Linearno odvisni in linearno neodvisni vektorji. Linearno odvisni in linearno neodvisni vektorji

Vektorski sistem se imenuje linearno odvisen, če obstajajo števila, med katerimi je vsaj eno različno od nič, tako da velja enakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Če je ta enakost izpolnjena samo v primeru, ko je vse , se imenuje sistem vektorjev linearno neodvisen.

Izrek. Vektorski sistem bo linearno odvisenče in samo če je vsaj eden od njegovih vektorjev linearna kombinacija ostalih.

Primer 1. Polinom je linearna kombinacija polinomov https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomi sestavljajo linearno neodvisen sistem, saj polinom https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Primer 2. Matrični sistem, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je linearno neodvisen, saj je linearna kombinacija enaka ničelna matrika samo v primeru, ko https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearno odvisno.

rešitev.

Naredimo linearno kombinacijo teh vektorjev https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" višina=" 22">.

Če izenačimo enake koordinate enakih vektorjev, dobimo https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Končno dobimo

Sistem ima edinstveno trivialno rešitev, zato je linearna kombinacija teh vektorjev enaka nič le v primeru, ko so vsi koeficienti enaki nič. Zato je ta sistem vektorjev linearno neodvisen.

Primer 4. Vektorja sta linearno neodvisna. Kakšni bodo vektorski sistemi?

a).;

b).?

rešitev.

a). Naredimo linearno kombinacijo in jo enačimo z nič

Z uporabo lastnosti operacij z vektorji v linearnem prostoru prepišemo zadnjo enakost v obliki

Ker sta vektorja linearno neodvisna, morajo biti koeficienti pri enaki nič, tj..gif" width="12" height="23 src=">

Nastali sistem enačb ima edinstveno trivialno rešitev .

Od enakosti (*) izvaja se le, če https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearno neodvisno;

b). Naredimo enakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Z uporabo podobnega sklepanja dobimo

Z reševanjem sistema enačb po Gaussovi metodi dobimo

Slednji sistem ima neskončno število rešitev https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Tako obstaja ne- ničelna množica koeficientov, za katere velja enakost (**) . Zato sistem vektorjev – linearno odvisen.

Primer 5 Sistem vektorjev je linearno neodvisen in sistem vektorjev je linearno odvisen..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

V enakopravnosti (***) . Dejansko bi bil pri , sistem linearno odvisen.

Iz relacije (***) dobimo oz Označimo .

Dobimo

Naloge za neodvisna odločitev(v občinstvu)

1. Sistem, ki vsebuje ničelni vektor, je linearno odvisen.

2. Sistem, sestavljen iz enega vektorja A, je linearno odvisna, če in samo če, a=0.

3. Sistem, sestavljen iz dveh vektorjev, je linearno odvisen, če in samo če sta vektorja sorazmerna (to pomeni, da enega od njiju dobimo iz drugega z množenjem s številom).

4. Če linearno odvisnemu sistemu dodate vektor, dobite linearno odvisen sistem.

5. Če vektor odstranimo iz linearno neodvisnega sistema, potem je nastali sistem vektorjev linearno neodvisen.

6. Če sistem S je linearno neodvisen, vendar postane linearno odvisen, ko dodamo vektor b, nato vektor b linearno izražena s sistemskimi vektorji S.

c). Sistem matrik , , v prostoru matrik drugega reda.

10. Naj sistem vektorjev a,b,c vektorski prostor je linearno neodvisen. Dokažite linearno neodvisnost naslednjih vektorskih sistemov:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– poljubno število

c).a+b, a+c, b+c.

11. Pustiti a,b,c– trije vektorji na ravnini, iz katerih je mogoče sestaviti trikotnik. Ali bodo ti vektorji linearno odvisni?

12. Podana sta dva vektorja a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Poiščite še dva štiridimenzionalna vektorja a3 ina4 tako da sistem a1,a2,a3,a4 je bil linearno neodvisen .

Predstavili smo ga mi linearne operacije na vektorjih omogočajo ustvarjanje različnih izrazov za vektorske količine in jih preoblikovati z uporabo lastnosti, nastavljenih za te operacije.

Na podlagi danega niza vektorjev a 1, ..., a n lahko ustvarite izraz oblike

kjer so a 1, ... in n poljubna realna števila. Ta izraz se imenuje linearna kombinacija vektorjev a 1, ..., a n. Števila α i, i = 1, n, predstavljajo koeficienti linearne kombinacije. Imenuje se tudi niz vektorjev sistem vektorjev.

V povezavi z uvedenim konceptom linearne kombinacije vektorjev se pojavi problem opisa množice vektorjev, ki jo lahko zapišemo kot linearno kombinacijo danega sistema vektorjev a 1, ..., a n. Poleg tega obstajajo naravna vprašanja o pogojih, pod katerimi obstaja predstavitev vektorja v obliki linearne kombinacije, in o edinstvenosti takšne predstavitve.

Opredelitev 2.1. Imenujemo vektorje a 1, ... in n linearno odvisen, če obstaja nabor koeficientov α 1 , ... , α n tako, da

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

in vsaj eden od teh koeficientov je različen od nič. Če navedeni niz koeficientov ne obstaja, se vektorji pokličejo linearno neodvisen.

Če je α 1 = ... = α n = 0, potem je očitno α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. S tem v mislih lahko rečemo to: vektorji a 1, ... in n so linearno neodvisni, če iz enačbe (2.2) sledi, da so vsi koeficienti α 1 , ... , α n enaki nič.

Naslednji izrek pojasnjuje, zakaj se novi koncept imenuje izraz "odvisnost" (ali "neodvisnost"), in zagotavlja preprosto merilo za linearno odvisnost.

Izrek 2.1. Da bi bili vektorji a 1, ... in n, n > 1, linearno odvisni, je nujno in zadostno, da je eden izmed njih linearna kombinacija drugih.

◄ Nujnost. Predpostavimo, da so vektorji a 1, ... in n linearno odvisni. Po definiciji 2.1 linearne odvisnosti je v enačbi (2.2) na levi strani vsaj en koeficient, ki ni nič, na primer α 1. Če pustimo prvi člen na levi strani enakosti, preostale premaknemo na desno stran in jim spremenimo predznake, kot običajno. Če dobljeno enakost delimo z α 1, dobimo

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

tiste. predstavitev vektorja a 1 kot linearne kombinacije preostalih vektorjev a 2, ..., a n.

Ustreznost. Naj na primer prvi vektor a 1 predstavimo kot linearno kombinacijo preostalih vektorjev: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Če vse člene prenesemo z desne strani na levo, dobimo a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, tj. linearna kombinacija vektorjev a 1, ..., a n s koeficienti α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, enaka ničelni vektor. V tej linearni kombinaciji niso vsi koeficienti enaki nič. V skladu z definicijo 2.1 so vektorji a 1, ... in n linearno odvisni.

Definicija in merilo za linearno odvisnost sta oblikovana tako, da nakazujeta prisotnost dveh ali več vektorjev. Lahko pa govorimo tudi o linearni odvisnosti enega vektorja. Če želite uresničiti to možnost, morate namesto "vektorji linearno odvisni" reči "sistem vektorjev je linearno odvisen." Preprosto je videti, da izraz "sistem enega vektorja je linearno odvisen" pomeni, da je ta posamezen vektor enak nič (v linearni kombinaciji je samo en koeficient in ne sme biti enak nič).

Koncept linearne odvisnosti ima preprosto geometrijsko razlago. Naslednje tri izjave pojasnjujejo to razlago.

Izrek 2.2. Dva vektorja sta linearno odvisna, če in samo če sta kolinearni.

◄ Če sta vektorja a in b linearno odvisna, potem je eden od njiju, na primer a, izražen skozi drugega, tj. a = λb za neko realno število λ. Po definiciji 1.7 dela vektorjev na število, sta vektorja a in b kolinearna.

Naj bosta vektorja a in b kolinearna. Če sta oba nič, potem je očitno, da sta linearno odvisna, saj je vsaka njuna linearna kombinacija enaka ničelnemu vektorju. Naj eden od teh vektorjev ni enak 0, na primer vektor b. Označimo z λ razmerje dolžin vektorjev: λ = |a|/|b|. Kolinearni vektorji so lahko enosmerno oz nasprotno usmerjeni. V slednjem primeru spremenimo predznak λ. Nato se s preverjanjem definicije 1.7 prepričamo, da je a = λb. Po izreku 2.1 sta vektorja a in b linearno odvisna.

Opomba 2.1. V primeru dveh vektorjev, ob upoštevanju kriterija linearne odvisnosti, lahko dokazani izrek preoblikujemo na naslednji način: dva vektorja sta kolinearna, če in samo če je eden od njiju predstavljen kot produkt drugega s številom. To je priročen kriterij za kolinearnost dveh vektorjev.

Izrek 2.3. Trije vektorji so linearno odvisni, če in samo če komplanaren.

◄ Če so trije vektorji a, b, c linearno odvisni, potem je po izreku 2.1 eden od njih, na primer a, linearna kombinacija ostalih: a = βb + γc. Združimo izhodišča vektorjev b in c v točki A. Potem bosta imela vektorja βb, γс skupno izhodišče v točki A in vzdolž po pravilu paralelograma je njihova vsota tiste. vektor a bo vektor z izhodiščem A in konec, ki je oglišče paralelograma, sestavljenega iz komponentnih vektorjev. Tako vsi vektorji ležijo v isti ravnini, to je komplanarni.

Naj bodo vektorji a, b, c komplanarni. Če je eden od teh vektorjev enak nič, potem je očitno, da bo to linearna kombinacija ostalih. Dovolj je, da so vsi koeficienti linearne kombinacije enaki nič. Zato lahko predpostavimo, da vsi trije vektorji niso nič. Združljiv začela teh vektorjev v skupni točki O. Naj bodo njihovi konci točke A, B, C (slika 2.1). Skozi točko C narišemo premice, vzporedne premicam, ki potekajo skozi pare točk O, A in O, B. Če presečišča označimo kot A" in B", dobimo paralelogram OA"CB", torej OC" = OA" + OB". Vektor OA" in neničelni vektor a = OA sta kolinearna, zato lahko prvega od njiju dobimo tako, da drugega pomnožimo z realnim številom α:OA" = αOA. Podobno je OB" = βOB, β ∈ R. Kot rezultat dobimo, da je OC" = α OA. + βOB, tj. vektor c je linearna kombinacija vektorjev a in b. Po izreku 2.1 so vektorji a, b, c linearno odvisni.

Izrek 2.4. Kateri koli štirje vektorji so linearno odvisni.

◄ Dokaz izvedemo po isti shemi kot v izreku 2.3. Razmislite o poljubnih štirih vektorjih a, b, c in d. Če je eden od štirih vektorjev enak nič ali sta med njimi dva kolinearna vektorja ali so trije od štirih vektorjev koplanarni, potem so ti štirje vektorji linearno odvisni. Na primer, če sta vektorja a in b kolinearna, potem lahko naredimo njuno linearno kombinacijo αa + βb = 0 z neničelnimi koeficienti in nato tej kombinaciji dodamo preostala dva vektorja, pri čemer za koeficiente vzamemo ničle. Dobimo linearno kombinacijo štirih vektorjev enakih 0, v katerih so koeficienti različni od nič.

Tako lahko predpostavimo, da med izbranimi štirimi vektorji ni noben vektor nič, nobena dva nista kolinearna in noben trije niso komplanarni. Izberimo točko O kot njihov skupni začetek. Potem bodo konci vektorjev a, b, c, d nekatere točke A, B, C, D (slika 2.2). Skozi točko D narišemo tri ravnine, vzporedno z ravninami OBC, OCA, OAB in naj bodo A", B", C" točke presečišča teh ravnin s premicami OA, OB, OS. Dobimo paralelopiped OA"C"B"C"B"DA ", in vektorji a, b, c ležijo na njegovih robovih, ki izhajajo iz oglišča O. Ker je štirikotnik OC"DC" paralelogram, potem je OD = OC" + OC" . Po drugi strani pa je segment OC" diagonala paralelogram OA"C"B", tako da je OC" = OA" + OB" in OD = OA" + OB" + OC" .

Upoštevati je treba, da so pari vektorjev OA ≠ 0 in OA" , OB ≠ 0 in OB" , OC ≠ 0 in OC" kolinearni, zato je možno izbrati koeficiente α, β, γ tako, da OA" = αOA, OB" = βOB in OC" = γOC. Končno dobimo OD = αOA + βOB + γOC. Posledično je vektor OD izražen preko ostalih treh vektorjev, vsi štirje vektorji pa so po izreku 2.1 linearno odvisni.

V tem članku bomo obravnavali:

kaj so kolinearni vektorji;
kakšni so pogoji za kolinearnost vektorjev;
kakšne lastnosti kolinearnih vektorjev obstajajo;
kakšna je linearna odvisnost kolinearnih vektorjev.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Kolinearni vektorji so vektorji, ki so vzporedni z eno premico ali ležijo na eni premici.

Primer 1

Pogoji kolinearnosti vektorjev

Dva vektorja sta kolinearna, če je izpolnjen kateri koli od naslednjih pogojev:

stanje 1 . Vektorja a in b sta kolinearna, če obstaja število λ tako, da je a = λ b;
pogoj 2 . Vektorja a in b sta kolinearna z enakimi koordinatnimi razmerji:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

pogoj 3 . Vektorja a in b sta kolinearna, če sta križni produkt in ničelni vektor enaka:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Opomba 1

Pogoj 2 ni uporabno, če je ena od vektorskih koordinat enaka nič.

Opomba 2

Pogoj 3 velja le za tiste vektorje, ki so določeni v prostoru.

Primeri problemov za preučevanje kolinearnosti vektorjev

Primer 1

Preverimo kolinearnost vektorjev a = (1; 3) in b = (2; 1).

Kako rešiti?

IN v tem primeru je treba uporabiti 2. pogoj kolinearnosti. Za dane vektorje je videti takole:

Enakost je lažna. Iz tega lahko sklepamo, da vektorja a in b nista kolinearna.

Odgovori : a | | b

Primer 2

Kakšna vrednost m vektorja a = (1; 2) in b = (- 1; m) je potrebna, da sta vektorja kolinearna?

Kako rešiti?

Z uporabo drugega pogoja kolinearnosti bodo vektorji kolinearni, če so njihove koordinate sorazmerne:

To kaže, da je m = - 2.

odgovor: m = - 2 .

Kriteriji linearne odvisnosti in linearne neodvisnosti vektorskih sistemov

Izrek

Sistem vektorjev v vektorskem prostoru je linearno odvisen le, če je mogoče enega od vektorjev sistema izraziti s preostalimi vektorji tega sistema.

Dokaz

Naj bo sistem e 1 , e 2 , . . . , e n je linearno odvisen. Zapišimo linearno kombinacijo tega sistema, ki je enak ničelnemu vektorju:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

pri katerem vsaj eden od kombinacijskih koeficientov ni enak nič.

Naj bo a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Obe strani enakosti delimo s koeficientom, ki ni enak nič:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Označimo:

A k - 1 a m , kjer je m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

V tem primeru:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ali e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Iz tega sledi, da je eden od vektorjev sistema izražen skozi vse ostale vektorje sistema. Kar je bilo treba dokazati (itd.).

Ustreznost

Naj bo eden od vektorjev linearno izražen skozi vse ostale vektorje sistema:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Vektor e k premaknemo na desno stran te enačbe:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Ker je koeficient vektorja e k enak - 1 ≠ 0, dobimo netrivialno predstavitev ničle s sistemom vektorjev e 1, e 2, . . . , e n , kar posledično pomeni, da je ta sistem vektorjev linearno odvisen. Kar je bilo treba dokazati (itd.).

Posledica:

Sistem vektorjev je linearno neodvisen, če nobenega od njegovih vektorjev ni mogoče izraziti z vsemi drugimi vektorji sistema.
Sistem vektorjev, ki vsebuje ničelni vektor ali dva enaka vektorja, je linearno odvisen.

Lastnosti linearno odvisnih vektorjev

Za 2- in 3-dimenzionalne vektorje je izpolnjen naslednji pogoj: dva linearno odvisna vektorja sta kolinearna. Dva kolinearna vektorja sta linearno odvisna.
Za 3-dimenzionalne vektorje je pogoj izpolnjen: trije linearni odvisni vektorji- koplanarni. (3 koplanarni vektorji so linearno odvisni).
Za n-dimenzionalne vektorje je izpolnjen naslednji pogoj: n + 1 vektorji so vedno linearno odvisni.

Primeri reševanja problemov, ki vključujejo linearno odvisnost ali linearno neodvisnost vektorjev

Primer 3

Preverimo linearno neodvisnost vektorjev a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0.

rešitev. Vektorji so linearno odvisni, ker je dimenzija vektorjev manjša od števila vektorjev.

Primer 4

Preverimo linearno neodvisnost vektorjev a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1.

rešitev. Najdemo vrednosti koeficientov, pri katerih bo linearna kombinacija enaka ničelnemu vektorju:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorsko enačbo zapišemo v linearni obliki:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ta sistem rešujemo z Gaussovo metodo:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. vrstice odštejemo 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Od 1. vrstice odštejemo 2., 3. dodamo 2.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iz rešitve sledi, da ima sistem veliko rešitev. To pomeni, da obstaja neničelna kombinacija vrednosti takih števil x 1, x 2, x 3, za katere je linearna kombinacija a, b, c enaka ničelnemu vektorju. Zato so vektorji a, b, c linearno odvisen.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Vektorji, njihove lastnosti in dejanja z njimi

Vektorji, akcije z vektorji, linearni vektorski prostor.

Vektorji so urejena zbirka končnega števila realnih števil.

Dejanja: 1. Množenje vektorja s številom: lambda*vektor x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2. Seštevanje vektorjev (pripadajo istemu vektorskemu prostoru) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-dimenzionalni (linearni prostor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Izrek. Da bi bil sistem n vektorjev, n-dimenzionalni linearni prostor, linearno odvisen, je nujno in zadostno, da je eden od vektorjev linearna kombinacija drugih.

Izrek. Vsaka množica n+ 1. vektorjev n-dimenzionalnega linearnega prostora pojavov. linearno odvisen.

Seštevanje vektorjev, množenje vektorjev s števili. Odštevanje vektorjev.

Vsota dveh vektorjev je vektor, usmerjen od začetka vektorja do konca vektorja, pod pogojem, da začetek sovpada s koncem vektorja. Če so vektorji podani z njihovimi razširitvami v bazne enotske vektorje, potem se pri dodajanju vektorjev dodajo njihove ustrezne koordinate.

Razmislimo o tem na primeru kartezičnega koordinatnega sistema. Pustiti

Pokažimo to

Iz slike 3 je razvidno, da

Vsoto poljubnega končnega števila vektorjev lahko najdemo s pravilom poligona (slika 4): za sestavo vsote končnega števila vektorjev je dovolj, da združimo začetek vsakega naslednjega vektorja s koncem prejšnjega. in sestavite vektor, ki povezuje začetek prvega vektorja s koncem zadnjega.

Lastnosti operacije dodajanja vektorjev:

V teh izrazih sta m, n številki.

Razlika med vektorji se imenuje vektor. Drugi člen je vektor, ki je nasproten vektorju, vendar mu je enak po dolžini.

Tako se operacija odštevanja vektorjev nadomesti z operacijo seštevanja

Vektor, katerega začetek je v izhodišču in konec v točki A (x1, y1, z1), imenujemo radij vektor točke A in ga označimo preprosto. Ker njene koordinate sovpadajo s koordinatami točke A, ima njena raztegitev v enotske vektorje obliko

Vektor, ki se začne v točki A(x1, y1, z1) in konča v točki B(x2, y2, z2), lahko zapišemo kot

kjer je r 2 polmer vektorja točke B; r 1 - radij vektor točke A.

Zato ima razširitev vektorja v enotske vektorje obliko

Njegova dolžina je enaka razdalji med točkama A in B

MNOŽENJE

Torej v primeru ravninskega problema produkt vektorja z a = (ax; ay) s številom b najdemo s formulo

a b = (ax b; ay b)

Primer 1. Poiščite produkt vektorja a = (1; 2) s 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Torej v primeru prostorskega problema produkt vektorja a = (ax; ay; az) s številom b najdemo po formuli

a b = (ax b; ay b; az b)

Primer 1. Poiščite produkt vektorja a = (1; 2; -5) z 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Točkovni produkt vektorjev in kjer je kot med vektorjema in ; če bodisi, potem

Iz definicije skalarnega produkta sledi, da

kjer je na primer velikost projekcije vektorja na smer vektorja.

Skalarni kvadratni vektor:

Lastnosti pikčastega produkta:

Pikčasti produkt v koordinatah

če to

Kot med vektorji

Kot med vektorji - kot med smerema teh vektorjev (najmanjši kot).

Navzkrižni produkt (Navzkrižni produkt dveh vektorjev.) - to je psevdovektor, pravokoten na ravnino, zgrajen iz dveh faktorjev, ki je rezultat binarne operacije »množenje vektorjev« nad vektorji v tridimenzionalnem evklidskem prostoru. Produkt ni niti komutativen niti asociativen (je antikomutativen) in se razlikuje od pikčastega produkta vektorjev. Pri številnih inženirskih in fizikalnih problemih morate biti sposobni sestaviti vektor, pravokoten na dva obstoječa - vektorski produkt ponuja to priložnost. Križni produkt je uporaben za »merjenje« pravokotnosti vektorjev – dolžina križnega produkta dveh vektorjev je enaka produktu njunih dolžin, če sta pravokotna, in se zmanjša na nič, če sta vektorja vzporedna ali antiparalelna.

Križni produkt je definiran samo v tridimenzionalnih in sedemdimenzionalnih prostorih. Rezultat vektorskega produkta je tako kot skalarni produkt odvisen od metrike evklidskega prostora.

Za razliko od formule za izračun vektorjev skalarnega produkta iz koordinat v tridimenzionalnem pravokotnem koordinatnem sistemu je formula za navzkrižni produkt odvisna od orientacije pravokotnega koordinatnega sistema ali, z drugimi besedami, njegove »kiralnosti«.

Kolinearnost vektorjev.

Dva vektorja, ki nista nič (ni enaka 0), se imenujeta kolinearna, če ležita na vzporednih premicah ali na isti premici. Sprejemljiv, vendar ne priporočljiv sinonim so "vzporedni" vektorji. Kolinearni vektorji so lahko enako usmerjeni ("sosmerni") ali nasprotno usmerjeni (v slednjem primeru jih včasih imenujemo "antikolinearni" ali "antiparalelni").

Mešani produkt vektorjev ( a, b, c)- skalarni produkt vektorja a in vektorskega produkta vektorjev b in c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

včasih se imenuje trojni produkt vektorjev, očitno zato, ker je rezultat skalar (natančneje, psevdoskalar).

Geometrijski pomen: Modul mešanega produkta je številčno enak prostornini paralelopipeda, ki ga tvorita vektorja (a,b,c) .

Lastnosti

Mešani produkt je poševno simetričen glede na vse svoje argumente: tj. e. prerazporeditev katerih koli dveh faktorjev spremeni predznak produkta. Iz tega sledi, da je mešani produkt v desnem kartezičnem koordinatnem sistemu (v ortonormirani bazi) enak determinanti matrike, sestavljene iz vektorjev in:

Mešani produkt v levem kartezičnem koordinatnem sistemu (v ortonormirani osnovi) je enak determinanti matrike, sestavljene iz vektorjev in, vzeto z znakom minus:

Še posebej,

Če sta katera koli dva vektorja vzporedna, potem s katerim koli tretjim vektorjem tvorita mešani produkt enak nič.

Če so trije vektorji linearno odvisni (to je koplanarni, ležijo v isti ravnini), potem je njihov mešani produkt enak nič.

Geometrijski pomen - Mešani produkt je po absolutni vrednosti enak prostornini paralelepipeda (glej sliko), ki ga tvorita vektorja in; predznak je odvisen od tega, ali je ta trojka vektorjev desna ali leva.

Komplanarnost vektorjev.

Trije vektorji (oz večje število) imenujemo komplanarne, če ležijo v isti ravnini, če so reducirane na skupno izhodišče

Lastnosti koplanarnosti

Če je vsaj eden od treh vektorjev enak nič, se tudi ti trije vektorji štejejo za koplanarne.

Trojka vektorjev, ki vsebuje par kolinearnih vektorjev, je komplanarna.

Mešani produkt koplanarnih vektorjev. To je merilo za komplanarnost treh vektorjev.

Koplanarni vektorji so linearno odvisni. To je tudi merilo za koplanarnost.

V 3-dimenzionalnem prostoru tvorijo osnovo 3 nekoplanarni vektorji

Linearno odvisni in linearno neodvisni vektorji.

Linearno odvisni in neodvisni vektorski sistemi.Opredelitev. Vektorski sistem se imenuje linearno odvisen, če obstaja vsaj ena netrivialna linearna kombinacija teh vektorjev, ki je enaka ničelnemu vektorju. V nasprotnem primeru, tj. če je le trivialna linearna kombinacija danih vektorjev enaka ničelnemu vektorju, se imenujejo vektorji linearno neodvisen.

Izrek (merilo linearne odvisnosti). Da je sistem vektorjev v linearnem prostoru linearno odvisen, je nujno in zadostno, da je vsaj eden od teh vektorjev linearna kombinacija ostalih.

1) Če je med vektorji vsaj en ničelni vektor, potem je celoten sistem vektorjev linearno odvisen.

Dejansko, če je na primer , potem imamo ob predpostavki , da imamo netrivialno linearno kombinacijo .▲

2) Če med vektorji nekateri tvorijo linearno odvisen sistem, potem je celoten sistem linearno odvisen.

Res, naj bodo vektorji , , linearno odvisni. To pomeni, da obstaja netrivialna linearna kombinacija, ki je enaka ničelnemu vektorju. Ampak potem, ob predpostavki , dobimo tudi netrivialno linearno kombinacijo, ki je enaka ničelnemu vektorju.

2. Osnova in dimenzija. Opredelitev. Sistem linearno neodvisnih vektorjev imenujemo vektorski prostor osnova tega prostora, če lahko katerikoli vektor iz predstavimo kot linearno kombinacijo vektorjev tega sistema, tj. za vsak vektor obstajajo realna števila tako, da enakost velja vektorska dekompozicija glede na osnovo in številke se imenujejo koordinate vektorja glede na bazo(oz v osnovi) .

Izrek (o edinstvenosti razširitve glede na bazo). Vsak vektor v prostoru je mogoče razširiti v bazo na edini način, tj. koordinate vsakega vektorja v bazi so določeni nedvoumno.

Naloga 1. Ugotovite, ali je sistem vektorjev linearno neodvisen. Sistem vektorjev bo določen z matriko sistema, katere stolpce sestavljajo koordinate vektorjev.

rešitev. Naj linearna kombinacija enako nič. Ko to enakost zapišemo v koordinate, dobimo naslednji sistem enačb:

Takšen sistem enačb imenujemo trikotni. Ima samo eno rešitev . Zato vektorji linearno neodvisen.

Naloga 2. Ugotovite, ali je linearna neodvisen sistem vektorji.

rešitev. Vektorji so linearno neodvisni (glej problem 1). Dokažimo, da je vektor linearna kombinacija vektorjev . Vektorski raztezni koeficienti se določijo iz sistema enačb

Ta sistem, tako kot trikotni, ima edinstveno rešitev.

Zato sistem vektorjev linearno odvisen.

Komentiraj. Imenujemo matrike istega tipa kot v nalogi 1 trikotne in v nalogi 2 – stopničasto trikotna . Vprašanje linearne odvisnosti sistema vektorjev je enostavno rešiti, če je matrika, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, stopničasta trikotna. Če matrika nima posebna vrsta, nato z uporabo osnovne pretvorbe nizov , ki ohranja linearne odnose med stolpci, ga je mogoče zmanjšati na stopničasto trikotno obliko.

Osnovne pretvorbe nizov imenujemo matrike (EPS). naslednje operacije nad matriko:

1) preureditev nizov;

2) množenje niza z neničelnim številom;

3) dodajanje drugega niza nizu, pomnoženega s poljubnim številom.

Naloga 3. Poiščite največji linearno neodvisen podsistem in izračunajte rang sistema vektorjev

rešitev. Zmanjšajmo matriko sistema z EPS na stopničasto trikotno obliko. Za razlago postopka črto s številko matrike, ki jo želimo transformirati, označimo s simbolom . Stolpec za puščico označuje dejanja v vrsticah matrike, ki se pretvarjajo, ki jih je treba izvesti za pridobitev vrstic nove matrike.

Očitno sta prva dva stolpca nastale matrike linearno neodvisna, tretji stolpec je njuna linearna kombinacija, četrti pa ni odvisen od prvih dveh. Vektorji se imenujejo osnovne. Tvorijo največji linearno neodvisen podsistem sistema , rang sistema pa je tri.

Osnova, koordinate

Naloga 4. Poiščite osnovo in koordinate vektorjev v tej bazi na množici geometrijskih vektorjev, katerih koordinate izpolnjujejo pogoj .

rešitev. Množica je ravnina, ki poteka skozi izhodišče. Poljubna baza na ravnini je sestavljena iz dveh nekolinearnih vektorjev. Koordinate vektorjev v izbrani bazi določimo z reševanjem ustreznega sistema linearnih enačb.

Obstaja še en način za rešitev tega problema, ko lahko najdete osnovo s pomočjo koordinat.

Koordinate prostori niso koordinate na ravnini, saj so povezani z relacijo , torej niso neodvisni. Neodvisni spremenljivki in (imenujemo jih prosti) enolično določata vektor na ravnini in ju je zato mogoče izbrati kot koordinate v . Nato osnova sestoji iz vektorjev, ki ležijo in ustrezajo množicam prostih spremenljivk in , to je .

Naloga 5. Poiščite bazo in koordinate vektorjev v tej bazi na množici vseh vektorjev v prostoru, katerih lihe koordinate so med seboj enake.

rešitev. Izberimo kot v prejšnjem problemu koordinate v prostoru.

Ker , nato proste spremenljivke enolično določajo vektor iz in so torej koordinate. Ustrezna baza je sestavljena iz vektorjev.

Naloga 6. Poiščite bazo in koordinate vektorjev v tej bazi na množici vseh matrik oblike , Kje – poljubna števila.

rešitev. Vsako matriko iz je edinstveno mogoče predstaviti v obliki:

Ta relacija je razširitev vektorja iz glede na bazo
s koordinatami .

Naloga 7. Poiščite razsežnost in bazo linearne lupine sistema vektorjev

rešitev. Z EPS transformiramo matriko iz koordinat sistemskih vektorjev v stopničasto trikotno obliko.

Stolpci zadnje matrike so linearno neodvisne, stolpci pa linearno izražena skozi njih. Zato vektorji tvorijo osnovo , In .

Komentiraj. Osnova v je izbrana dvoumno. Na primer vektorji tvorijo tudi osnovo .