Rădăcinile gradului natural al numărului. Rădăcina și proprietățile sale. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Acest articol este o colecție de informații detaliate care se referă la subiectul proprietăților rădăcinilor. Având în vedere subiectul, vom începe cu proprietățile, vom studia toate formulările și vom oferi dovezi. Pentru a consolida subiectul, vom lua în considerare proprietățile gradului al n-lea.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Proprietățile rădăcinilor

Vom vorbi despre proprietăți.

1. Proprietate numere înmulțite AȘi b, care este reprezentată ca egalitatea a · b = a · b. Poate fi reprezentat sub formă de factori, pozitivi sau egali cu zero a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. din câtul a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, se poate scrie și sub această formă a b = a b;
3. Proprietate din puterea unui număr A cu exponent par a 2 m = a m pentru orice număr A, de exemplu, proprietatea din pătratul unui număr a 2 = a.

În oricare dintre ecuațiile prezentate, puteți schimba părțile înainte și după semnul liniuței, de exemplu, egalitatea a · b = a · b este transformată ca a · b = a · b. Proprietățile de egalitate sunt adesea folosite pentru a simplifica ecuații complexe.

Dovada primelor proprietăți se bazează pe definiția rădăcinii pătrate și proprietățile puterilor cu indicator natural. Pentru a justifica a treia proprietate, este necesar să ne referim la definiția modulului unui număr.

În primul rând, este necesar să se demonstreze proprietățile rădăcinii pătrate a · b = a · b. Conform definiției, este necesar să se considere că a b este un număr, pozitiv sau egal cu zero, care va fi egal cu a bîn timpul construcției într-un pătrat. Valoarea expresiei a · b este pozitivă sau egală cu zero ca produsul numerelor nenegative. Proprietatea puterilor numerelor înmulțite ne permite să reprezentăm egalitatea sub forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Prin definiția rădăcinii pătrate, a 2 = a și b 2 = b, apoi a · b = a 2 · b 2 = a · b.

În mod similar se poate dovedi că din produs k multiplicatori a 1 , a 2 , … , a k va fi egal cu produsul rădăcini pătrate din acești factori. Într-adevăr, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Din această egalitate rezultă că a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Să ne uităm la câteva exemple pentru a consolida subiectul.

Exemplul 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 și 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Este necesar să se demonstreze proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a coeficientului: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Proprietatea ne permite să scriem egalitatea a: b 2 = a 2: b 2, și a 2: b 2 = a: b, în ​​timp ce a: b este un număr pozitiv sau egal cu zero. Această expresie va deveni dovada.

De exemplu, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 și 30.121 = 30.121.

Să luăm în considerare proprietatea rădăcinii pătrate a pătratului unui număr. Se poate scrie ca o egalitate ca a 2 = a Pentru a demonstra această proprietate, este necesar să luăm în considerare în detaliu mai multe egalități pentru a ≥ 0 iar la A< 0 .

Evident, pentru a ≥ 0 egalitatea a 2 = a este adevărată. La A< 0 egalitatea a 2 = - a va fi adevărată. De fapt, în acest caz − a > 0și (− a) 2 = a 2 . Putem concluziona, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 2

5 2 = 5 = 5 și - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Proprietatea dovedită va ajuta la justificarea unui 2 m = a m, unde A– real, și m-numar natural. Într-adevăr, proprietatea de a ridica o putere ne permite să înlocuim puterea a 2 m expresie (a m) 2, atunci a 2 m = (a m) 2 = a m.

Exemplul 3

3 8 = 3 4 = 3 4 și (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Proprietățile rădăcinii a n-a

În primul rând, trebuie să luăm în considerare proprietățile de bază ale rădăcinilor a n-a:

1. Proprietate din produsul numerelor AȘi b, care sunt pozitive sau egale cu zero, pot fi exprimate ca egalitatea a · b n = a n · b n , această proprietate este valabilă pentru produs k numere a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. dintr-un număr fracționar are proprietatea a b n = a n b n , unde A este orice număr real care este pozitiv sau egal cu zero și b– număr real pozitiv;
3. Pentru orice Ași chiar indicatori n = 2 m a 2 · m 2 · m = a este adevărată, iar pentru impar n = 2 m − 1 egalitatea a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a este valabilă.
4. Proprietatea extragerii din a m n = a n m , unde A– orice număr, pozitiv sau egal cu zero, nȘi m – numere întregi, această proprietate poate fi reprezentată și în formă. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Pentru orice a nenegativ și arbitrar nȘi m, care sunt naturale, putem defini și egalitatea justă a m n · m = a n ;
6. Proprietate de grad n din puterea unui număr A, care este pozitiv sau egal cu zero, la puterea naturală m, definit prin egalitatea a m n = a n m ;
7. Proprietăți de comparație care au aceiași exponenți: pentru orice numere pozitive AȘi b astfel încât A< b , inegalitatea a n< b n ;
8. Proprietate de comparație care au aceleași numere sub rădăcină: dacă mȘi n – numere naturale care m > n, apoi la 0 < a < 1 inegalitatea a m > a n este adevărată, iar când a > 1 a executat un m< a n .

Egalitățile date mai sus sunt valabile dacă părțile înainte și după semnul egal sunt schimbate. Ele pot fi folosite și în această formă. Acesta este adesea folosit la simplificarea sau transformarea expresiilor.

Dovada proprietăților de mai sus ale unei rădăcini se bazează pe definiția, proprietățile gradului și definiția modulului unui număr. Aceste proprietăți trebuie dovedite. Dar totul este în ordine.

1. În primul rând, să demonstrăm proprietățile rădăcinii a n-a a produsului a · b n = a n · b n . Pentru AȘi b, care sunt pozitiv sau egal cu zero , valoarea a n · b n este de asemenea pozitivă sau egală cu zero, deoarece este o consecință a înmulțirii numerelor nenegative. Proprietatea unui produs față de puterea naturală ne permite să scriem egalitatea a n · b n n = a n n · b n n . Prin definiția unei rădăcini n- al-lea grad a n n = a și b n n = b , prin urmare, a n · b n n = a · b . Egalitatea rezultată este exact ceea ce trebuia dovedit.

Această proprietate poate fi demonstrată în mod similar pentru produs k multiplicatori: pentru numere nenegative a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Iată exemple de utilizare a proprietății root n-a putere din produs: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 și 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Să demonstrăm proprietatea rădăcinii coeficientului a b n = a n b n . La a ≥ 0Și b > 0 condiția a n b n ≥ 0 este îndeplinită, iar a n b n n = a n n b n n = a b .

Să arătăm exemple:

Exemplul 4

8 27 3 = 8 3 27 3 și 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Pentru pasul următor este necesar să se demonstreze proprietățile gradului al n-lea de la număr la grad n. Să ne imaginăm asta ca egalitatea a 2 m 2 m = a și a 2 m - 1 2 m - 1 = a pentru orice real A si naturala m. La a ≥ 0 obținem a = a și a 2 m = a 2 m, ceea ce demonstrează egalitatea a 2 m 2 m = a, iar egalitatea a 2 m - 1 2 m - 1 = a este evidentă. La A< 0 obţinem, respectiv, a = - a şi a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Ultima transformare a unui număr este valabilă în funcție de proprietatea puterii. Tocmai asta demonstrează egalitatea a 2 m 2 m = a, iar a 2 m - 1 2 m - 1 = a va fi adevărată, întrucât se consideră gradul impar - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 pentru orice număr c , pozitiv sau egal cu zero.

Pentru a consolida informațiile primite, să luăm în considerare câteva exemple de utilizare a proprietății:

Exemplul 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 și (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Să demonstrăm următoarea egalitate a m n = a n m . Pentru a face acest lucru, trebuie să schimbați numerele înainte și după semnul egal a n · m = a m n . Aceasta va însemna că introducerea este corectă. Pentru A, ceea ce este pozitiv sau egal cu zero , de forma a m n este un număr pozitiv sau egal cu zero. Să ne întoarcem la proprietatea de a ridica o putere la o putere și la definirea acesteia. Cu ajutorul lor, puteți transforma egalități sub forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Aceasta dovedește proprietatea rădăcinii rădăcinii luate în considerare.

Alte proprietăți sunt dovedite în mod similar. Într-adevăr, . . . un n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . un n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . un n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

De exemplu, 7 3 5 = 7 5 3 și 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Să demonstrăm următoarea proprietate a m n · m = a n . Pentru a face acest lucru, este necesar să arătăm că un n este un număr, pozitiv sau egal cu zero. Când este ridicat la puterea n m este egală cu a m. Dacă numărul A este pozitiv sau egal cu zero, atunci n-gradul din rând A este un număr pozitiv sau egal cu zero. În acest caz, a n · m n = a n n m , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Pentru a consolida cunoștințele acumulate, să ne uităm la câteva exemple.

1. Să demonstrăm următoarea proprietate – proprietatea unei rădăcini a unei puteri de forma a m n = a n m . Este evident că atunci când a ≥ 0 gradul a n m este un număr nenegativ. Mai mult, ea n a-a putere este egală cu a m, într-adevăr, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Aceasta dovedește proprietatea gradului luat în considerare.

De exemplu, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Este necesar să se demonstreze că pentru orice numere pozitive Ași b condiția este îndeplinită A< b . Se consideră inegalitatea a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Prin urmare, un n< b n при A< b .

De exemplu, să dăm 12 4< 15 2 3 4 .

1. Luați în considerare proprietatea rădăcinii n- gradul. Este necesar să luăm în considerare mai întâi prima parte a inegalității. La m > nȘi 0 < a < 1 adevărat a m > a n . Să presupunem că a m ≤ a n. Proprietățile vă vor permite să simplificați expresia la a n m · n ≤ a m m · n . Atunci, conform proprietăților unui grad cu exponent natural, inegalitatea a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n este valabilă, adică a n ≤ a m. Valoarea obţinută la m > nȘi 0 < a < 1 nu corespunde proprietăților date mai sus.

La fel se poate dovedi că atunci când m > nȘi a > 1 condiția a m este adevărată< a n .

Pentru a consolida proprietățile de mai sus, luați în considerare câteva exemple concrete. Să ne uităm la inegalități folosind numere specifice.

Exemplul 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt securizate, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Notite importante!
1. Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Cum să faci asta în browser-ul tău este scris aici:
2. Înainte de a începe să citești articolul, fii atent la navigatorul nostru cel mai mult resursă utilă Pentru

Să încercăm să ne dăm seama ce este acest concept de „rădăcină” și „cu ce se mănâncă”. Pentru a face acest lucru, să ne uităm la exemplele pe care le-ați întâlnit deja în clasă (ei bine, sau tocmai sunteți pe cale să întâlniți asta).

De exemplu, avem o ecuație. Care este soluția acestei ecuații? Ce numere pot fi pătrate și obținute? Amintindu-ți de tabla înmulțirii, poți da cu ușurință răspunsul: și (la urma urmei, când se înmulțesc două numere negative, se obține un număr pozitiv)! Pentru a simplifica, matematicienii au introdus conceptul special de rădăcină pătrată și i-au atribuit un simbol special.

Să definim rădăcina pătrată aritmetică.

De ce numărul trebuie să fie nenegativ? De exemplu, cu ce este egal? Ei bine, hai să încercăm să alegem unul. Poate trei? Să verificăm: , nu. Pot fi, ? Din nou, verificăm: . Ei bine, nu se potrivește? Acest lucru este de așteptat - pentru că nu există numere care, la pătrat, să dea un număr negativ!
Iată ceea ce trebuie să rețineți: numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii trebuie să fie nenegativ!

Cu toate acestea, cei mai atenți probabil au observat deja că definiția spune că soluția la rădăcina pătrată a „un număr se numește aceasta nenegativ număr al cărui pătrat este egal cu ". Unii dintre voi veți spune că la început am analizat exemplul, numere selectate care pot fi pătrate și obținute, răspunsul a fost și, dar aici vorbim despre un fel de „număr nenegativ”! Această remarcă este destul de potrivită. Aici trebuie doar să distingeți între conceptele de ecuații pătratice și rădăcina pătrată aritmetică a unui număr. De exemplu, nu este echivalent cu expresia.

Rezultă că, adică sau. (Citiți subiectul „”)

Și rezultă că.

Desigur, acest lucru este foarte confuz, dar este necesar să ne amintim că semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației, deoarece atunci când rezolvăm ecuația trebuie să scriem toate X-urile, care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, vor da rezultat corect. În a noastră ecuație pătratică potrivit pentru ambele.

Cu toate acestea, dacă luați doar rădăcina pătrată de la ceva, atunci întotdeauna obținem un rezultat nenegativ.

Acum încercați să rezolvați această ecuație. Totul nu mai este atât de simplu și de lin, nu-i așa? Încercați să parcurgeți cifrele, poate va funcționa ceva? Să începem de la început - de la zero: - nu se potrivește, mergi mai departe - mai puțin de trei, de asemenea, mătură deoparte, ce dacă. Să verificăm: - nici nu este potrivit, pentru că... adica mai mult de trei. Este aceeași poveste cu numerele negative. Deci ce ar trebui să facem acum? Căutarea chiar nu ne-a dat nimic? Deloc, acum știm sigur că răspunsul va fi un număr între și, precum și între și. De asemenea, evident că soluțiile nu vor fi numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Deci, ce urmează? Să reprezentăm grafic funcția și să marchem soluțiile pe ea.

Să încercăm să păcălim sistemul și să obținem răspunsul folosind un calculator! Să scoatem rădăcina din ea! Oh-oh-oh, se dovedește că. Acest număr nu se termină niciodată. Cum să-ți amintești asta, deoarece nu va fi un calculator la examen!? Totul este foarte simplu, nu trebuie să vă amintiți, trebuie doar să vă amintiți (sau să puteți estima rapid) valoarea aproximativă. și răspunsurile în sine. Astfel de numere sunt numite iraționale; pentru a simplifica scrierea unor astfel de numere a fost introdus conceptul de rădăcină pătrată.

Să ne uităm la un alt exemplu pentru a consolida acest lucru. Să ne uităm la următoarea problemă: trebuie să traversezi un câmp pătrat cu o latură de km în diagonală, câți km trebuie să faci?

Cel mai evident lucru aici este să luați în considerare triunghiul separat și să folosiți teorema lui Pitagora: . Prin urmare, . Deci, care este distanța necesară aici? Evident, distanța nu poate fi negativă, obținem asta. Rădăcina lui doi este aproximativ egală, dar, așa cum am observat mai devreme, - este deja un răspuns complet.

Pentru a rezolva exemple cu rădăcini fără a cauza probleme, trebuie să le vedeți și să le recunoașteți. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți cel puțin pătratele numerelor de la până la și, de asemenea, să le puteți recunoaște. De exemplu, trebuie să știți ce este egal cu un pătrat și, dimpotrivă, ce este egal cu un pătrat.

Ai prins ce este o rădăcină pătrată? Apoi rezolvă câteva exemple.

Exemple.

Ei bine, cum a ieșit? Acum să ne uităm la aceste exemple:

Raspunsuri:

Rădăcină cubă

Ei bine, se pare că am rezolvat conceptul de rădăcină pătrată, acum să încercăm să ne dăm seama ce este o rădăcină cubă și care este diferența lor.

Rădăcina cubă a unui număr este numărul al cărui cub este egal cu. Ai observat că aici totul este mult mai simplu? Nu există restricții cu privire la valori posibile atât valorile de sub semnul rădăcinii cubice, cât și numărul care se extrage. Adică rădăcina cubă poate fi extrasă din orice număr: .

Înțelegi ce este o rădăcină cubă și cum să o extragi? Apoi mergeți mai departe și rezolvați exemplele.

Exemple.

Raspunsuri:

Rădăcină - oh grad

Ei bine, am înțeles conceptele de rădăcină pătrată și cubă. Acum să rezumăm cunoștințele acumulate cu conceptul prima rădăcină.

prima rădăcină al unui număr este un număr a cărui putere este egală, adică

echivalent.

Dacă – chiar, Acea:

• cu negativ, expresia nu are sens (rădăcinile par a numerelor negative nu poate fi eliminat!);
• pentru non-negativ() expresia are o rădăcină nenegativă.

Dacă - este impar, atunci expresia are o rădăcină unică pentru oricare.

Nu vă alarmați, aici se aplică aceleași principii ca și în cazul rădăcinilor pătrate și cubice. Adică, principiile pe care le-am aplicat atunci când luăm în considerare rădăcinile pătrate sunt extinse la toate rădăcinile de grad par.

Și proprietățile care au fost folosite pentru rădăcina cubică se aplică rădăcinilor de grad impar.

Ei bine, a devenit mai clar? Să ne uităm la exemple:

Aici totul este mai mult sau mai puțin clar: mai întâi ne uităm - da, gradul este par, numărul de sub rădăcină este pozitiv, ceea ce înseamnă că sarcina noastră este să găsim un număr a cărui putere ne va da a patra. Ei bine, vreo ghicire? Pot fi, ? Exact!

Deci, gradul este egal - impar, numărul de sub rădăcină este negativ. Sarcina noastră este să găsim un număr care, atunci când este ridicat la o putere, să producă. Este destul de dificil să observi imediat rădăcina. Cu toate acestea, puteți restrânge imediat căutarea, nu? În primul rând, numărul necesar este cu siguranță negativ, iar în al doilea rând, se poate observa că este impar și, prin urmare, numărul dorit este impar. Încercați să găsiți rădăcina. Desigur, îl puteți respinge în siguranță. Pot fi, ?

Da, asta cautam! Rețineți că pentru a simplifica calculul am folosit proprietățile gradelor: .

Proprietățile de bază ale rădăcinilor

Este clar? Dacă nu, atunci după ce te uiți la exemple, totul ar trebui să se încadreze la locul lor.

Înmulțirea rădăcinilor

Cum să înmulțim rădăcinile? Proprietatea cea mai simplă și de bază vă ajută să răspundeți la această întrebare:

Să începem cu ceva simplu:

Nu sunt extrase exact rădăcinile numerelor rezultate? Nicio problemă - iată câteva exemple:

Ce se întâmplă dacă nu există doi, ci mai mulți multiplicatori? Aceeași! Formula de înmulțire a rădăcinilor funcționează cu orice număr de factori:

Ce putem face cu el? Ei bine, bineînțeles, ascunde cele trei sub rădăcină, amintindu-ți că trei este rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de asta? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Îți face viața mult mai ușoară? Pentru mine, exact așa este! Trebuie doar să-ți amintești asta Nu putem introduce decât numere pozitive sub semnul rădăcinii unui grad par.

Să vedem unde mai poate fi util. De exemplu, problema necesită compararea a două numere:

Mai mult:

Nu poți spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea dezasamblată de a introduce un număr sub semnul rădăcină? Apoi mergeți mai departe:

Ei bine, știind ce număr mai mare sub semnul rădăcinii, cu atât rădăcina în sine este mai mare! Acestea. daca atunci, . De aici concluzionăm ferm că. Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Înainte de aceasta, am introdus un multiplicator sub semnul rădăcinii, dar cum să-l eliminăm? Trebuie doar să-l factorizezi în factori și să extragi ceea ce extragi!

A fost posibil să luăm o cale diferită și să ne extindem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum doriți.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile puterilor și factorizați totul:

Totul pare clar cu asta, dar cum se extrage rădăcina unui număr la o putere? Iată, de exemplu, acesta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Atunci iată un exemplu:

Acestea sunt capcanele, despre ele merită mereu amintit. Acest lucru se reflectă de fapt în exemplele de proprietate:

pentru ciudat: pentru par și:

Este clar? Consolidați cu exemple:

Da, vedem că rădăcina este la o putere pare, numărul negativ de sub rădăcină este, de asemenea, la o putere pare. Ei bine, merge la fel? Iată ce:

Asta e tot! Acum, iată câteva exemple:

Am înţeles? Apoi mergeți mai departe și rezolvați exemplele.

Exemple.

Răspunsuri.

Dacă ați primit răspunsuri, atunci puteți liniște sufletească mergi mai departe. Dacă nu, atunci să înțelegem aceste exemple:

Să ne uităm la alte două proprietăți ale rădăcinilor:

Aceste proprietăți trebuie analizate în exemple. Ei bine, hai să facem asta?

Am înţeles? Să-l asigurăm.

Exemple.

Răspunsuri.

RĂDĂCINI ŞI PROPRIETĂŢILE LOR. NIVEL MEDIU

Rădăcina pătrată aritmetică

Ecuația are două soluții: și. Acestea sunt numere al căror pătrat este egal cu.

Luați în considerare ecuația. Să o rezolvăm grafic. Să desenăm un grafic al funcției și o linie la nivel. Punctele de intersecție ale acestor drepte vor fi soluțiile. Vedem că această ecuație are și două soluții - una pozitivă, cealaltă negativă:

Dar în în acest caz, soluțiile nu sunt numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Pentru a nota aceste decizii iraționale, introducem un simbol special de rădăcină pătrată.

Rădăcina pătrată aritmetică este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu. Când expresia nu este definită, deoarece Nu există un număr al cărui pătrat să fie egal cu un număr negativ.

Rădăcină pătrată: .

De exemplu, . Și rezultă că sau.

Permiteți-mi să vă atrag încă o dată atenția, acest lucru este foarte important: Rădăcina pătrată este întotdeauna un număr nenegativ: !

Rădăcină cubă a unui număr este un număr al cărui cub este egal cu. Rădăcina cubă este definită pentru toată lumea. Poate fi extras din orice număr: . După cum puteți vedea, poate lua și valori negative.

Rădăcina a treia a unui număr este un număr a cărui putere este egală, adică.

Dacă este par, atunci:

• dacă, atunci rădăcina a nu este definită.
• dacă, atunci rădăcina nenegativă a ecuației se numește rădăcina aritmetică a gradului al-lea de și se notează.

Dacă - este impar, atunci ecuația are o rădăcină unică pentru oricare.

Ați observat că în stânga deasupra semnului rădăcinii scriem gradul acesteia? Dar nu pentru rădăcina pătrată! Dacă vedeți o rădăcină fără grad, înseamnă că este pătrată (grade).

Exemple.

Proprietățile de bază ale rădăcinilor

RĂDĂCINIILE ȘI PROPRIETĂȚILE LOR. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Rădăcină pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) dintr-un număr nenegativ se numește așa număr nenegativ al cărui pătrat este

Proprietățile rădăcinilor:

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru finalizarea cu succes Examen de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Suprafața unui teren pătrat este de 81 dm². Găsiți partea lui. Să presupunem că lungimea laturii pătratului este X decimetri. Atunci aria parcelei este X² decimetri pătrați. Deoarece, conform condiției, această suprafață este egală cu 81 dm², atunci X² = 81. Lungimea unei laturi a unui pătrat este un număr pozitiv. Un număr pozitiv al cărui pătrat este 81 este numărul 9. La rezolvarea problemei a fost necesar să se găsească numărul x al cărui pătrat este 81, adică să se rezolve ecuația X² = 81. Această ecuație are două rădăcini: X 1 = 9 și X 2 = - 9, deoarece 9² = 81 și (- 9)² = 81. Ambele numere 9 și - 9 sunt numite rădăcini pătrate ale lui 81.

Rețineți că una dintre rădăcinile pătrate X= 9 este un număr pozitiv. Se numește rădăcina pătrată aritmetică a lui 81 și se notează √81, deci √81 = 9.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu A.

De exemplu, numerele 6 și - 6 sunt rădăcini pătrate ale numărului 36. Cu toate acestea, numărul 6 este o rădăcină pătrată aritmetică a lui 36, deoarece 6 este un număr nenegativ și 6² = 36. Numărul - 6 nu este un număr rădăcină aritmetică.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A notată după cum urmează: √ A.

Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice; A- numită expresie radicală. Expresia √ A citit astfel: rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A. De exemplu, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. În cazurile în care este clar că vorbim despre o rădăcină aritmetică, ei spun pe scurt: „rădăcina pătrată a A«.

Acțiunea de a găsi rădăcina pătrată a unui număr se numește înrădăcinare pătrată. Această acțiune este inversul pătratului.

Puteți pătra orice număr, dar nu puteți extrage rădăcini pătrate din orice număr. De exemplu, este imposibil să extragi rădăcina pătrată a numărului - 4. Dacă o astfel de rădăcină a existat, atunci, notând-o cu litera X, am obține egalitatea incorectă x² = - 4, deoarece există un număr nenegativ în stânga și un număr negativ în dreapta.

Expresia √ A are sens doar când a ≥ 0. Definiția rădăcinii pătrate poate fi scrisă pe scurt ca: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Egalitatea (√ A)² = A valabil pentru a ≥ 0. Astfel, pentru a se asigura că rădăcina pătrată a unui număr nenegativ A egală b, adică în faptul că √ A =b, trebuie să verificați dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții: b ≥ 0, b² = A.

Rădăcina pătrată a unei fracții

Să calculăm. Rețineți că √25 = 5, √36 = 6 și să verificăm dacă egalitatea este valabilă.

Deoarece și , atunci egalitatea este adevărată. Asa de, .

Teorema: Dacă A≥ 0 și b> 0, adică rădăcina fracției este egală cu rădăcina numărătorului împărțită la rădăcina numitorului. Se cere să se demonstreze că: și .

Din moment ce √ A≥0 și √ b> 0, atunci.

Despre proprietatea ridicării unei fracții la o putere și definiția rădăcinii pătrate teorema este demonstrată. Să ne uităm la câteva exemple.

Calculați folosind teorema dovedită .

Al doilea exemplu: Demonstrează asta , Dacă A ≤ 0, b < 0. .

Un alt exemplu: Calculați .

.

Conversie rădăcină pătrată

Eliminarea multiplicatorului de sub semnul rădăcină. Să fie dată expresia. Dacă A≥ 0 și b≥ 0, atunci folosind teorema rădăcinii produsului putem scrie:

Această transformare se numește eliminarea factorului din semnul rădăcină. Să ne uităm la un exemplu;

Calculați la X= 2. Substituție directă X= 2 în expresia radicală duce la calcule complexe. Aceste calcule pot fi simplificate dacă mai întâi eliminați factorii de sub semnul rădăcină: . Înlocuind acum x = 2, obținem:.

Deci, la eliminarea factorului de sub semnul rădăcinii, expresia radicală este reprezentată sub forma unui produs în care unul sau mai mulți factori sunt pătrate de numere nenegative. Apoi aplicați teorema rădăcinii produsului și luați rădăcina fiecărui factor. Să luăm un exemplu: Simplificăm expresia A = √8 + √18 - 4√2 scotând factorii din primii doi termeni de sub semnul rădăcinii, obținem:. Subliniem această egalitate valabil numai atunci când A≥ 0 și b≥ 0. dacă A < 0, то .

Felicitări: astăzi ne vom uita la rădăcini - unul dintre cele mai uimitoare subiecte din clasa a VIII-a. :)

Mulți oameni se încurcă cu privire la rădăcini, nu pentru că sunt complexe (ce este atât de complicat în asta - câteva definiții și încă câteva proprietăți), ci pentru că în majoritatea manualelor școlare rădăcinile sunt definite printr-o astfel de junglă încât doar autorii manualelor ei înșiși pot înțelege această scriere. Și chiar și atunci doar cu o sticlă de whisky bun. :)

Prin urmare, acum voi da cea mai corectă și mai competentă definiție a unei rădăcini - singura pe care ar trebui să o amintiți cu adevărat. Și apoi voi explica: de ce sunt necesare toate acestea și cum să le aplici în practică.

Dar mai întâi amintește-ți una punct important, despre care mulți compilatori de manuale din anumite motive „uită”:

Rădăcinile pot fi de grad par (preferatul nostru $\sqrt(a)$, precum și tot felul de $\sqrt(a)$ și chiar $\sqrt(a)$) și de grad impar (tot felul de $\sqrt(a)$ (a)$, $\ sqrt(a)$ etc.). Și definiția unei rădăcini a unui grad impar este oarecum diferită de una par.

Probabil 95% din toate erorile și neînțelegerile asociate cu rădăcinile sunt ascunse în acest nenorocit de „oarecum diferit”. Deci, să clarificăm terminologia odată pentru totdeauna:

Definiție. Chiar și rădăcină n din numărul $a$ este oricare nenegativ numărul $b$ este astfel încât $((b)^(n))=a$. Și rădăcina impară a aceluiași număr $a$ este, în general, orice număr $b$ pentru care este valabilă aceeași egalitate: $((b)^(n))=a$.

În orice caz, rădăcina se notează astfel:

\(A)\]

Numărul $n$ într-o astfel de notație se numește exponent rădăcină, iar numărul $a$ se numește expresie radicală. În special, pentru $n=2$ obținem rădăcina noastră pătrată „favorită” (apropo, aceasta este o rădăcină de grad par), iar pentru $n=3$ obținem o rădăcină cubică (grad impar), care este de asemenea des întâlnit în probleme și ecuații.

Exemple. Exemple clasice de rădăcini pătrate:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Apropo, $\sqrt(0)=0$ și $\sqrt(1)=1$. Acest lucru este destul de logic, deoarece $((0)^(2))=0$ și $((1)^(2))=1$.

Rădăcinile cubice sunt, de asemenea, comune - nu trebuie să vă fie frică de ele:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Ei bine, câteva „exemple exotice”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Dacă nu înțelegeți care este diferența dintre un grad par și unul impar, recitiți din nou definiția. Este foarte important!

Între timp, vom lua în considerare o caracteristică neplăcută a rădăcinilor, din cauza căreia a trebuit să introducem o definiție separată pentru exponenții pari și impari.

De ce sunt necesare rădăcini?

După ce au citit definiția, mulți elevi vor întreba: „Ce fumau matematicienii când au venit cu asta?” Și într-adevăr: de ce sunt necesare toate aceste rădăcini?

Pentru a răspunde la această întrebare, să revenim pentru un moment la clasele primare. Amintiți-vă: în acele vremuri îndepărtate, când copacii erau mai verzi și găluștele mai gustoase, principala noastră preocupare era să înmulțim corect numerele. Ei bine, ceva de genul „cinci cu cinci – douăzeci și cinci”, asta este tot. Dar puteți înmulți numerele nu în perechi, ci în tripleți, cvadruple și în general seturi întregi:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Cu toate acestea, nu acesta este ideea. Trucul este diferit: matematicienii sunt leneși, așa că le-a fost greu să noteze înmulțirea a zece cinci astfel:

De aceea au venit cu diplome. De ce să nu scrieți numărul de factori ca un superscript în loc de un șir lung? Ceva de genul:

Este foarte convenabil! Toate calculele sunt reduse semnificativ și nu trebuie să pierzi o grămadă de foi de pergament și caiete pentru a nota 5.183. Această înregistrare a fost numită puterea unui număr; au fost găsite o grămadă de proprietăți în ea, dar fericirea s-a dovedit a fi de scurtă durată.

După o petrecere grandioasă, care a fost organizată doar pentru „descoperirea” diplomelor, un matematician deosebit de încăpățânat a întrebat brusc: „Dacă știm gradul unui număr, dar numărul în sine este necunoscut?” Acum, într-adevăr, dacă știm că un anumit număr $b$, să zicem, la a 5-a putere dă 243, atunci cum putem ghici cu ce este egal însuși numărul $b$?

Această problemă s-a dovedit a fi mult mai globală decât ar părea la prima vedere. Pentru că s-a dovedit că pentru majoritatea puterilor „gata făcute” nu există astfel de numere „inițiale”. Judecă singur:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]

Ce se întâmplă dacă $((b)^(3))=50$? Se pare că trebuie să găsim un anumit număr care, înmulțit cu el însuși de trei ori, ne va da 50. Dar care este acest număr? Este clar mai mare decât 3, deoarece 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Adică acest număr se află undeva între trei și patru, dar nu veți înțelege cu ce este egal.

Acesta este motivul pentru care matematicienii au venit cu $n$-a rădăcini. Tocmai de aceea a fost introdus simbolul radical $\sqrt(*)$. Pentru a desemna chiar numărul $b$, care la gradul indicat ne va da o valoare cunoscută anterior

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Nu argumentez: adesea aceste rădăcini sunt ușor de calculat - am văzut mai sus mai multe astfel de exemple. Dar totuși, în cele mai multe cazuri, dacă vă gândiți la un număr arbitrar și apoi încercați să extrageți rădăcina unui grad arbitrar din acesta, veți fi supărat.

Ce este acolo! Chiar și cel mai simplu și mai familiar $\sqrt(2)$ nu poate fi reprezentat în forma noastră obișnuită - ca un întreg sau o fracție. Și dacă introduceți acest număr într-un calculator, veți vedea asta:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

După cum puteți vedea, după virgulă zecimală există o succesiune nesfârșită de numere care nu respectă nicio logică. Puteți, desigur, să rotunjiți acest număr pentru a compara rapid cu alte numere. De exemplu:

\[\sqrt(2)=1,4142...\aproximativ 1,4 \lt 1,5\]

Sau iată un alt exemplu:

\[\sqrt(3)=1,73205...\aproximativ 1,7 \gt 1,5\]

Dar toate aceste rotunjiri, în primul rând, sunt destul de dure; și în al doilea rând, trebuie să puteți lucra și cu valori aproximative, altfel puteți surprinde o grămadă de erori neevidente (apropo, este necesar ca abilitățile de comparare și rotunjire să fie testate pe profilul Unified State Examination).

Prin urmare, în matematica serioasă nu puteți face fără rădăcini - sunt aceiași reprezentanți egali ai mulțimii tuturor numerelor reale $\mathbb(R)$, la fel ca fracțiile și numerele întregi care ne sunt familiare de mult timp.

Incapacitatea de a reprezenta o rădăcină ca o fracție de forma $\frac(p)(q)$ înseamnă că această rădăcină nu este un număr rațional. Astfel de numere se numesc iraționale și nu pot fi reprezentate cu acuratețe decât cu ajutorul unui radical sau a altor construcții special concepute pentru aceasta (logaritmi, puteri, limite etc.). Dar mai multe despre asta altă dată.

Să luăm în considerare câteva exemple în care, după toate calculele, numerele iraționale vor rămâne în continuare în răspuns.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\aproximativ 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1,2599... \\ \end(align)\]

Desigur, conform aspect rădăcină este aproape imposibil de ghicit ce numere vor veni după virgulă zecimală. Cu toate acestea, puteți conta pe un calculator, dar chiar și cel mai avansat calculator de date ne oferă doar primele câteva cifre ale unui număr irațional. Prin urmare, este mult mai corect să scrieți răspunsurile în forma $\sqrt(5)$ și $\sqrt(-2)$.

Tocmai de aceea au fost inventate. Pentru a înregistra în mod convenabil răspunsurile.

De ce sunt necesare două definiții?

Cititorul atent a observat probabil deja că toate rădăcinile pătrate date în exemple sunt luate din numere pozitive. Ei bine, cel puțin de la zero. Dar rădăcinile cubice pot fi extrase cu calm din absolut orice număr - fie el pozitiv sau negativ.

De ce se întâmplă asta? Aruncă o privire la graficul funcției $y=((x)^(2))$:

Programa funcţie pătratică dă două rădăcini: pozitivă și negativă

Să încercăm să calculăm $\sqrt(4)$ folosind acest grafic. Pentru a face acest lucru, pe grafic este trasată o linie orizontală $y=4$ (marcată cu roșu), care se intersectează cu parabola în două puncte: $((x)_(1))=2$ și $((x) )_(2)) =-2$. Acest lucru este destul de logic, deoarece

Totul este clar cu primul număr - este pozitiv, deci este rădăcina:

Dar atunci ce să faci cu al doilea punct? De parcă patru are două rădăcini deodată? La urma urmei, dacă pătratăm numărul −2, obținem și 4. De ce să nu scriem $\sqrt(4)=-2$ atunci? Și de ce se uită profesorii la astfel de postări de parcă ar vrea să te mănânce? :)

Problema este că, dacă nu impuneți condiții suplimentare, atunci quad-ul va avea două rădăcini pătrate - pozitive și negative. Și orice număr pozitiv va avea și două dintre ele. Dar numerele negative nu vor avea deloc rădăcini - acest lucru poate fi văzut din același grafic, deoarece parabola nu cade niciodată sub axă y, adică nu acceptă valori negative.

O problemă similară apare pentru toate rădăcinile cu exponent par:

1. Strict vorbind, fiecare număr pozitiv va avea două rădăcini cu exponent par $n$;
2. Din numere negative, rădăcina cu $n$ chiar nu este extrasă deloc.

De aceea în definiția unei rădăcini de grad par $n$ se prevede în mod specific că răspunsul trebuie să fie un număr nenegativ. Așa scăpăm de ambiguitate.

Dar pentru $n$ impar nu există o astfel de problemă. Pentru a vedea asta, să ne uităm la graficul funcției $y=((x)^(3))$:

O parabolă cubică poate lua orice valoare, deci rădăcina cubă poate fi luată din orice număr

Din acest grafic se pot trage două concluzii:

1. Ramurile unei parabole cubice, spre deosebire de una obișnuită, merg la infinit în ambele direcții - atât în ​​sus, cât și în jos. Prin urmare, indiferent de ce înălțime desenăm o linie orizontală, această linie cu siguranță se va intersecta cu graficul nostru. În consecință, rădăcina cubă poate fi întotdeauna extrasă din absolut orice număr;
2. În plus, o astfel de intersecție va fi întotdeauna unică, așa că nu trebuie să vă gândiți ce număr este considerat rădăcina „corectă” și pe care să îl ignorați. De aceea, determinarea rădăcinilor pentru un grad impar este mai simplă decât pentru un grad par (nu există nicio cerință pentru non-negativitate).

Păcat că acestea lucruri simple nu sunt explicate în majoritatea manualelor. În schimb, creierul nostru începe să se înalțe cu tot felul de rădăcini aritmetice și proprietățile lor.

Da, nu mă cert: trebuie să știți și ce este o rădăcină aritmetică. Și voi vorbi despre asta în detaliu într-o lecție separată. Astăzi vom vorbi și despre asta, pentru că fără ea toate gândurile despre rădăcinile multiplicității $n$-a ar fi incomplete.

Dar mai întâi trebuie să înțelegeți clar definiția pe care am dat-o mai sus. Altfel, din cauza abundenței de termeni, în capul tău va începe o astfel de mizerie încât până la urmă nu vei înțelege absolut nimic.

Tot ce trebuie să faceți este să înțelegeți diferența dintre indicatorii par și impari. Prin urmare, să colectăm încă o dată tot ce trebuie să știți despre rădăcini:

1. O rădăcină de grad par există doar dintr-un număr nenegativ și este ea însăși întotdeauna un număr nenegativ. Pentru numerele negative, o astfel de rădăcină este nedefinită.
2. Dar rădăcina unui grad impar există din orice număr și poate fi ea însăși orice număr: pentru numerele pozitive este pozitivă, iar pentru numerele negative, după cum indică capacul, este negativă.

Este dificil? Nu, nu este greu. Este clar? Da, este complet evident! Așa că acum vom exersa puțin cu calculele.

Proprietăți de bază și limitări

Rădăcinile au multe proprietăți și limitări ciudate - acest lucru va fi discutat într-o lecție separată. Prin urmare, acum vom lua în considerare doar cel mai important „truc”, care se aplică numai rădăcinilor cu un indice uniform. Să scriem această proprietate ca formulă:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\dreapta|\]

Cu alte cuvinte, dacă ridicăm un număr la o putere pară și apoi extragem rădăcina aceleiași puteri, nu vom obține numărul inițial, ci modulul său. Aceasta este o teoremă simplă care poate fi demonstrată cu ușurință (este suficient să le luăm în considerare separat $x$ nenegative, iar apoi pe cele negative separat). Profesorii vorbesc constant despre asta, este dat în fiecare manual școlar. Dar, de îndată ce este vorba de rezolvarea ecuațiilor iraționale (adică, ecuații care conțin un semn radical), studenții uită în unanimitate această formulă.

Pentru a înțelege problema în detaliu, să uităm toate formulele timp de un minut și să încercăm să calculăm două numere direct:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Aceasta este foarte exemple simple. Majoritatea oamenilor vor rezolva primul exemplu, dar mulți oameni se blochează pe al doilea. Pentru a rezolva orice astfel de prostie fără probleme, luați în considerare întotdeauna procedura:

1. În primul rând, numărul este ridicat la a patra putere. Ei bine, e cam ușor. Veți obține un număr nou care poate fi găsit chiar și în tabla înmulțirii;
2. Și acum din acest nou număr este necesar să extragem a patra rădăcină. Acestea. nu are loc nicio „reducere” a rădăcinilor și puterilor - acestea sunt acțiuni succesive.

Să ne uităm la prima expresie: $\sqrt(((3)^(4)))$. Evident, mai întâi trebuie să calculați expresia sub rădăcină:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Apoi extragem a patra rădăcină a numărului 81:

Acum să facem același lucru cu a doua expresie. În primul rând, ridicăm numărul -3 la a patra putere, ceea ce necesită înmulțirea lui de 4 ori:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ stânga(-3 \dreapta)=81\]

Am primit un număr pozitiv, deoarece numărul total de minusuri din produs este 4 și toate se vor anula reciproc (la urma urmei, un minus pentru un minus dă un plus). Apoi extragem din nou rădăcina:

În principiu, această linie nu ar fi putut fi scrisă, deoarece este o idee deloc că răspunsul ar fi același. Acestea. o rădăcină uniformă a aceleiași puteri uniforme „arde” minusurile și, în acest sens, rezultatul nu se poate distinge de un modul obișnuit:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Aceste calcule sunt în acord cu definiția unei rădăcini de grad par: rezultatul este întotdeauna nenegativ, iar semnul radical conține întotdeauna un număr nenegativ. În caz contrar, rădăcina este nedefinită.

Notă despre procedură

1. Notația $\sqrt(((a)^(2)))$ înseamnă că mai întâi pătratăm numărul $a$ și apoi luăm rădăcina pătrată a valorii rezultate. Prin urmare, putem fi siguri că există întotdeauna un număr nenegativ sub semnul rădăcinii, deoarece $((a)^(2))\ge 0$ în orice caz;
2. Dar notația $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, dimpotrivă, înseamnă că luăm mai întâi rădăcina unui anumit număr $a$ și abia apoi pătratăm rezultatul. Prin urmare, numărul $a$ nu poate fi în niciun caz negativ - aceasta este o cerință obligatorie inclusă în definiție.

Astfel, în niciun caz nu ar trebui să reducă neatenționat rădăcinile și gradele, pretinzând astfel „simplificând” expresia originală. Pentru că dacă rădăcina are un număr negativ și exponentul său este par, avem o grămadă de probleme.

Cu toate acestea, toate aceste probleme sunt relevante doar pentru indicatori egali.

Eliminarea semnului minus de sub semnul rădăcină

Desigur, rădăcinile cu exponenți impari au și propria lor trăsătură, care, în principiu, nu există cu cei pari. Și anume:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Pe scurt, puteți elimina minusul de sub semnul rădăcinilor de grad impar. Aceasta este foarte proprietate utilă, care vă permite să „aruncați” toate negativele:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Această proprietate simplă simplifică foarte mult multe calcule. Acum nu trebuie să vă faceți griji: ce se întâmplă dacă o expresie negativă a fost ascunsă sub rădăcină, dar gradul de la rădăcină s-a dovedit a fi egal? Este suficient doar să „aruncăm” toate minusurile din afara rădăcinilor, după care pot fi înmulțite între ele, împărțite și, în general, să facem multe lucruri suspecte, care în cazul rădăcinilor „clasice” ne vor duce cu siguranță la o eroare.

Și aici intră în scenă o altă definiție - aceeași cu care în majoritatea școlilor încep studiul expresiilor iraționale. Și fără de care raționamentul nostru ar fi incomplet. Întâlni!

Rădăcina aritmetică

Să presupunem pentru o clipă că sub semnul rădăcinii nu pot exista decât numere pozitive sau, în cazuri extreme, zero. Să uităm de indicatorii par/impari, să uităm de toate definițiile date mai sus - vom lucra doar cu numere nenegative. Ce atunci?

Și apoi vom obține o rădăcină aritmetică - se suprapune parțial cu definițiile noastre „standard”, dar tot diferă de ele.

Definiție. O rădăcină aritmetică de gradul $n$ al unui număr nenegativ $a$ este un număr nenegativ $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$.

După cum vedem, nu ne mai interesează paritatea. În schimb, a apărut o nouă restricție: expresia radicală este acum întotdeauna nenegativă, iar rădăcina însăși este, de asemenea, nenegativă.

Pentru a înțelege mai bine cum diferă rădăcina aritmetică de cea obișnuită, aruncați o privire la graficele parabolei pătrate și cubice cu care suntem deja familiarizați:

Zona de căutare a rădăcinii aritmetice - numere nenegative

După cum puteți vedea, de acum înainte ne interesează doar acele bucăți de grafice care sunt situate în primul trimestru de coordonate - unde coordonatele $x$ și $y$ sunt pozitive (sau cel puțin zero). Nu mai trebuie să te uiți la indicator pentru a înțelege dacă avem dreptul să punem un număr negativ sub rădăcină sau nu. Pentru că numerele negative nu mai sunt luate în considerare în principiu.

Puteți întreba: „Ei bine, de ce avem nevoie de o astfel de definiție sterilizată?” Sau: „De ce nu ne putem descurca cu definiția standard dată mai sus?”

Ei bine, voi da o singură proprietate din cauza căreia noua definiție devine adecvată. De exemplu, regula pentru exponentiare:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Vă rugăm să rețineți: putem ridica expresia radicală la orice putere și, în același timp, înmulțim exponentul rădăcină cu aceeași putere - și rezultatul va fi același număr! Iată exemple:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Deci, care este marea problemă? De ce nu am putea face asta mai devreme? Iata de ce. Să luăm în considerare o expresie simplă: $\sqrt(-2)$ - acest număr este destul de normal în înțelegerea noastră clasică, dar absolut inacceptabil din punctul de vedere al rădăcinii aritmetice. Să încercăm să-l convertim:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

După cum puteți vedea, în primul caz am eliminat minusul de sub radical (avem tot dreptul, deoarece exponentul este impar), iar în al doilea caz am folosit formula de mai sus. Acestea. Din punct de vedere matematic, totul se face după reguli.

WTF?! Cum poate același număr să fie atât pozitiv, cât și negativ? În nici un caz. Doar că formula de exponențiere, care funcționează excelent pentru numere pozitive și zero, începe să producă o erezie completă în cazul numerelor negative.

Tocmai pentru a scăpa de o asemenea ambiguitate au venit rădăcini aritmetice. Le este dedicată o lecție mare separată, în care luăm în considerare toate proprietățile lor în detaliu. Deci nu ne vom opri asupra lor acum - lecția s-a dovedit deja prea lungă.

Rădăcina algebrică: pentru cei care vor să afle mai multe

M-am gândit multă vreme dacă să pun acest subiect într-un paragraf separat sau nu. Până la urmă am decis să o las aici. Acest material este destinat celor care doresc să înțeleagă și mai bine rădăcinile - nu mai la nivelul mediu „școlar”, ci la unul apropiat de nivelul olimpiadei.

Deci: pe lângă definiția „clasică” a rădăcinii $n$-a a unui număr și împărțirea asociată în exponenți pari și impari, există o definiție mai „adultă” care nu depinde deloc de paritate și alte subtilități. Aceasta se numește rădăcină algebrică.

Definiție. Rădăcina algebrică $n$a oricărui $a$ este mulțimea tuturor numerelor $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$. Nu există o denumire stabilită pentru astfel de rădăcini, așa că vom pune doar o liniuță deasupra:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Diferența fundamentală față de definiția standard dată la începutul lecției este aceea că rădăcină algebrică- acesta nu este un număr anume, ci un set. Și deoarece lucrăm cu numere reale, acest set vine în doar trei tipuri:

1. Set gol. Apare atunci când trebuie să găsiți o rădăcină algebrică de grad par dintr-un număr negativ;
2. Un set format dintr-un singur element. Toate rădăcinile puterilor impare, precum și rădăcinile puterilor pare ale zero, se încadrează în această categorie;
3. În cele din urmă, mulțimea poate include două numere - aceleași $((x)_(1))$ și $((x)_(2))=-((x)_(1))$ pe care le-am văzut pe funcția pătratică grafică. În consecință, un astfel de aranjament este posibil numai atunci când se extrage rădăcina unui grad par dintr-un număr pozitiv.

Ultimul caz merită o analiză mai detaliată. Să numărăm câteva exemple pentru a înțelege diferența.

Exemplu. Evaluează expresiile:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Soluţie. Prima expresie este simplă:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Sunt două numere care fac parte din set. Pentru că fiecare dintre ele la pătrat dă un patru.

\[\overline(\sqrt(-27))=\stanga\( -3 \dreapta\)\]

Aici vedem un set format dintr-un singur număr. Acest lucru este destul de logic, deoarece exponentul rădăcină este impar.

În sfârșit, ultima expresie:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing\]

Am primit un set gol. Deoarece nu există un singur număr real care, atunci când este ridicat la a patra putere (adică, pare!), să ne dea numărul negativ -16.

Notă finală. Vă rugăm să rețineți: nu întâmplător am observat peste tot că lucrăm cu numere reale. Pentru că există și numere complexe - este destul de posibil să calculezi $\sqrt(-16)$ acolo și multe alte lucruri ciudate.

Cu toate acestea, numerele complexe nu apar aproape niciodată în cursurile de matematică ale școlii moderne. Acestea au fost eliminate din majoritatea manualelor, deoarece oficialii noștri consideră subiectul „prea greu de înțeles”.