Gaussova metoda je enostavna! Zakaj? Slavni nemški matematik Johann Carl Friedrich Gauss je že v času svojega življenja prejel priznanje za največjega matematika vseh časov, genija in celo vzdevek »kralj matematike«. In vse genialno, kot veste, je preprosto! Mimogrede, denarja ne dobijo le naivneži, ampak tudi geniji - Gaussov portret je bil na bankovcu za 10 nemških mark (pred uvedbo evra), Gauss pa se še danes skrivnostno nasmiha Nemcem z običajnih poštnih znamk.
Gaussova metoda je preprosta v tem, da ZNANJE PETOŠOLCA ZADOSTOJA, da jo obvlada. Moraš znati seštevati in množiti! Ni naključje, da učitelji pri izbirnih predmetih matematike pogosto upoštevajo metodo zaporednega izločanja neznank. To je paradoks, vendar se študentom Gaussova metoda zdi najtežja. Nič presenetljivega - vse je odvisno od tehnike in poskušal bom dostopni obliki pogovor o algoritmu metode.
Najprej sistematizirajmo nekaj znanja o sistemih linearnih enačb. Sistem linearnih enačb lahko:
1) Imejte edinstveno rešitev.
2) Imeti neskončno veliko rešitev.
3) Nimate rešitev (bodite neskupni).
Gaussova metoda je najmočnejše in univerzalno orodje za iskanje rešitve kaj sistemi linearnih enačb. Kot se spomnimo, Cramerjevo pravilo in matrična metoda niso primerni v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten. In metoda zaporednega izločanja neznank Kakorkoli že nas bo pripeljal do odgovora! Vklopljeno to lekcijo Ponovno bomo obravnavali Gaussovo metodo za primer št. 1 (edina rešitev sistema), članek je posvečen situacijam točk št. 2-3. Opažam, da algoritem same metode deluje enako v vseh treh primerih.
Vrnimo se k najpreprostejši sistem iz razreda Kako rešiti sistem linearnih enačb?
in ga rešite z Gaussovo metodo.
Prvi korak je zapisovanje razširjena sistemska matrika:
. Mislim, da lahko vsak vidi, po kakšnem principu so napisani koeficienti. Navpična črta znotraj matrike nima matematičnega pomena - je preprosto prečrtana zaradi lažjega oblikovanja.
Referenca :Priporočam, da se spomnite pogoji linearna algebra. Sistemska matrica je matrika, sestavljena le iz koeficientov za neznanke, v tem primeru matrika sistema: . Razširjena sistemska matrica je ista matrika sistema plus stolpec prostih členov, v v tem primeru: . Za kratkost lahko katero koli matriko preprosto imenujemo matrika.
Ko je razširjena sistemska matrika napisana, je potrebno z njo izvesti nekaj dejanj, ki se imenujejo tudi elementarne transformacije.
Obstajajo naslednje osnovne transformacije:
1) Strune matrice Lahko preurediti ponekod. Na primer, v obravnavani matriki lahko neboleče preuredite prvo in drugo vrstico: 
2) Če v matriki obstajajo (ali so se pojavile) sorazmerne (kot poseben primer - enake) vrstice, potem morate izbrisati iz matrike vse te vrstice razen ene. Razmislite na primer o matriki 
. V tej matriki so zadnje tri vrstice sorazmerne, zato je dovolj, da pustite samo eno od njih: 
.
3) Če se med transformacijami v matriki pojavi ničelna vrstica, potem bi morala biti tudi izbrisati. Seveda ne bom risal, ničelna črta je črta, v kateri vse ničle.
4) Vrstica matrike je lahko pomnožiti (deliti) na poljubno številko različen od nič. Razmislite na primer o matriki. Tukaj je priporočljivo, da prvo vrstico delite z –3 in drugo vrstico pomnožite z 2: 
. To dejanje je zelo uporabno, saj poenostavi nadaljnje transformacije matrike.
5) Ta preobrazba povzroča največ težav, vendar v resnici tudi ni nič zapletenega. V vrstico matrike lahko dodajte še en niz, pomnožen s številom, drugačen od nič. Oglejmo si našo matriko iz praktičnega primera: . Najprej bom zelo podrobno opisal transformacijo. Pomnožite prvo vrstico z –2: 
, In drugi vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –2: 
. Zdaj lahko prvo vrstico razdelimo »nazaj« z –2: . Kot lahko vidite, je vrstica, ki je DODANA LI – se ni spremenilo. Nenehno spremeni se vrstica KATERI JE DODANO UT.
V praksi tega seveda ne napišejo tako podrobno, ampak napišejo na kratko: 
Še enkrat: v drugo vrstico dodal prvo vrstico, pomnoženo z –2. Vrstica se običajno množi ustno ali na osnutku, pri čemer proces miselnega izračuna poteka nekako takole:
»Prepišem matriko in prepišem prvo vrstico: 
»
»Prvi stolpec. Na dnu moram dobiti ničlo. Zato tistega na vrhu pomnožim z –2: , v drugo vrstico pa dodam prvega: 2 + (–2) = 0. Rezultat zapišem v drugo vrstico: 
»
»Zdaj pa drugi stolpec. Na vrhu pomnožim -1 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: 1 + 2 = 3. Rezultat zapišem v drugo vrstico: 
»
»In tretji stolpec. Na vrhu pomnožim -5 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: –7 + 10 = 3. V drugo vrstico zapišem rezultat: 
»
Prosimo, da natančno razumete ta primer in razumete algoritem zaporednega izračuna, če to razumete, potem je Gaussova metoda praktično v vašem žepu. Seveda pa bomo še vedno delali na tej transformaciji.
Elementarne transformacije ne spremenijo rešitve sistema enačb
! POZOR: obravnavane manipulacije ne more uporabljati, če vam ponudijo nalogo, pri kateri so matrike podane »same od sebe«. Na primer s "klasično" operacije z matricami V nobenem primeru ne smete ničesar preurediti znotraj matric!
Vrnimo se k našemu sistemu. Tako rekoč razrezana je na koščke.
Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo z elementarnimi transformacijami reduciramo na stopničast pogled:
(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. In še enkrat: zakaj prvo vrstico pomnožimo z –2? Da bi dobili ničlo na dnu, kar pomeni, da se znebite ene spremenljivke v drugi vrstici.
(2) Drugo vrstico delite s 3.
Namen elementarnih transformacij –
reduciraj matriko na postopno obliko: 
. Pri zasnovi naloge samo označijo "stopnice" s preprostim svinčnikom in obkrožijo tudi številke, ki se nahajajo na "stopnicah". Sam izraz "stopničast pogled" ni povsem teoretičen, v znanstveni in izobraževalni literaturi se pogosto imenuje trapezni pogled oz trikotni pogled.
Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovreden izvirni sistem enačb:
Zdaj je treba sistem "odviti" v nasprotni smeri - od spodaj navzgor se imenuje ta postopek obratno od Gaussove metode.
V spodnji enačbi imamo že pripravljen rezultat: .
Oglejmo si prvo enačbo sistema in jo že nadomestimo znana vrednost"Y":
Razmislimo o najpogostejši situaciji, ko Gaussova metoda zahteva reševanje sistema treh linearnih enačb s tremi neznankami.
Primer 1
Rešite sistem enačb z Gaussovo metodo: 
Zapišimo razširjeno matriko sistema: 
Zdaj bom takoj izrisal rezultat, do katerega bomo prišli med reševanjem: 
In ponavljam, naš cilj je spraviti matriko v postopno obliko z uporabo elementarnih transformacij. Kje začeti?
Najprej poglejte številko zgoraj levo: 
Skoraj vedno bi moral biti tukaj enota. Na splošno velja –1 (in včasih tudi druge številke), vendar se je nekako tradicionalno zgodilo, da je ena običajno tam. Kako organizirati enoto? Pogledamo prvi stolpec - imamo končano enoto! Prva transformacija: zamenjajte prvo in tretjo vrstico: 
Zdaj bo prva vrstica ostala nespremenjena do konca rešitve. Zdaj pa dobro.
Enota v zgornjem levem kotu je organizirana. Zdaj morate dobiti ničle na teh mestih: 
Ničle dobimo s "težko" transformacijo. Najprej se ukvarjamo z drugo vrstico (2, –1, 3, 13). Kaj je treba storiti, da dobimo ničlo na prvem mestu? Moram drugi vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –2. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –2: (–2, –4, 2, –18). In dosledno izvajamo (spet mentalno ali na osnutku) dodajanje, drugi vrstici dodamo prvo vrstico, že pomnoženo z –2:
Rezultat zapišemo v drugo vrstico: 
Na enak način ravnamo s tretjo vrstico (3, 2, –5, –1). Če želite dobiti ničlo na prvem mestu, potrebujete tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –3: (–3, –6, 3, –27). IN tretji vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –3:
Rezultat zapišemo v tretjo vrstico:
V praksi se ta dejanja običajno izvajajo ustno in zapišejo v enem koraku: 
Ni treba šteti vsega naenkrat in ob istem času. Vrstni red izračunov in »vpisovanje« rezultatov dosledno in običajno je tako: najprej prepišemo prvo vrstico in se počasi napihnemo - DOSLEDNO in POZORNO:
Zgoraj sem že razpravljal o mentalnem procesu samih izračunov.
V tem primeru je to enostavno narediti; drugo vrstico delimo z –5 (ker so vsa števila tam brez ostanka deljiva s 5). Tretjo vrstico hkrati delimo z –2, kajti kaj manjše število, tiste preprostejša rešitev:
Vklopljeno končna faza elementarne transformacije, tukaj morate dobiti še eno ničlo: 
Za to tretji vrstici dodamo drugo vrstico pomnoženo z –2:
Poskusite sami ugotoviti to dejanje - v mislih pomnožite drugo vrstico z –2 in izvedite seštevanje.
Zadnje izvedeno dejanje je pričeska rezultata, tretjo vrstico razdelite s 3.
Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovredni sistem linearnih enačb: 
Kul.
Zdaj pride v poštev obratna Gaussova metoda. Enačbe se "razvijajo" od spodaj navzgor.
V tretji enačbi že imamo pripravljen rezultat:
Poglejmo drugo enačbo: . Pomen "zet" je že znan, tako:
In končno, prva enačba: . "Igrek" in "zet" sta znana, gre le za malenkosti:
Odgovori: 
Kot je bilo že večkrat omenjeno, je za vsak sistem enačb možno in potrebno preveriti najdeno rešitev, na srečo pa je to enostavno in hitro.
Primer 2
To je primer za neodvisna odločitev, zaključek vzorca in odgovor na koncu lekcije.
Treba je opozoriti, da vaš potek odločitve morda ne sovpada z mojim odločanjem, in to je značilnost Gaussove metode. Toda odgovori morajo biti enaki!
Primer 3
Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo 
Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:
Pogledamo zgornjo levo "stopničko". Enega bi morali imeti tam. Težava je v tem, da v prvem stolpcu sploh ni enot, zato preurejanje vrstic ne bo rešilo ničesar. V takšnih primerih mora biti enota organizirana z uporabo elementarne transformacije. To je običajno mogoče storiti na več načinov. Naredil sem tole:
(1) Prvi vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –1. To pomeni, da smo drugo vrstico v mislih pomnožili z –1 ter sešteli prvo in drugo vrstico, medtem ko se druga vrstica ni spremenila.
Zdaj zgoraj levo je "minus ena", kar nam zelo ustreza. Kdor želi dobiti +1, lahko izvede dodatno gibanje: prvo vrstico pomnoži z –1 (spremeni predznak).
(2) Drugi vrstici je bila dodana prva vrstica, pomnožena s 5. Tretji vrstici je bila dodana prva vrstica, pomnožena s 3.
(3) Prva vrstica je bila pomnožena z –1, načeloma je to zaradi lepote. Spremenili smo tudi predznak tretje vrstice in jo premaknili na drugo mesto, tako da smo na drugi “stopnici” imeli zahtevano enoto.
(4) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z 2.
(5) Tretja vrstica je bila deljena s 3.
Slab znak, ki kaže na napako v izračunih (redkeje tipkarsko napako), je "slab" rezultat. To je, če bi dobili nekaj podobnega, spodaj, in v skladu s tem, 
, potem lahko z veliko verjetnostjo rečemo, da je prišlo do napake pri elementarnih transformacijah.
Mi zaračunavamo obratno, pri oblikovanju primerov pogosto ne prepišejo samega sistema, ampak so enačbe »vzete neposredno iz podane matrike«. Obratna poteza, spomnim vas, deluje od spodaj navzgor. Ja, tukaj je darilo:
Odgovori: 
.
Primer 4
Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo 
To je primer, ki ga morate rešiti sami, je nekoliko bolj zapleten. Nič hudega, če se kdo zmede. Popolna rešitev in vzorčna zasnova na koncu lekcije. Vaša rešitev se lahko razlikuje od moje rešitve.
V zadnjem delu si bomo ogledali nekatere značilnosti Gaussovega algoritma.
Prva značilnost je, da včasih nekatere spremenljivke manjkajo v sistemskih enačbah, na primer: 
Kako pravilno napisati matriko razširjenega sistema? O tej točki sem že govoril v razredu. Cramerjevo pravilo. Matrična metoda. V razširjeni matriki sistema smo namesto manjkajočih spremenljivk postavili ničle: 
Mimogrede, to je lepo enostaven primer, saj je v prvem stolpcu že ena ničla in je treba izvesti manj osnovnih pretvorb.
Druga značilnost je ta. V vseh obravnavanih primerih smo na »stopnice« postavili –1 ali +1. Ali so tam lahko druge številke? V nekaterih primerih lahko. Razmislite o sistemu: 
.
Tukaj na zgornji levi "stopnici" imamo dva. Opazimo pa dejstvo, da so vsa števila v prvem stolpcu deljiva z 2 brez ostanka – drugi pa je dva in šest. In dva levo zgoraj nam bosta prav prišla! V prvem koraku morate izvesti naslednje transformacije: dodati prvo vrstico, pomnoženo z –1, drugi vrstici; tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Tako bomo v prvem stolpcu dobili zahtevane ničle.
Ali drug običajen primer: 
. Tukaj nam ustreza tudi trojka na drugem “stopenju”, saj je 12 (mesto, kjer moramo dobiti ničlo) deljivo s 3 brez ostanka. Potrebno je izvesti naslednjo transformacijo: tretjo vrstico dodajte drugo vrstico, pomnoženo z –4, zaradi česar bomo dobili ničlo, ki jo potrebujemo.
Gaussova metoda je univerzalna, vendar ima eno posebnost. Lahko se samozavestno naučite reševati sisteme z drugimi metodami (Cramerjeva metoda, matrična metoda) dobesedno prvič - imajo zelo strog algoritem. Toda, da bi bili prepričani v Gaussovo metodo, jo morate dobro obvladati in rešiti vsaj 5–10 sistemov. Zato lahko sprva pride do zmede in napak v izračunih in v tem ni nič nenavadnega ali tragičnega.
Zunaj okna deževno jesensko vreme.... Zato za vse, ki si želite več zapleten primer za samostojno rešitev:
Primer 5
Rešite sistem štirih linearnih enačb s štirimi neznankami z Gaussovo metodo. 
Takšna naloga v praksi ni tako redka. Mislim, da bo tudi čajnik, ki je temeljito preučil to stran, intuitivno razumel algoritem za rešitev takšnega sistema. V bistvu je vse enako - samo dejanj je več.
Primere, ko sistem nima rešitev (nekonsistenten) ali ima neskončno veliko rešitev, obravnavamo pri lekciji Nezdružljivi sistemi in sistemi s splošno rešitvijo. Tam lahko popravite obravnavani algoritem Gaussove metode.
Želim ti uspeh!
Rešitve in odgovori:
Primer 2: rešitev
:
Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike.
Izvedene osnovne transformacije:
(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1. Pozor! Tukaj vas bo morda zamikalo, da bi prvo odšteli od tretje vrstice; toplo priporočam, da je ne odštejete - tveganje napake se močno poveča. Samo zložite ga!
(2) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Druga in tretja vrstica sta zamenjani. Opomba, da se na “stopnicah” zadovoljimo ne le z enico, ampak tudi z –1, kar je še bolj priročno.
(3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 5.
(4) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Tretja vrstica je bila deljena s 14.
Zadaj:
Odgovori: 
.
Primer 4: rešitev
:
Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:
Izvedene konverzije:
(1) Prvi vrstici je bila dodana druga vrstica. Tako je želena enota organizirana na zgornji levi “stopnici”.
(2) Drugi vrstici je bila dodana prva vrstica, pomnožena s 7. Tretji vrstici je bila dodana prva vrstica, pomnožena s 6.
Z drugim "korakom" se vse poslabša , sta »kandidata« zanjo števili 17 in 23, potrebujemo pa eno ali –1. Transformacije (3) in (4) bodo namenjene pridobivanju želene enote
(3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1.
(4) Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –3.
(3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnoženi s 4. Druga vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnoženi z –1.
(4) Spremenjen je bil predznak druge vrstice. Četrta vrstica je bila razdeljena s 3 in postavljena na mesto tretje vrstice.
(5) Tretja vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnožena z –5.
Zadaj:
Dva sistema linearnih enačb imenujemo enakovredna, če množica vseh njunih rešitev sovpada.
Elementarne transformacije sistema enačb so:
- Brisanje trivialnih enačb iz sistema, tj. tiste, pri katerih so vsi koeficienti enaki nič;
- Množenje katere koli enačbe s številom, ki ni nič;
- Dodajanje katere koli i-te enačbe katere koli j-te enačbe, pomnožene s poljubnim številom.
Spremenljivka x i se imenuje prosta, če ta spremenljivka ni dovoljena, dovoljen pa je celoten sistem enačb.
Izrek. Elementarne transformacije pretvorijo sistem enačb v enakovrednega.
Smisel Gaussove metode je preoblikovati izvorni sistem enačb in pridobiti enakovreden razrešen ali enakovreden nekonzistenten sistem.
Torej je Gaussova metoda sestavljena iz naslednjih korakov:
- Poglejmo prvo enačbo. Izberimo prvi neničelni koeficient in z njim delimo celotno enačbo. Dobimo enačbo, v katero neka spremenljivka x i vstopi s koeficientom 1;
- Odštejmo to enačbo od vseh ostalih in jo pomnožimo s takimi števili, da so koeficienti spremenljivke x i v preostalih enačbah ničelni. Dobimo sistem, razrešen glede na spremenljivko x i in enakovrednega prvotnemu;
- Če se pojavijo trivialne enačbe (redko, a se zgodi; npr. 0 = 0), jih prečrtamo iz sistema. Posledično je ena enačb manj;
- Prejšnje korake ponovimo največ n-krat, kjer je n število enačb v sistemu. Vsakič izberemo novo spremenljivko za “obdelavo”. Če se pojavijo neskladne enačbe (na primer 0 = 8), je sistem neskladen.
Posledično bomo po nekaj korakih dobili ali razrešen sistem (po možnosti s prostimi spremenljivkami) ali nekonsistentnega. Dovoljeni sistemi spadajo v dva primera:
- Število spremenljivk je enako številu enačb. To pomeni, da je sistem definiran;
- Število spremenljivk je večje od števila enačb. Zberemo vse proste spremenljivke na desni - dobimo formule za dovoljene spremenljivke. Te formule so zapisane v odgovoru.
To je vse! Sistem linearnih enačb rešen! To je dokaj preprost algoritem in za njegovo obvladovanje se vam ni treba obrniti na mentorja višje matematike. Poglejmo primer:
Naloga. Rešite sistem enačb:
Opis korakov:
- Odštejemo prvo enačbo od druge in tretje - dobimo dovoljeno spremenljivko x 1;
- Drugo enačbo pomnožimo z (−1), tretjo pa delimo z (−3) - dobimo dve enačbi, v kateri spremenljivka x 2 vstopi s koeficientom 1;
- Drugo enačbo prištejemo prvi in odštejemo tretjo. Dobimo dovoljeno spremenljivko x 2 ;
- Nazadnje tretjo enačbo odštejemo od prve - dobimo dovoljeno spremenljivko x 3;
- Prejeli smo odobren sistem, zapišite odgovor.
Splošna rešitev simultanega sistema linearnih enačb je nov sistem, enakovreden prvotnemu, v katerem so vse dovoljene spremenljivke izražene preko prostih.
Kdaj bi lahko bila potrebna splošna rešitev? Če morate narediti manj korakov kot k (k je število enačb). Vendar razlogi, zakaj se postopek konča na nekem koraku l< k , может быть две:
- Po l. koraku smo dobili sistem, ki ne vsebuje enačbe s številom (l + 1). Pravzaprav je to dobro, ker... avtorizirani sistem je še vedno pridobljen - tudi nekaj korakov prej.
- Po l. koraku smo dobili enačbo, v kateri so vsi koeficienti spremenljivk enaki nič, prosti koeficient pa je različen od nič. To je protislovna enačba, zato je sistem nedosleden.
Pomembno je razumeti, da je nastanek nekonsistentne enačbe z uporabo Gaussove metode zadostna podlaga za nedoslednost. Hkrati ugotavljamo, da kot rezultat l-tega koraka ne morejo ostati nobene trivialne enačbe - vse so prečrtane v procesu.
Opis korakov:
- Odštejte prvo enačbo, pomnoženo s 4, od druge. Prvo enačbo dodamo tudi tretji - dobimo dovoljeno spremenljivko x 1;
- Tretjo enačbo, pomnoženo z 2, odštejemo od druge - dobimo kontradiktorno enačbo 0 = −5.
Torej je sistem nedosleden, ker je bila odkrita nekonsistentna enačba.
Naloga. Raziščite združljivost in poiščite splošno rešitev za sistem:
Opis korakov:
- Prvo enačbo odštejemo od druge (po množenju z dva) in tretje - dobimo dovoljeno spremenljivko x 1;
- Odštejte drugo enačbo od tretje. Ker so vsi koeficienti v teh enačbah enaki, bo tretja enačba postala trivialna. Istočasno pomnožimo drugo enačbo z (−1);
- Od prve enačbe odštejemo drugo - dobimo dovoljeno spremenljivko x 2. Celoten sistem enačb je zdaj tudi razrešen;
- Ker sta spremenljivki x 3 in x 4 prosti, ju premaknemo v desno, da izrazimo dovoljene spremenljivke. To je odgovor.
Torej je sistem konsistenten in nedoločen, saj sta dovoljeni dve spremenljivki (x 1 in x 2) in dve prosti (x 3 in x 4).
1. Linearni sistem algebraične enačbe
1.1 Koncept sistema linearnih algebrskih enačb
Sistem enačb je pogoj, ki ga sestavlja hkratno izvajanje več enačb glede na več spremenljivk. Sistem linearnih algebrskih enačb (v nadaljevanju SLAE), ki vsebuje m enačb in n neznank, imenujemo sistem oblike:
kjer se števila a ij imenujejo sistemski koeficienti, števila b i pa prosti členi, a ij in b i(i=1,…, m; b=1,…, n) predstavljajo nekatera znana števila in x 1 ,…, x n– neznano. Pri označevanju koeficientov a ij prvi indeks i označuje številko enačbe, drugi j pa številko neznanke, pri kateri stoji ta koeficient. Treba je najti števila x n. Takšen sistem je priročno zapisati v kompaktni matrični obliki: AX=B. Tukaj je A matrika sistemskih koeficientov, imenovana glavna matrika;
– stolpec vektorja neznank xj. je stolpčni vektor prostih členov bi.
Produkt matrik A*X je definiran, saj je v matriki A toliko stolpcev, kot je vrstic v matriki X (n kosov).
Razširjena matrika sistema je matrika A sistema, dopolnjena s stolpcem prostih členov
1.2 Reševanje sistema linearnih algebrskih enačb
Rešitev sistema enačb je urejena množica števil (vrednosti spremenljivk), ko jih nadomestimo namesto spremenljivk, se vsaka enačba sistema spremeni v pravo enakost.
Rešitev sistema je n vrednosti neznank x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, pri zamenjavi katerih vse enačbe sistema postanejo prave enačbe. Vsako rešitev sistema lahko zapišemo kot stolpčno matriko
Sistem enačb imenujemo konsistenten, če ima vsaj eno rešitev, in nekonzistenten, če nima nobene rešitve.
Za konsistenten sistem pravimo, da je določen, če ima eno samo rešitev, in nedoločen, če ima več kot eno rešitev. V slednjem primeru se vsaka njegova rešitev imenuje posebna rešitev sistema. Množico vseh partikularnih rešitev imenujemo splošna rešitev.
Reševanje sistema pomeni ugotoviti, ali je združljiv ali neskladen. Če je sistem skladen, poiščite njegovo splošno rešitev.
Dva sistema imenujemo enakovredna (ekvivalentna), če imata enako splošno rešitev. Z drugimi besedami, sistemi so enakovredni, če je vsaka rešitev enega od njih rešitev drugega in obratno.
Transformacija, katere aplikacija spremeni sistem v nov sistem, enakovredna prvotni, imenujemo ekvivalentna ali ekvivalentna transformacija. Primeri enakovrednih transformacij vključujejo naslednje transformacije: zamenjava dveh enačb sistema, zamenjava dveh neznank skupaj s koeficienti vseh enačb, množenje obeh strani katere koli enačbe sistema s številom, ki ni nič.
Sistem linearnih enačb se imenuje homogen, če so vsi prosti členi enaki nič:
Homogen sistem je vedno konsistenten, saj je x1=x2=x3=…=xn=0 rešitev sistema. Ta rešitev se imenuje ničelna ali trivialna.
2. Gaussova eliminacijska metoda
2.1 Bistvo Gaussove eliminacijske metode
Klasična metoda reševanja sistemov linearnih algebrskih enačb je metoda zaporednega izločanja neznank - Gaussova metoda(imenuje se tudi Gaussova eliminacijska metoda). To je metoda zaporednega izločanja spremenljivk, ko se z uporabo elementarnih transformacij sistem enačb reducira na enakovredni sistem stopničaste (ali trikotne) oblike, iz katere se zaporedno najdejo vse druge spremenljivke, začenši z zadnjo (z število) spremenljivk.
Postopek reševanja po Gaussovi metodi je sestavljen iz dveh stopenj: premik naprej in nazaj.
1. Neposredni udarec.
Na prvi stopnji se izvede tako imenovana direktna poteza, ko se z elementarnimi preobrazbami po vrstah sistem spravi v stopničasto ali trikotno obliko ali pa se ugotovi, da je sistem nekompatibilen. Med elementi prvega stolpca matrike namreč izberemo neničelnega, ga s preurejanjem vrstic premaknemo na skrajno zgornjo lego in od preostalih vrstic po prerazporeditvi odštejemo nastalo prvo vrstico in jo pomnožimo z vrednostjo enaka razmerju med prvim elementom vsake od teh vrstic in prvim elementom prve vrstice, s čimer je stolpec pod njim ničel.
Ko so navedene transformacije končane, se prva vrstica in prvi stolpec mentalno prečrtata in nadaljujeta, dokler ne ostane matrika. ničelna velikost. Če pri kateri koli ponovitvi med elementi prvega stolpca ni neničelnega elementa, pojdite na naslednji stolpec in izvedite podobno operacijo.
Na prvi stopnji (neposredni hod) se sistem zmanjša na stopničasto (zlasti trikotno) obliko.
Spodnji sistem ima postopno obliko:
,
Koeficienti aii se imenujejo glavni (vodilni) elementi sistema.
(če je a11=0, preuredite vrstice matrike tako, da a 11 ni bil enak 0. To je vedno možno, ker sicer matrika vsebuje ničelni stolpec, njena determinanta je enaka nič in sistem je nekonzistenten).Transformirajmo sistem tako, da izločimo neznanko x1 v vseh enačbah razen v prvi (z uporabo elementarnih transformacij sistema). Če želite to narediti, pomnožite obe strani prve enačbe z
in seštejte člen za členom z drugo enačbo sistema (ali od druge enačbe odštejte člen za členom s prvim, pomnoženo z ). Nato obe strani prve enačbe pomnožimo z in ju prištejemo k tretji enačbi sistema (ali od tretje odštejemo prvo, pomnoženo z ). Tako prvo vrstico zaporedno pomnožimo s številom in prištejemo jaz vrstica, za i= 2, 3, …,n.Če nadaljujemo s tem postopkom, dobimo enakovreden sistem:
– nove vrednosti koeficientov za neznanke in proste člene v zadnjih m-1 enačbah sistema, ki so določene s formulami: Tako se v prvem koraku uničijo vsi koeficienti, ki ležijo pod prvim vodilnim elementom a 11
0, v drugem koraku se uničijo elementi, ki ležijo pod drugim vodilnim elementom a 22 (1) (če je a 22 (1) 0) itd. Z nadaljnjim nadaljevanjem tega procesa končno na (m-1) koraku reduciramo izvirni sistem na trikotni sistem.Če se v procesu redukcije sistema na stopenjsko obliko pojavijo ničelne enačbe, tj. enakosti oblike 0=0, se zavržejo. Če se pojavi enačba oblike
potem to kaže na nezdružljivost sistema. Tu se neposredno napredovanje Gaussove metode konča.
2. Povratni hod.
Na drugi stopnji se izvede tako imenovana obratna poteza, katere bistvo je izraziti vse nastale osnovne spremenljivke v smislu nebazičnih in zgraditi temeljni sistem rešitev ali, če so vse spremenljivke bazične , nato numerično izrazite edino rešitev sistema linearnih enačb.
Ta postopek se začne z zadnjo enačbo, iz katere se izrazi ustrezna osnovna spremenljivka (v njej je samo ena) in se nadomesti s prejšnjimi enačbami in tako naprej po »stopnicah«.
Vsaka vrstica ustreza natanko eni bazični spremenljivki, tako da na vsakem koraku, razen na zadnjem (najvišjem), situacija natančno ponavlja primer zadnje vrstice.
Opomba: v praksi je bolj priročno delati ne s sistemom, temveč z njegovo razširjeno matriko, ki izvaja vse osnovne transformacije v svojih vrsticah. Primerno je, da je koeficient a11 enak 1 (enačbe preuredite ali delite obe strani enačbe z a11).
2.2 Primeri reševanja SLAE z Gaussovo metodo
V tem razdelku bomo na treh različnih primerih pokazali, kako lahko Gaussova metoda reši SLAE.
Primer 1. Rešite SLAE 3. reda.
Ponastavimo koeficiente na
v drugi in tretji vrstici. Če želite to narediti, jih pomnožite z 2/3 oziroma 1 in jih dodajte v prvo vrstico:
V tem članku je metoda obravnavana kot metoda za reševanje sistemov linearnih enačb (SLAE). Metoda je analitična, kar pomeni, da vam omogoča pisanje algoritma rešitve splošni pogled, nato pa tam nadomestite vrednosti iz posebnih primerov. Za razliko od matrične metode ali Cramerjevih formul lahko pri reševanju sistema linearnih enačb po Gaussovi metodi delate tudi s tistimi, ki imajo neskončno število rešitev. Ali pa ga sploh nimajo.
Kaj pomeni reševanje po Gaussovi metodi?
Najprej moramo zapisati naš sistem enačb v. Videti je takole. Vzemite sistem:
Koeficienti so zapisani v obliki tabele, prosti izrazi pa so zapisani v ločenem stolpcu na desni strani. Stolpec s prostimi izrazi je zaradi priročnosti ločen, matrika, ki vključuje ta stolpec, se imenuje razširjena.
Nato je treba glavno matriko s koeficienti reducirati na zgornjo trikotno obliko. To je glavna točka reševanja sistema z Gaussovo metodo. Preprosto povedano, po določenih manipulacijah bi morala matrika izgledati tako, da njen spodnji levi del vsebuje samo ničle:
Če nato novo matriko znova zapišete kot sistem enačb, boste opazili, da zadnja vrstica že vsebuje vrednost enega od korenov, ki je nato substituirana v zgornjo enačbo, najden je drug koren itd.
To je v večini opis rešitve po Gaussovi metodi splošni oris. Kaj se zgodi, če sistem nenadoma nima rešitve? Ali pa jih je neskončno veliko? Za odgovor na ta in številna druga vprašanja je treba ločeno obravnavati vse elemente, ki se uporabljajo pri reševanju Gaussove metode.
Matrike, njihove lastnosti
V matrici ni skritega pomena. To je preprosto priročen način za snemanje podatkov za nadaljnje operacije z njimi. Tudi šolarjem se jih ni treba bati.
Matrica je vedno pravokotna, ker je bolj priročna. Tudi pri Gaussovi metodi, kjer se vse spušča v konstrukcijo matrike trikotne oblike, se v vnosu pojavi pravokotnik, le z ničlami na mestu, kjer ni številk. Ničle morda niso zapisane, vendar so implicitne.
Matrica ima velikost. Njegova "širina" je število vrstic (m), "dolžina" je število stolpcev (n). Nato velikost matrike A (za označevanje se običajno uporabljajo velike črke) pisma) bomo označili kot A m×n. Če je m=n, potem je ta matrika kvadratna in m=n je njen vrstni red. V skladu s tem lahko vsak element matrike A označimo s številkami vrstic in stolpcev: a xy ; x - številka vrstice, spremembe, y - številka stolpca, spremembe.
B ni bistvo odločitve. Načeloma lahko vse operacije izvajamo neposredno s samimi enačbami, vendar bo zapis veliko bolj okoren in veliko lažje se bomo zmešali v njem.
Determinanta
Matrika ima tudi determinanto. To je zelo pomembna lastnost. Zdaj ni treba ugotoviti njegovega pomena, lahko preprosto pokažete, kako se izračuna, in nato poveste, katere lastnosti matrike določa. Determinanto najlažje poiščemo po diagonalah. V matriki so narisane namišljene diagonale; elementi, ki se nahajajo na vsakem od njih, se pomnožijo, nato pa se dodajo dobljeni izdelki: diagonale z naklonom v desno - z znakom plus, z naklonom v levo - z znakom minus.
Zelo pomembno je vedeti, da je determinanto mogoče izračunati samo za kvadratno matriko. Za pravokotno matriko lahko naredite naslednje: med številom vrstic in številom stolpcev izberete najmanjšo (naj bo k), nato pa v matriki naključno označite k stolpcev in k vrstic. Elementi, ki se nahajajo na presečišču izbranih stolpcev in vrstic, bodo tvorili novo kvadratna matrika. Če je determinanta takšne matrike neničelno število, se imenuje osnovni minor prvotne pravokotne matrike.
Preden začnete reševati sistem enačb z Gaussovo metodo, ne škodi izračunati determinanto. Če se izkaže, da je nič, potem lahko takoj rečemo, da ima matrika neskončno število rešitev ali pa nobene. V tako žalostnem primeru morate iti dlje in izvedeti o rangu matrice.
Sistemska klasifikacija
Obstaja nekaj takega, kot je rang matrike. To je največji vrstni red njegove neničelne determinante (če se spomnimo o manjši bazi, lahko rečemo, da je rang matrike vrstni red manjše osnove).
Glede na situacijo z uvrstitvijo lahko SLAE razdelimo na:
- Sklep. U V skupnih sistemih rang glavne matrike (sestavljene samo iz koeficientov) sovpada z rangom razširjene matrike (s stolpcem prostih členov). Takšni sistemi imajo rešitev, vendar ne nujno eno, zato se dodatno spojni sistemi delijo na:
- - določene- z eno samo rešitvijo. V nekaterih sistemih sta rang matrike in število neznank (ali število stolpcev, kar je isto) enaka;
- - nedoločeno - z neskončnim številom rešitev. Rang matrik v takih sistemih je manjši od števila neznank.
- Nezdružljivo. U V takih sistemih se rangi glavne in razširjene matrice ne ujemajo. Nezdružljivi sistemi nimajo rešitve.
Gaussova metoda je dobra, ker med rešitvijo omogoča pridobitev bodisi nedvoumnega dokaza o nekonsistentnosti sistema (brez izračunavanja determinant velikih matrik) bodisi rešitve v splošni obliki za sistem z neskončnim številom rešitev.
Elementarne transformacije
Preden nadaljujete neposredno z reševanjem sistema, ga lahko naredite manj okornega in bolj priročnega za izračune. To dosežemo z elementarnimi transformacijami – takimi, da njihova izvedba v ničemer ne spremeni končnega odgovora. Opozoriti je treba, da so nekatere od navedenih elementarnih transformacij veljavne le za matrike, katerih izvor je bil SLAE. Tukaj je seznam teh transformacij:
- Preurejanje vrstic. Očitno je, da če spremenite vrstni red enačb v sistemskem zapisu, to na noben način ne bo vplivalo na rešitev. Posledično lahko vrstice v matriki tega sistema tudi zamenjamo, pri čemer seveda ne pozabimo na stolpec prostih členov.
- Množenje vseh elementov niza z določenim koeficientom. Zelo koristno! Lahko se uporablja za krajšanje velike številke v matriko ali odstraniti ničle. Številne odločitve se, kot običajno, ne bodo spremenile, vendar bodo nadaljnje operacije postale bolj priročne. Glavna stvar je, da koeficient ni enak nič.
- Odstranjevanje vrstic s proporcionalnimi faktorji. To deloma izhaja iz prejšnjega odstavka. Če imata dve ali več vrstic v matriki proporcionalne koeficiente, potem ko eno od vrstic pomnožimo/delimo s sorazmernostnim koeficientom, dobimo dve (ali spet več) popolnoma enakih vrstic, odvečne pa lahko odstranimo, tako da ostane samo en.
- Odstranjevanje ničelne vrstice. Če med transformacijo nekje dobimo vrstico, v kateri so vsi elementi, vključno s prostim členom, enaki nič, potem lahko tako vrstico imenujemo nič in jo vržemo iz matrike.
- Dodajanje elementom ene vrstice elementov druge (v ustreznih stolpcih), pomnoženih z določenim koeficientom. Najbolj neočitno in najbolj pomembna preobrazba od vseh. Na njem se je vredno podrobneje posvetiti.
Dodajanje niza, pomnoženega s faktorjem
Za lažje razumevanje je vredno ta postopek razčleniti korak za korakom. Iz matrike sta vzeti dve vrstici:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Recimo, da morate prvo dodati drugemu, pomnoženo s koeficientom "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Nato se druga vrstica v matriki nadomesti z novo, prva pa ostane nespremenjena.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Upoštevati je treba, da je koeficient množenja mogoče izbrati tako, da je zaradi dodajanja dveh vrstic eden od elementov nove vrstice enak nič. Zato je mogoče dobiti enačbo v sistemu, kjer bo ena neznanka manj. In če dobite dve taki enačbi, lahko operacijo ponovite in dobite enačbo, ki bo vsebovala dve neznanki manj. In če vsakič en koeficient vseh vrstic, ki so pod prvotnim, obrnete na nič, potem se lahko, kot po stopnicah, spustite čisto na dno matrike in dobite enačbo z eno neznanko. To se imenuje reševanje sistema z uporabo Gaussove metode.
Na splošno
Naj bo sistem. Ima m enačb in n neznanih korenin. Lahko ga zapišete na naslednji način:
Glavna matrika je sestavljena iz sistemskih koeficientov. Razširjeni matriki je dodan stolpec prostih izrazov in zaradi priročnosti ločen s črto.
- prva vrstica matrike se pomnoži s koeficientom k = (-a 21 /a 11);
- dodani sta prva spremenjena vrstica in druga vrstica matrike;
- namesto druge vrstice se v matriko vstavi rezultat seštevanja iz prejšnjega odstavka;
- zdaj je prvi koeficient v novi drugi vrstici a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Zdaj se izvaja ista serija transformacij, vključeni sta samo prva in tretja vrstica. V skladu s tem se na vsakem koraku algoritma element a 21 nadomesti z 31. Nato se vse ponovi za 41, ... a m1. Rezultat je matrika, kjer je prvi element v vrsticah nič. Zdaj morate pozabiti na vrstico številka ena in izvesti isti algoritem, začenši z drugo vrstico:
- koeficient k = (-a 32 /a 22);
- druga spremenjena vrstica se doda "trenutni" vrstici;
- rezultat seštevanja se nadomesti v tretjo, četrto in tako naprej, medtem ko prva in druga ostaneta nespremenjeni;
- v vrsticah matrike sta prva dva elementa že enaka nič.
Algoritem je treba ponavljati, dokler se ne pojavi koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To pomeni, da je bil algoritem nazadnje izveden samo za spodnjo enačbo. Zdaj je matrica videti kot trikotnik ali ima stopničasto obliko. V spodnji vrstici je enačba a mn × x n = b m. Znana sta koeficient in prosti člen, skozenj pa je izražen koren: x n = b m /a mn. Dobljeni koren nadomestimo v zgornjo vrstico, da poiščemo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. In tako naprej po analogiji: v vsaki naslednji vrstici je nov koren in ko dosežete "vrh" sistema, lahko najdete veliko rešitev. Edina bo.
Ko ni rešitev
Če so v eni od vrstic matrike vsi elementi razen prostega člena enaki nič, potem je enačba, ki ustreza tej vrstici, videti kot 0 = b. Nima rešitve. In ker je taka enačba vključena v sistem, potem je množica rešitev celotnega sistema prazna, to je degenerirana.
Ko obstaja neskončno število rešitev
Lahko se zgodi, da v dani trikotni matriki ni vrstic z enim koeficientnim elementom enačbe in enim prostim členom. Obstajajo le črte, ki bi bile, če bi jih prepisali, videti kot enačba z dvema ali več spremenljivkami. To pomeni, da ima sistem neskončno število rešitev. V tem primeru lahko odgovor podamo v obliki splošne rešitve. Kako narediti?
Vse spremenljivke v matriki so razdeljene na osnovne in proste. Osnovni so tisti, ki stojijo »na robu« vrstic v stopenjski matriki. Ostali so brezplačni. V splošni rešitvi so osnovne spremenljivke zapisane preko prostih.
Za udobje je matrika najprej prepisana nazaj v sistem enačb. Potem pa v zadnji izmed njih, kjer ostane le še ena osnovna spremenljivka, ta ostane na eni strani, vse ostalo pa se prenese na drugo. To se naredi za vsako enačbo z eno osnovno spremenljivko. Nato se v preostalih enačbah, kjer je to mogoče, namesto osnovne spremenljivke nadomesti dobljeni izraz. Če je rezultat ponovno izraz, ki vsebuje samo eno osnovno spremenljivko, se ta ponovno izrazi od tam in tako naprej, dokler ni vsaka osnovna spremenljivka zapisana kot izraz s prostimi spremenljivkami. To je splošna rešitev SLAE.
Najdete lahko tudi osnovno rešitev sistema - prostim spremenljivkam dodelite poljubne vrednosti, nato pa za ta konkreten primer izračunajte vrednosti osnovnih spremenljivk. Obstaja neskončno število posebnih rešitev, ki jih je mogoče dati.
Rešitev s konkretnimi primeri
Tukaj je sistem enačb.
Za udobje je bolje, da takoj ustvarite njegovo matrico
Znano je, da bo pri reševanju z Gaussovo metodo enačba, ki ustreza prvi vrstici, ob koncu transformacij ostala nespremenjena. Zato bo bolj donosno, če je zgornji levi element matrike najmanjši - takrat se bodo prvi elementi preostalih vrstic po operacijah spremenili na nič. To pomeni, da bo v sestavljeni matriki koristno postaviti drugo vrstico namesto prve.
druga vrstica: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
tretja vrstica: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Zdaj, da ne bi prišlo do zmede, morate zapisati matriko z vmesnimi rezultati transformacij.
Očitno je mogoče takšno matriko narediti bolj priročno za zaznavanje z uporabo določenih operacij. Na primer, lahko odstranite vse "minuse" iz druge vrstice tako, da pomnožite vsak element z "-1".
Omeniti velja tudi, da so v tretji vrstici vsi elementi večkratniki treh. Nato lahko vrstico skrajšate za to številko, tako da vsak element pomnožite z "-1/3" (minus - hkrati, da odstranite negativne vrednosti).
Izgleda veliko lepše. Zdaj moramo pustiti prvo vrstico pri miru in delati z drugo in tretjo. Naloga je dodati drugo vrstico tretji vrstici, pomnoženo s takim koeficientom, da postane element a 32 enak nič.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (če se med nekaterimi transformacijami odgovor ne izkaže za celo število, je priporočljivo ohraniti natančnost izračunov, da pustite je "kot je", v obliki navadni ulomek, šele nato, ko so odgovori prejeti, se odločite, ali boste zaokrožili in pretvorili v drugo obliko zapisa)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matrika se ponovno zapiše z novimi vrednostmi.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Kot lahko vidite, ima nastala matrika že stopničasto obliko. Zato nadaljnje transformacije sistema z uporabo Gaussove metode niso potrebne. Tukaj lahko odstranite skupni koeficient "-1/7" iz tretje vrstice.
Zdaj je vse lepo. Vse kar morate storiti je, da matriko ponovno zapišete v obliki sistema enačb in izračunate korene
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritem, s katerim bodo sedaj najdeni koreni, se v Gaussovi metodi imenuje obratna poteza. Enačba (3) vsebuje vrednost z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
In prva enačba nam omogoča, da najdemo x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Takšen sistem imamo pravico imenovati skupen in celo dokončen, to je edinstvena rešitev. Odgovor je zapisan v naslednji obliki:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Primer negotovega sistema
Analizirana je bila varianta reševanja določenega sistema z Gaussovo metodo, zdaj pa je treba upoštevati primer, če je sistem negotov, to je, da je zanj mogoče najti neskončno veliko rešitev.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Že sam videz sistema je zaskrbljujoč, saj je število neznank n = 5, rang sistemske matrike pa je že natanko manjši od tega števila, ker je število vrstic m = 4, tj. največji vrstni red determinantnega kvadrata je 4. To pomeni, da obstaja neskončno število rešitev in morate iskati njegov splošni videz. To vam omogoča Gaussova metoda za linearne enačbe.
Najprej se, kot običajno, sestavi razširjena matrika.
Druga vrstica: koeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. V tretji vrstici je prvi element pred transformacijami, zato se vam ni treba ničesar dotikati, pustiti ga morate tako, kot je. Četrta vrstica: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Če pomnožimo elemente prve vrstice z vsakim od njihovih koeficientov po vrsti in jih dodamo zahtevanim vrsticam, dobimo matriko naslednje oblike:
Kot lahko vidite, so druga, tretja in četrta vrstica sestavljene iz elementov, sorazmernih drug z drugim. Drugi in četrti sta na splošno enaki, zato lahko eno od njih takoj odstranite, preostalo pa pomnožite s koeficientom "-1" in dobite vrstico številka 3. In spet, od dveh enakih vrstic, pustite eno.
Rezultat je takšna matrika. Medtem ko sistem še ni zapisan, je tu treba določiti osnovne spremenljivke - tiste, ki stojijo pri koeficientih a 11 = 1 in a 22 = 1, ter proste - vse ostale.
V drugi enačbi je le ena osnovna spremenljivka - x 2. To pomeni, da ga lahko izrazimo od tam tako, da ga zapišemo skozi spremenljivke x 3 , x 4 , x 5 , ki so proste.
Dobljeni izraz nadomestimo v prvo enačbo.
Rezultat je enačba, v kateri je edina osnovna spremenljivka x 1 . Naredimo z njim enako kot z x 2.
Vse osnovne spremenljivke, ki sta dve, izrazimo s tremi prostimi, zdaj lahko odgovor zapišemo v splošni obliki.
Določite lahko tudi eno od posameznih rešitev sistema. V takih primerih so običajno izbrane ničle kot vrednosti za proste spremenljivke. Potem bo odgovor:
16, 23, 0, 0, 0.
Primer nekooperativnega sistema
Reševanje nekompatibilnih sistemov enačb z Gaussovo metodo je najhitrejše. Konča se takoj, ko na eni od stopenj dobimo enačbo, ki nima rešitve. To pomeni, da je stopnja izračunavanja korenin, ki je precej dolga in dolgočasna, odpravljena. Upoštevan je naslednji sistem:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Kot običajno je matrika sestavljena:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
In zmanjšano je na postopno obliko:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Po prvi transformaciji je v tretji vrstici enačba oblike
brez rešitve. Posledično je sistem nedosleden in odgovor bo prazna množica.
Prednosti in slabosti metode
Če izberete metodo za reševanje SLAE na papirju s peresom, potem je metoda, o kateri smo razpravljali v tem članku, videti najbolj privlačna. Veliko težje se je zmešati pri elementarnih transformacijah, kot če bi morali ročno iskati determinanto ali kakšno zapleteno inverzno matriko. Če pa uporabljate programe za delo s podatki te vrste, na primer preglednice, se izkaže, da takšni programi že vsebujejo algoritme za izračun glavnih parametrov matrik - determinanta, minori, inverz in tako naprej. In če ste prepričani, da bo stroj sam izračunal te vrednosti in ne bo delal napak, je bolj priporočljivo uporabiti matrično metodo ali Cramerjeve formule, saj se njihova uporaba začne in konča z izračunom determinant in inverzne matrike.
Aplikacija
Ker je Gaussova rešitev algoritem, matrika pa je pravzaprav dvodimenzionalna matrika, jo je mogoče uporabiti pri programiranju. Ker pa se članek postavlja kot vodnik "za lutke", je treba reči, da je metodo najlažje vnesti v preglednice, na primer Excel. Vsak SLAE, vnesen v tabelo v obliki matrike, bo Excel obravnaval kot dvodimenzionalno polje. In za operacije z njimi obstaja veliko lepih ukazov: seštevanje (seštevate lahko samo matrike enake velikosti!), množenje s številom, množenje matrik (tudi z določenimi omejitvami), iskanje inverznih in transponiranih matrik in, kar je najpomembnejše , izračun determinante. Če to zamudno nalogo nadomestimo z enim samim ukazom, je mogoče veliko hitreje določiti rang matrike in s tem ugotoviti njeno združljivost oziroma nezdružljivost.
V tem članku je metoda obravnavana kot metoda za reševanje sistemov linearnih enačb (SLAE). Metoda je analitična, kar pomeni, da vam omogoča, da napišete algoritem rešitve v splošni obliki in nato tam nadomestite vrednosti iz posebnih primerov. Za razliko od matrične metode ali Cramerjevih formul lahko pri reševanju sistema linearnih enačb po Gaussovi metodi delate tudi s tistimi, ki imajo neskončno število rešitev. Ali pa ga sploh nimajo.
Kaj pomeni reševanje po Gaussovi metodi?
Najprej moramo zapisati naš sistem enačb v. Videti je takole. Vzemite sistem:
Koeficienti so zapisani v obliki tabele, prosti izrazi pa so zapisani v ločenem stolpcu na desni strani. Stolpec s prostimi izrazi je zaradi priročnosti ločen, matrika, ki vključuje ta stolpec, se imenuje razširjena.
Nato je treba glavno matriko s koeficienti reducirati na zgornjo trikotno obliko. To je glavna točka reševanja sistema z Gaussovo metodo. Preprosto povedano, po določenih manipulacijah bi morala matrika izgledati tako, da njen spodnji levi del vsebuje samo ničle:
Če nato novo matriko znova zapišete kot sistem enačb, boste opazili, da zadnja vrstica že vsebuje vrednost enega od korenov, ki je nato substituirana v zgornjo enačbo, najden je drug koren itd.
To je najsplošnejši opis rešitve po Gaussovi metodi. Kaj se zgodi, če sistem nenadoma nima rešitve? Ali pa jih je neskončno veliko? Za odgovor na ta in številna druga vprašanja je treba ločeno obravnavati vse elemente, ki se uporabljajo pri reševanju Gaussove metode.
Matrike, njihove lastnosti
V matrici ni skritega pomena. To je preprosto priročen način za snemanje podatkov za nadaljnje operacije z njimi. Tudi šolarjem se jih ni treba bati.
Matrica je vedno pravokotna, ker je bolj priročna. Tudi pri Gaussovi metodi, kjer se vse spušča v konstrukcijo matrike trikotne oblike, se v vnosu pojavi pravokotnik, le z ničlami na mestu, kjer ni številk. Ničle morda niso zapisane, vendar so implicitne.
Matrica ima velikost. Njegova "širina" je število vrstic (m), "dolžina" je število stolpcev (n). Potem bo velikost matrike A (za označevanje se običajno uporabljajo velike latinične črke) označena kot A m×n. Če je m=n, potem je ta matrika kvadratna in m=n je njen vrstni red. V skladu s tem lahko vsak element matrike A označimo s številkami vrstic in stolpcev: a xy ; x - številka vrstice, spremembe, y - številka stolpca, spremembe.
B ni bistvo odločitve. Načeloma lahko vse operacije izvajamo neposredno s samimi enačbami, vendar bo zapis veliko bolj okoren in veliko lažje se bomo zmešali v njem.
Determinanta
Matrika ima tudi determinanto. To je zelo pomembna lastnost. Zdaj ni treba ugotoviti njegovega pomena, lahko preprosto pokažete, kako se izračuna, in nato poveste, katere lastnosti matrike določa. Determinanto najlažje poiščemo po diagonalah. V matriki so narisane namišljene diagonale; elementi, ki se nahajajo na vsakem od njih, se pomnožijo, nato pa se dodajo dobljeni izdelki: diagonale z naklonom v desno - z znakom plus, z naklonom v levo - z znakom minus.
Zelo pomembno je vedeti, da je determinanto mogoče izračunati samo za kvadratno matriko. Za pravokotno matriko lahko naredite naslednje: med številom vrstic in številom stolpcev izberete najmanjšo (naj bo k), nato pa v matriki naključno označite k stolpcev in k vrstic. Elementi na presečišču izbranih stolpcev in vrstic bodo tvorili novo kvadratno matriko. Če je determinanta takšne matrike neničelno število, se imenuje osnovni minor prvotne pravokotne matrike.
Preden začnete reševati sistem enačb z Gaussovo metodo, ne škodi izračunati determinanto. Če se izkaže, da je nič, potem lahko takoj rečemo, da ima matrika neskončno število rešitev ali pa nobene. V tako žalostnem primeru morate iti dlje in izvedeti o rangu matrice.
Sistemska klasifikacija
Obstaja nekaj takega, kot je rang matrike. To je največji vrstni red njegove neničelne determinante (če se spomnimo o manjši bazi, lahko rečemo, da je rang matrike vrstni red manjše osnove).
Glede na situacijo z uvrstitvijo lahko SLAE razdelimo na:
- Sklep. U V skupnih sistemih rang glavne matrike (sestavljene samo iz koeficientov) sovpada z rangom razširjene matrike (s stolpcem prostih členov). Takšni sistemi imajo rešitev, vendar ne nujno eno, zato se dodatno spojni sistemi delijo na:
- - določene- z eno samo rešitvijo. V nekaterih sistemih sta rang matrike in število neznank (ali število stolpcev, kar je isto) enaka;
- - nedoločeno - z neskončnim številom rešitev. Rang matrik v takih sistemih je manjši od števila neznank.
- Nezdružljivo. U V takih sistemih se rangi glavne in razširjene matrice ne ujemajo. Nezdružljivi sistemi nimajo rešitve.
Gaussova metoda je dobra, ker med rešitvijo omogoča pridobitev bodisi nedvoumnega dokaza o nekonsistentnosti sistema (brez izračunavanja determinant velikih matrik) bodisi rešitve v splošni obliki za sistem z neskončnim številom rešitev.
Elementarne transformacije
Preden nadaljujete neposredno z reševanjem sistema, ga lahko naredite manj okornega in bolj priročnega za izračune. To dosežemo z elementarnimi transformacijami – takimi, da njihova izvedba v ničemer ne spremeni končnega odgovora. Opozoriti je treba, da so nekatere od navedenih elementarnih transformacij veljavne le za matrike, katerih izvor je bil SLAE. Tukaj je seznam teh transformacij:
- Preurejanje vrstic. Očitno je, da če spremenite vrstni red enačb v sistemskem zapisu, to na noben način ne bo vplivalo na rešitev. Posledično lahko vrstice v matriki tega sistema tudi zamenjamo, pri čemer seveda ne pozabimo na stolpec prostih členov.
- Množenje vseh elementov niza z določenim koeficientom. Zelo koristno! Uporablja se lahko za zmanjšanje velikih števil v matriki ali odstranjevanje ničel. Številne odločitve se, kot običajno, ne bodo spremenile, vendar bodo nadaljnje operacije postale bolj priročne. Glavna stvar je, da koeficient ni enak nič.
- Odstranjevanje vrstic s proporcionalnimi faktorji. To deloma izhaja iz prejšnjega odstavka. Če imata dve ali več vrstic v matriki proporcionalne koeficiente, potem ko eno od vrstic pomnožimo/delimo s sorazmernostnim koeficientom, dobimo dve (ali spet več) popolnoma enakih vrstic, odvečne pa lahko odstranimo, tako da ostane samo en.
- Odstranjevanje ničelne vrstice. Če med transformacijo nekje dobimo vrstico, v kateri so vsi elementi, vključno s prostim členom, enaki nič, potem lahko tako vrstico imenujemo nič in jo vržemo iz matrike.
- Dodajanje elementom ene vrstice elementov druge (v ustreznih stolpcih), pomnoženih z določenim koeficientom. Najbolj neočitna in najpomembnejša preobrazba od vseh. Na njem se je vredno podrobneje posvetiti.
Dodajanje niza, pomnoženega s faktorjem
Za lažje razumevanje je vredno ta postopek razčleniti korak za korakom. Iz matrike sta vzeti dve vrstici:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Recimo, da morate prvo dodati drugemu, pomnoženo s koeficientom "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Nato se druga vrstica v matriki nadomesti z novo, prva pa ostane nespremenjena.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Upoštevati je treba, da je koeficient množenja mogoče izbrati tako, da je zaradi dodajanja dveh vrstic eden od elementov nove vrstice enak nič. Zato je mogoče dobiti enačbo v sistemu, kjer bo ena neznanka manj. In če dobite dve taki enačbi, lahko operacijo ponovite in dobite enačbo, ki bo vsebovala dve neznanki manj. In če vsakič en koeficient vseh vrstic, ki so pod prvotnim, obrnete na nič, potem se lahko, kot po stopnicah, spustite čisto na dno matrike in dobite enačbo z eno neznanko. To se imenuje reševanje sistema z uporabo Gaussove metode.
Na splošno
Naj bo sistem. Ima m enačb in n neznanih korenin. Lahko ga zapišete na naslednji način:
Glavna matrika je sestavljena iz sistemskih koeficientov. Razširjeni matriki je dodan stolpec prostih izrazov in zaradi priročnosti ločen s črto.
- prva vrstica matrike se pomnoži s koeficientom k = (-a 21 /a 11);
- dodani sta prva spremenjena vrstica in druga vrstica matrike;
- namesto druge vrstice se v matriko vstavi rezultat seštevanja iz prejšnjega odstavka;
- zdaj je prvi koeficient v novi drugi vrstici a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Zdaj se izvaja ista serija transformacij, vključeni sta samo prva in tretja vrstica. V skladu s tem se na vsakem koraku algoritma element a 21 nadomesti z 31. Nato se vse ponovi za 41, ... a m1. Rezultat je matrika, kjer je prvi element v vrsticah nič. Zdaj morate pozabiti na vrstico številka ena in izvesti isti algoritem, začenši z drugo vrstico:
- koeficient k = (-a 32 /a 22);
- druga spremenjena vrstica se doda "trenutni" vrstici;
- rezultat seštevanja se nadomesti v tretjo, četrto in tako naprej, medtem ko prva in druga ostaneta nespremenjeni;
- v vrsticah matrike sta prva dva elementa že enaka nič.
Algoritem je treba ponavljati, dokler se ne pojavi koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To pomeni, da je bil algoritem nazadnje izveden samo za spodnjo enačbo. Zdaj je matrica videti kot trikotnik ali ima stopničasto obliko. V spodnji vrstici je enačba a mn × x n = b m. Znana sta koeficient in prosti člen, skozenj pa je izražen koren: x n = b m /a mn. Dobljeni koren nadomestimo v zgornjo vrstico, da poiščemo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. In tako naprej po analogiji: v vsaki naslednji vrstici je nov koren in ko dosežete "vrh" sistema, lahko najdete veliko rešitev. Edina bo.
Ko ni rešitev
Če so v eni od vrstic matrike vsi elementi razen prostega člena enaki nič, potem je enačba, ki ustreza tej vrstici, videti kot 0 = b. Nima rešitve. In ker je taka enačba vključena v sistem, potem je množica rešitev celotnega sistema prazna, to je degenerirana.
Ko obstaja neskončno število rešitev
Lahko se zgodi, da v dani trikotni matriki ni vrstic z enim koeficientnim elementom enačbe in enim prostim členom. Obstajajo le črte, ki bi bile, če bi jih prepisali, videti kot enačba z dvema ali več spremenljivkami. To pomeni, da ima sistem neskončno število rešitev. V tem primeru lahko odgovor podamo v obliki splošne rešitve. Kako narediti?
Vse spremenljivke v matriki so razdeljene na osnovne in proste. Osnovni so tisti, ki stojijo »na robu« vrstic v stopenjski matriki. Ostali so brezplačni. V splošni rešitvi so osnovne spremenljivke zapisane preko prostih.
Za udobje je matrika najprej prepisana nazaj v sistem enačb. Potem pa v zadnji izmed njih, kjer ostane le še ena osnovna spremenljivka, ta ostane na eni strani, vse ostalo pa se prenese na drugo. To se naredi za vsako enačbo z eno osnovno spremenljivko. Nato se v preostalih enačbah, kjer je to mogoče, namesto osnovne spremenljivke nadomesti dobljeni izraz. Če je rezultat ponovno izraz, ki vsebuje samo eno osnovno spremenljivko, se ta ponovno izrazi od tam in tako naprej, dokler ni vsaka osnovna spremenljivka zapisana kot izraz s prostimi spremenljivkami. To je splošna rešitev SLAE.
Najdete lahko tudi osnovno rešitev sistema - prostim spremenljivkam dodelite poljubne vrednosti, nato pa za ta konkreten primer izračunajte vrednosti osnovnih spremenljivk. Obstaja neskončno število posebnih rešitev, ki jih je mogoče dati.
Rešitev s konkretnimi primeri
Tukaj je sistem enačb.
Za udobje je bolje, da takoj ustvarite njegovo matrico
Znano je, da bo pri reševanju z Gaussovo metodo enačba, ki ustreza prvi vrstici, ob koncu transformacij ostala nespremenjena. Zato bo bolj donosno, če je zgornji levi element matrike najmanjši - takrat se bodo prvi elementi preostalih vrstic po operacijah spremenili na nič. To pomeni, da bo v sestavljeni matriki koristno postaviti drugo vrstico namesto prve.
druga vrstica: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
tretja vrstica: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Zdaj, da ne bi prišlo do zmede, morate zapisati matriko z vmesnimi rezultati transformacij.
Očitno je mogoče takšno matriko narediti bolj priročno za zaznavanje z uporabo določenih operacij. Na primer, lahko odstranite vse "minuse" iz druge vrstice tako, da pomnožite vsak element z "-1".
Omeniti velja tudi, da so v tretji vrstici vsi elementi večkratniki treh. Nato lahko skrajšate niz za to številko, tako da vsak element pomnožite z "-1/3" (minus - hkrati, da odstranite negativne vrednosti).
Izgleda veliko lepše. Zdaj moramo pustiti prvo vrstico pri miru in delati z drugo in tretjo. Naloga je dodati drugo vrstico tretji vrstici, pomnoženo s takim koeficientom, da postane element a 32 enak nič.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (če se med nekaterimi transformacijami odgovor ne izkaže za celo število, je priporočljivo ohraniti natančnost izračunov, da pustite "takšen kot je", v obliki navadnih ulomkov in se šele nato, ko so prejeti odgovori, odločite, ali boste zaokrožili in pretvorili v drugo obliko zapisa)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matrika se ponovno zapiše z novimi vrednostmi.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Kot lahko vidite, ima nastala matrika že stopničasto obliko. Zato nadaljnje transformacije sistema z uporabo Gaussove metode niso potrebne. Tukaj lahko odstranite skupni koeficient "-1/7" iz tretje vrstice.
Zdaj je vse lepo. Vse kar morate storiti je, da matriko ponovno zapišete v obliki sistema enačb in izračunate korene
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritem, s katerim bodo sedaj najdeni koreni, se v Gaussovi metodi imenuje obratna poteza. Enačba (3) vsebuje vrednost z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
In prva enačba nam omogoča, da najdemo x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Takšen sistem imamo pravico imenovati skupen in celo dokončen, to je edinstvena rešitev. Odgovor je zapisan v naslednji obliki:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Primer negotovega sistema
Analizirana je bila varianta reševanja določenega sistema z Gaussovo metodo, zdaj pa je treba upoštevati primer, če je sistem negotov, to je, da je zanj mogoče najti neskončno veliko rešitev.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Že sam videz sistema je zaskrbljujoč, saj je število neznank n = 5, rang sistemske matrike pa je že natanko manjši od tega števila, ker je število vrstic m = 4, tj. največji vrstni red determinantnega kvadrata je 4. To pomeni, da obstaja neskončno število rešitev in morate iskati njegov splošni videz. To vam omogoča Gaussova metoda za linearne enačbe.
Najprej se, kot običajno, sestavi razširjena matrika.
Druga vrstica: koeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. V tretji vrstici je prvi element pred transformacijami, zato se vam ni treba ničesar dotikati, pustiti ga morate tako, kot je. Četrta vrstica: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Če pomnožimo elemente prve vrstice z vsakim od njihovih koeficientov po vrsti in jih dodamo zahtevanim vrsticam, dobimo matriko naslednje oblike:
Kot lahko vidite, so druga, tretja in četrta vrstica sestavljene iz elementov, sorazmernih drug z drugim. Drugi in četrti sta na splošno enaki, zato lahko eno od njih takoj odstranite, preostalo pa pomnožite s koeficientom "-1" in dobite vrstico številka 3. In spet, od dveh enakih vrstic, pustite eno.
Rezultat je takšna matrika. Medtem ko sistem še ni zapisan, je tu treba določiti osnovne spremenljivke - tiste, ki stojijo pri koeficientih a 11 = 1 in a 22 = 1, ter proste - vse ostale.
V drugi enačbi je le ena osnovna spremenljivka - x 2. To pomeni, da ga lahko izrazimo od tam tako, da ga zapišemo skozi spremenljivke x 3 , x 4 , x 5 , ki so proste.
Dobljeni izraz nadomestimo v prvo enačbo.
Rezultat je enačba, v kateri je edina osnovna spremenljivka x 1 . Naredimo z njim enako kot z x 2.
Vse osnovne spremenljivke, ki sta dve, izrazimo s tremi prostimi, zdaj lahko odgovor zapišemo v splošni obliki.
Določite lahko tudi eno od posameznih rešitev sistema. V takih primerih so običajno izbrane ničle kot vrednosti za proste spremenljivke. Potem bo odgovor:
16, 23, 0, 0, 0.
Primer nekooperativnega sistema
Reševanje nekompatibilnih sistemov enačb z Gaussovo metodo je najhitrejše. Konča se takoj, ko na eni od stopenj dobimo enačbo, ki nima rešitve. To pomeni, da je stopnja izračunavanja korenin, ki je precej dolga in dolgočasna, odpravljena. Upoštevan je naslednji sistem:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Kot običajno je matrika sestavljena:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
In zmanjšano je na postopno obliko:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Po prvi transformaciji je v tretji vrstici enačba oblike
brez rešitve. Posledično je sistem nedosleden in odgovor bo prazna množica.
Prednosti in slabosti metode
Če izberete metodo za reševanje SLAE na papirju s peresom, potem je metoda, o kateri smo razpravljali v tem članku, videti najbolj privlačna. Veliko težje se je zmešati pri elementarnih transformacijah, kot če bi morali ročno iskati determinanto ali kakšno zapleteno inverzno matriko. Če pa uporabljate programe za delo s podatki te vrste, na primer preglednice, se izkaže, da takšni programi že vsebujejo algoritme za izračun glavnih parametrov matrik - determinanta, minori, inverz in tako naprej. In če ste prepričani, da bo stroj sam izračunal te vrednosti in ne bo delal napak, je bolj priporočljivo uporabiti matrično metodo ali Cramerjeve formule, saj se njihova uporaba začne in konča z izračunom determinant in inverznih matrik. .
Aplikacija
Ker je Gaussova rešitev algoritem, matrika pa je pravzaprav dvodimenzionalna matrika, jo je mogoče uporabiti pri programiranju. Ker pa se članek postavlja kot vodnik "za lutke", je treba reči, da je metodo najlažje vnesti v preglednice, na primer Excel. Vsak SLAE, vnesen v tabelo v obliki matrike, bo Excel obravnaval kot dvodimenzionalno polje. In za operacije z njimi obstaja veliko lepih ukazov: seštevanje (seštevate lahko samo matrike enake velikosti!), množenje s številom, množenje matrik (tudi z določenimi omejitvami), iskanje inverznih in transponiranih matrik in, kar je najpomembnejše , izračun determinante. Če to zamudno nalogo nadomestimo z enim samim ukazom, je mogoče veliko hitreje določiti rang matrike in s tem ugotoviti njeno združljivost oziroma nezdružljivost.
