Za uspešno uporabo operacije pridobivanja korenin v praksi se morate seznaniti z lastnostmi te operacije.
Vse lastnosti so oblikovane in dokazane samo za nenegativne vrednosti spremenljivk, ki jih vsebujejo znaki korenin.
1. izrek. Root n-to stopnjo(n=2, 3, 4,...) iz zmnožka dveh nenegativnih žetonov je enako zmnožku n-tih korenin teh števil:
komentar:
1.
Izrek 1 ostaja veljaven za primer, ko je radikalni izraz produkt več kot dveh nenegativnih števil.
2. izrek.če,
in n - naravno število, večje od 1, potem enakost velja
Na kratko(čeprav netočna) formulacija, ki je primernejša za uporabo v praksi: koren ulomka je enak ulomku korenin.
Izrek 1 nam omogoča množenje t samo korenine iste stopnje
, tj. samo korenine z enakim indeksom.
Izrek 3. Če ,k je naravno število in n naravno število, večje od 1, potem enakost velja
Z drugimi besedami, zgraditi korenino naravna stopnja, je dovolj, da dvignemo radikalni izraz na to moč.
To je posledica izreka 1. Dejansko, na primer, za k = 3 dobimo: Popolnoma enako lahko razmišljamo v primeru katere koli druge naravne vrednosti eksponenta k.
Izrek 4. Če ,k, n naravna števila večja od 1, potem enakost velja
Z drugimi besedami, za pridobivanje korenine iz korenine je dovolj, da pomnožite indikatorje korenin.
na primer
Bodi previden! Naučili smo se, da lahko nad koreni izvajamo štiri operacije: množenje, deljenje, potenciranje in izločanje korena (iz korena). Kaj pa seštevanje in odštevanje korenov? Ni šans.
Na primer, namesto da bi napisali Res, Ampak očitno je, da
Izrek 5. Če indikatorja korenskega in radikalnega izraza pomnožimo ali delimo z istim naravnim številom, potem se vrednost korena ne spremeni, tj.
Primeri reševanja problemov
Primer 1. Izračunaj
rešitev. Z uporabo prve lastnosti korenin (izrek 1) dobimo:
Primer 2. Izračunaj
rešitev. Pretvori mešano število v nepravilni ulomek.
Imamo uporabo druge lastnosti korenin ( 2. izrek
), dobimo:
Primer 3. Izračunajte: 
rešitev. Vsaka formula v algebri, kot dobro veste, se uporablja ne samo "od leve proti desni", ampak tudi "od desne proti levi". Tako prva lastnost korenin pomeni, da jih je mogoče predstaviti v obliki in, nasprotno, nadomestiti z izrazom. Enako velja za drugo lastnost korenin. Ob upoštevanju tega izvedimo izračune.
Čestitamo: danes si bomo ogledali korenine - eno najbolj osupljivih tem v 8. razredu. :)
Marsikdo se zamoti glede korenin, pa ne zato, ker so zapletene (kaj je pa tako zapletenega - par definicij in še par lastnosti), ampak zato, ker so v večini šolskih učbenikov korenine definirane skozi tako džunglo, da so samo avtorji učbenikov definirani. sami razumejo to pisanje. Pa še to samo s steklenico dobrega viskija. :)
Zato bom zdaj podal najbolj pravilno in najbolj kompetentno definicijo korena - edino, ki bi si jo res morali zapomniti. In potem bom razložil: zakaj je vse to potrebno in kako to uporabiti v praksi.
Toda najprej se spomnite enega pomembna točka, na katerega mnogi prevajalci učbenikov iz neznanega razloga "pozabijo":
Koreni so lahko sode stopnje (naš najljubši $\sqrt(a)$, pa tudi vse vrste $\sqrt(a)$ in celo $\sqrt(a)$) in lihe stopnje (vse vrste $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ itd.). In definicija korena lihe stopnje je nekoliko drugačna od sode.
Verjetno se 95% vseh napak in nesporazumov, povezanih s koreninami, skriva v tem presneto "nekoliko drugače". Zato enkrat za vselej razčistimo terminologijo:
Opredelitev. Celo koren n iz števila $a$ je katerikoli nenegativnoštevilo $b$ je takšno, da je $((b)^(n))=a$. In lihi koren istega števila $a$ je na splošno poljubno število $b$, za katerega velja enaka enakost: $((b)^(n))=a$.
V vsakem primeru je koren označen takole:
\(a)\]
Število $n$ v takem zapisu imenujemo korenski eksponent, število $a$ pa radikalni izraz. Zlasti za $n=2$ dobimo našo »najljubšo« Kvadratni koren(mimogrede, to je koren sode stopnje), za $n=3$ pa je kubičen (liha stopnja), kar pogosto najdemo tudi v nalogah in enačbah.
Primeri. Klasični primeri kvadratnih korenov:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Mimogrede, $\sqrt(0)=0$ in $\sqrt(1)=1$. To je povsem logično, saj je $((0)^(2))=0$ in $((1)^(2))=1$.
Pogosti so tudi kockasti koreni - ni se jih treba bati:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
No, nekaj "eksotičnih primerov":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Če ne razumete, kakšna je razlika med sodo in liho stopnjo, še enkrat preberite definicijo. Zelo pomembno je!
Medtem pa bomo razmislili o eni neprijetni lastnosti korenov, zaradi katere smo morali uvesti ločeno definicijo za sode in lihe eksponente.
Zakaj so korenine sploh potrebne?
Po branju definicije se bo marsikateri študent vprašal: "Kaj so matematiki kadili, ko so se tega domislili?" In res: zakaj so vse te korenine sploh potrebne?
Da bi odgovorili na to vprašanje, se za trenutek vrnimo k osnovni razredi. Ne pozabite: v tistih daljnih časih, ko so bila drevesa bolj zelena in cmoki okusnejši, je bila naša glavna skrb pravilno pomnožiti števila. No, nekaj takega kot "pet po pet - petindvajset", to je vse. Toda številke lahko pomnožite ne v parih, ampak v trojčkih, četvericah in na splošno v celih nizih:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Vendar to ni bistvo. Trik je drugačen: matematiki so leni ljudje, zato so težko zapisali množenje desetih petic takole:
Zato so si izmislili diplome. Zakaj ne bi zapisali števila faktorjev kot nadnapis namesto dolgega niza? Nekaj podobnega:
Zelo je priročno! Vsi izračuni so znatno zmanjšani in ni vam treba zapraviti kopice listov pergamenta in zvezkov, da bi zapisali približno 5183. Ta zapis so poimenovali potenca števila, v njem so našli kup lastnosti, a sreča se je izkazala za kratkotrajno.
Po veličastnem pijančevanju, ki je bilo organizirano prav zaradi »odkritja« stopinj, je neki posebej trmasti matematik nenadoma vprašal: »Kaj pa, če poznamo stopnjo števila, samo število pa ni znano?« Zdaj pa res, če vemo, da določeno število $b$, recimo na 5. potenco, daje 243, kako potem lahko ugibamo, čemu je enako število $b$?
Ta problem se je izkazal za veliko bolj globalnega, kot se morda zdi na prvi pogled. Ker se je izkazalo, da za večino "gotovih" moči ni takih "začetnih" številk. Presodite sami:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Desna puščica b=4\cdot 4\cdot 4\Desna puščica b=4. \\ \end(align)\]
Kaj pa, če $((b)^(3))=50$? Izkazalo se je, da moramo najti določeno število, ki nam bo, če ga trikrat pomnožimo, dalo 50. Toda kaj je to število? Očitno je večje od 3, saj je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To je to število je nekje med tri in štiri, vendar ne boste razumeli, čemu je enako.
Ravno zato so matematiki prišli do $n$-tih korenin. Ravno zato je bil uveden radikalni simbol $\sqrt(*)$. Označimo prav tisto število $b$, ki nam bo do navedene stopnje dalo vnaprej znano vrednost
\[\sqrt[n](a)=b\Desna puščica ((b)^(n))=a\]
Ne trdim: pogosto se te korenine zlahka izračunajo - zgoraj smo videli več takih primerov. A še vedno, če si v večini primerov zamislite poljubno število in nato iz njega poskušate izluščiti koren poljubne stopnje, vas čaka strašna težava.
Kaj je tam! Tudi najpreprostejšega in najbolj poznanega $\sqrt(2)$ ni mogoče predstaviti v naši običajni obliki - kot celo število ali ulomek. In če to številko vnesete v kalkulator, boste videli tole:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Kot lahko vidite, je za decimalno vejico neskončno zaporedje števil, ki ne sledijo nobeni logiki. To številko lahko seveda zaokrožite, da jo hitro primerjate z drugimi številkami. Na primer:
\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]
Ali tukaj je še en primer:
\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]
Toda vse te zaokrožitve so, prvič, precej grobe; in drugič, prav tako morate biti sposobni delati s približnimi vrednostmi, sicer lahko ujamete kup neočitnih napak (mimogrede, spretnost primerjave in zaokroževanja je treba preizkusiti na enotnem državnem izpitu profila).
Zato v resni matematiki ne morete brez korenin - so enaki enaki predstavniki množice vseh realnih števil $\mathbb(R)$, tako kot ulomki in cela števila, ki so nam že dolgo znani.
Nezmožnost predstavitve korena kot ulomka oblike $\frac(p)(q)$ pomeni, da ta koren ni racionalno število. Takšna števila se imenujejo iracionalna in jih ni mogoče natančno predstaviti, razen s pomočjo radikala ali drugih konstrukcij, posebej zasnovanih za to (logaritmi, potence, meje itd.). A o tem kdaj drugič.
Oglejmo si več primerov, kjer bodo po vseh izračunih v odgovoru še vedno ostala iracionalna števila.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2,236 ... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]
Seveda, glede na videz root je skoraj nemogoče uganiti, katera števila bodo prišla za decimalno vejico. Vendar se lahko zanesete na kalkulator, vendar nam tudi najnaprednejši kalkulator datumov ponudi le prvih nekaj števk iracionalnega števila. Zato je veliko pravilneje odgovore zapisati v obliki $\sqrt(5)$ in $\sqrt(-2)$.
Prav zaradi tega so bili izumljeni. Za priročno snemanje odgovorov.
Zakaj sta potrebni dve definiciji?
Pozorni bralec je verjetno že opazil, da so vsi kvadratni koreni, navedeni v primerih, vzeti iz pozitivnih števil. No, vsaj iz nič. Toda kubične korene je mogoče mirno izluščiti iz popolnoma katerega koli števila - naj bo to pozitivno ali negativno.
Zakaj se to dogaja? Oglejte si graf funkcije $y=((x)^(2))$:
Urnik kvadratna funkcija daje dva korena: pozitivno in negativno Poskusimo izračunati $\sqrt(4)$ z uporabo tega grafa. V ta namen na grafu narišemo vodoravno črto $y=4$ (označeno z rdečo), ki seka parabolo v dveh točkah: $((x)_(1))=2$ in $((x )_(2)) =-2$. To je povsem logično, saj
S prvo številko je vse jasno - pozitivna je, torej je koren:
Toda kaj potem storiti z drugo točko? Kot da ima štiri dve korenini hkrati? Konec koncev, če kvadriramo število −2, dobimo tudi 4. Zakaj potem ne bi zapisali $\sqrt(4)=-2$? In zakaj učitelji gledajo na take objave, kot da bi te radi požrli? :)
Težava je v tem, da če ne naložite dodatnih pogojev, bo štirikolesnik imel dva kvadratna korena - pozitivno in negativno. In vsako pozitivno število jih bo imelo tudi dva. Toda negativna števila sploh ne bodo imela korenin - to je razvidno iz istega grafa, saj parabola nikoli ne pade pod os l, tj. ne sprejema negativnih vrednosti.
Podoben problem se pojavi pri vseh korenih s sodim eksponentom:
- Strogo gledano bo imelo vsako pozitivno število dva korena s sodim eksponentom $n$;
- Iz negativnih števil se koren s parimi $n$ sploh ne izlušči.
Zato je v definiciji korena sode stopnje $n$ posebej določeno, da mora biti odgovor nenegativno število. Tako se znebimo dvoumnosti.
Toda za lihih $n$ te težave ni. Da bi to videli, si oglejmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:
Kockasta parabola ima lahko poljubno vrednost, zato lahko kubični koren vzamemo iz poljubnega števila Iz tega grafa lahko potegnemo dva zaključka:
- Veje kubične parabole, za razliko od navadne, gredo v neskončnost v obe smeri - tako navzgor kot navzdol. Torej, ne glede na to, na kateri višini narišemo vodoravno črto, se bo ta črta zagotovo sekala z našim grafom. Posledično je kubični koren vedno mogoče izluščiti iz absolutno katerega koli števila;
- Poleg tega bo takšno presečišče vedno edinstveno, zato vam ni treba razmišljati o tem, katera številka velja za "pravilen" koren in katero prezreti. Zato je določanje korenov za liho stopnjo preprostejše kot za sodo stopnjo (ni zahteve po nenegativnosti).
Škoda, da te preproste stvari v večini učbenikov niso pojasnjeni. Namesto tega se naši možgani začnejo dvigovati z vsemi vrstami aritmetičnih korenov in njihovih lastnosti.
Da, ne trdim: tudi vedeti morate, kaj je aritmetični koren. In o tem bom podrobno govoril v ločeni lekciji. Danes bomo govorili tudi o tem, saj bi brez tega vse misli o korenih $n$-te množice bile nepopolne.
Toda najprej morate jasno razumeti definicijo, ki sem jo dal zgoraj. V nasprotnem primeru se bo zaradi obilice izrazov v vaši glavi začela taka zmešnjava, da na koncu ne boste razumeli čisto nič.
Vse, kar morate storiti, je razumeti razliko med sodimi in lihimi indikatorji. Zato še enkrat zberimo vse, kar resnično morate vedeti o koreninah:
- Koren sode stopnje obstaja le iz nenegativnega števila in je sam vedno nenegativno število. Za negativna števila je tak koren nedefiniran.
- Toda koren lihe stopnje obstaja iz katerega koli števila in je sam lahko poljubno število: za pozitivna števila je pozitiven, za negativna števila pa, kot namiguje kapica, negativen.
Je težko? Ne, ni težko. To je jasno? Da, popolnoma je očitno! Zdaj bomo malo vadili z izračuni.
Osnovne lastnosti in omejitve
Korenine imajo veliko čudnih lastnosti in omejitev - o tem bomo razpravljali v ločeni lekciji. Zato bomo zdaj upoštevali le najpomembnejši "trik", ki velja samo za korenine s sodim indeksom. Zapišimo to lastnost kot formulo:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\levo| x\desno|\]
Z drugimi besedami, če dvignemo število na sodo potenco in nato izvlečemo koren iste potence, ne bomo dobili prvotnega števila, ampak njegov modul. To je preprost izrek, ki ga je enostavno dokazati (dovolj je, da ločeno obravnavamo nenegativne $x$ in nato ločeno negativne). Učitelji nenehno govorijo o tem, podano je v vsakem šolskem učbeniku. Čim pa gre za reševanje iracionalnih enačb (tj. enačb z radikalnim predznakom), učenci soglasno pozabijo na to formulo.
Da bi podrobno razumeli težavo, za trenutek pozabimo na vse formule in poskusimo izračunati dve številki neposredno naprej:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\levo(-3 \desno))^(4)))=?\]
To je zelo preprosti primeri. Večina ljudi bo rešila prvi primer, marsikomu pa se zatakne pri drugem. Če želite takšno sranje rešiti brez težav, vedno upoštevajte postopek:
- Najprej se število dvigne na četrto potenco. No, nekako je enostavno. Dobili boste novo številko, ki jo najdete celo v tabeli množenja;
- In zdaj je treba iz te nove številke izluščiti četrti koren. Tisti. ne pride do "zmanjšanja" korenin in moči - to so zaporedna dejanja.
Poglejmo prvi izraz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očitno morate najprej izračunati izraz pod korenom:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Nato izvlečemo četrti koren števila 81:
Sedaj pa naredimo isto z drugim izrazom. Najprej dvignemo število −3 na četrto potenco, kar zahteva, da ga pomnožimo s samim seboj 4-krat:
\[((\levo(-3 \desno))^(4))=\levo(-3 \desno)\cdot \levo(-3 \desno)\cdot \levo(-3 \desno)\cdot \ levo(-3 \desno)=81\]
Dobili smo pozitivno število, saj je skupno število minusov v produktu 4 in vsi se bodo izničili (navsezadnje minus za minus daje plus). Nato znova izvlečemo koren:
Ta vrstica načeloma ne bi mogla biti zapisana, saj ni pametno, da bi bil odgovor enak. Tisti. sodi koren iste sode moči "sežge" minuse in v tem smislu se rezultat ne razlikuje od običajnega modula:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \desno|=3; \\ & \sqrt(((\levo(-3 \desno))^(4)))=\levo| -3 \desno|=3. \\ \end(align)\]
Ti izračuni se dobro ujemajo z definicijo korena sode stopnje: rezultat je vedno nenegativen in predznak radikala prav tako vedno vsebuje nenegativno število. V nasprotnem primeru je koren nedefiniran.
Opomba o postopku
- Zapis $\sqrt(((a)^(2)))$ pomeni, da najprej kvadriramo število $a$ in nato vzamemo kvadratni koren dobljene vrednosti. Zato smo lahko prepričani, da je pod korenom vedno nenegativno število, saj je $((a)^(2))\ge 0$ v vsakem primeru;
- Toda zapis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, nasprotno, pomeni, da najprej vzamemo koren določenega števila $a$ in šele nato kvadriramo rezultat. Zato število $a$ v nobenem primeru ne more biti negativno - to je obvezna zahteva, vključena v definicijo.
Tako v nobenem primeru ne bi smeli nepremišljeno zmanjševati korenin in stopenj, s čimer naj bi "poenostavili" prvotni izraz. Kajti če ima koren negativno število in je njegov eksponent sod, dobimo kup težav.
Vendar pa so vse te težave pomembne samo za sode kazalnike.
Odstranitev znaka minus izpod znaka korena
Seveda imajo tudi koreni z lihimi eksponenti svojo lastnost, ki je pri sodih načeloma ni. namreč:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Skratka, lahko odstranite minus izpod znaka korenov lihih stopinj. To je zelo uporabna lastnina, ki vam omogoča, da "vržete" vse negative:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Ta preprosta lastnost močno poenostavi številne izračune. Zdaj vam ni treba skrbeti: kaj če je bil pod korenom skrit negativen izraz, vendar se je stopnja v korenu izkazala za enakomerno? Dovolj je le, da vse minuse "vržemo ven" zunaj korenin, nato pa jih lahko med seboj pomnožimo, razdelimo in na splošno naredimo veliko sumljivih stvari, ki nas v primeru "klasičnih" korenin zagotovo pripeljejo do napaka.
In tu pride na sceno druga definicija - ista, s katero v večini šol začnejo študij iracionalnih izrazov. In brez katerega bi bilo naše sklepanje nepopolno. Spoznajte nas!
Aritmetični koren
Za trenutek predpostavimo, da so pod korenom lahko samo pozitivna števila ali v skrajnem primeru nič. Pozabimo na soda števila/ čudni indikatorji, pozabimo na vse zgoraj navedene definicije - delali bomo samo z nenegativnimi števili. Kaj potem?
In potem bomo dobili aritmetični koren - delno se prekriva z našimi "standardnimi" definicijami, vendar se še vedno razlikuje od njih.
Opredelitev. Aritmetični koren $n$te stopnje nenegativnega števila $a$ je nenegativno število $b$, tako da je $((b)^(n))=a$.
Kot vidimo, nas pariteta ne zanima več. Namesto tega se je pojavila nova omejitev: radikalni izraz je zdaj vedno nenegativen in sam koren je prav tako nenegativen.
Da bi bolje razumeli, kako se aritmetični koren razlikuje od običajnega, si oglejte grafe kvadratne in kubične parabole, ki ju že poznamo:
Področje iskanja aritmetičnega korena - nenegativna števila Kot lahko vidite, nas od zdaj naprej zanimajo samo tisti deli grafov, ki se nahajajo v prvi koordinatni četrtini - kjer sta koordinati $x$ in $y$ pozitivni (ali vsaj nič). Ni vam več treba pogledati indikatorja, da bi razumeli, ali imamo pravico postaviti negativno število pod koren ali ne. Ker se negativna števila načeloma ne upoštevajo več.
Lahko se vprašate: "No, zakaj potrebujemo tako kastrirano definicijo?" Ali: "Zakaj se ne moremo sprijazniti z zgoraj navedeno standardno definicijo?"
No, navedel bom samo eno lastnost, zaradi katere postane nova definicija ustrezna. Na primer, pravilo za potenciranje:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Upoštevajte: radikalni izraz lahko dvignemo na poljubno potenco in hkrati pomnožimo korenski eksponent z isto potenco - in rezultat bo isto število! Tu so primeri:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Torej, kaj je tako pomembno? Zakaj tega nismo mogli narediti prej? Evo zakaj. Razmislimo o preprostem izrazu: $\sqrt(-2)$ - to število je povsem običajno v našem klasičnem razumevanju, vendar popolnoma nesprejemljivo z vidika aritmetičnega korena. Poskusimo ga pretvoriti:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \desno))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Kot lahko vidite, smo v prvem primeru odstranili minus izpod radikala (imamo vso pravico, saj je eksponent lih), v drugem primeru pa smo uporabili zgornjo formulo. Tisti. Z matematičnega vidika je vse narejeno po pravilih.
WTF?! Kako je lahko isto število hkrati pozitivno in negativno? Ni šans. Samo formula za potenciranje, ki odlično deluje pri pozitivnih številih in ničli, začne v primeru negativnih števil proizvajati popolno herezijo.
Da bi se znebili takšne dvoumnosti, so se domislili aritmetični koreni. Posvečena jim je posebna velika lekcija, kjer podrobno obravnavamo vse njihove lastnosti. Zato se zdaj ne bomo ukvarjali z njimi - lekcija se je že izkazala za predolgo.
Algebrski koren: za tiste, ki želijo vedeti več
Dolgo sem razmišljal, ali naj to temo postavim v ločen odstavek ali ne. Na koncu sem se odločil, da ga pustim tukaj. To gradivo je namenjeno tistim, ki želijo še bolje razumeti korenine - ne več na povprečni "šolski" ravni, ampak na ravni, ki je blizu olimpijade.
Torej: poleg "klasične" definicije $n$-tega korena števila in s tem povezane delitve na sode in lihe eksponente, obstaja bolj "odrasla" definicija, ki sploh ni odvisna od paritete in drugih tankosti. To se imenuje algebraični koren.
Opredelitev. Algebrski $n$-ti koren katerega koli $a$ je množica vseh števil $b$, tako da je $((b)^(n))=a$. Za takšne korenine ni uveljavljenega poimenovanja, zato bomo na vrh postavili pomišljaj:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\levo\( b\levo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]
Temeljna razlika od standardne definicije, podane na začetku lekcije, je ta algebrski koren- to ni določeno število, ampak niz. In ker delamo z realnimi števili, je ta komplet na voljo samo v treh vrstah:
- Prazen komplet. Pojavi se, ko morate najti algebraični koren sode stopnje iz negativnega števila;
- Komplet, sestavljen iz enega samega elementa. Vsi koreni lihih potenc, kot tudi koreni sodih potenc nič, spadajo v to kategorijo;
- Končno lahko nabor vključuje dve števili - isto $((x)_(1))$ in $((x)_(2))=-((x)_(1))$, ki smo ju videli na graf kvadratne funkcije. Skladno s tem je takšna ureditev možna le pri izločanju korena sode stopnje iz pozitivnega števila.
Zadnji primer si zasluži podrobnejšo obravnavo. Preštejmo nekaj primerov, da bomo razumeli razliko.
Primer. Ocenite izraze:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
rešitev. Prvi izraz je preprost:
\[\overline(\sqrt(4))=\levo\( 2;-2 \desno\)\]
To sta dve številki, ki sta del niza. Ker vsak od njih na kvadrat daje štirico.
\[\overline(\sqrt(-27))=\levo\( -3 \desno\)\]
Tukaj vidimo niz, sestavljen iz samo ene številke. To je povsem logično, saj je korenski eksponent lih.
Na koncu še zadnji izraz:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnič \]
Prejeli smo prazen komplet. Ker ne obstaja niti eno realno število, ki bi nam, če bi ga dvignili na četrto (torej sodo!) potenco, dalo negativno število −16.
Končna opomba. Pozor: nisem slučajno povsod zapisal, da delamo z realnimi številkami. Ker obstajajo tudi kompleksna števila - tam je povsem mogoče izračunati $\sqrt(-16)$ in še marsikaj čudnega.
Vendar se kompleksna števila skoraj nikoli ne pojavljajo v sodobnih šolskih tečajih matematike. Odstranjeni so bili iz večine učbenikov, ker naši uradniki menijo, da je tema »pretežka za razumevanje«.
To je vse. V naslednji lekciji bomo obravnavali vse ključne lastnosti korenine in se končno naučite poenostaviti iracionalne izraze. :)
Lekcija in predstavitev na temo: "Lastnosti n-tega korena. Izreki"
Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.
Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 11. razred
Interaktivni priročnik za razrede 9–11 "Trigonometrija"
Interaktivni priročnik za razrede 10–11 "Logaritmi"
Lastnosti n-tega korena. Izreki
Fantje, nadaljujemo s preučevanjem n-te korenine realnega števila. Kot skoraj vsi matematični predmeti imajo tudi korenine n-te stopnje določene lastnosti, danes jih bomo preučevali.Vse lastnosti, ki jih bomo upoštevali, so oblikovane in dokazane samo za nenegativne vrednosti spremenljivk, vsebovanih pod znakom korena.
V primeru lihega korenskega eksponenta se izvajajo tudi za negativne spremenljivke.
Izrek 1. N-ti koren produkta dveh nenegativnih števil je enak produktu n-tih korenin teh števil: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b)$.
Dokažimo izrek.
Dokaz. Fantje, da dokažemo izrek, uvedimo nove spremenljivke, jih označimo:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Dokazati moramo, da je $x=y*z$.
Upoštevajte, da veljajo tudi naslednje identitete:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Potem velja naslednja identiteta: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Potenci dveh nenegativnih števil in njunih eksponentov sta enaki, potem sta osnovi samih potenci enaki. To pomeni $x=y*z$, kar je bilo treba dokazati.
2. izrek. Če je $a≥0$, $b>0$ in je n naravno število, večje od 1, potem velja naslednja enakost: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
To pomeni, da je n-ti koren kvocienta enak kvocientu n-tih korenin.
Dokaz.
Da bi to dokazali, bomo uporabili poenostavljen diagram v obliki tabele:
Primeri izračuna n-tega korena
Primer.Izračunajte: $\sqrt(16*81*256)$.
rešitev. Uporabimo izrek 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Primer.
Izračunajte: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
rešitev. Predstavimo radikalni izraz v obliki nepravilni ulomek: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Uporabimo izrek 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
Primer.
Izračunajte:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
rešitev:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Izrek 3. Če so $a≥0$, k in n naravna števila, večja od 1, potem velja enakost: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Da povzdignemo korenino do naravne moči, je dovolj, da dvignemo radikalni izraz do te moči.
Dokaz.
Poglejmo poseben primer za $k=3$. Uporabimo teorem 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Enako se lahko dokaže za kateri koli drug primer. Fantje, dokažite sami za primer, ko je $k=4$ in $k=6$.
Izrek 4. Če so $a≥0$ b n,k naravna števila, večja od 1, potem velja enakost: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Če želite izvleči koren iz korenine, je dovolj, da pomnožite indikatorje korenin.
Dokaz.
Ponovno na kratko dokažimo s tabelo. Da bi to dokazali, bomo uporabili poenostavljen diagram v obliki tabele: 
Primer.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Izrek 5. Če eksponente korenskega in radikalnega izraza pomnožimo z istim naravnim številom, se vrednost korena ne spremeni: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .
Dokaz.
Princip dokazovanja našega izreka je enak kot v drugih primerih. Uvedimo nove spremenljivke:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (po definiciji).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (po definiciji).
Dvignimo zadnjo enakost na potenco p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
dobil:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
To je $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, kar je bilo treba dokazati.
Primeri:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (indikatorje deljeno s 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (indikatorje deljeno z 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (indikatorji pomnoženi s 3).
Primer.
Izvedite dejanja: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
rešitev.
Indikatorji korenin so različne številke, zato ne moremo uporabiti izreka 1, lahko pa z uporabo izreka 5 dobimo enake indikatorje.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (indikatorji pomnoženi s 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (indikatorji pomnoženi s 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno
1. Izračunajte: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Izračunajte: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Izračunaj:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Poenostavite:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Izvedite dejanja: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
