Cum se rezolvă cel mai mic multiplu comun. Divizor comun și multiplu

Calculator online vă permite să găsiți rapid cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun atât al doi cât și al oricărui alt număr de numere.

Calculator pentru găsirea GCD și LCM

Găsiți GCD și LOC

GCD și LOC găsite: 5806

Cum se folosește calculatorul

• Introduceți numere în câmpul de introducere
• Dacă introduceți caractere incorecte, câmpul de introducere va fi evidențiat cu roșu
• faceți clic pe butonul „Găsiți GCD și LOC”.

Cum se introduc numerele

• Numerele sunt introduse separate de un spațiu, punct sau virgulă
• Lungimea numerelor introduse nu este limitată, deci găsirea GCD și LCM de numere lungi nu este dificilă

Ce sunt GCD și NOC?

Cel mai mare divizor comun mai multe numere este cel mai mare număr întreg natural prin care toate numerele originale sunt divizibile fără rest. Cel mai mare divizor comun este prescurtat ca GCD.
Cel mai mic multiplu comun mai multe numere este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele originale fără rest. Cel mai mic multiplu comun este prescurtat ca NOC.

Cum se verifică dacă un număr este divizibil cu un alt număr fără rest?

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu altul fără rest, puteți folosi unele proprietăți de divizibilitate a numerelor. Apoi, combinându-le, puteți verifica divizibilitatea unora dintre ele și combinațiile lor.

Câteva semne de divizibilitate a numerelor

1. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 2
Pentru a determina dacă un număr este divizibil cu doi (dacă este par), este suficient să ne uităm la ultima cifră a acestui număr: dacă este egal cu 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci numărul este par, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 2.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 2.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul este divizibil cu doi.

2. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 3
Un număr este divizibil cu 3 când suma cifrelor sale este divizibil cu trei. Astfel, pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 3, trebuie să calculați suma cifrelor și să verificați dacă este divizibil cu 3. Chiar dacă suma cifrelor este foarte mare, puteți repeta din nou același proces.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 3.
Soluţie: Numărăm suma numerelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu trei.

3. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 5
Un număr este divizibil cu 5 când ultima lui cifră este zero sau cinci.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 5.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul NU este divizibil cu cinci.

4. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 9
Acest semn este foarte asemănător cu semnul divizibilității cu trei: un număr este divizibil cu 9 când suma cifrelor sale este divizibil cu 9.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 9.
Soluţie: Numărăm suma numerelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu nouă.

Cum să găsiți MCD și LCM a două numere

Cum să găsiți mcd-ul a două numere

Cele mai multe într-un mod simplu Calcularea celui mai mare divizor comun a două numere înseamnă a găsi toți divizorii posibili ai acestor numere și a-l selecta pe cel mai mare dintre ei.

Să luăm în considerare această metodă folosind exemplul de găsire a GCD(28, 36):

1. Factorăm ambele numere: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Găsim factori comuni, adică cei pe care ambele numere îi au: 1, 2 și 2.
3. Calculăm produsul acestor factori: 1 2 2 = 4 - acesta este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 36.

Cum se găsește LCM a două numere

Există două modalități cele mai comune de a găsi cel mai mic multiplu a două numere. Prima metodă este că poți nota primii multipli ai două numere, iar apoi să alegi dintre aceștia un număr care va fi comun ambelor numere și în același timp și cel mai mic. Și al doilea este să găsiți mcd-ul acestor numere. Să luăm în considerare doar asta.

Pentru a calcula LCM, trebuie să calculați produsul numerelor originale și apoi să îl împărțiți la GCD găsit anterior. Să găsim LCM pentru aceleași numere 28 și 36:

1. Aflați produsul numerelor 28 și 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), așa cum se știe deja, este egal cu 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Găsirea GCD și LCM pentru mai multe numere

Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere, nu doar pentru două. În acest scop, numerele care trebuie găsite pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi găsiți produsul factorilor primi comuni ai acestor numere. De asemenea, puteți utiliza următoarea relație pentru a găsi mcd-ul mai multor numere: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

O relație similară se aplică celui mai mic multiplu comun: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Exemplu: găsiți GCD și LCM pentru numerele 12, 32 și 36.

1. Mai întâi, să factorizăm numerele: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Să găsim factorii comuni: 1, 2 și 2.
3. Produsul lor va da GCD: 1·2·2 = 4
4. Acum să găsim LCM: pentru a face acest lucru, să găsim mai întâi LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Pentru a găsi LCM a tuturor celor trei numere, trebuie să găsiți MCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Expresiile și problemele matematice necesită multe cunoștințe suplimentare. NOC este unul dintre cele principale, mai ales des folosit în Tema este studiată în liceu și nu este deosebit de dificil să înțeleagă materialul o persoană familiarizată cu puterile și tabla înmulțirii nu va avea dificultăți să identifice numerele necesare și să descopere; rezultat.

Definiţie

Un multiplu comun este un număr care poate fi împărțit complet în două numere în același timp (a și b). Cel mai adesea, acest număr se obține prin înmulțirea numerelor originale a și b. Numărul trebuie să fie divizibil cu ambele numere simultan, fără abateri.

NOC este denumirea acceptată nume scurt, culese din primele litere.

Modalități de a obține un număr

Metoda de înmulțire a numerelor nu este întotdeauna potrivită pentru găsirea LCM, este mult mai potrivită pentru numere simple cu o singură cifră sau cu două cifre. Se obișnuiește să se împartă în factori, cu cât numărul este mai mare, cu atât mai mulți factori vor fi.

Exemplul #1

Pentru cel mai simplu exemplu, școlile folosesc de obicei numere prime, cu o singură cifră sau cu două cifre. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea sarcină, să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 7 și 3, soluția este destul de simplă, doar înmulțiți-le. Ca rezultat, există un număr 21, pur și simplu nu există un număr mai mic.

Exemplul nr. 2

A doua versiune a sarcinii este mult mai dificilă. Sunt date numerele 300 și 1260, găsirea LOC-ului este obligatorie. Pentru a rezolva problema se iau următoarele acțiuni:

Descompunerea primului și al doilea număr în factori simpli. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Prima etapă este finalizată.

A doua etapă implică lucrul cu date deja obținute. Fiecare dintre numerele primite trebuie să participe la calculul rezultatului final. Pentru fiecare multiplicator, cel mai mult număr mare apariții. NOC este numărul total, prin urmare, factorii din numere trebuie repetați în ea, fiecare, chiar și cei care sunt prezenți într-un singur exemplar. Ambele numere inițiale conțin numerele 2, 3 și 5, în grade diferite, 7 este prezent într-un singur caz.

Pentru a calcula rezultatul final, trebuie să luați fiecare număr din cea mai mare dintre puterile reprezentate în ecuație. Tot ce rămâne este să înmulțiți și să obțineți răspunsul dacă este completat corect, sarcina se încadrează în doi pași fără explicație:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Aceasta este toată problema, dacă încercați să calculați numărul necesar prin înmulțire, atunci răspunsul cu siguranță nu va fi corect, deoarece 300 * 1260 = 378.000.

Examinare:

6300 / 300 = 21 - corect;

6300 / 1260 = 5 - corect.

Corectitudinea rezultatului obținut se determină prin verificare - împărțirea LCM la ambele numere originale dacă numărul este un întreg în ambele cazuri, atunci răspunsul este corect;

Ce înseamnă NOC în matematică?

După cum știți, nu există o singură funcție inutilă în matematică, aceasta nu face excepție. Cel mai comun scop al acestui număr este reducerea fracțiilor la un numitor comun. Ce se studiază de obicei în clasele 5-6 liceu. Este, de asemenea, un divizor comun pentru toți multiplii, dacă astfel de condiții sunt prezente în problemă. O astfel de expresie poate găsi un multiplu nu numai a două numere, ci și a unui număr mult mai mare - trei, cinci și așa mai departe. Cu cât sunt mai multe numere, cu atât mai multe acțiuni în sarcină, dar acest lucru nu crește complexitatea.

De exemplu, având în vedere numerele 250, 600 și 1500, trebuie să găsiți LCM-ul lor comun:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - acest exemplu descrie factorizarea în detaliu, fără reducere.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Pentru a alcătui o expresie, este necesar să menționăm toți factorii, în acest caz se dau 2, 5, 3 - pentru toate aceste numere este necesar să se determine gradul maxim.

Atenție: toți factorii trebuie aduși la punctul de simplificare completă, dacă este posibil, descompuși la nivelul unei singure cifre.

Examinare:

1) 3000 / 250 = 12 - corect;

2) 3000 / 600 = 5 - adevărat;

3) 3000 / 1500 = 2 - corect.

Această metodă nu necesită trucuri sau abilități de geniu, totul este simplu și clar.

Alt mod

În matematică, multe lucruri sunt conectate, multe lucruri pot fi rezolvate în două sau mai multe moduri, același lucru este valabil și pentru găsirea celui mai mic multiplu comun, LCM. Următoarea metodă poate fi utilizată în cazul numerelor simple din două cifre și cu o singură cifră. Este alcătuit un tabel în care se introduce multiplicatorul pe verticală, multiplicatorul pe orizontală, iar produsul este indicat în celulele care se intersectează ale coloanei. Puteți reflecta tabelul folosind o linie, luați un număr și notați rezultatele înmulțirii acestui număr cu numere întregi, de la 1 la infinit, uneori sunt suficiente 3-5 puncte, al doilea și numărul următor trec prin același proces de calcul. Totul se întâmplă până când se găsește un multiplu comun.

Având în vedere numerele 30, 35, 42, trebuie să găsiți LCM care conectează toate numerele:

1) Multiplii lui 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 etc.

2) Multiplii lui 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 etc.

3) Multiplii lui 42: 84, 126, 168, 210, 252 etc.

Se observă că toate numerele sunt destul de diferite, singurul număr comun dintre ele este 210, deci va fi NOC. Printre procesele implicate în acest calcul există și cel mai mare divizor comun, care se calculează după principii similare și este adesea întâlnit în problemele învecinate. Diferența este mică, dar destul de semnificativă, LCM implică calcularea unui număr care este împărțit la toate valorile inițiale date, iar GCD implică calcularea cea mai mare valoare prin care se împart numerele originale.

Un multiplu este un număr care este divizibil cu număr dat fără urmă. Cel mai mic multiplu comun (LCM) al unui grup de numere este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare număr din grup fără a lăsa rest. Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să găsiți factorii primi ai numerelor date. LCM poate fi, de asemenea, calculat folosind o serie de alte metode care se aplică grupurilor de două sau mai multe numere.

Pași

Serii de multipli

Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când li se dau două numere, fiecare dintre ele mai mic de 10. Dacă este dat numere mari, folosiți o altă metodă.

• De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 8. Acestea sunt numere mici, așa că puteți utiliza această metodă.

1. Un multiplu este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Multiplii pot fi găsiți în tabelul înmulțirii.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 5 sunt: ​​5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Notează o serie de numere care sunt multipli ai primului număr. Faceți acest lucru sub multiplii primului număr pentru a compara două seturi de numere.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 8 sunt: ​​8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 și 64.

3. Găsiți cel mai mic număr care este prezent în ambele seturi de multipli. Poate fi necesar să scrieți serii lungi de multipli pentru a găsi numărul total. Cel mai mic număr care este prezent în ambele seturi de multipli este cel mai mic multiplu comun.

   • De exemplu, cel mai mic număr, care este prezent în seria multiplilor lui 5 și 8, este numărul 40. Prin urmare, 40 este cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 8.

   Factorizarea primelor

   1. Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere, fiecare dintre ele mai mare de 10. Dacă sunt date numere mai mici, utilizați o metodă diferită.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 20 și 84. Fiecare dintre numere este mai mare decât 10, așa că puteți utiliza această metodă.

   2. Factorizați primul număr în factori primi. Adică, trebuie să găsiți astfel de numere prime care, atunci când sunt înmulțite, vor da un anumit număr. După ce ați găsit factorii primi, scrieți-i ca egalități.

      • De exemplu, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)Şi 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Astfel, factorii primi ai numărului 20 sunt numerele 2, 2 și 5. Scrieți-i ca expresie: .

   3. Factorizați al doilea număr în factori primi. Faceți acest lucru în același mod în care ați factorizat primul număr, adică găsiți astfel de numere prime care, atunci când sunt înmulțite, vor da numărul dat.

      • De exemplu, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)Şi 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Astfel, factorii primi ai numărului 84 ​​sunt numerele 2, 7, 3 și 2. Scrieți-i ca expresie: .

   4. Notați factorii comuni ambelor numere. Scrieți factori precum o operație de înmulțire. Pe măsură ce scrieți fiecare factor, tăiați-l în ambele expresii (expresii care descriu factorizările numerelor în factori primi).

      • De exemplu, ambele numere au un factor comun de 2, așa că scrieți 2 × (\displaystyle 2\times )și tăiați 2 în ambele expresii.
      • Ceea ce au în comun ambele numere este un alt factor de 2, așa că scrieți 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)și tăiați al doilea 2 în ambele expresii.

   5. Adăugați factorii rămași la operația de înmulțire. Aceștia sunt factori care nu sunt tăiați în ambele expresii, adică factori care nu sunt comuni ambelor numere.

      • De exemplu, în expresia 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Ambele două (2) sunt tăiate deoarece sunt factori comuni. Factorul 5 nu este tăiat, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • În exprimare 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) ambele două (2) sunt, de asemenea, tăiate. Factorii 7 și 3 nu sunt tăiați, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Calculați cel mai mic multiplu comun. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numerele în operația de înmulțire scrisă.

      • De exemplu, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Deci cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 84 este 420.

   Găsirea factorilor comuni

   1. Desenați o grilă ca pentru un joc de tic-tac-toe. O astfel de grilă este formată din două linii paralele care se intersectează (în unghi drept) cu alte două linii paralele. Acest lucru vă va oferi trei rânduri și trei coloane (grila seamănă foarte mult cu pictograma #). Scrieți primul număr în prima linie și a doua coloană. Scrieți al doilea număr în primul rând și a treia coloană.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 și 30. Scrieți numărul 18 în primul rând și a doua coloană și scrieți numărul 30 în primul rând și a treia coloană.

   2. Aflați divizorul comun ambelor numere. Notează-l pe primul rând și pe prima coloană. Este mai bine să cauți factori primi, dar aceasta nu este o cerință.

      • De exemplu, 18 și 30 sunt numere pare, deci factorul lor comun va fi 2. Deci scrieți 2 în primul rând și prima coloană.

   3. Împărțiți fiecare număr la primul divizor. Scrieți fiecare coeficient sub numărul corespunzător. Un cot este rezultatul împărțirii a două numere.

      • De exemplu, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), deci scrie 9 sub 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), deci notează 15 sub 30.

   4. Aflați divizorul comun ambilor câte. Dacă nu există un astfel de divizor, săriți peste următorii doi pași. În caz contrar, scrieți divizorul în al doilea rând și în prima coloană.

      • De exemplu, 9 și 15 sunt divizibile cu 3, așa că scrieți 3 în al doilea rând și în prima coloană.

   5. Împărțiți fiecare coeficient la al doilea divizor al său. Scrieți fiecare rezultat al împărțirii sub câtul corespunzător.

      • De exemplu, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), deci scrie 3 sub 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), deci scrie 5 sub 15.

   6. Dacă este necesar, adăugați celule suplimentare la grilă. Repetați pașii descriși până când coeficientii au un divizor comun.

   7. Încercuiește numerele din prima coloană și ultimul rând al grilei. Apoi scrieți numerele selectate ca operație de înmulțire.

      • De exemplu, numerele 2 și 3 sunt în prima coloană, iar numerele 3 și 5 sunt în ultimul rând, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Găsiți rezultatul înmulțirii numerelor. Aceasta va calcula cel mai mic multiplu comun a două numere date.

      • De exemplu, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Deci cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 30 este 90.

   algoritmul lui Euclid

   1. Amintiți-vă terminologia asociată cu operația de divizare. Dividendul este numărul care este împărțit. Divizorul este numărul cu care se împarte. Un cot este rezultatul împărțirii a două numere. Un rest este numărul rămas când două numere sunt împărțite.

      • De exemplu, în expresia 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 este dividendul
        6 este un divizor
        2 este coeficientul
        3 este restul.

Definiţie. Se numește cel mai mare număr natural care poate fi împărțit fără rest la numerele a și b cel mai mare divizor comun (MCG) aceste numere.

Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 sunt numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 sunt numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc prim reciproc.

Definiţie. Se numesc numere naturale prim reciproc, dacă cel mai mare divizor comun al lor (MCD) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.

Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi tăiem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică doi doi).
Factorii rămași sunt 2 * 2 * 3. Produsul lor este 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al numerelor 15, 45, 75 și 180 este numărul 15, deoarece toate celelalte numere sunt divizibile cu acesta: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiţie. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numere naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, să factorăm 75 și 60 în factori primi: 75 = 3 * 5 * 5 și 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Să scriem factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere și să adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică, combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

De asemenea, ei găsesc cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsi cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) factorizează-le în factori primi;
2) notează factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al numerelor 12, 15, 20 și 60 este 60 deoarece este divizibil cu toate aceste numere.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Număr, egal cu suma Ei au numit toți divizorii săi (fără numărul în sine) număr perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33.550.336 Pitagoreii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33.550.336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar oamenii de știință încă nu știu dacă există numere perfecte impare sau dacă există un număr perfect cel mai mare.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca un produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai puțin comune. Apare întrebarea: există un ultim (cel mai mare) număr prim? Vechiul matematician grec Euclid (secolul al III-lea î.Hr.), în cartea sa „Elemente”, care a fost principalul manual de matematică timp de două mii de ani, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un prim și mai mare. număr.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratosthenes, a venit cu această metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unul, care nu este nici prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele care vin după 2 (numere care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele care vin după 3 (numerele care sunt multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.) au fost tăiate. până la urmă au rămas neîncrucișate doar numerele prime.

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articolul intitulat LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, legătură între LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), Și o atenție deosebită Să ne concentrăm pe rezolvarea exemplelor. În primul rând, vom arăta cum se calculează LCM a două numere folosind MCD-ul acestor numere. În continuare, ne vom uita la găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceasta, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculării LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Conexiunea existentă între LCM și GCD ne permite să calculăm cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive printr-un cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare este LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Să ne uităm la exemple de găsire a LCM folosind formula dată.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al două numere 126 și 70.

Soluţie.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim legătura dintre LCM și GCD, exprimată prin formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere folosind formula scrisă.

Să găsim GCD(126, 70) folosind algoritmul euclidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, prin urmare, GCD(126, 70)=14.

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Răspuns:

LCM(126, 70)=630.

Exemplu.

Cu ce ​​este LCM(68, 34) egal?

Soluţie.

Deoarece 68 este divizibil cu 34, apoi MCD(68, 34)=34. Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Răspuns:

LCM(68, 34)=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă compuneți un produs din toți factorii primi ai numerelor date și apoi excludeți din acest produs toți factorii primi comuni prezenți în descompunerea numerelor date, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al numerelor date. .

Din egalitate rezultă regula stabilită pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în extinderea numerelor a și b. La rândul său, GCD(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (așa cum este descris în secțiunea despre găsirea GCD folosind expansiunea numerelor în factori primi).

Să dăm un exemplu. Să știm că 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. Să compunem produsul din toți factorii acestor expansiuni: 2·3·3·5·5·5·7 . Acum din acest produs excludem toți factorii prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2·3·5·5·7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al lui 75 și 210, adică NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Exemplu.

Factorizați numerele 441 și 700 în factori primi și găsiți cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Soluţie.

Să factorăm numerele 441 și 700 în factori primi:

Obținem 441=3·3·7·7 și 700=2·2·5·5·7.

Acum să creăm un produs din toți factorii implicați în extinderea acestor numere: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Astfel, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Răspuns:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind factorizarea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă factorii lipsă din extinderea numărului b se adaugă factorilor din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, descompunerea lor în factori primi sunt următoarele: 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. La factorii 3, 5 și 5 din extinderea numărului 75 adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din extinderea numărului 210, obținem produsul 2·3·5·5·7, a cărui valoare este egal cu LCM(75, 210).

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Soluţie.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2·2·3·7 și 648=2·2·2·3·3·3·3. La factorii 2, 2, 3 și 7 din extinderea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2, 3, 3 și 3 din extinderea numărului 648, obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7, care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al lui 84 ​​și 648 este 4.536.

Răspuns:

LCM(84, 648)=4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea secvenţială a LCM a două numere. Să ne amintim teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Teorema.

Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește prin calcularea secvențială m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Să luăm în considerare aplicarea acestei teoreme folosind exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Exemplu.

Aflați LCM a patru numere 140, 9, 54 și 250.

Soluţie.

În acest exemplu, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Mai întâi găsim m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm GCD(140, 9), avem 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prin urmare, GCD(140, 9)=1 , de unde GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140.9:1=1.260. Adică m2 =1 260.

Acum găsim m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Să-l calculăm prin GCD(1 260, 54), pe care îl determinăm și folosind algoritmul euclidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Apoi mcd(1.260, 54)=18, din care mcd(1.260, 54)= 1.260·54:gcd(1.260, 54)= 1.260·54:18=3.780. Adică m 3 = 3 780.

Tot ce rămâne este de găsit m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3,780, 250) folosind algoritmul euclidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prin urmare, GCM(3.780, 250)=10, de unde GCM(3.780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Adică m4 =94.500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

Răspuns:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

În multe cazuri, este convenabil să găsiți cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere folosind descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, ar trebui să respectați următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din extinderea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din extinderea numărului. al treilea număr se adaugă factorilor rezultați și așa mai departe.

Să ne uităm la un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind factorizarea prime.

Exemplu.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.

Soluţie.

Mai întâi, obținem descompunerea acestor numere în factori primi: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 este un număr prim, coincide cu descompunerea ei în factori primi) şi 143=11·13.

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2, 2, 3 și 7), trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6. Descompunerea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în descompunerea primului număr 84. În continuare, la factorii 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48, obținem un set de factori 2, 2, 2, 2, 3 și 7. Nu va fi nevoie să adăugați multiplicatori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2, 2, 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din extinderea numărului 143. Obținem produsul 2·2·2·2·3·7·11·13, care este egal cu 48.048.