Posplošitev pojma eksponent - Hipermarket znanja. Posplošitev pojma eksponent - Hipermarket znanja Kontrola domače naloge

Kar zmoreš dobro, ne pozabi, česar pa ne zmoreš, se nauči.
Od Vladimirja Monomaha.

Cilji lekcije:

Poučna
- sistematizirati znanje o obravnavani temi;
- preverite raven preučenega gradiva;
- uporabiti teoretično snov za reševanje problemov.
Poučna
- gojiti občutek odgovornosti za opravljeno delo;
- gojiti kulturo govora, natančnost, pozornost.
Razvojni
- razvijati miselno dejavnost študentov;
- vzbujati zanimanje za predmet;
- razvijati radovednost.

Lekcija o ponavljanju in posploševanju gradiva.

Oprema za pouk: miza za grafoskop.

Oblika lekcije: Na tabli je tema lekcije, epigraf.

Priprava na lekcijo: Nekaj dni vnaprej so bila na stojnici objavljena vprašanja za pregled.

Definicija stopnje s celim eksponentom
Lastnosti stopnje s celim eksponentom.
Določanje stopnje z delnim eksponentom.
Določanje stopnje z delnim negativnim eksponentom.
Določitev stopnje s katerim koli indikatorjem.
Lastnosti stopnje s poljubnim eksponentom.

Med poukom

1. Organizacijski trenutek.

2. Domača naloga.Št. 1241, 1242, 1244a, 1245b.

3. Kontrola domače naloge.

Izvajamo medsebojno preverjanje. Rešitve domačih nalog pokažem preko grafoskopa.

št. 1225b, c; 1227 a, c; 1229a,c;1232c,d;1233d.

Rešitev domače naloge.

B) 2 1,3 * 2 -0,7 * 4 0,7 = 2 0,6 * (2 2) 0,7 =2 0,6 * 2 1,4 = 2 2 =4.

B) 49 -2\3 * 7 1\12 * 7 -3\4 = (7 2) -2\3 * 7 1\12 * 7 -3\4 = 7 -4\3 \+1\12 - 3\4 = 7 (-16 +1- 9)\12 = 7 -24\12 = 7 -2 = 1\49.

A) (27 * 64) 1\3 = 27 1\3 * 64 1\3 = (3 3) 1\3 * (4 3) 1\3 = 3 * 4= 12.

B) (1\36 * 0,04) -1\2 = (6 -2 * (0,2) 2) -1\2 = (6 -2) -1\2 * ((0,2) 2 ) -1\2 = 6 * 0,2 -1 = 6 * 10 \ 2 = 30.

A) = = x 1-3\5 = x 2\5.

B) = = = c 8\3 -2\3 = c 2 .

B) (d 1\2 -1) * (d 1\2 +1)= d -1

D) (p 1\3 - q 1\3) * (p 1\3 + (pq) 1\3 + q 2\3) = p- q.

G) = = .

Odsev. Določite število napak.

4. Usmerjenost v gradivo, ki se preučuje.

Fantje, katero temo smo preučevali zadnjih nekaj lekcij?

5. Motivacija. Danes bomo izvedli lekcijo o ponavljanju in posploševanju znanja na temo "Posploševanje pojma diplome." Fantje, bodite pozorni na naloge, ki jih bomo reševali pri pouku, podobne lahko najdete v testih in anketah.

6. Katere lastnosti stopinj ste uporabili pri domačih nalogah? Spomnimo se teorije.

Dokončaj povedi:

7. Teoretično ste vešči, zdaj pa je treba preveriti praktični del.

Svetlobni narek.

(Za zaprto tablo sta 2 učenca.) Fantje opravijo nalogo s karbon papirjem, nato jo preverimo. Grafoskop.

Možnost 1	Možnost 2
Izraz izrazite kot potenco z racionalnim eksponentom.
; ; .	; ; .
odgovori. 2 1\2 ; x 2\3; in 4\5.	16 1\5; 6 1\3; in 3\2.
Predstavite izraz kot koren števila ali izraza
7 3\5; 5x 1\3; (5a) 1\3	5 -1\4 ; 7u 2\5; (6x) 2\5.
odgovori. ; 5; .	; 7;
Izračunaj
9 1\2 ; (3)	1. 16 1\2 (4)
8 2\3 (4)	2. 81 3\4 (27)
2 -2 * 16 1\2 (1)	3. 3 -2 * 81 1\4 (1\3).

8. Zdaj pa prisluhnimo koščku zgodovine. Zgodovinska referenca.

Predstavljajte si, da ste v Diamantnem skladu naše države. In radi bi izvedeli več o diamantih. To bomo storili v razredu.

1. vaja.

Izvedite izračune. Zapišite črke, povezane z odgovori, ki jih najdete v tabelah.

B 49 1\2 = 7	Y 81 0,5 = 9
S 32 1\5 = 2	C 8 2\3 = 4
E 1000 1\3 = 10	H 0 0,2 = 0
P 0,0016 1\4 = 0,2	L 1 -0,6 = 1
In 16 - 1\2 = 0,25	Z 16 -0,25 = 0,5
O (8\27) 1\3 = 2\3	D 16 3\4 = 8
M (5) 0,25 = 1,5	A 25 1,5 =125

Ime

kaj pomeni v prevodu

0	10	0.2	2\3	7	10	8	0.25	1, 5	2	9
n	E	p	O	B	E	D	IN	M	Y	Y

in odraža eno od njegovih glavnih lastnosti - najvišjo trdoto.

Naloga 2.

Med napisanimi izrazi v tabeli poišči in prečrtaj nesmiselne. Za preostale izraze poiščite enaka števila, zapisana na diamantnih risbah. Prazne dele tabele dopolni s številkami in črkami.

Francoska beseda __briljanten_______________ (v ruskem črkovanju __diamond______________________) v prevodu pomeni »briljanten« in se uporablja za diamante, ki so bili brušeni in polirani. Ta tretma vam omogoča, da dobite mističen sijaj in čudovito igro svetlobe.

Naloga 3.

A) Izpolni tabelo

№	Izraz	Niz veljavnih vrednosti za spremenljivko	Besede
1.	X 5		arena
6.	(x) -5,1	(- ; 0)	območje

B) Slika prikazuje popoln diamantni brus, ki ima obliko poliedra s 57 ploskvami. To optimalno obliko in velikost so pridobili v dvajsetem stoletju, zahvaljujoč razvoju geometrijske optike.

Ugotovite, kako se imenujejo posamezni deli takšnega diamanta. Z uporabo informacij iz tabele in slike:

Naloga 4.

A) Poenostavite izraze:

B) Poiščite pomene izrazov

c) Z najdenimi odgovori zapolnite praznine v besedilu. Besede napiši v pravilnih primerih.

Teža dragih kamnov se meri v karatih: 1 karat = m 1 0,2 g.

Diamanti, ki tehtajo več kot m 2 53 karatov, dobijo svoja imena.

Največji dragi kamni so shranjeni v diamantnem skladu države, ki se nahaja v moskovskem Kremlju.

Eden najbolj znanih diamantov je diamant

Potem sem vstopil

Kot odkupnina za smrt

Najdeno je bilo tudi v

- "morje svetlobe". Diamant je bil večkrat ukraden in je končal v različnih državah in pri različnih vladarjih.

Leta 1773 ga je pridobil favorit

Diamant je bil vstavljen v rusko suvereno žezlo.

Naloga 5.

A) Poenostavite izraze

B) Naredite izračune

1000 2\3 * 125 1\3 + (1\8) -4\3 + 16 0,25 * 49 0.5 = 530

B) Izpolnite prazna mesta v besedilu:

Dolgo časa je bil glavni kraj za rudarjenje diamantov Indija, v začetku dvajsetega stoletja pa so odkrili nahajališča v Južni Afriki. Tam so leta 1905 v enem od rudnikov našli največji diamant, ki je tehtal 3106 karatov. Ime je dobil po lastniku rudnika.

Cullinan 11, drugi največji rez diamanta, je krasil krono kraljice Viktorije.

Med brušenjem je bil ta diamant razrezan na 9 delov. Največji kos, ki je tehtal 530 karatov, so poimenovali "zvezda Afrike". Ta diamant, ki ima 74 faset, je začel krasiti britansko suvereno žezlo.

Povzemimo lekcijo.

Kaj je bil cilj na začetku lekcije?
Ali ste dosegli cilje lekcije?
Kaj novega ste se naučili v lekciji?
Ocenjujemo lekcijo.

Priročnik vsebuje samostojna in preizkusna dela pri vseh najpomembnejših temah pri pouku matematike za 10.–11. razred. Dela so sestavljena iz 6 možnosti treh težavnostnih stopenj. Didaktična gradiva so namenjena organiziranju diferenciranega samostojnega dela študentov.

Primeri.
V škatli je 10 žogic, od katerih so 3 bele. Eno žogico naenkrat se zaporedoma odstrani iz škatle, dokler se ne pojavi bela žogica. Poiščite verjetnost, da se pojavi bela krogla.

Trije strelci streljajo na isto tarčo po 2-krat. Znano je, da je verjetnost zadetka za vsakega strelca 0,5 in ni odvisna od rezultatov drugih strelcev in prejšnjih strelov. Ali je mogoče reči
z verjetnostjo 0,99, da bo vsaj en strel zadel tarčo?
z verjetnostjo 0,5, da bo vsak strelec vsaj enkrat zadel tarčo?

VSEBINA
Trigonometrija
S-1. Definicija in lastnosti trigonometričnih funkcij. Stopinje in radianske mere kota
S-2. Trigonometrične identitete
S-3. Redukcijske formule. Adicijske formule
S-4. Formule dvojnega in polovičnega kota
S-5. Trigonometrične formule za pretvorbo vsote v zmnožek in zmnožka v vsoto
S-6*. Dodatne trigonometrične naloge (samostojna domača naloga)
K-1. Pretvarjanje trigonometričnih izrazov
S-7. Splošne lastnosti funkcij. Transformacije funkcijskih grafov
S-8. Pariteta in periodičnost funkcij
S-9. Monotonost funkcij. Ekstremi C-10*. Raziskave funkcij. Harmonična nihanja (domače vaje)
K-2. Trigonometrične funkcije
S-11. Inverzne trigonometrične funkcije __
S-12*. Uporaba lastnosti inverznih trigonometričnih funkcij (samostojna domača naloga)
S-13. Najenostavnejše trigonometrične enačbe
S-14. Trigonometrične enačbe
S-15. Izbira korenin v trigonometričnih enačbah. Sistemi trigonometričnih enačb
S-16*. Metode reševanja trigonometričnih enačb (samostojna domača naloga)
S-17*. Sistemi trigonometričnih enačb (samostojna domača naloga)
S-18. Najenostavnejše trigonometrične neenakosti
S-19*. Metode reševanja trigonometričnih neenačb (samostojna domača naloga)
K-3. Trigonometrične enačbe, neenačbe, sistemi
Algebra
S-20. Koren n in njegove lastnosti
S-21. Iracionalne enačbe
S-22. Iracionalne neenakosti. Sistemi iracionalnih enačb
S-23*. Metode reševanja iracionalnih enačb, neenačb, sistemov (samostojna domača naloga)
S-24. Posplošitev pojma diploma
K-4. Moči in korenine
S-25. Eksponentne enačbe. Sistemi eksponentnih enačb
S-26. Eksponentne neenakosti
S-27*. Metode reševanja eksponentnih enačb in neenačb (samostojna domača naloga)
S-28*. Eksponentne potenčne enačbe in neenačbe (samostojna domača naloga)
K-5. Eksponentna funkcija
S-29. Logaritem. Lastnosti logaritmov
S-30. Logaritemske enačbe in sistemi
S-31*. Uporaba logaritmov pri reševanju transcendentnih enačb in sistemov (samostojna domača naloga)
S-32. Logaritemske neenakosti
S-33*. Metode reševanja logaritemskih enačb, neenačb, sistemov (samostojna domača naloga)
K-6. Logaritemska funkcija
S-34. Posplošitev koncepta modula. Enačbe in neenačbe z modulom
Začetek analize
S-35. Računanje limitov številskih zaporedij in funkcij. Kontinuiteta delovanja
S-36. Opredelitev derivata. Najenostavnejša pravila za izračun izvedenih finančnih instrumentov
S-37. Odvodi trigonometričnih in kompleksnih funkcij
S-38. Geometrični in mehanski pomen izpeljanke
K-7. Izpeljanka
S-39. Preučevanje funkcije za monotonost in ekstreme
S-40*. Dodatni študij funkcije (domače samostojno delo)
S-41*. Risanje grafov funkcij (domače vaje)
S-42. Največja in najmanjša vrednost funkcije. Ekstremni izzivi
S-43*. Izbrani problemi diferencialnega računa (samostojna domača naloga)
K-8. Uporaba derivata
S-44. Protiizpeljanka. Izračun antiizpeljank
S-45. Določen integral. Računanje ploščin z uporabo določenega integrala
S-46. Uporaba antiizpeljave in integrala
S-47*. Izbrani problemi integralnega računa (samostojna domača naloga)
K-9. Antiizpeljava in integral
S-48. Odvod in protiodvod eksponentne funkcije
S-49. Odvod in protiodvod logaritemske funkcije
S-50. Funkcija moči
S-51*. Dodatni problemi matematične analize (samostojna domača naloga)
K-10. Odvod in protiodvod eksponentnih, logaritemskih in potenčnih funkcij
Kompleksna števila
S-52. Koncept kompleksnega števila. Operacije s kompleksnimi števili v algebraični obliki
S-53. Modul in argument kompleksnega števila. Operacije s kompleksnimi števili v geometrijski obliki
S-54. Trigonometrična oblika kompleksnega števila. Moivrejeva formula
S-55*. Dodatne naloge s kompleksnimi števili (samostojna domača naloga)
K-11. Kompleksna števila
Kombinatorika
S-56. Množice. Set Operations
S-57. Osnovne formule kombinatorike. Najenostavnejši kombinatorični problemi
S-58. Binomski izrek. Lastnosti binomskih koeficientov
S-59. Kombinatorni problemi. Pravilo vsote in pravilo zmnožka
S-60*. Dodatne naloge pri kombinatoriki (samostojna domača naloga)
K-12. Elementi kombinatorike
Teorija verjetnosti
S-61. Klasična verjetnost. Uporaba kombinatoričnih formul pri izračunu verjetnosti
S-62. Verjetnostni izrek seštevanja in množenja
S-63. Verjetnost, da se zgodi vsaj eden od neodvisnih dogodkov. Bernoullijeva shema
S-64*. Dodatna poglavja teorije verjetnosti (samostojna domača naloga)
K-13. Elementi teorije verjetnosti
ODGOVORI
Odgovori na teste
Odgovori na samostojni dom
delo
LITERATURA.

Brezplačno prenesite e-knjigo v priročni obliki, si oglejte in preberite:
Prenesite knjigo Samostojno in testno delo o algebri in načelih analize, razredi 10-11, Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2013 - fileskachat.com, hiter in brezplačen prenos.

Lekcija in predstavitev na temo: "Posplošitev pojmov o eksponentih"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 11. razred
Algebraične naloge s parametri, 9.–11
Programsko okolje "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Fantje, v tej lekciji bomo posplošili znanje o eksponentih. Potence lahko izračunamo s poljubnim celim eksponentom. Kaj pa, če eksponent ni celo število? In kakšna je povezava med koreni in potenčnimi funkcijami necelega eksponenta?

Malo ponovimo, obravnavajmo število oblike $a^n$.
1. Če je $n=0$, potem je $a^n=a^0=1$.
2. Če je $n=1$, potem je $a^n=a^1=a$.
3. Če je $n=2,3,4,5$… potem je $a^n=a*a*a…*a$ (n faktorjev).
4. Če je $n=1,2,3,4,5$… in $a≠0$, potem je $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Zgornja pravila lahko uporabite tudi kot opomnik!

V vseh zgoraj predstavljenih pravilih je eksponent celo število. Kaj storiti v primeru delnega eksponenta?
Kaj je število $2^(\frac(2)(3))$ in kako delati z njim? Pri delu s takimi potencami je nujno, da se ohranijo vse lastnosti za cele potence. Na primer, pri povišanju stopnje na potenco so bili indikatorji pomnoženi.

Na primer: $((2^(\frac(2)(3))))^3=2^(\frac(2)(3)*3)=2^2$.
Predstavimo naslednjo zamenjavo simbola: $a=2^(\frac(2)(3))$.
Potem: $a^3=2^2$.
Dobimo: $a=\sqrt(2^2)$.
To pomeni, da lahko izvirni izraz predstavimo v tej obliki: $2^(\frac(2)(3))=\sqrt(2^2)$.

Opredelitev. Naj imamo navaden ulomek $\frac(a)(b)$, $b≠1$ in $x≥0$, potem je $x^(\frac(a)(b))=\sqrt[b] (x ^a)$.

Na primer: $3^(\frac(1)(3))=\sqrt(3)$,
$5^(\frac(2)(5))=\sqrt(5^2)$.

Pomnožimo dve števili z enakimi osnovami, a različnima močema:
$a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=\sqrt(a^2)*\sqrt(a)=\sqrt(a^8)*\ sqrt(a^3)=\sqrt(a^(11))=a^(\frac(11)(12))$.
Upoštevamo pa tudi: $\frac(2)(3)+\frac(1)(4)=\frac(8+3)(12)=\frac(11)(12)$.
To je: $a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=a^(\frac(2)(3)+\frac(1)(4) )=a^(\frac(11)(12))$.
Seštevanje ulomkov je veliko lažje kot delo z radikali (eksponente morate spraviti v isto obliko in nato samo pomnožiti). Zato je običajno preiti na potenčne funkcije z delnim eksponentom.

Primer.
Izračunajte:
a) $((27))^(\frac(1)(3))$.
b) $((32))^(\frac(3)(5))$.
c) $0^(\frac(5)(7))$.
d) $((-32))^(\frac(1)(5))$.
rešitev.
a) $((27))^(\frac(1)(3))=\sqrt(27)=3$.

B) $((32))^(\frac(3)(5))=\sqrt((32)^3)=((\sqrt(32)))^3=2^3=8$.

B) $0^(\frac(5)(7))=\sqrt(0^5)=((\sqrt(0)))^5=0^5=0$.

D) Iz pozitivnega števila lahko izluščimo le koren z ulomkom, fantje, poglejte našo definicijo. Naš izraz nima smisla.
Zdi se, da je $((-32))^(\frac(1)(5))=\sqrt(-32)=-2$ pravilen zapis, vendar si podrobneje oglejmo naš izraz: $((- 32))^ (\frac(1)(5))$=$((-32))^(\frac(2)(10))$=$\sqrt(((-32))^2)$ =$\sqrt (1024)=2$.
Dobili smo protisloven izraz, čeprav so bile vse operacije izvedene pravilno, glede na lastnosti in definicije. Zato so matematiki prepovedali dvigovanje negativnih števil na ulomke.

Fantje, zapomnite si: Pozitivna števila lahko dvignemo le na ulomke!

Opredelitev. Naj je podan navadni ulomek $\frac(a)(b)$, $b≠1$ in $х>0$, potem $x^(-\frac(p)(q))=\frac(1) (x ^(\frac(p)(q)))$.

Na primer: $2^(-\frac(1)(4))=\frac(1)(2^(\frac(1)(4)))=\frac(1)(\sqrt(2))$ .
$3^(-\frac(3)(5))=\frac(1)(3^(\frac(3)(5)))=\frac(1)(\sqrt(3^3))=\ frac(1)(\sqrt(27))$.

Vse lastnosti, ki smo jih srečali pri delu s potenčnimi števili, se ohranijo tudi pri racionalnih potencah, ponovimo lastnosti.

Naj sta nam dana pozitivna števila $a>0$ in $b>0$, x in y sta poljubni racionalni števili, potem velja naslednjih 5 lastnosti:
1. $a^x*a^y=a^(x+y)$.
2. $\frac(a^x)(a^y)=a^(x-y)$.
3. $((a^x)^y=a^(x*y)$.
4. $(a*b)^x=a^x*a^y$.
5. $((\frac(a)(b)))^x=\frac(a^x)(b^x)$.

Primer.
Poenostavite izraz: $\frac(\sqrt(x))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(\sqrt(y) ) (x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
rešitev.
Prepišimo števce v obliki potenčnih funkcij:
$\frac(x^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(y^ (\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Spravimo na skupni imenovalec:
$\frac(x^(\frac(1)(2))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))+y^(\frac( 1)(2))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))))((x^(\frac(1)(2))+y ^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2))))$ =$\frac(x-x^(\ frac(1)(2))*y^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))*x^(\frac(1)(2))+y) (x-y)$=$\frac(x+y)(x-y)$.

Primer.
Reši enačbe:
a) $\sqrt(x^4)=1$.
b) $x^(\frac(4)(5))=1$.
rešitev.
a) Dvignite obe strani enačbe na peto potenco:
$x^4=1$.
$x=±1$.

B) Naša enačba je zelo podobna prejšnjim. Če se premaknemo s pisanja korenov na potenčne funkcije, bo zapis enak, vendar velja upoštevati, da takoj dobimo potenčni izraz. Po definiciji je lahko število x le pozitivno, potem nam ostane en odgovor $x=1$.

Primer.
Rešite enačbo: $x^(-\frac(2)(5))+x^(-\frac(1)(5))-12=0$.
rešitev.
Predstavimo novo spremenljivko: $y=x^(-\frac(1)(5))$.
$y^2=((x^(-\frac(1)(5))))^2=x^(-\frac(2)(5))$.
Potem bo naša enačba dobila obliko navadne kvadratne enačbe: $y^2+y-12=0$.
Ko rešimo enačbo, dobimo dva korena: $y_1=-4$ in $y_2=3$.

Rešiti moramo samo dve enačbi: $x^(-\frac(1)(5))=-4$ in $x^(-\frac(1)(5))=3$.
Prva enačba nima korenin. Spomnimo se, da so potenčne funkcije z racionalnim eksponentom definirane samo za pozitivna števila.
Rešimo drugo enačbo:
$x^(-\frac(1)(5))=3$.
$\frac(1)(x^(\frac(1)(5)))=3$.
$x^(\frac(1)(5))=\frac(1)(3)$.
$\sqrt(x)=\frac(1)(3)$.
$x=(\frac(1)(3))^5=\frac(1)(243)$.

Fantje, pogledali smo dva primera reševanja iracionalnih enačb.

Naštejmo glavne metode za reševanje iracionalnih enačb.
1) Dvig obeh strani enačbe na enako potenco(pri uporabi te metode morate preveriti dobljene rešitve, saj se lahko pojavijo tuje rešitve).
2) Metoda zamenjave spremenljivke(uvedba novih spremenljivk).
3) Risanje funkcijskih grafov. Obe strani enačbe predstavimo kot funkciji, zgradimo njuna grafa in poiščemo presečišče grafov.

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

1. Izračunaj:
a) $(64)^(\frac(1)(3))$.
b) $(64)^(\frac(5)(6))$.
c) $(81)^(\frac(2)(3))$.
d) $((-317))^(\frac(3)(7))$.
2. Poenostavite izraz: $\frac(\sqrt(x))(x^(\frac(1)(3))-y^(\frac(1)(3)))-\frac(\sqrt( y ))(x^(\frac(1)(3))+y^(\frac(1)(3)))$.
3. Reši enačbo:
a) $\sqrt(x^2)=8$.
b) $x^(\frac(2)(3))=8$.
4. Rešite enačbo: $x^(-\frac(2)(3))-7x^(-\frac(1)(3))+10=0$.

Eden od perečih problemov sodobnih metod poučevanja v šoli je razvoj motivacije učencev. Povečanje duševne obremenitve pri pouku matematike nas spodbuja k razmišljanju o tem, kako ohraniti zanimanje učencev za snov, ki se preučuje, in njihovo aktivnost skozi celotno lekcijo. Poskrbeti moramo, da bo vsak učenec pri pouku delal aktivno in zavzeto. V tej situaciji učitelju na pomoč priskočijo igričarske tehnologije - sodobna in priznana metoda poučevanja in vzgoje, ki ima izobraževalno, razvojno in vzgojno funkcijo, ki deluje v organski enotnosti. Igralne oblike poučevanja pri pouku matematike omogočajo učinkovito organizacijo interakcije med učiteljem in učenci. V igro se vključijo tudi najbolj pasivni učenci. Igralne dejavnosti motivirajo učenje, med igro dobi vsak učenec možnost samostojnega razmišljanja, razvijanja kreativnega mišljenja in reševanja različnih problemov (torej uporabe pridobljenega znanja v konkretni življenjski situaciji).

Prenesi:

Predogled:

Občinska proračunska izobraževalna ustanova Srednja šola št. 24 s poglobljenim študijem posameznih humanističnih predmetov poimenovana po. I. S. Turgenjev, Orel

Metodološki razvoj lekcije

Algebra in začetki analize

11. razred

Učbenik: Mordkovich A.G. Algebra in začetki analize. 10 -11 razredi: Učbenik. Za splošno izobrazbo institucije. – M.: Mnemosyne, 2013. – 336 str.: ilustr. (osnova)

Učiteljica matematike: Moreva Oksana Vladimirovna

Povzetek dela: Eden od perečih problemov sodobnih metod poučevanja v šoli je razvoj motivacije učencev. Povečanje duševne obremenitve pri pouku matematike nas spodbuja k razmišljanju o tem, kako ohraniti zanimanje učencev za snov, ki se preučuje, in njihovo aktivnost skozi celotno lekcijo. Poskrbeti moramo, da bo vsak učenec pri pouku delal aktivno in zavzeto. V tej situaciji učitelju na pomoč priskočijo igričarske tehnologije - sodobna in priznana metoda poučevanja in vzgoje, ki ima izobraževalno, razvojno in vzgojno funkcijo, ki deluje v organski enotnosti. Igralne oblike poučevanja pri pouku matematike omogočajo učinkovito organizacijo interakcije med učiteljem in učenci. V igro se vključijo tudi najbolj pasivni učenci. Igralne dejavnosti motivirajo za učenje, med igro dobi vsak učenec možnost samostojnega razmišljanja, razvijanja ustvarjalnega mišljenja in reševanja različnih problemov (torej uporabe pridobljenega znanja v konkretni življenjski situaciji).

Zemljevid tehnološke lekcije

Polno ime (polno ime)		Moreva Oksana Vladimirovna
Kraj dela		MBOU - srednja šola št. 24 s poglobljenim študijem posameznih humanističnih predmetov poimenovana po. I. S. Turgenjev, Orel
Naziv delovnega mesta		učiteljica
Postavka		Algebra in začetki analize
Razred		11. razred
Tema in številka lekcije v temi		Posplošitev pojma eksponent (lekcija 2)
Osnovna vadnica		Mordkovich A.G. Algebra in začetki analize. 10 -11 razredi: Učbenik. Za splošno izobrazbo institucije. – M.: Mnemosyne, 2013. – 336 str.: ilustr. (osnova)
Namen lekcije		Razviti sposobnost preoblikovanja izrazov, ki vsebujejo potence z ulomkom
Naloge	izobraževalni	Posodabljanje osnovnih znanj o diplomi z ulomkom Urjenje spretnosti pretvarjanja izrazov, ki vsebujejo potence z ulomkim eksponentom
	razvoju	Razvoj: Operativno razmišljanje, usmerjeno v izbiro optimalnih rešitev; Spomin in pozornost; Sposobnost uporabe pridobljenega znanja pri reševanju problemov.
	izobraževalni	Oblikovanje veščin skupinskega dela; Spodbujanje samostojnosti in odgovornosti študentov do sebe in drugih članov tima; Razvijanje sposobnosti kritičnega in objektivnega vrednotenja lastnega dela in dela prijatelja.
Vrsta lekcije		Lekcija - poslovna igra "Osvajanje vrha"
Oblike študentskega dela		Frontalni, individualni, skupinski
Zahtevana tehnična oprema		Multimedijski projektor in zaslon; Akustični zvočniki; Računalniki.

Učni načrt

Organizacijski trenutek (2-3 min.)
Posodobitev osnovnega znanja (5 min.)
“Osvajanje vrhov” (30 min.)

Prva višina (samotest)
Druga višina (skupinsko delo)
Tretja višina (individualno diferencirano delo).

Povzetek (4-5 min.)
Domača naloga (2 – 3 min.)
Razmislek o doseganju cilja (1 min.)

Med predavanji:

Organiziranje časa

Lekcija se začne s poslušanjem odlomka iz pesmi V. V. Vysotskega »Samo gore so lahko boljše od gora« (diapozitiv 2).

Učiteljica: Vsak ima v življenju vrhove, ki si jih prizadeva osvojiti. Nekdo želi postati zdravnik, nekdo je športnik, nekdo pa morda želi postati alpinist. Navsezadnje je višina vedno privlačila ljudi. Spomnite se Ikarja, kajti njegove sanje so bile poleteti do Sonca. In uresničil je svoje sanje. Bistvo človeka je, da vedno doseže zastavljeni cilj. Epigraf naše lekcije so besede iz pesmi, ki ste jo poslušali.

Kako se čez dan iskri z večnim ognjem
Vrh smaragdnega ledu,
Ki je nisi nikoli osvojil.

V.V.Vysotsky

Danes v razredu vas vabim na ekspedicijo za osvajanje gorskih vrhov. Preleviti se morate v alpinistične športnike, ki osvajajo vrhunec znanja, imenovan »Stopnja z ulomljenim eksponentom« (slide 3).

Dejavnosti študentov:Učenci zapišejo temo učne ure v delovni zvezek.

Posodabljanje referenčnega znanja

Učiteljica: Pred vsakim od vas je karton - števec, v katerega boste beležili svoje uspehe pri osvajanju gorskih vrhov.(Priloga 1) . V zgornjo vrstico vpišite svoje ime in priimek. Na tej kartici boste zabeležili prehod vsake višine v točkah. Na koncu lekcije boste samostojno izračunali točke, ki ste jih dosegli za lekcijo, in ugotovili, ali vam je uspelo osvojiti »gorsko višino« ali ne.

Preverjanje opreme: "Kaj bomo vzeli s seboj na pot?"(diapozitiv 4).

Učiteljica: Kot veste, je pred odpravo vedno skrbna priprava, zato predlagam, da na začetku preverite svojo pripravljenost za osvojitev gorskega vrha.

1) Nadaljujte stavek:če je navaden ulomek (q ≠1) in a ≥ 0, potem pod a p/q razumem...

2) Izračunaj ustno: 16¼, 27 1/3, 81 ¼, 8 -1/3, (-144) ½ (Naloge lahko vnaprej napišete na tablo ali jih predstavite v obliki kartic)

3) Nadaljujte z naslednjimi lastnostmi (naloge lahko napišete na tablo vnaprej)

a s ∙ a t = …

a s : a t = …

(a s ) t = …

(ab)s = …

() s = ...

4) Izračunajte ustno:(Nalogo lahko napišete na tablo vnaprej)

Učiteljica: Torej, oprema je zbrana. V gore hodimo osvajat gorske vrhove.

Osvajanje vrhov

Prva višina "Snežni plaz"(samotest)

Učiteljica: Vse gore so tako lepe kot nevarne. Plezalce v gorah čaka veliko nevarnosti. Prva stvar, s katero se bomo morali soočiti v gorah, je snežni plaz (slide 5). Če želite priti izpod snega, morate opraviti naslednjo nalogo.

Dejavnosti študentov:Učenci dobijo nalogo za dve možnosti in jo samostojno opravijo v delovnem zvezku. (Vsak učenec dobi svojo nalogo na kartončku.) Dva učenca delata s hrbtne strani table. Naloga bo trajala 5–7 minut.

Možnost 1

Možnost 2

Izračunajte: 27 1/3 -25 -1/2 +16 3/4 -27 4/3
Poenostavite izraz: a) (125x-6 ) -2/3 ; b) (a∙a -1/3 ) 1/6 ∙a 8/9

Ob koncu dela učenci, ki so delali za tablo, tablo obrnejo stran. Njihovo delo preverja učitelj. Učenci, ki so delali v zvezkih, se samotestirajo. To pomeni, da vsak učenec samostojno preveri pravilnost svoje naloge na podlagi rešitve na tabli. Vsaka pravilno opravljena naloga je vredna 2 točki. Točke, dosežene za dokončanje »Snežnega plazu«, se zabeležijo v protikarti.

Minuta telesne vzgoje.

Učiteljica: Osvajanje gorskih vrhov je zelo težka naloga. Vsi smo se zelo utrujeni osvobajali sneženja. Predlagam, da si vzamete odmor.

telovadba "Daj, poskusi!":

Učitelj povabi učence, naj iztegnejo roko naprej z odprto dlanjo navzgor. Pritisnite palec v dlan. Preostale prste je treba obrniti navzven. Zdaj pritisnite mezinec. Se je zgodilo? Ne tako!

Druga višina "Ice Crack"(Delo v skupinah)

Učiteljica: Medtem ko smo počivali, se je na naši poti pojavila ledena razpoka (slide 6). Ali veste, kako plezalci ravnajo v takšni situaciji?

Primeri odgovorov učencev:Plezalci si pomagajo ... Da plezalca dvignejo iz razpoke, mu vržejo vrv ... Sodelujejo ... Zelo težko je priti ven sam, potrebuješ pomoč prijatelja…….

Učiteljica: Iz vaših odgovorov je razvidno, da morate za izhod iz ledene razpoke delovati kot ekipa. Naslednjo nalogo bomo torej vi in jaz opravili v skupinah.

Dejavnosti študentov:Razred je razdeljen v skupine po 4–5 ljudi. Vsaka skupina prejme kartonček z nalogami, pri katerih se je zmotila. Učenci jih morajo najti in popraviti. Naloga bo trajala 5–7 minut.

Kartica 1

Poiščite napake

(121 1/2 +128 5/7 -81 5/4 )∙125 -1/3 = (11+32-81∙3)∙(-5) = -200∙(-5) = 1000
p-q = (p 2/3 -q 2/3 )(p 2/3 +2p 1/3 q 1/3 + q 2/3 )

kartica 2

Poiščite napake

Kartica 3

Poiščite napake

(x 1/4 +1) (x 1/4 -1)(x 1/2 -1) = (x 1/4 -1) 2 (x 1/2 -1) = (x 1/2 -1) )(x 1/2 -1) = (x 1/2 -1) 2
(-625) -1/4 = 625 1/4 = 5

Kartica 4

Poiščite napake

Ob koncu dela učitelji učitelju poročajo o napakah, ki so jih našli in odpravili. Učitelj preveri pravilnost naloge. Za vsako odpravljeno napako se vsakemu članu skupine dodeli 2 točki. Točke, dosežene za dokončanje "Ice Crack", se zabeležijo na protikarti.

Tretja višina "Skalni podor"(individualno diferencirano delo).

Učiteljica: Preden smo se uspeli rešiti iz ledene razpoke, nas je zadel skalni podor (slide 7). Treba je počistiti ruševine. Vsi kamni so različni: veliki in majhni. Nekateri bodo nosili majhne kamne, nekateri pa velike. Vsak si bo izbral nalogo po svoji moči.

Dejavnosti študentov:Učenci dobijo na izbiro diferencirane naloge različnih težavnostnih stopenj.

Tisti, ki so izbrali "velike kamne", prejmejo naloge višje ravni na posameznih kartah. Na podlagi rezultatov opravljene naloge si bodo lahko prislužili do 8 točk. Vsaka pravilno opravljena naloga je vredna 2 točki.

Možnost 1

Zmanjšaj ulomek:

A) ; b) ; c) ; d)

Možnost 2

Zmanjšaj ulomek:

Ob koncu dela učitelj preveri pravilnost naloge.

In tisti, ki so izbrali "majhne kamne", opravljajo naloge osnovne ravni v obliki testa (glej interaktivni test na disku ali v Dodatek 2 ). Glede na rezultate opravljene naloge si lahko prislužijo do 5 točk.

Točke, dosežene za dokončanje »Skalnega podora«, se zabeležijo v kontra kartico.

Če povzamemo igro:

Učiteljica: Dragi "plezalci"! Izračunajmo točke, ki ste jih dosegli na podlagi rezultatov treh testov.

Dejavnosti študentov:Učenci preštejejo dosežene točke in jih zapišejo v stolpec »Skupni rezultat«.

Učiteljica: Povzemimo (diapozitiv 8). Če ste dosegli 18-20 točk, potem ste osvojili najvišji vrh - bravo (odlična ocena)! Če ste dosegli 15 - 17 točk, ste osvojili drugo višino, dobro ( oceni dobro) . Če 11 - 14 točk pomeni, da ste premagali le prvo višino, tudi to ni slabo (ocena zadovoljivo). Če ste zbrali manj kot 11 točk, potem ste ostali na dnu vrha. Ampak ne bodi razburjen! Še enkrat je treba opraviti trening in ponoviti vzpon, vrh je še pred vami!

Dejavnosti študentov:Učenci si glede na oceno dajo oceno za lekcijo v stolpcu »Ocena« in predajo svojo kartico - števec učitelju.

učiteljica (po vaši presoji)te oznake prenese v dnevnik.

Domača naloga:§ 37; št. 37.28; št. 37.30ag; št. 37.39*b

št. 37.28. Zmanjšaj ulomek: a); b) ; V) ; G) .

št. 37.30ag. Poenostavite izraz: a) (1 +) 2 - 2 ; d) + - ( + ) 2

št. 37.39*b. Poenostavite izraz: b) ( + )

Razmislek o doseganju cilja:

Učiteljica: Zdaj vas bom prosil, da nadaljujete enega ali več stavkov (slide 9)

bilo je zanimivo…
bilo je težko…
opravil sem naloge...
Uspel sem …
dal mi je lekcijo za življenje...

Dejavnosti študentov:Učenci po želji nadaljujejo eno ali več stavkov.

Učiteljica: Naša lekcija se je začela s pesmijo in želim jo končati s poezijo(diapozitiv 10) . Bere pesem.

Srčno stremljenje k vrhu je častno,

Lepo je pogledati v zemljo.

Vnebovzeti ... Od zdaj naprej si junak, zmagovalec

In zdi se, da je nebeški svet v naših rokah.

Vrh je puščava, samo modri kamni

Mirno gledam, kako zvezde sijejo...

Za njih si nič, izgubljeni potepuh,

Ujetnik iluzij, dvomljivih sanj...

Vrh ti daje občutek letenja,

Svoboda pred večnim vrvežem sveta,

Vrata so odprta drugačnim spoznanjem ...

Zrelost njegove čistosti je vznemirljiva ...

Dodatek k učnemu načrtu"Posplošitev pojma eksponenta"

Priloga 1.

Kartica – števec __________________________ (Priimek, ime)

Dodatek 2.

Test

Izberite enega od predlaganih odgovorov.

Poenostavite izraz: (1 – s 1/2 )(1 + s 1/2 )

(1 – z 1/2) 2
1 – s
1 – 2 s 1/2 + s

Poenostavite izraz: (1 – a 1/2 ) 2

1 – a + a 2

– 2a + a 2

1 – 2a 1/2 + a

Upoštevaj: 3/4 – do 1/2

v 3/4 (1 – v)
v 1/2 (v 1/4 – 1)
v 1/2 (v 1/2 – 1)
ni mogoče razgraditi

Faktoriziraj: a – b

ab (a 1/2 – v 1/2)
(a – v 1/2) (a + v 1/2)
ni mogoče razgraditi
(a 1/2 – v 1/2) (a 1/2 + v 1/2)

Točkovanje testa: 1 pravilen odgovor – 2 točki; 2 pravilna odgovora – 3 točke;3 pravilni odgovori – 4 točke; 4 pravilen odgovor – 5 točk.

Namen lekcije:

Posploševanje in sistematizacija znanja, spretnosti in spretnosti.
Posodabljanje osnovnega znanja v pogojih opravljanja enotnega državnega izpita.
Spremljanje in samokontrola znanja, spretnosti in spretnosti s testi.
Razvoj sposobnosti primerjanja in posploševanja.

Učni načrt.

Izjava o namenu lekcije (1 min.)
Ustno delo "Verjamem - ne verjamem!" (6 min)
Reševanje niza primerov za primerjavo izrazov (12 min)
Sofistika (4–5 min)
Reševanje primera za poenostavitev izraza (iz enotnega državnega izpita) z razpravo o najbolj "subtilnih" delih (15 min)
Samostojno delo na podlagi demo različice enotnega državnega izpita (skupina A) (5 min)
Domača naloga (na listih)

Oprema: projektor.

1. Prijatelji! Pred vašimi očmi je del izjave angleškega matematika Jamesa Josepha Sylvestra (1814–1897) o matematiki »Matematika je glasba uma«. Kako romantično, kajne?

vprašanje Kako mislite, da je definiral glasbo?

"Glasba je matematika občutkov."

Med občutke lahko vključimo različne vrste izkušenj. Letos je eden od razlogov za vaše in moje skrbi uspešno opravljen enotni državni izpit in posledično vpis na univerzo. Resnično želim, da prevladajo pozitivna čustva. Samozavest mora biti, to pa je naše znanje in sposobnosti. Danes bomo v razredu nadaljevali s pripravami na enotni državni izpit, ponovili in posplošili koncept diplome.

Torej, tema današnje lekcije je “Posplošitev pojma stopnje.”

Osnovne lastnosti in definicije smo že ponovili, vabim pa vas k igrici Verjemite ali ne!

Vaša naloga je, da hitro (zanašajoč se na svojo intuicijo, to vam bo pomagalo pri reševanju skupine A) odgovorite na vprašanje pritrdilno ali nikalno in nato obrazložite svoj odgovor.

2. Ustno delo "Verjamem - ne verjamem!"

1. Izrazi imajo pomen:

a) b) c) c) d)

3. Enačba ima tri korene

(ne, koren je ena: 7, ker)

4. Najmanjši koren enačbe 1

3. Reševanje niza primerov za primerjavo ulomkov. Zdaj predlagam, da vas opozorim na vrsto primerov primerjave diplom.

vprašanje Katere načine primerjanja diplom poznate?

Primerjava indikatorjev z enakimi bazami, primerjava baz z enakimi eksponenti.

1. Primerjaj In .

2. Primerjaj števila In .

Kot lahko vidite, je primer bolj zapleten.

vprašanje Katera števila so eksponenti?

Neracionalno.

Poiščimo racionalna števila, ki so blizu danim iracionalnim številom in poskusimo primerjati potence z racionalnim eksponentom.

Ker osnova stopnje je večja od 1, potem imamo po lastnosti stopinj

Primerjajmo zdaj in .

Če želite to narediti, je dovolj, da primerjate in 2 ali in.

Ampak , A .

Zdaj dobimo verigo neenakosti:

3. Primerjaj števila In .

Uporabimo naslednjo lastnost radikalov: če , potem , kjer .

Primerjajmo in.

Ocenimo njihov odnos:

torej .

Opombe.

1) V tem primeru sta stopinji in majhni, in sicer

, in jih ni težko izračunati »ročno«, tj. brez kalkulatorja. Stopnje lahko ocenite brez izračunov:

Zato,

2) Če stopinj res ni mogoče izračunati (tudi na kalkulatorju), na primer in , potem lahko uporabite neenakost:

Res je za vse in naredite to:

z vsem naravnim.

Lahko dokažete sami

4. Sofističnost. No, preklopimo na drugo službo. Poiščimo napako v naslednjem sklepanju, ki ovrže izjavo:

"Ena je enaka neskončno veliki stopnji poljubnemu številu."

Kot je znano, je enota, dvignjena na katero koli moč, vključno z ničlo, enaka ena, tj A– poljubno število. Pa poglejmo, ali je vedno tako.

Pustiti X– poljubno število. S preprostim množenjem je enostavno preveriti, da je izraz (1) identiteta za katerikoli X. Potem je resnična tudi identiteta, ki izhaja iz (1), namreč . (2)

Za poljubno pozitivno število A obstaja .

Enakost (2) implicira enakost

ali, kar je isto,

. (3)

Prevzeti identiteto (3) x=3, dobimo

, (4)

in ob upoštevanju tega , to razumemo.

Torej je potenca ena, tudi ko je eksponent enak neskončnosti, enaka poljubnemu številu, nikakor pa ne ena, kot zahtevajo pravila algebre.

rešitev.

Napaka je naslednja.

Enakost (1) res velja za vse vrednosti X in je zato identiteta. Iz nje pridobljena enakost (2) ne velja več za vse vrednosti X. Torej, X ne more biti enako 2, ker imenovalec na levi in desni strani (2) postane nič in X ne more biti enako 3, saj tudi imenovalec na desni strani (2) postane nič. pri x = 3 enakost (2) ima obliko , kar nima smisla.

Razmerje (4) dobimo iz (3) ravno pri x = 3, kar je pripeljalo do absurdnega rezultata.

No, zdaj pa hitro preskočimo na leto 2004, ko je bilo v nalogi C3 predlagano naslednje število.

5. Rešitev primera (iz Enotnega državnega izpita).

Ker je f(x) naraščajoča funkcija, potem .

Ugotovimo, katera od teh vrednosti je bližje 0,7, za katero primerjamo

Ker je vrednost f(26) bližje 0,7.

6. Samostojno delo, ki mu sledi preverjanje na tabli.

In zdaj je čas za vajo: tukaj so primeri iz demo različice, gr. A 2009.

Vidite jih tako na tabli kot na listih. Vaša naloga je, da hitro rešite in izpolnite tabele z odgovori. Poveži črke in številke pred seboj. S pravilnim izračunom ali poenostavitvijo izrazov v tabeli boste prebrali, kaj potrebujete pri opravljanju enotnega državnega izpita.

Možnost 1 - sreča, znanje,

Možnost 2 – zaupanje.

Tako smo danes v razredu videli, kako široko se koncept diplome uporablja pri opravljanju enotnega državnega izpita. Pridobljene veščine lahko utrdite z domačimi nalogami.

7. Domača naloga.

Bodite pozorni na domačo nalogo, saj vam bo pomagala utrditi snov, ki smo jo obdelali pri pouku.