Obiectivele lecției:
- educational: invatarea rezolvarii sistemelor de ecuatii care contin o ecuatie omogena, sistemelor simetrice de ecuatii;
- în curs de dezvoltare: dezvoltarea gândirii, a atenției, a memoriei, a capacității de a evidenția principalul lucru;
- educational: dezvoltarea abilităților de comunicare.
Tip de lecție: lecția de învățare a materialelor noi.
Tehnologii de învățare utilizate:
- lucrul în grup;
- metoda de proiectare.
Echipament: calculator, proiector multimedia.
Cu o săptămână înainte de lecție, elevii primesc subiecte pentru sarcini creative (în funcție de opțiuni).
eu optiunea. Sisteme simetrice de ecuații. Soluții.
varianta II. Sisteme care conțin o ecuație omogenă. Soluții.
Fiecare elev, folosind literatura educațională suplimentară, trebuie să găsească materialul educațional adecvat, să selecteze un sistem de ecuații și să-l rezolve.
Un student de la fiecare opțiune creează prezentări multimedia pe tema sarcinii creative. Profesorul oferă îndrumări elevilor după cum este necesar.
I. Motivația pentru activitățile de învățare ale elevilor
Discurs introductiv al profesorului
În lecția anterioară, am luat în considerare soluția sistemelor de ecuații prin metoda înlocuirii necunoscutelor. Nu există o regulă generală pentru alegerea noilor variabile. Cu toate acestea, se pot distinge două tipuri de sisteme de ecuații atunci când există o alegere rezonabilă a variabilelor:
- sisteme simetrice de ecuații;
- sisteme de ecuații, dintre care unul omogen.
II. Învățarea de materiale noi
Elevii opțiunii a doua raportează despre temele lor.
1. Slideshow a unei prezentări multimedia „Sisteme care conțin o ecuație omogenă” (prezentarea 1).
2. Lucrați în perechi de elevi așezați la același birou: un elev de la varianta a doua îi explică unui vecin de la birou soluția unui sistem care conține o ecuație omogenă.
Raportul elevilor de la opțiunea I.
1. Slideshow a prezentării multimedia „Symmetric systems of ecuations” (prezentarea 2).
Elevii scriu în caiete:
2. Lucrați în perechi de elevi așezați la același birou: un student de opțiunea I explică unui vecin de la birou soluția unui sistem simetric de ecuații.
III. Consolidarea materialului studiat
Lucrați în grupuri (într-un grup de 4 elevi uniți elevii așezați la birourile alăturate).
Fiecare dintre cele 6 grupuri îndeplinește următoarea sarcină.
Determinați tipul de sistem și rezolvați-l:
Elevii în grup analizează sistemele, determină tipul acestora, apoi, în timpul lucrului frontal, discută soluții la sisteme.
un sistem
simetric, introducem noi variabile x+y=u, xy=v
b) sistem
conţine o ecuaţie omogenă.
O pereche de numere (0;0) nu este o soluție pentru sistem.
IV. Controlul cunoștințelor elevilor
Lucru independent asupra opțiunilor.
Rezolvați sistemul de ecuații:
Elevii predau caietele lor profesorului pentru revizuire.
V. Tema pentru acasă
1. Realizat de toți elevii.
Rezolvați sistemul de ecuații:
2. Efectuează elevii „puternici”.
Rezolvați sistemul de ecuații:
VI. Rezumatul lecției
Întrebări:
Ce tipuri de sisteme de ecuații ați învățat la clasă?
Ce metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații este folosită pentru a le rezolva?
Raportarea notelor primite de elevi în timpul lecției.
Acasă > SoluțieEcuații raționale și inegalități
I. Ecuaţii raţionale.
Ecuatii lineare.
Sisteme de ecuații liniare.
Ecuații de întoarcere.
Formula lui Vieta pentru polinoame de grade superioare.
Sisteme de ecuații de gradul doi.
Metodă pentru introducerea de noi necunoscute în rezolvarea ecuațiilor și sistemelor de ecuații.
Ecuații omogene.
Rezolvarea sistemelor simetrice de ecuații.
Ecuații și sisteme de ecuații cu parametri.
Metodă grafică de rezolvare a sistemelor de ecuații neliniare.
Ecuații care conțin semnul modulului.
Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor raționale
II. Inegalități raționale.
Proprietățile inegalităților echivalente.
Inegalități algebrice.
metoda intervalului.
Inegalități fracționale-raționale.
Inegalități care conțin necunoscutul sub semnul valorii absolute.
Inegalități cu parametrii.
Sisteme de inegalități raționale.
Rezolvarea grafică a inegalităților.
III. Test de verificare.
Ecuații raționale
funcția de vizualizare
P(x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,
unde n este un număr natural, a 0 , a 1 ,…, a n sunt numere reale, se numește o funcție rațională întreagă.
O ecuație de forma P(x) = 0, unde P(x) este o funcție rațională întreagă, se numește ecuație rațională întreagă.
Tip ecuație
P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,
unde P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) sunt funcții raționale întregi, se numește ecuație rațională .
Rezolvarea ecuației raționale P (x) / Q (x) = 0, unde P (x) și Q (x) sunt polinoame (Q (x) 0), se reduce la rezolvarea ecuației P (x) = 0 și verificarea dacă rădăcinile îndeplinesc condiția Q (x) 0.
Ecuatii lineare.
O ecuație de forma ax+b=0, unde a și b sunt niște constante, se numește ecuație liniară.
Dacă a0, atunci ecuația liniară are o singură rădăcină: x = -b /a.
Dacă a=0; b0, atunci ecuația liniară nu are soluții.
Dacă a=0; b=0, atunci, rescriind ecuația originală sub forma ax = -b, este ușor de observat că orice x este o soluție a unei ecuații liniare.
Ecuația dreptei are forma: y = ax + b.
Dacă linia trece printr-un punct cu coordonatele X 0 și Y 0, atunci aceste coordonate satisfac ecuația dreptei, adică Y 0 = aX 0 + b.
Exemplul 1.1. rezolva ecuatia
2x - 3 + 4(x - 1) = 5.
Decizie. Să extindem parantezele unul câte unul, să dăm termeni similari și să găsim x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
Exemplul 1.2. rezolva ecuatia
2x - 3 + 2(x - 1) = 4(x - 1) - 7.
Decizie. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.
Răspuns: .
Exemplul 1.3. Rezolvați ecuația.
2x + 3 - 6(x - 1) = 4(x - 1) + 5.
Decizie. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,
– 4x + 9 = 9 – 4x,
4x + 4x = 9 - 9,
Răspuns: Orice număr.
Sisteme de ecuații liniare.
Tip ecuație
a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,
unde a 1 , b 1 , … ,a n , b sunt niște constante, se numește ecuație liniară cu n necunoscute x 1 , x 2 , …, x n .
Un sistem de ecuații se numește liniar dacă toate ecuațiile din sistem sunt liniare. Dacă sistemul constă din n necunoscute, atunci sunt posibile următoarele trei cazuri:
sistemul nu are soluții;
sistemul are exact o soluție;
Sistemul are infinite de soluții.
Exemplul 2.4. rezolva sistemul de ecuatii
Decizie. Este posibil să se rezolve un sistem de ecuații liniare prin metoda substituției, care constă în faptul că orice ecuație a sistemului exprimă o necunoscută în termeni de alte necunoscute, iar apoi înlocuiește valoarea acestei necunoscute în restul ecuațiilor.
Din prima ecuație exprimăm: x = (8 - 3y) / 2. Substituim această expresie în a doua ecuație și obținem un sistem de ecuații
X \u003d (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y \u003d 7. Din a doua ecuație obținem y \u003d 2. Ținând cont de acest lucru, din prima ecuație x \u003d 1. Răspuns: (1; 2) Exemplul 2.5. Rezolvați un sistem de ecuații
Decizie. Sistemul nu are soluții, deoarece două ecuații ale sistemului nu pot fi satisfăcute simultan (din prima ecuație x + y = 3, iar din a doua x + y = 3,5).
Răspuns: Nu există soluții.
Exemplul 2.6. rezolva sistemul de ecuatii
Decizie. Sistemul are infinit de soluții, deoarece a doua ecuație se obține din prima prin înmulțirea cu 2 (adică, de fapt, există o singură ecuație cu două necunoscute).
Răspuns: infinit de soluții.
Exemplul 2.7. rezolva sistemul de ecuatii
x + y - z = 2,
2x – y + 4z = 1,
Decizie. La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare este convenabil să se folosească metoda Gauss, care constă în transformarea sistemului într-o formă triunghiulară.
Înmulțim prima ecuație a sistemului cu - 2 și, adunând rezultatul obținut cu a doua ecuație, obținem - 3y + 6z \u003d - 3. Această ecuație poate fi rescrisă ca y - 2z \u003d 1. Adăugând prima ecuație cu al treilea, obținem 7y \u003d 7 sau y = 1.
Astfel, sistemul a căpătat o formă triunghiulară
x + y - z = 2,
Înlocuind y = 1 în a doua ecuație, găsim z = 0. Înlocuind y =1 și z = 0 în prima ecuație, găsim x = 1. Răspuns: (1; 1; 0) Exemplul 2.8. pentru ce valori ale parametrului a sistemul de ecuații
2x + ay = a + 2,
(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
are infinit de solutii? Decizie. Din prima ecuație exprimăm x:
x = - (a / 2)y + a / 2 +1.
Înlocuind această expresie în a doua ecuație, obținem
(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),
ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).
Analizând ultima ecuație, observăm că pentru a = 3 are forma 0y = 0, adică. este satisfăcut pentru orice valoare a lui y. Raspuns: 3.
Ecuații cuadratice și ecuații care se reduc la ele.
O ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a, b și c sunt niște numere (a0);
x este o variabilă, numită ecuație pătratică.
Formula pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.
În primul rând, împărțim ambele părți ale ecuației ax 2 + bx + c = 0 la a - acest lucru nu îi va schimba rădăcinile. Pentru a rezolva ecuația rezultată
x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0
selectați un pătrat complet în partea stângă
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2) )).
Pentru concizie, notăm expresia (b 2 - 4ac) cu D. Atunci identitatea rezultată ia forma
Sunt posibile trei cazuri:
dacă numărul D este pozitiv (D > 0), atunci în acest caz se poate lua rădăcina pătrată a lui D și se scrie D ca D = (D) 2 . Atunci
D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , prin urmare identitatea ia forma
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / 2a) 2 .
Conform formulei pentru diferența de pătrate, derivăm de aici:
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =
= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a)).
Teorema: Dacă identitatea păstrează
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2),
atunci ecuația pătratică ax 2 + bx + c \u003d 0 pentru X 1 X 2 are două rădăcini X 1 și X 2, iar pentru X 1 \u003d X 2 - doar o rădăcină X 1.
În virtutea acestei teoreme, din identitatea derivată mai sus rezultă că ecuația
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,
și astfel ecuația ax 2 + bx + c = 0 are două rădăcini:
X 1 \u003d (-b + D) / 2a; X 2 \u003d (-b - D) / 2a.
Astfel x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1)(x - x2).
De obicei, aceste rădăcini sunt scrise într-o singură formulă:
unde b 2 - 4ac \u003d D.
dacă numărul D este egal cu zero (D = 0), atunci identitatea
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
ia forma x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .
Rezultă că pentru D = 0, ecuația ax 2 + bx + c = 0 are o rădăcină a multiplicității 2: X 1 = - b / 2a
3) Dacă numărul D este negativ (D< 0), то – D >0 și, prin urmare, expresia
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
este suma a doi termeni, dintre care unul este nenegativ și celălalt pozitiv. O astfel de sumă nu poate fi egală cu zero, deci ecuația
x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0
nu are rădăcini reale. Nici ecuația ax 2 + bx + c = 0.
Astfel, pentru a rezolva ecuația pătratică, ar trebui să se calculeze discriminantul
D \u003d b 2 - 4ac.
Dacă D = 0, atunci ecuația pătratică are o soluție unică:
Dacă D > 0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini:
X 1 \u003d (-b + D) / (2a); X 2 \u003d (-b - D) / (2a).
Daca D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Dacă unul dintre coeficienții b sau c este egal cu zero, atunci ecuația pătratică poate fi rezolvată fără a calcula discriminantul:
b = 0; c 0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)
b 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b/a.
Rădăcinile unei ecuații pătratice generale ax 2 + bx + c = 0 se găsesc prin formula
O ecuație pătratică în care coeficientul la x 2 este egal cu 1 se numește redusă. De obicei, ecuația pătratică dată se notează după cum urmează:
x 2 + px + q = 0.
teorema lui Vieta.
Am derivat identitatea
x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d (x - x1) (x - x2),
unde X 1 și X 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice ax 2 + bx + c =0. Să extindem parantezele din partea dreaptă a acestei identități.
x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .
Rezultă că X 1 + X 2 = - b / a și X 1 X 2 = c / a. Am demonstrat următoarea teoremă, stabilită pentru prima dată de matematicianul francez F. Viet (1540 - 1603):
Teorema 1 (Vieta). Suma rădăcinilor ecuației pătratice este egală cu coeficientul de la X, luat cu semnul opus și împărțit la coeficientul de la X 2; produsul rădăcinilor acestei ecuații este egal cu termenul liber împărțit la coeficientul de la X 2 .
Teorema 2 (invers). Dacă egalităţile
X 1 + X 2 \u003d - b / a și X 1 X 2 \u003d c / a,
atunci numerele X 1 și X 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice ax 2 + bx + c = 0.
Cometariu. Formulele X 1 + X 2 \u003d - b / a și X 1 X 2 \u003d c / a rămân adevărate chiar și în cazul în care ecuația ax 2 + bx + c \u003d 0 are o rădăcină X 1 de multiplicitate 2, dacă punem în formulele indicate X 2 = X 1 . Prin urmare, se acceptă în general că pentru D = 0, ecuația ax 2 + bx + c = 0 are două rădăcini care coincid una cu cealaltă.
La rezolvarea problemelor legate de teorema Vieta este utilă folosirea relațiilor
(1 / X 1) + (1 / X 2) \u003d (X 1 + X 2) / X 1 X 2;
X 1 2 + X 2 2 \u003d (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;
X 1 / X 2 + X 2 / X 1 \u003d (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 \u003d ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;
X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =
\u003d (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2).
Exemplul 3.9. Rezolvați ecuația 2x 2 + 5x - 1 = 0.
Decizie. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;
X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.
Răspuns: X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.
Exemplul 3.10. Rezolvați ecuația x 3 - 5x 2 + 6x = 0
Decizie. Să factorizăm partea stângă a ecuației x(x 2 - 5x + 6) = 0,
prin urmare, x \u003d 0 sau x 2 - 5x + 6 \u003d 0.
Rezolvând ecuația pătratică, obținem X 1 \u003d 2, X 2 \u003d 3.
Răspuns: 0; 2; 3.
Exemplul 3.11.
x 3 - 3x + 2 = 0. Rezolvare. Să rescriem ecuația, scriind -3x \u003d - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 \u003d 0, iar acum grupăm x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) \u003d 0, ( x - 1) (x( x + 1) - 2) = 0,x - 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1. Răspuns: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = - 2. Exemplul 3.12. Rezolvați ecuația 7
(x - 1)(x - 3)(x - 4)
(2x – 7)(x + 2)(x – 6)Soluție. Să găsim intervalul de valori admisibile x:X + 2 0; x – 6 0; 2x – 7 0 sau x – 2; x 6; x 3.5. Aducem ecuația la forma (7x - 14) (x 2 - 7x + 12) \u003d (14 - 4x) (x 2 - 4x - 12), deschidem parantezele. 7x 3 - 49x 2 + 84x - 14x 2 + 98x – 168 + 4x 3 – 16x 2 – 48x – 14x 2 + 56x + 168 = 0,11x 3 – 93x 2 + 190x = 0.x(11x 2 – 93x = + 190x) = 0.11x 011x2 – 93x + 190 = 0,93(8649 - 8360) 93 17 x 2,3 = = ,
Acestea. x 1 = 5; x 2 = 38 / 11.
Valorile găsite satisfac ODZ.
Răspuns: x 1 = 0; x 2 \u003d 5; x 3 \u003d 38 / 11.
Exemplul 3.13. Rezolvați ecuația x 6 - 5x 3 + 4 = 0
Decizie. Notăm y = x 3 , atunci ecuația inițială ia forma
y 2 - 5y + 4 = 0, rezolvând care obținem Y 1 = 1; Y2=4.
Astfel, ecuația inițială este echivalentă cu mulțimea
ecuații: x 3 \u003d 1 sau x 3 \u003d 4, adică X 1 \u003d 1 sau X 2 \u003d 3 4
Raspunsul 1; 3 4.
Exemplul 3.14. Rezolvați ecuația (x 3 - 27) / (x - 3) = 27
Decizie. Descompunem numărătorul în factori (după formula pentru diferența de cuburi):
RaportSupraveghetor: Kulabukhov Sergey Yurievich, candidat la științe fizice și matematice, profesor de educație suplimentară, MOU DOD DTDM, Rostov-pe-Don.
1.
Ecuațiile sunt numite ecuații simetrice de gradul III dacă arată ca
ax 3 + bx 2 + bx + a = 0.
Pentru a rezolva cu succes ecuații de acest tip, este util să cunoașteți și să puteți utiliza următoarele proprietăți simple ale ecuațiilor reciproce:
A) Orice ecuație reciprocă de grad impar are întotdeauna o rădăcină egală cu -1.
Într-adevăr, dacă grupăm termenii din partea stângă astfel: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, adică este posibil să se scoată un factor comun, i.e. (x + 1) (ax 2 + (b - a) x + a) \u003d 0, prin urmare,
x + 1 \u003d 0 sau ax 2 + (b - a) x + a \u003d 0, prima ecuație și demonstrează declarația care ne interesează.
b) Ecuația reciprocă nu are rădăcini zero.
în) La împărțirea unui polinom de grad impar la (x + 1), câtul este din nou un polinom reciproc, iar acest lucru se dovedește prin inducție.
Exemplu.
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.
Decizie.
Ecuația originală are în mod necesar o rădăcină x \u003d -1, așa că împărțim x 3 + 2x 2 + 2x + 1 la (x + 1) conform schemei Horner:
| . |
1 |
2 |
2 |
1 |
| -1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1) (x 2 + x + 1) = 0.
Ecuația pătratică x 2 + x + 1 = 0 nu are rădăcini.
Raspunsul 1.
2.
Ecuațiile sunt numite ecuații simetrice de gradul 4 dacă arată ca
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
Algoritm de rezolvare ecuații similare sunt:
A)Împărțiți ambele părți ale ecuației inițiale la x 2. Această acțiune nu va duce la pierderea rădăcinii, deoarece x \u003d 0 nu este o soluție pentru ecuația dată.
b) Folosind gruparea, aduceți ecuația la forma:
a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
în) Introduceți o nouă necunoscută: t = (x + 1/x).
Să facem transformări: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Dacă acum exprimăm x 2 + 1/x 2, atunci t 2 - 2 = x 2 + 1/x 2.
G) Rezolvați ecuația pătratică rezultată în variabile noi:
la 2 + bt + c - 2a = 0.
e) Faceți o înlocuire inversă.
Exemplu.
6x 4 - 5x 3 - 38x 2 - 5x + 6 = 0.
Decizie.
6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 \u003d 0.
6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 \u003d 0.
Introduceți t: substituție (x + 1/x) = t. Înlocuire: (x 2 + 1 / x 2) \u003d t 2 - 2, avem:
6t 2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 sau t = 10/3.
Să revenim la x. După înlocuirea inversă, rezolvăm cele două ecuații rezultate:
1) x + 1/x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 sau x = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
x 2 - 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 sau x = 1/3.
Răspuns: -2; -1/2; 1/3; 3.
Modalități de rezolvare a unor tipuri de ecuații de grade superioare
1. Ecuații care arată ca (x + a) n + (x + b) n = c, se rezolvă prin substituție t = x + (a + b)/2. Această metodă se numește metoda de simetrizare.
Un exemplu de astfel de ecuație ar fi o ecuație de forma (x + a) 4 + (x + b) 4 = c.
Exemplu.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
Decizie.
Facem înlocuirea menționată mai sus:
t \u003d x + (3 + 1) / 2 \u003d x + 2, după simplificare: x \u003d t - 2.
(t - 2 + 3) 4 + (t - 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t - 1) 4 = 272.
Îndepărtând parantezele folosind formule, obținem:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 - 4t 3 + 6t 2 - 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 - 270 = 0.
t 4 + 6t 2 - 135 = 0.
t 2 = 9 sau t 2 = -15.
A doua ecuație nu dă rădăcini, dar din prima avem t = ±3.
După înlocuirea inversă, obținem că x \u003d -5 sau x \u003d 1.
Răspuns: -5; unu.
Pentru a rezolva astfel de ecuații, se dovedește adesea a fi eficient și metoda de factorizare a părții stângi a ecuației.
2. Ecuații de formă (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, unde a + d = c + b.
Tehnica de rezolvare a unor astfel de ecuații este de a deschide parțial parantezele și apoi de a introduce o nouă variabilă.
Exemplu.
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
Decizie.
Calculați: 1 + 4 = 2 + 3. Grupați parantezele în perechi:
((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.
Făcând schimbarea x 2 + 5x + 4 = t, avem ecuația
t(t + 2) = 24, este pătrat:
t 2 + 2t - 24 = 0.
t = -6 sau t = 4.
După efectuarea înlocuirii inverse, putem găsi cu ușurință rădăcinile ecuației inițiale.
Răspuns: -5; 0.
3. Ecuații de formă (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) \u003d Ax 2, unde ad \u003d cb.
Metoda de rezolvare constă în deschiderea parțială a parantezelor, împărțirea ambelor părți la x 2 și rezolvarea unui set de ecuații pătratice.
Exemplu.
(x + 12)(x + 2)(x + 3)(x + 8) = 4x 2.
Decizie.
Înmulțind primele două și ultimele două paranteze din partea stângă, obținem:
(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Împărțiți cu x 2 ≠ 0.
(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. Înlocuind (x + 24/x) = t, ajungem la ecuația pătratică:
(t + 14)(t + 11) = 4;
t 2 + 25x + 150 = 0.
t=10 sau t=15.
Făcând substituția inversă x + 24 / x \u003d 10 sau x + 24 / x \u003d 15, găsim rădăcinile.
Răspuns: (-15 ± √129)/2; -4; -6.
4.
Rezolvați ecuația (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.
Decizie.
Această ecuație este imediat dificil de clasificat și de a alege o metodă de soluție. Prin urmare, mai întâi transformăm folosind diferența de pătrate și diferența de cuburi:
((3x + 5) 2 - 4x 2) + ((x + 6) 3 - 1) = 0. Apoi, după scoaterea factorului comun, ajungem la o ecuație simplă:
(x + 5) (x 2 + 18x + 48) = 0.
Răspuns: -5; -9±√33.
O sarcină.
Compuneți un polinom de gradul al treilea, care are o rădăcină egală cu 4, are o multiplicitate de 2 și o rădăcină egală cu -2.
Decizie.
f(x)/((x - 4) 2 (x + 2)) = q(x) sau f(x) = (x - 4) 2 (x + 2)q(x).
Înmulțind primele două paranteze și aducând termeni similari, obținem: f (x) \u003d (x 3 - 6x 2 + 32) q (x).
x 3 - 6x 2 + 32 este un polinom de gradul al treilea, prin urmare, q (x) este un număr din R(adică valabil). Fie q(x) unul, atunci f(x) = x 3 - 6x 2 + 32.
Răspuns: f (x) \u003d x 3 - 6x 2 + 32.
Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!
blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.
Introducere
Simetria... este ideea prin care omul a încercat timp de secole să înțeleagă și să creeze ordine, frumusețe și perfecțiune.
Conceptul de simetrie străbate întreaga istorie a omenirii. Se găsește deja la originile cunoașterii umane. A apărut în legătură cu studiul unui organism viu, și anume omul, și a fost folosit de sculptori încă din secolul al V-lea î.Hr. e.
Cuvântul „simetrie” este grecesc. Înseamnă „proporționalitate”, „proporționalitate”, asemănarea în aranjarea pieselor. Este utilizat pe scară largă de toate domeniile științei moderne, fără excepție.
Mulți oameni grozavi s-au gândit la acest model. De exemplu, L.N. Tolstoi a spus: „Stăt în fața unei table negre și desenând diferite figuri pe ea cu cretă, am fost brusc lovit de gândul: de ce este clară simetria pentru ochi? Ce este simetria? Acesta este un sentiment înnăscut. Pe ce este bazat?
Într-adevăr, simetria este plăcută ochiului. Cine nu a admirat simetria creațiilor naturii: frunze, flori, păsări, animale; sau creații umane: clădiri, tehnologie, - tot ceea ce ne înconjoară din copilărie, care tinde spre frumusețe și armonie.
Simetrie (altă greacă συμμετρία - „proporționalitate”), în sens larg - invarianță sub orice transformări. Deci, de exemplu, simetria sferică a unui corp înseamnă că aspectul corpului nu se va schimba dacă este rotit în spațiu prin unghiuri arbitrare (menținând un punct pe loc). Simetria bilaterală înseamnă că partea dreaptă și stângă arată la fel în raport cu un anumit plan.
Ne întâlnim cu simetria peste tot - în natură, tehnologie, artă, știință. Remarcăm, de exemplu, simetria inerentă unui fluture și unei frunze de arțar, simetria unei mașini și a unui avion, simetria în construcția ritmică a unei poezii și a unei fraze muzicale, simetria ornamentelor și a chenarelor, simetria structura atomică a moleculelor și a cristalelor. Conceptul de simetrie străbate întreaga istorie veche de secole a creativității umane. Se găsește deja la originile cunoașterii umane; este utilizat pe scară largă de toate domeniile științei moderne, fără excepție. Principiile simetriei joacă un rol important în fizică și matematică, chimie și biologie, inginerie și arhitectură, pictură și sculptură, poezie și muzică. Legile naturii care guvernează tabloul fenomenelor, inepuizabile în diversitatea sa, se supun, la rândul lor, principiilor simetriei.
Obiective:
Luați în considerare tipurile și tipurile de simetrii;
Analizați cum și unde este utilizată simetria;
Luați în considerare modul în care este utilizată simetria într-un curs de algebră școlară
Simetrie.
Cuvântul „simetrie” are o dublă semnificație. Într-un sens, simetric înseamnă ceva foarte proporțional, echilibrat; simetria arată acel mod de a coordona multe părți, cu ajutorul căruia acestea sunt combinate într-un întreg. Al doilea sens al acestui cuvânt este echilibru. Chiar și Aristotel a vorbit despre simetrie ca despre o stare care se caracterizează printr-un raport de extreme. Din această afirmație rezultă că Aristotel, probabil, a fost cel mai aproape de descoperirea uneia dintre cele mai fundamentale legi ale Naturii - legile dualității sale.
Este necesar să evidențiem aspectele fără de care simetria este imposibilă:
1) un obiect este un purtător de simetrie; lucrurile, procesele, figurile geometrice, expresiile matematice, organismele vii etc. pot acționa ca obiecte simetrice.
2) unele trăsături - mărimi, proprietăți, relații, procese, fenomene - ale obiectului, care rămân neschimbate în timpul transformărilor de simetrie; se numesc invarianţi sau invarianţi.
3) modificări (ale obiectului) care lasă obiectul identic cu el însuși în ceea ce privește caracteristicile invariante; astfel de modificări se numesc transformări de simetrie;
4) proprietatea unui obiect de a se transforma, în funcție de caracteristicile selectate, în sine după modificările corespunzătoare.
Astfel, simetria exprimă păstrarea a ceva cu unele modificări sau păstrarea a ceva în ciuda unei schimbări. Simetria presupune imuabilitatea nu numai a obiectului în sine, ci și a oricăror proprietăți ale acestuia în raport cu transformările efectuate asupra obiectului. Imuabilitatea anumitor obiecte poate fi observată în raport cu diverse operații - la rotații, translații, înlocuirea reciprocă a pieselor, reflexii etc. În acest sens, există diferite tipuri de simetrie.
Asimetrie
Asimetria este absența sau încălcarea simetriei.
În arhitectură, simetria și asimetria sunt două metode opuse de organizare regulată a formei spațiale. Compozițiile asimetrice în dezvoltarea arhitecturii au apărut ca întruchiparea combinațiilor complexe de procese de viață și condiții de mediu.
Disimetrie
Numim simetrie ruptă, parțial detonată disimetrie
.
Disimetria este un fenomen larg răspândit în fauna sălbatică. Este, de asemenea, caracteristic oamenilor. O persoană este disimetrică, în ciuda faptului că contururile corpului său au un plan de simetrie. Disimetria afectează
mai buna posesie a uneia dintre maini, in aranjarea asimetrica a inimii si a multor alte organe, in structura acestor organe.
Disimetriile corpului uman sunt similare și abateri de la simetria exactă în arhitectură. De obicei sunt cauzate de necesitate practică, de faptul că varietatea funcțiilor nu se încadrează în limitele legilor rigide de simetrie. Uneori, astfel de abateri dau naștere la un efect emoțional acut.
^ Tipuri de simetrii găsite în matematică și științele naturii:
Simetrie bilaterală- simetria reflexiei în oglindă, în care obiectul are un plan de simetrie, față de care cele două jumătăți ale sale sunt simetrice în oglindă. La animale, simetria bilaterală se manifestă prin asemănarea sau identitatea aproape completă a jumătăților stângă și dreaptă ale corpului. În acest caz, există întotdeauna abateri aleatorii de la simetrie (de exemplu, diferențe în liniile papilare, ramificarea vaselor. Există adesea diferențe mici, dar regulate în structura externă și diferențe mai semnificative între jumătatea dreaptă și stângă a corpului în localizarea organelor interne.De exemplu, inima la mamifere este de obicei situată asimetric, decalată spre stânga.
La animale, apariția simetriei bilaterale în evoluție este asociată cu târarea de-a lungul substratului (de-a lungul fundului rezervorului), în legătură cu care apar jumătățile dorsale și ventrale, precum și jumătatea dreaptă și stângă a corpului. În general, în rândul animalelor, simetria bilaterală este mai pronunțată în formele activ mobile decât la plantele sesile.Simetria bilaterală nu este de obicei întregul organism, ci părțile sale individuale - frunze sau flori. Din punct de vedere botanic, florile simetrice bilateral sunt numite zigomorfe.
^ simetrie de ordinul al n-lea- simetrie față de rotațiile printr-un unghi de 360 °/n în jurul oricărei axe. Descris de grupul Zn.
Simetrie axială(simetria radială, simetria razelor) - o formă de simetrie în care un corp (sau o figură) coincide cu el însuși atunci când un obiect se rotește în jurul unui anumit punct sau a unei linii. Adesea, acest punct coincide cu centrul de simetrie al obiectului, adică punctul în care
intersectează un număr infinit de axe de simetrie bilaterală. Simetria radială este deținută de obiecte geometrice precum un cerc, o minge, un cilindru sau un con. Descris de grupul SO(2).
^ Simetrie sferică- simetria fata de rotatiile in spatiul tridimensional prin unghiuri arbitrare. Descris de grupul SO(3). Simetria sferică locală a spațiului sau a mediului este numită și izotropie.
^ Simetria rotațională- un termen care înseamnă simetria unui obiect în raport cu toate sau unele rotații proprii ale spațiului euclidian m-dimensional.
^ Simetria la animale și la oameni.
Simetria este un semn vital care reflectă caracteristicile structurii, stilului de viață și comportamentului animalului. Simetria formei este necesară pentru ca peștele să înoate; pasăre să zboare. Deci simetria în natură există pentru un motiv: este, de asemenea, utilă, sau, cu alte cuvinte, oportună. În biologie, centrul de simetrie are: flori, meduze, stele de mare etc Prezența formelor de simetrie poate fi deja urmărită în cel mai simplu - unicelular (ciliați, amibe).Corpul uman este construit pe principiul simetriei bilaterale. Creierul este împărțit în două jumătăți. În deplină concordanță cu simetria generală a corpului uman, fiecare emisferă este o imagine în oglindă aproape exactă a celeilalte. Controlul mișcărilor de bază ale corpului uman și al funcțiilor sale senzoriale este distribuit uniform între cele două emisfere ale creierului. Emisfera stângă controlează partea dreaptă a creierului, în timp ce emisfera dreaptă controlează partea stângă. Studiile au arătat că o față simetrică este mai atractivă. Cercetătorii mai susțin că o față cu proporții ideale este un semn că corpul proprietarului său este bine pregătit să lupte împotriva infecțiilor. Răceala, astmul și gripa sunt foarte probabil să se retragă în fața persoanelor a căror parte stângă este exact ca cea dreaptă. Și în haine, o persoană, de regulă, încearcă să mențină impresia de simetrie: mâneca dreaptă corespunde stângii, piciorul drept corespunde stângi. Nasturii de pe geacă și de pe cămașă stau exact în mijloc, iar dacă se retrag de ea, atunci la distanțe simetrice. Și, în același timp, uneori o persoană încearcă să sublinieze, să întărească diferența dintre stânga și dreapta. În Evul Mediu, bărbații la un moment dat etalau pantaloni cu picioare de diferite culori (de exemplu, unul roșu și celălalt negru sau alb). Dar
o astfel de modă este întotdeauna de scurtă durată. Doar abaterile modeste de la simetrie raman mult timp.
Simetria în artă
Simetria în artă în general și în artele vizuale în special își are originea în realitate, plină de forme dispuse simetric.
Organizarea simetrică a unei compoziții este caracterizată de echilibrul părților sale în ceea ce privește masa, tonul, culoarea și chiar forma. În astfel de cazuri, o parte este aproape o imagine în oglindă a celei de-a doua. În compozițiile simetrice, cel mai adesea există un centru pronunțat. De regulă, coincide cu centrul geometric al planului imaginii. Dacă punctul de fugă este deplasat de centru, una dintre părți este mai încărcată din punct de vedere al masei, sau imaginea este construită în diagonală, toate acestea informează dinamismul compoziției și încalcă într-o oarecare măsură echilibrul ideal.
Regula simetriei a fost folosită de sculptorii Greciei antice. Un exemplu este compoziția frontonului vestic al templului lui Zeus și Olimpia. Se bazează pe lupta lapiților (greci) cu centaurii în prezența zeului Apollo. Mișcarea crește treptat de la margini spre centru. Ajunge la limita expresivității în imaginea a doi tineri care s-au legănat spre centauri. Mișcarea în creștere, parcă, se întrerupe imediat în apropierea figurii lui Apollo, stând calm și maiestuos în centrul frontonului.
Ideea lucrărilor pierdute ale pictorilor celebri din secolul al V-lea î.Hr. e. poate fi compilat din pictura antică în vază și frescele pompeiene, inspirate, după cum cred cercetătorii, din lucrările maeștrilor greci din epoca clasică...
Compoziții simetrice au fost observate și la maeștrii greci din secolele IV-III î.Hr. e. Acest lucru poate fi judecat după copiile frescelor. În frescele pompeiene, figurile principale se află în centrul compoziției piramidale, care se distinge prin simetrie.
Artiștii au recurs adesea la regulile simetriei atunci când înfățișează întâlniri solemne aglomerate, parade, întâlniri în săli mari etc.
O mare atenție a fost acordată regulii de simetrie de către artiștii Renașterii timpurii, așa cum o demonstrează pictura monumentală (de exemplu, frescele lui Giotto). În timpul Înaltei Renașteri, compoziția italiană a ajuns la maturitate. De exemplu, în pictura „Sfânta Ana cu Maria și Pruncul Hristos”, Leonardo da Vinci aranjează trei figuri într-un triunghi îndreptat în sus. În colțul din dreapta jos, dă o figurină a unui miel ținut de un mic Hristos. Totul este aranjat în așa fel încât acest triunghi să fie ghicit doar sub grupul volum-spațial de figuri.
Cina cea de Taină de Leonardo da Vinci poate fi numită și o compoziție simetrică. Această frescă arată un moment dramatic când
Hristos le-a spus ucenicilor săi: „Unul dintre voi mă va trăda”. Reacția psihologică a apostolilor la aceste cuvinte profetice leagă personajele de centrul compozițional în care se află figura lui Hristos. Impresia de integritate din această compoziție centripetă este sporită și mai mult de faptul că artistul a arătat camera trapezei în perspectivă cu punctul de fuga al liniilor paralele în mijlocul ferestrei, față de care este desenat clar capul lui Hristos. Astfel, privirea privitorului este îndreptată involuntar spre figura centrală a imaginii.
Dintre lucrările care demonstrează posibilitățile de simetrie, se poate numi și Logodna Mariei a lui Rafael, unde tehnicile compoziționale caracteristice Renașterii și-au găsit expresia cea mai completă.
Pe baza regulii de simetrie este construită și pictura lui V. M. Vasnetsov „Bogatyrs”. Centrul compoziției este figura lui Ilya Muromets. La stânga și la dreapta, ca într-o imagine în oglindă, sunt plasate Alyosha Popovich și Dobrynya Nikitich. Figurile sunt situate de-a lungul planului imaginii așezate calm pe cai. Construcția simetrică a compoziției transmite o stare de repaus relativ. Cifrele din stânga și din dreapta nu sunt aceleași în ceea ce privește masa, ceea ce se datorează intenției ideologice a autorului. Dar ambele sunt mai puțin puternice în comparație cu figura lui Muromets și, per ansamblu, dau echilibru complet compoziției.
Stabilitatea compoziției îl face pe spectator să se simtă încrezător în invincibilitatea eroilor, apărătorii pământului rusesc. Mai mult, în „Bogatyrs” o stare de odihnă tensionată este transmisă în pragul trecerii în acțiune. Și asta înseamnă că simetria poartă și germenul mișcării dinamice în timp și spațiu.
Simetria în algebră.
Cele mai simple expresii simetrice pentru rădăcinile unei ecuații pătratice se găsesc în teorema lui Vieta. Acest lucru le permite să fie utilizate în rezolvarea unor probleme legate de ecuații pătratice. Să luăm în considerare câteva exemple.
Exemplul 1:
Ecuație cuadratică 
are rădăcini și . Fără a rezolva această ecuație, exprimăm în termeni de și sumele , . Expresia este simetrică în raport cu și . Le exprimăm în termeni de + și , apoi aplicăm teorema Vieta.
