ β คือความเร่งเชิงมุม

ตามเงื่อนไขของปัญหา: ω =ω 0 – βΔt เนื่องจาก ω=0, ω 0 = βΔt

จากนั้นนิพจน์ (2) สามารถเขียนได้เป็น:

ตัวอย่างที่ 2.2 มู่เล่สองล้อในรูปแบบของดิสก์ที่มีรัศมีและมวลเท่ากันถูกหมุนด้วยความเร็วการหมุนn= 480 รอบต่อนาที และเหลือเครื่องของเราเอง ภายใต้อิทธิพลของแรงเสียดทานของเพลาบนตลับลูกปืนลูกแรกจึงหยุดผ่านที=80 วินาที และอันที่สองทำได้เอ็น= 240 รอบต่อนาทีเพื่อหยุด มู่เล่ใดมีโมเมนต์แรงเสียดทานระหว่างเพลาและแบริ่งมากกว่า และกี่ครั้ง?

เราจะค้นหาโมเมนต์แรงของหนาม M 1 ของมู่เล่อันแรกโดยใช้สมการพื้นฐานของไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุน

ม 1 Δt = Iω 2 - Iω 1

โดยที่ Δt คือเวลาของการกระทำของโมเมนต์ของแรงเสียดทาน I=mr 2 คือโมเมนต์ความเฉื่อยของมู่เล่ ω 1 = 2πν และ ω 2 = 0 – ความเร็วเชิงมุมเริ่มต้นและสุดท้ายของมู่เล่

แล้ว

โมเมนต์ของแรงเสียดทาน M 2 ของมู่เล่ที่สองจะแสดงผ่านการเชื่อมต่อระหว่างงาน A ของแรงเสียดทานกับการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของมัน ΔE k:

โดยที่ Δφ = 2πN คือมุมของการหมุน N คือจำนวนรอบการหมุนของมู่เล่

แล้วมาจากไหน.

เกี่ยวกับ อัตราส่วนจะเท่ากัน

โมเมนต์เสียดสีของมู่เล่ที่สองนั้นมากกว่า 1.33 เท่า

ตัวอย่างที่ 2.3 มวลของจานแข็งที่เป็นเนื้อเดียวกัน m มวลของโหลด m 1 และม 2 (รูปที่ 15) ไม่มีการลื่นไถลหรือแรงเสียดทานของเกลียวในแกนกระบอกสูบ ค้นหาความเร่งของโหลดและอัตราส่วนของความตึงของเกลียวในกระบวนการเคลื่อนไหว

ด้ายจะไม่หลุด ดังนั้นเมื่อ m 1 และ m 2 มีการเคลื่อนที่แบบแปลน ทรงกระบอกจะหมุนรอบแกนที่ผ่านจุด O ให้เราถือว่า m 2 > m 1 เป็นที่แน่นอน

จากนั้นโหลด m 2 จะลดลงและกระบอกสูบจะหมุนตามเข็มนาฬิกา ให้เราเขียนสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่อยู่ในระบบ

สมการสองสมการแรกเขียนขึ้นสำหรับวัตถุที่มีมวล m 1 และ m 2 ที่กำลังเคลื่อนที่ผ่านการแปล และสมการที่สามเขียนสำหรับทรงกระบอกที่กำลังหมุน ในสมการที่สามทางด้านซ้ายคือโมเมนต์รวมของแรงที่กระทำต่อกระบอกสูบ (โมเมนต์ของแรง T 1 นั้นมีเครื่องหมายลบ เนื่องจากแรง T 1 มีแนวโน้มที่จะหมุนกระบอกสูบทวนเข็มนาฬิกา) ทางด้านขวา I คือโมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกสูบสัมพันธ์กับแกน O ซึ่งเท่ากับ

โดยที่ R คือรัศมีของกระบอกสูบ β คือความเร่งเชิงมุมของกระบอกสูบ

เนื่องจากไม่มีการเลื่อนหลุดของเธรดแล้ว
- เมื่อคำนึงถึงนิพจน์สำหรับ I และ β เราได้รับ:

เมื่อบวกสมการของระบบ เราก็มาถึงสมการ

จากตรงนี้เราจะพบความเร่ง กสินค้า

จากสมการที่ได้จะเห็นได้ชัดว่าความตึงของเกลียวจะเท่ากันนั่นคือ =1 ถ้ามวลของกระบอกสูบน้อยกว่ามวลของโหลดมาก

ตัวอย่างที่ 2.4 ลูกบอลกลวงที่มีมวล m = 0.5 กก. มีรัศมีภายนอก R = 0.08 ม. และรัศมีภายใน r = 0.06 ม. ลูกบอลหมุนรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง ในช่วงเวลาหนึ่ง แรงเริ่มกระทำต่อลูกบอล ซึ่งส่งผลให้มุมการหมุนของลูกบอลเปลี่ยนไปตามกฎหมาย
- กำหนดโมเมนต์ของแรงที่ใช้

เราแก้ปัญหาโดยใช้สมการพื้นฐานของพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุน
- ปัญหาหลักคือการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอลกลวง และเราพบว่าความเร่งเชิงมุม β เป็นดังนี้
- โมเมนต์ความเฉื่อย I ของลูกบอลกลวงเท่ากับความแตกต่างระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอลรัศมี R และลูกบอลรัศมี r:

โดยที่ ρ คือความหนาแน่นของวัสดุลูกบอล การหาความหนาแน่นโดยรู้มวลของลูกบอลกลวง

จากจุดนี้ เราจะหาความหนาแน่นของวัสดุลูกบอล

สำหรับโมเมนต์ของแรง M เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 2.5 แท่งบางๆ ที่มีมวล 300 กรัม และยาว 50 ซม. หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม 10 วินาที -1 ในระนาบแนวนอนรอบแกนตั้งที่ลอดผ่านกึ่งกลางของแกน จงหาความเร็วเชิงมุม ถ้าระหว่างการหมุนในระนาบเดียวกัน แกนเคลื่อนที่จนแกนหมุนผ่านปลายแกน

เราใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

(1)

(J i คือโมเมนต์ความเฉื่อยของแกนที่สัมพันธ์กับแกนการหมุน)

สำหรับระบบวัตถุที่แยกออกจากกัน ผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมยังคงที่ เนื่องจากความจริงที่ว่าการกระจายตัวของมวลของแท่งที่สัมพันธ์กับแกนของการหมุนนั้นเปลี่ยนไป โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งก็เปลี่ยนไปตาม (1):

เจ 0 ω 1 = เจ 2 ω 2 .

(2)

เป็นที่ทราบกันดีว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งสัมพัทธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลและตั้งฉากกับแท่งนั้นเท่ากับ

เจ 0 = มล.2 /12

(3) ตามทฤษฎีบทของสไตเนอร์ 2

เจ =เจ 0 +ม ตามทฤษฎีบทของสไตเนอร์ก

(J คือโมเมนต์ความเฉื่อยของแกนที่สัมพันธ์กับแกนการหมุนที่กำหนด J 0 คือโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนขนานที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล

- ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลถึงแกนการหมุนที่เลือก) ตามทฤษฎีบทของสไตเนอร์มาหาโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนที่ผ่านจุดสิ้นสุดและตั้งฉากกับแกน:

เจ 2 =เจ 0 +ม

2, J 2 = ม มม. 2 /12 + ม.(ต./2) 2 = ม. 2 /3

(4)

ลองแทนสูตร (3) และ (4) ลงใน (2): ม.2 ω 1 /12 = ม.2 ω 2 /3มω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10s-1/4=2.5s -1 1 ตัวอย่างที่ 2.6 -1 - บุรุษแห่งมวล 2 =60กก. ยืนอยู่บนขอบของแท่นที่มีมวล M=120กก. หมุนด้วยความเฉื่อยรอบแกนแนวตั้งคงที่ด้วยความถี่ ν

=12 นาที, ย้ายไปที่ศูนย์กลาง เมื่อพิจารณาว่าแพลตฟอร์มเป็นดิสก์เนื้อเดียวกันทรงกลมและบุคคลเป็นมวลจุด ให้พิจารณาด้วยความถี่ ν .

แพลตฟอร์มจะหมุนที่ให้ไว้:

ม.=60กก., M=120กก., ν 1 =12นาที -1 = 0.2วินาที -1หา:

ν 1

สารละลาย:
ตามเงื่อนไขของปัญหา แพลตฟอร์มกับบุคคลจะหมุนด้วยความเฉื่อย เช่น โมเมนต์ผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อระบบที่กำลังหมุนจะเป็นศูนย์ ดังนั้นสำหรับระบบ "บุคคลบนแพลตฟอร์ม" กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมจึงเป็นที่พอใจ ฉัน 1 ω 1 = ฉัน 2 ω 2
ที่ไหน

- โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบเมื่อบุคคลยืนอยู่บนขอบของแท่น (คำนึงว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่นมีค่าเท่ากับ

(R – รัศมี n

ความเร็วการหมุนที่ต้องการมาจากไหน?

คำตอบ: ν 2 = 24 นาที -1

พลังงานจลน์เป็นปริมาณบวก ดังนั้น พลังงานจลน์ของร่างกายที่เคลื่อนที่ในลักษณะที่ไม่แน่นอนจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของจุดวัตถุทั้งหมด n จุดซึ่งสามารถแบ่งร่างกายทางจิตได้:

ถ้าวัตถุหมุนรอบแกนคงที่ z ด้วยความเร็วเชิงมุม แสดงว่าความเร็วเชิงเส้น จุดที่ i , Ri - ระยะห่างถึงแกนการหมุน เพราะฉะนั้น,

จากการเปรียบเทียบ เราจะเห็นว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย I เป็นหน่วยวัดความเฉื่อยระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน เช่นเดียวกับที่มวล m เป็นหน่วยวัดความเฉื่อยระหว่างการเคลื่อนที่แบบแปลน

ในกรณีทั่วไป การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งสามารถแสดงเป็นผลรวมของการเคลื่อนไหวสองครั้ง - การแปลด้วยความเร็ว vc และการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω รอบแกนชั่วขณะที่ผ่านจุดศูนย์กลางของความเฉื่อย แล้วพลังงานจลน์ทั้งหมดของร่างกายนี้

โดยที่ Ic คือโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนการหมุนชั่วขณะที่ผ่านจุดศูนย์กลางความเฉื่อย

กฎพื้นฐานของพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน

พลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุน

กฎพื้นฐานของพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุน:

หรือ ม=เจโดยที่ M คือโมเมนต์แห่งแรง M=[ r F ] , เจ -โมเมนต์ความเฉื่อยคือโมเมนตัมของร่างกาย

ถ้า M(ภายนอก)=0 - กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม - พลังงานจลน์ของวัตถุที่กำลังหมุน

ทำงานในการเคลื่อนที่แบบหมุน

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

โมเมนตัมเชิงมุม (โมเมนตัมของการเคลื่อนที่) ของจุดวัสดุ A สัมพันธ์กับจุดคงที่ O เรียกว่า ปริมาณทางกายภาพกำหนดโดยผลคูณเวกเตอร์:

โดยที่ r คือเวกเตอร์รัศมีที่ดึงจากจุด O ไปยังจุด A, p=mv คือโมเมนตัมของจุดวัสดุ (รูปที่ 1) L เป็นเวกเตอร์หลอก ซึ่งมีทิศทางเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางการเคลื่อนที่ของใบพัดด้านขวาขณะที่หมุนจาก r ถึง r

โมดูลัสของเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม

โดยที่ α คือมุมระหว่างเวกเตอร์ r และ p, l คือแขนของเวกเตอร์ p สัมพันธ์กับจุด O

โมเมนตัมเชิงมุมสัมพันธ์กับแกนคงที่ z คือปริมาณสเกลาร์ Lz เท่ากับเส้นโครงบนแกนนี้ของเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมที่กำหนดสัมพันธ์กับจุดใดก็ได้ O ของแกนนี้ โมเมนตัมเชิงมุม Lz ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด O บนแกน z

เมื่อวัตถุที่แข็งเกร็งอย่างยิ่งหมุนรอบแกนคงที่ z แต่ละจุดของร่างกายจะเคลื่อนที่ไปตามวงกลมที่มีรัศมีคงที่ ri ด้วยความเร็ว vi ความเร็ว vi และโมเมนตัม mivi ตั้งฉากกับรัศมีนี้ กล่าวคือ รัศมีคือแขนของเวกเตอร์ mivi ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียนได้ว่าโมเมนตัมเชิงมุมของแต่ละอนุภาคมีค่าเท่ากับ

และพุ่งไปตามแกนในทิศทางที่กำหนดตามกฎของสกรูด้านขวา

โมเมนตัมของวัตถุแข็งสัมพันธ์กับแกนคือผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคแต่ละตัว:

เมื่อใช้สูตร vi = ωri เราได้

ดังนั้น โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งที่สัมพันธ์กับแกนจะเท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่สัมพันธ์กับแกนเดียวกัน คูณด้วยความเร็วเชิงมุม ให้เราแยกสมการ (2) เทียบกับเวลา:

สูตรนี้เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของสมการสำหรับพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งสัมพันธ์กับแกนคงที่: อนุพันธ์ของโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งที่สัมพันธ์กับแกนนั้นเท่ากับโมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับสิ่งเดียวกัน แกน.

แสดงว่ามีความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์

ในระบบปิด โมเมนต์ของแรงภายนอก M = 0 และจากที่ไหน

นิพจน์ (4) แสดงถึงกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม: โมเมนตัมเชิงมุมของระบบวงปิดจะยังคงอยู่ กล่าวคือ มันไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมเช่นเดียวกับกฎการอนุรักษ์พลังงานเป็นกฎพื้นฐานของธรรมชาติ มันเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของความสมมาตรของอวกาศ - ไอโซโทรปีของมันนั่นคือ กับค่าคงที่ของกฎฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับการเลือกทิศทางของแกนพิกัดของระบบอ้างอิง (สัมพันธ์กับการหมุนของระบบปิดในอวกาศที่ใดก็ได้ มุม).

ที่นี่เราจะสาธิตกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมโดยใช้ม้านั่ง Zhukovsky คนที่นั่งบนม้านั่งหมุนรอบแกนตั้งและถือดัมเบลล์ในแขนที่ยื่นออกมา (รูปที่ 2) ถูกหมุนโดยกลไกภายนอกที่มีความเร็วเชิงมุม ω1 หากมีคนกดดัมเบลล์ลงบนร่างกาย โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจะลดลง แต่โมเมนตัมของแรงภายนอกเป็นศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมของระบบจะยังคงอยู่ และความเร็วเชิงมุมของการหมุน ω2 จะเพิ่มขึ้น ในทำนองเดียวกัน ในระหว่างการกระโดดเหนือศีรษะ นักกายกรรมจะกดแขนและขาเข้าหาร่างกายเพื่อลดโมเมนต์ความเฉื่อยและเพิ่มความเร็วเชิงมุมของการหมุน

ความดันในของเหลวและก๊าซ

โมเลกุลของก๊าซซึ่งมีการเคลื่อนไหวที่วุ่นวายและวุ่นวายนั้นไม่ได้เชื่อมต่อกันหรือค่อนข้างเชื่อมต่อกันอย่างอ่อนแอด้วยแรงปฏิสัมพันธ์ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกมันจึงเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระเกือบและจากการชนกันก็กระจัดกระจายไปทุกทิศทางในขณะที่เติมปริมาตรทั้งหมดที่ให้ไว้ กล่าวคือปริมาตรของก๊าซถูกกำหนดโดยปริมาตรภาชนะที่ก๊าซครอบครอง

และของเหลวที่มีปริมาตรพอเหมาะจะมีรูปร่างเป็นภาชนะที่บรรจุอยู่ แต่ระยะห่างเฉลี่ยระหว่างโมเลกุลต่างจากก๊าซในของเหลวตรงที่ค่าเฉลี่ยคงที่ ดังนั้นของเหลวจึงมีปริมาตรไม่เปลี่ยนแปลงในทางปฏิบัติ

คุณสมบัติของของเหลวและก๊าซมีความแตกต่างกันมากในหลาย ๆ ด้าน แต่ในปรากฏการณ์ทางกลหลายประการคุณสมบัติของพวกมันถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์และสมการที่เหมือนกัน ด้วยเหตุนี้ hydroaeromechanics จึงเป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์ที่ศึกษาสมดุลและการเคลื่อนที่ของก๊าซและของเหลว ปฏิสัมพันธ์ระหว่างพวกมันและระหว่างวัตถุแข็งที่ไหลรอบตัวพวกมัน เช่น ใช้วิธีการแบบครบวงจรในการศึกษาของเหลวและก๊าซ

ในทางกลศาสตร์ ของเหลวและก๊าซได้รับการพิจารณาด้วยความแม่นยำสูงว่าเป็นของแข็ง และมีการกระจายอย่างต่อเนื่องในส่วนของพื้นที่ที่พวกมันครอบครอง สำหรับก๊าซ ความหนาแน่นขึ้นอยู่กับความดันอย่างมาก มันถูกสร้างมาจากประสบการณ์ ที่การอัดตัวของของเหลวและก๊าซมักจะถูกละเลยและแนะนำให้ใช้ แนวคิดแบบครบวงจร- ของเหลวที่ไม่สามารถอัดตัวได้ - ของเหลวที่มีความหนาแน่นเท่ากันทุกที่ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป

เราวางแผ่นบาง ๆ ไว้ที่เหลือส่งผลให้มีส่วนของของเหลวอยู่ตามนั้น ด้านที่แตกต่างกันจากจาน จะกระทำกับแต่ละองค์ประกอบ ΔS ด้วยแรง ΔF ซึ่งจะมีขนาดเท่ากันและตั้งฉากกับแท่น ΔS โดยไม่คำนึงถึงทิศทางของแท่น มิฉะนั้น การมีอยู่ของแรงในแนวสัมผัสจะทำให้อนุภาคของของไหล ย้าย (รูปที่ 1)

ปริมาณทางกายภาพที่กำหนดโดยแรงตั้งฉากที่กระทำต่อของเหลว (หรือก๊าซ) ต่อหน่วยพื้นที่เรียกว่าความดัน p/ ของของเหลว (หรือก๊าซ): p= ΔF/ΔS

หน่วยความดันคือปาสคาล (Pa): 1 Pa เท่ากับความดันที่สร้างขึ้นโดยแรง 1 N ซึ่งมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนพื้นผิวปกติโดยมีพื้นที่ 1 m2 (1 Pa = 1 N/ ม2)

ความดันในสภาวะสมดุลของของเหลว (ก๊าซ) เป็นไปตามกฎของปาสคาล ความดันในตำแหน่งใดๆ ของของเหลวที่อยู่นิ่งจะเท่ากันในทุกทิศทาง และความดันจะถูกส่งผ่านอย่างเท่าเทียมกันตลอดปริมาตรทั้งหมดที่ของเหลวที่อยู่นิ่งอยู่

ให้เราศึกษาอิทธิพลของน้ำหนักของของเหลวต่อการกระจายแรงดันภายในของเหลวที่ไม่สามารถอัดตัวได้คงที่ เมื่อของไหลอยู่ในสภาวะสมดุล ความดันตามเส้นแนวนอนใดๆ ก็ตามจะเท่ากันเสมอ ไม่เช่นนั้นก็จะไม่มีความสมดุล ซึ่งหมายความว่าพื้นผิวว่างของของเหลวที่อยู่นิ่งจะเป็นแนวนอนเสมอ (เราไม่ได้คำนึงถึงแรงดึงดูดของของเหลวที่ผนังของภาชนะ) หากของไหลไม่สามารถอัดตัวได้ ความหนาแน่นของของไหลจะไม่ขึ้นอยู่กับความดัน จากนั้น ด้วยหน้าตัด S ของคอลัมน์ของเหลว ความสูง h และความหนาแน่น ρ น้ำหนัก P=ρgSh ในขณะที่ความดันบนฐานด้านล่าง: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

นั่นคือ ความดันแปรผันเป็นเส้นตรงกับระดับความสูง ความดัน ρgh เรียกว่า ความดันอุทกสถิต

ตามสูตร (1) แรงกดที่ชั้นล่างของของเหลวจะมากกว่าชั้นบน ดังนั้นวัตถุที่แช่อยู่ในของเหลวจึงถูกกระทำโดยแรงที่กำหนดโดยกฎของอาร์คิมิดีส นั่นคือ วัตถุที่จุ่มอยู่ใน ของเหลว (ก๊าซ) ถูกกระทำโดยแรงพุ่งตรงจากแรงลอยตัวของของเหลวนี้ขึ้นไป เท่ากับน้ำหนักของเหลว (ก๊าซ) ที่ถูกแทนที่โดยร่างกาย: FA = ρgV โดยที่ ρ คือความหนาแน่นของของเหลว V คือปริมาตรของร่างกายที่แช่อยู่ในของเหลว

กลศาสตร์.

คำถามหมายเลข 1

ระบบอ้างอิง ระบบอ้างอิงเฉื่อย หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ-ไอน์สไตน์

กรอบอ้างอิง- นี่คือชุดของร่างกายที่เกี่ยวข้องกับการอธิบายการเคลื่อนไหว ร่างกายที่ได้รับและระบบพิกัดที่เกี่ยวข้อง

ระบบอ้างอิงเฉื่อย (IRS)เป็นระบบที่ร่างกายเคลื่อนไหวอย่างอิสระอยู่ในสภาวะหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่เชิงเส้นสม่ำเสมอ

หลักการสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ-ไอน์สไตน์- ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติทั้งหมดในกรอบอ้างอิงเฉื่อยใดๆ เกิดขึ้นในลักษณะเดียวกันและมีรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ISO ทั้งหมดจะเท่ากัน

คำถามหมายเลข 2

สมการของการเคลื่อนไหว ประเภทของการเคลื่อนไหวร่างกายแข็งเกร็ง ภารกิจหลักของจลนศาสตร์

สมการการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ:

- สมการจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่

ประเภทของการเคลื่อนไหวร่างกายแข็งเกร็ง:

1) การเคลื่อนที่แบบแปล - เส้นตรงใดๆ ที่ลากในร่างกายจะเคลื่อนที่ขนานกับตัวมันเอง

2) การเคลื่อนไหวแบบหมุน - จุดใด ๆ ของร่างกายเคลื่อนที่เป็นวงกลม

φ = φ(เสื้อ)

ภารกิจหลักของจลนศาสตร์- นี่คือการได้รับความต่อเนื่องของเวลาของความเร็ว V = V(t) และพิกัด (หรือเวกเตอร์รัศมี) r = r(t) ของจุดวัสดุจากการขึ้นต่อกันของเวลาที่ทราบของความเร่ง a = a(t) และค่า เงื่อนไขเริ่มต้นที่ทราบ V 0 และ r 0

คำถามหมายเลข 7

ชีพจร (ปริมาณการเคลื่อนไหว) คือปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์ที่ใช้วัดการเคลื่อนที่ทางกลของวัตถุ ในกลศาสตร์คลาสสิก โมเมนตัมของวัตถุมีค่าเท่ากับผลคูณของมวล มจุดนี้ด้วยความเร็วของมัน โวลต์ทิศทางของแรงกระตุ้นเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว:

ในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี แรงกระตุ้นทั่วไปเป็นอนุพันธ์ย่อยของลากรองจ์ของระบบเทียบกับความเร็วทั่วไป

ถ้าลากรองจ์ของระบบไม่ขึ้นอยู่บ้าง พิกัดทั่วไปแล้วเนื่องจาก สมการลากรองจ์ .

สำหรับอนุภาคอิสระ ฟังก์ชันลากรองจ์จะมีรูปแบบดังนี้:

ความเป็นอิสระของระบบปิดลากรองจ์จากตำแหน่งในอวกาศตามมาจากทรัพย์สิน ความสม่ำเสมอของพื้นที่: สำหรับระบบที่แยกได้อย่างดี พฤติกรรมของมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่เราวางไว้ โดย ทฤษฎีบทของโนเธอร์จากความเป็นเนื้อเดียวกันนี้เป็นไปตามการอนุรักษ์ปริมาณทางกายภาพบางส่วน ปริมาณนี้เรียกว่าแรงกระตุ้น (สามัญ ไม่ใช่ทั่วไป)

ในกลศาสตร์คลาสสิก เสร็จสมบูรณ์ แรงกระตุ้นระบบจุดวัสดุเรียกว่าปริมาณเวกเตอร์เท่ากับผลรวมของผลคูณของมวลของจุดวัสดุและความเร็ว:

ดังนั้นปริมาณจึงเรียกว่าโมเมนตัมของจุดวัสดุหนึ่งจุด นี่คือปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับความเร็วของอนุภาค หน่วยวัดแรงกระตุ้นสากล (SI) คือ กิโลกรัม-เมตรต่อวินาที(กก. ลบ.ม./วินาที)

หากเรากำลังจัดการกับวัตถุที่มีขนาดจำกัด เพื่อกำหนดโมเมนตัมของมัน จำเป็นต้องแบ่งร่างกายออกเป็นส่วนเล็ก ๆ ซึ่งถือได้ว่าเป็นจุดวัสดุและสรุปเหนือพวกมัน เป็นผลให้เราได้รับ:

แรงกระตุ้นของระบบที่ไม่ได้รับผลกระทบจากแรงภายนอกใดๆ (หรือได้รับการชดเชย) บันทึกแล้วทันเวลา:

การอนุรักษ์โมเมนตัมในกรณีนี้เป็นไปตามกฎข้อที่สองและสามของนิวตัน: โดยการเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับแต่ละจุดวัสดุที่ประกอบกันเป็นระบบ และรวมจุดวัสดุทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นระบบ โดยอาศัยกฎข้อที่สามของนิวตัน เราจะได้รับความเท่าเทียมกัน (* ).

ในกลศาสตร์สัมพัทธภาพ โมเมนตัมสามมิติของระบบจุดวัตถุที่ไม่โต้ตอบคือปริมาณ

,

ที่ไหน ฉัน- น้ำหนัก ฉันจุดวัสดุที่

สำหรับระบบปิดของจุดวัสดุที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์กัน ค่านี้จะยังคงอยู่ อย่างไรก็ตาม โมเมนตัมสามมิติไม่ใช่ปริมาณที่ไม่แปรเปลี่ยนเชิงสัมพัทธ์ เนื่องจากมันขึ้นอยู่กับหน้าต่างอ้างอิง ปริมาณที่มีความหมายมากกว่าคือโมเมนตัมสี่มิติ ซึ่งกำหนดจุดวัสดุจุดหนึ่งเป็น

ในทางปฏิบัติ มักใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างมวล โมเมนตัม และพลังงานของอนุภาค:

ตามหลักการแล้ว สำหรับระบบจุดวัสดุที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์กัน จะมีการรวมช่วงเวลา 4 ช่วงเวลาเข้าด้วยกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับการโต้ตอบอนุภาคในกลศาสตร์สัมพัทธภาพ จำเป็นต้องคำนึงถึงไม่เพียงแต่โมเมนตัมของอนุภาคที่ประกอบเป็นระบบเท่านั้น แต่ยังต้องคำนึงถึงโมเมนตัมของสนามปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคเหล่านั้นด้วย ดังนั้น ปริมาณที่มีความหมายมากกว่ามากในกลศาสตร์สัมพัทธภาพคือเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัม ซึ่งใน อย่างเต็มที่เป็นไปตามกฎหมายอนุรักษ์

คำถาม #8

โมเมนต์ความเฉื่อย- ปริมาณทางกายภาพสเกลาร์ ซึ่งเป็นหน่วยวัดความเฉื่อยของวัตถุในการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบแกน เช่นเดียวกับที่มวลของวัตถุเป็นหน่วยวัดความเฉื่อยในการเคลื่อนที่เชิงแปล โดดเด่นด้วยการกระจายตัวของมวลในร่างกาย: โมเมนต์ความเฉื่อย เท่ากับผลรวมผลคูณมวลเบื้องต้นด้วยกำลังสองของระยะทางถึงเซตฐาน

โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกน

โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของวัตถุบางส่วน

โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบกลไกสัมพันธ์กับแกนคงที่ (“โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกน”) คือปริมาณ เจเอเท่ากับผลรวมของผลคูณของมวลชนทั้งหมด nจุดวัสดุของระบบด้วยกำลังสองของระยะทางถึงแกน:

,

• ฉัน- น้ำหนัก ฉันจุดที่
• ร ฉัน- ระยะทางจาก ฉันชี้ไปที่แกน

ตามแนวแกน ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยร่างกาย เจเอเป็นหน่วยวัดความเฉื่อยของวัตถุในการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบแกน เช่นเดียวกับที่มวลของวัตถุเป็นหน่วยวัดความเฉื่อยในการเคลื่อนที่แบบแปลน

,

• DM = ρ ดีวี- มวลขององค์ประกอบเล็ก ๆ ของปริมาตรของร่างกาย ดีวี,
• ρ - ความหนาแน่น
• ร- ระยะห่างจากองค์ประกอบ ดีวีถึงแกน a

หากร่างกายเป็นเนื้อเดียวกันนั่นคือความหนาแน่นของมันจะเท่ากันทุกที่

ที่มาของสูตร

DMและช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย ดีเจ ฉัน- แล้ว

กระบอกสูบผนังบาง (แหวน ห่วง)

ที่มาของสูตร

โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่เป็นส่วนประกอบ แบ่งทรงกระบอกผนังบางออกเป็นองค์ประกอบที่มีมวล DMและช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย ดีเจ ฉัน- แล้ว

เนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดของทรงกระบอกผนังบางอยู่ห่างจากแกนหมุนเท่ากัน สูตร (1) จึงถูกแปลงเป็นรูปแบบ

ทฤษฎีบทของสไตเนอร์

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งที่สัมพันธ์กับแกนใดๆ ไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับมวล รูปร่าง และขนาดของร่างกายเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับตำแหน่งของร่างกายที่สัมพันธ์กับแกนนี้ด้วย ตามทฤษฎีบทของสไตเนอร์ (ทฤษฎีบทของไฮเกนส์-สไตเนอร์) ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยร่างกาย เจสัมพันธ์กับแกนใดก็ได้เท่ากับผลรวม ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยร่างกายนี้ เจซีสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายขนานกับแกนที่พิจารณา และผลคูณของมวลกาย มต่อตารางเมตรของระยะทาง งระหว่างแกน:

ถ้า เป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนขนานซึ่งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางจะเท่ากับ

,

มวลกายทั้งหมดอยู่ที่ไหน

ตัวอย่างเช่น โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งไม้สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านปลายของมันเท่ากับ:

พลังงานหมุนเวียน

พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน- พลังงานของร่างกายที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของมัน

ลักษณะทางจลน์ศาสตร์หลักของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุคือความเร็วเชิงมุม (ω) และความเร่งเชิงมุม ลักษณะไดนามิกหลักของการเคลื่อนที่แบบหมุน - โมเมนตัมเชิงมุมสัมพันธ์กับแกนการหมุน z:

เคซี = ฉันzω

และพลังงานจลน์

โดยที่ I z คือโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนการหมุน

ตัวอย่างที่คล้ายกันนี้สามารถพบได้เมื่อพิจารณาถึงโมเลกุลที่กำลังหมุนอยู่ซึ่งมีแกนความเฉื่อยหลัก ฉัน 1, ฉัน 2และ ฉัน 3- พลังงานการหมุนของโมเลกุลนั้นได้มาจากการแสดงออก

ที่ไหน ω 1, ω 2, และ ω 3- ส่วนประกอบหลักของความเร็วเชิงมุม

โดยทั่วไป พลังงานระหว่างการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมจะพบได้จากสูตร:

, ที่ไหน ฉัน- เทนเซอร์ความเฉื่อย

คำถามหมายเลข 9

ช่วงเวลาแห่งแรงกระตุ้น (โมเมนตัมเชิงมุม โมเมนตัมเชิงมุม โมเมนตัมการโคจร โมเมนตัมเชิงมุม) แสดงลักษณะปริมาณของการเคลื่อนที่แบบหมุน ปริมาณที่ขึ้นอยู่กับจำนวนมวลที่หมุน การกระจายของมวลสัมพันธ์กับแกนการหมุน และความเร็วของการหมุนที่เกิดขึ้น

ควรสังเกตว่าการหมุนที่นี่เป็นที่เข้าใจในความหมายกว้างๆ ไม่ใช่แค่การหมุนรอบแกนปกติเท่านั้น เช่นแม้กระทั่งกับ การเคลื่อนไหวตรงวัตถุผ่านจุดจินตภาพใดๆ ที่ไม่อยู่ในแนวการเคลื่อนที่ แต่ก็มีโมเมนตัมเชิงมุมด้วย บางทีโมเมนตัมเชิงมุมอาจมีบทบาทที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในการอธิบายการเคลื่อนที่แบบหมุนจริง อย่างไรก็ตาม เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับปัญหาในระดับที่กว้างกว่ามาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากปัญหามีความสมมาตรตรงกลางหรือตามแนวแกน แต่ไม่ใช่เฉพาะในกรณีเหล่านี้เท่านั้น)

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม(กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม) - ผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดที่สัมพันธ์กับแกนใดๆ สำหรับระบบปิดจะยังคงคงที่ในกรณีของความสมดุลของระบบ ด้วยเหตุนี้ โมเมนตัมเชิงมุมของระบบปิดที่สัมพันธ์กับโมเมนตัมเชิงมุมที่ไม่ใช่อนุพันธ์ใดๆ เมื่อเทียบกับเวลาคือ โมเมนตัมของแรง:

ดังนั้นข้อกำหนดที่ระบบปิดสามารถลดลงได้จนถึงข้อกำหนดที่โมเมนต์หลัก (รวม) ของแรงภายนอกมีค่าเท่ากับศูนย์:

โดยที่โมเมนต์หนึ่งของแรงหนึ่งที่ใช้กับระบบอนุภาคคือที่ไหน (แต่แน่นอนว่าหากไม่มีแรงภายนอกเลยข้อกำหนดนี้ก็ได้รับการตอบสนองเช่นกัน)

ในทางคณิตศาสตร์ กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมเป็นไปตามไอโซโทรปีของอวกาศ กล่าวคือ จากความแปรปรวนของอวกาศเมื่อเทียบกับการหมุนผ่านมุมใดๆ ก็ตาม เมื่อหมุนผ่านมุมเล็กๆ ใดๆ ก็ตาม เวกเตอร์รัศมีของอนุภาคที่มีตัวเลขจะเปลี่ยนตาม และความเร็ว - ฟังก์ชันลากรองจ์ของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงไปพร้อมกับการหมุนดังกล่าว เนื่องจากไอโซโทรปีของอวกาศ นั่นเป็นเหตุผล