Sistemi linearnih enačb za lutke. Gaussova metoda za reševanje matrik. Reševanje sistema linearnih enačb z Gaussovo metodo

Sistemska rešitev linearne enačbe Gaussova metoda. Recimo, da moramo najti rešitev za sistem iz n linearne enačbe z n neznane spremenljivke
katere determinanta glavne matrike je različna od nič.

Bistvo Gaussove metode sestoji iz zaporednega izločanja neznanih spremenljivk: najprej izločanja x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo, je nadalje izključen x 2 iz vseh enačb, začenši s tretjo in tako naprej, dokler v zadnji enačbi ne ostane samo neznana spremenljivka x n. Ta postopek preoblikovanja sistemskih enačb za zaporedno odpravo neznanih spremenljivk se imenuje direktna Gaussova metoda. Po končanem napredovanju Gaussove metode iz zadnje enačbe najdemo x n, pri čemer izračunamo to vrednost iz predzadnje enačbe xn-1, in tako naprej, od prve enačbe, ki jo najdemo x 1. Postopek izračunavanja neznanih spremenljivk pri prehodu iz zadnje enačbe sistema v prvo se imenuje obratno od Gaussove metode.

Naj na kratko opišemo algoritem za izločanje neznanih spremenljivk.

Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo s preureditvijo enačb sistema. Odstranite neznano spremenljivko x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Da bi to naredili, drugi enačbi sistema dodamo prvo, pomnoženo z , tretji enačbi dodamo prvo, pomnoženo z , in tako naprej, do nth enačbi dodamo prvo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi izrazili x 1 skozi druge neznane spremenljivke v prvi enačbi sistema in dobljeni izraz je bil substituiran v vse druge enačbe. Torej spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

V nadaljevanju postopamo na podoben način, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Da bi to naredili, tretji enačbi sistema dodamo drugo, pomnoženo z , četrti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z , in tako naprej, do nth enačbi dodamo drugo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in . Torej spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb od tretje naprej.

Nato nadaljujemo z odpravljanjem neznanega x 3, v tem primeru ravnamo podobno z delom sistema, označenim na sliki

Tako nadaljujemo z neposrednim napredovanjem Gaussove metode, dokler sistem ne prevzame oblike

Od tega trenutka začnemo obratno od Gaussove metode: računamo x n iz zadnje enačbe kot z uporabo dobljene vrednosti x n najdemo xn-1 iz predzadnje enačbe in tako naprej, najdemo x 1 iz prve enačbe.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb Gaussova metoda.

Ena od univerzalnih in učinkovitih metod za reševanje linearnih algebraičnih sistemov je Gaussova metoda , ki sestoji iz zaporednega izločanja neznank.

Spomnimo se, da se imenujeta dva sistema enakovreden (ekvivalentni), če množice njihovih rešitev sovpadajo. Z drugimi besedami, sistemi so enakovredni, če je vsaka rešitev enega od njih rešitev drugega in obratno. Enakovredne sisteme dobimo, ko elementarne transformacije enačbe sistema:

množenje obeh strani enačbe s številom, ki ni nič;

dodajanje v neko enačbo ustreznih delov druge enačbe, pomnoženih s številom, ki ni nič;

preurejanje dveh enačb.

Naj bo podan sistem enačb

Postopek reševanja tega sistema z Gaussovo metodo je sestavljen iz dveh stopenj. Na prvi stopnji (neposredno gibanje) se sistem z uporabo elementarnih transformacij zmanjša na postopno , oz trikotne obliki, na drugi stopnji (obratno) pa je zaporedno, začenši od zadnje številke spremenljivke, določanje neznank iz nastalega sistema korakov.

Predpostavimo, da je koeficient tega sistema
, sicer lahko v sistemu prvo vrstico zamenjamo s katero koli drugo vrstico, tako da je koeficient pri je bil drugačen od nič.

Preoblikujemo sistem z odpravo neznanega v vseh enačbah razen v prvi. Če želite to narediti, pomnožite obe strani prve enačbe z in seštejte člen za členom z drugo enačbo sistema. Nato pomnožite obe strani prve enačbe z in ga dodajte tretji enačbi sistema. Z nadaljevanjem tega procesa dobimo enakovreden sistem

Tukaj
– nove vrednosti koeficientov in prostih členov, ki jih dobimo po prvem koraku.

Podobno, če upoštevamo glavni element
, izključite neznano iz vseh enačb sistema, razen prve in druge. Nadaljujmo s tem postopkom čim dlje in kot rezultat bomo dobili stopenjski sistem

Kje ,
,…,– glavni elementi sistema
.

Če se v procesu redukcije sistema na stopenjsko obliko pojavijo enačbe, tj.
, se zavržejo, ker jih zadovolji kateri koli nabor števil
. Če pri
se bo prikazal enačba oblike, ki nima rešitev, potem to kaže na nekompatibilnost sistema.

Med vzvratno potezo je prva neznanka izražena iz zadnje enačbe transformiranega stopenjskega sistema skozi vse druge neznanke
ki se imenujejo prost . Nato izraz spremenljivke iz zadnje enačbe sistema nadomestimo v predzadnjo enačbo in iz nje izrazimo spremenljivko
. Spremenljivke so definirane zaporedno na podoben način
. Spremenljivke
, izražene s prostimi spremenljivkami, imenujemo osnovni (odvisno). Rezultat je splošna rešitev sistema linearnih enačb.

Najti zasebna rešitev sistemi, prosti neznan
v splošni rešitvi so dodeljene poljubne vrednosti in izračunane so vrednosti spremenljivk
.

Tehnično bolj priročno je, da elementarnim transformacijam ne podvržemo sistemskih enačb samih, temveč razširjeno matriko sistema

Gaussova metoda je univerzalna metoda, ki vam omogoča reševanje ne samo kvadratnih, ampak tudi pravokotnih sistemov, v katerih je število neznank
ni enako številu enačb
.

Prednost te metode je tudi v tem, da v procesu reševanja sistem istočasno preverjamo na združljivost, saj po podani razširjeni matriki
v stopenjsko obliko je enostavno določiti range matrike in razširjeno matriko
in se prijavi Kronecker-Capellijev izrek .

Primer 2.1 Rešite sistem z Gaussovo metodo

rešitev. Število enačb
in število neznank
.

Ustvarimo razširjeno matriko sistema z dodelitvijo koeficientov na desni strani matrike stolpec za brezplačne člane .

Predstavimo matrico na trikotni pogled; Da bi to naredili, bomo pridobili "0" pod elementi, ki se nahajajo na glavni diagonali, z uporabo elementarnih transformacij.

Če želite dobiti "0" na drugem mestu prvega stolpca, pomnožite prvo vrstico z (-1) in jo dodajte drugi vrstici.

To transformacijo zapišemo kot številko (-1) proti prvi vrstici in jo označimo s puščico, ki gre iz prve v drugo vrstico.

Če želite dobiti "0" na tretjem mestu prvega stolpca, pomnožite prvo vrstico z (-3) in dodajte tretji vrstici; Pokažimo to dejanje s puščico, ki gre od prve vrstice do tretje.

V dobljeni matriki, zapisani drugi v verigi matrik, dobimo v drugem stolpcu na tretjem mestu »0«. Da bi to naredili, smo drugo vrstico pomnožili z (-4) in jo dodali tretji. V dobljeni matriki drugo vrstico pomnožite z (-1) in tretjo delite z (-8). Vsi elementi te matrike, ki ležijo pod diagonalnimi elementi, so ničle.

Ker , sistem je sodelovalen in definiran.

Sistem enačb, ki ustreza zadnji matriki, ima trikotno obliko:

Iz zadnje (tretje) enačbe
. Nadomestimo v drugo enačbo in dobimo
.

Zamenjajmo
in
v prvo enačbo, najdemo

.

Gaussova metoda je enostavna! Zakaj? Slavni nemški matematik Johann Carl Friedrich Gauss je že v času svojega življenja prejel priznanje za največjega matematika vseh časov, genija in celo vzdevek »kralj matematike«. In vse genialno, kot veste, je preprosto! Mimogrede, denarja ne dobijo le naivneži, ampak tudi geniji - Gaussov portret je bil na bankovcu za 10 nemških mark (pred uvedbo evra), Gauss pa se še danes skrivnostno nasmiha Nemcem z običajnih poštnih znamk.

Gaussova metoda je preprosta v tem, da ZNANJE PETOŠOLCA ZADOSTOJA, da jo obvlada. Moraš znati seštevati in množiti! Ni naključje, da učitelji pri izbirnih predmetih matematike pogosto upoštevajo metodo zaporednega izločanja neznank. To je paradoks, vendar se študentom Gaussova metoda zdi najtežja. Nič presenetljivega - vse je odvisno od tehnike in poskušal bom dostopni obliki pogovor o algoritmu metode.

Najprej sistematizirajmo nekaj znanja o sistemih linearnih enačb. Sistem linearnih enačb lahko:

1) Imejte edinstveno rešitev.
2) Imeti neskončno veliko rešitev.
3) Nimate rešitev (bodite neskupni).

Gaussova metoda je najmočnejše in univerzalno orodje za iskanje rešitve kaj sistemi linearnih enačb. Kot se spomnimo, Cramerjevo pravilo in matrična metoda niso primerni v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten. In metoda zaporednega izločanja neznank Kakorkoli že nas bo pripeljal do odgovora! Vklopljeno to lekcijo Ponovno bomo obravnavali Gaussovo metodo za primer št. 1 (edina rešitev sistema), članek je posvečen situacijam točk št. 2-3. Opažam, da algoritem same metode deluje enako v vseh treh primerih.

Vrnimo se k najpreprostejši sistem iz razreda Kako rešiti sistem linearnih enačb?
in ga rešite z Gaussovo metodo.

Prvi korak je zapisovanje razširjena sistemska matrika:
. Mislim, da lahko vsak vidi, po kakšnem principu so napisani koeficienti. Navpična črta znotraj matrike nima matematičnega pomena - je preprosto prečrtana zaradi lažjega oblikovanja.

Referenca :Priporočam, da se spomnite pogoji linearna algebra. Sistemska matrica je matrika, sestavljena samo iz koeficientov za neznanke, v tem primeru matrika sistema: . Razširjena sistemska matrica je ista matrika sistema plus stolpec prostih izrazov, v v tem primeru: . Za kratkost lahko katero koli matriko preprosto imenujemo matrika.

Ko je razširjena sistemska matrika napisana, je potrebno z njo izvesti nekaj dejanj, ki se imenujejo tudi elementarne transformacije.

Obstajajo naslednje osnovne transformacije:

1) Strune matrice Lahko preurediti ponekod. Na primer, v obravnavani matriki lahko neboleče preuredite prvo in drugo vrstico:

2) Če v matriki obstajajo (ali so se pojavile) sorazmerne (kot poseben primer - enake) vrstice, potem morate izbrisati iz matrike vse te vrstice razen ene. Razmislite na primer o matriki . V tej matriki so zadnje tri vrstice sorazmerne, zato je dovolj, da pustite samo eno od njih: .

3) Če se med transformacijami v matriki pojavi ničelna vrstica, potem bi morala biti tudi izbrisati. Seveda ne bom risal, ničelna črta je črta, v kateri vse ničle.

4) Vrstica matrike je lahko pomnožiti (deliti) na poljubno številko različen od nič. Razmislite na primer o matriki. Tukaj je priporočljivo, da prvo vrstico delite z –3 in drugo vrstico pomnožite z 2: . To dejanje je zelo uporabno, saj poenostavi nadaljnje transformacije matrike.

5) Ta preobrazba povzroča največ težav, vendar v resnici tudi ni nič zapletenega. V vrstico matrike lahko dodajte še en niz, pomnožen s številom, drugačen od nič. Oglejmo si našo matriko iz praktičnega primera: . Najprej bom zelo podrobno opisal transformacijo. Pomnožite prvo vrstico z –2: , In drugi vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –2: . Zdaj lahko prvo vrstico razdelimo »nazaj« z –2: . Kot lahko vidite, je vrstica, ki je DODANA LI – se ni spremenilo. Nenehno spremeni se vrstica KATERI JE DODANO UT.

V praksi tega seveda ne napišejo tako podrobno, ampak napišejo na kratko:

Še enkrat: v drugo vrstico dodal prvo vrstico, pomnoženo z –2. Vrstica se običajno množi ustno ali na osnutku, pri čemer proces miselnega izračuna poteka nekako takole:

»Prepišem matriko in prepišem prvo vrstico: »

»Prvi stolpec. Na dnu moram dobiti ničlo. Zato tistega na vrhu pomnožim z –2: , v drugo vrstico pa dodam prvega: 2 + (–2) = 0. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»Zdaj pa drugi stolpec. Na vrhu pomnožim -1 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: 1 + 2 = 3. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»In tretji stolpec. Na vrhu pomnožim -5 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: –7 + 10 = 3. V drugo vrstico zapišem rezultat: »

Prosimo, da natančno razumete ta primer in razumete algoritem zaporednega izračuna, če to razumete, potem je Gaussova metoda praktično v vašem žepu. Seveda pa bomo še vedno delali na tej transformaciji.

Elementarne transformacije ne spremenijo rešitve sistema enačb

! POZOR: obravnavane manipulacije ne more uporabljati, če vam ponudijo nalogo, pri kateri so matrike podane »same od sebe«. Na primer s "klasično" operacije z matricami V nobenem primeru ne smete ničesar preurediti znotraj matric!

Vrnimo se k našemu sistemu. Tako rekoč razrezana je na koščke.

Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo z elementarnimi transformacijami reduciramo na stopničast pogled:

(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. In še enkrat: zakaj prvo vrstico pomnožimo z –2? Da bi dobili ničlo na dnu, kar pomeni, da se znebite ene spremenljivke v drugi vrstici.

(2) Drugo vrstico delite s 3.

Namen elementarnih transformacij – reduciraj matriko na postopno obliko: . Pri zasnovi naloge samo označijo "stopnice" s preprostim svinčnikom in obkrožijo tudi številke, ki se nahajajo na "stopnicah". Sam izraz "stopničasti pogled" ni povsem teoretičen, v znanstveni in izobraževalni literaturi se pogosto imenuje trapezni pogled oz trikotni pogled.

Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovreden izvirni sistem enačb:

Zdaj je treba sistem "odviti" v nasprotni smeri - od spodaj navzgor se imenuje ta postopek obratno od Gaussove metode.

V spodnji enačbi imamo že pripravljen rezultat: .

Oglejmo si prvo enačbo sistema in jo že nadomestimo znana vrednost"Y":

Razmislimo o najpogostejši situaciji, ko Gaussova metoda zahteva reševanje sistema treh linearnih enačb s tremi neznankami.

Primer 1

Rešite sistem enačb z Gaussovo metodo:

Zapišimo razširjeno matriko sistema:

Zdaj bom takoj izrisal rezultat, do katerega bomo prišli med reševanjem:

In ponavljam, naš cilj je spraviti matriko v postopno obliko z uporabo elementarnih transformacij. Kje začeti?

Najprej poglejte številko zgoraj levo:

Skoraj vedno bi moral biti tukaj enota. Na splošno velja –1 (in včasih tudi druge številke), vendar se je nekako tradicionalno zgodilo, da je ena običajno tam. Kako organizirati enoto? Pogledamo prvi stolpec - imamo končano enoto! Prva transformacija: zamenjajte prvo in tretjo vrstico:

Zdaj bo prva vrstica ostala nespremenjena do konca rešitve. Zdaj pa dobro.

Enota v zgornjem levem kotu je organizirana. Zdaj morate dobiti ničle na teh mestih:

Ničle dobimo s "težko" transformacijo. Najprej se ukvarjamo z drugo vrstico (2, –1, 3, 13). Kaj je treba storiti, da dobimo ničlo na prvem mestu? Moram drugi vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –2. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –2: (–2, –4, 2, –18). In dosledno izvajamo (spet mentalno ali na osnutku) dodajanje, drugi vrstici dodamo prvo vrstico, že pomnoženo z –2:

Rezultat zapišemo v drugo vrstico:

Na enak način ravnamo s tretjo vrstico (3, 2, –5, –1). Če želite dobiti ničlo na prvem mestu, potrebujete tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –3: (–3, –6, 3, –27). IN tretji vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –3:

Rezultat zapišemo v tretjo vrstico:

V praksi se ta dejanja običajno izvajajo ustno in zapišejo v enem koraku:

Ni treba šteti vsega naenkrat in ob istem času. Vrstni red izračunov in »vpisovanje« rezultatov dosledno in običajno je tako: najprej prepišemo prvo vrstico in se počasi napihnemo - DOSLEDNO in POZORNO:

Zgoraj sem že razpravljal o mentalnem procesu samih izračunov.

V tem primeru je to enostavno; drugo vrstico delimo z –5 (ker so vsa števila deljiva s 5 brez ostanka). Tretjo vrstico hkrati delimo z –2, kajti kaj manjše število, tiste preprostejša rešitev:

Vklopljeno končna faza elementarne transformacije, tukaj morate dobiti še eno ničlo:

Za to tretji vrstici dodamo drugo vrstico pomnoženo z –2:

Poskusite sami ugotoviti to dejanje - v mislih pomnožite drugo vrstico z –2 in izvedite seštevanje.

Zadnje izvedeno dejanje je pričeska rezultata, tretjo vrstico razdelite s 3.

Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovredni sistem linearnih enačb:

Kul.

Zdaj pride v poštev obratna Gaussova metoda. Enačbe se "razvijajo" od spodaj navzgor.

V tretji enačbi že imamo pripravljen rezultat:

Poglejmo drugo enačbo: . Pomen "zet" je že znan, tako:

In končno, prva enačba: . "Igrek" in "zet" sta znana, gre le za malenkosti:

Odgovori:

Kot je bilo že večkrat omenjeno, je za vsak sistem enačb možno in potrebno preveriti najdeno rešitev, na srečo pa je to enostavno in hitro.

Primer 2

To je primer za neodvisna odločitev, dokončanje vzorca in odgovor na koncu lekcije.

Treba je opozoriti, da vaš potek odločitve morda ne sovpada z mojim odločanjem, in to je značilnost Gaussove metode. Toda odgovori morajo biti enaki!

Primer 3

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:

Pogledamo zgornjo levo "stopničko". Tam bi morali imeti enoto. Težava je v tem, da v prvem stolpcu sploh ni enot, zato preurejanje vrstic ne bo rešilo ničesar. V takšnih primerih mora biti enota organizirana z uporabo elementarne transformacije. To je običajno mogoče storiti na več načinov. Naredil sem tole:
(1) Prvi vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –1. To pomeni, da smo drugo vrstico v mislih pomnožili z –1 ter sešteli prvo in drugo vrstico, medtem ko se druga vrstica ni spremenila.

Zdaj zgoraj levo je "minus ena", kar nam zelo ustreza. Kdor želi dobiti +1, lahko izvede dodatno gibanje: prvo vrstico pomnoži z –1 (spremeni predznak).

(2) Prva vrstica, pomnožena s 5, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 3.

(3) Prva vrstica je bila pomnožena z –1, načeloma je to zaradi lepote. Spremenili smo tudi predznak tretje vrstice in jo premaknili na drugo mesto, tako da smo na drugi “stopnici” imeli zahtevano enoto.

(4) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z 2.

(5) Tretja vrstica je bila deljena s 3.

Slab znak, ki kaže na napako v izračunih (redkeje tipkarsko napako), je "slab" rezultat. To je, če bi dobili nekaj podobnega, spodaj, in v skladu s tem, , potem lahko z veliko verjetnostjo rečemo, da je prišlo do napake pri elementarnih transformacijah.

Mi zaračunavamo obratno, pri oblikovanju primerov pogosto ne prepišejo samega sistema, ampak so enačbe »vzete neposredno iz podane matrike«. Vzvratno, spomnim vas, deluje od spodaj navzgor. Ja, tukaj je darilo:

Odgovori: .

Primer 4

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

To je primer, ki ga morate rešiti sami, je nekoliko bolj zapleten. Nič hudega, če se kdo zmede. Popolna rešitev in vzorčna zasnova na koncu lekcije. Vaša rešitev se lahko razlikuje od moje rešitve.

V zadnjem delu si bomo ogledali nekatere značilnosti Gaussovega algoritma.
Prva značilnost je, da včasih nekatere spremenljivke manjkajo v sistemskih enačbah, na primer:

Kako pravilno napisati matriko razširjenega sistema? O tej točki sem že govoril v razredu. Cramerjevo pravilo. Matrična metoda. V razširjeni matriki sistema smo namesto manjkajočih spremenljivk postavili ničle:

Mimogrede, to je lepo enostaven primer, saj je v prvem stolpcu že ena ničla in je treba izvesti manj osnovnih pretvorb.

Druga značilnost je ta. V vseh obravnavanih primerih smo na »stopnice« postavili –1 ali +1. Ali so tam lahko druge številke? V nekaterih primerih lahko. Razmislite o sistemu: .

Tukaj na zgornji levi "stopnici" imamo dva. Opazimo pa dejstvo, da so vsa števila v prvem stolpcu deljiva z 2 brez ostanka – drugi pa je dva in šest. In dva levo zgoraj nam bosta prav prišla! V prvem koraku morate izvesti naslednje transformacije: dodati prvo vrstico, pomnoženo z –1, drugi vrstici; tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Tako bomo v prvem stolpcu dobili zahtevane ničle.

Ali drug običajen primer: . Tukaj nam ustreza tudi trojka na drugem “stopenju”, saj je 12 (mesto, kjer moramo dobiti ničlo) deljivo s 3 brez ostanka. Potrebno je izvesti naslednjo transformacijo: tretjo vrstico dodajte drugo vrstico, pomnoženo z –4, zaradi česar bomo dobili ničlo, ki jo potrebujemo.

Gaussova metoda je univerzalna, vendar ima eno posebnost. Lahko se samozavestno naučite reševati sisteme z drugimi metodami (Cramerjeva metoda, matrična metoda) dobesedno prvič - imajo zelo strog algoritem. Toda, da bi bili prepričani v Gaussovo metodo, jo morate dobro obvladati in rešiti vsaj 5–10 sistemov. Zato lahko sprva pride do zmede in napak v izračunih in v tem ni nič nenavadnega ali tragičnega.

Zunaj okna deževno jesensko vreme.... Zato za vse, ki si želite več zapleten primer za samostojno rešitev:

Primer 5

Rešite sistem štirih linearnih enačb s štirimi neznankami z Gaussovo metodo.

Takšna naloga v praksi ni tako redka. Mislim, da bo tudi čajnik, ki je temeljito preučil to stran, intuitivno razumel algoritem za rešitev takšnega sistema. V bistvu je vse enako - samo dejanj je več.

Primere, ko sistem nima rešitev (nekonsistenten) ali ima neskončno veliko rešitev, obravnavamo pri lekciji Nezdružljivi sistemi in sistemi s splošno rešitvijo. Tam lahko popravite obravnavani algoritem Gaussove metode.

Želim ti uspeh!

Rešitve in odgovori:

Primer 2: rešitev : Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike.

Izvedene osnovne transformacije:
(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1. Pozor! Tukaj vas bo morda zamikalo, da bi odšteli prvo od tretje vrstice; toplo priporočam, da je ne odštejete - tveganje napake se močno poveča. Samo zložite ga!
(2) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Druga in tretja vrstica sta zamenjani. Opomba, da se na “stopnicah” zadovoljimo ne le z enico, ampak tudi z –1, kar je še bolj priročno.
(3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 5.
(4) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Tretja vrstica je bila deljena s 14.

Zadaj:

Odgovori: .

Primer 4: rešitev : Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:

Izvedene konverzije:
(1) Prvi vrstici je bila dodana druga vrstica. Tako je želena enota organizirana na zgornji levi “stopnici”.
(2) Prva vrstica, pomnožena s 7, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 6.

Z drugim "korakom" se vse poslabša , sta »kandidata« zanjo števili 17 in 23, potrebujemo pa eno ali –1. Transformacije (3) in (4) bodo namenjene pridobivanju želene enote

(3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1.
(4) Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –3.
(3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnoženi s 4. Druga vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnoženi z –1.
(4) Spremenjen je bil predznak druge vrstice. Četrta vrstica je bila razdeljena s 3 in postavljena namesto tretje vrstice.
(5) Tretja vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnožena z –5.

Zadaj:

Danes bomo razumeli Gaussovo metodo za reševanje linearnih sistemov algebraične enačbe. Kaj so ti sistemi, si lahko preberete v prejšnjem članku, posvečenem reševanju istih SLAE z metodo Cramer. Gaussova metoda ne zahteva posebnega znanja, potrebujete le pozornost in doslednost. Kljub temu, da z matematičnega vidika za uporabo zadostuje šolska izobrazba, učenci pogosto težko obvladajo to metodo. V tem članku jih bomo poskušali zmanjšati na nič!

Gaussova metoda

M Gaussova metoda– najbolj univerzalna metoda za reševanje SLAE (z izjemo zelo velikih sistemov). Za razliko od prej omenjenega je primeren ne le za sisteme, ki imajo eno samo rešitev, ampak tudi za sisteme, ki imajo neskončno število rešitev. Tukaj so možne tri možnosti.

Sistem ima edinstveno rešitev (determinanta glavne matrike sistema ni enaka nič);
Sistem ima neskončno število rešitev;
Ni rešitev, sistem je nekompatibilen.

Torej imamo sistem (naj ima eno rešitev) in rešili ga bomo po Gaussovi metodi. Kako deluje?

Gaussova metoda je sestavljena iz dveh stopenj - naprej in inverzno.

Neposredna poteza Gaussove metode

Najprej zapišimo razširjeno matriko sistema. Če želite to narediti, glavni matriki dodajte stolpec brezplačnih članov.

Celotno bistvo Gaussove metode je spraviti to matriko v stopničasto (ali, kot pravijo tudi, trikotno) obliko z elementarnimi transformacijami. V tej obliki naj bodo pod (ali nad) glavno diagonalo matrike samo ničle.

Kaj lahko narediš:

Vrstice matrike lahko preuredite;
Če so v matriki enake (ali sorazmerne) vrstice, lahko odstranite vse razen ene;
Niz lahko pomnožite ali delite s poljubnim številom (razen z ničlo);
Ničelne vrstice so odstranjene;
Nizu lahko dodate niz, pomnožen s številom, ki ni nič.

Reverzna Gaussova metoda

Potem ko sistem preoblikujemo na ta način, ena neznanka Xn postane znan, vse preostale neznanke pa lahko poiščete v obratnem vrstnem redu, tako da že znane x-e nadomestite v enačbe sistema, do prvega.

Ko je internet vedno pri roki, lahko rešite sistem enačb po Gaussovi metodi na spletu. Koeficiente morate samo vnesti v spletni kalkulator. Vendar morate priznati, da je veliko bolj prijetno ugotoviti, da primer ni rešen računalniški program, ampak z lastnimi možgani.

Primer reševanja sistema enačb z Gaussovo metodo

In zdaj - primer, da bo vse postalo jasno in razumljivo. Naj je podan sistem linearnih enačb, ki ga morate rešiti z Gaussovo metodo:

Najprej zapišemo razširjeno matriko:

Zdaj pa naredimo transformacije. Ne pozabimo, da moramo doseči trikoten videz matrice. Pomnožimo 1. vrstico s (3). Pomnožite 2. vrstico z (-1). Dodajte 2. vrstico 1. in dobite:

Nato pomnožite 3. vrstico z (-1). Dodajmo 3. vrstico 2. vrstici:

Pomnožimo 1. vrstico s (6). Pomnožimo 2. vrstico z (13). Dodajmo 2. vrstico 1.:

Voila - sistem je spravljen v ustrezno obliko. Ostaja še iskanje neznank:

Sistem v tem primeru ima edinstveno rešitev. Reševanje sistemov z neskončnim številom rešitev bomo obravnavali v posebnem članku. Morda sprva ne boste vedeli, kje začeti preoblikovati matriko, a po ustrezni vaji se boste tega naučili in boste SLAE z Gaussovo metodo razbijali kot orehe. In če nenadoma naletite na SLA, ki se izkaže za pretrd oreh, se obrnite na naše avtorje! lahko tako, da pustite zahtevo v dopisni pisarni. Skupaj bomo rešili vsako težavo!

The spletni kalkulator najde rešitev sistema linearnih enačb (SLE) z Gaussovo metodo. Podana je podrobna rešitev. Za izračun izberite število spremenljivk in število enačb. Nato vnesite podatke v celice in kliknite na gumb "Izračunaj".

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

Predstavitev številk:

Cela števila in/ali Navadni ulomki
Cela števila in/ali decimalke

Število mest za decimalnim ločilom

Opozorilo

Počistiti vse celice?

Zapri Počisti

Navodila za vnos podatkov.Števila se vnašajo kot cela števila (primeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalna mesta (npr. 67., 102,54 itd.) ali ulomki. Ulomek mora biti vpisan v obliki a/b, kjer sta a in b (b>0) cela ali decimalna mesta. Primeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Gaussova metoda

Gaussova metoda je metoda prehoda iz izvirnega sistema linearnih enačb (z uporabo ekvivalentnih transformacij) v sistem, ki ga je lažje rešiti kot izvirni sistem.

Ekvivalentne transformacije sistema linearnih enačb so:

zamenjava dveh enačb v sistemu,
množenje katere koli enačbe v sistemu z realnim številom, ki ni nič,
dodajanje eni enačbi druge enačbe, pomnožene s poljubnim številom.

Razmislite o sistemu linearnih enačb:

(1)

Zapišimo sistem (1) v matrični obliki:

Ax=b

(2)

(3)

A- imenovana koeficientna matrika sistema, b− desna stran omejitev, x− vektor spremenljivk, ki jih je treba najti. Naj uvrsti ( A)=str.

Ekvivalentne transformacije ne spremenijo ranga matrike koeficientov in ranga razširjene matrike sistema. Tudi množica rešitev sistema se ne spremeni pri ekvivalentnih transformacijah. Bistvo Gaussove metode je redukcija matrike koeficientov A diagonalno ali stopničasto.

Zgradimo razširjeno matriko sistema:

Na naslednji stopnji ponastavimo vse elemente stolpca 2, pod elementom. Če je ta element enak nič, se ta vrstica zamenja z vrstico, ki leži pod to vrstico in ima v drugem stolpcu element, ki ni nič. Nato ponastavite vse elemente stolpca 2 pod vodilnim elementom a 22. Če želite to narediti, dodajte vrstice 3, ... m z nizom 2 pomnoženim z − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22 oz. Z nadaljevanjem postopka dobimo matrico diagonalne ali stopničaste oblike. Naj ima nastala razširjena matrika obliko:

(7)

Ker rangA=zvon(A|b), potem je množica rešitev (7) ( n−p)− sorta. Zato n−p neznanke lahko izbiramo poljubno. Preostale neznanke iz sistema (7) izračunamo takole. Iz zadnje enačbe izrazimo x p skozi preostale spremenljivke in vstavite v prejšnje izraze. Nato izrazimo iz predzadnje enačbe x p−1 skozi preostale spremenljivke in vstavite v prejšnje izraze itd. Oglejmo si Gaussovo metodo na konkretnih primerih.

Primeri reševanja sistema linearnih enačb z Gaussovo metodo

Primer 1. Poiščite splošno rešitev sistema linearnih enačb z uporabo Gaussove metode:

Označimo z a ij elementi jaz-ta vrstica in j th stolpec.

a enajst Če želite to narediti, dodajte vrstici 2,3 z vrstico 1, pomnoženo z -2/3 oziroma -1/2:

Vrsta matričnega zapisa: Ax=b, Kje

Označimo z a ij elementi jaz-ta vrstica in j th stolpec.

Izločimo elemente 1. stolpca matrike pod elementom a enajst Če želite to narediti, dodajte vrstici 2,3 z vrstico 1, pomnoženo z -1/5 oziroma -6/5:

Vsako vrstico matrike delimo z ustreznim vodilnim elementom (če vodilni element obstaja):

Kje x 3 , x

Če zgornje izraze nadomestimo s spodnjimi, dobimo rešitev.

Potem lahko vektorsko rešitev predstavimo na naslednji način:

Kje x 3 , x 4 so poljubna realna števila.