Sisteme de ecuații liniare pentru manechine. Metoda gaussiană pentru rezolvarea matricelor. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Soluție de sisteme ecuații liniare metoda Gauss. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la sistem din n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi eliminarea x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua, este exclus în continuare x 2 din toate ecuațiile, începând cu a treia și așa mai departe, până când doar variabila necunoscută rămâne în ultima ecuație x n. Acest proces de transformare a ecuațiilor unui sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește folosind metoda Gaussiană directă. După finalizarea progresiei înainte a metodei gaussiene, din ultima ecuație găsim x n, folosind această valoare din penultima ecuație pe care o calculăm xn-1, și așa mai departe, din prima ecuație pe care o găsim x 1. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem întotdeauna realiza acest lucru prin interschimbarea ecuațiilor sistemului. Eliminați variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe primul, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am ajunge la același rezultat dacă ne-am exprima x 1 prin alte variabile necunoscute din prima ecuație a sistemului și expresia rezultată a fost înlocuită în toate celelalte ecuații. Deci variabila x 1 exclus din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului adăugăm a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație adăugăm a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe al doilea, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Deci variabila x 2 exclus din toate ecuațiile începând cu a treia.

Apoi trecem la eliminarea necunoscutului x 3, în acest caz procedăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca, folosind valoarea obținută x n găsim xn-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

Una dintre metodele universale și eficiente de rezolvare a sistemelor algebrice liniare este metoda gaussiana , constând în eliminarea secvenţială a necunoscutelor.

Amintiți-vă că cele două sisteme sunt numite echivalent (echivalent) dacă mulțimile soluțiilor lor coincid. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers. Sistemele echivalente se obţin atunci când transformări elementare ecuațiile sistemului:

înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un alt număr decât zero;

adăugarea la o ecuație a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu un alt număr decât zero;

rearanjarea a două ecuații.

Să fie dat un sistem de ecuații

Procesul de rezolvare a acestui sistem folosind metoda Gauss constă din două etape. În prima etapă (mișcarea directă), sistemul, folosind transformări elementare, se reduce la treptat , sau triunghiular forma, iar la a doua etapă (invers) are loc o determinare secvenţială, începând de la ultimul număr variabil, a necunoscutelor din sistemul treptat rezultat.

Să presupunem că coeficientul acestui sistem
, altfel în sistem primul rând poate fi schimbat cu orice alt rând, astfel încât coeficientul de la era diferit de zero.

Să transformăm sistemul eliminând necunoscutul în toate ecuaţiile cu excepţia primei. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului. Apoi înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și se adaugă la a treia ecuație a sistemului. Continuând acest proces, obținem sistemul echivalent

Aici
– noi valori ale coeficienților și termenilor liberi care se obțin după primul pas.

În mod similar, luând în considerare elementul principal
, excludeți necunoscutul din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei și a doua. Să continuăm acest proces cât mai mult posibil și, ca urmare, vom obține un sistem treptat

Unde ,
,…,– elementele principale ale sistemului
.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă în trepte, apar ecuații, adică egalități de formă
, sunt aruncate deoarece sunt satisfăcute de orice set de numere
.
Dacă la va apărea ecuația formei

În timpul cursei inverse, prima necunoscută este exprimată din ultima ecuație a sistemului de trepte transformat prin toate celelalte necunoscute
care sunt numite gratuit . Apoi expresia variabilă din ultima ecuație a sistemului se substituie în penultima ecuație și variabila este exprimată din aceasta
. Variabilele sunt definite secvenţial într-un mod similar
. Variabile
, exprimate prin variabile libere, sunt numite de bază (dependent). Rezultatul este o soluție generală a sistemului de ecuații liniare.

Pentru a găsi soluție privată sisteme, liber necunoscut
în soluția generală se atribuie valori arbitrare și se calculează valorile variabilelor
.

Este mai convenabil din punct de vedere tehnic să supunem transformărilor elementare nu ecuațiile sistemului în sine, ci matricea extinsă a sistemului

Metoda Gauss este o metodă universală care vă permite să rezolvați nu numai sisteme pătrate, ci și dreptunghiulare în care numărul de necunoscute
nu este egal cu numărul de ecuații
.

Avantajul acestei metode este, de asemenea, că în procesul de rezolvare examinăm simultan sistemul pentru compatibilitate, deoarece, având în vedere matricea extinsă
pentru a forma treptat, este ușor să determinați rangurile matricei și matrice extinsă
si aplica Teorema Kronecker-Capelli .

Exemplul 2.1 Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss

Soluţie. Numărul de ecuații
și numărul de necunoscute
.

Să creăm o matrice extinsă a sistemului prin alocarea de coeficienți în dreapta matricei coloana membrilor liberi .

Să prezentăm matricea la o vedere triunghiulară; Pentru a face acest lucru, vom obține „0” sub elementele situate pe diagonala principală folosind transformări elementare.

Pentru a obține „0” în a doua poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-1) și adăugați-l la al doilea rând.

Scriem această transformare ca număr (-1) pe prima linie și o notăm cu o săgeată care merge de la prima linie la a doua linie.

Pentru a obține „0” în a treia poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-3) și adăugați la al treilea rând; Să arătăm această acțiune folosind o săgeată care merge de la prima linie la a treia.

În matricea rezultată, scrisă a doua în lanțul de matrici, obținem „0” în a doua coloană în a treia poziția. Pentru a face acest lucru, am înmulțit a doua linie cu (-4) și am adăugat-o la a treia. În matricea rezultată, înmulțiți al doilea rând cu (-1) și împărțiți al treilea cu (-8). Toate elementele acestei matrice aflate sub elementele diagonale sunt zerouri.

Deoarece , sistemul este colaborativ și definit.

Sistemul de ecuații corespunzător ultimei matrice are o formă triunghiulară:

Din ultima (a treia) ecuație
. Înlocuiți în a doua ecuație și obțineți
.

Să înlocuim
Şi
în prima ecuație, găsim

.

Metoda Gauss este ușoară! De ce? Faimosul matematician german Johann Carl Friedrich Gauss, în timpul vieții sale, a primit recunoașterea drept cel mai mare matematician al tuturor timpurilor, un geniu și chiar porecla „Regele matematicii”. Și totul ingenios, după cum știți, este simplu! Apropo, nu numai frații primesc bani, ci și genii - portretul lui Gauss era pe bancnota de 10 mărci germane (înainte de introducerea monedei euro), iar Gauss încă le zâmbește misterios nemților din mărcile poștale obișnuite.

Metoda Gauss este simplă prin faptul că CUNOAȘTEREA UNUI ELEV DE CLASA A V-A ESTE SUFICIENTĂ pentru a o stăpâni. Trebuie să știi să adun și să înmulți! Nu este o coincidență faptul că profesorii iau în considerare adesea metoda de excludere secvențială a necunoscutelor la opțiunile de matematică ale școlii. Este un paradox, dar studenților li se pare că metoda Gauss este cea mai dificilă. Nimic surprinzător - totul ține de tehnică și voi încerca formă accesibilă vorbim despre algoritmul metodei.

În primul rând, să sistematizăm puține cunoștințe despre sistemele de ecuații liniare. Un sistem de ecuații liniare poate:

1) Aveți o soluție unică.
2) Au infinit de soluții.
3) Nu au soluții (fi nearticulată).

Metoda Gauss este cel mai puternic și universal instrument pentru găsirea unei soluții orice sisteme de ecuații liniare. După cum ne amintim, Regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent. Și metoda de eliminare secvențială a necunoscutelor Oricum ne va conduce la răspuns! Pe această lecție Vom lua în considerare din nou metoda Gauss pentru cazul nr. 1 (singura soluție a sistemului), articolul este dedicat situațiilor punctelor nr. 2-3. Observ că algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri.

Să revenim la cel mai simplu sistem din clasa Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?
și rezolvați-l folosind metoda Gaussiană.

Primul pas este să scrieți matrice de sistem extinsă:
. Cred că toată lumea poate vedea după ce principiu se scriu coeficienții. Linia verticală din interiorul matricei nu are nicio semnificație matematică - este pur și simplu o bară pentru ușurință de proiectare.

Referinţă :Vă recomand să vă amintiți termeni algebră liniară. Matricea sistemului este o matrice compusă numai din coeficienți pentru necunoscute, în acest exemplu matricea sistemului: . Matrice de sistem extinsă este aceeași matrice a sistemului plus o coloană de termeni liberi, în în acest caz,: . Pentru concizie, oricare dintre matrice poate fi numită pur și simplu matrice.

După ce matricea extinsă a sistemului este scrisă, este necesar să efectuați câteva acțiuni cu aceasta, care sunt, de asemenea, numite transformări elementare.

Există următoarele transformări elementare:

1) Coarde matrici Can rearanja pe alocuri. De exemplu, în matricea luată în considerare, puteți rearanja fără durere primul și al doilea rând:

2) Dacă există (sau au apărut) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci ar trebui să şterge Toate aceste rânduri sunt din matrice, cu excepția unuia. Luați în considerare, de exemplu, matricea . În această matrice, ultimele trei rânduri sunt proporționale, deci este suficient să lăsați doar unul dintre ele: .

3) Dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el şterge. Nu voi desena, desigur, linia zero este linia în care toate zerourile.

4) Rândul matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice număr diferit de zero. Luați în considerare, de exemplu, matricea . Aici este recomandabil să împărțiți prima linie cu –3 și să înmulțiți a doua linie cu 2: . Această acțiune este foarte utilă deoarece simplifică transformările ulterioare ale matricei.

5) Această transformare provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt nici nu este nimic complicat. La un rând de matrice puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero. Să ne uităm la matricea noastră dintr-un exemplu practic: . Mai întâi voi descrie transformarea în detaliu. Înmulțiți prima linie cu –2: , Și la a doua linie adunăm prima linie înmulțită cu –2: . Acum prima linie poate fi împărțită „înapoi” cu –2: . După cum puteți vedea, linia care este ADAUGĂ LI – nu s-a schimbat. Întotdeauna linia LA CARE SE ADAUGĂ se modifică UT.

În practică, desigur, nu o scriu atât de detaliat, ci o scriu pe scurt:

Încă o dată: la a doua linie a adăugat prima linie înmulțită cu –2. O linie este de obicei înmulțită oral sau pe o schiță, procesul de calcul mental mergând cam așa:

„Rescriu matricea și rescriu prima linie: »

„Prima coloană. În partea de jos trebuie să obțin zero. Prin urmare, îl înmulțesc pe cel de sus cu –2: , și îl adaug pe primul la a doua linie: 2 + (–2) = 0. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Acum a doua coloană. În partea de sus, înmulțesc -1 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: 1 + 2 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Și a treia coloană. În vârf înmulțesc -5 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: –7 + 10 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

Vă rugăm să înțelegeți cu atenție acest exemplu și să înțelegeți algoritmul de calcul secvențial, dacă înțelegeți acest lucru, atunci metoda Gauss este practic în buzunar. Dar, desigur, vom lucra în continuare la această transformare.

Transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații

! ATENŢIE: manipulări considerate nu poate fi folosit, dacă vi se oferă o sarcină în care matricele sunt date „de la sine”. De exemplu, cu „clasic” operatii cu matrici Sub nicio formă nu trebuie să rearanjați nimic în interiorul matricelor!

Să revenim la sistemul nostru. Este practic dus în bucăți.

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o reducem la vedere în trepte:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Și din nou: de ce înmulțim prima linie cu –2? Pentru a obține zero în partea de jos, ceea ce înseamnă a scăpa de o variabilă din a doua linie.

(2) Împărțiți a doua linie la 3.

Scopul transformărilor elementare – reduceți matricea la forma treptat: . În proiectarea sarcinii, ei doar marchează „scările” cu un creion simplu și, de asemenea, încercuiesc numerele care se află pe „trepte”. Termenul „vedere în trepte” în sine nu este în întregime teoretic în literatura științifică și educațională este adesea numit vedere trapezoidală sau vedere triunghiulară.

În urma unor transformări elementare, am obţinut echivalent sistemul original de ecuații:

Acum, sistemul trebuie să fie „desfășurat” în direcția opusă - de jos în sus, acest proces este numit inversa metodei gaussiene.

În ecuația inferioară avem deja un rezultat gata făcut: .

Să luăm în considerare prima ecuație a sistemului și să o înlocuim deja valoare cunoscută„Y”:

Să luăm în considerare cea mai comună situație, când metoda Gaussiană necesită rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Exemplul 1

Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss:

Să scriem matricea extinsă a sistemului:

Acum voi desena imediat rezultatul la care vom ajunge în timpul soluției:

Și repet, scopul nostru este să aducem matricea într-o formă treptată folosind transformări elementare. De unde să încep?

Mai întâi, uită-te la numărul din stânga sus:

Ar trebui să fie aproape întotdeauna aici unitate. În general vorbind, –1 (și uneori și alte numere) va fi potrivit, dar cumva s-a întâmplat în mod tradițional ca unul să fie de obicei plasat acolo. Cum se organizează o unitate? Ne uităm la prima coloană - avem o unitate terminată! Transformarea unu: schimbați prima și a treia linie:

Acum prima linie va rămâne neschimbată până la sfârșitul soluției. Deja e mai ușor.

Unitatea din colțul din stânga sus este organizată. Acum trebuie să obțineți zerouri în aceste locuri:

Obținem zerouri folosind o transformare „dificilă”. Mai întâi ne ocupăm de a doua linie (2, –1, 3, 13). Ce trebuie făcut pentru a obține zero în prima poziție? Trebuie la a doua linie se adaugă prima linie înmulțită cu –2. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –2: (–2, –4, 2, –18). Și efectuăm în mod constant (din nou mental sau pe o schiță) adăugare, la a doua linie adăugăm prima linie, deja înmulțită cu –2:

Scriem rezultatul pe a doua linie:

Ne ocupăm de a treia linie în același mod (3, 2, –5, –1). Pentru a obține un zero în prima poziție, aveți nevoie la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –3: (–3, –6, 3, –27). ŞI la a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu –3:

Scriem rezultatul pe a treia linie:

În practică, aceste acțiuni sunt de obicei efectuate oral și scrise într-un singur pas:

Nu este nevoie să numărați totul deodată și în același timp. Ordinea calculelor și „scrierea” rezultatelor consistentși, de obicei, este așa: mai întâi rescriem prima linie și ne umflam puțin câte puțin - CONSECUT și ATENT:

Și am discutat deja despre procesul mental al calculelor în sine.

În acest exemplu, acest lucru este ușor de făcut, împărțim a doua linie la –5 (deoarece toate numerele de acolo sunt divizibile cu 5 fără rest). În același timp, împărțim a treia linie la –2, pentru că ce număr mai mic, acelea solutie mai simpla:

Pe etapa finală transformări elementare trebuie să obțineți un alt zero aici:

Pentru aceasta la a treia linie adăugăm a doua linie înmulțită cu –2:

Încercați să înțelegeți singur această acțiune - înmulțiți mental a doua linie cu –2 și efectuați adunarea.

Ultima acțiune efectuată este coafura rezultatului, împărțiți a treia linie la 3.

Ca rezultat al transformărilor elementare, s-a obținut un sistem echivalent de ecuații liniare:

Rece.

Acum intră în joc inversul metodei gaussiene. Ecuațiile se „desfășoară” de jos în sus.

În a treia ecuație avem deja un rezultat gata:

Să ne uităm la a doua ecuație: . Sensul cuvântului „zet” este deja cunoscut, astfel:

Și în sfârșit, prima ecuație: . „Igrek” și „zet” sunt cunoscute, este doar o chestiune de lucruri mărunte:

Răspuns:

După cum s-a remarcat în mod repetat, pentru orice sistem de ecuații este posibil și necesar să se verifice soluția găsită, din fericire, acest lucru este ușor și rapid.

Exemplul 2

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă, proba de finisare și răspuns la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că dvs progresul deciziei poate să nu coincidă cu procesul meu de decizie, și aceasta este o caracteristică a metodei Gauss. Dar răspunsurile trebuie să fie aceleași!

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. am facut asta:
(1) La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o mișcare suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul).

(2) Prima linie înmulțită cu 5 a fost adăugată la a doua linie. Prima linie înmulțită cu 3 a fost adăugată la a treia linie.

(3) Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

(4) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 2.

(5) A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn rău care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „reu”. Adică, dacă avem ceva de genul , mai jos și, în consecință, , apoi cu un grad mare de probabilitate putem spune că s-a făcut o eroare în timpul transformărilor elementare.

Încărcăm invers, în proiectarea exemplelor, adesea nu rescriu sistemul în sine, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Cursa inversa, vă reamintesc, funcționează, de jos în sus. Da, iată un cadou:

Răspuns: .

Exemplul 4

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Acesta este un exemplu de rezolvat pe cont propriu, este ceva mai complicat. Este în regulă dacă cineva se încurcă. Soluție completăși un model de design la sfârșitul lecției. Soluția ta poate fi diferită de soluția mea.

În ultima parte ne vom uita la câteva caracteristici ale algoritmului gaussian.
Prima caracteristică este că uneori unele variabile lipsesc din ecuațiile sistemului, de exemplu:

Cum se scrie corect matricea sistemului extins? Am vorbit deja despre acest punct în clasă. regula lui Cramer. Metoda matricei. În matricea extinsă a sistemului, punem zerouri în locul variabilelor lipsă:

Apropo, e frumos exemplu simplu, deoarece există deja un zero în prima coloană și sunt mai puține transformări elementare de efectuat.

A doua caracteristică este aceasta. În toate exemplele luate în considerare, am plasat fie –1, fie +1 pe „trepte”. Ar putea fi alte numere acolo? În unele cazuri pot. Luați în considerare sistemul: .

Aici, în „pasul” din stânga sus avem un doi. Dar observăm faptul că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2 fără rest - iar celălalt este doi și șase. Și ni se vor potrivi cei doi din stânga sus! În primul pas, trebuie să efectuați următoarele transformări: adăugați prima linie înmulțită cu –1 la a doua linie; la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. În acest fel vom obține zerourile necesare în prima coloană.

Sau un alt exemplu convențional: . Aici ni se potrivesc și cei trei de pe al doilea „pas”, deoarece 12 (locul în care trebuie să obținem zero) este divizibil cu 3 fără rest. Este necesar să se efectueze următoarea transformare: se adaugă a doua linie la a treia linie, înmulțită cu –4, în urma căreia se va obține zeroul de care avem nevoie.

Metoda lui Gauss este universală, dar există o particularitate. Puteți învăța cu încredere să rezolvați sisteme folosind alte metode (metoda Cramer, metoda matricei) literalmente prima dată - au un algoritm foarte strict. Dar pentru a te simți încrezător în metoda Gaussiană, trebuie să te pricepi la ea și să rezolvi cel puțin 5-10 sisteme. Prin urmare, la început pot exista confuzii și erori în calcule și nu este nimic neobișnuit sau tragic în acest sens.

Vreme ploioasă de toamnă în afara ferestrei.... Prin urmare, pentru oricine își dorește mai mult exemplu complex pentru soluție independentă:

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de patru ecuații liniare cu patru necunoscute folosind metoda Gauss.

O astfel de sarcină nu este atât de rară în practică. Cred că chiar și un ceainic care a studiat temeinic această pagină va înțelege algoritmul pentru rezolvarea unui astfel de sistem în mod intuitiv. Practic, totul este la fel - sunt doar mai multe acțiuni.

Cazurile în care sistemul nu are soluții (inconsecvente) sau are infinit de soluții sunt discutate în lecția Sisteme incompatibile și sisteme cu o soluție generală. Acolo puteți repara algoritmul considerat al metodei gaussiene.

iti doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.

Transformări elementare efectuate:
(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1. Atenţie! Aici s-ar putea să fiți tentat să scădeți primul din a treia linie. Recomand cu căldură să nu o scădeți - riscul de eroare crește foarte mult; Doar pliază-l!
(2) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A doua și a treia linie au fost schimbate. Vă rugăm să rețineți, că pe „trepte” ne mulțumim nu doar cu una, ci și cu –1, ceea ce este și mai convenabil.
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 5.
(4) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A treia linie a fost împărțită la 14.

Verso:

Răspuns: .

Exemplul 4: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Conversii efectuate:
(1) La prima linie a fost adăugată o a doua linie. Astfel, unitatea dorită este organizată în „treapta” din stânga sus.
(2) Prima linie înmulțită cu 7 a fost adăugată la a doua linie. Prima linie înmulțită cu 6 a fost adăugată la a treia linie.

Cu al doilea „pas” totul se înrăutățește , „candidații” pentru aceasta sunt numerele 17 și 23 și avem nevoie fie de unul, fie de –1. Transformările (3) și (4) vor avea ca scop obținerea unității dorite

(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.
(4) A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –3.
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 4. A doua linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –1.
(4) S-a schimbat semnul liniei a doua. A patra linie a fost împărțită la 3 și plasată în locul celei de-a treia linie.
(5) A treia linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –5.

Verso:

Astăzi vom înțelege metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor liniare ecuații algebrice. Puteți citi despre ce sunt aceste sisteme în articolul anterior dedicat rezolvării acelorași SLAE-uri folosind metoda Cramer. Metoda Gauss nu necesită cunoștințe specifice, aveți nevoie doar de atenție și consecvență. În ciuda faptului că, din punct de vedere matematic, pregătirea școlară este suficientă pentru a o aplica, elevilor le este adesea greu să stăpânească această metodă. În acest articol vom încerca să le reducem la nimic!

metoda Gauss

M metoda gaussiana– cea mai universală metodă de rezolvare a SLAE-urilor (cu excepția sistemelor foarte mari). Spre deosebire de ceea ce s-a discutat mai devreme, este potrivit nu numai pentru sistemele care au o singură soluție, ci și pentru sistemele care au un număr infinit de soluții. Există trei opțiuni posibile aici.

Sistemul are o soluție unică (determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero);
Sistemul are un număr infinit de soluții;
Nu există soluții, sistemul este incompatibil.

Deci avem un sistem (lăsați-l să aibă o soluție) și îl vom rezolva folosind metoda Gauss. Cum funcţionează asta?

Metoda Gauss constă din două etape - înainte și inversă.

Cursă directă a metodei gaussiene

Mai întâi, să scriem matricea extinsă a sistemului. Pentru a face acest lucru, adăugați o coloană de membri liberi la matricea principală.

Întreaga esență a metodei Gauss este de a aduce această matrice într-o formă în trepte (sau, după cum se spune, de asemenea, triunghiulară), prin transformări elementare. În această formă, ar trebui să existe doar zerouri sub (sau deasupra) diagonalei principale a matricei.

Ce poți face:

Puteți rearanja rândurile matricei;
Dacă există rânduri egale (sau proporționale) într-o matrice, puteți elimina toate, cu excepția unuia;
Puteți înmulți sau împărți un șir cu orice număr (cu excepția zero);
Rândurile nule sunt eliminate;
Puteți adăuga un șir înmulțit cu un număr diferit de zero la un șir.

Metoda Gaussiană inversă

După ce transformăm sistemul în acest fel, unul necunoscut Xn devine cunoscut și puteți găsi toate necunoscutele rămase în ordine inversă, înlocuind x-urile deja cunoscute în ecuațiile sistemului, până la prima.

Când Internetul este întotdeauna la îndemână, puteți rezolva un sistem de ecuații folosind metoda Gaussiană online. Trebuie doar să introduceți coeficienții în calculatorul online. Dar trebuie să recunoști, este mult mai plăcut să realizezi că exemplul nu a fost rezolvat program de calculator, dar cu propriul tău creier.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații folosind metoda Gauss

Și acum - un exemplu pentru ca totul să devină clar și de înțeles. Să fie dat un sistem de ecuații liniare și trebuie să-l rezolvați folosind metoda Gauss:

Mai întâi scriem matricea extinsă:

Acum să facem transformările. Ne amintim că trebuie să obținem un aspect triunghiular al matricei. Să înmulțim prima linie cu (3). Înmulțiți a doua linie cu (-1). Adăugați a doua linie la prima și obțineți:

Apoi înmulțiți a treia linie cu (-1). Să adăugăm a treia linie la a doua:

Să înmulțim prima linie cu (6). Să înmulțim a doua linie cu (13). Să adăugăm a doua linie la prima:

Voila - sistemul este adus la forma corespunzătoare. Rămâne de găsit necunoscutele:

Sistemul din acest exemplu are o soluție unică. Vom lua în considerare rezolvarea sistemelor cu un număr infinit de soluții într-un articol separat. Poate că la început nu veți ști de unde să începeți transformarea matricei, dar după o practică adecvată o veți înțelege și veți sparge SLAE-urile folosind metoda Gaussiană, cum ar fi nucile. Și dacă dați brusc peste un SLAE care se dovedește a fi o nucă prea dură de spart, contactați autorii noștri! puteți lăsând o cerere la Biroul de corespondență. Împreună vom rezolva orice problemă!

Dat calculator online găsește o soluție la un sistem de ecuații liniare (SLE) folosind metoda Gaussiană. Se oferă o soluție detaliată. Pentru a calcula, selectați numărul de variabile și numărul de ecuații. Apoi introduceți datele în celule și faceți clic pe butonul „Calculați”.

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

Reprezentarea numărului:

Numerele întregi și/sau Fracții comune
Numere întregi și/sau zecimale

Numărul de locuri după separatorul zecimal

Avertizare

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623, etc.), zecimale (ex. 67., 102.54, etc.) sau fracții. Fracția trebuie introdusă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

metoda Gauss

Metoda Gauss este o metodă de tranziție de la sistemul original de ecuații liniare (folosind transformări echivalente) la un sistem care este mai ușor de rezolvat decât sistemul original.

Transformările echivalente ale unui sistem de ecuații liniare sunt:

schimbând două ecuații în sistem,
înmulțind orice ecuație din sistem cu un număr real diferit de zero,
adunând la o ecuație o altă ecuație înmulțită cu un număr arbitrar.

Luați în considerare un sistem de ecuații liniare:

(1)

Să scriem sistemul (1) sub formă de matrice:

Ax=b

(2)

(3)

O- numită matricea coeficienților sistemului, b− partea dreaptă a restricțiilor, x− vector de variabile de găsit. Lasă clasarea ( O)=p.

Transformările echivalente nu modifică rangul matricei coeficienților și rangul matricei extinse a sistemului. De asemenea, setul de soluții al sistemului nu se modifică în cazul transformărilor echivalente. Esența metodei Gauss este reducerea matricei de coeficienți O la diagonală sau în trepte.

Să construim o matrice extinsă a sistemului:

În etapa următoare, resetăm toate elementele coloanei 2, sub element. Dacă acest element este zero, atunci acest rând este schimbat cu rândul aflat sub acest rând și având un element diferit de zero în a doua coloană. Apoi, resetați toate elementele coloanei 2 sub elementul principal o 22. Pentru a face acest lucru, adăugați liniile 3, ... m cu șirul 2 înmulțit cu − o 32 /o 22 , ..., −o m2/ o 22, respectiv. Continuând procedura, obținem o matrice de formă diagonală sau în trepte. Fie ca matricea extinsă rezultată să aibă forma:

(7)

Deoarece rangA=rang(A|b), atunci mulțimea soluțiilor (7) este ( n−p)− varietate. Prin urmare n−p necunoscutele pot fi alese arbitrar. Necunoscutele rămase din sistemul (7) sunt calculate după cum urmează. Din ultima ecuație pe care o exprimăm x p prin variabilele rămase și se introduce în expresiile anterioare. În continuare, din penultima ecuație pe care o exprimăm x p−1 prin variabilele rămase și inserați în expresiile anterioare etc. Să luăm în considerare metoda Gauss folosind exemple specifice.

Exemple de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Exemplul 1. Găsiți o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss:

Să notăm prin o ij elemente i-a linia și j a coloana.

o 1 1 . Pentru a face acest lucru, adăugați liniile 2,3 cu linia 1, înmulțite cu -2/3, respectiv -1/2:

Tip de înregistrare matrice: Ax=b, Unde

Să notăm prin o ij elemente i-a linia și j a coloana.

Să excludem elementele primei coloane a matricei de sub element o 11. Pentru a face acest lucru, adăugați liniile 2,3 cu linia 1, înmulțite cu -1/5, respectiv -6/5:

Împărțim fiecare rând al matricei la elementul conducător corespunzător (dacă elementul principal există):

Unde x 3 , x

Înlocuind expresiile superioare în cele inferioare, obținem soluția.

Apoi soluția vectorială poate fi reprezentată după cum urmează:

Unde x 3 , x 4 sunt numere reale arbitrare.