Metoda gaussiană pentru rezolvarea slough. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gaussiană

Fie un sistem liniar ecuații algebrice, care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor xi care transformă fiecare ecuație a sistemului în egalitate).

Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:

1) Nu au soluții (fi nearticulată).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o singură soluție.

După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei nu sunt potrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic și universal instrument pentru găsirea unei soluții pentru orice sistem ecuații liniare , care în fiecare caz ne va conduce la răspuns! Algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoștințe despre determinanți, atunci pentru a aplica metoda Gauss aveți nevoie doar de cunoștințe operatii aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și elevilor din ciclul primar.

Transformări matriceale crescute ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) Cu troki matrici Can rearanja pe alocuri.

2) dacă în matrice apar (sau există) rânduri proporționale (ca caz special – identice), atunci ar trebui să şterge Toate aceste rânduri sunt din matrice, cu excepția unuia.

3) dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el şterge.

4) un rând al matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.

5) la un rând al matricei pe care o puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.

În metoda Gauss, transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații.

Metoda Gauss constă din două etape:

„Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare într-o formă de pas „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasare de sus în jos). De exemplu, la acest tip:

Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:

1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul pentru x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienți pentru necunoscute, inclusiv termeni liberi) la coeficientul pentru necunoscutul x 1, care se află în fiecare ecuație, și înmulțim cu K. După aceasta, o scădem pe prima din a doua. ecuație (coeficienți pentru necunoscute și termeni liberi). Pentru x 1 din a doua ecuație obținem coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație până când toate ecuațiile, cu excepția primei, pentru necunoscut x 1, au coeficientul 0.

2) Să trecem la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul pentru x 2 egal cu M. Continuăm cu toate ecuațiile „inferioare” așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 vor fi zerouri în toate ecuațiile.

3) Treceți la următoarea ecuație și așa mai departe până când rămâne o ultimă necunoscută și termenul liber transformat.

„Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”).

Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n = B. În exemplul dat mai sus, x 3 = 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.

Exemplu.

Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:
Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Să facem asta: 1 pas

. La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul). . Prima linie, înmulțită cu 5, a fost adăugată la a doua linie. Prima linie, înmulțită cu 3, a fost adăugată la a treia linie.

Pasul 3 . Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

Pasul 4 . A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu 2.

Pasul 5 . A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 |23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o eroare în timpul elementului transformări.

Să facem invers; în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. În acest exemplu, rezultatul a fost un cadou:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, deci x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Răspuns:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțim a doua ecuație cu 5 și a treia cu 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțiți a treia ecuație la 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Scăzând a doua ecuație din a treia ecuație, obținem o matrice extinsă „în trepte”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, din moment ce eroarea acumulată în timpul calculelor, obținem x 3 = 0,96 sau aproximativ 1.

x 2 = 3 și x 1 = –1.

Rezolvând în acest fel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.

Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont de caracteristicile specifice ale coeficienților pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți neîntregi.

iti doresc succes! Ne vedem la clasa! Tutor Dmitri Aystrakhanov.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Una dintre metodele universale și eficiente de rezolvare a sistemelor algebrice liniare este metoda gaussiana , constând în eliminarea secvenţială a necunoscutelor.

Amintiți-vă că cele două sisteme sunt numite echivalent (echivalent) dacă mulțimile soluțiilor lor coincid. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers. Sistemele echivalente se obţin atunci când transformări elementare ecuațiile sistemului:

înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un alt număr decât zero;

adăugarea la o ecuație a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu un alt număr decât zero;

rearanjarea a două ecuații.

Să fie dat un sistem de ecuații

Procesul de rezolvare a acestui sistem folosind metoda Gauss constă din două etape. În prima etapă (mișcarea directă), sistemul, folosind transformări elementare, se reduce la treptat , sau triunghiular forma, iar la a doua etapă (invers) are loc o determinare secvenţială, începând de la ultimul număr variabil, a necunoscutelor din sistemul treptat rezultat.

Să presupunem că coeficientul acestui sistem
, altfel în sistem primul rând poate fi schimbat cu orice alt rând, astfel încât coeficientul de la era diferit de zero.

Să transformăm sistemul eliminând necunoscutul în toate ecuaţiile cu excepţia primei. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului. Apoi înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și se adaugă la a treia ecuație a sistemului. Continuând acest proces, obținem sistemul echivalent

Aici
– noi valori ale coeficienților și termenilor liberi care se obțin după primul pas.

În mod similar, luând în considerare elementul principal
, excludeți necunoscutul din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei și a doua. Să continuăm acest proces cât mai mult posibil și, ca urmare, vom obține un sistem treptat

Unde ,
,…,– elementele principale ale sistemului
.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă în trepte, apar ecuații, adică egalități de formă
, sunt aruncate deoarece sunt satisfăcute de orice set de numere
.
Dacă la va apărea ecuația formei

, care nu are soluții, atunci aceasta indică incompatibilitatea sistemului. În timpul cursei inverse, prima necunoscută este exprimată din ultima ecuație a sistemului de trepte transformat
prin toate celelalte necunoscute care sunt numite . gratuit Apoi expresia variabilă
din ultima ecuație a sistemului se substituie în penultima ecuație și variabila este exprimată din aceasta
. Variabilele sunt definite secvenţial într-un mod similar
. Variabile , exprimate prin variabile libere, sunt numite de bază

(dependent). Rezultatul este o soluție generală a sistemului de ecuații liniare. Pentru a găsi sisteme, liber necunoscut
în soluția generală se atribuie valori arbitrare și se calculează valorile variabilelor
.

Este mai convenabil din punct de vedere tehnic să supunem transformărilor elementare nu ecuațiile sistemului în sine, ci matricea extinsă a sistemului

Metoda Gauss este o metodă universală care vă permite să rezolvați nu numai sisteme pătrate, ci și dreptunghiulare în care numărul de necunoscute
nu este egal cu numărul de ecuații
.

Avantajul acestei metode este, de asemenea, că în procesul de rezolvare examinăm simultan sistemul pentru compatibilitate, deoarece, având în vedere matricea extinsă
pentru a forma treptat, este ușor să determinați rangurile matricei și matrice extinsă
si aplica Teorema Kronecker-Capelli .

Exemplul 2.1 Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss

Soluţie. Numărul de ecuații
și numărul de necunoscute
.

Să creăm o matrice extinsă a sistemului prin alocarea de coeficienți în dreapta matricei coloana membrilor liberi .

Să prezentăm matricea la o vedere triunghiulară; Pentru a face acest lucru, vom obține „0” sub elementele situate pe diagonala principală folosind transformări elementare.

Pentru a obține „0” în a doua poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-1) și adăugați-l la al doilea rând.

Scriem această transformare ca număr (-1) pe prima linie și o notăm cu o săgeată care merge de la prima linie la a doua linie.

Pentru a obține „0” în a treia poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-3) și adăugați la al treilea rând; Să arătăm această acțiune folosind o săgeată care merge de la prima linie la a treia.

În matricea rezultată, scrisă a doua în lanțul de matrici, obținem „0” în a doua coloană în a treia poziția. Pentru a face acest lucru, am înmulțit a doua linie cu (-4) și am adăugat-o la a treia. În matricea rezultată, înmulțiți al doilea rând cu (-1) și împărțiți al treilea cu (-8). Toate elementele acestei matrice situate sub elementele diagonale sunt zerouri.

Deoarece , sistemul este colaborativ și definit.

Sistemul de ecuații corespunzător ultimei matrice are o formă triunghiulară:

Din ultima (a treia) ecuație
. Înlocuiți în a doua ecuație și obțineți
.

Să înlocuim
Şi
în prima ecuație, găsim

.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la sistem din n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi eliminarea x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua, este exclus în continuare x 2 din toate ecuațiile, începând cu a treia și așa mai departe, până când doar variabila necunoscută rămâne în ultima ecuație x n. Acest proces de transformare a ecuațiilor unui sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește folosind metoda Gaussiană directă. După finalizarea progresiei înainte a metodei gaussiene, din ultima ecuație găsim x n, folosind această valoare din penultima ecuație pe care o calculăm xn-1, și așa mai departe, din prima ecuație pe care o găsim x 1. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem întotdeauna realiza acest lucru prin interschimbarea ecuațiilor sistemului. Eliminați variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe primul, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am ajunge la același rezultat dacă ne-am exprima x 1 prin alte variabile necunoscute din prima ecuație a sistemului și expresia rezultată a fost înlocuită în toate celelalte ecuații. Deci variabila x 1 exclus din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului adăugăm a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație adăugăm a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe al doilea, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Deci variabila x 2 exclus din toate ecuațiile începând cu a treia.

Apoi trecem la eliminarea necunoscutului x 3, în acest caz procedăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca, folosind valoarea obținută x n găsim xn-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

De la începutul secolelor XVI-XVIII, matematicienii au început să studieze intens funcțiile, datorită cărora s-au schimbat atât de multe în viața noastră. Tehnologia calculatoarelor fără această cunoaștere pur și simplu nu ar exista. Pentru a rezolva sarcini complexe, au fost create ecuații și funcții liniare, diferite concepte, teoreme și tehnici de rezolvare. Una dintre acestea universale și modalități raționale iar metodele de rezolvare a ecuațiilor liniare și sistemele lor au devenit metoda Gauss. Matrici, rangul lor, determinant - totul poate fi calculat fără a utiliza operații complexe.

Ce este SLAU

În matematică, există conceptul de SLAE - un sistem de ecuații algebrice liniare. Cum este ea? Acesta este un set de m ecuații cu n cantități necunoscute necesare, de obicei notate ca x, y, z sau x 1, x 2 ... x n sau alte simboluri. Rezolvarea unui sistem dat folosind metoda Gauss înseamnă găsirea tuturor necunoscutelor necunoscute. Dacă un sistem are același număr de necunoscute și ecuații, atunci se numește sistem de ordin al n-lea.

Cele mai populare metode de rezolvare a SLAE-urilor

ÎN institutii de invatamant Elevii din învățământul secundar studiază diverse metode de rezolvare a unor astfel de sisteme. Cel mai adesea acestea sunt ecuații simple formate din două necunoscute, deci oricare metoda existenta Nu va dura mult timp pentru a găsi răspunsul la ele. Aceasta poate fi ca o metodă de substituție, când o alta este derivată dintr-o ecuație și substituită în cea originală. Sau metoda scăderii și adunării termen cu termen. Dar metoda Gauss este considerată cea mai ușoară și universală. Face posibilă rezolvarea ecuațiilor cu orice număr de necunoscute. De ce această tehnică specială este considerată rațională? Este simplu. Lucrul bun despre metoda matricei este că nu necesită rescrierea simbolurilor inutile de mai multe ori ca necunoscute, este suficient să efectuați operații aritmetice asupra coeficienților - și veți obține un rezultat fiabil.

Unde sunt utilizate SLAE-urile în practică?

Soluția la SLAE sunt punctele de intersecție a liniilor de pe graficele funcțiilor. În high-tech-ul nostru era computerului oamenii care sunt strâns implicați în dezvoltarea de jocuri și alte programe trebuie să știe cum să rezolve astfel de sisteme, ce reprezintă acestea și cum să verifice corectitudinea rezultatului rezultat. Cel mai adesea, programatorii dezvoltă programe speciale pentru calculatoare de algebră liniară, care include și un sistem de ecuații liniare. Metoda Gaussiană vă permite să calculați totul solutii existente. Sunt utilizate și alte formule și tehnici simplificate.

Criteriul de compatibilitate SLAU

Un astfel de sistem poate fi rezolvat doar dacă este compatibil. Pentru claritate, să reprezentăm SLAE sub forma Ax=b. Are o soluție dacă rang(A) este egal cu rang(A,b). În acest caz, (A,b) este o matrice de formă extinsă care poate fi obținută din matricea A prin rescrierea ei cu termeni liberi. Se pare că rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda Gauss este destul de ușoară.

Poate că unele dintre simboluri nu sunt complet clare, așa că este necesar să luăm în considerare totul cu un exemplu. Să presupunem că există un sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Este format din doar două ecuații, în care există 2 necunoscute. Sistemul va avea o soluție numai dacă rangul matricei sale este egal cu rangul matricei extinse. Ce este rangul? Acesta este numărul de linii independente ale sistemului. În cazul nostru, rangul matricei este 2. Matricea A va consta din coeficienți localizați în apropierea necunoscutelor, iar coeficienții aflați în spatele semnului „=” se potrivesc de asemenea în matricea extinsă.

De ce pot fi reprezentate SLAE-urile sub formă de matrice?

Pe baza criteriului de compatibilitate conform teoremei dovedite Kronecker-Capelli, un sistem de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice. Folosind metoda cascadei Gauss, puteți rezolva matricea și puteți obține un singur răspuns de încredere pentru întregul sistem. Dacă rangul unei matrice obișnuite este egal cu rangul matricei sale extinse, dar este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de răspunsuri.

Transformări de matrice

Înainte de a trece la rezolvarea matricelor, trebuie să știți ce acțiuni pot fi efectuate asupra elementelor acestora. Există mai multe transformări elementare:

Rescriind sistemul sub formă de matrice și rezolvându-l, puteți înmulți toate elementele seriei cu același coeficient.
Pentru a transforma matricea în formă canonică, puteți schimba două rânduri paralele. Forma canonică implică faptul că toate elementele matricei care sunt situate de-a lungul diagonalei principale devin unu, iar cele rămase devin zerouri.
Elementele corespunzătoare ale rândurilor paralele ale matricei pot fi adăugate unele la altele.

metoda Jordan-Gauss

Esența rezolvării sistemelor de ecuații liniare omogene și neomogene folosind metoda Gaussiană este eliminarea treptat a necunoscutelor. Să presupunem că avem un sistem de două ecuații în care există două necunoscute. Pentru a le găsi, trebuie să verificați compatibilitatea sistemului. Ecuația este rezolvată foarte simplu prin metoda Gauss. Este necesar să se noteze coeficienții aflați lângă fiecare necunoscută sub formă de matrice. Pentru a rezolva sistemul, va trebui să scrieți matricea extinsă. Dacă una dintre ecuații conține un număr mai mic de necunoscute, atunci trebuie pus „0” în locul elementului lipsă. Toate metodele de transformare cunoscute sunt aplicate matricei: înmulțirea, împărțirea cu un număr, adăugarea elementelor corespunzătoare ale seriei între ele și altele. Se pare că în fiecare rând este necesar să lăsați o variabilă cu valoarea „1”, restul ar trebui să fie setat la zero. Pentru o înțelegere mai precisă, este necesar să luăm în considerare metoda Gauss cu exemple.

Un exemplu simplu de rezolvare a unui sistem 2x2

Pentru început, să luăm un sistem simplu de ecuații algebrice, în care vor exista 2 necunoscute.

Să-l rescriem într-o matrice extinsă.

Pentru a rezolva acest sistem de ecuații liniare sunt necesare doar două operații. Trebuie să aducem matricea la forma canonică, astfel încât să existe unele de-a lungul diagonalei principale. Deci, transferând din forma matricei înapoi în sistem, obținem ecuațiile: 1x+0y=b1 și 0x+1y=b2, unde b1 și b2 sunt răspunsurile rezultate în procesul de rezolvare.

Prima acțiune la rezolvarea unei matrice extinse va fi următoarea: primul rând trebuie înmulțit cu -7 și adăugat elemente corespunzătoare celui de-al doilea rând pentru a scăpa de o necunoscută din a doua ecuație.
Deoarece rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Gauss implică reducerea matricei la formă canonică, atunci este necesar să se efectueze aceleași operații cu prima ecuație și să se elimine a doua variabilă. Pentru a face acest lucru, scădem a doua linie din prima și obținem răspunsul necesar - soluția SLAE. Sau, așa cum se arată în figură, înmulțim al doilea rând cu un factor de -1 și adăugăm elementele celui de-al doilea rând la primul rând. Este același lucru.

După cum putem vedea, sistemul nostru a fost rezolvat prin metoda Jordan-Gauss. O rescriem în forma cerută: x=-5, y=7.

Un exemplu de soluție SLAE 3x3

Să presupunem că avem un sistem mai complex de ecuații liniare. Metoda Gaussiană face posibilă calcularea răspunsului chiar și pentru sistemul cel mai aparent confuz. Prin urmare, pentru a aprofunda metodologia de calcul, puteți trece la mai multe exemplu complex cu trei necunoscute.

Ca și în exemplul anterior, rescriem sistemul sub forma unei matrice extinse și începem să-l aducem la forma sa canonică.

Pentru a rezolva acest sistem, va trebui să efectuați mult mai multe acțiuni decât în exemplul anterior.

Mai întâi trebuie să faceți din prima coloană un element de unitate și restul zerouri. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu -1 și adăugați a doua ecuație la ea. Este important să ne amintim că rescriem prima linie în forma sa originală, iar a doua într-o formă modificată.
În continuare, eliminăm această primă necunoscută din a treia ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele primului rând cu -2 și adăugați-le la al treilea rând. Acum, prima și a doua linie sunt rescrise în forma lor originală, iar a treia - cu modificări. După cum puteți vedea din rezultat, l-am primit pe primul la începutul diagonalei principale a matricei și cu zerourile rămase. Încă câțiva pași, iar sistemul de ecuații prin metoda Gauss va fi rezolvat în mod fiabil.
Acum trebuie să efectuați operații pe alte elemente ale rândurilor. A treia și a patra acțiune pot fi combinate într-una singură. Trebuie să împărțim a doua și a treia linie la -1 pentru a scăpa de cele minus de pe diagonală. Am adus deja a treia linie la forma necesară.
Apoi aducem a doua linie la forma canonică. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele celui de-al treilea rând cu -3 și le adăugăm la al doilea rând al matricei. Din rezultat este clar că a doua linie se reduce și la forma de care avem nevoie. Rămâne să mai efectuăm câteva operații și să eliminați coeficienții necunoscutelor de pe prima linie.
Pentru a face 0 din al doilea element al unui rând, trebuie să înmulțiți al treilea rând cu -3 și să îl adăugați la primul rând.
Următorul pas decisiv va fi adăugarea elementelor necesare din al doilea rând la primul rând. În acest fel obținem forma canonică a matricei și, în consecință, răspunsul.

După cum puteți vedea, rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Gauss este destul de simplă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații 4x4

Unele sisteme de ecuații mai complexe pot fi rezolvate prin metoda Gaussiană folosind programe de calculator. Este necesar să introduceți coeficienții pentru necunoscute în celulele goale existente, iar programul însuși va calcula pas cu pas rezultatul cerut, descriind fiecare acțiune în detaliu.

Descris mai jos instrucțiuni pas cu pas soluții la acest exemplu.

În primul pas, coeficienții liberi și numerele pentru necunoscute sunt introduse în celulele goale. Astfel, obținem aceeași matrice extinsă pe care o scriem manual.

Și toate operațiile aritmetice necesare sunt efectuate pentru a aduce matricea extinsă la forma sa canonică. Este necesar să înțelegem că răspunsul la un sistem de ecuații nu este întotdeauna numere întregi. Uneori, soluția poate fi din numere fracționale.

Verificarea corectitudinii solutiei

Metoda Jordan-Gauss prevede verificarea corectitudinii rezultatului. Pentru a afla dacă coeficienții sunt calculați corect, trebuie doar să înlocuiți rezultatul în sistemul original de ecuații. Partea stângă ecuațiile trebuie să se potrivească partea dreaptă, situat în spatele semnului egal. Dacă răspunsurile nu se potrivesc, atunci trebuie să recalculați sistemul sau să încercați să-i aplicați o altă metodă de rezolvare a SLAE-urilor cunoscute de dvs., cum ar fi înlocuirea sau scăderea și adăugarea termen cu termen. La urma urmei, matematica este o știință care are un număr mare de metode diferite de rezolvare. Dar rețineți: rezultatul ar trebui să fie întotdeauna același, indiferent de metoda de soluție pe care ați folosit-o.

Metoda Gauss: cele mai frecvente erori la rezolvarea SLAE-urilor

Când se rezolvă sisteme liniare de ecuații, apar cel mai adesea erori, cum ar fi transferul incorect al coeficienților în formă de matrice. Există sisteme în care unele necunoscute lipsesc dintr-una dintre ecuații, apoi la transferul datelor într-o matrice extinsă, acestea se pot pierde. Ca urmare, la rezolvarea acestui sistem, rezultatul poate să nu corespundă cu cel real.

O altă greșeală majoră poate fi scrierea incorectă rezultatul final. Este necesar să înțelegem clar că primul coeficient va corespunde primei necunoscute din sistem, al doilea - celui de-al doilea și așa mai departe.

Metoda Gauss descrie în detaliu soluția ecuațiilor liniare. Datorită acesteia, este ușor să efectuați operațiunile necesare și să găsiți rezultatul potrivit. Mai mult, asta remediu universal pentru a găsi un răspuns de încredere la ecuații de orice complexitate. Poate de aceea este atât de des folosit când rezolvăm SLAE-uri.

Aici puteți rezolva gratuit un sistem de ecuații liniare Metoda Gauss online dimensiuni mariîn numere complexe cu o soluție foarte detaliată. Calculatorul nostru poate rezolva online atât sistemele obișnuite de ecuații liniare definite, cât și nedefinite folosind metoda Gaussiană, care are un număr infinit de soluții. In acest caz, in raspuns vei primi dependenta unor variabile prin altele, libere. Puteți verifica, de asemenea, sistemul de ecuații pentru consecvența online folosind soluția Gauss.

Despre metoda

La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare online folosind metoda Gauss, se parcurg următorii pași.

Scriem matricea extinsă.
De fapt, soluția este împărțită în pași înainte și înapoi ai metodei gaussiene. Etapa directă a metodei gaussiene este reducerea unei matrice la o formă în trepte. Verso Metoda Gaussiană se numește reducerea unei matrice la o formă specială în trepte. Dar, în practică, este mai convenabil să eliminați imediat ceea ce este situat atât deasupra, cât și sub elementul în cauză. Calculatorul nostru folosește exact această abordare.
Este important de reținut că la rezolvarea utilizând metoda Gauss, prezența în matrice a cel puțin unui rând zero cu o parte dreaptă NON-zero (coloana de termeni liberi) indică incompatibilitatea sistemului. Soluţie sistem liniar in acest caz nu exista.

Pentru a înțelege cel mai bine cum funcționează algoritmul gaussian online, introduceți orice exemplu, selectați „soluție foarte detaliată” și vizualizați soluția sa online.