Arcsin (y = arcsin x)
este funcția inversă a sinusului (x = siny -1 ≤ x ≤ 1și setul de valori -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x
Arcsinul este uneori notat după cum urmează:
.
Graficul funcției arcsinus
Graficul funcției y = arcsin x
Graficul arcsinus este obținut din graficul sinus dacă axele absciselor și ordonatelor sunt schimbate. Pentru a elimina ambiguitatea, intervalul de valori este limitat la intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește valoarea principală a arcsinusului.
Arccosine, arccos
Arccosinus (y = arccos x)
este funcția inversă a cosinusului (x = ca si). Are un domeniu de aplicare -1 ≤ x ≤ 1și multe sensuri 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x
Arccosinul este uneori notat după cum urmează:
.
Graficul funcției arc cosinus
Graficul funcției y = arccos x
Graficul arc-cosinus este obținut din graficul cosinus dacă axele absciselor și ordonatelor sunt schimbate. Pentru a elimina ambiguitatea, intervalul de valori este limitat la intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește valoarea principală a arcului cosinus.
Paritate
Funcția arcsinus este impară:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Funcția arc cosinus nu este pară sau impară:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Proprietăți - extreme, creștere, scădere
Funcțiile arcsinus și arccosinus sunt continue în domeniul lor de definiție (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale arcsinusului și arccosinului sunt prezentate în tabel.
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Domeniul de aplicare și continuitatea | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Gama de valori | ||
| Urcând, coborând | crește monoton | scade monoton |
| Înalte | ||
| Minime | ||
| Zerouri, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Tabel de arcsinus și arccosinus
Acest tabel prezintă valorile arcsinusurilor și arccosinusului, în grade și radiani, pentru anumite valori ale argumentului.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| grindină | bucuros. | grindină | bucuros. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formule
Formule de sumă și diferență
la sau
la şi
la şi
la sau
la şi
la şi
la
la
la
la
Expresii prin logaritmi, numere complexe
Expresii prin funcții hiperbolice
Derivate
;
.
Vezi Derivarea derivaților arcsinus și arccosinus > > >
Derivate de ordin superior:
,
unde este un polinom de grad .
;
;
.
Vezi Derivarea derivatelor de ordin superior ale arcsinusului și arccosinului > > >
Integrale
Facem substituția x = sint. Integram pe parti, tinand cont ca -π/,
2 ≤ t ≤ π/2:
.
cos t ≥ 0
.
Să exprimăm arccosinus prin arc sinus:
Extinderea seriei< 1
Când |x|
;
.
are loc următoarea descompunere:
Funcții inverse
Inversurile arcsinusului și arccosinusului sunt sinus și cosinus, respectiv.
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Următoarele formule sunt valabile în întregul domeniu de definiție:
arcsin(sin x) = x Următoarele formule sunt valabile numai pentru setul de valori arcsinus și arccosinus:
arccos(cos x) = x la
la .
Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
Lecție și prezentare pe tema: "Arcsinus. Tabelul arcsinusului. Formula y=arcsin(x)"
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu
Ce vom studia:
1. Ce este arcsinus?
2. Notație arcsinuală.
3. Puțină istorie.
4. Definiție.
6. Exemple.
Ce este arcsinus?
Băieți, am învățat deja cum să rezolvăm ecuații pentru cosinus, acum să învățăm cum să rezolvăm ecuații similare pentru sinus. Se consideră sin(x)= √3/2. Pentru a rezolva această ecuație, trebuie să construiți o dreaptă y= √3/2 și să vedeți în ce puncte intersectează cercul numeric. Se poate observa că linia dreaptă intersectează cercul în două puncte F și G. Aceste puncte vor fi soluția ecuației noastre. Să redesemnăm F ca x1 și G ca x2. Am găsit deja soluția acestei ecuații și am obținut: x1= π/3 + 2πk,
și x2= 2π/3 + 2πk.
Rezolvarea acestei ecuații este destul de simplă, dar cum se rezolvă, de exemplu, ecuația
sin(x)= 5/6. Evident, această ecuație va avea și două rădăcini, dar ce valori vor corespunde soluției pe cercul numeric? Să aruncăm o privire mai atentă la ecuația noastră sin(x)= 5/6.
Soluția ecuației noastre va fi două puncte: F= x1 + 2πk și G= x2 + 2πk,
unde x1 este lungimea arcului AF, x2 este lungimea arcului AG.
Notă: x2= π - x1, deoarece AF= AC - FC, dar FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Dar care sunt aceste puncte?
Confruntați cu o situație similară, matematicienii au venit cu un nou simbol - arcsin(x). Citiți ca arcsinus.
Apoi soluția ecuației noastre se va scrie după cum urmează: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).
Arcsinus este unghiul (lungimea arcului AF, AG) sinus, care este egal cu 5/6.
O mică istorie a arcsinusului
_3.jpg)
Istoria originii simbolului nostru este exact aceeași cu cea a arccos. Simbolul arcsin apare pentru prima dată în lucrările matematicianului Scherfer și ale celebrului om de știință francez J.L. Lagrange. Ceva mai devreme, conceptul de arcsinus a fost considerat de D. Bernouli, deși l-a scris cu simboluri diferite.
Aceste simboluri au devenit general acceptate abia la sfârșitul secolului al XVIII-lea. Prefixul „arc” provine din latinescul „arcus” (arc, arc). Acest lucru este destul de în concordanță cu sensul conceptului: arcsin x este un unghi (sau s-ar putea spune un arc) al cărui sinus este egal cu x.
Definiţia arcsine
Dacă |a|≤ 1, atunci arcsin(a) este un număr din segmentul [- π/2; π/2], al cărui sinus este egal cu a.
_2.jpg)
Dacă |a|≤ 1, atunci ecuația sin(x)= a are o soluție: x= arcsin(a) + 2πk și
x= π - arcsin(a) + 2πk
_3.jpg)
Să rescriem:
x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).
Băieți, uitați-vă cu atenție la cele două soluții ale noastre. Ce părere aveți: pot fi notate folosind o formulă generală? Rețineți că dacă există un semn plus în fața arcsinusului, atunci π este înmulțit cu numărul par 2πk, iar dacă există un semn minus, atunci multiplicatorul este impar 2k+1.
Ținând cont de acest lucru, notăm formula generală de rezolvare a ecuației sin(x)=a: _4.jpg)
Există trei cazuri în care este de preferat să scrieți soluțiile într-un mod mai simplu:
sin(x)=0, atunci x= πk,
sin(x)=1, atunci x= π/2 + 2πk,
sin(x)=-1, atunci x= -π/2 + 2πk.
Pentru orice -1 ≤ a ≤ 1 egalitatea este valabilă: arcsin(-a)=-arcsin(a).
_5.jpg)
Să scriem tabelul cu valorile cosinusului în sens invers și să obținem un tabel pentru arcsinus.
Exemple
1. Calculați: arcsin(√3/2).
Rezolvare: Fie arcsin(√3/2)= x, apoi sin(x)= √3/2. Prin definiție: - π/2 ≤x≤ π/2. Să ne uităm la valorile sinusului din tabel: x= π/3, deoarece sin(π/3)= √3/2 și –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Răspuns: arcsin(√3/2)= π/3.
2. Calculați: arcsin(-1/2).
Rezolvare: Fie arcsin(-1/2)= x, apoi sin(x)= -1/2. Prin definiție: - π/2 ≤x≤ π/2. Să ne uităm la valorile sinusului din tabel: x= -π/6, deoarece sin(-π/6)= -1/2 și -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Răspuns: arcsin(-1/2)=-π/6.
3. Calculați: arcsin(0).
Rezolvare: Fie arcsin(0)= x, apoi sin(x)= 0. Prin definiție: - π/2 ≤x≤ π/2. Să ne uităm la valorile sinusului din tabel: înseamnă x= 0, deoarece sin(0)= 0 și - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Răspuns: arcsin(0)=0.
4. Rezolvați ecuația: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk și x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Să ne uităm la valoarea din tabel: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Răspuns: x= -π/4 + 2πk și x= 5π/4 + 2πk.
5. Rezolvați ecuația: sin(x) = 0.
Soluție: Să folosim definiția, apoi soluția va fi scrisă sub forma:
x= arcsin(0) + 2πk și x= π - arcsin(0) + 2πk. Să ne uităm la valoarea din tabel: arcsin(0)= 0.
Răspuns: x= 2πk și x= π + 2πk
6. Rezolvați ecuația: sin(x) = 3/5.
Soluție: Să folosim definiția, apoi soluția va fi scrisă sub forma:
x= arcsin(3/5) + 2πk și x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Răspuns: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.
7. Rezolvați inegalitatea sin(x) Soluție: Sinusul este ordonata unui punct de pe cercul numeric. Aceasta înseamnă: trebuie să găsim puncte a căror ordonată este mai mică de 0,7. Să desenăm o linie dreaptă y=0,7. Intersectează cercul numeric în două puncte. Inegalitatea y Atunci soluția inegalității va fi: -π – arcsin(0.7) + 2πk _7.jpg)
Probleme arcsinoase pentru rezolvare independentă
1) Calculați: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).2) Rezolvați ecuația: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Rezolvați inegalitatea: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.
Arctangent (y = arctan x)
este funcția inversă a tangentei (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctan(tg x) = x
Arctangenta se notează după cum urmează:
.
Graficul funcției arctangente
Graficul funcției y = arctan x
Graficul arctangent este obținut din graficul tangent dacă axele absciselor și ordonatelor sunt schimbate. Pentru a elimina ambiguitatea, setul de valori este limitat la intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește valoarea principală a arctangentei.
Arccotangent, arcctg
Arc tangentă (y = arcctg x)
este funcția inversă a cotangentei (x = ctg y). Are un domeniu de definiție și un set de semnificații.
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x
Arccotangente se notează după cum urmează:
.
Graficul funcției tangentei inverse
Graficul funcției y = arcctg x
Graficul cotangent arc se obține din graficul cotangent dacă axele absciselor și ordonatelor sunt schimbate. Pentru a elimina ambiguitatea, intervalul de valori este limitat la intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește valoarea principală a cotangentei arcului.
Paritate
Funcția arctangentă este impară:
arctan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctan x
Funcția tangentă inversă nu este pară sau impară:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.
Proprietăți - extreme, creștere, scădere
Funcțiile arctangent și arccotangent sunt continue în domeniul lor de definiție, adică pentru tot x.
| y = arctan x | y = arcctg x | |
| Domeniul de aplicare și continuitatea | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| (vezi dovada de continuitate). Principalele proprietăți ale arctangentei și arccotangentei sunt prezentate în tabel. | ||
| Urcând, coborând | crește monoton | scade monoton |
| Sensuri multiple | Maxime, minime | Maxime, minime |
| Zerouri, y = 0 | x = 0 | Maxime, minime |
| Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
| - | π | |
| 0 |
Nu
Tabelul arctangentelor și arccotangentelor
| x | arctan x | arcctg x | ||
| grindină | bucuros. | grindină | bucuros. | |
| - ∞ | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - 1 | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 1 | 45° | 45° | ||
| 60° | 30° | |||
| + ∞ | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772
Formule
Formule de sumă și diferență
la
la
la
la
la
la
Expresii prin logaritmi, numere complexe
,
.
Expresii prin funcții hiperbolice
Derivate
Acest tabel prezintă valorile arctangentelor și arccotangentelor, în grade și radiani, pentru anumite valori ale argumentului.
Derivate de ordin superior:
Lasă .
;
.
Atunci derivata de ordinul al n-lea a arctangentei poate fi reprezentată într-unul din următoarele moduri:
Simbolul înseamnă partea imaginară a următoarei expresii.
Vezi Derivarea derivatelor de ordin superior ale arctangentei și arccotangentei > > >
Acolo sunt date și formule pentru derivatele primelor cinci ordine.
;
.
Integrale
Facem substituția x = La fel și pentru arc tangente. Lasă . Apoi
;
;
;
tg t
.
și se integrează pe părți:
Să exprimăm arc tangente prin arc tangente: 1
Când |x|
;
.
are loc următoarea descompunere:
Extinderea seriei de putere
Inversurile arcsinusului și arccosinusului sunt sinus și cosinus, respectiv.
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .
Când |x| ≤
arctan(tg x) = x Următoarele formule sunt valabile numai pentru setul de valori arcsinus și arccosinus:
arcctg(ctg x) = x la
la .
Literatura folosita:
Inversele arctangentei și arccotangentei sunt tangente și, respectiv, cotangente. Următoarele formule sunt valabile numai pentru setul de valori arctangente și arccotangente: Acest articol este despre
găsirea valorilor arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent
număr dat. Mai întâi vom clarifica ceea ce se numește sensul arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. În continuare, vom obține principalele valori ale acestor funcții de arc, după care vom înțelege cum se găsesc valorile arc sinus, arc cosinus, arc tangente și arc cotangente folosind tabelele de sinusuri, cosinus, tangente și Bradis. cotangente. În cele din urmă, să vorbim despre găsirea arcsinusului unui număr atunci când se cunoaște arccosinus, arctangent sau arccotangent al acestui număr etc.
Navigare în pagină. Valorile arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent».
În primul rând, merită să ne dăm seama ce este de fapt „acest lucru”.
sensul arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent
Tabelele Bradis de sinusuri și cosinus, precum și tangente și cotangente, vă permit să găsiți valoarea arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent a unui număr pozitiv în grade cu o precizie de un minut. Aici merită menționat faptul că găsirea valorilor arcsinusului, arccosinusului, arctangentei și arccotangentei numerelor negative poate fi redusă la găsirea valorilor arcfuncțiilor corespunzătoare ale numerelor pozitive, apelând la formulele arcsin, arccos, arctg și arcctg de numere opuse de forma arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a și arcctg(−a)=π−arcctg a .
Adesea este necesar să se țină cont de corecții din cele trei coloane din dreapta tabelului. De exemplu, dacă trebuie să găsim arcsinusul lui 0,2863. Conform tabelului sinusurilor, această valoare se obține ca 0,2857 plus o corecție de 0,0006, adică valoarea 0,2863 corespunde unui sinus de 16 grade 38 minute (16 grade 36 minute plus 2 minute de corecție).
Dacă numărul al cărui arcsinus ne interesează nu se află în tabel și nici măcar nu poate fi obținut luând în considerare corecții, atunci în tabel trebuie să găsim cele două valori ale sinusurilor cele mai apropiate de acesta, între care este inclus acest număr. De exemplu, căutăm valoarea arcsinusului de 0,2861573. Acest număr nu este în tabel, iar acest număr nu poate fi obținut nici prin amendamente. Apoi găsim cele mai apropiate două valori 0,2860 și 0,2863, între care este inclus numărul inițial, aceste numere corespund sinusurilor de 16 grade 37 minute și 16 grade 38 minute. Valoarea arcsinusului dorită de 0,2861573 se află între ele, adică oricare dintre aceste valori unghiulare poate fi luată ca valoare aproximativă a sinusului arcului cu o precizie de 1 minut.
Valorile arcului cosinus, valorile arc tangentei și valorile arcului cotangentei se găsesc în absolut același mod (în acest caz, desigur, se folosesc tabele de cosinus, tangente și, respectiv, cotangente).
Găsirea valorii arcsin folosind arccos, arctg, arcctg etc.
De exemplu, spuneți-ne că arcsin a=−π/12 și trebuie să găsim valoarea arccos a. Calculăm valoarea arcului cosinus de care avem nevoie: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.
Situația este mult mai interesantă atunci când, folosind valoarea cunoscută a arcsinusului sau arccosinusului unui număr a, trebuie să găsiți valoarea arctangentei sau arccotangentei acestui număr a sau invers. Din păcate, nu cunoaștem formulele care definesc astfel de conexiuni. Cum poate fi asta? Să înțelegem asta cu un exemplu.
Să știm că arccosinusul unui număr a este egal cu π/10 și trebuie să calculăm valoarea arc-tangentei acestui număr a. Puteți rezolva problema după cum urmează: folosind valoarea cunoscută a arccosinusului, găsiți numărul a și apoi găsiți arc-tangente a acestui număr. Pentru a face acest lucru, avem nevoie mai întâi de un tabel de cosinus, apoi de un tabel de tangente.
Unghiul π/10 radiani este un unghi de 18 grade, folosind tabelul cosinus constatăm că cosinusul de 18 grade este aproximativ egal cu 0,9511, atunci numărul a din exemplul nostru este 0,9511.
Rămâne să ne întoarcem la tabelul tangentelor și, cu ajutorul lui, găsim valoarea arctangentei de care avem nevoie 0,9511, este aproximativ egală cu 43 de grade 34 de minute.
Acest subiect este continuat în mod logic de materialul din articol. evaluarea valorilor expresiilor care conțin arcsin, arccos, arctg și arcctg.
Referințe.
- Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Educație, 1990. - 272 p.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.
- I. V. Boykov, L. D. Romanova. Culegere de probleme pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat, partea 1, Penza 2003.
- Bradis V. M. Tabele de matematică din patru cifre: pentru învățământul general. manual stabilimente. - Ed. a II-a. - M.: Butarda, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2
