Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

In medie educatie generala

Linia UMK G. K. Muravin. Algebra și începuturile analiză matematică(10-11) (adânc)

Linia UMK Merzlyak. Algebra și începuturile analizei (10-11) (U)

Matematică

Pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică (nivel de profil): teme, soluții și explicații

Analizăm sarcini și rezolvăm exemple împreună cu profesorul

Lucrare de examen nivel de profil durează 3 ore 55 minute (235 minute).

Pragul minim- 27 de puncte.

Lucrarea de examen constă din două părți, care diferă ca conținut, complexitate și număr de sarcini.

Caracteristica definitorie a fiecărei părți a lucrării este forma sarcinilor:

partea 1 conține 8 sarcini (sarcinile 1-8) cu un răspuns scurt sub forma unui număr întreg sau a unei fracții zecimale finale;
partea 2 conține 4 sarcini (sarcinile 9-12) cu un răspuns scurt sub forma unui număr întreg sau a unei fracții zecimale finale și 7 sarcini (sarcinile 13-19) cu un răspuns detaliat ( înregistrare completă decizii cu justificarea acțiunilor întreprinse).

Panova Svetlana Anatolevna, profesor de matematică cea mai înaltă categorieșcoli, experiență de muncă 20 ani:

„Pentru a primi un certificat școlar, un absolvent trebuie să susțină două examene obligatorii Formularul de examinare unificată de stat, dintre care una este matematica. În conformitate cu Conceptul de dezvoltare a educației matematice în Federația Rusă Examenul de stat unificat la matematică este împărțit pe două niveluri: de bază și de specialitate. Astăzi ne vom uita la opțiunile la nivel de profil.”

Sarcina nr. 1- testează capacitatea participanților la examenul de stat unificat de a aplica competențele dobândite în cursul claselor a V-a până la a IX-a de matematică elementară în activități practice. Participantul trebuie să aibă abilități de calcul, să poată lucra cu numere raționale, să poată rotunji zecimale, să poată converti o unitate de măsură în alta.

Exemplul 1. Un debitmetru a fost instalat în apartamentul în care locuiește Peter apă rece(tejghea). La 1 mai, contorul arăta un consum de 172 de metri cubi. m de apă, iar la 1 iunie - 177 de metri cubi. m. Ce sumă ar trebui să plătească Peter pentru apă rece în luna mai, dacă prețul este de 1 metru cub? m de apă rece este de 34 de ruble 17 copeici? Dați răspunsul în ruble.

Soluţie:

1) Aflați cantitatea de apă cheltuită pe lună:

177 - 172 = 5 (mc)

2) Să aflăm câți bani vor plăti pentru apa irosită:

34,17 5 = 170,85 (frecare)

Răspuns: 170,85.

Sarcina nr. 2- este una dintre cele mai simple sarcini de examen. Majoritatea absolvenților îi fac față cu succes, ceea ce indică cunoașterea definiției conceptului de funcție. Tipul de sarcină nr. 2 conform codificatorului cerințelor este o sarcină privind utilizarea cunoștințelor și abilităților dobândite în activități practice și Viata de zi cu zi. Sarcina nr. 2 constă în descrierea, folosind funcții, a diverselor relații reale dintre mărimi și interpretarea graficelor acestora. Sarcina nr. 2 testează capacitatea de a extrage informațiile prezentate în tabele, diagrame și grafice. Absolvenții trebuie să fie capabili să determine valoarea unei funcții prin valoarea argumentului ei când în diverse moduri specificarea unei funcții și descrierea comportamentului și proprietăților funcției pe baza graficului acesteia. De asemenea, trebuie să poți găsi cel mai mare sau cea mai mică valoareși construiți grafice ale funcțiilor studiate. Erorile făcute sunt aleatorii la citirea condițiilor problemei, citirea diagramei.

#ADVERTISING_INSERT#

Exemplul 2. Figura arată modificarea valorii de schimb a unei acțiuni a unei companii miniere în prima jumătate a lunii aprilie 2017. Pe 7 aprilie, omul de afaceri a achiziționat 1.000 de acțiuni ale acestei companii. Pe 10 aprilie a vândut trei sferturi din acțiunile cumpărate, iar pe 13 aprilie a vândut toate acțiunile rămase. Cât a pierdut omul de afaceri în urma acestor operațiuni?

Soluţie:

2) 1000 · 3/4 = 750 (acțiuni) - constituie 3/4 din totalul acțiunilor cumpărate.

6) 247500 + 77500 = 325000 (frec) - omul de afaceri a primit 1000 de acțiuni după vânzare.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (frec) - omul de afaceri a pierdut în urma tuturor operațiunilor.

Răspuns: 15000.

Sarcina nr. 3- este o sarcină la nivelul de bază al primei părți, testează capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice asupra conținutului cursului „Planimetrie”. Sarcina 3 testează capacitatea de a calcula aria unei figuri pe hârtie în carouri, capacitatea de a calcula măsuri de grad unghiuri, calculează perimetre etc.

Exemplul 3. Găsiți aria unui dreptunghi desenat pe hârtie în carouri cu o dimensiune a celulei de 1 cm pe 1 cm (vezi figura). Dați răspunsul în centimetri pătrați.

Soluţie: Pentru a calcula aria unei figuri date, puteți utiliza formula de vârf:

Pentru a calcula aria unui dreptunghi dat, folosim formula lui Peak:

S= B +	G
	2

unde B = 10, G = 6, prin urmare

S = 18 +	6
	2

Răspuns: 20.

Citește și: Examen de stat unificat la fizică: rezolvarea problemelor despre oscilații

Sarcina nr. 4- obiectivul cursului „Teoria probabilității și statistică”. Este testată capacitatea de a calcula probabilitatea unui eveniment în cea mai simplă situație.

Exemplul 4. Pe cerc sunt marcate 5 puncte roșii și 1 albastru. Determinați care poligoane sunt mai mari: cele cu toate vârfurile roșii sau cele cu unul dintre vârfurile albastru. În răspunsul dvs., indicați câte sunt mai multe dintre unele decât altele.

Soluţie: 1) Să folosim formula pentru numărul de combinații ale n elemente prin k:

ale căror vârfuri sunt toate roșii.

3) Un pentagon cu toate vârfurile roșii.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligoane cu toate vârfurile roșii.

care au vârfuri roșii sau cu un vârf albastru.

8) Un hexagon cu vârfuri roșii și un vârf albastru.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 de poligoane cu toate vârfurile roșii sau un vârf albastru.

10) 42 – 16 = 26 de poligoane folosind punctul albastru.

11) 26 – 16 = 10 poligoane – câte mai multe poligoane în care unul dintre vârfuri este un punct albastru există decât poligoane în care toate vârfurile sunt doar roșii.

Răspuns: 10.

Sarcina nr. 5- nivelul de bază al primei părți testează capacitatea de a rezolva cele mai simple ecuații (iraționale, exponențiale, trigonometrice, logaritmice).

Exemplul 5. Rezolvați ecuația 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Soluţie.Împărțiți ambele părți ale acestei ecuații la 5 3 + X≠ 0, obținem

2 3 + X	= 0,4 sau		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

de unde rezultă că 3 + X = 1, X = –2.

Răspuns: –2.

Sarcina nr. 6în planimetrie pentru a găsi mărimi geometrice (lungimi, unghiuri, arii), modelând situații reale în limbajul geometriei. Studiul modelelor construite folosind concepte geometriceși teoreme. Sursa dificultăților este, de regulă, ignoranța sau aplicarea incorectă a teoremelor necesare de planimetrie.

Aria unui triunghi ABC este egal cu 129. DE– linia mediană paralelă cu laterala AB. Găsiți aria trapezului UN PAT.

Soluţie. Triunghi CDE asemănător cu un triunghi TAXI la două unghiuri, deoarece unghiul de la vârf C general, unghi СDE egal cu unghiul TAXI ca unghiurile corespunzătoare la DE || AB secantă A.C.. Deoarece DE este linia de mijloc a unui triunghi după condiție, apoi după proprietatea dreptei de mijloc | DE = (1/2)AB. Aceasta înseamnă că coeficientul de similitudine este 0,5. Prin urmare, ariile figurilor similare sunt legate ca pătratul coeficientului de similaritate

Prin urmare, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Sarcina nr. 7- verifică aplicarea derivatei la studiul unei funcţii. Implementarea cu succes necesită cunoaștere semnificativă, non-formală a conceptului de derivat.

Exemplul 7. La graficul funcției y = f(X) în punctul de abscisă X 0 se trasează o tangentă perpendiculară pe dreapta care trece prin punctele (4; 3) și (3; –1) ale acestui grafic. Găsi f′( X 0).

Soluţie. 1) Să folosim ecuația unei drepte care trece prin două puncte date și să găsim ecuația unei drepte care trece prin punctele (4; 3) și (3; –1).

(y – y 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–y + 3 = –4X+ 16| · (-1)

y – 3 = 4X – 16

y = 4X– 13, unde k 1 = 4.

2) Aflați panta tangentei k 2, care este perpendicular pe dreapta y = 4X– 13, unde k 1 = 4, după formula:

3) Factorul de pantă tangentă – derivată a funcției în punctul de tangență. Mijloace, f′( X 0) = k 2 = –0,25.

Răspuns: –0,25.

Sarcina nr. 8- testează cunoștințele participanților la examen de stereometrie elementară, capacitatea de a aplica formule pentru găsirea suprafețelor și volumelor figurilor, unghiurilor diedrice, compara volumele unor figuri similare, a putea efectua acțiuni cu figuri geometrice, coordonate și vectori etc.

Volumul unui cub circumscris unei sfere este de 216. Aflați raza sferei.

Soluţie. 1) V cub = A 3 (unde A– lungimea muchiei cubului), prin urmare

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Deoarece sfera este înscrisă într-un cub, înseamnă că lungimea diametrului sferei este egală cu lungimea muchiei cubului, prin urmare d = A, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Sarcina nr. 9- cere absolventului să aibă abilități de transformare și simplificare expresii algebrice. Sarcina nr. 9 nivel mai înalt Dificultate cu un răspuns scurt. Sarcinile din secțiunea „Calcule și transformări” din Examenul de stat unificat sunt împărțite în mai multe tipuri:

transformarea expresiilor raționale numerice;

conversia expresiilor și fracțiilor algebrice;

conversia expresiilor iraționale numerice/litere;

acțiuni cu grade;

conversia expresiilor logaritmice;

conversia expresiilor trigonometrice numerice/litere.

Exemplul 9. Calculați tanα dacă se știe că cos2α = 0,6 și

3π	< α < π.
4

Soluţie. 1) Să folosim formula argumentului dublu: cos2α = 2 cos 2 α – 1 și găsim

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Aceasta înseamnă tan 2 α = ± 0,5.

3) După condiție

3π	< α < π,
4

aceasta înseamnă că α este unghiul celui de-al doilea sfert și tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Răspuns: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Sarcina nr. 10- testează capacitatea elevilor de a utiliza cunoștințele și abilitățile dobândite timpurii în activități practice și viața de zi cu zi. Putem spune că acestea sunt probleme de fizică, și nu de matematică, dar toate formulele și cantitățile necesare sunt date în condiție. Problemele se reduc la rezolvarea liniară sau ecuație pătratică, fie liniară, fie inegalitatea pătratică. Prin urmare, este necesar să puteți rezolva astfel de ecuații și inegalități și să determinați răspunsul. Răspunsul trebuie dat ca număr întreg sau fracție zecimală finită.

Două corpuri de masă m= 2 kg fiecare, deplasându-se cu aceeași viteză v= 10 m/s la un unghi de 2α unul față de celălalt. Energia (în jouli) eliberată în timpul ciocnirii lor absolut inelastice este determinată de expresie Q = mv 2 sin 2 α. La ce unghi cel mai mic 2α (în grade) trebuie să se miște corpurile astfel încât cel puțin 50 de jouli să fie eliberați ca urmare a coliziunii?
Soluţie. Pentru a rezolva problema, trebuie să rezolvăm inegalitatea Q ≥ 50, pe intervalul 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Deoarece α ∈ (0°; 90°), vom rezolva doar

Să reprezentăm grafic soluția inegalității:

Deoarece prin condiția α ∈ (0°; 90°), înseamnă 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Sarcina nr. 11- este tipic, dar se dovedește a fi dificil pentru elevi. Principala sursă de dificultate este construcția unui model matematic (întocmirea unei ecuații). Sarcina nr. 11 testează capacitatea de a rezolva probleme cu cuvinte.

Exemplul 11.În vacanța de primăvară, Vasya, de clasa a XI-a, a trebuit să rezolve 560 de probleme de practică pentru a se pregăti pentru examenul de stat unificat. Pe 18 martie, în ultima zi de școală, Vasya a rezolvat 5 probleme. Apoi în fiecare zi a rezolvat tot atâtea probleme decât în ziua precedentă. Stabiliți câte probleme a rezolvat Vasya pe 2 aprilie, ultima zi de sărbători.

Soluţie: Să notăm A 1 = 5 – numărul de probleme pe care Vasya le-a rezolvat pe 18 martie, d– numărul zilnic de sarcini rezolvate de Vasya, n= 16 – numărul de zile din 18 martie până în 2 aprilie inclusiv, S 16 = 560 – numărul total de sarcini, A 16 – numărul de probleme pe care Vasya le-a rezolvat pe 2 aprilie. Știind că în fiecare zi Vasya a rezolvat același număr de probleme mai mult față de ziua precedentă, putem folosi formule pentru găsirea sumei progresie aritmetică:

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Răspuns: 65.

Sarcina nr. 12- testează capacitatea elevilor de a efectua operații cu funcții și de a putea aplica derivata studiului unei funcții.

Găsiți punctul maxim al funcției y= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Soluţie: 1) Găsiți domeniul de definiție al funcției: X + 9 > 0, X> –9, adică x ∈ (–9; ∞).

2) Aflați derivata funcției:

4) Punctul găsit aparține intervalului (–9; ∞). Să determinăm semnele derivatei funcției și să descriem comportamentul funcției în figură:

Punctul maxim dorit X = –8.

Descarcă gratuit programul de lucru la matematică pentru linia de materiale didactice G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Descărcați materiale didactice gratuite despre algebră

Sarcina nr. 13-nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat, testarea capacității de a rezolva ecuații, cea mai bine rezolvată dintre sarcinile cu un răspuns detaliat de un nivel crescut de complexitate.

a) Rezolvați ecuația 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului.

Soluţie: a) Fie log 3 (2cos X) = t, apoi 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

log 3(2cos X) =	2	⇔	2cos X = 9	⇔	cos X =	4,5	⇔ pentru că \|cos X\| ≤ 1,

log 3(2cos X) =	1		2cos X = √3		cos X =	√3
	2					2

apoi cos X =	√3
	2

X =	π	+ 2π k
	6

X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
	6

b) Aflați rădăcinile situate pe segmentul .

Figura arată că rădăcinile segmentului dat îi aparțin

11π	Și	13π	.
6		6

Răspuns: A)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Sarcina nr. 14-nivelul avansat se referă la sarcinile din partea a doua cu un răspuns detaliat. Sarcina testează capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice. Sarcina conține două puncte. În primul punct, sarcina trebuie dovedită, iar în al doilea punct, calculată.

Diametrul cercului bazei cilindrului este de 20, generatria cilindrului este de 28. Planul își intersectează baza de-a lungul coardelor de lungime 12 și 16. Distanța dintre coarde este de 2√197.

a) Demonstrați că centrele bazelor cilindrului se află pe o parte a acestui plan.

b) Aflați unghiul dintre acest plan și planul bazei cilindrului.

Soluţie: a) O coardă cu lungimea 12 se află la o distanță = 8 de centrul cercului de bază, iar o coardă cu lungimea 16, în mod similar, se află la o distanță de 6. Prin urmare, distanța dintre proiecțiile lor pe plan este paralel cu bazele cilindri este fie 8 + 6 = 14, fie 8 − 6 = 2.

Atunci distanța dintre acorduri este fie

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Conform condiției, a fost realizat al doilea caz, în care proiecțiile coardelor se află pe o parte a axei cilindrului. Aceasta înseamnă că axa nu intersectează acest plan în interiorul cilindrului, adică bazele se află pe o parte a acestuia. Ce trebuia dovedit.

b) Să notăm centrele bazelor ca O 1 și O 2. Să desenăm din centrul bazei cu o coardă de lungime 12 o bisectoare perpendiculară pe această coardă (are lungimea 8, după cum s-a menționat deja) și de la centrul celeilalte baze la cealaltă coardă. Ele se află în același plan β, perpendicular pe aceste coarde. Să numim punctul de mijloc al coardei mai mici B, coardei mai mari A și proiecția lui A pe a doua bază - H (H ∈ β). Atunci AB,AH ∈ β și deci AB,AH sunt perpendiculare pe coardă, adică dreapta de intersecție a bazei cu planul dat.

Aceasta înseamnă că unghiul necesar este egal cu

∠ABH = arctan	AH.	= arctan	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

Sarcina nr. 15- nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat, testează capacitatea de a rezolva inegalitățile, care este rezolvată cel mai cu succes dintre sarcinile cu un răspuns detaliat de un nivel crescut de complexitate.

Exemplul 15. Rezolvați inegalitatea | X 2 – 3X| jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Soluţie: Domeniul de definire al acestei inegalități este intervalul (–1; +∞). Luați în considerare trei cazuri separat:

1) Lasă X 2 – 3X= 0, adică X= 0 sau X= 3. În acest caz, această inegalitate devine adevărată, prin urmare, aceste valori sunt incluse în soluție.

2) Lasă acum X 2 – 3X> 0, adică X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Mai mult, această inegalitate poate fi rescrisă ca ( X 2 – 3X) jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 și împărțiți cu o expresie pozitivă X 2 – 3X. Obținem jurnalul 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 sau X≤ –0,5. Ținând cont de domeniul definiției, avem X ∈ (–1; –0,5].

3) În cele din urmă, luați în considerare X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). În acest caz, inegalitatea inițială va fi rescrisă sub forma (3 X – X 2) jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. După împărțirea la pozitiv 3 X – X 2, obținem log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Ținând cont de regiune, avem X ∈ (0; 1].

Combinând soluțiile obținute, obținem X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Răspuns: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Sarcina nr. 16- nivelul avansat se referă la sarcinile din partea a doua cu un răspuns detaliat. Sarcina testează capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice, coordonate și vectori. Sarcina conține două puncte. În primul punct, sarcina trebuie dovedită, iar în al doilea punct, calculată.

Într-un triunghi isoscel ABC cu un unghi de 120°, bisectoarea BD este trasată la vârful A. Dreptunghiul DEFH este înscris în triunghiul ABC, astfel încât latura FH se află pe segmentul BC, iar vârful E se află pe segmentul AB. a) Demonstrați că FH = 2DH. b) Aflați aria dreptunghiului DEFH dacă AB = 4.

Soluţie: A)

1) ΔBEF – dreptunghiular, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, apoi EF = BE prin proprietatea piciorului situat opus unghiului de 30°.

2) Fie EF = DH = X, atunci BE = 2 X, BF = X√3 conform teoremei lui Pitagora.

3) Deoarece ΔABC este isoscel, înseamnă ∠B = ∠C = 30˚.

BD este bisectoarea lui ∠B, ceea ce înseamnă ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Se consideră ΔDBH – dreptunghiular, deoarece DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – X
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Răspuns: 24 – 12√3.

Sarcina nr. 17- o sarcină cu un răspuns detaliat, această sarcină testează aplicarea cunoștințelor și abilităților în activități practice și viața de zi cu zi, capacitatea de a construi și explora modele matematice. Această sarcină este o problemă de text cu conținut economic.

Exemplul 17. Un depozit de 20 de milioane de ruble este planificat să fie deschis pentru patru ani. La sfârșitul fiecărui an, banca crește depozitul cu 10% față de mărimea acestuia la începutul anului. În plus, la începutul celui de-al treilea și al patrulea an, investitorul completează anual depozitul până la X milioane de ruble, unde X - întreg număr. Găsi cea mai mare valoare X, în care banca va acumula mai puțin de 17 milioane de ruble la depozit pe parcursul a patru ani.

Soluţie: La sfârșitul primului an, contribuția va fi de 20 + 20 · 0,1 = 22 de milioane de ruble, iar la sfârșitul celui de-al doilea - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milioane de ruble. La începutul celui de-al treilea an, contribuția (în milioane de ruble) va fi (24,2 + X), iar la sfârșit - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). La începutul celui de-al patrulea an contribuția va fi (26,62 + 2,1 X), iar la sfârșit - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0,1 = (29,282 + 2,31 X). După condiție, trebuie să găsiți cel mai mare număr întreg x pentru care inegalitatea este valabilă

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Cea mai mare soluție întreagă a acestei inegalități este numărul 24.

Răspuns: 24.

Sarcina nr. 18- o sarcină de un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat. Această sarcină este destinată selecției competitive în universități cu cerințe crescute pentru pregătirea matematică a candidaților. O sarcină de un nivel ridicat de complexitate este o sarcină nu pe utilizarea unei metode de soluție, ci pe o combinație diverse metode. Pentru a finaliza cu succes sarcina 18, pe lângă cunoștințe matematice solide, mai aveți nevoie nivel inalt cultura matematica.

La ce A sistem de inegalități

	X 2 + y 2 ≤ 2Ay – A 2 + 1

	y + A ≤ \|X\| – A

are exact doua solutii?

Soluţie: Acest sistem poate fi rescris sub formă

	X 2 + (y– A) 2 ≤ 1

	y ≤ \|X\| – A

Dacă desenăm în plan mulțimea soluțiilor primei inegalități, obținem interiorul unui cerc (cu graniță) de rază 1 cu centru în punctul (0, A). Mulțimea soluțiilor celei de-a doua inegalități este partea de plan aflată sub graficul funcției y = | X| – A, iar acesta din urmă este graficul funcției
y = | X| , deplasat în jos de A. Soluția acestui sistem este intersecția mulțimilor de soluții pentru fiecare dintre inegalități.

În consecință, acest sistem va avea două soluții doar în cazul prezentat în Fig. 1.

Punctele de contact ale cercului cu liniile vor fi cele două soluții ale sistemului. Fiecare dintre liniile drepte este înclinată față de axe la un unghi de 45°. Deci este un triunghi PQR– isoscel dreptunghiular. Punct Q are coordonatele (0, A), și punctul R– coordonate (0, – A). În plus, segmentele relatii cu publiculȘi PQ egală cu raza cercului egală cu 1. Aceasta înseamnă

Qr= 2A = √2, A =	√2	.
	2

Răspuns: A =	√2	.
	2

Sarcina nr. 19- o sarcină de un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat. Această sarcină este destinată selecției competitive în universități cu cerințe crescute pentru pregătirea matematică a candidaților. O sarcină de un nivel ridicat de complexitate este o sarcină nu pe utilizarea unei metode de soluție, ci pe o combinație de diferite metode. Pentru a finaliza cu succes sarcina 19, trebuie să fiți capabil să căutați o soluție, alegând diferite abordări dintre cele cunoscute și modificând metodele studiate.

Lăsa Sn sumă P termenii unei progresii aritmetice ( a p). Se știe că S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Furnizați formula P al treilea termen al acestei progresii.

b) Aflați cea mai mică sumă absolută S n.

c) Găsiți cel mai mic P, la care S n va fi pătratul unui număr întreg.

Soluţie: a) Este evident că un n = S n – S n- 1 . Folosind această formulă, obținem:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Mijloace, un n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Din moment ce S n = 2n 2 – 25n, apoi luați în considerare funcția S(X) = | 2X 2 – 25x|. Graficul său poate fi văzut în figură.

Evident, cea mai mică valoare este obținută în punctele întregi situate cel mai aproape de zerourile funcției. Evident, acestea sunt puncte X= 1, X= 12 și X= 13. Din moment ce, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, atunci cea mai mică valoare este 12.

c) Din paragraful precedent rezultă că Sn pozitiv, pornind de la n= 13. Din moment ce S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), atunci cazul evident, când această expresie este un pătrat perfect, se realizează când n = 2n– 25, adică la P= 25.

Rămâne de verificat valorile de la 13 la 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Se pare că pentru valori mai mici P Patrat perfect nu este realizat.

Răspuns: A) un n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Din mai 2017, grupul de edituri unite „DROFA-VENTANA” face parte din corporația Russian Textbook. Corporația include și editura Astrel și platforma educațională digitală LECTA. Director general l-a numit pe Alexander Brychkin, absolvent al Academiei Financiare din cadrul Guvernului Federației Ruse, candidat la științe economice, șef al proiectelor inovatoare al editurii „DROFA” în domeniul educației digitale ( formulare electronice manuale, Școala electronică rusă, platforma educațională digitală LECTA). Înainte de a se alătura editurii DROFA, a ocupat funcția de vicepreședinte pt dezvoltare strategicăși investițiile holdingului editorial „EXMO-AST”. Astăzi, Russian Textbook Publishing Corporation are cel mai mare portofoliu de manuale incluse în Lista Federală - 485 de titluri (aproximativ 40%, excluzând manualele pentru şcoală corecţională). Editurile corporației dețin cele mai populare seturi de manuale din școlile rusești de fizică, desen, biologie, chimie, tehnologie, geografie, astronomie - domenii de cunoaștere care sunt necesare pentru dezvoltarea potențialului productiv al țării. Portofoliul corporației include manuale și mijloace didactice Pentru școală primară, distins cu Premiul Prezidenţial în domeniul educaţiei. Acestea sunt manuale și manuale în domenii care sunt necesare pentru dezvoltarea potențialului științific, tehnic și de producție al Rusiei.

Nu sunt modificări la Examenul Unificat de Stat la matematică la nivel de profil în 2019 - programul de examen, ca și în anii anteriori, este compus din materiale din principalele discipline matematice. Biletele vor conține probleme matematice, geometrice și algebrice.

Nu există modificări în examenul de stat unificat KIM 2019 la matematică la nivel de profil.

Caracteristicile sarcinilor de examen de stat unificat la matematică 2019

Când vă pregătiți pentru examenul de stat unificat la matematică (profil), acordați atenție cerințelor de bază ale programului de examen. Este conceput pentru a testa cunoștințele unui program aprofundat: modele vectoriale și matematice, funcții și logaritmi, ecuații algebriceși inegalități.
Separat, exersați rezolvarea problemelor în .
Este important să arăți gândire inovatoare.

Structura examenului

Teme de examen de stat unificat matematică de specialitate împărțit în două blocuri.

Partea - răspunsuri scurte, include 8 sarcini care testează de bază pregătire matematicăși capacitatea de a aplica cunoștințele de matematică în viața de zi cu zi.
Partea - scurtă şi răspunsuri detaliate. Este format din 11 sarcini, dintre care 4 necesită un răspuns scurt, iar 7 - una detaliată cu argumente pentru acțiunile efectuate.

Dificultate avansată- sarcinile 9-17 din partea a doua a KIM.
Nivel ridicat de dificultate- sarcinile 18-19 –. Această parte a sarcinilor de examen testează nu numai nivelul de cunoștințe matematice, ci și prezența sau absența unei abordări creative pentru rezolvarea sarcinilor „numerice” uscate, precum și eficacitatea capacității de a utiliza cunoștințele și abilitățile ca instrument profesional. .

Important! Prin urmare, în pregătirea pentru Teoria examenului unificat de stat La matematică, susține-i întotdeauna prin rezolvarea unor probleme practice.

Cum vor fi distribuite punctele?

Sarcinile primei părți a KIM în matematică sunt aproape de Teste de examen de stat unificat nivel de bază, deci este imposibil să obțineți un scor mare la ele.

Punctele pentru fiecare sarcină la matematică la nivel de profil au fost distribuite după cum urmează:

pentru răspunsuri corecte la problemele nr. 1-12 - 1 punct;
Nr. 13-15 – câte 2;
Nr. 16-17 – câte 3;
Nr. 18-19 – câte 4.

Durata examenului și regulile de conduită pentru examenul de stat unificat

Pentru a finaliza lucrarea de examen -2019 studentul este repartizat 3 ore 55 minute(235 minute).

În acest timp, elevul nu trebuie să:

se comportă zgomotos;
folosiți gadgeturi și alte mijloace tehnice;
achita;
încearcă să-i ajuți pe alții sau cere ajutor pentru tine.

Pentru astfel de acțiuni, examinatorul poate fi expulzat din sala de clasă.

Pe Examen de stat matematică permis să aducă Aduceți cu dvs. doar o riglă; restul materialelor vă vor fi date imediat înainte de examenul de stat unificat. sunt emise pe loc.

Pregătire eficientă- asta e solutia teste online la matematică 2019. Alegeți și obțineți punctajul maxim!

Examenul de stat unificat la matematică (profil) este opțional. Acest examen este necesar pentru cei care intenționează să studieze în continuare această disciplină, să intre la Facultatea de Economie, Matematică sau să își continue studiile la universități tehnice. Nivelul de profil, spre deosebire de nivelul de bază, necesită cunoștințe aprofundate. Examenul se concentrează pe competențe aplicație practică abilități dobândite de-a lungul anilor de studiu, dar cunoștințele de teorie pentru examenul unificat de stat la matematică nu sunt mai puțin importante.

Ce vrei să știi?

Ca și în cazul promovarea examenului de stat unificat un nivel de bază va necesita cunoștințe dobândite la cursurile școlare de algebră și geometrie, capacitatea de a lucra cu diverse inegalități și ecuații, să fie fluent în terminologie și să cunoască algoritmi pentru rezolvarea diverselor probleme. Pentru a îndeplini cu succes sarcini de complexitate crescută, sunt necesare cunoștințe în următoarele domenii:

planimetrie;
inegalități;
interes;
progresie;
stereometrie;
ecuații;
sisteme parametrice, ecuații, inegalități;
matematica financiara.

Este imposibil să faci fără teorie în procesul de pregătire: fără a cunoaște regulile, axiomele și teoremele, este imposibil să rezolvi cele prezentate în lucrări de examen sarcini. În același timp, ar fi o greșeală să studiezi teoria în detrimentul practicii. Simpla memorare a regulilor nu va ajuta la examen - este important să dezvoltați și să îmbunătățiți capacitatea de a aplica cunoștințele dobândite atunci când rezolvați probleme.

Cum să te pregătești pentru examen?

Este mai bine să începeți pregătirea pentru examen de la început an scolar. În acest caz, puteți trece calm, fără grabă, prin toate secțiunile, apoi le repetați, reîmprospătându-vă cunoștințele imediat înainte de testare.

Metoda clasică de pregătire - pur și simplu citirea unui manual la rând, memorarea regulilor - este ineficientă. Pentru a vă aminti informațiile, trebuie să le înțelegeți. Puteți, de exemplu, să încercați, după ce ați citit regula, să o repovestiți cu propriile cuvinte sau să vi-l explicați. Această abordare vă permite să vă amintiți mult timp ceea ce ați citit.

Formulele și axiomele individuale vor trebui memorate. Pentru a ușura procesul de memorare, trebuie să vă asigurați că datele necesare sunt vizibile în orice moment - pe peretele de lângă pat, în baie, pe frigider, deasupra biroului. Dacă tabelele cu formule sunt mereu în fața ochilor tăi, treptat vor fi amintite fără prea mult efort.

Cei care se pregătesc pentru Examenul Unificat de Stat nu singuri, ci în compania altor absolvenți, pot fi sfătuiți să-și explice teoria unul altuia. Această metodă disciplinează și ajută la o mai bună înțelegere a materialului.

Facand sarcini practice Este necesar să se analizeze cele mai frecvente erori. Dacă acestea sunt asociate nu cu neatenția, ci cu ignorarea anumitor reguli, este important să studiem cu atenție astfel de subiecte. Întreaga teorie este structurată, iar căutarea regulile necesare va dura un minim de timp.

Teoria este importantă, dar practica este indispensabilă. În timpul examenului, este testată capacitatea de a aplica cunoștințele dobândite. Este necesar să exersați, exersând aceiași algoritmi din nou și din nou, repetând aceleași subiecte, până când finalizarea sarcinilor încetează să provoace dificultăți. Fără aplicare practică, cunoștințele sunt inutile și ușor de uitat.

Vă dorim succes în studierea teoriei și aplicarea cunoștințelor dobândite la examen!

Examenul Unificat de Stat la matematică este una dintre principalele teste pentru absolvenții de școală înainte de a primi un certificat și de a intra într-o instituție de învățământ superior. Acest tip de control al cunoștințelor este utilizat pentru evaluarea cunoștințelor la discipline dobândite în timpul școlarizării. Examenul Unificat de Stat ia forma testării, sarcinile pentru proba finală sunt pregătite de Rosobrnadzor și alte organisme autorizate din domeniul educației. Nota de trecere la matematică depinde de cerințele individuale ale universității la care se aplică.absolvent. Trecere cu succes examenul cu un scor mare este un factor important pentru succesul la admitere.

Matematica la nivel de profil este necesară pentru admiterea la universitățile tehnice și economice. Baza sarcinilor de examinare este un nivel de bază al, au fost adăugate mai multe sarcini complexe si exemple. Sunt așteptate răspunsuri scurte și detaliate:

Primele sarcini nu necesită cunoștințe aprofundate - acesta este un test de cunoștințe de nivel de bază;
Următoarele 5 sunt mai dificile, necesitând un nivel mediu până la înalt de stăpânire a subiectului. Aceste sarcini sunt verificate folosind un computer deoarece răspunsul este scurt.

Pentru ultimele șapte sarcini sunt necesare răspunsuri lungi. Un grup de experți este adunat pentru verificare. Principalul lucru este că, în ciuda complexității sarcinilor care sunt incluse în nivelul de profil, acestea respectă pe deplin curiculumul scolar. De ce ar putea fi dificile? Pentru a rezolva cu succes aceste exemple și probleme, sunt necesare nu numai cunoștințe seci, ci și capacitatea de a aborda creativ soluția, de a aplica cunoștințele în situatie anormala. Formularea este cea care provoacă dificultatea.

Dacă un student alege acest nivel, aceasta implică dorința lui de a continua studiile științelor exacte în învățământul superior. instituție educațională. Alegerea în favoarea unui examen de specialitate indică, de asemenea, că nivelul de cunoștințe al studentului este destul de ridicat, cu alte cuvinte, nu este necesară pregătirea fundamentală.
Procesul de pregătire include repetarea secțiunilor principale, rezolvarea problemelor de complexitate crescută care necesită o abordare non-standard, creativă.

Metode de preparare

Formarea de bază se efectuează la școală, unde elevul stăpânește elementele de bază, uneori profesorul efectuează opțiuni suplimentare pentru absolvenți. Principala recomandare este să stăpânești cu atenție și temeinic toate subiectele, în special la școala absolventă.
Munca independentă: aceasta necesită o autodisciplină specială, voință și autocontrol. Trebuie să citiți cu atenție . Problema este în direcție - doar un specialist poate îndruma în mod competent viitorul solicitant către acele subiecte care necesită atenție.
Tutorat: un specialist profesionist vă va ajuta să rezolvați sarcini complexe în mod eficient și rapid.
Cursuri și învățare online: o metodă modernă și dovedită care economisește timp și bani. Un avantaj important: puteți susține teste online, puteți obține rapid răspunsuri și puteți practica diferite sarcini.

„Voi rezolva Examenul Unificat de Stat la matematică la nivel de specialitate” este o oportunitate de a te pregăti pentru examen și de a-l promova cu succes.