Koncept paralelogramu
Definícia 1
Paralelogram je štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany navzájom rovnobežné (obr. 1).
Obrázok 1.
Rovnobežník má dve hlavné vlastnosti. Uvažujme o nich bez dôkazov.
Vlastnosť 1: Protiľahlé strany a uhly rovnobežníka sú rovnaké.
Vlastnosť 2: Uhlopriečky nakreslené v rovnobežníku sú rozdelené na polovicu ich priesečníka.
Znaky rovnobežníka
Uvažujme tri charakteristiky rovnobežníka a prezentujme ich vo forme viet.
Veta 1
Ak sú dve strany štvoruholníka rovnaké a rovnobežné, potom tento štvoruholník bude rovnobežník.
Dôkaz.
Dajme nám štvoruholník $ABCD$. Do ktorej $AB||CD$ a $AB=CD$ Narysujme do nej uhlopriečku $AC$ (obr. 2).
Obrázok 2
Uvažujme rovnobežné čiary $AB$ a $CD$ a ich sečnicu $AC$. Potom
\[\uhol CAB=\uhol DCA\]
ako prekrížené rohy.
Podľa $I$ kritéria rovnosti trojuholníkov,
pretože $AC$ je ich spoločná strana a $AB=CD$ podľa podmienky. Prostriedky
\[\uhol DAC=\uhol ACB\]
Zoberme si priamky $AD$ a $CB$ a ich sečnicu $AC$, poslednou rovnosťou naprieč ležiacimi uhlami dostaneme $AD||CB$.) V dôsledku toho je podľa definície $1$ tento štvoruholník rovnobežník.
Veta je dokázaná.
Veta 2
Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké, ide o rovnobežník.
Dôkaz.
Dajme nám štvoruholník $ABCD$. V ktorých $AD=BC$ a $AB=CD$. Nakreslíme do nej uhlopriečku $AC$ (obr. 3).
Obrázok 3.
Keďže $AD=BC$, $AB=CD$ a $AC$ je spoločná strana, potom podľa kritéria $III$ pre rovnosť trojuholníkov,
\[\triangle DAC=\triangle ACB\]
\[\uhol DAC=\uhol ACB\]
Uvažujme priamky $AD$ a $CB$ a ich sečnicu $AC$, pričom podľa poslednej rovnosti medzi ležiacimi uhlami dostaneme $AD||CB$. Preto je podľa definície $1$ tento štvoruholník rovnobežník.
\[\uhol DCA=\uhol CAB\]
Uvažujme priamky $AB$ a $CD$ a ich sečnicu $AC$, podľa poslednej rovnosti medzi ležiacimi uhlami dostaneme $AB||CD$. Preto podľa definície 1 je tento štvoruholník rovnobežníkom.
Veta je dokázaná.
Veta 3
Ak sú uhlopriečky nakreslené v štvoruholníku ich priesečníkom rozdelené na dve rovnaké časti, potom je tento štvoruholník rovnobežníkom.
Dôkaz.
Dajme nám štvoruholník $ABCD$. Nakreslíme do nej uhlopriečky $AC$ a $BD$. Nech sa pretínajú v bode $O$ (obr. 4).
Obrázok 4.
Keďže podľa podmienky $BO=OD,\ AO=OC$ a uhly $\uhol COB=\uhol DOA$ sú vertikálne, potom podľa kritéria $I$ pre rovnosť trojuholníkov,
\[\triangle BOC=\triangle AOD\]
\[\uhol DBC=\uhol BDA\]
Zoberme si priamky $BC$ a $AD$ a ich sečnicu $BD$, podľa poslednej rovnosti medzi ležiacimi uhlami dostaneme $BC||AD$. Tiež $BC=AD$. Preto podľa vety $1$ je tento štvoruholník rovnobežníkom.
Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné, t.j. ležať na rovnobežných čiarach
Vlastnosti rovnobežníka: 
Veta 22.
Opačné strany rovnobežníka sú rovnaké.
Dôkaz. Do rovnobežníka ABCD nakreslíme uhlopriečku AC. Trojuholníky ACD a ACB sú rovnaké, pretože majú spoločnú stranu AC a dva páry rovnaké uhly. vedľa nej: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (ako priečne uhly s rovnobežnými priamkami AD a BC). To znamená, že AB = CD a BC = AD, ako zodpovedajúce strany rovnakých trojuholníkov atď. Z rovnosti týchto trojuholníkov tiež vyplýva, že zodpovedajúce uhly trojuholníkov sú rovnaké:
Veta 23.
Opačné uhly rovnobežníka sú rovnaké: ∠ A=∠ C a ∠ B=∠ D.
Rovnosť prvého páru pochádza z rovnosti trojuholníkov ABD a CBD a druhého - ABC a ACD.
Veta 24.
Susedné uhly rovnobežníka, t.j. uhly susediace s jednou stranou sú 180 stupňov.
Je to preto, že ide o vnútorné jednostranné uhly.
Veta 25.
Uhlopriečky rovnobežníka sa navzájom pretínajú vo svojom priesečníku.
Dôkaz. Zvážte trojuholníky BOC a AOD. Podľa prvej vlastnosti AD=BC ∠ OAD=∠ OCB a ∠ ODA=∠ OBC ležiacej priečne pre rovnobežky AD a BC. Preto sú trojuholníky BOC a AOD rovnaké v bočných a susedných uhloch. To znamená BO=OD a AO=OS, ako zodpovedajúce strany rovnakých trojuholníkov atď.
Znaky rovnobežníka
Veta 26.
Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké v pároch, potom ide o rovnobežník.
Dôkaz. Nech má štvoruholník ABCD strany AD a BC, AB a CD rovnaké (obr. 2). Nakreslíme uhlopriečku AC. Trojuholníky ABC a ACD sú na troch stranách rovnaké. Potom sú uhly BAC a DCA rovnaké, a preto je AB rovnobežná s CD. Rovnobežnosť strán BC a AD vyplýva z rovnosti uhlov CAD a ACB.
Veta 27.
Ak sú opačné uhly štvoruholníka rovnaké v pároch, potom ide o rovnobežník.
Nech ∠ A=∠ C a ∠ B=∠ D. Pretože ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, potom ∠ A+∠ B=180 o a strany AD a BC sú rovnobežné (na základe rovnobežnosti priamok). Tiež dokážeme rovnobežnosť strán AB a CD a dospejeme k záveru, že ABCD je podľa definície rovnobežník.
Veta 28.
Ak susedné rohy štvoruholníka, t.j. Uhly susediace s jednou stranou sú 180 stupňov, potom je to rovnobežník.
Ak súčet vnútorných jednostranných uhlov je 180 stupňov, potom sú priamky rovnobežné. Takže AB je rovnobežná s CD a BC je rovnobežná s AD. Štvoruholník sa podľa definície javí ako rovnobežník.
Veta 29.
Ak sa uhlopriečky štvoruholníka navzájom pretínajú v priesečníku, potom je štvoruholník rovnobežník.
Dôkaz. Ak AO = OC, BO = OD, potom sú trojuholníky AOD a BOC rovnaké, pretože majú rovnaké (vertikálne) uhly vo vrchole O, uzavreté medzi pármi rovnakých strán. Z rovnosti trojuholníkov usudzujeme, že AD a BC sú rovnaké. Strany AB a CD sú tiež rovnaké a štvoruholník sa ukáže ako rovnobežník podľa kritéria 1.
Veta 30.
Ak má štvoruholník dvojicu rovnakých rovnobežných strán, ide o rovnobežník.
Nech sú strany AB a CD štvoruholníka ABCD rovnobežné a rovnaké. Nakreslíme uhlopriečky AC a BD. Z rovnobežnosti týchto priamok vyplýva, že priečne uhly ABO = CDO a BAO = OCD sú rovnaké. Trojuholníky ABO a CDO sú rovnaké v bočných a susedných uhloch. Preto AO=OS, VO=ОD, t.j. Uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom a štvoruholník sa ukáže ako rovnobežník podľa kritéria 4.
V geometrii sa zvažujú špeciálne prípady rovnobežníkov.
Pri riešení problémov na túto tému okrem základné vlastnosti rovnobežník a zodpovedajúce vzorce, môžete si zapamätať a použiť nasledujúce:
- Osa vnútorného uhla rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník
- Osy vnútorných uhlov susediacich s jednou zo strán rovnobežníka sú navzájom kolmé
- Úsečky vychádzajúce z protiľahlých vnútorných rohov rovnobežníka sú navzájom rovnobežné alebo ležia na rovnakej priamke
- Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín jeho strán
- Plocha rovnobežníka sa rovná polovici súčinu uhlopriečok a sínusu uhla medzi nimi
Pozrime sa na problémy, v ktorých sa tieto vlastnosti používajú.
Úloha 1.
Osa uhla C rovnobežníka ABCD pretína stranu AD v bode M a pokračovanie strany AB za bodom A v bode E. Nájdite obvod rovnobežníka, ak AE = 4, DM = 3.
Riešenie.
1. Trojuholník CMD je rovnoramenný. (Nehnuteľnosť 1). Preto CD = MD = 3 cm.
2. Trojuholník EAM je rovnoramenný.
Preto AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Obvod ABCD = 20 cm.
Odpoveď. 20 cm.
Úloha 2.
Diagonály sú nakreslené v konvexnom štvoruholníku ABCD. Je známe, že plochy trojuholníkov ABD, ACD, BCD sú rovnaké. Dokážte, že tento štvoruholník je rovnobežník.
Riešenie.
1. Nech BE je výška trojuholníka ABD, CF je výška trojuholníka ACD. Keďže podľa podmienok úlohy sú obsahy trojuholníkov rovnaké a majú spoločnú základňu AD, potom sú výšky týchto trojuholníkov rovnaké. BE = CF.
2. BE, CF sú kolmé na AD. Body B a C sú umiestnené na rovnakej strane vzhľadom na priamku AD. BE = CF. Preto priamka BC || A.D. (*)
3. Nech AL je výška trojuholníka ACD, BK výška trojuholníka BCD. Keďže podľa podmienok úlohy sú obsahy trojuholníkov rovnaké a majú spoločnú základňu CD, potom sú výšky týchto trojuholníkov rovnaké. AL = BK.
4. AL a BK sú kolmé na CD. Body B a A sú umiestnené na rovnakej strane vzhľadom na priamku CD. AL = BK. Preto priamka AB || CD (**)
5. Z podmienok (*), (**) vyplýva, že ABCD je rovnobežník.
Odpoveď. Osvedčené. ABCD je rovnobežník.
Úloha 3.
Na stranách BC a CD rovnobežníka ABCD sú označené body M a H tak, že segmenty BM a HD sa pretínajú v bode O;<ВМD = 95 о,
Riešenie.
1. V trojuholníku DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. V pravouhlom trojuholníku DHC Potom<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ale CD = AB. Potom AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Odpoveď: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Úloha 4. Jedna z uhlopriečok rovnobežníka s dĺžkou 4√6 zviera so základňou uhol 60° a druhá uhlopriečka zviera s rovnakou základňou uhol 45°. Nájdite druhú uhlopriečku. Riešenie.
1. AO = 2√6. 2. Aplikujeme sínusovú vetu na trojuholník AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. odpoveď: 12.
Úloha 5. Pre rovnobežník so stranami 5√2 a 7√2 sa menší uhol medzi uhlopriečkami rovná menšiemu uhlu rovnobežníka. Nájdite súčet dĺžok uhlopriečok. Riešenie.
Nech d 1, d 2 sú uhlopriečky rovnobežníka a uhol medzi uhlopriečkami a menším uhlom rovnobežníka je rovný φ. 1. Počítajme dva rôzne S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Získame rovnosť 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f alebo 2 · 5√2 · 7√2 = d1d2; 2. Pomocou vzťahu medzi stranami a uhlopriečkami rovnobežníka zapíšeme rovnosť (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d12 + d22 = 296. 3. Vytvorme systém: (d12 + d22 = 296, Vynásobme druhú rovnicu sústavy 2 a pripočítajme ju k prvej. Dostaneme (d 1 + d 2) 2 = 576. Preto Id 1 + d 2 I = 24. Pretože d 1, d 2 sú dĺžky uhlopriečok rovnobežníka, potom d 1 + d 2 = 24. odpoveď: 24.
Úloha 6. Strany rovnobežníka sú 4 a 6. Ostrý uhol medzi uhlopriečkami je 45 stupňov. Nájdite oblasť rovnobežníka. Riešenie.
1. Z trojuholníka AOB pomocou kosínusovej vety napíšeme vzťah medzi stranou rovnobežníka a uhlopriečkami. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 42 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2) cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 / 4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 / 2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Podobne napíšeme vzťah pre trojuholník AOD. Zoberme si to do úvahy<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Dostaneme rovnicu d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Máme systém Odčítaním prvej od druhej rovnice dostaneme 2d 1 · d 2 √2 = 80 resp. d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Poznámka: V tomto a predchádzajúcom probléme nie je potrebné úplne vyriešiť systém, pretože v tomto probléme potrebujeme na výpočet plochy súčin uhlopriečok. odpoveď: 10. Úloha 7. Plocha rovnobežníka je 96 a jeho strany sú 8 a 15. Nájdite štvorec menšej uhlopriečky. Riešenie.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Urobme substitúciu vo vzorci. Dostaneme 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Preto hriech ВAD = 4/5. 2. Nájdime cos VAD. hriech 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. Podľa podmienok úlohy zistíme dĺžku menšej uhlopriečky. Uhlopriečka ВD bude menšia, ak je uhol ВАD ostrý. Potom cos VAD = 3/5. 3. Z trojuholníka ABD pomocou kosínusovej vety nájdeme druhú mocninu uhlopriečky BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. odpoveď: 145.
Stále máte otázky? Neviete, ako vyriešiť problém s geometriou? webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné v pároch. Nasledujúci obrázok znázorňuje rovnobežník ABCD. Má stranu AB rovnobežnú so stranou CD a stranu BC rovnobežnú so stranou AD. Ako ste možno uhádli, rovnobežník je konvexný štvoruholník. Uvažujme o základných vlastnostiach rovnobežníka. 1. V rovnobežníku sú opačné uhly a protiľahlé strany rovnaké. Dokážme túto vlastnosť - zvážte rovnobežník uvedený na nasledujúcom obrázku. Diagonálny BD ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky: ABD a CBD. Sú rovnaké pozdĺž strany BD a dvoch uhlov k nej priľahlých, pretože uhly ležia priečne na sečnici BD rovnobežných priamok BC a AD a AB a CD. Preto AB = CD a 2. Uhlopriečky rovnobežníka sú rozdelené na polovicu priesečníkom. Nech bod O je priesečníkom uhlopriečok AC a BD rovnobežníka ABCD. Potom sú trojuholník AOB a trojuholník COD rovnaké, pozdĺž bočných a dvoch susedných uhlov. (AB = CD, pretože ide o opačné strany rovnobežníka. A uhol1 = uhol2 a uhol3 = uhol4 sú ako priečne uhly, keď sa priamky AB a CD pretínajú so sečnicami AC a BD.) Z toho vyplýva, že AO = OC a OB = OD, ktoré a bolo potrebné preukázať. Všetky hlavné vlastnosti sú znázornené na nasledujúcich troch obrázkoch. "Veľký vedecký objav poskytuje riešenie veľkého problému, ale v riešení akéhokoľvek problému je zrnko objavu." Rovnobežník má protiľahlé strany, ktoré sú rovnaké. Dôkaz. Nech ABCD je daný rovnobežník. A nech sa jeho diagonály pretínajú v bode O. V rovnobežníku sú opačné uhly rovnaké. Dôkaz. Uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú a v priesečníku sú rozdelené na polovicu. Dôkaz. Nech ABCD je daný rovnobežník. Nakreslíme uhlopriečku AC. Označme si na ňom stred O. Na pokračovanie úsečky DO odložíme úsečku OB 1 rovnajúcu sa DO. V učebniciach pre bežné školy (napríklad v Pogorelove) je to dokázané takto: uhlopriečky rozdeľujú rovnobežník na 4 trojuholníky. Zoberme si jeden pár a zistíme - sú si rovné: ich základne sú opačné strany, zodpovedajúce uhly susediace s ním sú rovnaké, ako vertikálne uhly s rovnobežnými čiarami. To znamená, že segmenty uhlopriečok sú v pároch rovnaké. Všetky. Je to všetko? Sranda je, že túto časť je oveľa ťažšie dokázať. To mimochodom vyplýva zo všeobecnejšieho výsledku: akýkoľvek konvexný štvoruholník bude mať pretínajúce sa uhlopriečky, ale akýkoľvek nekonvexný štvoruholník nie. O rovnosti trojuholníkov pozdĺž strany a dvoch susedných uhlov (druhý znak rovnosti trojuholníkov) a iné. Thales našiel dôležitú praktickú aplikáciu vety o rovnosti dvoch trojuholníkov pozdĺž strany a dvoch susedných uhlov. V milétskom prístave bol postavený diaľkomer na určenie vzdialenosti od lode na mori. Pozostával z troch zarazených kolíkov A, B a C (AB = BC) a vyznačenej priamky SC, kolmej na CA. Keď sa loď objavila na priamke SK, našli sme bod D taký, že body D, .B a E boli na tej istej priamke. Ako je zrejmé z nákresu, vzdialenosť CD na zemi je požadovaná vzdialenosť od lode. Pracovali sme na lekcii Kuznecov A.V. Poturnak S.A. Jevgenij Petrov Môžete položiť otázku o modernom vzdelávaní, vyjadriť myšlienku alebo vyriešiť naliehavý problém na Vzdelávacie fórum, kde sa na medzinárodnej úrovni stretáva vzdelávacia rada nových myšlienok a činov. Po vytvorení blog, Zlepšíte si nielen svoj status kompetentného učiteľa, ale výrazne prispejete aj k rozvoju školy budúcnosti. Cech vzdelávacích lídrov otvára dvere špičkovým odborníkom a pozýva ich k spolupráci pri vytváraní najlepších škôl na svete.
(
(Pretože v pravouhlom trojuholníku sa noha, ktorá leží oproti uhlu 30°, rovná polovici prepony).
cesty svojej oblasti.
(d1 + d2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d12 + d22 + d1 · d2 √2 = 144.
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!
Vlastnosti rovnobežníka
BC = AD. A z rovnosti uhlov 1, 2, 3 a 4 vyplýva, že uhol A = uhol1 + uhol3 = uhol2 + uhol4 = uhol C.
Téma lekcie
Ciele lekcie
Ciele lekcie
Plán lekcie
Úvod
Vlastnosť protiľahlých strán rovnobežníka
Keďže Δ AOB = Δ COD podľa prvého kritéria rovnosti trojuholníkov (∠ AOB = ∠ COD, ako zvislé, AO=OC, DO=OB, podľa vlastnosti uhlopriečok rovnobežníka), potom AB=CD. Rovnakým spôsobom z rovnosti trojuholníkov BOC a DOA vyplýva, že BC = DA. Veta je dokázaná. Vlastnosť opačných uhlov rovnobežníka
Nech ABCD je daný rovnobežník. A nech sa jeho diagonály pretínajú v bode O.
Z toho, čo bolo dokázané vo vete o vlastnostiach protiľahlých strán rovnobežníka Δ ABC = Δ CDA na troch stranách (AB=CD, BC=DA z dokázaného, AC – všeobecné). Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že ∠ ABC = ∠ CDA.
Je tiež dokázané, že ∠ DAB = ∠ BCD, čo vyplýva z ∠ ABD = ∠ CDB. Veta je dokázaná.Vlastnosť uhlopriečok rovnobežníka
Podľa predchádzajúcej vety je AB 1 CD rovnobežník. Preto je čiara AB 1 rovnobežná s jednosmerným prúdom. Ale cez bod A možno nakresliť len jednu priamku rovnobežnú s DC. To znamená, že priamka AB 1 sa zhoduje s priamkou AB.
Je tiež dokázané, že BC 1 sa zhoduje s BC. To znamená, že bod C sa zhoduje s C1. rovnobežník ABCD sa zhoduje s rovnobežníkom AB 1 CD. V dôsledku toho sa uhlopriečky rovnobežníka pretínajú a sú v priesečníku rozdelené na polovicu. Veta je dokázaná.
Vyššie bolo dokázané, že priesečník pretína uhlopriečky - ak existuje. Vyššie uvedená úvaha nijako nedokazuje jej samotnú existenciu. To znamená, že časť vety „uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú“ zostáva nedokázaná.
Otázky
Zoznam použitých zdrojov
