Integrală definită folosind formula Newton-Leibniz. Calculul unei integrale definite. formula Newton-Leibniz

formula Newton-Leibniz

Teorema principală de analiză sau Formula Newton - Leibniz dă o relație între două operații: luarea unei integrale definite și calcularea antiderivatei

Formulare

Luați în considerare integrala funcției y = f(x) variind de la număr constant o până la număr x, pe care o vom considera variabilă. Să scriem integrala sub următoarea formă:

Acest tip de integrală se numește integrală cu o limită superioară variabilă. Folosind teorema valorii medii într-o integrală definită, este ușor de demonstrat că această funcție este continuă și diferențiabilă. Și, de asemenea, derivata unei funcții date în punctul x este egală cu funcția integrabilă în sine. De aici rezultă că orice functie continua are o antiderivată sub formă de cuadratură: . Și deoarece clasa de funcții antiderivate ale funcției f diferă printr-o constantă, este ușor să arătăm că: integrala definită a funcției f este egală cu diferența dintre valorile antiderivatelor din punctele b și a

Fundația Wikimedia.

2010.
Formula probabilității totale

Formula Rayleigh-Jeans

Vedeți care este „formula Newton-Leibniz” în alte dicționare: formula Newton-Leibniz

- Teorema principală de analiză sau formula lui Newton Leibniz oferă relația dintre două operații: luarea unei integrale definite și calcularea antiderivatei Formulare Să considerăm integrala funcției y = f(x) în intervalul de la un număr constant a la.. . ... Wikipedia Formula cu incrementare finită

- Acest termen are alte semnificații, vezi Teorema lui Lagrange. Formula de increment finit sau teorema valorii medii a lui Lagrange afirmă că dacă o funcție este continuă pe un interval și... Wikipedia Formula Stokes - Teorema Stokes este una dintre principalele teoreme ale geometriei diferenţiale şi analiză matematică

privind integrarea formelor diferențiale, care generalizează mai multe teoreme de analiză. Numit după J. G. Stokes. Cuprins 1 Formulare generală 2… … Wikipedia FORMULA NEWTON - LEIBNITZ - o formulă care exprimă valoarea unei integrale definite a unei anumite funcții f pe un segment sub forma diferenței dintre valorile de la capetele segmentului oricărei antiderivate F ale acestei funcții . Leibniz, pentru că regula … …

Enciclopedie matematică- formula de bază a calculului integral. Exprimă legătura dintre o integrală definită a unei funcții f(x) și oricare dintre antiderivatele sale F(x)... Dicţionar enciclopedic mare

formula Leibniz- Acest termen are alte semnificații, vezi Lista obiectelor numite după Leibniz. Acest termen are alte semnificații, vezi Formula Leibniz (sensuri). Formula Leibniz în calculul integral este regula... ... Wikipedia

formula Newton-Leibniz- Formula Newton Leibniz, formula de bază a calculului integral. Exprimă legătura dintre integrala definită a funcției f(x) și oricare dintre antiderivatele sale F(x). . * * * FORMULA NEWTON LEIBNITZ FORMULA NEWTON LEIBNITZ, formula de baza... ... Dicţionar Enciclopedic

Formula dreptunghiulară

Formula trapezoidală - Integrală definită ca aria figurii Integrare numerică ( nume istoric: cuadratura) calculul valorii unei anumite integrale (de obicei aproximative), pe baza faptului că valoarea integralei este numeric egală cu aria ... ... Wikipedia

teorema lui Newton- Formula lui Newton Leibniz sau teorema fundamentală a analizei dă relația dintre două operații: luarea unei integrale definite și calcularea antiderivatei. Dacă este continuă pe un segment și orice antiderivat al acestuia pe acest segment are ... Wikipedia

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrări din diapozitive:

Integral. Formula Newton-Leibniz. Alcătuit de: profesor de matematică al instituției de învățământ de stat a instituției de învățământ PU nr. 27 Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna

Obiectivul lecției: Introducerea conceptului de integrală și calculul acesteia folosind formula Newton-Leibniz, folosind cunoștințele despre antiderivată și regulile de calcul a acesteia; Ilustrați aplicarea practică a integralei folosind exemple de găsire a ariei unui trapez curbiliniu; Întăriți ceea ce ați învățat în timpul exercițiilor.

Definiție: Să fie dat functie pozitiva f(x) definit pe segmentul finit [ a;b ] . Integrala unei funcții f(x) pe [a;b] este aria trapezului său curbiliniu. y=f(x) b a 0 x y

Denumire:  „integrală de la a la b eff de la x de x”

Context istoric: Leibniz a derivat notația pentru integrală din prima literă a cuvântului „Summa”. Newton nu a propus o simbolistică alternativă pentru integrală în lucrările sale, deși a încercat diverse opțiuni. Termenul integrală în sine a fost inventat de Jacob Bernoulli. S umma Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli

Euler a introdus notația pentru integrala nedefinită. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonard Euler Designul integralei definite în forma cu care suntem familiarizați a fost inventat de Fourier.

formula Newton-Leibniz

Exemplul 1. Calculați integrala definită: = Soluție:

Exemplul 2. Calculați integrale definite: 5 9 1

Exemplul 3. S y x Calculați aria figurii delimitată de linii și de axa x. Mai întâi, să găsim punctele de intersecție ale axei x cu graficul funcției. Pentru a face acest lucru, să rezolvăm ecuația. = Soluție: S =

y x S A B D C Exemplul 4. Calculați aria figurii mărginite de drepte și găsiți punctele de intersecție (abscise) ale acestor drepte rezolvând ecuația S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4.5 = 4.5 vezi exemplul 1 Soluție:

REGULI SINCWAIN 1 rând - tema syncwine 1 cuvânt 2 rând - 2 adjective care descriu semnele și proprietățile subiectului 3 rând - 3 verbe care descriu natura acțiunii 4 rând - o propoziție scurtă de 4 cuvinte care arată atitudinea dumneavoastră personală față de subiectul 5 rând - 1 cuvânt, sinonim sau tema de asociere a subiectului.

Integrală 2. Hotărât, pozitiv Numărați, adăugați, înmulțiți 4. Calculați folosind formula Newton-Leibniz 5. Aria

Lista literaturii folosite: manual de A.N. Kolmagorov. si altele Algebra si inceputurile de analiza 10 - 11 clase.

Vă mulțumim pentru atenție! „TALENTUL reprezintă 99% din muncă și 1% din abilitate” înțelepciunea populară

Exemplul 1. Calculați integrala definită: = Soluție: exemplul 4

Previzualizare:

Subiect: matematică (algebră și începuturi de analiză), clasa: clasa a XI-a.

Subiectul lecției: „Integral. Formula Newton-Leibniz.”

Tip de lecție: Învățarea de materiale noi.

Durata lectiei: 45 de minute.

Obiectivele lecției: introduceți conceptul de integrală și calculul acesteia folosind formula Newton-Leibniz, folosind cunoștințele despre antiderivată și regulile de calcul a acesteia; ilustrați aplicarea practică a integralei folosind exemple de găsire a ariei unui trapez curbat; consolidați ceea ce ați învățat în timpul exercițiilor.

Obiectivele lecției:

Educațional:

formează conceptul de integrală;
dezvoltarea abilităților în calculul unei integrale definite;
formarea deprinderilor aplicare practică integrală pentru a găsi aria unui trapez curbat.

Educațional:

dezvoltare interes cognitiv elevii, dezvoltă limbajul matematic, capacitatea de a observa, compara și trage concluzii;
dezvoltarea interesului pentru subiect folosind TIC.

Educațional:

să intensifice interesul pentru dobândirea de noi cunoștințe, dezvoltând acuratețea și acuratețea la calcularea integrală și realizarea desenelor.

Echipament: PC, sistem de operare Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; proiector multimedia, ecran.

Literatură: manual de Kolmagorov A.N. şi altele Algebră şi începuturi de analiză clasele 10-11.

Tehnologii: TIC, antrenament individual.

PROGRESUL LECȚIEI

Etapa lecției	Activitățile profesorului	Activități studențești	Timp
Parte introductivă
Moment organizatoric	Salută, verifică pregătirea elevilor pentru lecție, organizează atenția. Distribuie note justificative.	Ascultă, notează data.	3 min
Comunicarea temei și a obiectivelor lecției	Actualizarea cunoștințelor de bază și a experienței subiective cu acces la obiectivele lecției.	Ascultă și notează subiectul lecției în caiet.Implicat activ în activitatea mentală. Analizați, comparați, trageți concluzii pentru a atinge obiectivele lecției.	Prezentare TIC 3 min
Partea principală a lecției Prezentarea de material nou cu un test însoțitor de cunoaștere a subiectelor anterioare.
Definiția integralei (diapozitivul 3)	Oferă o definiție. TIC Ce este un trapez curbat?	O figură delimitată de graficul unei funcții, un segment și drepte x=a și x=b.	10 min
Notație integrală (diapozitivul 4)	Introduce notația pentru integrală și modul în care este citită.	Ascultă, scrie.
Istoricul integralei (diapozitivele 5 și 6)	Spune istoria termenului „integral”.	Ascultă și notează pe scurt.
Formula Newton-Leibniz (diapozitivul 7)	Oferă formula Newton-Leibniz. Ce înseamnă F în formulă?	Ascultă, ia notițe, răspunde la întrebările profesorului. Antiderivat.
Partea finală a lecției.
Fixarea materialului. Rezolvarea de exemple folosind materialul studiat
Exemplul 1 (diapozitivul 8)	Analizează soluția exemplului, punând întrebări despre găsirea de antiderivate pentru integranți.	Ascultați, scrieți, arătați cunoașterea tabelului de antiderivate.	20 min
Exemplul 2 (diapozitivul 9). Exemple pentru decizie independentă elevii.	Supraveghează rezolvarea exemplelor.	Finalizați sarcina unul câte unul, comentând (tehnologie de învățare individuală), ascultați unul pe celălalt, scrieți, arătați cunoașterea subiectelor trecute.
Exemplul 3 (diapozitivul 10)	Analizează soluția exemplului. Cum se găsesc punctele de intersecție ale axei x cu graficul unei funcții?	Ei ascultă, răspund la întrebări, arată cunoștințe despre subiecte din trecut și notează. Echivalează integrandul cu 0 și rezolvă ecuația.
Exemplul 4 (diapozitivul 11)	Analizează soluția exemplului. Cum să găsiți punctele de intersecție (abscise) ale graficelor de funcții? Determinați tipul de triunghi ABC. Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic?	Ei ascultă și răspund la întrebări. Echivalează funcțiile între ele și rezolvă ecuația rezultată. Dreptunghiular. unde a și b sunt catetele unui triunghi dreptunghic.
Rezumatul lecției (diapozitivele 12 și 13)	Organizează munca la compilarea syncwine.	Participați la pregătirea syncwine. Analizați, comparați, trageți concluzii pe subiect.	5 min.
Tema pentru acasă în funcție de nivelul de dificultate.	Dă teme și explică.	Ascultă, scrie.	1 min.
Evaluarea muncii elevilor la clasă.	Evaluează munca elevilor la lecție și o analizează.	Ei ascultă.	1 min

Previzualizare:

Rezumat de bază pe tema „Integral. Formula Newton-Leibniz.”

	Definiţie: Să fie dată o funcție pozitivă f(x) , definit pe un segment finit.Integrală a funcției f(x) onse numește aria trapezului său curbiliniu.
	Desemnare: Citeste: „integrală de la a la b ef din x de x”
	formula Newton-Leibniz
	Exemplul 1. Calculați integrala definită: Soluţie:
	Exemplul 3. și axa x. Soluţie:
	Exemplul 3. Calculați aria unei figuri delimitate de liniiȘi .

Printr-o integrală definită dintr-o funcție continuă f(x) pe segmentul final [ o, b] (unde ) este incrementul unora dintre antiderivatele sale pe acest segment. (În general, înțelegerea va fi considerabil mai ușoară dacă repetați subiectul integralei nedefinite) În acest caz, se folosește notația

După cum se poate vedea în graficele de mai jos (incrementul funcției antiderivate este indicat prin ), o integrală determinată poate fi fie un număr pozitiv, fie un număr negativ(Se calculează ca diferența dintre valoarea antiderivatei în limita superioară și valoarea acestuia în limita inferioară, adică ca F(b) - F(o)).

Numerele oŞi b sunt numite limitele inferioare și, respectiv, superioare ale integrării și segmentul [ o, b] – segment de integrare.

Astfel, dacă F(x) – oarecare funcție antiderivată pt f(x), apoi, conform definiției,

(38)

Egalitatea (38) se numește formula Newton-Leibniz . Diferenţă F(b) – F(o) se scrie pe scurt după cum urmează:

Prin urmare, vom scrie formula Newton-Leibniz astfel:

(39)

Să demonstrăm că integrala definită nu depinde de ce antiderivată a integrandului este luată atunci când o calculăm. Lasă F(x) și F( X) sunt antiderivate arbitrare ale integrandului. Deoarece acestea sunt antiderivate cu aceeași funcție, ele diferă printr-un termen constant: Ф( X) = F(x) + C. De aceea

Aceasta stabilește că pe segmentul [ o, b] incrementează toate funcții antiderivate f(x) potrivire.

Astfel, pentru a calcula o integrală definită, este necesar să se găsească orice antiderivată a integrandului, i.e. Mai întâi trebuie să găsiți integrala nedefinită. Constant CU excluse din calculele ulterioare. Apoi se aplică formula Newton-Leibniz: valoarea limitei superioare este substituită în funcția antiderivată b , în continuare - valoarea limitei inferioare o si se calculeaza diferenta F(b) - F(a) . Numărul rezultat va fi o integrală definită..

La o = b prin definiție acceptată

Exemplul 1.

Soluţie. Mai întâi, să găsim integrala nedefinită:

Aplicarea formulei Newton-Leibniz la antiderivat

(la CU= 0), obținem

Cu toate acestea, atunci când se calculează o integrală definită, este mai bine să nu se găsească antiderivată separat, ci să se scrie imediat integrala în forma (39).

Exemplul 2. Calculați integrala definită

Soluţie. Folosind formula

Proprietățile integralei definite

Teorema 2.Valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare, adică

(40)

Lasă F(x) – antiderivat pt f(x). Pentru f(t) antiderivatul are aceeași funcție F(t), în care variabila independentă este desemnată doar diferit. Prin urmare,

Pe baza formulei (39), ultima egalitate înseamnă egalitatea integralelor

Teorema 3.Factorul constant poate fi scos din semnul integralei definite, adică

(41)

Teorema 4.Integrala definită a unei sume algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții, adică

(42)

Teorema 5.Dacă segmentul de integrare este împărțit în părți, atunci integrala definită pe întregul segment egal cu suma integrale definite peste părțile sale, adică Dacă

(43)

Teorema 6.La rearanjarea limitelor de integrare, valoarea absolută a integralei definite nu se modifică, ci se schimbă doar semnul acesteia., adică

(44)

Teorema 7(teorema valorii medii). O integrală definită este egală cu produsul dintre lungimea segmentului de integrare și valoarea integrandului la un moment dat în interiorul acestuia., adică

(45)

Teorema 8.Dacă limita superioară a integrării este mai mare decât cea inferioară și integrandul este nenegativ (pozitiv), atunci integrala definită este și nenegativă (pozitivă), adică. Dacă

Teorema 9.Dacă limita superioară a integrării este mai mare decât cea inferioară și funcțiile și sunt continue, atunci inegalitatea

pot fi integrate termen cu termen, adică

(46)

Proprietățile integralei definite fac posibilă simplificarea calculului direct al integralelor.

Exemplul 5. Calculați integrala definită

Folosind teoremele 4 și 3, iar când găsim antiderivate - integrale de tabel (7) și (6), obținem

Integrală definită cu limită superioară variabilă

Lasă f(x) – continuu pe segmentul [ o, b] funcția și F(x) este antiderivatul său. Luați în considerare integrala definită

(47)

si prin t variabila de integrare este desemnată pentru a nu o confunda cu limita superioara. La schimbare X se modifică și integrala definită (47), adică. este o funcţie a limitei superioare de integrare X, pe care o notăm prin F(X), adică

(48)

Să demonstrăm că funcția F(X) este un antiderivat pentru f(x) = f(t). Într-adevăr, diferențierea F(X), primim

deoarece F(x) – antiderivat pt f(x), A F(o) este o valoare constantă.

Funcţie F(X) – unul din numărul infinit de antiderivate pt f(x), și anume cel care x = o merge la zero. Această afirmație se obține dacă în egalitatea (48) punem x = oși folosiți teorema 1 din paragraful anterior.

Calculul integralelor definite prin metoda integrarii pe parti si metoda schimbarii variabilei

unde, prin definiție, F(x) – antiderivat pt f(x). Dacă schimbăm variabila în integrand

apoi, în conformitate cu formula (16), putem scrie

În această expresie

functie antiderivata pentru

De fapt, derivatul său, conform regula de diferentiere a functiilor complexe, este egal

Fie α și β valorile variabilei t, pentru care funcția

ia valori în consecință oŞi b, adică

Dar, conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(b) – F(o) Există

Fie dată o funcție continuă f pe un anumit segment al axei Ox. Să presupunem că această funcție nu își schimbă semnul pe întregul segment.

Dacă f este o funcție continuă și nenegativă pe un anumit segment și F este o antiderivată a acesteia pe acest segment, atunci aria trapezului curbiliniu S este egală cu creșterea antiderivatei pe acest segment.

Această teoremă poate fi scrisă după cum urmează:

S = F(b) - F(a)

Integrala funcției f(x) de la a la b va fi egală cu S. Aici și mai departe, pentru a desemna integrala definită a unei funcții f(x), cu limitele de integrare de la a la b, vom folosi după notația (a;b)∫f(x). Mai jos este un exemplu despre cum va arăta.

formula Newton-Leibniz

Aceasta înseamnă că putem echivala aceste două rezultate. Se obține: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), cu condiția ca F să fie o antiderivată pentru funcția f pe . Această formulă se numește Formule Newton - Leibniz. Va fi adevărat pentru orice funcție continuă f pe un interval.

Formula Newton-Leibniz este folosită pentru a calcula integralele. Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul 1: se calculează integrala. Găsiți antiderivată pentru funcția integrand x 2 . Unul dintre antiderivate va fi funcția (x 3)/3.

Acum folosim formula Newton-Leibniz:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

Răspuns: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

Exemplul 2: se calculează integrala (0;pi)∫sin(x)dx.

Găsiți antiderivată pentru funcția integrand sin(x). Una dintre antiderivate va fi funcția -cos(x). Să folosim formula Newton-Leibniz:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Răspuns: (0;pi)∫sin(x)dx=2

Uneori, pentru simplitatea și comoditatea înregistrării, incrementul funcției F pe segmentul (F(b)-F(a)) se scrie după cum urmează:

Folosind această notație pentru increment, formula Newton-Leibniz poate fi rescrisă după cum urmează:

După cum sa menționat mai sus, aceasta este doar o abreviere pentru ușurința înregistrării, această înregistrare nu afectează nimic altceva. Această notație și formula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) vor fi echivalente.

Rezolvarea problemelor aplicate se rezumă la calcularea integralei, dar nu este întotdeauna posibil să se facă acest lucru cu precizie. Uneori este necesar să se cunoască valoarea unei anumite integrale cu un anumit grad de precizie, de exemplu, până la miimea.

Există probleme când ar fi necesar să se găsească valoarea aproximativă a unei anumite integrale cu precizia necesară, apoi se utilizează integrarea numerică precum metoda Simposny, trapezele și dreptunghiurile. Nu toate cazurile ne permit să o calculăm cu o anumită precizie.

Acest articol examinează aplicarea formulei Newton-Leibniz. Acest lucru este necesar pentru calculul precis al integralei definite. Se va da exemple detaliate, se iau în considerare modificări de variabilă în integrala definită și găsim valorile integralei determinate la integrarea pe părți.

Yandex.RTB R-A-339285-1

formula Newton-Leibniz

Definiția 1

Când funcţia y = y (x) este continuă din intervalul [ a ; b ] , iar F (x) este una dintre antiderivatele funcției acestui segment, atunci formula Newton-Leibniz considerat corect. Să o scriem astfel: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Această formulă este luată în considerare formula de bază a calculului integral.

Pentru a produce o demonstrație a acestei formule, este necesar să se utilizeze conceptul de integrală cu o limită superioară variabilă disponibilă.

Când funcţia y = f (x) este continuă din intervalul [ a ; b ], atunci valoarea argumentului x ∈ a; b , iar integrala are forma ∫ a x f (t) d t și este considerată o funcție a limitei superioare. Este necesar să luăm notația funcției va lua forma ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , este continuă, iar o inegalitate de forma ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) este valabil pentru aceasta.

Să fixăm că incrementul funcției Φ (x) corespunde incrementului argumentului ∆ x , este necesar să folosim a cincea proprietate principală a integralei definite și obținem

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

unde valoarea c ∈ x; x + ∆ x .

Să fixăm egalitatea sub forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Prin definiția derivatei unei funcții, este necesar să mergem la limita ca ∆ x → 0, apoi obținem o formulă de forma Φ " (x) = f (x). Constatăm că Φ (x) este una dintre antiderivate pentru o funcție de forma y = f (x), situată pe [a b].

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, unde valoarea lui C este constantă.

Să calculăm F (a) folosind prima proprietate a integralei definite. Atunci obținem asta

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, deci obținem că C = F (a). Rezultatul este aplicabil la calcularea F (b) și obținem:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), cu alte cuvinte, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a). Egalitatea este demonstrată prin formula Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Luăm incrementul funcției ca F x a b = F (b) - F (a) . Folosind notația, formula Newton-Leibniz ia forma ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Pentru aplicarea formulei, este necesar să se cunoască una dintre antiderivatele y = F (x) ale funcției integrand y = f (x) din segmentul [ a ; b ], se calculează incrementul antiderivatei din acest segment. Să ne uităm la câteva exemple de calcule folosind formula Newton-Leibniz.

Exemplul 1

Calculați integrala definită ∫ 1 3 x 2 d x folosind formula Newton-Leibniz.

Soluţie

Se consideră că integrandul de forma y = x 2 este continuu din intervalul [ 1 ; 3 ], atunci este integrabil pe acest interval. Conform tabelului integrale nedefinite vedem că funcția y = x 2 are un set de antiderivate pentru toate valorile reale ale lui x, ceea ce înseamnă x ∈ 1; 3 se va scrie ca F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Este necesar să luăm antiderivată cu C = 0, atunci obținem că F (x) = x 3 3.

Să folosim formula Newton-Leibniz și să aflăm că calculul integralei definite ia forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Răspuns:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Exemplul 2

Calculați integrala definită ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x folosind formula Newton-Leibniz.

Soluţie

Funcția dată este continuă din segmentul [-1; 2 ], ceea ce înseamnă că este integrabil pe el. Este necesar să găsim valoarea integralei nedefinite ∫ x · e x 2 + 1 d x folosind metoda de subsumare sub semnul diferențial, apoi obținem ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Avem deci o mulțime de antiderivate ale funcției y = x · e x 2 + 1, care sunt valabile pentru tot x, x ∈ - 1; 2.

Este necesar să se ia antiderivată la C = 0 și să se aplice formula Newton-Leibniz. Apoi obținem o expresie a formei

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Răspuns:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Exemplul 3

Calculați integralele ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x și ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Soluţie

Segment - 4; - 1 2 spune că funcția sub semnul integral este continuă, ceea ce înseamnă că este integrabilă. De aici găsim mulțimea de antiderivate ale funcției y = 4 x 3 + 2 x 2. Înțelegem asta

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Este necesar să luăm antiderivată F (x) = 2 x 2 - 2 x, apoi, aplicând formula Newton-Leibniz, obținem integrala, pe care o calculăm:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Se trece la calculul integralei a doua.

Din segmentul [ - 1 ; 1 ] avem că funcția integrand este considerată nemărginită, deoarece lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , atunci rezultă că o conditie necesara integrabilitatea dintr-un segment. Atunci F (x) = 2 x 2 - 2 x nu este antiderivată pentru y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; 1 ], întrucât punctul O aparține segmentului, dar nu este inclus în domeniul definiției. Aceasta înseamnă că există o integrală definită Riemann și Newton-Leibniz pentru funcția y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; 1].

Răspuns: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , există o integrală definită Riemann şi Newton-Leibniz pentru funcţia y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; 1].

Înainte de a utiliza formula Newton-Leibniz, trebuie să știți exact despre existența unei integrale definite.

Schimbarea unei variabile într-o integrală definită

Când funcţia y = f (x) este definită şi continuă din intervalul [ a ; b], apoi setul disponibil [a; b] este considerat a fi domeniul de valori al funcției x = g (z), definit pe segmentul α; β cu derivata continuă existentă, unde g (α) = a și g β = b, obținem din aceasta că ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Această formulă este folosită atunci când trebuie să calculați integrala ∫ a b f (x) d x, unde integrala nedefinită are forma ∫ f (x) d x, o calculăm folosind metoda substituției.

Exemplul 4

Calculați o integrală definită de forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Soluţie

Funcția integrand este considerată continuă pe intervalul de integrare, ceea ce înseamnă că există o integrală definită. Să dăm notația că 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Valoarea x = 9 înseamnă că z = 2 9 - 9 = 9 = 3, iar pentru x = 18 obținem că z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, atunci g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Când înlocuim valorile obținute în formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z obținem că

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Conform tabelului de integrale nedefinite, avem că una dintre antiderivatele funcției 2 z 2 + 9 ia valoarea 2 3 a r c t g z 3 . Apoi, la aplicarea formulei Newton-Leibniz, obținem că

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 π 1 = - 2 π 1 π 1 = - 2 π 1 π 1 = - 2 π 1 π 1

Constatarea ar putea fi făcută fără a folosi formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Dacă, folosind metoda înlocuirii, folosim o integrală de forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x, atunci se ajunge la rezultatul ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

De aici vom efectua calcule folosind formula Newton-Leibniz și vom calcula integrala definită. Înțelegem asta

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 3 - a π 3 - a π 3 = π 18

Rezultatele au fost aceleași.

Răspuns: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrarea pe părți la calcularea unei integrale definite

Dacă pe segmentul [ a ; b ] funcțiile u (x) și v (x) sunt definite și continue, atunci derivatele lor de ordinul întâi v " (x) · u (x) sunt integrabile, deci din acest segment pentru funcția integrabilă u " (x) · v ( x) egalitatea ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x este adevărată.

Formula poate fi folosită atunci, este necesar să se calculeze integrala ∫ a b f (x) d x, iar ∫ f (x) d x a fost necesar să se caute folosind integrarea pe părți.

Exemplul 5

Calculați integrala definită ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Soluţie

Funcția x · sin x 3 + π 6 este integrabilă pe intervalul - π 2 ; 3 π 2, ceea ce înseamnă că este continuă.

Fie u (x) = x, apoi d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x și d (u (x)) = u " (x) d x = d x, și v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Din formula ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x obținem că

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Exemplul poate fi rezolvat în alt mod.

Găsiți mulțimea de antiderivate ale funcției x · sin x 3 + π 6 folosind integrarea prin părți folosind formula Newton-Leibniz:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Răspuns: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter