Mișcare curbilinie uniform accelerată

Mișcările curbilinie sunt mișcări ale căror traiectorii nu sunt drepte, ci linii curbe. Planetele și apele râurilor se deplasează pe traiectorii curbilinii.

Mișcarea curbilinie este întotdeauna mișcare cu accelerație, chiar dacă valoarea absolută a vitezei este constantă. Mișcare curbilinie cu accelerație constantă apare întotdeauna în planul în care se află vectorii de accelerație și vitezele inițiale ale punctului. În cazul mișcării curbilinii cu accelerație constantă în planul xOy, proiecțiile vx și vy ale vitezei sale pe axele Ox și Oy și coordonatele x și y ale punctului în orice moment t sunt determinate de formulele

Mișcare neuniformă. Viteză brută

Niciun corp nu se mișcă tot timpul viteza constanta. Când mașina începe să se miște, se mișcă din ce în ce mai repede. Se poate mișca constant pentru un timp, dar apoi încetinește și se oprește. În acest caz, mașina parcurge diferite distanțe în același timp.

Mișcarea în care un corp parcurge trasee inegale în intervale de timp egale se numește neuniformă. Cu o astfel de mișcare, viteza nu rămâne neschimbată. În acest caz, putem vorbi doar de viteza medie.

Viteza medie arată distanța pe care o parcurge un corp pe unitatea de timp. Este egal cu raportul dintre deplasarea corpului și timpul de mișcare. Viteza medie, ca și viteza unui corp în timpul mișcării uniforme, este măsurată în metri împărțit la o secundă. Pentru a caracteriza mișcarea mai precis, viteza instantanee este folosită în fizică.

Viteza corpului înăuntru acest moment timp sau într-un punct dat al traiectoriei se numește viteză instantanee. Viteza instantanee este o mărime vectorială și este direcționată în același mod ca vectorul deplasare. Puteți măsura viteza instantanee folosind un vitezometru. În Sistemul Internațional, viteza instantanee este măsurată în metri împărțit la secundă.

viteza de deplasare a punctului neuniform

Mișcarea unui corp într-un cerc

Mișcarea curbilinie este foarte comună în natură și tehnologie. Este mai complex decât o linie dreaptă, deoarece există multe traiectorii curbe; această mișcare este întotdeauna accelerată, chiar și atunci când modulul de viteză nu se modifică.

Dar mișcarea de-a lungul oricărei căi curbe poate fi reprezentată aproximativ ca mișcare de-a lungul arcurilor unui cerc.

Când un corp se mișcă într-un cerc, direcția vectorului viteză se schimbă de la un punct la altul. Prin urmare, atunci când vorbesc despre viteza unei astfel de mișcări, se referă la viteza instantanee. Vectorul viteză este direcționat tangențial la cerc, iar vectorul deplasare este direcționat de-a lungul coardelor.

Mișcarea circulară uniformă este o mișcare în timpul căreia modulul vitezei mișcării nu se modifică, se schimbă doar direcția acesteia. Accelerația unei astfel de mișcări este întotdeauna îndreptată spre centrul cercului și se numește centripetă. Pentru a afla accelerația unui corp care se mișcă într-un cerc, este necesar să împărțim pătratul vitezei la raza cercului.

Pe lângă accelerație, mișcarea unui corp într-un cerc este caracterizată de următoarele mărimi:

Perioada de rotație a unui corp este timpul în care corpul face o revoluție completă. Perioada de rotație este desemnată prin litera T și se măsoară în secunde.

Frecvența de rotație a unui corp este numărul de rotații pe unitatea de timp. Viteza de rotație este indicată printr-o literă? și se măsoară în herți. Pentru a găsi frecvența, trebuie să împărțiți unul la punct.

Viteza liniară este raportul dintre mișcarea unui corp și timp. Pentru a afla viteza liniară a unui corp într-un cerc, este necesar să împărțim circumferința la perioadă (circumferința este egală cu 2? înmulțită cu raza).

Viteză unghiulară - cantitate fizica, egal cu raportul dintre unghiul de rotație al razei cercului de-a lungul căruia corpul se mișcă și momentul mișcării. Viteza unghiulară este indicată printr-o literă? și se măsoară în radiani împărțiți pe secundă. Puteți găsi viteza unghiulară împărțind 2? pentru o perioadă de. Viteza unghiulară și viteza liniară între ele. Pentru a găsi viteza liniară, este necesar să înmulțim viteza unghiulară cu raza cercului.

Figura 6. Mișcare circulară, formule.

Știți bine că în funcție de forma traiectoriei, mișcarea se împarte în rectilinieȘi curbilinii. Am învățat cum să lucrăm cu mișcarea rectilinie în lecțiile anterioare, și anume, să rezolvăm principala problemă de mecanică pentru acest tip de mișcare.

Cu toate acestea, este clar că în lumea reală avem de-a face cel mai adesea cu mișcarea curbilinie, când traiectoria este o linie curbă. Exemple de astfel de mișcări sunt traiectoria unui corp aruncat într-un unghi față de orizont, mișcarea Pământului în jurul Soarelui și chiar traiectoria mișcării ochilor tăi, care urmează acum această notă.

Întrebarea cum se rezolvă sarcina principală mecanică în cazul mișcării curbilinii, iar această lecție va fi dedicată.

Pentru început, să determinăm ce diferențe fundamentale există în mișcarea curbilinie (Fig. 1) în raport cu mișcarea rectilinie și la ce conduc aceste diferențe.

Orez. 1. Traiectoria mișcării curbilinii

Să vorbim despre cum este convenabil să descriem mișcarea unui corp în timpul mișcării curbilinii.

Mișcarea poate fi împărțită în secțiuni separate, în fiecare dintre ele mișcarea poate fi considerată rectilinie (Fig. 2).

Orez. 2. Împărțirea mișcării curbilinii în secțiuni mișcare rectilinie

Cu toate acestea, următoarea abordare este mai convenabilă. Ne vom imagina această mișcare ca o combinație a mai multor mișcări de-a lungul arcurilor circulare (Fig. 3). Vă rugăm să rețineți că există mai puține astfel de partiții decât în cazul precedent, în plus, mișcarea de-a lungul cercului este curbilinie. În plus, exemplele de mișcare într-un cerc sunt foarte frecvente în natură. Din aceasta putem concluziona:

Pentru a descrie mișcarea curbilinie, trebuie să înveți să descrii mișcarea într-un cerc și apoi mișcare voluntară reprezentate ca seturi de mişcări de-a lungul arcelor de cerc.

Orez. 3. Împărțirea mișcării curbilinie în mișcare de-a lungul arcelor de cerc

Deci, să începem studiul mișcării curbilinie prin studierea mișcării uniforme într-un cerc. Să ne dăm seama care sunt diferențele fundamentale dintre mișcarea curbilinie și mișcarea rectilinie. Pentru început, să ne amintim că în clasa a IX-a am studiat faptul că viteza unui corp atunci când se deplasează în cerc este direcționată tangent la traiectorie (Fig. 4). Apropo, puteți observa acest fapt experimental dacă urmăriți cum se mișcă scânteile atunci când utilizați o piatră de ascuțit.

Să luăm în considerare mișcarea unui corp de-a lungul unui arc de cerc (Fig. 5).

Orez. 5. Viteza corpului când se deplasează în cerc

Vă rugăm să rețineți că în în acest caz, modulul vitezei corpului într-un punct este egal cu modulul vitezei corpului în punctul:

Totuși, un vector nu este egal cu un vector. Deci, avem un vector de diferență de viteză (Fig. 6):

Orez. 6. Vector diferență de viteză

Mai mult, schimbarea vitezei s-a produs după ceva timp. Deci obținem combinația familiară:

Aceasta nu este altceva decât o schimbare a vitezei într-o perioadă de timp sau o accelerare a unui corp. Se poate trage o concluzie foarte importantă:

Mișcarea de-a lungul unei căi curbe este accelerată. Natura acestei accelerații este o schimbare continuă a direcției vectorului viteză.

Să remarcăm încă o dată că, chiar dacă se spune că corpul se mișcă uniform într-un cerc, înseamnă că modulul vitezei corpului nu se modifică. Cu toate acestea, o astfel de mișcare este întotdeauna accelerată, deoarece direcția vitezei se schimbă.

În clasa a IX-a, ați studiat cu ce este egală această accelerație și cum este direcționată (Fig. 7). Accelerație centripetă mereu îndreptată spre centrul cercului de-a lungul căruia se mișcă corpul.

Orez. 7. Accelerația centripetă

Modulul de accelerație centripetă poate fi calculat prin formula:

Să trecem la descrierea mișcării uniforme a unui corp într-un cerc. Să fim de acord că viteza pe care ați folosit-o când descrieți mișcarea de translație se va numi acum viteză liniară. Și prin viteză liniară vom înțelege viteza instantanee în punctul traiectoriei unui corp în rotație.

Orez. 8. Mișcarea punctelor discului

Luați în considerare un disc care se rotește în sensul acelor de ceasornic pentru claritate. Pe raza sa marchem două puncte și (Fig. 8). Să luăm în considerare mișcarea lor. În timp, aceste puncte se vor deplasa de-a lungul arcurilor cercului și vor deveni puncte și. Este evident că punctul sa mișcat mai mult decât punctul. Din aceasta putem concluziona că, cu cât un punct este mai departe de axa de rotație, cu atât viteza liniară cu care se deplasează este mai mare.

Cu toate acestea, dacă priviți cu atenție punctele și , putem spune că unghiul de rotire față de axa de rotație a rămas neschimbat. Sunt caracteristicile unghiulare pe care le vom folosi pentru a descrie mișcarea într-un cerc. Rețineți că pentru a descrie mișcarea circulară putem folosi colţ caracteristici.

Să începem să luăm în considerare mișcarea într-un cerc cu cel mai simplu caz - mișcare uniformă într-un cerc. Să ne amintim că mișcarea uniformă de translație este o mișcare în care corpul face mișcări egale în orice perioade egale de timp. Prin analogie, putem da definiția mișcării uniforme într-un cerc.

Mișcarea circulară uniformă este o mișcare în care corpul se rotește prin unghiuri egale pe orice intervale de timp egale.

Similar conceptului de viteză liniară, este introdus conceptul de viteză unghiulară.

Viteza unghiulară a mișcării uniforme ( este o mărime fizică egală cu raportul dintre unghiul prin care corpul s-a întors și timpul în care a avut loc această rotație.

În fizică, măsura în radian a unghiului este cel mai des folosită. De exemplu, unghiul b este egal cu radiani. Viteza unghiulară se măsoară în radiani pe secundă:

Să găsim legătura dintre viteza unghiulară de rotație a unui punct și viteza liniară a acestui punct.

Orez. 9. Relația dintre viteza unghiulară și cea liniară

Când se rotește, un punct trece printr-un arc de lungime, rotindu-se într-un unghi. Din definiția mărimii radianilor unui unghi putem scrie:

Să împărțim părțile stânga și dreaptă ale egalității la perioada de timp în care a fost efectuată mișcarea, apoi folosim definiția vitezelor unghiulare și liniare:

Vă rugăm să rețineți că, cu cât un punct este mai departe de axa de rotație, cu atât viteza sa liniară este mai mare. Și punctele situate pe axa de rotație în sine sunt nemișcate. Un exemplu în acest sens este un carusel: cu cât ești mai aproape de centrul caruselului, cu atât îți este mai ușor să stai pe el.

Această relație între viteze liniare și unghiulare este utilizată în sateliții geostaționari (sateliți care sunt întotdeauna deasupra aceluiași punct suprafața pământului). Datorită unor astfel de sateliți, suntem capabili să recepționăm semnale de televiziune.

Să ne amintim că mai devreme am introdus conceptele de perioadă și frecvență de rotație.

Perioada de rotație este timpul unei revoluții complete. Perioada de rotație este indicată printr-o literă și măsurată în secunde SI:

Frecvența de rotație este o mărime fizică egală cu numărul de rotații pe care un corp le face pe unitatea de timp.

Frecvența este indicată printr-o literă și măsurată în secunde reciproce:

Ele sunt legate prin relația:

Există o relație între viteza unghiulară și frecvența de rotație a corpului. Dacă ne amintim că o revoluție completă este egală cu , este ușor de observat că viteza unghiulară este:

Înlocuind aceste expresii în relația dintre viteza unghiulară și viteza liniară, putem obține dependența vitezei liniare de perioadă sau frecvență:

Să notăm, de asemenea, relația dintre accelerația centripetă și aceste mărimi:

Astfel, cunoaștem relația dintre toate caracteristicile mișcării circulare uniforme.

Să rezumam. În această lecție am început să descriem mișcarea curbilinie. Am înțeles cum putem conecta mișcarea curbilinie cu mișcarea circulară. Mișcarea circulară este întotdeauna accelerată, iar prezența accelerației determină faptul că viteza își schimbă întotdeauna direcția. Această accelerație se numește centripetă. În cele din urmă, ne-am amintit câteva caracteristici ale mișcării circulare (viteza liniară, viteza unghiulară, perioada și frecvența de rotație) și am găsit relațiile dintre ele.

Bibliografie

G.Ya. Myakishev, B.B. Buhovtsev, N.N. Sotsky. Fizica 10. - M.: Educație, 2008.
A.P. Rymkevici. Fizică. Cartea cu probleme 10-11. - M.: Dropia, 2006.
O.Da. Savcenko. Probleme de fizică. - M.: Nauka, 1988.
A.V. Peryshkin, V.V. Krauklis. curs de fizica. T. 1. - M.: Stat. profesor ed. min. educația RSFSR, 1957.

Аyp.ru ().
Wikipedia ().

Teme pentru acasă

După ce au rezolvat problemele pt această lecție, vă puteți pregăti pentru întrebările 1 din GIA și întrebările A1, A2 ale Examenului de stat unificat.

Problemele 92, 94, 98, 106, 110 - Sat. probleme A.P. Rymkevici, ed. 10
Calculați viteza unghiulară a minutelor, secundelor și orelor ale ceasului. Calculați accelerația centripetă care acționează asupra vârfurilor acestor săgeți dacă raza fiecăreia este de un metru.

În timpul mișcării curbilinie, direcția vectorului viteză se schimbă. În același timp, modulul său, adică lungimea, se poate modifica. În acest caz, vectorul accelerație este descompus în două componente: tangent pe traiectorie și perpendicular pe traiectorie (Fig. 10). Componenta este numită tangenţial accelerație (tangențială), componentă – normal(accelerație centripetă.

Accelerație în timpul mișcării curbe

Accelerația tangențială caracterizează viteza de schimbare a vitezei liniare, iar accelerația normală caracterizează viteza de schimbare a direcției de mișcare.

Accelerația totală este egală cu suma vectorială a accelerațiilor tangențiale și normale:

(15)

Modulul de accelerație totală este egal cu:

Să luăm în considerare mișcarea uniformă a unui punct în jurul unui cerc. în care Și . Fie în momentul considerat de timp t punctul se află în poziţia 1 (Fig. 11). După timpul Δt, punctul va fi în poziția 2, după ce a depășit calea Δs, egal cu arcul 1-2. În acest caz, viteza punctului v crește Δv, drept urmare vectorul viteză, rămânând neschimbat ca mărime, se rotește printr-un unghi Δφ , care coincide ca mărime cu unghiul central bazat pe un arc de lungime Δs:

(16)

unde R este raza cercului de-a lungul căruia se mișcă punctul. Să găsim incrementul vectorului viteză Pentru a face acest lucru, să mutăm vectorul astfel încât începutul său să coincidă cu începutul vectorului. Apoi vectorul va fi reprezentat printr-un segment trasat de la capătul vectorului până la capătul vectorului . Acest segment servește ca bază a unui triunghi isoscel cu laturile și și unghiul Δφ la vârf. Dacă unghiul Δφ este mic (ceea ce este adevărat pentru Δt mic), pentru laturile acestui triunghi putem scrie aproximativ:

Înlocuind Δφ din (16) aici, obținem o expresie pentru modulul vectorului:

Împărțind ambele părți ale ecuației la Δt și trecând la limită, obținem valoarea accelerației centripete:

Iată cantitățile vȘi R sunt constante, deci pot fi luate dincolo de semnul limită. Limita raportului este modulul de viteză Se mai numește și viteză liniară.

Raza de curbură

Raza cercului R se numește raza de curbură traiectorii. Inversa lui R se numește curbura traiectoriei:

unde R este raza cercului în cauză. Dacă α este unghiul central corespunzător arcului de cerc s, atunci, după cum se știe, relația dintre R, α și s este valabilă:

s = Rα. (18)

Conceptul de rază de curbură se aplică nu numai unui cerc, ci și oricărei linii curbe. Raza de curbură (sau valoarea sa inversă - curbură) caracterizează gradul de curbură al liniei. Cu cât raza de curbură este mai mică (respectiv, cu atât curbura este mai mare), cu atât linia este curbată mai puternic. Să aruncăm o privire mai atentă asupra acestui concept.

Cercul de curbură al unei linii plate într-un anumit punct A este poziția limită a unui cerc care trece prin punctul A și alte două puncte B 1 și B 2 pe măsură ce se apropie de punctul A la infinit (în Fig. 12 curba este trasată de un linie continuă și cercul de curbură printr-o linie punctată). Raza cercului de curbură dă raza de curbură a curbei în cauză în punctul A, iar centrul acestui cerc dă centrul de curbură al curbei pentru același punct A.

În punctele B 1 și B 2, trageți tangentele B 1 D și B 2 E la un cerc care trece prin punctele B 1, A și B 2. Normalele la aceste tangente B 1 C și B 2 C vor reprezenta razele R ale cercului și se vor intersecta în centrul acestuia C. Să introducem unghiul Δα dintre normalele B1 C și B 2 C; evident, este egal cu unghiul dintre tangentele B 1 D și B 2 E. Să notăm Δs secțiunea curbei dintre punctele B 1 și B 2. Apoi, conform formulei (18):

Cercul de curbură al unei linii curbe plate

Determinarea curburii unei curbe plane în diferite puncte

În fig. Figura 13 prezintă cercuri de curbură ale unei linii plate în puncte diferite. În punctul A 1, unde curba este mai plată, raza de curbură este mai mare decât în punctul A 2, respectiv, curbura liniei în punctul A 1 va fi mai mică decât în punctul A 2. În punctul A 3 curba este chiar mai plată decât în punctele A 1 și A 2, astfel încât raza de curbură în acest punct va fi mai mare și curbura mai mică. În plus, cercul de curbură în punctul A 3 se află de cealaltă parte a curbei. Prin urmare, valorii curburii în acest punct i se atribuie un semn opus semnului de curbură în punctele A 1 și A 2: dacă curbura în punctele A 1 și A 2 este considerată pozitivă, atunci curbura în punctul A 3 va fi negativ.

6. Mișcare curbilinie. Deplasarea unghiulară, viteza unghiulară și accelerația unui corp. Calea și deplasarea în timpul mișcării curbilinii a unui corp.

Mișcare curbilinie– aceasta este o mișcare a cărei traiectorie este o linie curbă (de exemplu, un cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă). Un exemplu de mișcare curbilinie este mișcarea planetelor, capătul unui ceas de-a lungul unui cadran etc. În general viteza curbilinie schimbări de amploare și direcție.

Mișcarea curbilinie a unui punct material este considerată mișcare uniformă dacă modulul viteză constantă (de exemplu, mișcare uniformă într-un cerc) și uniform accelerată dacă modulul și direcția viteză modificări (de exemplu, mișcarea unui corp aruncat în unghi față de orizontală).

Orez. 1.19. Traiectoria și vectorul mișcării în timpul mișcării curbilinii.

Când vă deplasați pe o cale curbă vector de deplasare îndreptată de-a lungul coardei (Fig. 1.19) și l- lungime traiectorii . Viteza instantanee a corpului (adică viteza corpului într-un punct dat al traiectoriei) este direcționată tangențial în punctul traiectoriei unde se află în prezent corpul în mișcare (Fig. 1.20).

Orez. 1.20. Viteză instantanee în timpul mișcării curbe.

Mișcarea curbilinie este întotdeauna mișcare accelerată. Acesta este accelerație în timpul mișcării curbe este întotdeauna prezent, chiar dacă modulul de viteză nu se schimbă, ci se schimbă doar direcția vitezei. Modificarea vitezei pe unitatea de timp este accelerația tangențială :

Unde v τ ,v 0 – valorile vitezei la momentul respectiv t 0 +ΔtȘi t 0 respectiv.

Accelerația tangențială într-un punct dat al traiectoriei, direcția coincide cu direcția vitezei de mișcare a corpului sau este opusă acesteia.

Accelerație normală este schimbarea vitezei în direcție pe unitatea de timp:

Accelerație normalăîndreptată de-a lungul razei de curbură a traiectoriei (spre axa de rotaţie). Accelerația normală este perpendiculară pe direcția vitezei.

Accelerație centripetă este accelerația normală în timpul mișcării circulare uniforme.

Accelerația totală în timpul mișcării curbilinii uniforme a unui corp este egal cu:

Mișcarea unui corp de-a lungul unui traseu curbat poate fi reprezentată aproximativ ca mișcare de-a lungul arcurilor anumitor cercuri (Fig. 1.21).

Orez. 1.21. Mișcarea unui corp în timpul mișcării curbilinie.

Mișcare curbilinie

Mișcări curbilinii– mișcări ale căror traiectorii nu sunt drepte, ci linii curbe. Planetele și apele râurilor se deplasează pe traiectorii curbilinii.

Mișcarea curbilinie este întotdeauna mișcare cu accelerație, chiar dacă valoarea absolută a vitezei este constantă. Mișcarea curbilinie cu accelerație constantă are loc întotdeauna în planul în care se află vectorii de accelerație și vitezele inițiale ale punctului. În cazul mișcării curbilinii cu accelerație constantă în plan xOy proiecții v XȘi v y viteza sa pe axa BouȘi Oiși coordonatele XȘi y puncte în orice moment t determinate prin formule

Un caz special de mișcare curbilinie este mișcarea circulară. Mișcarea circulară, chiar și uniformă, este întotdeauna mișcare accelerată: modulul de viteză este întotdeauna direcționat tangențial la traiectorie, schimbând constant direcția, astfel încât mișcarea circulară are loc întotdeauna cu accelerație centripetă, unde r– raza cercului.

Vectorul accelerație atunci când se deplasează într-un cerc este îndreptat spre centrul cercului și perpendicular pe vectorul viteză.

În mișcarea curbilinie, accelerația poate fi reprezentată ca suma componentelor normale și tangențiale:

Accelerația normală (centripetă) este îndreptată spre centrul de curbură al traiectoriei și caracterizează schimbarea vitezei în direcția:

v – valoarea vitezei instantanee, r– raza de curbură a traiectoriei într-un punct dat.

Accelerația tangențială (tangențială) este direcționată tangențial la traiectorie și caracterizează modificarea vitezei modulo.

Accelerația totală cu care se mișcă un punct material este egală cu:

Pe lângă accelerația centripetă, cele mai importante caracteristici ale mișcării circulare uniforme sunt perioada și frecvența de rotație.

Perioada de circulație- acesta este timpul în care corpul completează o revoluție .

Perioada este indicată prin scrisoare T(c) și se determină prin formula:

Unde t- timpul de circulatie, P- numărul de revoluții efectuate în acest timp.

Frecvență- aceasta este o cantitate egală numeric cu numărul de rotații efectuate pe unitatea de timp.

Frecvența este notă cu o literă greacă (nu) și se găsește folosind formula:

Frecvența se măsoară în 1/s.

Perioada și frecvența sunt mărimi reciproc inverse:

Dacă un corp se mișcă într-un cerc cu viteză v, face o revoluție, apoi distanța parcursă de acest corp poate fi găsită prin înmulțirea vitezei v pentru timpul unei revoluții:

l = vT. Pe de altă parte, această cale este egală cu circumferința cercului 2π r. De aceea

vT = 2π r,

Unde w(s -1) - viteză unghiulară.

La o frecvență de rotație constantă, accelerația centripetă este direct proporțională cu distanța de la particula în mișcare la centrul de rotație.

Viteză unghiulară (w) – o valoare egală cu raportul dintre unghiul de rotație al razei în care se află punctul de rotație și perioada de timp în care a avut loc această rotație:

Relația dintre vitezele liniare și unghiulare:

Mișcarea unui corp poate fi considerată cunoscută doar atunci când se știe cum se mișcă fiecare punct. Cea mai simplă mișcare a corpurilor solide este de translație. Progresist numită mișcare solid, în care orice linie dreaptă trasată în acest corp se deplasează paralel cu sine.

Având în vedere mișcarea curbilinie a unui corp, vom vedea că viteza lui este diferită în momente diferite. Chiar și în cazul în care mărimea vitezei nu se modifică, există totuși o schimbare a direcției vitezei. În cazul general, atât mărimea cât și direcția vitezei se schimbă.

Astfel, în timpul mișcării curbilinie, viteza se modifică continuu, astfel încât această mișcare are loc cu accelerație. Pentru a determina această accelerație (în mărime și direcție), este necesar să găsim schimbarea vitezei ca vector, adică să găsim creșterea mărimii vitezei și schimbarea direcției acesteia.

Orez. 49. Modificarea vitezei în timpul mișcării curbe

Să fie, de exemplu, un punct, care se deplasează curbiliniu (Fig. 49), la un moment dat are o viteză, iar după o perioadă scurtă de timp - o viteză. Creșterea vitezei este diferența dintre vectori și . Deoarece acești vectori au direcții diferite, trebuie să luați diferența de vectori. Creșterea vitezei va fi exprimată prin vectorul reprezentat de latura paralelogramului cu diagonala și cealaltă parte. Accelerația este raportul dintre creșterea vitezei și perioada de timp în care a avut loc această creștere. Aceasta înseamnă accelerare

Direcția coincide cu vectorul.

Alegând suficient de mic, ajungem la conceptul de accelerare instantanee (cf. § 16); atunci când este arbitrar, vectorul va reprezenta accelerația medie pe o perioadă de timp.

Direcția de accelerație în timpul mișcării curbilinie nu coincide cu direcția vitezei, în timp ce pentru mișcarea rectilinie aceste direcții coincid (sau sunt opuse). Pentru a găsi direcția de accelerație în timpul mișcării curbilinie, este suficient să comparăm direcțiile vitezelor în două puncte apropiate ale traiectoriei. Deoarece vitezele sunt direcționate tangente la traiectorie, atunci din forma traiectoriei în sine se poate concluziona în ce direcție din traiectorie este direcționată accelerația. Într-adevăr, deoarece diferența de viteze în două puncte apropiate ale traiectoriei este întotdeauna îndreptată în direcția în care este curbată traiectoria, înseamnă că accelerația este întotdeauna îndreptată spre concavitatea traiectoriei. De exemplu, atunci când o minge se rostogolește de-a lungul unui jgheab curbat (Fig. 50), accelerația sa în secțiuni și este direcționată așa cum este indicat de săgeți, iar acest lucru nu depinde de faptul că mingea se rostogolește dinspre sau în direcția opusă.

Orez. 50. Accelerațiile în timpul mișcării curbilinie sunt întotdeauna îndreptate spre concavitatea traiectoriei

Orez. 51. Pentru a deduce formula pentru accelerația centripetă

Să considerăm mișcarea uniformă a unui punct de-a lungul unei traiectorii curbilinii. Știm deja că aceasta este o mișcare accelerată. Să găsim accelerația. Pentru a face acest lucru, este suficient să luăm în considerare accelerația pentru cazul special al mișcării uniforme într-un cerc. Să luăm două poziții apropiate și un punct de mișcare, separate de o perioadă scurtă de timp (Fig. 51, a). Vitezele unui punct de mișcare în și sunt egale ca mărime, dar diferite ca direcție. Să aflăm diferența dintre aceste viteze folosind regula triunghiului (Fig. 51, b). Triunghiurile și sunt similare, ca triunghiurile isoscele cu unghiuri egaleîn vârf. Lungimea laturii care reprezintă creșterea vitezei într-o perioadă de timp poate fi setată egală cu , unde este modulul accelerației dorite. Latura similară cu aceasta este coarda arcului; Datorită micii arcului, lungimea coardei sale poate fi luată aproximativ egală cu lungimea arcului, adică. . Mai departe, ; , unde este raza traiectoriei. Din asemănarea triunghiurilor rezultă că rapoartele laturilor similare din ele sunt egale:

de unde găsim modulul accelerației dorite:

Direcția de accelerație este perpendiculară pe coardă. Pentru intervale de timp suficient de scurte, putem presupune că tangenta la arc coincide practic cu coarda acestuia. Aceasta înseamnă că accelerația poate fi considerată direcționată perpendicular (normal) pe tangenta la traiectorie, adică de-a lungul razei până la centrul cercului. Prin urmare, o astfel de accelerație se numește accelerație normală sau centripetă.

Dacă traiectoria nu este un cerc, ci o linie curbă arbitrară, atunci în formula (27.1) ar trebui să luăm raza cercului cel mai apropiat de curbă într-un punct dat. Direcția accelerației normale în acest caz va fi, de asemenea, perpendiculară pe tangenta la traiectorie într-un punct dat. Dacă în timpul mișcării curbilinie accelerația este constantă ca mărime și direcție, ea poate fi găsită ca raportul dintre creșterea vitezei și perioada de timp în care a avut loc această creștere, oricare ar fi această perioadă de timp. Aceasta înseamnă că în acest caz accelerația poate fi găsită folosind formula

similar cu formula (17.1) pentru mișcarea rectilinie cu accelerație constantă. Iată viteza corpului în momentul inițial, a este viteza în momentul de timp.