Pentru factorizare este necesară simplificarea expresiilor. Acest lucru este necesar pentru a putea fi redus și mai mult. Expansiunea unui polinom are sens atunci când gradul său nu este mai mic de doi. Un polinom cu gradul I se numește liniar.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Articolul va acoperi toate conceptele de descompunere, baza teoreticași metode de factorizare a unui polinom.
Teorie
Teorema 1Când orice polinom cu gradul n, având forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, sunt reprezentate ca un produs cu un factor constant cu cel mai mare grad a n și n factori liniari (x - x i), i = 1, 2, ..., n, apoi P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , unde x i, i = 1, 2, …, n sunt rădăcinile polinomului.
Teorema este pentru rădăcini tip complex x i, i = 1, 2, …, n și pentru coeficienți complecși a k, k = 0, 1, 2, …, n. Aceasta este baza oricărei descompunere.
Când coeficienții de forma a k, k = 0, 1, 2, …, n sunt numere reale, atunci rădăcinile complexe vor apărea în perechi conjugate. De exemplu, rădăcinile x 1 și x 2 legate de un polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sunt considerate conjugate complexe, atunci celelalte rădăcini sunt reale, din care obținem că polinomul ia forma P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, unde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
cometariu
Rădăcinile unui polinom pot fi repetate. Să luăm în considerare demonstrarea teoremei algebrei, o consecință a teoremei lui Bezout.
Teorema fundamentală a algebrei
Teorema 2Orice polinom cu gradul n are cel puțin o rădăcină.
teorema lui Bezout
După împărțirea unui polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pe (x - s), atunci obținem restul, care este egal cu polinomul din punctul s, apoi obținem
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , unde Q n - 1 (x) este un polinom cu gradul n - 1.
Corolar al teoremei lui Bezout
Când rădăcina polinomului P n (x) este considerată s, atunci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Acest corolar este suficient atunci când este utilizat pentru a descrie soluția.
Factorizarea unui trinom pătratic
Un trinom pătrat de forma a x 2 + b x + c poate fi factorizat în factori liniari. atunci obținem că a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , unde x 1 și x 2 sunt rădăcini (complexe sau reale).
Aceasta arată că expansiunea în sine se reduce la rezolvarea ulterior a ecuației pătratice.
Exemplul 1
Efectuați descompunerea trinom pătratic prin multiplicatori.
Soluţie
Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea discriminantului folosind formula, apoi obținem D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. De aici avem asta
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Din aceasta obținem că 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Pentru a efectua verificarea, trebuie să deschideți parantezele. Apoi obținem o expresie de forma:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
După verificare, ajungem la expresia originală. Adică putem concluziona că descompunerea a fost efectuată corect.
Exemplul 2
Factorizați trinomul pătratic de forma 3 x 2 - 7 x - 11 .
Soluţie
Înțelegem că trebuie să calculăm rezultatul ecuație pătratică de forma 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Pentru a găsi rădăcinile, trebuie să determinați valoarea discriminantului. Înțelegem asta
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Din aceasta obținem că 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Exemplul 3
Factorizați polinomul 2 x 2 + 1.
Soluţie
Acum trebuie să rezolvăm ecuația pătratică 2 x 2 + 1 = 0 și să îi găsim rădăcinile. Înțelegem asta
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Aceste rădăcini sunt numite conjugate complexe, ceea ce înseamnă că expansiunea în sine poate fi descrisă ca 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Exemplul 4
Descompuneți trinomul pătratic x 2 + 1 3 x + 1 .
Soluţie
Mai întâi trebuie să rezolvați o ecuație pătratică de forma x 2 + 1 3 x + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
După ce au obținut rădăcinile, scriem
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
cometariu
Dacă valoarea discriminantă este negativă, atunci polinoamele vor rămâne polinoame de ordinul doi. De aici rezultă că nu le vom extinde în factori liniari.
Metode de factorizare a unui polinom de grad mai mare de doi
La descompunere, se presupune o metodă universală. Majoritatea cazurilor se bazează pe un corolar al teoremei lui Bezout. Pentru a face acest lucru, trebuie să selectați valoarea rădăcinii x 1 și să reduceți gradul acesteia prin împărțirea la un polinom la 1 prin împărțirea la (x - x 1). Polinomul rezultat trebuie să găsească rădăcina x 2, iar procesul de căutare este ciclic până când obținem o expansiune completă.
Dacă rădăcina nu este găsită, atunci se folosesc alte metode de factorizare: grupare, termeni suplimentari. Acest subiect implică rezolvarea ecuațiilor cu puteri mai mari și coeficienți întregi.
Scoaterea factorului comun din paranteze
Luați în considerare cazul în care termenul liber este egal cu zero, atunci forma polinomului devine P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Se poate observa că rădăcina unui astfel de polinom va fi egală cu x 1 = 0, atunci polinomul poate fi reprezentat ca expresia P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Se consideră că această metodă elimină factorul comun din paranteze.
Exemplul 5
Factorizați polinomul de gradul al treilea 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Soluţie
Vedem că x 1 = 0 este rădăcina polinomului dat, apoi putem elimina x din parantezele întregii expresii. Primim:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Să trecem la găsirea rădăcinilor trinomului pătrat 4 x 2 + 8 x - 1. Să găsim discriminantul și rădăcinile:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Apoi rezultă că
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Pentru început, să luăm în considerare o metodă de descompunere care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, unde coeficientul de cel mai înalt grad este 1.
Când un polinom are rădăcini întregi, atunci ele sunt considerate divizori ai termenului liber.
Exemplul 6
Descompuneți expresia f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Soluţie
Să ne gândim dacă există rădăcini complete. Este necesar să scrieți divizorii numărului - 18. Obținem că ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Rezultă că acest polinom are rădăcini întregi. Puteți verifica folosind schema lui Horner. Este foarte convenabil și vă permite să obțineți rapid coeficienții de expansiune ai unui polinom:
Rezultă că x = 2 și x = - 3 sunt rădăcinile polinomului original, care poate fi reprezentat ca produs de forma:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Se trece la extinderea unui trinom pătratic de forma x 2 + 2 x + 3.
Deoarece discriminantul este negativ, înseamnă că nu există rădăcini reale.
Răspuns: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
cometariu
Este permisă folosirea selecției rădăcinilor și împărțirea unui polinom cu un polinom în locul schemei lui Horner. Să trecem la considerarea expansiunii unui polinom care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dintre care cel mai mare este egal cu unu.
Acest caz apare pentru fracțiile raționale.
Exemplul 7
Factorizează f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Soluţie
Este necesar să înlocuiți variabila y = 2 x, ar trebui să treceți la un polinom cu coeficienți egali cu 1 la cel mai înalt grad. Trebuie să începeți prin înmulțirea expresiei cu 4. Înțelegem asta
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Când funcția rezultată de forma g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 are rădăcini întregi, atunci locația lor este printre divizorii termenului liber. Intrarea va arăta astfel:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Să trecem la calcularea funcției g (y) în aceste puncte pentru a obține zero ca rezultat. Înțelegem asta
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Constatăm că y = - 5 este rădăcina unei ecuații de forma y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ceea ce înseamnă că x = y 2 = - 5 2 este rădăcina funcției inițiale.
Exemplul 8
Este necesar să împărțiți cu o coloană 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 cu x + 5 2.
Soluţie
Să o scriem și să obținem:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Verificarea divizorilor va dura mult timp, deci este mai profitabilă factorizarea trinomului pătratic rezultat de forma x 2 + 7 x + 3. Echivalând cu zero găsim discriminantul.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Rezultă că
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Tehnici artificiale pentru factorizarea unui polinom
Rădăcinile raționale nu sunt inerente în toate polinoamele. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați metode speciale pentru a găsi factori. Dar nu toate polinoamele pot fi extinse sau reprezentate ca un produs.
Metoda de grupare
Există cazuri în care puteți grupa termenii unui polinom pentru a găsi un factor comun și a-l scoate din paranteze.
Exemplul 9
Factorizați polinomul x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Soluţie
Deoarece coeficienții sunt numere întregi, atunci rădăcinile pot fi, probabil, și numere întregi. Pentru a verifica, luați valorile 1, - 1, 2 și - 2 pentru a calcula valoarea polinomului în aceste puncte. Înțelegem asta
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Acest lucru arată că nu există rădăcini; este necesar să se folosească o altă metodă de expansiune și soluție.
Este necesar să grupați:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
După gruparea polinomului inițial, trebuie să îl reprezentați ca produsul a două trinoame pătrate. Pentru a face acest lucru trebuie să factorizăm. înţelegem asta
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
cometariu
Simplitatea grupării nu înseamnă că alegerea termenilor este destul de ușoară. Nu există o metodă specifică de rezolvare, deci este necesar să folosiți teoreme și reguli speciale.
Exemplul 10
Factorizați polinomul x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Soluţie
Polinomul dat nu are rădăcini întregi. Termenii trebuie grupați. Înțelegem asta
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
După factorizare obținem asta
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Folosind formule de înmulțire abreviate și binomul lui Newton pentru a factoriza un polinom
Aspectul adesea nu indică întotdeauna clar ce metodă trebuie utilizată în timpul descompunerii. După ce transformările au fost făcute, puteți construi o linie formată din triunghiul lui Pascal, altfel se numesc binomul lui Newton.
Exemplul 11
Factorizați polinomul x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Soluţie
Este necesar să convertiți expresia în formă
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Secvența de coeficienți ai sumei din paranteze este indicată prin expresia x + 1 4 .
Aceasta înseamnă că avem x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
După aplicarea diferenței de pătrate, obținem
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Luați în considerare expresia care se află în a doua paranteză. Este clar că nu există cavaleri acolo, așa că ar trebui să aplicăm din nou formula diferenței de pătrate. Obținem o expresie a formei
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Exemplul 12
Factorizează x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Soluţie
Să începem să transformăm expresia. Înțelegem asta
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi. Primim:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
O metodă pentru înlocuirea unei variabile la factorizarea unui polinom
La înlocuirea unei variabile, gradul este redus și polinomul este factorizat.
Exemplul 13
Factorizați polinomul de forma x 6 + 5 x 3 + 6 .
Soluţie
Conform condiției, este clar că este necesar să se facă înlocuirea y = x 3. Primim:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Rădăcinile ecuației pătratice rezultate sunt y = - 2 și y = - 3, atunci
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor. Obținem expresii de forma:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Adică am obținut descompunerea dorită.
Cazurile discutate mai sus vor ajuta la luarea în considerare și factorizarea unui polinom în moduri diferite.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Să ne uităm la exemple concrete, cum se factorizează un polinom.
Vom extinde polinoamele în conformitate cu .
Factorizați polinoamele:
Să verificăm dacă există un factor comun. da, este egal cu 7cd. Să-l scoatem din paranteze:
Expresia dintre paranteze este formată din doi termeni. Nu mai există un factor comun, expresia nu este o formulă pentru suma cuburilor, ceea ce înseamnă că descompunerea este completă.
Să verificăm dacă există un factor comun. Nu. Polinomul este format din trei termeni, așa că verificăm dacă există o formulă pentru un pătrat complet. Doi termeni sunt pătratele expresiilor: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², al treilea termen este egal cu produsul dublu al acestor expresii: 2∙5x∙3y=30xy. Aceasta înseamnă că acest polinom este Patrat perfect. Deoarece produsul dublu are semnul minus, acesta este:
Verificăm dacă este posibil să scoatem factorul comun din paranteze. Există un factor comun, este egal cu a. Să-l scoatem din paranteze:
Sunt doi termeni între paranteze. Verificăm dacă există o formulă pentru diferența de pătrate sau diferența de cuburi. a² este pătratul lui a, 1=1². Aceasta înseamnă că expresia dintre paranteze poate fi scrisă folosind formula diferenței de pătrate:
Există un factor comun, este egal cu 5. Să-l scoatem din paranteze:
între paranteze sunt trei termeni. Verificăm dacă expresia este un pătrat perfect. Doi termeni sunt pătrate: 16=4² și a² - pătratul lui a, al treilea termen este egal cu produsul dublu al lui 4 și a: 2∙4∙a=8a. Prin urmare, este un pătrat perfect. Deoarece toți termenii au semnul „+”, expresia dintre paranteze este pătratul perfect al sumei:
Scoatem multiplicatorul general -2x din paranteze:
Între paranteze este suma a doi termeni. Verificăm dacă această expresie este o sumă de cuburi. 64=4³, x³- cub x. Aceasta înseamnă că binomul poate fi extins folosind formula:
Există un multiplicator comun. Dar, deoarece polinomul este format din 4 termeni, vom scoate mai întâi și abia apoi factorul comun din paranteze. Să grupăm primul termen cu al patrulea, iar al doilea cu al treilea:
Din primele paranteze scoatem factorul comun 4a, din al doilea - 8b:
Nu există încă un multiplicator comun. Pentru a-l obține, scoatem „-“ din a doua paranteză și fiecare semn din paranteze se schimbă în opus:
Acum să luăm factorul comun (1-3a) din paranteze:
În a doua paranteză există un factor comun 4 (acesta este același factor pe care nu l-am scos dintre paranteze la începutul exemplului):
Deoarece polinomul este format din patru termeni, efectuăm gruparea. Să grupăm primul termen cu al doilea, al treilea cu al patrulea:
În primele paranteze nu există un factor comun, dar există o formulă pentru diferența de pătrate, în a doua paranteză factorul comun este -5:
A apărut un multiplicator comun (4m-3n). Să o scoatem din ecuație.
Calculator online.
Izolarea pătratului unui binom și factorizarea unui trinom pătrat.
Acest program de matematică distinge binomul pătrat de trinomul pătrat, adică face o transformare de genul: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) și factorizează un trinom pătratic: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Acestea. problemele se rezumă la găsirea numerelor \(p, q\) și \(n, m\)
Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare.
Acest program poate fi util pentru elevii de liceu din școlile secundare în pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.
Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui trinom pătratic, vă recomandăm să vă familiarizați cu ele.
Reguli pentru introducerea unui polinom pătratic
Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracționale.
Mai mult, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională poate fi separată de întreaga parte fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți intra zecimale astfel: 2,5x - 3,5x^2
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.
Numitorul nu poate fi negativ.
La intrare fracție numerică Numătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Întreaga parte este separată de fracție prin semnul și: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)
La introducerea unei expresii poti folosi paranteze. În acest caz, la rezolvare, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Exemplu de soluție detaliată
Izolarea pătratului unui binom.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorizarea.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Răspuns:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.
Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...
daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Puțină teorie.
Izolarea pătratului unui binom de un trinom pătrat
Dacă trinomul pătrat ax 2 +bx+c este reprezentat ca a(x+p) 2 +q, unde p și q sunt numere reale, atunci spunem că din trinom pătrat, pătratul binomului este evidențiat.
Din trinomul 2x 2 +12x+14 extragem pătratul binomului.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Pentru a face acest lucru, imaginați-vă 6x ca un produs de 2*3*x, apoi adăugați și scădeți 3 2. Primim:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Acea. Noi extrageți binomul pătrat din trinomul pătrat, și a arătat că:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Factorizarea unui trinom pătratic
Dacă trinomul pătrat ax 2 +bx+c este reprezentat sub forma a(x+n)(x+m), unde n și m sunt numere reale, atunci se spune că operația a fost efectuată factorizarea unui trinom pătratic.
Să arătăm cu un exemplu cum se face această transformare.
Să factorizăm trinomul pătratic 2x 2 +4x-6.
Să scoatem coeficientul a din paranteze, adică. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Să transformăm expresia dintre paranteze.
Pentru a face acest lucru, imaginați-vă 2x ca diferență 3x-1x și -3 ca -1*3. Primim:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Acea. Noi factorizat trinomul pătratic, și a arătat că:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Rețineți că factorizarea unui trinom pătratic este posibilă numai dacă ecuația pătratică corespunzătoare acestui trinom are rădăcini.
Acestea. în cazul nostru, este posibil să factorăm trinomul 2x 2 +4x-6 dacă ecuația pătratică 2x 2 +4x-6 =0 are rădăcini. În procesul de factorizare, am stabilit că ecuația 2x 2 + 4x-6 = 0 are două rădăcini 1 și -3, deoarece cu aceste valori, ecuația 2(x-1)(x+3)=0 se transformă într-o egalitate adevărată.
Sunt date 8 exemple de factorizare de polinoame. Acestea includ exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice și biquadratice, exemple de polinoame reciproce și exemple de găsire a rădăcinilor întregi ale polinoamelor de gradul al treilea și al patrulea.
1. Exemple cu rezolvarea unei ecuații pătratice
Exemplul 1.1
X 4 + x 3 - 6 x 2.
Soluţie
Scoatem x 2
în afara parantezelor:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Rădăcinile ecuației:
, .
.
Răspuns
Exemplul 1.2
Factorizați polinomul de gradul trei:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.
Soluţie
Să scoatem x din paranteze:
.
Rezolvarea ecuației pătratice x 2 + 6 x + 9 = 0:
Discriminantul ei: .
Deoarece discriminantul este zero, rădăcinile ecuației sunt multipli: ;
.
Din aceasta obținem factorizarea polinomului:
.
Răspuns
Exemplul 1.3
Factorizați polinomul de gradul cinci:
X 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Soluţie
Scoatem x 3
în afara parantezelor:
.
Rezolvarea ecuației pătratice x 2 - 2 x + 10 = 0.
Discriminantul ei: .
Deoarece discriminantul este mai mic decât zero, rădăcinile ecuației sunt complexe: ;
, .
Factorizarea polinomului are forma:
.
Dacă suntem interesați de factorizarea cu coeficienți reali, atunci:
.
Răspuns
Exemple de factorizare a polinoamelor folosind formule
Exemple cu polinoame biquadratice
Exemplul 2.1
Factorizați polinomul biquadratic:
X 4 + x 2 - 20.
Soluţie
Să aplicăm formulele:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Răspuns
Exemplul 2.2
Factorizați polinomul care se reduce la unul biquadratic:
X 8 + x 4 + 1.
Soluţie
Să aplicăm formulele:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Răspuns
Exemplul 2.3 cu polinom recurent
Factorizați polinomul reciproc:
.
Soluţie
Un polinom reciproc are grad impar. Prin urmare, are rădăcina x = - 1
. Împărțiți polinomul la x - (-1) = x + 1. Ca rezultat obținem:
.
Să facem o înlocuire:
, ;
;
;
.
Răspuns
Exemple de factorizare a polinoamelor cu rădăcini întregi
Exemplul 3.1
Factorizați polinomul:
.
Soluţie
Să presupunem că ecuația
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Deci, am găsit trei rădăcini:
X 1 = 1
, X 2 = 2
, X 3 = 3
.
Deoarece polinomul original este de gradul trei, nu are mai mult de trei rădăcini. Din moment ce am găsit trei rădăcini, ele sunt simple. Apoi
.
Răspuns
Exemplul 3.2
Factorizați polinomul:
.
Soluţie
Să presupunem că ecuația
are cel putin unul rădăcină întreagă. Atunci este un divizor al numărului 2
(membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
-2, -1, 1, 2
.
Inlocuim aceste valori una cate una:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Dacă presupunem că această ecuație are o rădăcină întreagă, atunci este un divizor al numărului 2
(membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 2, -1, -2
.
Să înlocuim x = -1
:
.
Deci, am găsit o altă rădăcină x 2
= -1
. Ar fi posibil, ca și în cazul precedent, să împărțim polinomul la , dar vom grupa termenii:
.
Deoarece ecuația x 2 + 2 = 0 nu are rădăcini reale, atunci factorizarea polinomului are forma.
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
