Číselné a algebraické výrazy. Konverzia výrazov.

Čo je výraz v matematike? Prečo potrebujeme výrazové konverzie?

Otázka, ako sa hovorí, je zaujímavá... Faktom je, že tieto pojmy sú základom celej matematiky. Celá matematika pozostáva z výrazov a ich transformácií. Nie je to veľmi jasné? Nechaj ma vysvetliť.

Povedzme, že máte pred sebou zlý príklad. Veľmi veľké a veľmi zložité. Povedzme, že ste dobrí v matematike a ničoho sa nebojíte! Môžete dať odpoveď hneď?

Budeš musieť rozhodnúť tento príklad. Dôsledne, krok za krokom, tento príklad zjednodušiť. Autor: určité pravidlá, prirodzene. Tie. robiť konverzia výrazu. Čím úspešnejšie tieto premeny vykonávate, tým ste silnejší v matematike. Ak neviete, ako robiť správne premeny, v matematike ich nezvládnete. Nič...

Aby ste sa vyhli takejto nepríjemnej budúcnosti (alebo prítomnosti...), nezaškodí pochopiť túto tému.)

Po prvé, poďme to zistiť čo je výraz v matematike. Čo sa stalo číselný výraz a čo je algebraický výraz.

Čo je výraz v matematike?

Vyjadrenie v matematike- toto je veľmi široký pojem. Takmer všetko, čím sa v matematike zaoberáme, je súbor matematických výrazov. Akékoľvek príklady, vzorce, zlomky, rovnice a tak ďalej - to všetko pozostáva z matematické výrazy.

3+2 je matematický výraz. s 2 - d 2- to je tiež matematický výraz. Zdravý zlomok aj párne číslo sú matematické výrazy. Napríklad rovnica je:

5x + 2 = 12

pozostáva z dvoch matematických výrazov spojených znamienkom rovnosti. Jeden výraz je vľavo, druhý vpravo.

IN všeobecný pohľad termín " matematický výraz"používa sa najčastejšie, aby sa predišlo bzučaniu. Budú sa vás pýtať, čo je napríklad obyčajný zlomok? A ako odpovedať?!

Prvá odpoveď: „Toto je... mmmmmm... taká vec... v ktorej... Môžem napísať zlomok lepšie? Ktorý chceš?"

Druhá odpoveď: " Bežný zlomok- toto je (veselo a radostne!) matematický výraz , ktorá sa skladá z čitateľa a menovateľa!"

Druhá možnosť bude o niečo pôsobivejšia, však?)

Toto je účel vety „ matematický výraz „veľmi dobré. Správne aj pevné. Ale pre praktické použitie musíte dobre rozumieť špecifické typy výrazov v matematike .

Konkrétny typ je iná vec. Toto Je to úplne iná vec! Každý typ matematického výrazu má môj súbor pravidiel a techník, ktoré je potrebné použiť pri rozhodovaní. Pre prácu so zlomkami - jedna sada. Pre prácu s goniometrickými výrazmi - druhý. Pre prácu s logaritmami - tretí. A tak ďalej. Niekde sa tieto pravidlá zhodujú, niekde sa výrazne líšia. Nebojte sa však týchto strašidelných slov. V príslušných častiach si osvojíme logaritmy, trigonometriu a ďalšie záhadné veci.

Tu si osvojíme (alebo - zopakujeme, podľa toho kto...) dva hlavné typy matematických výrazov. Numerické výrazy a algebraické výrazy.

Číselné výrazy.

Čo sa stalo číselný výraz? Ide o veľmi jednoduchý koncept. Už samotný názov napovedá, že ide o výraz s číslami. je to tak. Matematický výraz zložený z čísel, zátvoriek a aritmetických symbolov sa nazýva číselný výraz.

7-3 je číselné vyjadrenie.

(8+3,2) 5,4 je tiež číselné vyjadrenie.

A toto monštrum:

aj číselné vyjadrenie, áno...

Bežné číslo, zlomok, akýkoľvek príklad výpočtu bez X a iných písmen - to všetko sú číselné výrazy.

Hlavné znamenie číselné výrazy - v ňom žiadne písmená. žiadne. Iba čísla a matematické ikony(ak je to potrebné). Je to jednoduché, však?

A s čím sa dá robiť číselné výrazy? Číselné výrazy sa zvyčajne dajú spočítať. K tomu sa stáva, že musíte otvárať zátvorky, meniť znamienka, skracovať, prehadzovať pojmy – t.j. robiť konverzie výrazov. Ale o tom viac nižšie.

Tu sa budeme zaoberať takým vtipným prípadom, keď s číselným vyjadrením nemusíte robiť nič. No vôbec nič! Táto príjemná operácia - Nerobiť nič)- sa vykoná, keď výraz nedáva zmysel.

Kedy nemá číselný výraz zmysel?

Je jasné, že ak pred sebou uvidíme nejaký druh abrakadabra, napr

potom neurobíme nič. Pretože nie je jasné, čo s tým robiť. Nejaký nezmysel. Možno spočítajte počet plusov...

Ale sú tam navonok celkom slušné prejavy. Napríklad toto:

(2+3) : (16 - 2 8)

Avšak, tento výraz tiež nedáva zmysel! Z jednoduchého dôvodu, že v druhej zátvorke - ak počítate - dostanete nulu. Ale nemôžete deliť nulou! Toto je v matematike zakázaná operácia. Preto ani s týmto výrazom netreba nič robiť. Pre každú úlohu s takýmto výrazom bude odpoveď vždy rovnaká: "Výraz nemá žiadny význam!"

Aby som dal takúto odpoveď, musel som, samozrejme, vypočítať, čo bude v zátvorkách. A niekedy je v zátvorkách veľa vecí... No, s tým sa nedá nič robiť.

V matematike nie je toľko zakázaných operácií. V tejto téme je len jeden. Delenie nulou. Ďalšie obmedzenia vyplývajúce z koreňov a logaritmov sú diskutované v príslušných témach.

Takže predstava o tom, čo to je číselný výraz- dostal. koncepcia číselný výraz nedáva zmysel- uvedomil si. Poďme ďalej.

Algebraické výrazy.

Ak sa v číselnom výraze objavia písmená, tento výraz sa zmení na... Výraz sa zmení na... Áno! Sa stane algebraický výraz. Napríklad:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 + 4 x - 4; (a+b) 2; ...

Takéto výrazy sa nazývajú aj doslovné výrazy. Alebo výrazy s premennými. Je to prakticky to isté. Výraz 5a + c, napríklad doslovný aj algebraický a výraz s premennými.

koncepcia algebraický výraz -širšie ako číselné. to zahŕňa a všetky číselné výrazy. Tie. číselný výraz je tiež algebraický výraz, len bez písmen. Každý sleď je ryba, ale nie každá ryba je sleď...)

Prečo? abecedný- To je jasné. No, keďže tam sú písmená... Fráza výraz s premennými Tiež to nie je veľmi záhadné. Ak chápete, že pod písmenami sú skryté čísla. Pod písmenami sa môžu skrývať všetky možné čísla... A 5, a -18 a čokoľvek iné. To znamená, že list môže byť nahradiť na rôzne čísla. Preto sa písmená volajú premenných.

Vo výraze y+5, Napríklad, pri- premenlivá hodnota. Alebo len povedia " premenná", bez slova „veľkosť“. Na rozdiel od päťky, čo je konštantná hodnota. Alebo jednoducho - konštantný.

Termín algebraický výraz znamená, že na prácu s týmto výrazom musíte použiť zákony a pravidlá algebra. Ak aritmetika potom pracuje s konkrétnymi číslami algebra- so všetkými číslami naraz. Jednoduchý príklad na vysvetlenie.

V aritmetike to môžeme napísať

Ale ak napíšeme takúto rovnosť prostredníctvom algebraických výrazov:

a + b = b + a

rozhodneme sa hned Všetky otázky. Pre všetky čísla mŕtvica. Pre všetko nekonečné. Pretože pod písmenami A A b implicitne Všetkyčísla. A nielen čísla, ale dokonca aj iné matematické výrazy. Takto funguje algebra.

Kedy algebraický výraz nedáva zmysel?

Všetko o číselnom vyjadrení je jasné. Nedá sa tam deliť nulou. A s písmenami sa dá zistiť, podľa čoho sa delíme?!

Vezmime si napríklad tento výraz s premennými:

2: (A - 5)

Dáva to zmysel? Kto vie? A- ľubovoľné číslo...

Akýkoľvek, akýkoľvek... Ale má to jeden význam A, pre ktorý tento výraz presne tak nedáva zmysel! A aké je toto číslo? Áno! Toto je 5! Ak premenná A nahraďte (hovoria „náhrada“) číslom 5, v zátvorkách dostanete nulu. Ktoré sa nedajú rozdeliť. Ukazuje sa teda, že náš výraz nedáva zmysel, Ak a = 5. Ale pre iné hodnoty A dáva to zmysel? Môžete nahradiť iné čísla?

určite. V takýchto prípadoch jednoducho hovoria, že výraz

2: (A - 5)

dáva zmysel pre akékoľvek hodnoty A, okrem a = 5 .

Celá množina čísel, ktorá Môcť dosadzovanie do daného výrazu sa nazýva regiónu prijateľné hodnoty tento výraz.

Ako vidíte, nie je nič zložité. Pozrime sa na výraz s premennými a zistíme: pri akej hodnote premennej sa získa zakázaná operácia (delenie nulou)?

A potom sa určite pozrite na otázku úlohy. Čo sa pýtajú?

nedáva zmysel, odpoveďou bude náš zakázaný význam.

Ak sa spýtate, pri akej hodnote premennej je výraz má význam(cíťte rozdiel!), odpoveď bude všetky ostatné čísla okrem zakázaných.

Prečo potrebujeme význam výrazu? Je tam, nie je... Aký je rozdiel?! Ide o to, že tento pojem sa na strednej škole stáva veľmi dôležitým. Extrémne dôležité! Toto je základ pre také pevné koncepty, ako je doména prijateľných hodnôt alebo doména funkcie. Bez toho nebudete môcť riešiť vážne rovnice alebo nerovnice vôbec. Páči sa ti to.

Konverzia výrazov. Transformácie identity.

Zoznámili sme sa s číselnými a algebraickými výrazmi. Pochopili sme, čo znamená fráza „výraz nemá žiadny význam“. Teraz musíme zistiť, čo to je transformácia výrazov. Odpoveď je jednoduchá, až hanba.) Ide o akúkoľvek akciu s výrazom. To je všetko. Tieto premeny robíte už od prvej triedy.

Vezmime si cool číselné vyjadrenie 3+5. Ako sa dá previesť? Áno, veľmi jednoduché! Vypočítať:

Tento výpočet bude transformáciou výrazu. Rovnaký výraz môžete napísať inak:

Tu sme nepočítali vôbec nič. Stačí si zapísať výraz v inej forme. Toto bude tiež transformácia výrazu. Môžete to napísať takto:

A aj toto je premena výrazu. Takýchto premien môžete urobiť toľko, koľko chcete.

akýkoľvek pôsobenie na výraz akýkoľvek napísanie v inej forme sa nazýva transformácia výrazu. A to je všetko. Všetko je veľmi jednoduché. Ale je tu jedna vec veľmi dôležité pravidlo. Tak dôležité, že sa dá bezpečne zavolať hlavné pravidlo celá matematika. Porušenie tohto pravidla nevyhnutne vedie k chybám. Ideme do toho?)

Povedzme, že sme svoj výraz náhodne zmenili takto:

Konverzia? určite. Napísali sme výraz v inej forme, čo je tu zlé?

Nie je to tak.) Ide o to, že premeny "náhodne" sa o matematiku vôbec nezaujímajú.) Celá matematika je postavená na transformáciách, v ktorých vzhľad, ale podstata výrazu sa nemení. Tri plus päť môže byť napísané v akomkoľvek tvare, ale musí to byť osem.

premeny, výrazy, ktoré nemenia podstatu sa volajú identické.

presne tak transformácie identity a dovoľte nám, aby sme sa krok za krokom transformovali komplexný príklad do jednoduchého výrazu, udržiavanie podstata príkladu. Ak urobíme chybu v reťazci transformácií, urobíme NIE identickú transformáciu, potom sa rozhodneme ďalší príklad. S ďalšími odpoveďami, ktoré nesúvisia so správnymi.)

Toto je hlavné pravidlo pre riešenie akýchkoľvek úloh: zachovanie identity transformácií.

Pre názornosť som uviedol príklad s číselným vyjadrením 3+5. V algebraických výrazoch sú transformácie identity dané vzorcami a pravidlami. Povedzme, že v algebre existuje vzorec:

a(b+c) = ab + ac

To znamená, že v akomkoľvek príklade môžeme namiesto výrazu a(b+c) kľudne napíš výraz ab + ac. A naopak. Toto identická transformácia. Matematika nám dáva na výber medzi týmito dvoma výrazmi. A ktorý napísať závisí od konkrétneho príkladu.

Ďalší príklad. Jednou z najdôležitejších a nevyhnutných transformácií je základná vlastnosť zlomku. Viac podrobností si môžete pozrieť v odkaze, ale tu vám len pripomeniem pravidlo: Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí (vydelí) rovnakým číslom alebo výrazom, ktorý sa nerovná nule, zlomok sa nezmení. Tu je príklad transformácií identity pomocou tejto vlastnosti:

Ako iste tušíte, v tomto reťazci sa dá pokračovať donekonečna...) Veľmi dôležitá vlastnosť. Práve to vám umožňuje zmeniť všetky druhy príkladov príšer na biele a nadýchané.)

Existuje mnoho vzorcov definujúcich identické transformácie. Ale tých najdôležitejších je celkom rozumný počet. Jednou zo základných transformácií je faktorizácia. Používa sa vo všetkej matematike – od základnej až po pokročilú. Začnime ním. V ďalšej lekcii.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Čísla a výrazy, ktoré tvoria pôvodný výraz, možno nahradiť identicky rovnakými výrazmi. Takáto transformácia pôvodného výrazu vedie k výrazu, ktorý je mu identicky rovný.

Napríklad vo výraze 3+x možno číslo 3 nahradiť súčtom 1+2, čím vznikne výraz (1+2)+x, ktorý sa zhodne rovná pôvodnému výrazu. Ďalší príklad: vo výraze 1+a 5 možno mocninu a 5 nahradiť identicky rovnakým súčinom, napríklad v tvare a·a 4. Získame tak výraz 1+a·a 4 .

Táto premena je nepochybne umelá a zvyčajne je prípravou na nejaké ďalšie premeny. Napríklad v súčte 4 x 3 + 2 x 2, berúc do úvahy vlastnosti stupňa, môže byť výraz 4 x 3 reprezentovaný ako súčin 2 x 2 2 x. Po tejto transformácii bude mať pôvodný výraz tvar 2 x 2 2 x + 2 x 2. Je zrejmé, že členy vo výslednom súčte majú spoločný faktor 2 x 2, takže môžeme vykonať nasledujúcu transformáciu - bracketing. Po ňom prichádzame k výrazu: 2 x 2 (2 x+1) .

Sčítanie a odčítanie rovnakého čísla

Ďalšou umelou transformáciou výrazu je sčítanie a súčasné odčítanie toho istého čísla alebo výrazu. Táto transformácia je identická, pretože je v podstate ekvivalentná pripočítaniu nuly a pridanie nuly nemení hodnotu.

Pozrime sa na príklad. Zoberme si výraz x 2 +2·x. Ak k tomu pridáte jeden a jeden odčítate, umožní vám to v budúcnosti vykonať ďalšiu identickú transformáciu - odmocnina dvojčlena: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografia.

Algebra: učebnica pre 7. ročník všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovič A.G. Algebra. 7. trieda. O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre žiakov vzdelávacie inštitúcie/ A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: chor. ISBN 978-5-346-02432-3.

Ministerstvo školstva Bieloruskej republiky

Vzdelávacia inštitúcia

„Gomeľ Štátna univerzita ich. F. Skorina"

Matematická fakulta

Katedra MPM

Identické premeny výrazov a metódy výučby žiakov, ako ich vykonávať

vykonávateľ:

Študent Starodubová A.Yu.

Vedecký poradca:

Cand. fyzika a matematika vedy, docent Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Úvod

1 Hlavné typy premien a štádiá ich štúdia. Etapy zvládnutia používania transformácií

Záver

Literatúra

Úvod

Najjednoduchšie transformácie výrazov a vzorcov na základe vlastností aritmetických operácií sa vykonávajú v Základná škola a 5. a 6. ročníka. Formovanie zručností a schopností vykonávať transformácie prebieha v kurze algebry. Je to spôsobené prudkým nárastom počtu a rôznorodosti uskutočňovaných transformácií, ako aj komplikovanosťou činností na ich zdôvodnenie a objasnením podmienok použiteľnosti, identifikáciou a štúdiom zovšeobecnených pojmov identity, identickej transformácie, ekvivalentná transformácia.

1. Hlavné typy transformácií a štádiá ich štúdia. Etapy zvládnutia používania transformácií

1. Začiatky algebry

Používa sa nedelený systém transformácií, reprezentovaný pravidlami na vykonávanie akcií na jednej alebo oboch častiach vzorca. Cieľom je dosiahnuť plynulosť pri dokončovaní úloh na riešenie jednoduchých rovníc, zjednodušenie vzorcov, ktoré definujú funkcie, a racionálne vykonávanie výpočtov na základe vlastností akcií.

Typické príklady:

Riešte rovnice:

A); b) ; V).

Identická transformácia (a); ekvivalentné a identické (b).

2. Formovanie zručností pri uplatňovaní špecifických typov transformácií

Závery: skrátené vzorce násobenia; transformácie spojené s umocňovaním; transformácie spojené s rôznymi triedami elementárnych funkcií.

Organizácia integrálneho systému transformácií (syntéza)

Cieľom je vytvoriť flexibilný a výkonný aparát vhodný na použitie pri riešení rôznych vzdelávacích úloh. Prechod do tejto fázy sa uskutočňuje pri záverečnom opakovaní kurzu v rámci porozumenia už známej látky preberanej po častiach, pre určité typy transformácií sa k predtým študovaným typom pridávajú transformácie goniometrických výrazov. Všetky tieto transformácie možno nazvať „algebraické“, medzi „analytické“ transformácie patria tie, ktoré sú založené na pravidlách diferenciácie a integrácie a transformácie výrazov obsahujúcich prechody do limitov. Rozdiel tohto typu je v povahe množiny, ktorou prechádzajú premenné v identitách (určité množiny funkcií).

Študované identity sú rozdelené do dvoch tried:

I – identity abreviačného násobenia platné v komutatívnom kruhu a identity

férovosť v teréne.

II – identity spájajúce aritmetické operácie a základné elementárne funkcie.

2 Vlastnosti organizácie systému úloh pri štúdiu transformácií identity

Hlavným princípom organizácie systému úloh je ich prezentácia od jednoduchých po zložité.

Cvičebný cyklus– spojenie viacerých aspektov štúdia a techník na usporiadanie materiálu v slede cvičení. Pri štúdiu premien identity sa so štúdiom jednej identity spája cyklus cvičení, okolo ktorých sa zoskupujú ďalšie identity, ktoré sú s ňou v prirodzenom spojení. Cyklus spolu s výkonnými zahŕňa úlohy, vyžadujúce uznanie použiteľnosti predmetnej identity. Študovaná identita sa používa na vykonávanie výpočtov na rôznych numerických doménach. Úlohy v každom cykle sú rozdelené do dvoch skupín. TO najprv Patria sem úlohy vykonávané pri prvotnom oboznámení sa s identitou. Slúžia vzdelávací materiál na niekoľko po sebe nasledujúcich vyučovacích hodín spojených jednou témou.

Druhá skupina cvičenia spájajú skúmanú identitu s rôznymi aplikáciami. Táto skupina netvorí kompozičnú jednotu – cvičenia sú tu roztrúsené na rôzne témy.

Popísané štruktúry cyklu odkazujú na štádium rozvoja zručností pre aplikáciu špecifických transformácií.

V štádiu syntézy sa cykly menia, skupiny úloh sa kombinujú v smere komplikácií a zlučovania cyklov súvisiacich s rôznymi identitami, čo pomáha zvyšovať úlohu akcií pri rozpoznávaní použiteľnosti konkrétnej identity.

Príklad.

Cyklus úloh pre identitu:

I skupina úloh:

a) prítomný vo forme produktu:

b) Skontrolujte rovnosť:

c) Rozšírte zátvorky vo výraze:

d) Vypočítajte:

e) Faktorizovať:

f) zjednodušiť výraz:

Študenti sa práve oboznámili s formuláciou identity, jej zápisom vo forme identity a jej preukazovaním.

Úloha a) je spojená s fixovaním štruktúry skúmanej identity, s nadviazaním spojenia s číselné sady(porovnanie znakových štruktúr identity a transformovaného prejavu; nahradenie písmena číslicou v identite). V poslednom príklade ho ešte musíme zredukovať na skúmanú formu. V nasledujúcich príkladoch (e a g) je komplikácia spôsobená uplatnenou úlohou identity a komplikáciou štruktúry znaku.

Úlohy typu b) sú zamerané na rozvoj náhradných zručností na . Úloha c) je podobná.

Príklady typu d), v ktorých je potrebné zvoliť jeden zo smerov transformácie, dotvárajú vývoj tejto myšlienky.

Úlohy skupiny I sú zamerané na zvládnutie štruktúry identity, fungovanie substitúcie v najjednoduchších, zásadne najdôležitejších prípadoch a myšlienku reverzibilnosti transformácií uskutočňovaných identitou. Veľmi dôležité je aj obohatenie jazykových prostriedkov ukazujúcich rôzne aspekty identity. Texty úloh poskytujú predstavu o týchto aspektoch.

II skupina úloh.

g) Pomocou identity pre , faktor polynóm .

h) Odstráňte iracionalitu v menovateli zlomku.

i) Dokážte, že ak je nepárne číslo, potom je deliteľné 4.

j) Funkcia je daná analytickým výrazom

Zbavte sa znamienka modulu zvážením dvoch prípadov: , .

k) Vyriešte rovnicu .

Tieto úlohy sú zamerané čo najviac plné využitie a berúc do úvahy špecifiká tejto konkrétnej identity, predpokladať formovanie zručností pri používaní skúmanej identity pre rozdiel štvorcov. Cieľom je prehĺbiť pochopenie identity zvážením jej rôznych aplikácií v rôzne situácie, v kombinácii s použitím materiálu súvisiaceho s inými témami v kurze matematiky.

alebo .

Vlastnosti cyklov úloh súvisiacich s identitami pre elementárne funkcie:

1) študujú sa na základe funkčného materiálu;

2) identity prvej skupiny sa objavia neskôr a študujú sa pomocou už rozvinutých zručností na vykonávanie transformácií identity.

Prvá skupina úloh v cykle by mala zahŕňať úlohy na vytvorenie spojení medzi týmito novými číselnými oblasťami a pôvodnou oblasťou racionálnych čísel.

Príklad.

Vypočítať:

;

Účelom takýchto úloh je osvojiť si vlastnosti záznamov vrátane symbolov nových operácií a funkcií a rozvíjať matematické rečové schopnosti.

Významná časť využitia transformácií identity spojených s elementárnymi funkciami pripadá na riešenie iracionálnych a transcendentálnych rovníc. Postupnosť krokov:

a) nájdite funkciu φ, pre ktorú možno danú rovnicu f(x)=0 znázorniť ako:

b) dosaďte y=φ(x) a vyriešte rovnicu

c) vyriešte každú z rovníc φ(x)=y k, kde y k je množina koreňov rovnice F(y)=0.

Pri použití opísanej metódy sa krok b) často vykonáva implicitne bez zavedenia zápisu pre φ(x). Študenti navyše často preferujú rôzne cestyčo vedie k nájdeniu odpovede, vyberte tú, ktorá vedie k algebraickej rovnici rýchlejšie a jednoduchšie.

Príklad. Vyriešte rovnicu 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3 x 2 x = 0 (krok a)

(2 x) 2-3 x 2 x = 0; 2 x (2 x -3) = 0; 2 x -3 = 0. (krok b)

Príklad. Vyriešte rovnicu:

a) 22x-3x2x+2=0;

b) 22x-3*2x-4=0;

c) 2 2 x -3 x 2 x + 1 = 0.

(Navrhnite nezávislé riešenie.)

Klasifikácia úloh v cykloch súvisiacich s riešením transcendentálnych rovníc vrátane exponenciálna funkcia:

1) rovnice, ktoré sa redukujú na rovnice v tvare a x = y 0 a majú jednoduchú všeobecnú odpoveď:

2) rovnice, ktoré sa redukujú na rovnice v tvare a x = a k, kde k je celé číslo, alebo a x = b, kde b≤0.

3) rovnice, ktoré sa redukujú na rovnice tvaru a x = y 0 a vyžadujú explicitnú analýzu tvaru, v ktorom je číslo y 0 explicitne zapísané.

Veľkým prínosom sú úlohy, v ktorých sa transformácie identity používajú na zostavenie grafov a zároveň zjednodušujú vzorce, ktoré definujú funkcie.

a) Nakreslite graf funkcie y=;

b) Vyriešte rovnicu lgx+lg(x-3)=1

c) na akej množine je vzorec log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) identita?

Využitie transformácií identity vo výpočtoch (Journal of Mathematics at School, č. 4, 1983, s. 45)

Úloha č.1. Funkcia je daná vzorcom y=0,3x 2 +4,64x-6. Nájdite hodnoty funkcie pri x = 1,2

y(1,2)=0,3*1,22+4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Úloha č.2. Vypočítajte dĺžku jednej vetvy pravouhlého trojuholníka, ak je dĺžka jeho prepony 3,6 cm a druhá vetva je 2,16 cm.

Úloha č.3. Aká je plocha obdĺžnikového pozemku s rozmermi a) 0,64 m a 6,25 m; b) 99,8 m a 2,6 m?

a)0,64*6,25=0,82*2,52=(0,8*2,5)2;

b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Tieto príklady umožňujú identifikovať praktické využitie transformácie identity. Študent by mal byť oboznámený s podmienkami realizovateľnosti transformácie (pozri schémy).

obrázok polynómu, kde akýkoľvek polynóm zapadá do okrúhlych obrysov. (Obrázok 1)

je daná podmienka realizovateľnosti transformácie súčinu jednočlenu a výrazu, ktorý umožňuje transformáciu na rozdiel štvorcov. (schéma 2)

tu tieňovanie znamená rovnaké monomiály a je daný výraz, ktorý možno previesť na rozdiel štvorcov. (Schéma 3)

výraz, ktorý umožňuje spoločný činiteľ.

Zručnosti študentov v identifikácii podmienok možno rozvíjať pomocou nasledujúcich príkladov:

Ktorý z nasledujúcich výrazov možno transformovať odstránením spoločného činiteľa zo zátvoriek:

3) 0,7a2 + 0,2b2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2+3x2+5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

Väčšina výpočtov v praxi nespĺňa podmienky splniteľnosti, preto študenti potrebujú zručnosti na ich redukciu do formy, ktorá umožňuje výpočet transformácií. V tomto prípade sú vhodné nasledujúce úlohy:

pri štúdiu vyňatia spoločného činiteľa zo zátvoriek:

preveďte tento výraz, ak je to možné, na výraz, ktorý je znázornený v diagrame 4:

4) 2a*a2*a2;

5) 2n4+3n6+n9;

8) 15ab2+5a2b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Pri vytváraní konceptu „identickej transformácie“ by sa malo pamätať na to, že to znamená nielen to, že daný a výsledný výraz v dôsledku transformácie nadobúdajú rovnaké hodnoty pre akékoľvek hodnoty písmen, ktoré sú v ňom obsiahnuté, ale aj to, že pri identickej transformácii prechádzame od výrazu, ktorý definuje jeden spôsob výpočtu, k výrazu definujúcemu iný spôsob výpočtu tej istej hodnoty.

Schému 5 (pravidlo na prepočet súčinu jednočlenu a mnohočlenu) možno ilustrovať na príkladoch

0,5a(b+c) alebo 3,8(0,7+).

Cvičenia, v ktorých sa dozviete, ako zo zátvoriek odstrániť spoločný faktor:

Vypočítajte hodnotu výrazu:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc pri a=0,96; b = 4,8; c = 9,8.

c) a(a+c)-c(a+b) s a=1,4; b = 2,8; c = 5,2.

Ukážme si na príkladoch formovanie zručností vo výpočtoch a transformácie identity.(zh. Matematika v škole, č. 5, 1984, s. 30)

1) zručnosti a schopnosti sa získavajú rýchlejšie a dlhšie sa udržujú, ak k ich formovaniu dochádza na vedomom základe (didaktický princíp vedomia).

1) Môžete sformulovať pravidlo na sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi alebo predbežne konkrétne príklady zvážiť podstatu pridania rovnakých podielov.

2) Pri faktoringu vyňatím spoločného faktora zo zátvoriek je dôležité vidieť tento spoločný faktor a potom aplikovať distribučný zákon. Pri vykonávaní prvých cvičení je užitočné napísať každý člen polynómu ako súčin, ktorého jeden z faktorov je spoločný pre všetky termíny:

3a3-15a2b+5ab2 = a3a2-a15ab+a5b2.

Je to užitočné najmä vtedy, keď je jeden z monomov polynómu vyňatý zo zátvoriek:

II. Prvé štádium formovanie zručností – zvládnutie zručnosti (cvičenia sú vykonávané s podrobným vysvetlením a poznámkami)

(prvá je vyriešená otázka označenia)

Druhá fáza– štádium automatizácie zručnosti odstránením niektorých medziľahlých operácií

III. Sila zručností sa dosahuje riešením príkladov, ktoré sú obsahovo aj formálne rôznorodé.

Téma: „Vypustenie spoločného faktora zo zátvoriek.“

1. Zapíšte chýbajúci faktor namiesto polynómu:

2. Faktorizujte tak, aby pred zátvorkami bol jednočlen so záporným koeficientom:

3. Faktor tak, že polynóm v zátvorkách má celočíselné koeficienty:

4. Vyriešte rovnicu:

IV. Rozvoj zručností je najefektívnejší, keď sa niektoré medzivýpočty alebo transformácie vykonávajú ústne.

(ústne);

V. Rozvíjané zručnosti a schopnosti musia byť súčasťou vopred vytvoreného systému vedomostí, zručností a schopností žiakov.

Napríklad, keď učíte, ako faktorizovať polynómy pomocou skrátených vzorcov násobenia, ponúkajú sa tieto cvičenia:

Faktorizovať:

VI. Potreba racionálneho vykonávania výpočtov a transformácií.

V) zjednodušiť výraz:

Racionalita spočíva v otváraní zátvoriek, pretože

VII. Prevod výrazov obsahujúcich exponenty.

č. 1011 (Alg.9) Zjednodušte výraz:

Č. 1012 (Alg.9) Odstráňte násobiteľ spod koreňového znaku:

Č. 1013 (Alg.9) Zadajte faktor pod znamienko koreňa:

č. 1014 (Alg.9) Zjednodušte výraz:

Vo všetkých príkladoch najskôr vykonajte buď faktorizáciu, alebo odčítanie spoločného faktora, alebo „pozrite“ zodpovedajúci redukčný vzorec.

Č. 1015 (Alg.9) Znížte zlomok:

Mnoho študentov má určité ťažkosti pri transformácii výrazov obsahujúcich korene, najmä pri štúdiu rovnosti:

Preto buď podrobne popíšte výrazy formulára resp alebo ísť na stupeň s racionálnym exponentom.

Č. 1018 (Alg.9) Nájdite hodnotu výrazu:

č. 1019 (Alg.9) Zjednodušte výraz:

2.285 (Skanavi) Zjednodušte výraz

a potom nakreslite funkciu r Pre

Č. 2.299 (Skanavi) Skontrolujte platnosť rovnosti:

Transformácia výrazov obsahujúcich stupeň je zovšeobecnením získaných zručností a schopností pri štúdiu identických transformácií polynómov.

č. 2.320 (Skanavi) Zjednodušte výraz:

Kurz Algebra 7 poskytuje nasledujúce definície.

Def. Dva výrazy, ktorých zodpovedajúce hodnoty sú rovnaké pre hodnoty premenných, sa považujú za identicky rovnaké.

Def. Rovnosť platí pre všetky hodnoty premenných nazývaných. identity.

Č. 94 (Alg.7) Je rovnosť:

Definícia popisu: Nahradenie jedného výrazu iným identicky rovnakým výrazom sa nazýva identická transformácia alebo jednoducho transformácia výrazu. Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.

č (Alg.7) Medzi výrazmi

nájsť tie, ktoré sú identicky rovnaké.

Téma: „Identické transformácie výrazov“ (technika otázok)

Prvá téma „Algebra-7“ - „Výrazy a ich transformácie“ pomáha upevniť výpočtové zručnosti získané v ročníkoch 5-6, systematizovať a zovšeobecniť informácie o transformáciách výrazov a riešení rovníc.

Nájdenie hodnôt číselných a doslovné výrazy umožňuje zopakovať si so žiakmi pravidlá fungovania s racionálnymi číslami. Schopnosť vystupovať aritmetické operácie s racionálnymi číslami sú základom pre celý kurz algebry.

Pri zvažovaní transformácií výrazov zostávajú formálne a operačné zručnosti na rovnakej úrovni, aká bola dosiahnutá v 5.-6.

Tu však študenti stúpajú na novú úroveň v zvládnutí teórie. Zavádzajú sa pojmy „identicky rovnaké výrazy“, „identita“, „identické transformácie výrazov“, ktorých obsah sa bude neustále odhaľovať a prehlbovať pri štúdiu transformácií rôznych algebraických výrazov. Zdôrazňuje sa, že základom transformácií identity sú vlastnosti operácií s číslami.

Pri štúdiu témy „Polynómy“ sa formujú formálne operačné zručnosti identických transformácií algebraických výrazov. Vzorce na skrátené násobenie prispievajú k ďalšiemu procesu rozvoja schopnosti vykonávať identické transformácie celých výrazov, schopnosť aplikovať vzorce na skrátené násobenie aj na faktorizáciu polynómov sa využíva nielen pri transformácii celých výrazov, ale aj pri operáciách so zlomkami, koreňmi , mocniny s racionálnym exponentom .

V 8. ročníku sa nadobudnuté zručnosti transformácií identity precvičujú na operáciách s algebraickými zlomkami, odmocnina a výrazy obsahujúce mocniny s celočíselným exponentom.

V budúcnosti sa techniky transformácií identity odrážajú vo výrazoch obsahujúcich stupeň s racionálnym exponentom.

Špeciálna skupina identické transformácie sú goniometrické výrazy a logaritmické výrazy.

Medzi povinné študijné výsledky pre kurz algebry v ročníkoch 7-9 patria:

1) transformácie identity celočíselných výrazov

a) otváracie a uzatváracie konzoly;

b) privedenie podobných členov;

c) sčítanie, odčítanie a násobenie polynómov;

d) faktorizácia polynómov vyradením spoločného činiteľa zo zátvoriek a skrátených vzorcov na násobenie;

e) rozklad kvadratická trojčlenka pomocou násobiteľov.

„Matematika v škole“ (B.U.M.) s.110

2) identické transformácie racionálnych výrazov: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie zlomkov, ako aj aplikovať uvedené zručnosti pri vykonávaní jednoduchých kombinovaných transformácií [s. 111]

3) študenti by mali byť schopní vykonávať transformácie jednoduchých výrazov obsahujúcich stupne a odmocniny. (str. 111 – 112)

Zvažovali sa hlavné typy problémov, schopnosť riešiť, ktorá umožňuje študentovi získať kladnú známku.

Jedným z najdôležitejších aspektov metodológie na štúdium transformácií identity je študentský rozvoj cieľov na vykonávanie transformácií identity.

1) - zjednodušenie číselnej hodnoty výrazu

2) ktorá z transformácií by sa mala vykonať: (1) alebo (2) Analýza týchto možností je motiváciou (uprednostňuje sa (1), pretože v (2) je rozsah definície zúžený)

3) Vyriešte rovnicu:

Faktoring pri riešení rovníc.

4) Vypočítajte:

Použime skrátený vzorec násobenia:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Nájdite hodnotu výrazu:

Ak chcete zistiť hodnotu, vynásobte každý zlomok jeho konjugátom:

6) Nakreslite graf funkcie:

Vyberieme celú časť: .

Prevenciu chýb pri vykonávaní transformácií identity možno dosiahnuť rôznymi príkladmi ich implementácie. V tomto prípade sa praktizujú „malé“ techniky, ktoré sú ako komponenty zahrnuté do väčšieho transformačného procesu.

Napríklad:

V závislosti od smerov rovnice možno uvažovať o niekoľkých problémoch: násobenie polynómov sprava doľava; zľava doprava - faktorizácia. Ľavá strana je násobkom jedného z faktorov na pravej strane atď.

Okrem obmieňania príkladov môžete použiť apológia medzi identitami a numerickými rovnosťami.

Ďalšie stretnutie– vysvetlenie identít.

Pre zvýšenie záujmu študentov môžeme zaradiť zisťovanie rôznymi spôsobmi riešenie problémov.

Lekcie o štúdiu transformácií identity budú zaujímavejšie, ak sa im budete venovať hľadanie riešenia problému .

Napríklad: 1) znížte zlomok:

3) dokážte vzorec „komplexného radikálu“

Zvážte:

Transformujme pravú stranu rovnosti:

súčet konjugovaných výrazov. Dali by sa vynásobiť a rozdeliť ich konjugátom, ale takáto operácia by nás priviedla k zlomku, ktorého menovateľom je rozdiel radikálov.

Všimnite si, že prvý výraz v prvej časti identity je číslo väčšie ako druhý, takže obe časti môžeme odmocniť:

Praktická lekcia №3.

Téma: Identické transformácie výrazov (technika otázok).

Literatúra: “Workshop o MPM”, s. 87-93.

Znakom vysokej kultúry výpočtov a transformácií identity u študentov je silná znalosť vlastností a algoritmov operácií s presnými a približnými veličinami a ich zručná aplikácia; racionálne metódy výpočtov a transformácií a ich overovanie; schopnosť zdôvodniť použitie metód a pravidiel výpočtov a transformácií, automatické zručnosti bezchybného vykonávania výpočtových operácií.

V ktorom ročníku by mali študenti začať pracovať na rozvoji uvedených zručností?

Rad identických transformácií výrazov začína aplikáciou racionálnych výpočtových techník. Začína aplikáciou racionálnych výpočtových techník pre hodnoty číselných výrazov. (5. ročník)

Pri štúdiu takýchto tém v školskom kurze matematiky im musíte venovať pozornosť. Osobitná pozornosť!

Uvedomelú realizáciu transformácií identity študentom uľahčuje pochopenie skutočnosti, že algebraické výrazy neexistujú samy o sebe, ale v nerozlučnom spojení s určitou číselnou množinou sú to zovšeobecnené záznamy číselných výrazov. Analógie medzi algebraickými a číselnými výrazmi (a ich transformáciami) sú logické, ich použitie vo vyučovaní pomáha predchádzať chybám žiakov.

Transformácie identity nie sú žiadne samostatná téma kurz školskej matematiky, študujú sa počas celého kurzu algebry a začiatkov matematickej analýzy.

Matematický program pre ročníky 1-5 je propedeutický materiál na štúdium identických transformácií výrazov s premennou.

V kurze algebry 7. ročníka. zavádza sa definícia identity a premien identity.

Def. Zavolajú sa dva výrazy, ktorých zodpovedajúce hodnoty sú rovnaké pre akékoľvek hodnoty premenných. identicky rovnaké.

ODA. Rovnosť, ktorá platí pre akékoľvek hodnoty premenných, sa nazýva identita.

Hodnota identity spočíva v tom, že umožňuje nahradiť daný výraz iným, ktorý je mu identicky rovný.

Def. Nahradenie jedného výrazu iným identicky rovnakým výrazom sa nazýva identická transformácia alebo jednoducho transformácia výrazov.

Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú na základe vlastností operácií s číslami.

Za základ premien identity možno považovať premeny ekvivalentné.

ODA. Nazývajú sa dve vety, z ktorých každá je logickým dôsledkom druhej. ekvivalent.

ODA. Veta s premennými A sa nazýva. dôsledok vety s premennými B, ak je doména pravdy B podmnožinou domény pravdy A.

Môže byť uvedená iná definícia ekvivalentných viet: dve vety s premennými sú ekvivalentné, ak sa ich pravdivostné domény zhodujú.

a) B: x-l=0 nad R; A: (x-1) 2 nad R => A~B, pretože oblasti pravdy (riešenia) sa zhodujú (x=1)

b) A: x = 2 nad R; B: x 2 = 4 nad R => doména pravdy A: x = 2; pravdivostná doména B: x=-2, x=2; pretože oblasť pravdivosti A je obsiahnutá v B, potom: x 2 = 4 je dôsledkom výroku x = 2.

Základom premien identity je schopnosť reprezentovať to isté číslo v rôznych formách. Napríklad,

Toto znázornenie pomôže pri štúdiu témy „základné vlastnosti zlomkov“.

Zručnosti pri vykonávaní transformácií identity sa začínajú rozvíjať pri riešení príkladov podobných týmto: „Nájdite číselnú hodnotu výrazu 2a 3 +3ab+b 2 s a = 0,5, b = 2/3“, ktoré sú ponúkané žiakom v ročníku. 5 a umožňujú propedeutický koncept funkcie.

Pri štúdiu vzorcov skráteného násobenia by ste mali venovať pozornosť ich hlbokému pochopeniu a silnej asimilácii. Na tento účel môžete použiť nasledujúce grafické znázornenie:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 = (a-b) (a+b)

Otázka: Ako na základe týchto nákresov vysvetliť žiakom podstatu daných vzorcov?

Bežnou chybou je zamieňanie výrazov „druhá mocnina súčtu“ a „súčet štvorcov“. Indikácia učiteľa, že tieto výrazy sa líšia v poradí operácií, sa nezdá byť významná, pretože študenti veria, že tieto akcie sa vykonávajú na rovnakých číslach, a preto sa výsledok nemení zmenou poradia akcií.

Zadanie: Vytvorte ústne cvičenia na rozvoj zručností študentov v používaní vyššie uvedených vzorcov bez chýb. Ako môžeme vysvetliť, ako sú si tieto dva výrazy podobné a ako sa od seba líšia?

Široká škála identických transformácií sťažuje študentom orientáciu v tom, za akým účelom sa vykonávajú. Nejasná znalosť účelu vykonávania transformácií (v každom konkrétnom prípade) má negatívny vplyv na ich informovanosť a slúži ako zdroj masívnych chýb medzi študentmi. To naznačuje, že vysvetľovanie cieľov vykonávania rôznych identických transformácií študentom je dôležitou súčasťou metodológie ich štúdia.

Príklady motivácií pre transformáciu identity:

1. zjednodušenie zisťovania číselnej hodnoty výrazu;

2. výber transformácie rovnice, ktorá nevedie k strate koreňa;

3. Pri vykonávaní transformácie môžete označiť oblasť jej výpočtu;

4. použitie transformácií vo výpočtoch, napríklad 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Na zvládnutie rozhodovacieho procesu je dôležité, aby mal učiteľ schopnosť presne opísať podstatu chyby, ktorej sa študent dopustil. Kľúčom je presná charakterizácia chýb správna voľba následné kroky učiteľa.

Príklady chýb študentov:

1. vykonanie násobenia: študent dostal -54abx 6 (7 buniek);

2. Zvýšením na mocninu (3x 2) 3 žiak dostal 3x 6 (7 známok);

3. premenou (m + n) 2 na polynóm, žiak dostal m 2 + n 2 (7. ročník);

4. Znížením zlomku, ktorý žiak dostal (8 známok);

5. vykonanie odčítania: , žiak si zapíše (8. ročník)

6. Znázornenie zlomku v tvare zlomkov žiak dostal: (8 ročníkov);

7. Odstránenie aritmetický koreňštudent dostal x-1 (9. stupeň);

8. riešenie rovnice (9. ročník);

9. Premenou výrazu žiak získa: (9. ročník).

Záver

Štúdium transformácií identity sa uskutočňuje v úzkom spojení s numerickými súbormi študovanými v konkrétnej triede.

Najprv by ste mali požiadať študenta, aby vysvetlil každý krok transformácie, aby sformuloval pravidlá a zákony, ktoré platia.

Pri identických transformáciách algebraických výrazov sa používajú dve pravidlá: substitúcia a nahradenie rovným. Najčastejšie sa používa substitúcia, pretože Z nej vychádza výpočet pomocou vzorcov, t.j. nájdite hodnotu výrazu a*b s a=5 a b=-3. Študenti veľmi často zanedbávajú zátvorky pri vykonávaní operácií násobenia a veria, že znak násobenia je implikovaný. Napríklad je možný nasledujúci záznam: 5*-3.

Literatúra

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Funkčné a grafické metódy riešenia problémov skúšania“, Mn..Aversev, 2004

2. O.N. Piryutko “Typické chyby v centralizovanom testovaní”, Mn..Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Úlohy na pasce v centralizovanom testovaní“, Mn..Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Metódy riešenia goniometrických problémov“, Mn..Aversev, 2005