Če se zdi, da vaš otrok ne more ugotoviti, kako deliti decimalke, to ni razlog, da mislite, da ni sposoben matematike.
Najverjetneje mu preprosto niso jasno razložili, kako je to storjeno. Otroku moramo pomagati in mu na čim bolj preprost, skoraj igriv način povedati o ulomkih in operacijah z njimi. In za to se moramo nekaj spomniti tudi sami.
Ulomki se uporabljajo, ko govorimo o necelih številih.Če je ulomek manjši od ena, potem opisuje del nečesa, če je več, opisuje več celih delov in še en kos. Ulomke opisujeta 2 vrednosti: imenovalec, ki pojasnjuje, na koliko enakih delov je število razdeljeno, in števec, ki nam pove, na koliko takih delov mislimo.
Recimo, da ste pito razrezali na 4 enake dele in enega dali sosedom. Imenovalec bo enak 4. Števec pa je odvisen od tega, kaj želimo opisati. Če govorimo o tem, koliko je bilo dano sosedom, potem je števec 1, če govorimo o tem, koliko je ostalo, pa 3.
V primeru pite je imenovalec 4, v izrazu "1 dan je 1/7 tedna" pa 7. Ulomek s katerim koli imenovalcem je navadni ulomek.
Matematiki si, tako kot vsi drugi, poskušamo olajšati življenje. In zato so bili izumljeni decimalni ulomki. V njih je imenovalec enak 10 ali številom, ki so večkratniki 10 (100, 1000, 10.000 itd.), Zapišemo pa jih na naslednji način: cela komponenta števila je ločena od ulomka z vejico. Na primer, 5,1 je 5 celih in 1 desetinka, 7,86 pa 7 celih in 86 stotink.
Majhen umik ni za vaše otroke, ampak zase. Pri nas je v navadi, da se ulomek loči z vejico. V tujini je po ustaljeni tradiciji običajno ločiti s piko. Če torej naletite na podobno oznako v tujem besedilu, ne bodite presenečeni.
Delitev ulomkov
Vsaka aritmetična operacija s podobnimi števili ima svoje značilnosti, zdaj pa se bomo poskušali naučiti deliti decimalne ulomke. Ulomek je mogoče deliti z naravno število ali na drugo frakcijo.
Za lažje obvladovanje te aritmetične operacije si je pomembno zapomniti eno preprosto stvar.
Ko se naučite uporabljati vejice, lahko uporabite ista pravila deljenja kot za cela števila.
Razmislite o delitvi ulomka z naravnim številom. Tehnologija delitve v stolpec bi vam morala biti že znana iz predhodno obravnavanega gradiva. Postopek je podoben. Dividendo deli predznak za predznakom z deliteljem. Takoj, ko obrat doseže zadnji znak pred vejico, se v količniku postavi vejica, nato pa deljenje poteka na običajen način.
Se pravi, razen odstranitve vejice – največ redna delitev, in vejica ni zelo težka.
Deljenje ulomka z ulomkom
Primeri, ko morate eno delno vrednost deliti z drugo, se zdijo zelo zapleteni. A v resnici se z njimi ni nič težje spopasti. Deljenje enega decimalnega ulomka z drugim bo veliko lažje, če se znebite vejice v delitelju.
Kako narediti? Če morate dati 90 svinčnikov v 10 škatel, koliko svinčnikov bo v vsaki škatli? 9. Obe števili pomnožimo z 10 – 900 svinčnikov in 100 škatel. Koliko v vsakem? 9. Enako načelo velja, ko morate deliti decimalni ulomek.
Delitelj se v celoti znebi vejice, vejica dividende pa se pomakne v desno za toliko mest, kot jih je bilo prej v delitelju. In potem se izvede običajna razdelitev v stolpec, o kateri smo razpravljali zgoraj. Na primer:
25,6/6,4 = 256/64 = 4;
10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;
100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.
Dividendo je treba pomnožiti in pomnožiti z 10, dokler delitelj ne postane celo število. Zato ima lahko dodatne ničle na desni.
40,6/0,58 =4060/58=70.
Nič narobe s tem. Spomnite se primera s svinčniki – odgovor se ne bo spremenil, če obe številki povečate za enako količino. Navadne ulomke je težje deliti, še posebej, če v števcu in imenovalcu ni skupnih faktorjev.
V zvezi s tem je deljenje z decimalko veliko bolj priročno. Najtežji trik tukaj je trik zavijanja z vejicami, a kot smo videli, ga je enostavno obvladati. Če boste to lahko posredovali svojemu otroku, ga boste naučili deliti decimalke.
Ko bo osvojil to preprosto pravilo, se bo vaš sin ali hčerka počutila veliko bolj samozavestno pri pouku matematike in, kdo ve, morda ga bo ta predmet začel zanimati. Matematična miselnost se redko pojavi že od zgodnjega otroštva, včasih sta potrebna spodbuda in zanimanje.
S pomočjo otroku pri domačih nalogah ne boste le izboljšali njegovega učnega uspeha, ampak tudi razširili njegovo paleto zanimanj, za kar vam bo čez čas hvaležen.
Ulomek je en ali več delov celote, ki se običajno šteje za ena (1). Tako kot pri naravnih številih lahko tudi z ulomki izvajate vse osnovne aritmetične operacije (seštevanje, odštevanje, deljenje, množenje), za to pa morate poznati značilnosti dela z ulomki in razlikovati med njihovimi vrstami. Obstaja več vrst ulomkov: decimalni in navadni ali preprosti. Vsaka vrsta ulomkov ima svoje posebnosti, a ko boste temeljito razumeli, kako z njimi ravnati, boste lahko reševali poljubne primere z ulomki, saj boste poznali osnovne principe izvajanja aritmetičnega računanja z ulomki. Oglejmo si primere, kako deliti ulomek s celim številom z uporabo različni tipi ulomki.
Kako deliti preprost ulomek z naravnim številom?Navadni ali enostavni ulomki so ulomki, ki so zapisani v obliki razmerja števil, pri katerem je na vrhu ulomka naveden delitelj (števec), na dnu pa delitelj (imenovalec) ulomka. Kako deliti tak ulomek s celim številom? Poglejmo primer! Recimo, da moramo 8/12 deliti z 2.
Če želite to narediti, moramo izvesti več dejanj:
Če se torej soočimo z nalogo deliti ulomek s celim številom, bo diagram rešitve videti nekako takole: 
Na podoben način lahko vsak navaden (preprost) ulomek delimo s celim številom.
Kako decimalko deliti s celim številom?
Decimalka je ulomek, ki ga dobimo tako, da enoto delimo na deset, tisoč in tako naprej. Aritmetične operacije z decimalnimi ulomki so precej preprosti.
Poglejmo primer, kako delimo ulomek s celim številom. Recimo, da moramo decimalni ulomek 0,925 deliti z naravnim številom 5.
Če povzamemo, se osredotočimo na dve glavni točki, ki sta pomembni pri izvajanju operacije delitve decimalke po celem številu: - za deljenje decimalnega ulomka z naravnim številom se uporablja dolgo deljenje;
- Vejica se v količniku postavi, ko je končano deljenje celotnega dela dividende.
V šoli se ta dejanja preučujejo od preprostega do zapletenega. Zato je nujno temeljito razumeti algoritem za izvajanje teh operacij preprosti primeri. Tako, da pozneje ne bo težav z deljenjem decimalnih ulomkov v stolpec. Navsezadnje je to največ težka možnost podobne naloge.
Ta predmet zahteva dosleden študij. Vrzeli v znanju so tu nesprejemljive. Tega načela bi se moral vsak učenec naučiti že v prvem razredu. Če torej zamudite več lekcij zaporedoma, boste morali snov obvladati sami. V nasprotnem primeru bodo pozneje težave ne le pri matematiki, ampak tudi pri drugih z njo povezanih predmetih.
drugič zahtevan pogoj uspešen študij matematika - preidite na primere dolgega deljenja šele, ko ste obvladali seštevanje, odštevanje in množenje.
Otrok bo težko delil, če se ni naučil tabele množenja. Mimogrede, bolje ga je učiti z uporabo pitagorejske tabele. Nič ni odveč in množenje se je v tem primeru lažje naučiti.
Kako se naravna števila množijo v stolpcu?
Če pride do težav pri reševanju primerov v stolpcu za deljenje in množenje, potem morate začeti reševati problem z množenjem. Ker je deljenje inverzna operacija množenja:
- Preden pomnožite dve števili, ju morate natančno preučiti. Izberi večmestno (daljšo) in jo najprej zapiši. Drugo postavite pod njo. Poleg tega morajo biti številke ustrezne kategorije v isti kategoriji. To pomeni, da mora biti skrajno desna številka prve številke nad skrajno desno številko druge.
- Pomnožite skrajno desno številko spodnje številke z vsako števko zgornje številke, začenši od desne. Odgovor zapiši pod črto tako, da bo njegova zadnja števka pod tisto, s katero si pomnožil.
- Enako ponovite z drugo številko nižjega števila. Toda rezultat množenja je treba premakniti eno števko v levo. V tem primeru bo njegova zadnja številka pod tisto, s katero je bila pomnožena.
Nadaljujte s tem množenjem v stolpcu, dokler ne zmanjka števil v drugem faktorju. Zdaj jih je treba zložiti. To bo odgovor, ki ga iščete.
Algoritem za množenje decimalk
Najprej si morate predstavljati, da dani ulomki niso decimalni, ampak naravni. To pomeni, da jim odstranite vejice in nato nadaljujete, kot je opisano v prejšnjem primeru.
Razlika se začne, ko je odgovor zapisan. V tem trenutku je potrebno prešteti vsa števila, ki se pojavijo za decimalko v obeh ulomkih. Točno toliko jih je treba prešteti od konca odgovora in tam postaviti vejico.
Ta algoritem je priročno ponazoriti s primerom: 0,25 x 0,33:
Kje začeti učiti delitev?
Preden rešite primere dolgega deljenja, si morate zapomniti imena števil, ki se pojavijo v primeru dolgega deljenja. Prvi izmed njih (tisti, ki se deli) je deljiv. Drugi (deljeno z) je delitelj. Odgovor je zaseben.
Nato bomo na preprostem vsakdanjem primeru razložili bistvo te matematične operacije. Na primer, če vzamete 10 sladkarij, jih je enostavno enakomerno razdeliti med mamo in očeta. Kaj pa, če jih morate dati staršem in bratu?
Po tem se lahko seznanite s pravili delitve in jih obvladate konkretni primeri. Najprej enostavne, nato pa na vse bolj zapletene.
Algoritem za razdelitev števil v stolpec
Najprej predstavimo postopek za naravna števila, deljiva z enomestnim številom. Prav tako bodo osnova za večmestne delitelje ali decimalne ulomke. Šele nato vstopite manjše spremembe, a več o tem kasneje:
- Preden naredite dolgo deljenje, morate ugotoviti, kje sta dividenda in delitelj.
- Zapišite dividendo. Desno od njega je delilnik.
- Narišite vogal na levi in spodaj blizu zadnjega vogala.
- Določite nepopolno dividendo, to je število, ki bo minimalno za deljenje. Običajno je sestavljen iz ene številke, največ dveh.
- Izberite številko, ki bo prva zapisana v odgovoru. To bi moralo biti število, kolikokrat se delitelj prilega dividendi.
- Zapišite rezultat množenja tega števila z deliteljem.
- Zapišite ga pod nepopolno dividendo. Izvedite odštevanje.
- Ostanku dodajte prvo števko za že razdeljenim delom.
- Ponovno izberite številko za odgovor.
- Ponovite množenje in odštevanje. Če je ostanek enak nič in je dividende konec, je primer končan. V nasprotnem primeru ponovite korake: odstranite številko, dvignite številko, pomnožite, odštejte.
Kako rešiti dolgo deljenje, če ima delitelj več kot eno števko?
Sam algoritem popolnoma sovpada z zgoraj opisanim. Razlika bo število števk v nepopolni dividendi. Zdaj naj bi bili vsaj dve, a če se izkaže, da sta manj kot delitelj, potem bi morali delati s prvimi tremi števkami.
V tej delitvi je še en odtenek. Dejstvo je, da ostanek in njemu dodano število včasih nista deljiva z deliteljem. Potem morate dodati še eno številko po vrstnem redu. Toda odgovor mora biti nič. Če se delitev izvede trimestna števila v stolpcu boste morda morali odstraniti več kot dve števki. Nato se uvede pravilo: v odgovoru mora biti ena ničla manj od števila odstranjenih števk.
To delitev lahko upoštevate na primeru - 12082: 863.
- Nepopolna dividenda v njem se izkaže za število 1208. Število 863 je vanj postavljeno le enkrat. Zato naj bi bil odgovor 1, pod 1208 pa zapišite 863.
- Po odštevanju je ostanek 345.
- Temu morate dodati številko 2.
- Število 3452 vsebuje 863 štirikrat.
- Kot odgovor je treba zapisati štiri. Še več, ko se pomnoži s 4, je to točno število.
- Ostanek po odštevanju je nič. To pomeni, da je delitev končana.
Odgovor v primeru bi bila številka 14.
Kaj pa, če se dividenda konča na nič?
Ali nekaj ničel? V tem primeru je ostanek nič, vendar dividenda še vedno vsebuje ničle. Ni treba obupati, vse je preprostejše, kot se morda zdi. Dovolj je, da odgovoru preprosto dodate vse ničle, ki ostanejo nerazdeljene.
Na primer, 400 morate deliti s 5. Nepopolna dividenda je 40. Pet se vanjo prilega 8-krat. To pomeni, da mora biti odgovor zapisan kot 8. Pri odštevanju ne ostane ostanka. To pomeni, da je delitev končana, vendar v dividendi ostane ničla. Odgovoru ga bo treba dodati. Tako je deljenje 400 s 5 enako 80.
Kaj storiti, če morate razdeliti decimalni ulomek?
Tudi to število je videti kot naravno število, če ne bi vejica ločevala celega dela od ulomka. To nakazuje, da je delitev decimalnih ulomkov v stolpec podobna zgoraj opisani.
Edina razlika bo podpičje. V odgovor naj bi ga vnesli takoj, ko odstranimo prvo števko iz ulomka. To lahko rečemo tudi takole: če ste končali z delitvijo celega dela, postavite vejico in nadaljujte z rešitvijo.
Ko rešujete primere dolgega deljenja z decimalnimi ulomki, se morate spomniti, da lahko delu za decimalno vejico dodate poljubno število ničel. Včasih je to potrebno za dokončanje številk.
Deljenje na dve decimalki
Morda se zdi zapleteno. A le na začetku. Navsezadnje je že jasno, kako razdeliti stolpec ulomkov z naravnim številom. To pomeni, da moramo ta primer reducirati na že znano obliko.
To je preprosto narediti. Oba ulomka morate pomnožiti z 10, 100, 1.000 ali 10.000 in morda z milijonom, če težava to zahteva. Množitelj naj bi izbrali glede na to, koliko ničel je v decimalnem delu delitelja. Se pravi, rezultat bo tak, da boste morali ulomek deliti z naravnim številom.
In to bo v najslabšem primeru. Navsezadnje se lahko zgodi, da dividenda iz te operacije postane celo število. Potem se bo rešitev primera z delitvijo v stolpec ulomkov zmanjšala na zelo preprosta možnost: operacije z naravnimi števili.
Na primer: 28,4 delite s 3,2:
- Najprej jih je treba pomnožiti z 10, saj ima drugo število samo eno števko za decimalno vejico. Z množenjem dobimo 284 in 32.
- Naj bi bili ločeni. Še več, celotno število je 284 krat 32.
- Prvo izbrano število za odgovor je 8. Če ga pomnožimo, dobimo 256. Ostanek je 28.
- Delitev celotnega dela je končana, pri odgovoru pa je potrebna vejica.
- Odstrani na ostanek 0.
- Ponovno vzemite 8.
- Ostanek: 24. Dodajte mu še 0.
- Zdaj morate vzeti 7.
- Rezultat množenja je 224, ostanek je 16.
- Odstranite še 0. Vzemite 5 vsakega in dobite natančno 160. Ostanek je 0.
Delitev je končana. Rezultat primera 28.4:3.2 je 8,875.
Kaj pa, če je delitelj 10, 100, 0,1 ali 0,01?
Tako kot pri množenju tukaj dolgo deljenje ni potrebno. Dovolj je, da vejico preprosto premaknete v želeno smer za določeno število števk. Poleg tega lahko z uporabo tega principa rešite primere s celimi števili in decimalnimi ulomki.
Torej, če morate deliti z 10, 100 ali 1000, se decimalna vejica premakne v levo za enako število števk, kolikor je ničel v delitelju. To pomeni, da ko je število deljivo s 100, se mora decimalna vejica premakniti v levo za dve števki. Če je dividenda naravno število, se predpostavlja, da je vejica na koncu.
To dejanje daje enak rezultat, kot če bi število pomnožili z 0,1, 0,01 ali 0,001. V teh primerih je tudi vejica premaknjena v levo za število števk, ki je enako dolžini ulomka.
Pri deljenju z 0,1 (itd.) ali množenju z 10 (itd.) naj se decimalna vejica premakne v desno za eno števko (ali dve, tri, odvisno od števila ničel ali dolžine ulomka).
Omeniti velja, da število števk, navedenih v dividendi, morda ne bo zadostovalo. Nato lahko manjkajoče ničle dodamo na levo (v celem delu) ali na desno (za decimalno vejico).
Deljenje periodičnih ulomkov
V tem primeru pri razdelitvi v stolpec ne bo mogoče dobiti natančnega odgovora. Kako rešiti primer, če naletite na ulomek s piko? Tukaj moramo preiti na navadne ulomke. In jih nato razdelite po prej naučenih pravilih.
Na primer, 0.(3) morate deliti z 0,6. Prvi ulomek je periodičen. Pretvori se v ulomek 3/9, ki pri zmanjšanju daje 1/3. Drugi ulomek je zadnja decimalka. Še lažje ga je zapisati kot običajno: 6/10, kar je enako 3/5. Pravilo za deljenje navadnih ulomkov zahteva zamenjavo deljenja z množenjem in delitelja z recipročnim. To pomeni, da se primer zmanjša na množenje 1/3 s 5/3. Odgovor bo 5/9.
Če primer vsebuje različne ulomke ...
Potem je možnih več rešitev. Najprej lahko poskusite navadni ulomek pretvoriti v decimalko. Nato z zgornjim algoritmom razdelite dve decimalki.
Drugič, vsak zadnji decimalni ulomek lahko zapišemo kot navadni ulomek. Vendar to ni vedno priročno. Najpogosteje se takšne frakcije izkažejo za ogromne. In odgovori so okorni. Zato se prvi pristop šteje za bolj priporočljiv.
V zadnji lekciji smo se naučili seštevati in odštevati decimalke (glej lekcijo “Seštevanje in odštevanje decimalk”). Hkrati smo ocenili, koliko so izračuni poenostavljeni v primerjavi z navadnimi »dvonadstropnimi« frakcijami.
Na žalost se ta učinek ne pojavi pri množenju in deljenju decimalnih mest. V nekaterih primerih decimalni zapis celo oteži te operacije.
Najprej predstavimo novo definicijo. Videli ga bomo kar pogosto in ne samo v tej lekciji.
Pomemben del števila je vse med prvo in zadnjo števko, ki ni nič, vključno s konci. Govorimo samo o številkah, decimalna vejica se ne upošteva.
Številke, vključene v pomemben del števila, se imenujejo pomembne števke. Lahko se ponavljajo in so celo enaki nič.
Na primer, upoštevajte več decimalnih ulomkov in zapišite ustrezne pomembne dele:
- 91.25 → 9125 (pomembne številke: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (pomembne številke: 8; 2; 4; 1);
- 15.0075 → 150075 (pomembne številke: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (pomembne številke: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (obstaja le ena pomembna številka: 3).
Upoštevajte: ničle znotraj pomembnega dela števila ne gredo nikamor. Nekaj podobnega smo že srečali, ko smo se učili pretvarjati decimalne ulomke v navadne (glej lekcijo “Decimale”).
Ta točka je tako pomembna in tukaj se tako pogosto delajo napake, da bom v bližnji prihodnosti objavil test na to temo. Bodite prepričani, da vadite! In mi, oboroženi s konceptom pomembnega dela, bomo pravzaprav nadaljevali s temo lekcije.
Množenje decimalk
Operacija množenja je sestavljena iz treh zaporednih korakov:
- Za vsak ulomek zapišite pomembnejši del. Dobili boste dve navadni celi števili - brez imenovalcev in decimalnih mest;
- Pomnožite te številke na poljuben primeren način. Neposredno, če so številke majhne, ali v stolpcu. Dobimo pomemben del želenega ulomka;
- Ugotovite, kje in za koliko števk se premakne decimalna vejica v prvotnih ulomkih, da dobite ustrezni pomembni del. Izvedite vzvratne premike za pomemben del, pridobljen v prejšnjem koraku.
Naj vas še enkrat spomnim, da se ničle na straneh pomembnega dela nikoli ne upoštevajo. Neupoštevanje tega pravila vodi do napak.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10.000.
Delamo s prvim izrazom: 0,28 · 12,5.
- Izpišimo pomembnejše dele za števila iz tega izraza: 28 in 125;
- Njun zmnožek: 28 · 125 = 3500;
- Pri prvem faktorju je decimalna vejica premaknjena za 2 števki v desno (0,28 → 28), pri drugem pa še za 1 števko. Skupaj potrebujete premik v levo za tri števke: 3500 → 3500 = 3,5.
Zdaj pa poglejmo izraz 6.3 · 1.08.
- Zapišimo pomenske dele: 63 in 108;
- Njun zmnožek: 63 · 108 = 6804;
- Spet dva premika v desno: za 2 oziroma 1 števko. Skupaj - spet 3 števke v desno, tako da bo obratni premik 3 števke v levo: 6804 → 6,804. Tokrat ni ničel na koncu.
Prišli smo do tretjega izraza: 132,5 · 0,0034.
- Pomembnejši deli: 1325 in 34;
- Njihov zmnožek: 1325 · 34 = 45.050;
- V prvem ulomku se decimalna vejica premakne v desno za 1 števko, v drugem pa kar za 4. Skupaj: 5 v desno. Premaknemo za 5 v levo: 45.050 → .45050 = 0.4505. Ničlo smo odstranili na koncu in jo dodali spredaj, da ne ostane »gola« decimalna vejica.
Naslednji izraz je: 0,0108 · 1600,5.
- Zapišemo pomenske dele: 108 in 16 005;
- Pomnožimo jih: 108 · 16.005 = 1.728.540;
- Preštejemo števila za decimalno vejico: v prvi številki je 4, v drugi 1. Skupaj je spet 5. Imamo: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Na koncu je bila »odvečna« ničla odstranjena.
Na koncu še zadnji izraz: 5,25 10.000.
- Pomembni deli: 525 in 1;
- Pomnožimo jih: 525 · 1 = 525;
- Prvi ulomek je premaknjen za 2 števki v desno, drugi ulomek pa za 4 števke v levo (10.000 → 1,0000 = 1). Skupaj 4 − 2 = 2 števki na levi strani. Izvedemo obratni premik za 2 števki v desno: 525, → 52.500 (morali smo dodati ničle).
Opomba v zadnjem primeru: ker se decimalna vejica giblje v različne smeri, se skupni premik ugotovi z razliko. To je zelo pomembna točka! Tu je še en primer:
Razmislite o številih 1,5 in 12 500. Imamo: 1,5 → 15 (premik za 1 v desno); 12.500 → 125 (premik 2 v levo). »Stopimo« 1 števko v desno in nato 2 v levo. Posledično smo stopili 2 − 1 = 1 števko v levo.
Decimalno deljenje
Delitev je morda najbolj kompleksna operacija. Seveda lahko tukaj delujete po analogiji z množenjem: razdelite pomembne dele in nato "premaknite" decimalno vejico. Toda v tem primeru obstaja veliko tankosti, ki zanikajo morebitne prihranke.
Zato si poglejmo univerzalni algoritem, ki je nekoliko daljši, a veliko bolj zanesljiv:
- Pretvori vse decimalne ulomke v navadne ulomke. Z malo vaje vam bo ta korak vzel nekaj sekund;
- Dobljene ulomke razdelite na klasičen način. Z drugimi besedami, pomnožite prvi ulomek z "obrnjenim" drugim (glejte lekcijo "Množenje in deljenje številskih ulomkov");
- Če je mogoče, rezultat znova predstavite kot decimalni ulomek. Tudi ta korak je hiter, saj je imenovalec pogosto že potenca števila deset.
Naloga. Poiščite pomen izraza:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Razmislimo o prvem izrazu. Najprej pretvorimo ulomke v decimalke:
Naredimo enako z drugim izrazom. Števec prvega ulomka bo spet faktoriziran:
V tretjem in četrtem primeru je pomembna točka: ko se znebimo decimalnega zapisa, se pojavijo zmanjšljivi ulomki. Vendar tega zmanjšanja ne bomo izvedli.
Zadnji primer je zanimiv, ker je v števcu drugega ulomka praštevilo. Tukaj preprosto ni ničesar, kar bi bilo treba faktorizirati, zato menimo, da gre naravnost naprej:
Včasih deljenje povzroči celo število (govorim o zadnjem primeru). V tem primeru se tretji korak sploh ne izvede.
Poleg tega se pri deljenju pogosto pojavijo "grdi" ulomki, ki jih ni mogoče pretvoriti v decimalke. To razlikuje deljenje od množenja, kjer so rezultati vedno predstavljeni v decimalni obliki. Seveda se tudi v tem primeru zadnji korak ne izvede.
Bodite pozorni tudi na 3. in 4. primer. V njih namerno ne krajšamo navadni ulomki, izpeljan iz decimalnih mest. V nasprotnem primeru bo to zapletlo inverzno nalogo – končni odgovor bo ponovno predstavljen v decimalni obliki.
Ne pozabite: osnovna lastnost ulomka (kot vsako drugo pravilo v matematiki) sama po sebi ne pomeni, da jo je treba uporabljati povsod in vedno, ob vsaki priložnosti.
V tem članku si bomo ogledali to pomembno dejanje z decimalkami, kot deljenje. Najprej oblikujmo splošna načela, nato pa si bomo ogledali, kako pravilno delimo decimalne ulomke po stolpcih tako z drugimi ulomki kot z naravnimi števili. Nato bomo analizirali deljenje navadnih ulomkov na decimalne in obratno, na koncu pa si bomo pogledali, kako pravilno delimo ulomke, ki se končajo na 0, 1, 0, 01, 100, 10 itd.
Tu bomo vzeli samo primere s pozitivnimi ulomki. Če je pred ulomkom minus, potem morate za delo z njim preučiti gradivo o delitvi racionalnih in realnih števil.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vsi decimalni ulomki, tako končni kot periodični, so le posebna oblika zapisa navadnih ulomkov. Zato zanje veljajo enaka načela kot za njihove ustrezne navadne ulomke. Tako celoten postopek deljenja decimalnih ulomkov zmanjšamo na njihovo zamenjavo z navadnimi, čemur sledi izračun po nam že znanih metodah. Vzemimo konkreten primer.
Primer 1
1,2 delite z 0,48.
rešitev
Zapišimo decimalne ulomke kot navadne ulomke. Dobili bomo:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Torej moramo 6 5 deliti z 12 25. Štejemo:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Iz nastalega nepravilni ulomek lahko izberete cel del in dobite mešano število 2 1 2 ali pa ga predstavite kot decimalni ulomek, tako da ustreza prvotnim številom: 5 2 = 2, 5. O tem, kako to storiti, smo že pisali prej.
odgovor: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Primer 2
Izračunaj, koliko bo 0 , (504) 0 , 56.
rešitev
Najprej moramo periodični decimalni ulomek pretvoriti v navadni ulomek.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Po tem bomo tudi končni decimalni ulomek pretvorili v drugo obliko: 0, 56 = 56.100. Zdaj imamo dve številki, s katerima bomo zlahka opravili potrebne izračune:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111 : 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Imamo rezultat, ki ga lahko pretvorimo tudi v decimalno obliko. Če želite to narediti, delite števec z imenovalcem po metodi stolpca:
odgovor: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Če smo v primeru deljenja naleteli na neperiodične decimalne ulomke, bomo ravnali nekoliko drugače. Ne moremo jih skrčiti na običajne navadne ulomke, zato jih moramo pri deljenju najprej zaokrožiti na določeno števko. To dejanje je treba izvesti z dividendom in deliteljem: zaradi natančnosti bomo tudi zaokrožili obstoječi končni ali periodični ulomek.
Primer 3
Ugotovite, koliko je 0,779... / 1,5602.
rešitev
Najprej oba ulomka zaokrožimo na najbližjo stotino. Tako preidemo od neskončnih neperiodičnih ulomkov do končnih decimalnih ulomkov:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Lahko nadaljujemo z izračuni in dobimo približen rezultat: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78.100: 156.100 = 78.100 100.156 = 78.156 = 1 2 = 0, 5.
Natančnost rezultata bo odvisna od stopnje zaokroževanja.
odgovor: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Kako naravno število delimo z decimalko in obratno
Pristop deljenja je v tem primeru skoraj enak: končne in periodične ulomke zamenjamo z navadnimi, neskončne neperiodične pa zaokrožimo. Začnimo s primerom deljenja z naravnim številom in decimalnim ulomkom.
Primer 4
Deli 2,5 s 45.
rešitev
Zmanjšajmo 2, 5 na obliko navadnega ulomka: 255 10 = 51 2. Nato ga moramo le še deliti z naravnim številom. To že vemo:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Če rezultat pretvorimo v decimalni zapis, dobimo 0,5 (6).
odgovor: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Metoda dolgega deljenja ni dobra samo za naravna števila. Po analogiji ga lahko uporabimo za ulomke. Spodaj navajamo zaporedje dejanj, ki jih je treba izvesti za to.
Definicija 1
Če želite razdeliti stolpec decimalnih ulomkov z naravnimi števili, potrebujete:
1. Decimalnemu ulomku na desni dodamo nekaj ničel (za deljenje jih lahko dodamo poljubno število).
2. Z algoritmom deli decimalni ulomek z naravnim številom. Ko se deljenje celotnega dela ulomka konča, v dobljeni količnik vstavimo vejico in štejemo naprej.
Rezultat takega deljenja je lahko končni ali neskončni periodični decimalni ulomek. Odvisno je od ostanka: če je nič, bo rezultat končen, in če se ostanki začnejo ponavljati, bo odgovor periodični ulomek.
Vzemimo za primer več težav in poskusimo izvesti te korake z določenimi številkami.
Primer 5
Izračunajte, koliko bo 65, 14 4.
rešitev
Uporabljamo metodo stolpcev. Če želite to narediti, ulomku dodajte dve ničli in dobite decimalni ulomek 65, 1400, ki bo enak prvotnemu. Zdaj napišemo stolpec za deljenje s 4:
Dobljeno število bo rezultat, ki ga potrebujemo pri deljenju celega dela. Postavimo vejico, jo ločimo in nadaljujemo:
Dosegli smo ostanek nič, zato je postopek deljenja končan.
odgovor: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Primer 6
164,5 delite s 27.
rešitev
Najprej razdelimo ulomek in dobimo:
Dobljeno število ločite z vejico in nadaljujte z deljenjem:
Vidimo, da so se ostanki začeli periodično ponavljati, v količniku pa so se začela izmenjevati števila devet, dve in pet. Tu se bomo ustavili in odgovor zapisali v obliki periodičnega ulomka 6, 0 (925).
odgovor: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
To delitev lahko skrčimo na postopek iskanja količnika decimalnega ulomka in naravnega števila, ki je že opisan zgoraj. Da bi to naredili, moramo dividendo in delitelj pomnožiti z 10, 100 itd., tako da se delitelj spremeni v naravno število. Nato izvedemo zgoraj opisano zaporedje dejanj. Ta pristop je mogoč zaradi lastnosti deljenja in množenja. Zapisali smo jih takole:
a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) in tako naprej.
Oblikujmo pravilo:
Definicija 2
Če želite en zadnji decimalni ulomek deliti z drugim:
1. Vejico v dividendu in delitelju premaknite v desno za toliko števk, da delitelj spremenite v naravno število. Če v dividendi ni dovolj predznakov, ji na desni strani dodamo ničle.
2. Nato ulomek delite s stolpcem z dobljenim naravnim številom.
Poglejmo konkreten problem.
Primer 7
7,287 delite z 2,1.
Rešitev: Da bo delitelj naravno število, moramo decimalno mesto premakniti za eno mesto v desno. Tako smo prešli na deljenje decimalnega ulomka 72, 87 z 21. Dobljena števila zapišimo v stolpec in izračunajmo
odgovor: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Primer 8
Izračunajte 16.30.021.
rešitev
Vejico bomo morali prestaviti za tri mesta. V delitelju za to ni dovolj števk, kar pomeni, da morate uporabiti dodatne ničle. Mislimo, da bo rezultat:
Vidimo periodično ponavljanje ostankov 4, 19, 1, 10, 16, 13. V količniku se ponavljajo 1, 9, 0, 4, 7 in 5. Potem je naš rezultat periodični decimalni ulomek 776, (190476).
odgovor: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Metoda, ki smo jo opisali, vam omogoča, da storite nasprotno, to je, da naravno število delite s končnim decimalnim ulomkom. Poglejmo, kako se to naredi.
Primer 9
Izračunaj, koliko je 3 5, 4.
rešitev
Očitno bomo morali vejico prestaviti na eno desno mesto. Po tem lahko nadaljujemo z deljenjem 30, 0 s 54. Zapišimo podatke v stolpec in izračunajmo rezultat:
Ponavljanje ostanka nam da končno število 0, (5), ki je periodični decimalni ulomek.
odgovor: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Kako deliti decimalke s 1000, 100, 10 itd.
V skladu z že preučenimi pravili za deljenje navadnih ulomkov je deljenje ulomka na desetine, stotine, tisoče podobno množenju z 1/1000, 1/100, 1/10 itd. Izkazalo se je, da je za izvedbo delitve , v tem primeru Preprosto premaknite vejico na zahtevano število števk. Če v številki ni dovolj vrednosti za prenos, morate dodati zahtevano število ničel.
Primer 10
Torej, 56, 21: 10 = 5, 621 in 0, 32: 100.000 = 0, 0000032.
V primeru neskončnih decimalnih ulomkov ravnamo enako.
Primer 11
Na primer, 3, (56): 1000 = 0, 003 (56) in 593, 374 ...: 100 = 5, 93374 ....
Kako deliti decimalke z 0,001, 0,01, 0,1 itd.
Z istim pravilom lahko tudi razdelimo ulomke na navedene vrednosti. To dejanje bo podobno množenju s 1000, 100 oziroma 10. Da bi to naredili, premaknemo vejico na eno, dve ali tri števke, odvisno od pogojev problema, in dodamo ničle, če v številu ni dovolj števk.
Primer 12
Na primer, 5,739: 0,1 = 57,39 in 0,21: 0,00001 = 21.000.
To pravilo velja tudi za neskončne decimalne ulomke. Svetujemo vam le, da ste pozorni na periodo ulomka, ki se pojavi v odgovoru.
Torej, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167), ker potem, ko smo vejico v decimalnem ulomku 7, 5716716716 ... premaknili za dve mesti v desno, smo dobili 757, 167167 ....
Če imamo v primeru neperiodične ulomke, potem je vse bolj preprosto: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....
Kako deliti mešano število ali ulomek z decimalko in obratno
Tudi to dejanje reduciramo na operacije z navadnimi ulomki. Če želite to narediti, morate decimalna števila nadomestiti z ustreznimi navadnimi ulomki, mešano število pa zapisati kot nepravilni ulomek.
Če delimo neperiodični ulomek z navadnim ali mešanim številom, moramo storiti nasprotno, tako da navadni ulomek ali mešano število nadomestimo z ustreznim decimalnim ulomkom.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
