Următoarea formulă se numește formula de integrare prin părți în integrala nedefinită:
Pentru a aplica formula de integrare prin părți, integrandul trebuie împărțit în doi factori. Unul dintre ele este notat cu u, iar restul se referă la al doilea factor și este notat cu dv. Apoi prin diferențiere găsim du iar integrarea – funcţia v. În același timp, pentru u dv- o astfel de parte a integrandului care poate fi ușor de integrat.
Când este benefic să folosești metoda integrării pe părți? Apoi când integrandul contine :
1) - funcții logaritmice, precum și inverse funcții trigonometrice(cu prefixul „arc”), apoi, pe baza experienței pe termen lung a integrării pe părți, aceste funcții sunt notate prin u;
2) , , - sinus, cosinus și exponent înmulțit cu P(X) este un polinom arbitrar în x, atunci aceste funcții sunt notate cu dv, iar polinomul este prin u;
3) , , , , în acest caz integrarea pe părți se aplică de două ori.
Să explicăm valoarea metodei de integrare pe părți folosind exemplul primului caz. Fie ca expresia de sub semnul integral să conțină o funcție logaritmică (acesta va fi exemplul 1). Folosind integrarea pe părți, o astfel de integrală se reduce la calcularea integralei numai a funcțiilor algebrice (cel mai adesea un polinom), adică neconținând o funcție trigonometrică logaritmică sau inversă. Folosind formula de integrare prin părți dată chiar la începutul lecției
obţinem în primul termen (fără integrală) o funcţie logaritmică, iar în al doilea termen (sub semnul integral) o funcţie care nu conţine logaritm. Integrala unei funcții algebrice este mult mai simplă decât integrala sub semnul căreia se găsesc separat sau împreună cu factor algebric funcţie logaritmică sau trigonometrică inversă.
Astfel, folosind formule de integrare prin părți integrarea nu se realizează imediat: găsirea unei integrale date se reduce la găsirea alteia. Semnificația formulei de integrare prin părți este că, ca urmare a aplicării sale, noua integrală se dovedește a fi tabelară sau cel puțin devine mai simplă decât cea originală.
Metoda de integrare pe părți se bazează pe utilizarea formulei de diferențiere a produsului a două funcții:
atunci se poate scrie sub forma
care a fost dat chiar la începutul lecției.
La găsirea prin integrarea funcţiei v pentru ea există un set infinit funcții antiderivate. Pentru a aplica formula de integrare prin părți, puteți lua oricare dintre ele și, prin urmare, cea care corespunde unei constante arbitrare CU, egal cu zero. Prin urmare, la găsirea funcției v constantă arbitrară CU nu trebuie introduse.
Metoda integrării pe părți are o aplicație cu totul specială: poate fi folosită pentru a deriva formule recurente pentru găsirea funcțiilor antiderivate atunci când este necesară reducerea gradului de funcții sub semnul integral. Reducerea gradului este necesară atunci când nu există integrale tabelare pentru, de exemplu, funcții precum sinusuri și cosinusuri la puteri mai mari decât a doua și produsele lor. O formulă recurentă este o formulă pentru găsirea următorului membru al unei secvențe prin membrul anterior. Pentru cazurile indicate, scopul se atinge prin scăderea succesivă a gradului. Deci, dacă integrandul este un sinus la a patra putere a lui x, atunci prin integrarea pe părți puteți găsi o formulă pentru integrala sinusului la a treia putere și așa mai departe. Ultimul paragraf al acestei lecții este dedicat sarcinii descrise.
Aplicarea integrării pe părți împreună
Exemplul 1. Găsiți integrala nedefinită folosind metoda integrării pe părți:
Soluţie. În expresia integrand - logaritmul, care, după cum știm deja, poate fi notat în mod rezonabil prin u. Noi credem că , .
Găsim (după cum sa menționat deja în explicația referinței teoretice, obținem imediat o funcție logaritmică în primul termen (fără integrală) și o funcție care nu conține logaritm în al doilea termen (sub semnul integral):
Și din nou logaritmul...
Exemplul 2. Aflați integrala nedefinită:
Soluţie. Lăsa , .
Logaritmul este prezent în pătrat. Aceasta înseamnă că trebuie diferențiat ca o funcție complexă. Găsim
,
.
Găsim din nou integrala a doua pe părți și obținem avantajul deja menționat (în primul termen (fără integrală) există o funcție logaritmică, iar în al doilea termen (sub semnul integral) există o funcție care nu conține o logaritm).
Găsim integrala originală:
Exemplul 3.
Soluţie. Arctangente, ca și logaritmul, este mai bine notat cu u. Deci, să ,.
Apoi ,
.
Aplicând formula de integrare prin părți, obținem:
Găsim a doua integrală prin schimbarea unei variabile.
Revenind la variabilă X, primim
.
Găsim integrala originală:
.
Exemplul 4. Aflați integrala nedefinită folosind metoda integrării pe părți:
Soluţie. Este mai bine să notăm exponentul prin dv. Am împărțit integrandul în doi factori. Crezând că
Exemplul 5. Aflați integrala nedefinită folosind metoda integrării pe părți:
.
Soluţie. Lăsa , . Apoi , .
Folosind formula de integrare prin părți (1), găsim:
Exemplul 6. Aflați integrala nedefinită prin integrare pe părți:
Soluţie. Sinusul, ca și exponențialul, poate fi notat convenabil prin dv. Lăsa , .
Folosind formula de integrare prin părți găsim:
Aplicam din nou integrarea pe părți împreună
Exemplul 10. Aflați integrala nedefinită prin integrare pe părți:
.
Soluţie. Ca în toate cazurile similare, este convenabil să se noteze cosinusul cu dv. Notăm ,.
Apoi 
,
.
Folosind formula de integrare prin părți, obținem:
De asemenea, aplicăm integrarea pe părți la al doilea termen. Notăm ,.
Folosind aceste notații, integrăm termenul menționat:
Acum găsim integrala necesară:
Dintre integralele care pot fi rezolvate prin metoda integrării pe părți, se numără și cele care nu se încadrează în niciuna dintre cele trei grupe menționate în partea teoretică, pentru care din practică se știe că este mai bine să se noteze prin u, și prin ce dv. Prin urmare, în aceste cazuri, trebuie să utilizați considerația de comoditate, menționată și în paragraful „Esența metodei de integrare pe părți”: pt. u ar trebui să se ia o parte din integrand care nu devine mult mai complicată în timpul diferențierii, dar dv- o astfel de parte a integrandului care poate fi ușor de integrat. Ultimul exemplu al acestei lecții este soluția unei astfel de integrale.
Integrare pe părți. Exemple de soluții
Buna din nou. Astăzi, în lecție, vom învăța cum să integrăm pe părți. Metoda de integrare pe părți este una dintre pietrele de temelie ale calculului integral. În timpul testelor sau examenelor, studenților li se cere aproape întotdeauna să rezolve următoarele tipuri de integrale: integrala cea mai simplă (vezi articolul) sau o integrală prin înlocuirea unei variabile (vezi articolul) sau integrala este doar activată metoda integrarii prin piese.
Ca întotdeauna, ar trebui să aveți la îndemână: Tabelul integralelorȘi Tabelul derivatelor. Dacă încă nu le aveți, atunci vă rugăm să vizitați camera de depozitare a site-ului meu: Formule și tabele matematice. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul în mod consecvent, simplu și clar; nu există dificultăți deosebite în integrarea părților.
Ce problemă rezolvă metoda integrării pe părți? Metoda de integrare pe părți rezolvă o problemă foarte importantă; vă permite să integrați unele funcții care nu sunt în tabel, muncă funcții și, în unele cazuri, chiar și coeficiente. După cum ne amintim, nu există o formulă convenabilă: 
. Dar există acesta: 
– formula de integrare pe părți în persoană. Știu, știu, ești singurul - vom lucra cu ea pe tot parcursul lecției (acum este mai ușor).
Și imediat lista la studio. Integralele următoarelor tipuri sunt luate pe părți:
1) , 
, – logaritm, logaritm înmulțit cu un polinom.
2) ,
este o funcție exponențială înmulțită cu un polinom. Aceasta include, de asemenea, integrale precum - functie exponentiala, înmulțit cu un polinom, dar în practică procentul este 97, sub integrală există o litera drăguță „e”. ... articolul se dovedește oarecum liric, ah da... a venit primăvara.
3) , 
, sunt funcții trigonometrice înmulțite cu un polinom.
4) , – funcții trigonometrice inverse („arcuri”), „arcuri” înmulțite cu un polinom.
Unele fracții sunt, de asemenea, luate în părți; vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare în detaliu.
Integrale ale logaritmilor
Exemplul 1
Clasic. Din când în când, această integrală poate fi găsită în tabele, dar nu este recomandabil să folosiți un răspuns gata făcut, deoarece profesorul are deficiență de vitamină de primăvară și va înjura din greu. Deoarece integrala luată în considerare nu este nicidecum tabelară - este luată în părți. Noi decidem:
Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.
Folosim formula de integrare prin părți: 
Formula se aplică de la stânga la dreapta
Ne uităm în partea stângă: . Evident, în exemplul nostru (și în toate celelalte pe care le vom lua în considerare), ceva trebuie desemnat ca , iar ceva ca .
În integralele de tipul luat în considerare, logaritmul este întotdeauna notat.
Din punct de vedere tehnic, proiectarea soluției este implementată după cum urmează; scriem în coloană:
Adică am notat logaritmul cu și prin - partea rămasă expresie integrand.
Etapa următoare: găsiți diferența:
Un diferențial este aproape același cu un derivat; am discutat deja cum să o găsim în lecțiile anterioare.
Acum găsim funcția. Pentru a găsi funcția trebuie să o integrați partea dreapta egalitate mai scăzută:
Acum deschidem soluția noastră și construim partea dreaptă a formulei: .
Apropo, iată o mostră a soluției finale cu câteva note:
Singurul punct al lucrării este că am schimbat imediat și , deoarece este obișnuit să scrieți factorul înainte de logaritm.
După cum puteți vedea, aplicarea formulei de integrare prin părți a redus soluția noastră la două integrale simple.
Vă rugăm să rețineți că în unele cazuri imediat dupa aplicarea formulei, o simplificare se efectuează în mod necesar sub integrala rămasă - în exemplul luat în considerare, am redus integrandul la „x”.
Sa verificam. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați derivata răspunsului:
S-a obținut funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrala a fost rezolvată corect.
În timpul testului, am folosit regula de diferențiere a produsului: 
. Și asta nu este o coincidență.
Formula de integrare pe părți 
si formula 
– acestea sunt două reguli reciproc inverse.
Exemplul 2
Aflați integrala nedefinită.
Integrandul este produsul dintre un logaritm și un polinom.
Să decidem.
Voi descrie din nou în detaliu procedura de aplicare a regulii; în viitor, exemplele vor fi prezentate mai pe scurt și, dacă întâmpinați dificultăți în a o rezolva singur, trebuie să reveniți la primele două exemple ale lecției .
După cum sa menționat deja, este necesar să se noteze logaritmul (faptul că este o putere nu contează). Notăm prin partea rămasă expresie integrand.
Scriem in coloana:
Mai întâi găsim diferența:
Aici folosim regula de diferențiere functie complexa 
. Nu întâmplător, chiar la prima lecție a subiectului Integrală nedefinită. Exemple de soluții M-am concentrat pe faptul că, pentru a stăpâni integralele, este necesar să „puneți mâna pe” derivate. Va trebui să vă ocupați de derivate de mai multe ori.
Acum găsim funcția, pentru aceasta integrăm partea dreapta egalitate mai scăzută:
Pentru integrare am folosit cea mai simplă formulă tabelară 
Acum totul este gata pentru aplicarea formulei 
. Deschideți cu un asterisc și „construiți” soluția în conformitate cu partea dreaptă:
Sub integrală avem din nou un polinom pentru logaritm! Prin urmare, soluția este din nou întreruptă și se aplică a doua oară regula integrării pe părți. Nu uitați că în situații similare logaritmul este întotdeauna notat.
Ar fi bine dacă în acest moment Ați putut găsi pe cale orală cele mai simple integrale și derivate.
(1) Nu vă confundați cu semnele! Foarte des, minusul este pierdut aici, de asemenea, rețineți că minusul se referă la pentru toti paranteză 
, iar aceste paranteze trebuie extinse corect.
(2) Deschideți parantezele. Simplificam ultima integrala.
(3) Luăm ultima integrală.
(4) „Păptănând” răspunsul.
Necesitatea de a aplica regula integrării pe părți de două ori (sau chiar de trei ori) nu apare foarte rar.
Și acum câteva exemple pentru decizie independentă:
Exemplul 3
Aflați integrala nedefinită.
Acest exemplu se rezolvă prin schimbarea variabilei (sau înlocuirea acesteia sub semnul diferenţial)! De ce nu - poți încerca să-l iei în părți, se va dovedi a fi un lucru amuzant.
Exemplul 4
Aflați integrala nedefinită.
Dar această integrală este integrată de părți (fracția promisă).
Acestea sunt exemple pe care le puteți rezolva singur, soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.
Se pare că în exemplele 3 și 4 integranții sunt similari, dar metodele de rezolvare sunt diferite! Aceasta este principala dificultate în stăpânirea integralelor - dacă alegeți metoda greșită de rezolvare a unei integrale, atunci puteți să o jucați ore întregi, ca la un puzzle adevărat. Prin urmare, cu cât rezolvați mai multe integrale, cu atât mai bine, cu atât testul și examenul vor fi mai ușor. În plus, în al doilea an vor exista ecuatii diferentiale, iar fără experiență în rezolvarea integralelor și derivatelor nu este nimic de făcut acolo.
În ceea ce privește logaritmii, acest lucru este probabil mai mult decât suficient. Pentru început, îmi pot aminti și că studenții la inginerie numesc logaritmi sânul feminin=). Apropo, este util să cunoaștem pe de rost graficele principalelor funcții elementare: sinus, cosinus, arctangent, exponent, polinoame de gradul trei, al patrulea etc. Nu, desigur, un prezervativ pe glob
Nu o voi întinde, dar acum vă veți aminti multe din secțiune Diagrame și funcții =).
Integrale ale unei exponențiale înmulțite cu un polinom
Exemplul 5
Aflați integrala nedefinită.
Folosind un algoritm familiar, integrăm pe părți:
Dacă aveți dificultăți cu integrala, atunci ar trebui să reveniți la articol Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită.
Singurul lucru pe care îl puteți face este să modificați răspunsul:
Dar dacă tehnica ta de calcul nu este foarte bună, atunci cea mai profitabilă opțiune este să o lași ca răspuns 
sau chiar 
Adică exemplul se consideră rezolvat atunci când se ia ultima integrală. Nu va fi o greșeală; este o altă problemă că profesorul vă poate cere să simplificați răspunsul.
Exemplul 6
Aflați integrala nedefinită.
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Această integrală este integrată de două ori pe părți. Atentie speciala ar trebui să acordați atenție semnelor - este ușor să vă confundați în ele, ne amintim, de asemenea, că aceasta este o funcție complexă.
Nu mai este nimic de spus despre expozant. Pot să adaug doar că expozantul și logaritmul natural functii reciproce, acesta sunt eu pe tema graficelor distractive matematică superioară=) Oprește-te, oprește-te, nu-ți face griji, lectorul este treaz.
Integrale ale funcțiilor trigonometrice înmulțite cu un polinom
Regula generala: căci denotă întotdeauna un polinom
Exemplul 7
Aflați integrala nedefinită.
Să integrăm pe părți:
Hmmm...si nu e nimic de comentat.
Exemplul 8
Aflați integrala nedefinită 
Acesta este un exemplu de rezolvat singur
Exemplul 9
Aflați integrala nedefinită
Un alt exemplu cu o fracție. Ca și în cele două exemple precedente, for denotă un polinom.
Să integrăm pe părți: 
Dacă aveți dificultăți sau neînțelegeri în găsirea integralei, vă recomand să participați la lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice.
Exemplul 10
Aflați integrala nedefinită 
Acesta este un exemplu de rezolvat singur.
Sugestie: Înainte de a utiliza metoda integrării prin părți, ar trebui să aplicați o formulă trigonometrică care transformă produsul a două funcții trigonometrice într-o singură funcție. Formula poate fi folosită și la aplicarea metodei de integrare pe părți, oricare este mai convenabil pentru dvs.
Asta este probabil tot în acest paragraf. Dintr-un motiv oarecare mi-am amintit de o linie din imnul de fizică și matematică „Și graficul sinusoidal merge val după val de-a lungul axei absciselor”...
Integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse.
Integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse înmulțite cu un polinom
Regula generala: desemnează întotdeauna funcția trigonometrică inversă.
Permiteți-mi să vă reamintesc că funcțiile trigonometrice inverse includ arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. De dragul conciziei înregistrării, le voi numi „arcuri”
Sunt luate în considerare în detaliu exemple de soluții ale integralelor pe părți, al căror integrand conține logaritmul, arcsinus, arctangent, precum și logaritmul puterii întregi și logaritmul polinomului.
Formula de integrare pe părți
Mai jos, la rezolvarea exemplelor, se folosește formula de integrare pe părți:
;
.
Exemple de integrale care conțin logaritmi și funcții trigonometrice inverse
Iată exemple de integrale care sunt integrate prin părți:
, , , , , , .
La integrare, acea parte a integrandului care conține logaritmul sau funcțiile trigonometrice inverse se notează cu u, restul cu dv.
Mai jos sunt exemple cu soluții detaliate ale acestor integrale.
Exemplu simplu cu logaritm
Să calculăm integrala care conține produsul unui polinom și un logaritm:
Soluţie
Aici integrandul conține un logaritm. Efectuarea de substituții
u = ln x, dv = x 2 dx . Apoi
,
.
Să integrăm pe părți.
.
.
Apoi
.
La sfârșitul calculelor, adăugați constanta C.
Răspuns
Exemplu de logaritm la puterea lui 2
Să luăm în considerare un exemplu în care integrandul include un logaritm la o putere întreagă. Astfel de integrale pot fi integrate și prin părți.
Soluţie
Efectuarea de substituții
u = (ln x) 2, dv = x dx . Apoi
,
.
De asemenea, calculăm integrala rămasă pe părți:
.
Să înlocuim
.
Răspuns
Un exemplu în care argumentul logaritmului este un polinom
Integralele pot fi calculate pe părți, al căror integrand include un logaritm al cărui argument este o funcție polinomială, rațională sau irațională. Ca exemplu, să calculăm o integrală cu un logaritm al cărui argument este un polinom.
.
Soluţie
Efectuarea de substituții
u = ln( x 2 - 1), dv = x dx .
Apoi
,
.
Calculăm integrala rămasă:
.
Nu scriem aici semnul modulului ln | x 2 - 1|, deoarece integrandul este definit la x 2 - 1 > 0
. Să înlocuim
.
Răspuns
Exemplu arcsin
Să luăm în considerare un exemplu de integrală al cărei integrand include arcsinusul.
.
Soluţie
Efectuarea de substituții
u = arcsin x,
.
Apoi
,
.
În continuare, observăm că integrandul este definit pentru |x|< 1 . Să extindem semnul modulului sub logaritm, ținând cont de faptul că 1 - x > 0Și 1 + x > 0.
Răspuns
Exemplu de arc tangentă
Să rezolvăm exemplul cu arctangent:
.
Soluţie
Să integrăm pe părți.
.
Să selectăm întreaga parte a fracției:
X 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + X 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1)(x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Să integrăm:
.
În sfârșit avem:
.
Răspuns
Un alt exemplu cu arcsinus
Rezolvați integrala:
.
Soluţie
Să integrăm pe părți.
.
Calculăm integrala rămasă. La x > 0
avem:
.
.
.
La x < 0
să facem o înlocuire x = - t, t > 0
:
.
În sfârșit avem.
Integrare pe părți. Exemple de soluții
Soluţie.
De exemplu.
Calculați integrala:
Folosind proprietățile integralei (liniaritate), ᴛ.ᴇ. , o reducem la o integrală tabelară, obținem asta
Buna din nou. Astăzi, în lecție, vom învăța cum să integrăm pe părți. Metoda de integrare pe părți este una dintre pietrele de temelie ale calculului integral. În timpul testelor sau examenelor, studenților li se cere aproape întotdeauna să rezolve următoarele tipuri de integrale: integrala cea mai simplă (vezi articolulIntegrală nedefinită. Exemple de soluții ) sau o integrală prin înlocuirea unei variabile (vezi articolulMetoda modificării variabilei într-o integrală nedefinită ) sau integrala este doar activată metoda integrarii prin piese.
Ca întotdeauna, ar trebui să aveți la îndemână: Tabelul integralelorȘi Tabelul derivatelor. Dacă încă nu le aveți, vă rugăm să vizitați depozitul site-ului meu: Formule și tabele matematice. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul în mod consecvent, simplu și clar; nu există dificultăți deosebite în integrarea părților.
Ce problemă rezolvă metoda integrării pe părți? Metoda de integrare pe părți rezolvă o problemă foarte importantă; vă permite să integrați unele funcții care nu sunt în tabel, muncă funcții și, în unele cazuri, chiar și coeficiente. După cum ne amintim, nu există o formulă convenabilă: . Dar există aceasta: - formula de integrare pe părți în persoană. Știu, știu, ești singurul - vom lucra cu ea pe tot parcursul lecției (acum este mai ușor).
Și imediat lista la studio. Integralele următoarelor tipuri sunt luate pe părți:
1) , – logaritm, logaritm înmulțit cu un polinom.
2) , este o funcție exponențială înmulțită cu un polinom. Aceasta include și integrale precum - o funcție exponențială înmulțită cu un polinom, dar în practică aceasta este 97 la sută, sub integrală există o literă frumoasă ʼʼеʼʼ. ... articolul se dovedește oarecum liric, ah da... a venit primăvara.
3) , – funcții trigonometrice înmulțite cu un polinom.
4) - funcții trigonometrice inverse („arcuri”), „arcuri”, înmulțite cu vreun polinom.
Unele fracții sunt, de asemenea, luate în părți; vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare în detaliu.
Exemplul 1
Aflați integrala nedefinită.
Clasic. Din când în când, această integrală poate fi găsită în tabele, dar nu este recomandabil să folosiți un răspuns gata făcut, deoarece profesorul are deficiență de vitamină de primăvară și va înjura din greu. Deoarece integrala luată în considerare nu este nicidecum tabelară - este luată în părți. Noi decidem:
Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.
Folosim formula de integrare prin părți:
Integrale de logaritmi - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Integrale ale logaritmilor” 2017, 2018.
