Un sistem omogen este întotdeauna consistent și are o soluție banală 
. Pentru ca o soluție netrivială să existe, este necesar ca rangul matricei 
a fost număr mai mic necunoscut:
.
Sistem fundamental de soluții
sistem omogen 
numiți un sistem de soluții sub formă de vectori coloană 
, care corespund temeiului canonic, i.e. bază în care constantele arbitrare 
sunt setate alternativ egale cu unu, în timp ce restul sunt setate la zero.
Atunci soluția generală a sistemului omogen are forma:
Unde 
- constante arbitrare. Cu alte cuvinte, soluția globală este o combinație liniară a sistemului fundamental de soluții.
Astfel, soluțiile de bază pot fi obținute din soluția generală dacă necunoscutelor libere li se dă pe rând valoarea unu, punând toate celelalte egale cu zero.
Exemplu. Să găsim o soluție la sistem
Să acceptăm, apoi obținem o soluție sub forma:
Să construim acum un sistem fundamental de soluții:
.
Soluția generală se va scrie astfel:
Soluții ale unui sistem omogen ecuatii lineare au proprietati:
Cu alte cuvinte, orice combinație liniară de soluții la un sistem omogen este din nou o soluție.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare i-a interesat pe matematicieni de câteva secole. Primele rezultate au fost obținute în secolul al XVIII-lea. În 1750, G. Kramer (1704–1752) și-a publicat lucrările despre determinanții matricilor pătrate și a propus un algoritm pentru găsirea matricei inverse. În 1809, Gauss a schițat o nouă metodă de soluție cunoscută sub numele de metoda eliminării.
Metoda Gauss, sau metoda eliminării secvenţiale a necunoscutelor, constă în faptul că, folosind transformări elementare, un sistem de ecuaţii se reduce la un sistem echivalent de formă în trepte (sau triunghiulară). Astfel de sisteme fac posibilă găsirea secvenţială a tuturor necunoscutelor într-o anumită ordine.
Să presupunem că în sistemul (1) 
(ceea ce este întotdeauna posibil).
(1)
Înmulțind prima ecuație una câte una cu așa-numita numere potrivite
și adunând rezultatul înmulțirii cu ecuațiile corespunzătoare ale sistemului, obținem un sistem echivalent în care în toate ecuațiile cu excepția primei nu va exista necunoscută. X 1
(2)
Să înmulțim acum a doua ecuație a sistemului (2) cu numere adecvate, presupunând că 
,
iar adăugând-o cu cele inferioare, eliminăm variabila 
din toate ecuațiile, începând cu a treia.
Continuând acest proces, după 
pas obtinem:
(3)
Dacă cel puţin unul dintre numere 
nu este egal cu zero, atunci egalitatea corespunzătoare este contradictorie și sistemul (1) este inconsecvent. Dimpotrivă, pentru orice sistem de numere comun 
sunt egale cu zero. Număr 
nu este altceva decât rangul matricei sistemului (1).
Se numește trecerea de la sistemul (1) la (3). drept înainte Metoda Gauss și găsirea necunoscutelor din (3) – în sens invers .
cometariu : Este mai convenabil să efectuați transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricea extinsă a sistemului (1).
Exemplu. Să găsim o soluție la sistem
.
Să scriem matricea extinsă a sistemului:
.
Să-l adăugăm pe primul la liniile 2,3,4, înmulțit cu (-2), (-3), respectiv (-2):
.
Să schimbăm rândurile 2 și 3, apoi în matricea rezultată adăugați rândul 2 la rândul 4, înmulțit cu 
:
.
Adaugă la linia 4 linia 3 înmulțită cu 
:
.
Este evident că 
, prin urmare, sistemul este consistent. Din sistemul de ecuații rezultat
găsim soluția prin substituție inversă:
,
,
,
.
Exemplul 2. Găsiți o soluție pentru sistem:
.
Este evident că sistemul este inconsecvent, pentru că 
, A 
.
Avantajele metodei Gauss :
Mai puțin intensivă de muncă decât metoda lui Cramer.
Stabilește fără ambiguitate compatibilitatea sistemului și vă permite să găsiți o soluție.
Face posibilă determinarea rangului oricăror matrici.
Sisteme omogene de liniare ecuații algebrice
Ca parte a lecțiilor metoda gaussianaȘi Sisteme/sisteme incompatibile cu o soluție comună am luat în considerare sisteme neomogene de ecuaţii liniare, Unde membru liber(care este de obicei în dreapta) cel puțin unul din ecuații a fost diferit de zero.
Și acum, după o bună încălzire cu rangul matricei, vom continua să lustruim tehnica transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Pe baza primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și mediocru, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea ulterioară tehnici Vor fi o mulțime de informații noi, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.
Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?
Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toata lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:
Este absolut clar că un sistem omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, ceea ce îți atrage atenția este așa-zisul banal soluţie 
. Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă fără o expoziție. Nu din punct de vedere academic, desigur, dar inteligibil =) ...De ce să ne batem prin tufiș, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:
Exemplul 1
Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să se scrie matricea sistemului iar cu ajutorul transformărilor elementare aduceți-o într-o formă treptat. Vă rugăm să rețineți că aici nu este nevoie să scrieți bara verticală și coloana zero a termenilor liberi - la urma urmei, indiferent ce faceți cu zerouri, acestea vor rămâne zero: 
(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –3.
(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.
Împărțirea celei de-a treia rânduri la 3 nu are prea mult sens.
Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent 
, și, aplică cursa inversă Metoda lui Gauss, este ușor de verificat că soluția este unică.
Răspuns:
Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are doar o solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(V în acest caz, 3) egal cu numărul de variabile (în acest caz – 3 bucăți).
Să ne încălzim și să ne acordăm radioul la valul de transformări elementare:
Exemplul 2
Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare 
Din articol Cum să găsiți rangul unei matrice? Să ne amintim tehnica rațională de scădere simultană a numerelor matriceale. În caz contrar, va trebui să tăiați pește mare și adesea mușcător. Probă aproximativă finalizarea sarcinii la sfârșitul lecției.
Zerourile sunt bune și convenabile, dar în practică cazul este mult mai comun atunci când rândurile matricei sistemului dependent liniar. Și atunci apariția unei soluții generale este inevitabil:
Exemplul 3
Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare 
Soluţie: să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte. Prima acțiune vizează nu numai obținerea unei singure valori, ci și scăderea numerelor din prima coloană:
(1) La prima linie a fost adăugată o a treia linie, înmulțită cu –1. A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. În stânga sus, am primit o unitate cu un „minus”, care este adesea mult mai convenabil pentru transformări ulterioare.
(2) Primele două rânduri sunt aceleași, unul dintre ele a fost șters. Sincer, nu am împins soluția - așa s-a dovedit. Dacă efectuați transformări într-o manieră șablon, atunci dependență liniară liniile ar fi fost dezvăluite puțin mai târziu.
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 3.
(4) Semnul primei linii a fost schimbat.
Ca urmare a transformărilor elementare s-a obținut un sistem echivalent: 
Algoritmul funcționează exact la fel ca pentru sisteme eterogene. Variabilele „șezând pe trepte” sunt principalele, variabila care nu a primit „pas” este liberă.
Să exprimăm variabilele de bază printr-o variabilă liberă: 
Răspuns: decizie comună: 
Soluția banală este inclusă în formula generala, și nu este necesar să-l notați separat.
Verificarea se efectuează, de asemenea, conform schemei obișnuite: soluția generală rezultată trebuie înlocuită în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului și trebuie obținut un zero legal pentru toate substituțiile.
Ar fi posibil să se termine acest lucru în liniște și pașnic, dar soluția unui sistem omogen de ecuații trebuie adesea reprezentată sub formă de vector prin utilizarea sistem fundamental de soluții. Vă rog să uitați de asta pentru moment geometrie analitică, întrucât acum vom vorbi despre vectori în sens algebric general, pe care i-am deschis puțin în articolul despre rangul matricei. Nu este nevoie să trecem peste terminologie, totul este destul de simplu.
Sisteme liniare ecuații omogene - are forma ∑a k i x i = 0. unde m > n sau m Un sistem omogen de ecuații liniare este întotdeauna consistent, întrucât rangA = rangB. În mod evident, are o soluție formată din zerouri, care se numește banal.Scopul serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a găsi o soluție netrivială și fundamentală pentru SLAE. Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word (vezi exemplu de soluție).
Instrucțiuni. Selectați dimensiunea matricei:
Proprietăți ale sistemelor de ecuații liniare omogene
Pentru ca sistemul să aibă soluții nebanale, este necesar și suficient ca rangul matricei sale să fie mai mic decât numărul de necunoscute.Teorema. Un sistem în cazul m=n are o soluție netrivială dacă și numai dacă determinantul acestui sistem este egal cu zero.
Teorema. Orice combinație liniară de soluții pentru un sistem este, de asemenea, o soluție pentru acel sistem.
Definiție. Mulțimea soluțiilor unui sistem de ecuații liniare omogene se numește sistem fundamental de soluții, dacă această mulțime constă din soluții liniar independente și orice soluție a sistemului este o combinație liniară a acestor soluții.
Teorema. Dacă rangul r al matricei sistemului este mai mic decât numărul n de necunoscute, atunci există sistem fundamental soluții, constând din (n-r) soluții.
Algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare omogene
- Aflarea rangului matricei.
- Selectăm minorul de bază. Distingem necunoscutele dependente (de bază) și libere.
- Tăiem acele ecuații ale sistemului ai căror coeficienți nu sunt incluși în baza minoră, deoarece sunt consecințe ale celorlalte (conform teoremei pe baza minoră).
- Mutăm termenii ecuațiilor care conțin necunoscute libere în partea dreaptă. Ca urmare, obținem un sistem de r ecuații cu r necunoscute, echivalent cu cel dat, al cărui determinant este diferit de zero.
- Rezolvăm sistemul rezultat prin eliminarea necunoscutelor. Găsim relații care exprimă variabile dependente prin intermediul celor libere.
- Dacă rangul matricei nu este egal cu numărul de variabile, atunci găsim soluția fundamentală a sistemului.
- În cazul rang = n avem o soluție banală.
Exemplu. Găsiți baza sistemului de vectori (a 1, a 2,...,a m), ordonați și exprimați vectorii pe baza bazei. Dacă a 1 =(0,0,1,-1) și 2 =(1,1,2,0) și 3 =(1,1,1,1) și 4 =(3,2,1 ,4) și 5 =(2,1,0,3).
Să notăm matricea principală a sistemului:
Înmulțiți a treia linie cu (-3). Să adăugăm a 4-a linie la a 3-a:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Înmulțiți a patra linie cu (-2). Să înmulțim a 5-a linie cu (3). Să adăugăm a 5-a linie la a 4-a:
Să adăugăm a doua linie la prima:
Să găsim rangul matricei.
Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Folosind metoda eliminării necunoscutelor, găsim o soluție netrivială:
Am obținut relații care exprimă variabilele dependente x 1 , x 2 , x 3 prin cele libere x 4 , adică am găsit o soluție generală:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Matrici date
Găsiți: 1) aA - bB,
Soluţie: 1) O găsim secvențial, folosind regulile de înmulțire a unei matrice cu un număr și de adunare de matrici.
2. Găsiți A*B dacă
Soluţie: Folosim regula de înmulțire a matricei
Răspuns: 
3. Pentru o matrice dată, găsiți M 31 minor și calculați determinantul.
Soluţie: Minor M 31 este determinantul matricei care se obține din A
după tăierea liniei 3 și a coloanei 1. Găsim
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Să transformăm matricea A fără a-i schimba determinantul (să facem zerouri în rândul 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Acum calculăm determinantul matricei A prin expansiune de-a lungul rândului 1
Răspuns: M 31 = 0, detA = 0
Rezolvați folosind metoda Gauss și metoda Cramer.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Soluţie: Sa verificam
Puteți folosi metoda lui Cramer
Rezolvarea sistemului: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Să aplicăm metoda Gaussiană.
Să reducem matricea extinsă a sistemului la formă triunghiulară.
Pentru a ușura calculul, să schimbăm liniile:
Înmulțiți a doua linie cu (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) și adăugați la al treilea:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Înmulțiți prima linie cu (k = -2 / 2 = -1 ) și adăugați la al doilea:
Acum sistemul original poate fi scris ca:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
Din a 2-a linie exprimăm
Din prima linie exprimăm
Soluția este aceeași.
Răspuns: (2; -5; 3)
Găsiți soluția generală a sistemului și a FSR
13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Soluţie: Să aplicăm metoda Gaussiană. Să reducem matricea extinsă a sistemului la formă triunghiulară.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Înmulțiți prima linie cu (-11). Înmulțiți a doua linie cu (13). Să adăugăm a doua linie la prima:
| -2 | -2 | -3 | ||
Înmulțiți a doua linie cu (-5). Să înmulțim a treia linie cu (11). Să adăugăm a treia linie la a doua:
Înmulțiți a treia linie cu (-7). Să înmulțim a patra linie cu (5). Să adăugăm a 4-a linie la a 3-a:
A doua ecuație este o combinație liniară a celorlalte
Să găsim rangul matricei.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Minorul evidentiat are ordinul cel mai înalt(dintre posibilii minori) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala inversă), prin urmare rang(A) = 2.
Acest minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscutele x 1 , x 2 , ceea ce înseamnă că necunoscutele x 1 , x 2 sunt dependente (de bază) și x 3 , x 4 , x 5 sunt libere.
Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Folosind metoda eliminării necunoscutelor, găsim decizie comună:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Găsim un sistem fundamental de soluții (FSD), care constă din (n-r) soluții. În cazul nostru, n=5, r=2, prin urmare, sistemul fundamental de soluții este format din 3 soluții, iar aceste soluții trebuie să fie liniar independente.
Pentru ca rândurile să fie liniar independente, este necesar și suficient ca rangul matricei compuse din elemente de rând să fie egal cu numărul de rânduri, adică 3.
Este suficient să dați necunoscutele libere x 3 , x 4 , x 5 valori din liniile determinantului de ordinul 3, diferit de zero, și să calculați x 1 , x 2 .
Cel mai simplu determinant diferit de zero este matricea de identitate.
Dar este mai convenabil să luați aici
Găsim folosind soluția generală:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ
I decizia FSR: (-2; -4; 6; 0;0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ
Soluția II FSR: (0; -6; 0; 6;0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
a III-a decizie a FSR: (0; - 9; 0; 0;6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)
6. Având în vedere: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Aflați: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2
Soluţie: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Răspuns: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i
Înapoi la școală, fiecare dintre noi a studiat ecuațiile și, cel mai probabil, sistemele de ecuații. Dar nu mulți oameni știu că există mai multe modalități de a le rezolva. Astăzi vom analiza în detaliu toate metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare care constau din mai mult de două egalități.
Poveste
Astăzi se știe că arta de a rezolva ecuații și sistemele lor își are originea în Babilonul și Egiptul antic. Cu toate acestea, egalitățile în forma lor familiară au apărut după apariția semnului egal „=", care a fost introdus în 1556 de matematicianul englez Record. Apropo, acest semn a fost ales dintr-un motiv: înseamnă două segmente paralele egale. Și este adevărat cel mai bun exemplu egalitatea nu poate fi inventată.
Fondatorul desemnărilor moderne de litere pentru necunoscute și semne de grade este un matematician francez, dar desemnările sale erau semnificativ diferite de cele de astăzi. De exemplu, el a notat un pătrat al unui număr necunoscut cu litera Q (lat. „quadratus”) și un cub cu litera C (lat. „cubus”). Această notație pare incomod acum, dar la acea vreme era cel mai înțeles mod de a scrie sisteme de ecuații algebrice liniare.
Cu toate acestea, un defect în metodele de soluție din acea perioadă a fost că matematicienii considerau doar rădăcini pozitive. Poate că acest lucru se datorează faptului că valori negative nu avea niciunul aplicație practică. Într-un fel sau altul, matematicienii italieni Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano și Raphael Bombelli au fost primii care au numărat rădăcinile negative în secolul al XVI-lea. A aspect modern, metoda principală a soluției (prin discriminant) a fost creată abia în secolul al XVII-lea datorită lucrării lui Descartes și Newton.
La mijlocul secolului al XVIII-lea, matematicianul elvețian Gabriel Cramer a găsit Metoda noua pentru a ușura rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Această metodă a fost numită ulterior după el și o folosim și astăzi. Dar despre metoda lui Cramer vom vorbi puțin mai târziu, dar deocamdată să discutăm despre ecuațiile liniare și metodele de rezolvare a acestora separat de sistem.
Ecuatii lineare
Ecuațiile liniare sunt cele mai simple ecuații cu o variabilă (variabile). Ele sunt clasificate drept algebrice. scrie la vedere generala deci: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Va trebui să le reprezentăm în această formă atunci când compilăm sisteme și matrice mai târziu.
Sisteme de ecuații algebrice liniare
Definiția acestui termen este: este un set de ecuații care au cantități comune necunoscute și o soluție comună. De regulă, la școală toată lumea a rezolvat sisteme cu două sau chiar trei ecuații. Dar există sisteme cu patru sau mai multe componente. Să ne dăm seama mai întâi cum să le scriem, astfel încât să fie convenabil să le rezolvăm în viitor. În primul rând, sistemele de ecuații algebrice liniare vor arăta mai bine dacă toate variabilele sunt scrise ca x cu indicele corespunzător: 1,2,3 și așa mai departe. În al doilea rând, toate ecuațiile ar trebui aduse la forma canonică: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.
După toți acești pași, putem începe să vorbim despre cum să găsim soluții la sistemele de ecuații liniare. Matricele vor fi foarte utile pentru aceasta.
Matrici
O matrice este un tabel care constă din rânduri și coloane, iar la intersecția lor se află elementele sale. Acestea pot fi fie valori specifice, fie variabile. Cel mai adesea, pentru a indica elemente, sub acestea sunt plasate indicele (de exemplu, un 11 sau un 23). Primul index înseamnă numărul rândului, iar al doilea - numărul coloanei. Pe matrice se pot efectua diverse operații, ca pe orice alt element matematic. Astfel, puteți:
2) Înmulțiți o matrice cu orice număr sau vector.
3) Transpune: transformă rândurile matricei în coloane, iar coloanele în rânduri.
4) Înmulțiți matrice dacă numărul de rânduri ale uneia dintre ele este egal cu numărul de coloane ale celeilalte.
Să discutăm mai detaliat toate aceste tehnici, deoarece ne vor fi utile în viitor. Scăderea și adăugarea matricelor este foarte simplă. Deoarece luăm matrice de aceeași dimensiune, fiecare element al unui tabel se corelează cu fiecare element al celuilalt. Astfel, adunăm (scădem) aceste două elemente (este important ca ele să stea în aceleași locuri în matricele lor). Când înmulțiți o matrice cu un număr sau un vector, pur și simplu înmulți fiecare element al matricei cu acel număr (sau vector). Transpunerea este un proces foarte interesant. E foarte interesant să-l vezi uneori viata reala, de exemplu, la schimbarea orientării unei tablete sau a unui telefon. Pictogramele de pe desktop reprezintă o matrice, iar atunci când poziția se schimbă, aceasta se transpune și devine mai lată, dar scade în înălțime.
Să ne uităm la un alt proces precum: Deși nu vom avea nevoie de el, va fi totuși util să îl cunoaștem. Puteți înmulți două matrice numai dacă numărul de coloane dintr-un tabel este egal cu numărul de rânduri din celălalt. Acum să luăm elementele unui rând dintr-o matrice și elementele coloanei corespunzătoare a alteia. Să le înmulțim unul cu celălalt și apoi să le adunăm (adică, de exemplu, produsul elementelor a 11 și a 12 cu b 12 și b 22 va fi egal cu: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Astfel, se obține un element al tabelului și este completat în continuare folosind o metodă similară.
Acum putem începe să luăm în considerare modul în care este rezolvat un sistem de ecuații liniare.
metoda Gauss
Acest subiect începe să fie tratat în școală. Cunoaștem bine conceptul de „un sistem de două ecuații liniare” și știm cum să le rezolvăm. Dar dacă numărul de ecuații este mai mare de două? Acest lucru ne va ajuta
Desigur, această metodă este convenabilă de utilizat dacă faceți o matrice din sistem. Dar nu trebuie să o transformi și să o rezolvi în forma sa pură.
Deci, cum rezolvă această metodă sistemul de ecuații liniare gaussiene? Apropo, deși această metodă poartă numele lui, a fost descoperită în vremuri străvechi. Gauss propune urmatoarele: sa efectueze operatii cu ecuatii pentru a reduce in final intregul multime la o forma treptata. Adică este necesar ca de sus în jos (dacă este aranjat corect) de la prima ecuație la ultima necunoscută să scadă. Cu alte cuvinte, trebuie să ne asigurăm că obținem, să zicem, trei ecuații: în prima sunt trei necunoscute, în a doua sunt două, în a treia există una. Apoi din ultima ecuație găsim prima necunoscută, înlocuim valoarea acesteia în a doua sau în prima ecuație și apoi găsim celelalte două variabile.
Metoda Cramer
Pentru a stăpâni această metodă, este vital să ai abilitățile de a adăuga și scădea matrice și, de asemenea, trebuie să poți găsi determinanți. Prin urmare, dacă faci toate acestea prost sau nu știi deloc cum, va trebui să înveți și să exersezi.
Care este esența acestei metode și cum se face astfel încât să se obțină un sistem de ecuații liniare Cramer? Totul este foarte simplu. Trebuie să construim o matrice de coeficienți numerici (aproape întotdeauna) ai unui sistem de ecuații algebrice liniare. Pentru a face acest lucru, pur și simplu luăm numerele în fața necunoscutelor și le aranjam într-un tabel în ordinea în care sunt scrise în sistem. Dacă în fața numărului există un semn „-”, atunci notăm un coeficient negativ. Deci, am compilat prima matrice de coeficienți pentru necunoscute, fără a include numerele după semnele egale (în mod firesc, ecuația ar trebui redusă la forma canonică, când numai numărul este în dreapta și toate necunoscutele cu coeficienți sunt pe stanga). Apoi trebuie să creați mai multe matrice - câte una pentru fiecare variabilă. Pentru a face acest lucru, înlocuim fiecare coloană cu coeficienți din prima matrice pe rând cu o coloană de numere după semnul egal. Astfel, obținem mai multe matrice și apoi găsim determinanții acestora.
După ce am găsit determinanții, este o chestiune mică. Avem o matrice inițială și există mai multe matrice rezultate care corespund unor variabile diferite. Pentru a obține soluții ale sistemului, împărțim determinantul tabelului rezultat la determinantul tabelului inițial. Numărul rezultat este valoarea uneia dintre variabile. În mod similar, găsim toate necunoscutele.
Alte metode
Există câteva alte metode de obținere a soluțiilor sistemelor de ecuații liniare. De exemplu, așa-numita metodă Gauss-Jordan, care este folosită pentru a găsi soluții la sistem ecuații pătraticeși este, de asemenea, asociat cu utilizarea matricelor. Există și metoda Jacobi pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Este cel mai ușor de adaptat la un computer și este folosit în calcul.
Cazuri complexe
Complexitatea apare de obicei atunci când numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Atunci putem spune cu siguranță că fie sistemul este inconsecvent (adică nu are rădăcini), fie numărul soluțiilor sale tinde spre infinit. Dacă avem al doilea caz, atunci trebuie să scriem soluția generală a sistemului de ecuații liniare. Acesta va conține cel puțin o variabilă.
Concluzie
Aici ajungem la final. Să rezumam: ne-am dat seama ce sunt un sistem și o matrice și am învățat cum să găsim o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare. În plus, am luat în considerare și alte opțiuni. Am aflat cum să rezolvăm un sistem de ecuații liniare: metoda Gauss și am vorbit cazuri dificileși alte modalități de a găsi soluții.
De fapt, acest subiect este mult mai amplu, iar dacă vrei să-l înțelegi mai bine, îți recomandăm să citești literatură de specialitate.
