Extrageți rădăcina gradului corespunzător dintr-un număr dat

numere în formă trigonometrică.

formula lui Moivre

Fie z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) și z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex este convenabilă de utilizat pentru a efectua operațiile de înmulțire, împărțire, ridicare la o putere întreagă și extragerea rădăcinii gradului n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

La înmulțirea a două numere complexeîn formă trigonometrică, modulele lor sunt înmulțite și argumentele lor sunt adăugate. La împărțire modulele lor sunt împărțite și argumentele lor sunt scăzute.

Un corolar al regulii de înmulțire a unui număr complex este regula de ridicare a unui număr complex la o putere.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Acest raport se numește formula lui Moivre.

Exemplul 8.1 Găsiți produsul și câtul numerelor:

Și

Soluţie

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

Exemplul 8.2 Scrieți un număr în formă trigonometrică

∙
–i) 7 .

Soluţie

Să notăm
și z 2 =
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arctan ;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 Extragerea rădăcinii unui număr complex

Definiție. Rădăcinănputerea a unui număr complex z (notă
) este un număr complex w astfel încât w n = z. Dacă z = 0, atunci
= 0.

Fie z  0, z = r(cos + isin). Să notăm w = (cos + sin), apoi scriem ecuația w n = z în următoarea formă

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Prin urmare  n = r,

 =

Astfel wk =
·
.

Printre aceste valori există exact n altele diferite.

Prin urmare k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Pe planul complex, aceste puncte sunt vârfurile unui n-gon regulat înscris într-un cerc de rază
cu centrul în punctul O (Figura 12).

Figura 12

Exemplul 9.1 Găsiți toate valorile
.

Soluţie.

Să reprezentăm acest număr în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și argumentul.

w k =
, unde k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Pe planul complex, aceste puncte sunt vârfurile unui pătrat înscris într-un cerc de rază
cu centrul la origine (Figura 13).

Figura 13 Figura 14

Exemplul 9.2 Găsiți toate valorile
.

Soluţie.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, unde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

Pe plan complex, aceste puncte sunt vârfurile unui hexagon regulat înscris într-un cerc de rază 2 cu centrul în punctul O (0; 0) - Figura 14.

§ 10 Forma exponenţială a unui număr complex.

formula lui Euler

Să notăm
= cos  + isin  și
= cos  - isin  . Aceste relații se numesc formulele lui Euler .

Funcţie
are proprietățile obișnuite ale unei funcții exponențiale:

Să se scrie numărul complex z în formă trigonometrică z = r(cos + isin).

Folosind formula lui Euler, putem scrie:

z = r
.

Această intrare este numită formă exponenţială număr complex. Folosind-o, obținem regulile de înmulțire, împărțire, exponențiere și extracție a rădăcinii.

Dacă z 1 = r 1 ·
și z 2 = r 2 ·
?Acea

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

·

z n = r n ·

, unde k = 0, 1, … , n – 1.

Exemplul 10.1 Scrieți un număr în formă algebrică

z =
.

Soluţie.

Exemplul 10.2 Rezolvați ecuația z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

Soluţie.

Pentru orice coeficienți complexi, această ecuație are două rădăcini z 1 și z 1 (posibil care coincid). Aceste rădăcini pot fi găsite folosind aceeași formulă ca în cazul real. Deoarece
ia două valori care diferă doar prin semn, atunci această formulă arată astfel:

Deoarece –9 = 9 e  i, atunci valorile
vor fi numere:

Apoi
Și
.

Soluţie.

Rădăcinile necesare ale ecuației vor fi valorile
.

Pentru z = –1 avem r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Exerciții

9 Prezentați numerele în formă exponențială:

10 Scrieți numere în forme exponențiale și algebrice:

11 Scrie numerele în forme algebrice și geometrice:

Sunt date 12 numere

Prezentându-le în formă exponențială, găsiți
.

13 Folosind forma exponențială a unui număr complex, efectuați următorii pași:

A)
b)

V)
G)

Cuși numărul natural n 2 .

Număr complex Z numit rădăcinăn– c, Dacă Z n = c.

Să găsim toate valorile rădăcinii n– oh puterea unui număr complex Cu. Lăsa c=| c|·(cos Arg c+ i· păcat ArgCu), A Z = | Z|·(cuos Arg Z + i· păcat Arg Z) , Unde Z rădăcină n- oh puterea unui număr complex Cu. Atunci trebuie să fie = c = | c|·(cos Arg c+ i· păcat ArgCu). Rezultă că
Și n· Arg Z = ArgCu
Arg Z =
(k=0,1,…) . Prin urmare, Z =
(cos
+ i· păcat
), (k=0,1,…) . Este ușor de observat că oricare dintre valori
, (k=0,1,…) diferă de una dintre valorile corespunzătoare
,(k = 0,1,…, n-1) prin multiplu 2π. De aceea , (k = 0,1,…, n-1) .

Exemplu.

Să calculăm rădăcina lui (-1).

, evident |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1·(cos π + i· păcat π )

, (k = 0, 1).

= i

Putere cu un exponent rațional arbitrar

Să luăm un număr complex arbitrar Cu. Dacă n numărul natural, deci Cu n = | c| n ·(Cuos nArgs +i· păcat nArgCu)(6). Această formulă este valabilă și în cazul respectiv n = 0 (s≠0)
. Lăsa n < 0 Și n ZȘi s ≠ 0, Apoi

Cu n =
(cos nArgCu+i·sin nArgCu) = (cos nArgCu+ i·sin nArgCu) . Astfel, formula (6) este valabilă pentru oricare n.

Să luăm un număr rațional , Unde q număr natural și R este întreg.

Apoi sub grad c r vom înțelege numărul
.

Înțelegem asta ,

(k = 0, 1, …, q-1). Aceste valori q bucăți, dacă fracția nu este reductibilă.

Lecţia nr. 3 Limita unei secvenţe de numere complexe

Se numește o funcție cu valori complexe a unui argument natural succesiune de numere complexe si este desemnat (Cu n ) sau Cu 1 , Cu 2 , ..., Cu n . Cu n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) numere complexe.

Cu 1 , Cu 2 , … - membrii secvenței; Cu n – membru comun

Număr complex Cu = A+ b· i numit limita unei secvențe de numere complexe (c n ) , Unde Cu n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , unde pentru orice

că în fața tuturor n > N inegalitatea este valabilă
. Se numește o secvență care are o limită finită convergent secvenţă.

Teorema.

Pentru o succesiune de numere complexe (cu n ) (Cu n = a n + b n · i) converg către un număr cu = A+ b· i, este necesar și suficient pentru ca egalitatea să se menținălim A n = A, lim b n = b.

Dovada.

Vom demonstra teorema pe baza următoarei inegalități duble evidente

, Unde Z = X + y· i (2)

Necesitate. Lăsa lim(Cu n ) = s. Să arătăm că egalitățile sunt adevărate lim A n = AȘi lim b n = b (3).

Evident (4)

Deoarece
, Când n → ∞ , apoi din partea stângă a inegalității (4) rezultă că
Și
, Când n → ∞ . prin urmare egalitățile (3) sunt satisfăcute. Necesitatea a fost dovedită.

Adecvarea. Să fie acum îndeplinite egalitățile (3). Din egalitatea (3) rezultă că
Și
, Când n → ∞ , prin urmare, din cauza părții drepte a inegalității (4), va fi
, Când n→∞ , Mijloace lim(Cu n )=c. Suficiența a fost dovedită.

Deci, problema convergenței unei secvențe de numere complexe este echivalentă cu convergența a două secvențe de numere reale, prin urmare toate proprietățile de bază ale limitelor secvențelor de numere reale se aplică șirurilor de numere complexe.

De exemplu, pentru secvențe de numere complexe criteriul Cauchy este valabil: pentru o succesiune de numere complexe (cu n ) converge, este necesar și suficient ca pentru orice

, asta pentru oricen, m > Ninegalitatea este valabilă
.

Teorema.

Fie o succesiune de numere complexe (cu n ) Și (z n ) converg către c și respectivz, atunci egalitățile sunt adevăratelim(Cu n z n ) = c z, lim(Cu n · z n ) = c· z. Dacă se ştie cu certitudine căznu este egal cu 0, atunci egalitatea este adevărată
.