Puncte remarcabile ale triunghiului - abstract. Proiect student „Punctele remarcabile ale triunghiului”

Silcenkov Ilya

materiale pentru lecție, prezentare cu animație

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările slide-urilor:

Linia mediană a unui triunghi este un segment care leagă punctele mijlocii a două dintre laturile sale și este egală cu jumătate din această latură. De asemenea, conform teoremei, linia mediană a unui triunghi este paralelă cu una dintre laturile sale și egală cu jumătate din această latură.

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.

Puncte triunghiulare remarcabile

puncte minunate triunghi Punct de intersecție al medianelor (centroidul triunghiului) ; Punctul de intersecție al bisectoarelor, centrul cercului înscris; Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare; Punct de intersecție al înălțimilor (ortocentru); linia lui Euler și cerc de nouă puncte; punctele Gergonne și Nagel; Punctul Fermat-Torricelli;

Punctul de intersecție al medianelor

Mediana unui triunghi este un segment de linie care leagă vârful oricărui unghi al triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse.

I. Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare mediană într-un raport de 2:1, numărând de sus.

Dovada:

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 2. Segmentul A 1 B 1 este paralel cu latura AB și 1/2 AB \u003d A 1 B 1, adică AB \u003d 2A1B1 (conform teoremei liniei mediane a triunghiului), prin urmare 1 \u003d 4 și 3 \u003d 2 ( deoarece au unghiuri transversale interne cu drepte paralele AB și A 1 B 1 și secantă BB 1 pentru 1, 4 și AA 1 pentru 3, 2 3. Prin urmare, triunghiurile AOB și A 1 OB 1 sunt similare în două unghiuri și, prin urmare, laturile lor sunt proporționale, adică rapoartele laturilor lui AO și A 1 O, BO și B 1 O, AB și A 1 B 1 sunt egale. Dar AB = 2A 1 B 1, prin urmare AO \u003d 2A 1 O și BO \u003d 2B 1 O. Astfel, punctul de intersecție O al medianelor BB 1 și AA 1 împarte fiecare dintre ele în raport 2: 1, numărând de la vârf. Teorema este demonstrată. În mod similar, se poate demonstra despre alte două mediane

Centrul de masă este uneori numit centroid. De aceea se spune că punctul de intersecție al medianei este centroidul triunghiului. Centrul de masă al unei plăci triunghiulare omogene este situat în același punct. Dacă o placă similară este plasată pe un știft, astfel încât vârful știftului să lovească exact centrul de centru al triunghiului, atunci placa va fi în echilibru. De asemenea, punctul de intersecție al medianelor este centrul cercului triunghiului său median. O proprietate interesantă a punctului de intersecție al medianelor este legată de conceptul fizic de centru de masă. Se pare că dacă mase egale sunt plasate la vârfurile unui triunghi, atunci centrul lor va cădea exact în acest punct.

Punct de intersecție al bisectoarelor

Bisectoarea unui triunghi - un segment al bisectoarei unui unghi care leagă vârful unuia dintre unghiurile triunghiului cu un punct situat pe partea opusă.

Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct echidistant de laturile sale.

Dovada:

C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Notăm cu litera O punctul de intersecție al bisectoarelor AA 1 și BB 1 ale triunghiului ABC. 3. Să folosim faptul că fiecare punct al bisectoarei unui unghi desfășurat este echidistant de laturile sale și invers: fiecare punct situat în interiorul unghiului și echidistant de laturile unghiului se află pe bisectoarea lui. Apoi OK=OL și OK=OM. Aceasta înseamnă OM \u003d OL, adică punctul O este echidistant de laturile triunghiului ABC și, prin urmare, se află pe bisectoarea CC1 a unghiului C. 4. În consecință, toate cele trei bisectoare ale triunghiului ABC se intersectează în punctul O. K L M Se demonstrează teorema. 2. trageți din acest punct perpendicularele OK, OL și respectiv OM pe dreptele AB, BC și CA.

Punct de intersecție al bisectoarelor perpendiculare

Perpendiculara mediană este o dreaptă care trece prin mijlocul unui segment dat și perpendiculară pe acesta.

Bisectoarele perpendiculare pe laturile triunghiului se intersectează într-un punct echidistant de vârfurile triunghiului.

Dovada:

B C A m n 1. Notăm cu litera O punctul de intersecție al bisectoarelor m și n laturilor AB și BC ale triunghiului ABC. O 2. Folosind teorema că fiecare punct al bisectoarei pe segment este echidistant de capetele acestui segment și invers: fiecare punct echidistant de capetele segmentului se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta, obținem că OB= OA și OB=OC. 3. Prin urmare, OA \u003d OC, adică punctul O este echidistant de capetele segmentului AC și, prin urmare, se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment. 4. Prin urmare, toate cele trei bisectoare perpendiculare m, n și p pe laturile triunghiului ABC se intersectează în punctul O. Se demonstrează teorema. R

Punctul de intersecție al înălțimilor (sau prelungirile acestora)

Înălțimea unui triunghi este perpendiculara trasată de la vârful oricărui unghi al triunghiului la linia care conține latura opusă.

Înălțimile unui triunghi sau prelungirile lor se intersectează într-un punct, care poate fi situat în triunghi sau poate fi în afara acestuia.

Dovada:

Să demonstrăm că dreptele AA 1 , BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Desenați o dreaptă prin fiecare vârf al triunghiului ABC paralel cu latura opusă. Obținem un triunghi A 2 B 2 C 2. 2. Punctele A, B și C sunt punctele mijlocii ale laturilor acestui triunghi. Într-adevăr, AB \u003d A 2 C și AB \u003d CB 2 ca laturi opuse ale paralelogramelor ABA 2 C și ABCB 2, deci A 2 C \u003d CB 2. În mod similar, C 2 A \u003d AB 2 și C 2 B \u003d BA 2. În plus, după cum rezultă din construcție, CC 1 este perpendicular pe A 2 B 2, AA 1 este perpendicular pe B 2 C 2 și BB 1 este perpendicular pe A 2 C 2 (din corolarul dreptelor paralele și teoremei secantei) . Astfel, dreptele AA 1, BB 1 și CC 1 sunt bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului A 2 B 2 C 2. Prin urmare, ele se intersectează la un moment dat. Teorema a fost demonstrată.

Să demonstrăm mai întâi teorema bisectoarei unghiului.

Teorema

Dovada

1) Luați un punct arbitrar M pe bisectoarea unghiului BAC, trasați perpendicularele MK și ML pe dreptele AB și AC și demonstrați că MK = ML (Fig. 224). Luați în considerare triunghiurile dreptunghiulare AM K și AML. Sunt egale în ipotenuză și unghi ascuțit (AM - ipotenuză comună, ∠1 = ∠2 după condiție). Prin urmare, MK = ML.

2) Fie punctul M să se afle în interiorul unghiului BAC și să fie echidistant de laturile sale AB și AC. Să demonstrăm că raza AM este bisectoarea unghiului BAC (vezi Fig. 224). Desenați perpendicularele MK și ML pe liniile drepte AB și AC. Triunghiurile dreptunghiulare AMK și AML sunt egale în ipotenuză și catete (AM - ipotenuză comună, MK = ML după condiție). Prin urmare, ∠1 = ∠2. Dar asta înseamnă că raza AM este bisectoarea unghiului BAC. Teorema a fost demonstrată.

Orez. 224

Corolarul 1

Consecința 2

Într-adevăr, să notăm cu litera O punctul de intersecție al bisectoarelor AA 1 și BB 1 ale triunghiului ABC și să tragem din acest punct perpendicularele OK, OL și respectiv OM pe dreptele AB, BC și CA (Fig. . 225). Prin teorema demonstrată OK = OM și OK = OL. Prin urmare, OM \u003d OL, adică punctul O este echidistant de laturile unghiului ACB și, prin urmare, se află pe bisectoarea CC 1 a acestui unghi. În consecință, toate cele trei bisectoare ale triunghiului ABC se intersectează în punctul O, ceea ce trebuia demonstrat.

Orez. 225

Proprietăți ale bisectoarei perpendiculare pe un segment de dreaptă

Bisectoarea perpendiculară a unui segment este o dreaptă care trece prin punctul de mijloc al segmentului dat și perpendiculară pe acesta.

Orez. 226

Să demonstrăm teorema pe bisectoarea perpendiculară pe un segment.

Teorema

Dovada

Fie drepta m bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB, punctul O este mijlocul acestui segment (Fig. 227, a).

Orez. 227

1) Se consideră un punct arbitrar M al dreptei m și se demonstrează că AM = VM. Dacă punctul M coincide cu punctul O, atunci această egalitate este adevărată, deoarece O este punctul de mijloc al segmentului AB. Fie M și O diverse puncte. Triunghiurile dreptunghiulare OAM și OBM sunt egale în două catete (OA = OB, OM - picior comun), prin urmare AM = VM.

2) Se consideră un punct arbitrar N, echidistant de capetele segmentului AB și se demonstrează că punctul N se află pe dreapta m. Dacă N este un punct al dreptei AB, atunci coincide cu mijlocul O al segmentului AB și, prin urmare, se află pe dreapta m. Dacă punctul N nu se află pe linia AB, atunci triunghiul ANB este isoscel, deoarece AN \u003d BN (Fig. 227, b). Segmentul NO este mediana acestui triunghi și, prin urmare, înălțimea. Astfel, NO ⊥ AB; prin urmare, dreptele ON și m coincid, adică N este un punct al dreptei m. Teorema a fost demonstrată.

Corolarul 1

Consecința 2

Pentru a demonstra această afirmație, luați în considerare bisectoarele m și n pe laturile AB și BC ale triunghiului ABC (Fig. 228). Aceste drepte se intersectează la un punct O. Într-adevăr, dacă presupunem contrariul, adică că m || n, atunci dreapta BA, fiind perpendiculară pe dreapta m, ar fi tot perpendiculară pe dreapta n paralelă cu aceasta, iar apoi două drepte BA și BC, perpendiculare pe dreapta n, ar trece prin punctul B, ceea ce este imposibil. .

Orez. 228

Conform teoremei demonstrate, OB = OA și OB = OS. Prin urmare, OA \u003d OC, adică punctul O este echidistant de capetele segmentului AC și, prin urmare, se află pe bisectoarea perpendiculară p pe acest segment. Prin urmare, toate cele trei bisectoare perpendiculare m, n și p pe laturile triunghiului ABC se intersectează în punctul O.

Teorema intersecției triunghiului

Am demonstrat că bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct, bisectoarele perpendiculare pe laturile triunghiului se intersectează într-un punct. Mai devreme s-a demonstrat că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct (secțiunea 64). Se dovedește, proprietate similară au înălțimile triunghiului.

Teorema

Dovada

Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC și demonstrați că dreptele AA 1 BB 1 și CC 1 care conțin înălțimile sale se intersectează într-un punct (Fig. 229).

Orez. 229

Desenați o linie prin fiecare vârf al triunghiului ABC paralel cu latura opusă. Obținem un triunghi A 2 B 2 C 2. Punctele A, B și C sunt punctele mijlocii ale laturilor acestui triunghi. Într-adevăr, AB \u003d A 2 C și AB \u003d CB 2 ca laturi opuse ale paralelogramelor ABA 2 C și ABCB 2, deci A 2 C \u003d CB 2. În mod similar, C 2 A \u003d AB 2 și C 2 B \u003d BA 2. În plus, după cum rezultă din construcție, CC 1 ⊥ A 2 B 2 , AA 1 ⊥ B 2 C 2 și BB 1 ⊥ A 2 C 2 . Astfel, dreptele AA 1, BB 1 și CC 1 sunt bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului A 2 B 2 C 2. Prin urmare, ele se intersectează la un moment dat. Teorema a fost demonstrată.

Deci, patru puncte sunt asociate fiecărui triunghi: punctul de intersecție al medianelor, punctul de intersecție al bisectoarelor, punctul de intersecție al perpendicularelor medii la laturi și punctul de intersecție al înălțimilor (sau prelungirile acestora) . Aceste patru puncte sunt numite punctele minunate ale triunghiului.

Sarcini

674. Din punctul M al bisectoarei unghiului neexpandat O se trasează perpendicularele MA și MB pe laturile acestui unghi. Demonstrați că AB ⊥ OM.

675. Laturile unghiului O ating fiecare dintre cele două cercuri având o tangentă comună în punctul A. Demonstrați că centrele acestor cercuri se află pe dreapta O A.

676. Laturile unghiului A ating un cerc cu centrul O de raza r. Aflați: a) OA, dacă r = 5 cm, ∠A = 60°; b) d, dacă ОА = 14 dm, ∠A = 90°.

677. Bisectoarele unghiurilor exterioare de la vârfurile B și C ale triunghiului ABC se intersectează în punctul O. Demonstrați că punctul O este centrul unui cerc tangent la liniile AB, BC, AC.

678. Bisectoarele AA 1 și BB 1 ale triunghiului ABC se intersectează în punctul M. Aflați unghiurile ACM și BCM dacă: a) ∠AMB = 136°; b) ∠AMB = 111°.

679. Bisectoarea perpendiculară pe latura BC a triunghiului ABC intersectează latura AC în punctul D. Aflați: a) AD și CD dacă BD = 5 cm, Ac = 8,5 cm; b) AC, dacă BD = 11,4 cm, AD = 3,2 cm.

680. Bisectoarele perpendiculare pe laturile AB și AC ale triunghiului ABC se intersectează în punctul D al laturii BC. Demonstrați că: a) punctul D este mijlocul laturii BC; b) ∠A - ∠B + ∠C.

681. Bisectoarea perpendiculară pe latura AB a unui triunghi isoscel ABC intersectează latura BC în punctul E. Aflați baza AC dacă perimetrul triunghiului AEC este de 27 cm și AB = 18 cm.

682. Triunghiurile isoscele ABC și ABD au o bază comună AB. Demonstrați că linia CD trece prin punctul de mijloc al segmentului AB.

683. Demonstrați că dacă laturile AB și AC dintr-un triunghi ABC nu sunt egale, atunci mediana AM a triunghiului nu este o altitudine.

684. Bisectoarele unghiului de la baza AB a unui triunghi isoscel ABC se intersectează în punctul M. Demonstrați că dreapta CM este perpendiculară pe dreapta AB.

685. Altitudinile AA 1 și BB 1 ale unui triunghi isoscel ABC, trase pe laturi, se intersectează în punctul M. Demonstrați că dreapta MC este bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB.

686. Construiți bisectoarea perpendiculară pe segmentul dat.

Soluţie

Fie AB segmentul dat. Să construim două cercuri cu centre în punctele A și B de raza AB (Fig. 230). Aceste cercuri se intersectează în două puncte M 1 și M 2 . Segmentele AM 1 , AM 2 , VM 1 , VM 2 sunt egale între ele ca razele acestor cercuri.

Orez. 230

Să trasăm o linie dreaptă M 1 M 2. Este bisectoarea perpendiculară necesară pentru segmentul AB. De fapt, punctele M 1 și M 2 sunt echidistante de capetele segmentului AB, deci se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment. Prin urmare, dreapta M 1 M 2 este bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB.

687. Având în vedere o dreaptă a și două puncte A și B situate pe aceeași parte a acestei drepte. Pe dreapta a, construiți un punct M, echidistant de la punctele A la B.

688. Se dau un unghi si un segment. Construiți un punct în interiorul unghiului dat, echidistant de laturile sale și echidistant de capetele segmentului dat.

Răspunsuri la sarcini

674. Instruire. Mai întâi demonstrează că triunghiul AOB este isoscel.

676. a) 10 cm; b) 7√2 dm.

678. a) 46° și 46°; b) 21° și 21°.

679. a) AB = 3,5 cm, CD = 5 cm; b) AC = 14,6 cm.

683. Instruire. Folosiți metoda demonstrației prin contradicție.

687. Instruire. Folosiți teorema articolului 75.

688. Instruire. Rețineți că punctul dorit se află pe bisectoarea unghiului dat.

1 Adică este echidistant de liniile care conțin laturile unghiului.

Conţinut

Introducere………………………………………………………………………………………………………… 3

Capitolul 1.

1.1 Triunghiul……………………………………………………………………………………………..4

1.2. Medianele triunghiulare

1.4. Înălțimile într-un triunghi

Concluzie

Lista literaturii folosite

Broșură

Introducere

Geometria este o ramură a matematicii care se ocupă de diferite forme și proprietățile acestora. Geometria începe cu un triunghi. Timp de două milenii și jumătate, triunghiul a fost un simbol al geometriei; dar nu este doar un simbol, triunghiul este un atom al geometriei.

În lucrarea mea, voi lua în considerare proprietățile punctelor de intersecție ale bisectoarelor, medianelor și altitudinilor unui triunghi, voi vorbi despre proprietățile lor remarcabile și despre liniile triunghiului.

Aceste puncte studiate la cursul de geometrie școlară includ:

a) punctul de intersecție al bisectoarelor (centrul cercului înscris);

b) punctul de intersecție al perpendicularelor mediale (centrul cercului circumscris);

c) punctul de intersecție al înălțimilor (ortocentrul);

d) punctul de intersecție al medianelor (centroid).

Relevanţă: extinde-ți cunoștințele despre triunghi,proprietățile salepuncte minunate.

Ţintă: studiul unui triunghi pe punctele sale remarcabile,studiindu-leclasificări și proprietăți.

Sarcini:

1. Explorează literatura necesara

2. Studiază clasificarea punctelor remarcabile ale triunghiului

3. Fii capabil să construiești puncte minunate ale unui triunghi.

4. Rezumați materialul studiat pentru proiectarea broșurii.

Ipoteza proiectului:

capacitatea de a găsi puncte remarcabile în orice triunghi vă permite să rezolvați probleme de construcție geometrică.

Capitolul 1. Informații istorice despre punctele remarcabile ale triunghiului

În cartea a patra a „Începuturilor” Euclid rezolvă problema: „Înscrie un cerc într-un triunghi dat”. Din soluție rezultă că cele trei bisectoare ale unghiurilor interioare ale unui triunghi se intersectează într-un punct - centrul cercului înscris. Din rezolvarea unei alte probleme a lui Euclid, rezultă că perpendicularele restaurate pe laturile triunghiului la mijlocul lor se intersectează și ele într-un punct - centrul cercului circumscris. „Principiile” nu spune că cele trei înălțimi ale unui triunghi se intersectează într-un punct, numit ortocentru (cuvântul grecesc „orthos” înseamnă „drept”, „corect”). Această propunere era totuși cunoscută de Arhimede, Pappus, Proclus.

Al patrulea punct singular al triunghiului este punctul de intersecție al medianelor. Arhimede a demonstrat că este centrul de greutate (baricentrul) al triunghiului. Au fost extrase cele patru puncte de mai sus Atentie speciala, iar din secolul al XVIII-lea au fost numite puncte „remarcabile” sau „speciale” ale triunghiului.

Studiul proprietăților unui triunghi asociat cu aceste și alte puncte a servit drept început pentru crearea unei noi ramuri a matematicii elementare - „geometria triunghiulară” sau „geometria triunghiulară nouă”, unul dintre fondatorii căruia a fost Leonhard Euler. În 1765, Euler a demonstrat că în orice triunghi, ortocentrul, baricentrul și centrul cercului circumscris se află pe aceeași linie, numită mai târziu „linia lui Euler”.

Triunghi - figură geometrică, format din trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi. Puncte -culmi triunghiuri, segmente de linielaturi triunghi.

ÎN A, B, C - vârfuri

AB, BC, SA - laturi

A C

Fiecare triunghi are patru puncte asociate:

Punctul de intersecție al medianelor;

Punct de intersecție bisectoare;

Punct de trecere înălțime.

Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare;

1.2. Medianele triunghiulare

triunghi medina - , conectând partea superioară cu mijlocul laturii opuse (Figura 1). Punctul de intersecție al medianei cu latura triunghiului se numește baza medianei.

Figura 1. Medianele unui triunghi

Să construim punctele de mijloc ale laturilor triunghiului și să desenăm un segment de linie care leagă fiecare dintre vârfuri cu punctul de mijloc al laturii opuse. Astfel de segmente sunt numite mediană.

Și din nou observăm că aceste segmente se intersectează la un punct. Dacă măsurăm lungimile segmentelor rezultate ale medianelor, atunci putem verifica încă o proprietate: punctul de intersecție al medianelor împarte toate medianele într-un raport de 2: 1, numărând de la vârfuri. Și totuși, triunghiul, care se sprijină pe vârful acului în punctul de intersecție al medianelor, este în echilibru! Un punct cu această proprietate se numește centru de greutate (baricentru). Centrul de mase egale este uneori numit centroid. Prin urmare, proprietățile medianelor unui triunghi pot fi formulate astfel: medianele unui triunghi se intersectează la centrul de greutate, iar punctul de intersecție este împărțit într-un raport de 2:1, numărând de la vârf.

1.3. Bisectoare triunghiulare

bisectoare numit bisectoarea unui unghi trasat de la vârful unghiului până la intersecția acestuia cu latura opusă. Triunghiul are trei bisectoare corespunzătoare celor trei vârfuri ale sale (Figura 2).

Figura 2. Bisectoarea unui triunghi

Într-un triunghi arbitrar ABC, desenăm bisectoarele unghiurilor sale. Și din nou, cu construcția exactă, toate cele trei bisectoare se vor intersecta într-un punct D. Punctul D este, de asemenea, neobișnuit: este echidistant de toate cele trei laturi ale triunghiului. Acest lucru poate fi verificat prin scăderea perpendicularelor DA 1, DB 1 și DC1 pe laturile triunghiului. Toate sunt egale: DA1=DB1=DC1.

Dacă desenați un cerc centrat în punctul D și raza DA 1, atunci acesta va atinge toate cele trei laturi ale triunghiului (adică va avea un singur punct comun cu fiecare dintre ele). Un astfel de cerc se numește înscris într-un triunghi. Deci, bisectoarele unghiurilor unui triunghi se intersectează în centrul cercului înscris.

1.4. Înălțimile într-un triunghi

Înălțimea triunghiului - , scăpat de sus pe partea opusă sau o linie dreaptă care coincide cu latura opusă. În funcție de tipul de triunghi, înălțimea poate fi conținută în triunghi (pentru triunghi), coincide cu latura sa (fi triunghi) sau trece în afara triunghiului la un triunghi obtuz (Figura 3).

Figura 3. Înălțimi în triunghiuri

Dacă construiți trei înălțimi într-un triunghi, atunci toate se intersectează într-un punct H. Acest punct se numește ortocentru. (Figura 4).

Folosind construcții, puteți verifica că, în funcție de tipul de triunghi, ortocentrul este situat diferit:

la un triunghi ascuțit - în interior;

într-un dreptunghiular - pe ipotenuză;

obtuz – afară.

Figura 4. Ortocentrul unui triunghi

Astfel, ne-am familiarizat cu un alt punct remarcabil al triunghiului și putem spune că: înălțimile triunghiului se intersectează la ortocentru.

1.5. Perpendiculare medii pe laturile unui triunghi

Bisectoarea perpendiculară a unui segment este o dreaptă perpendiculară pe segmentul dat și care trece prin punctul său de mijloc.

Să desenăm un triunghi arbitrar ABC și să desenăm bisectoarele perpendiculare pe laturile sale. Dacă construcția se face exact, atunci toate perpendicularele se vor intersecta într-un punct - punctul O. Acest punct este echidistant de toate vârfurile triunghiului. Cu alte cuvinte, dacă desenați un cerc centrat în punctul O, care trece printr-unul dintre vârfurile triunghiului, atunci acesta va trece prin celelalte două vârfuri ale sale.

Un cerc care trece prin toate vârfurile unui triunghi se numește cerc circumscripțional. Prin urmare, proprietatea stabilită a unui triunghi poate fi formulată astfel: bisectoarele perpendiculare pe laturile triunghiului se intersectează în centrul cercului circumscris (Figura 5).

Figura 5. Triunghi înscris într-un cerc

capitolul 2

Explorarea înălțimii în triunghiuri

Toate cele trei înălțimi ale unui triunghi se intersectează într-un punct. Acest punct se numește ortocentrul triunghiului.

Înălțimile unui triunghi cu unghi ascuțit sunt situate strict în interiorul triunghiului.

În consecință, punctul de intersecție al înălțimilor se află și în interiorul triunghiului.

Într-un triunghi dreptunghic, cele două înălțimi sunt aceleași cu laturile. (Acestea sunt înălțimile trasate de la vârfurile unghiurilor ascuțite la picioare).

Altitudinea trasată de ipotenuză se află în interiorul triunghiului.

AC este înălțimea trasă de la vârful C la latura AB.

AB este înălțimea trasă de la vârful B la latura AC.

AK este înălțimea trasă de la vârful unghiului drept A la ipotenuza BC.

Înălțimile unui triunghi dreptunghic se intersectează la vârful unghiului drept (A este ortocentrul).

Într-un triunghi obtuz, există o singură înălțime în interiorul triunghiului - cea desenată din vârful unghiului obtuz.

Celelalte două înălțimi se află în afara triunghiului și sunt coborâte până la prelungirea laturilor triunghiului.

AK este înălțimea trasă de latura BC.

BF este înălțimea trasă la prelungirea laturii AC.

CD este înălțimea trasă la prelungirea laturii AB.

Punctul de intersecție al înălțimilor unui triunghi obtuz este, de asemenea, în afara triunghiului:

H este ortocentrul triunghiului ABC.

Studiul bisectoarelor într-un triunghi

Bisectoarea unui triunghi este partea bisectoarei unui triunghi (o rază) care se află în interiorul triunghiului.

Toate cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

Punctul de intersecție al bisectoarelor în triunghiuri acute, obtuze și dreptunghiulare este centrul cercului înscris în triunghi și este situat în interior.

Cercetați medianele într-un triunghi

Deoarece un triunghi are trei vârfuri și trei laturi, există și trei segmente care leagă vârful și punctul de mijloc al laturii opuse.

După ce am examinat aceste triunghiuri, mi-am dat seama că în orice triunghi medianele se intersectează într-un punct. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului.

Investigarea bisectoarelor perpendiculare pe latura unui triunghi

Midperpendicular Un triunghi este o perpendiculară pe mijlocul unei laturi a unui triunghi.

Cele trei bisectoare perpendiculare ale unui triunghi se intersectează într-un punct și sunt centrul cercului circumscris.

Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare dintr-un triunghi ascuțit se află în interiorul triunghiului; în obtuz - în afara triunghiului; într-un dreptunghiular – în mijlocul ipotenuzei.

Concluzie

Pe parcursul lucrărilor efectuate, ajungem la următoarele concluzii:

Obiectiv atins:a explorat triunghiul și a găsit punctele sale remarcabile.

Sarcinile setate au fost rezolvate:

1). Am studiat literatura necesară;

2). A studiat clasificarea punctelor remarcabile ale triunghiului;

3). A învățat cum să construiți puncte minunate ale unui triunghi;

4). Rezumat materialul studiat pentru proiectarea broșurii.

S-a confirmat ipoteza că capacitatea de a găsi punctele remarcabile ale unui triunghi ajută la rezolvarea problemelor de construcție.

Lucrarea prezintă în mod constant tehnicile de construire a punctelor remarcabile ale unui triunghi, informatii istorice despre construcții geometrice.

Informațiile din această lucrare pot fi utile în lecțiile de geometrie din clasa a VII-a. Broșura poate deveni o carte de referință despre geometrie pe tema prezentată.

Bibliografie

Manual. L.S. Atanasyan „Geometrie 7-9 claseMnemosyne, 2015.

Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Portal Scarlet Sails

Conducere portal educațional Rusia http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157

Ministerul Educației și Științei Federația Rusă bugetul statului federal instituție educațională superior învăţământul profesional

„Magnitogorsk Universitate de stat»

Facultatea de Fizică și Matematică

Departamentul de Algebră și Geometrie

Lucrări de curs

Puncte remarcabile ale triunghiului

Finalizat: elev din grupa 41

Vakhrameeva A.M.

Director stiintific

Velikikh A.S.

Magnitogorsk 2014

Introducere

Din punct de vedere istoric, geometria a început cu un triunghi, așa că timp de două milenii și jumătate triunghiul a fost, parcă, un simbol al geometriei; dar el nu este doar un simbol, el este un atom al geometriei.

De ce un triunghi poate fi considerat un atom al geometriei? Pentru că conceptele precedente - punct, linie și unghi - sunt abstracții obscure și intangibile, împreună cu un set de teoreme și probleme asociate acestora. Prin urmare, astăzi, geometria școlară poate deveni doar interesantă și semnificativă, abia atunci poate deveni geometria propriu-zisă, atunci când în ea apare un studiu profund și cuprinzător al triunghiului.

În mod surprinzător, triunghiul, în ciuda aparentei sale simplități, este un obiect de studiu inepuizabil - nimeni, nici măcar în timpul nostru, nu îndrăznește să spună că a studiat și cunoaște toate proprietățile unui triunghi.

Aceasta înseamnă că studiul geometriei școlare nu poate fi realizat fără un studiu profund al geometriei unui triunghi; având în vedere diversitatea triunghiului ca obiect de studiu - și, prin urmare, sursa diverselor metode de studiere a acestuia - este necesar să se selecteze și să se dezvolte material pentru studierea geometriei punctelor remarcabile ale triunghiului. Mai mult, atunci când selectați acest material, nu trebuie să vă limitați doar la punctele remarcabile prevăzute în curiculumul scolar Stat standard educațional, cum ar fi centrul cercului înscris (punctul de intersecție al bisectoarelor), centrul cercului circumscris (punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare), punctul de intersecție al medianelor, punctul de intersecție al înălțimi. Dar pentru a pătrunde profund în natura triunghiului și pentru a înțelege inepuizabilitatea lui, este necesar să avem idei despre cum Mai mult punctele minunate ale triunghiului. Pe lângă inepuizabilitatea unui triunghi ca obiect geometric, este necesar să remarcăm cea mai uimitoare proprietate a unui triunghi ca obiect de studiu: studiul geometriei unui triunghi poate începe cu studiul oricăreia dintre proprietățile sale, luându-l ca bază; atunci metodologia de studiu a triunghiului poate fi construită în așa fel încât toate celelalte proprietăți ale triunghiului să fie înșirate pe această bază. Cu alte cuvinte, indiferent de unde începi să studiezi triunghiul, poți oricând să ajungi la orice adâncime a acestei figuri uimitoare. Dar apoi - ca opțiune - puteți începe să studiați triunghiul studiind punctele sale remarcabile.

Ţintă termen de hârtie constă în studierea punctelor remarcabile ale triunghiului. Pentru a atinge acest obiectiv, este necesar să rezolvați următoarele sarcini:

· Să studieze conceptele de bisectoare, mediană, înălțime, bisectoare perpendiculară și proprietățile acestora.

· Luați în considerare punctul Gergonne, cercul Euler și linia Euler, care nu sunt studiate la școală.

CAPITOLUL 1. Bisectoarea unui triunghi, centrul cercului înscris al unui triunghi. Proprietățile bisectoarei unui triunghi. Point Gergonne

1 Triunghi în centrul cercului

Punctele remarcabile ale unui triunghi sunt puncte a căror locație este determinată în mod unic de triunghi și nu depinde de ordinea în care sunt luate laturile și vârfurile triunghiului.

Bisectoarea unui triunghi este segmentul bisectoarei unghiului unui triunghi care leagă un vârf de un punct de pe latura opusă.

Teorema. Fiecare punct al bisectoarei unui unghi neexpandat este echidistant (adică, echidistant de liniile care conțin laturile triunghiului) de laturile sale. În schimb, fiecare punct situat în interiorul unui unghi și echidistant de laturile unghiului se află pe bisectoarea sa.

Dovada. 1) Luați un punct arbitrar M pe bisectoarea unghiului BAC, trageți perpendicularele MK și ML pe dreptele AB și AC și demonstrați că MK=ML. Luați în considerare triunghiuri dreptunghiulare ?AMK și ?AML. Sunt egale în ipotenuză și unghi ascuțit (AM - ipotenuză comună, 1 = 2 după condiție). Prin urmare, MK=ML.

) Fie punctul M să se afle în interiorul BAC și să fie echidistant de laturile sale AB și AC. Să demonstrăm că raza AM este bisectoarea BAC. Desenați perpendicularele MK și ML pe liniile drepte AB și AC. Triunghiurile dreptunghiulare AKM și ALM sunt egale în ipotenuză și catete (AM - ipotenuză comună, MK = ML după condiție). Prin urmare, 1 = 2. Dar asta înseamnă că raza AM este bisectoarea BAC. Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct, (centrul cercului înscris și centrul).

Să notăm cu litera O punctul de intersecție al bisectoarelor AA1 și BB1 ale triunghiului ABC și să trasăm din acest punct perpendicularele OK, OL și respectiv OM pe dreptele AB, BC și CA. Conform teoremei (Fiecare punct al bisectoarei unui unghi neexpandat este echidistant de laturile sale. Dimpotrivă: fiecare punct situat în interiorul unghiului și echidistant de laturile unghiului se află pe bisectoarea sa) spunem că OK \u003d OM și OK \u003d OL. Prin urmare, OM = OL, adică punctul O este echidistant de laturile ACB și, prin urmare, se află pe bisectoarea CC1 a acestui unghi. Prin urmare, toate cele trei bisectoare ?ABC-urile se intersectează în punctul O, ceea ce trebuia demonstrat.

cerc bisectoare triunghi drept

1.2 Proprietăți ale bisectoarei unui triunghi

Bisectoare BD (Fig. 1.1) a oricărui unghi ?ABC împarte latura opusă în părți AD și CD, proporțional cu laturile adiacente ale triunghiului.

Este necesar să se demonstreze că dacă ABD = DBC, atunci AD: DC = AB: BC.

Să conducem CE || BD până la intersecția în punctul E cu continuarea laturii AB. Apoi, conform teoremei privind proporționalitatea segmentelor formate pe drepte intersectate de mai multe drepte paralele, vom avea proporția: AD: DC = AB: BE. Pentru a trece de la această proporție la cea de demonstrat, este suficient să constatăm că BE = BC, adică că ?ALL este echilateral. În acest triunghi, E \u003d ABD (ca unghiuri corespunzătoare la linii paralele) și ALL \u003d DBC (ca unghiuri situate transversal cu aceleași linii paralele).

Dar ABD = DBC prin convenție; prin urmare, E = ALL și, prin urmare, laturile BE și BC, situate opuse unghiurilor egale, sunt de asemenea egale.

Acum, înlocuind BE cu BC în proporția scrisă mai sus, obținem proporția care trebuie demonstrată.

20 Bisectoarele unghiurilor interior și adiacent ale unui triunghi sunt perpendiculare.

Dovada. Fie BD bisectoarea lui ABC (Fig.1.2), iar BE fie bisectoarea CBF externă adiacentă unghiului intern specificat, ?ABC. Atunci dacă notăm ABD = DBC = ?, CBE=EBF= ?, apoi 2 ? + 2?= 1800 și astfel ?+ ?= 900. Și asta înseamnă că BD? FI.

30 Bisectoarea unghiului exterior al unui triunghi împarte latura opusă în exteriorîn părți proporționale cu laturile adiacente.

(Fig.1.3) AB: BC = AD: DC, ?AED ~ ?CBD, AE/BC = AD/DC = AE/BC.

40 Bisectoarea oricărui unghi al unui triunghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente ale triunghiului.

Dovada. Considera ?ABC. Fie, pentru certitudine, bisectoarea CAB intersectează latura BC în punctul D (Fig. 1.4). Să arătăm că BD: DC = AB: AC. Pentru a face acest lucru, trasăm o dreaptă prin punctul C paralelă cu dreapta AB și notăm cu E punctul de intersecție al acestei drepte AD. Apoi DAB=DEC, ABD=ECD și prin urmare ?DAB ~ ?DEC pe primul semn de asemănare a triunghiurilor. În plus, deoarece raza AD este bisectoarea lui CAD, atunci CAE = EAB = AEC și, prin urmare, ?ECA isoscel. Prin urmare AC=CE. Dar în acest caz, din similitudine ?DAB și ?DEC implică faptul că BD: DC=AB: CE =AB: AC și aceasta este ceea ce trebuia să fie demonstrat.

Dacă bisectoarea unui unghi extern al unui triunghi intersectează continuarea laturii opuse vârfului acestui unghi, atunci segmentele de la punctul de intersecție rezultat până la capetele laturii opuse sunt proporționale cu laturile adiacente ale triunghiului.

Dovada. Considera ?ABC. Fie F un punct pe prelungirea laturii CA, D fie punctul de intersecție al bisectoarei triunghiului exterior BAF cu prelungirea laturii CB (Fig. 1.5). Să arătăm că DC:DB=AC:AB. Într-adevăr, trasăm o dreaptă prin punctul C paralelă cu dreapta AB și notăm cu E punctul de intersecție al acestei drepte cu dreapta DA. Apoi triunghiul ADB ~ ?EDC și, prin urmare, DC:DB=EC:AB. Și de când ?EAC= ?RĂU= ?CEA, apoi în isoscel ?CEA partea AC=EC și astfel DC:DB=AC:AB, ceea ce urma să fie demonstrat.

3 Rezolvarea problemelor privind aplicarea proprietăților bisectoarei

Problema 1. Fie O centrul unui cerc înscris în ?ABC, CAB= ?. Demonstrați că COB = 900 + ? /2.

Soluţie. Deoarece O este centrul înscrisului ?Cercuri ABC (Figura 1.6), apoi razele BO și CO sunt bisectoarele lui ABC și, respectiv, BCA. Și apoi COB \u003d 1800 - (OBC + BCO) \u003d 1800 - (ABC + BCA) / 2 \u003d 1800 - (1800 - ?)/2 = 900 + ?/2, care urma să fie dovedit.

Problema 2. Fie O centrul circumscrisului ?ABC al cercului, H este baza înălțimii trasate pe latura BC. Demonstrați că bisectoarea lui CAB este și bisectoarea lui ? OAH.

Fie AD bisectoarea lui CAB, AE diametrul lui ?Cercuri ABC (Fig.1.7,1.8). Dacă ?ABC - acut (Fig. 1.7) și, prin urmare, ABC<900, то так как ABC = AEC= ½ arcuri AC și ?BHA și ?ECA dreptunghiulară (BHA =ECA = 900), apoi ?BHA~ ?ECA și deci CAO = CAE =HAB. În plus, BAD și CAD sunt egale în funcție de condiție, deci HAD = BAD - BAH =CAD - CAE = EAD = OAD. Fie acum ABC = 900 . În acest caz, înălțimea AH coincide cu latura AB, atunci punctul O va aparține ipotenuzei AC și, prin urmare, validitatea enunțului problemei este evidentă.

Luați în considerare cazul când ABC > 900 (Fig. 1.8). Aici patrulaterul ABCE este înscris într-un cerc și deci AEC = 1800 - ABC. Pe de altă parte, ABH = 1800 - ABC, i.e. AEC=ABH. Și de când ?BHA și ?ECA - dreptunghiular și, prin urmare, HAB = 900 - ABH = 900 - AEC = EAC, apoi HAD = HAB + BAD = EAC + CAD = EAD = OAD. Cazurile în care BAC și ACB sunt obtuze sunt tratate în mod similar. ?

4 puncte Gergonne

Punctul Gergonne este punctul de intersecție al segmentelor care leagă vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale laturilor opuse acestor vârfuri și cercul înscris în triunghi.

Fie punctul O centrul cercului triunghiului ABC. Lăsați cercul înscris să atingă laturile triunghiului BC, AC și AB în punctele D,Eși, respectiv, F. Punctul Gergonne este punctul de intersecție al segmentelor AD, BE și CF. Fie punctul O centrul cercului înscris ?ABC. Fie ca cercul înscris să atingă laturile triunghiului BC, AC și AB în punctele D, E și, respectiv, F. Punctul Gergonne este punctul de intersecție al segmentelor AD, BE și CF.

Să demonstrăm că aceste trei segmente se intersectează într-adevăr la un moment dat. Rețineți că centrul cercului înscris este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiului ?ABC, iar razele cercului înscris sunt OD, OE și OF ?laturile triunghiului. Astfel, avem trei perechi de triunghiuri egale (AFO și AEO, BFO și BDO, CDO și CEO).

Funcționează AF?BD? CE și AE? FI? CF sunt egale, deoarece BF = BD, CD = CE, AE = AF, prin urmare, raportul acestor produse este egal, iar după teorema Ceva (Fie punctele A1, B1, C1 să se afle pe laturile BC, AC și AB ?ABC, respectiv. Fie ca segmentele AA1, BB1 si CC1 sa se intersecteze intr-un punct, apoi

(ocolim triunghiul în sensul acelor de ceasornic)), segmentele se intersectează într-un punct.

Proprietățile cercului înscris:

Se spune că un cerc este înscris într-un triunghi dacă atinge toate laturile sale.

Orice triunghi poate fi înscris într-un cerc.

Având în vedere: ABC - un triunghi dat, O - punctul de intersecție al bisectoarelor, M, L și K - punctele de contact ale cercului cu laturile triunghiului (Fig. 1.11).

Demonstrați: O este centrul unui cerc înscris în ABC.

Dovada. Să desenăm din punctul O perpendicularele OK, OL și respectiv OM către laturile AB, BC și CA (Fig. 1.11). Deoarece punctul O este echidistant de laturile triunghiului ABC, atunci OK \u003d OL \u003d OM. Prin urmare, un cerc cu centrul O de raza OK trece prin punctele K, L, M. Laturile triunghiului ABC ating acest cerc în punctele K, L, M, deoarece sunt perpendiculare pe razele OK, OL și OM. Prin urmare, cercul cu centrul O de raza OK este înscris în triunghiul ABC. Teorema a fost demonstrată.

Centrul unui cerc înscris într-un triunghi este punctul de intersecție al bisectoarelor acestuia.

Să fie dat ABC, O - centrul cercului înscris în el, D, E și F - punctele de contact ale cercului cu laturile (Fig. 1.12). ? AEO=? AOD de-a lungul ipotenuzei și catetei (EO = OD - ca o rază, AO - total). Ce rezultă din egalitatea triunghiurilor? OAD=? OAE. Deci AO este bisectoarea unghiului EAD. Se dovedește în același mod că punctul O se află pe celelalte două bisectoare ale triunghiului.

Raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe tangente.

Dovada. Fie cercul (O; R) un cerc dat (Fig. 1.13), linia a îl atinge în punctul P . Fie raza OP să nu fie perpendiculară pe a . Desenați o perpendiculară OD din punctul O la tangentă. Prin definiția unei tangente, toate punctele sale, altele decât punctul P, și în special punctul D, se află în afara cercului. Prin urmare, lungimea perpendicularei OD este mai mare decât R lungimea oblicului OP. Aceasta contrazice proprietatea oblică, iar contradicția obținută dovedește afirmația.

CAPITOLUL 2. 3 puncte remarcabile ale unui triunghi, cercul lui Euler, dreapta lui Euler.

1 Centrul cercului circumscris unui triunghi

Bisectoarea perpendiculară a unui segment este o dreaptă care trece prin punctul de mijloc al segmentului și perpendiculară pe acesta.

Teorema. Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este echidistant de capetele acestui segment. În schimb, fiecare punct echidistant de capetele segmentului se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.

Dovada. Fie drepta m bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB, iar punctul O mijlocul segmentului.

Se consideră un punct arbitrar M al dreptei m și se demonstrează că AM=BM. Dacă punctul M coincide cu punctul O, atunci această egalitate este adevărată, deoarece O este punctul de mijloc al segmentului AB. Fie M și O puncte diferite. Dreptunghiular ?OAM și ?OBM sunt egale în două catete (OA = OB, OM - picior comun), prin urmare AM = VM.

) Se consideră un punct arbitrar N, echidistant de capetele segmentului AB și se demonstrează că punctul N se află pe dreapta m. Dacă N este un punct al dreptei AB, atunci coincide cu mijlocul O al segmentului AB și, prin urmare, se află pe dreapta m. Dacă punctul N nu se află pe dreapta AB, atunci luați în considerare ?ANB, care este isoscel, deoarece AN=BN. Segmentul NO este mediana acestui triunghi și, prin urmare, înălțimea. Astfel, NO este perpendicular pe AB, deci dreptele ON și m coincid și, prin urmare, N este un punct al dreptei m. Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Bisectoarele perpendiculare pe laturile triunghiului se intersectează într-un punct, (centrul cercului circumscris).

Să notăm O, punctul de intersecție al perpendicularelor mediale m și n pe laturile AB și BC ?ABC. Conform teoremei (fiecare punct al bisectoarei pe segment este echidistant de capetele acestui segment. Dimpotrivă: fiecare punct echidistant de capetele segmentului se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.) concluzionăm că OB=OA și OB=OC deci: OA=OC, adică punctul O este echidistant de capetele segmentului AC și, prin urmare, se află pe bisectoarea perpendiculară p pe acest segment. Prin urmare, toate cele trei bisectoare perpendiculare m, n și p pe laturi ?ABC se intersectează în punctul O.

Pentru un triunghi cu unghi ascuțit, acest punct se află în interior, pentru un triunghi obtuz - în afara triunghiului, pentru unul dreptunghic - în mijlocul ipotenuzei.

Proprietatea bisectoarei perpendiculare a unui triunghi:

Dreaptele pe care se află bisectoarele unghiurilor interior și exterior ale triunghiului, care ies dintr-un vârf, se intersectează cu perpendiculara pe latura opusă în puncte diametral opuse ale cercului circumscris triunghiului.

Dovada. Fie, de exemplu, bisectoarea ABC intersectează circumscrisul ?ABC este cercul din punctul D (Fig. 2.1). Apoi, deoarece ABD și DBC înscrise sunt egale, atunci AD = arc DC. Dar bisectoarea perpendiculară pe latura AC bisectează și arcul AC, deci și punctul D va aparține acestei bisectoare perpendiculare. Mai mult, deoarece, conform proprietății 30 din paragraful 1.3, bisectoarea BD ABC adiacentă cu ABC, aceasta din urmă va intersecta cercul într-un punct diametral opus punctului D, deoarece unghiul drept înscris se sprijină întotdeauna pe diametru.

2 Ortocentrul cercului triunghiular

Înălțimea este perpendiculara trasată de la vârful triunghiului la linia care conține latura opusă.

Înălțimile triunghiului (sau prelungirile lor) se intersectează într-un punct, (ortocentru).

Dovada. Luați în considerare un arbitrar ?ABC și demonstrați că dreptele AA1, BB1, CC1 care conțin înălțimile sale se intersectează într-un punct. Treceți prin fiecare vârf ?ABC este o linie dreaptă paralelă cu latura opusă. obține ?A2B2C2. Punctele A, B și C sunt punctele mijlocii ale laturilor acestui triunghi. Într-adevăr, AB=A2C și AB=CB2 ca laturi opuse ale paralelogramelor ABA2C și ABCB2, deci A2C=CB2. În mod similar C2A=AB2 și C2B=BA2. În plus, după cum rezultă din construcție, CC1 este perpendicular pe A2B2, AA1 este perpendicular pe B2C2 și BB1 este perpendicular pe A2C2. Astfel, liniile AA1, BB1 și CC1 sunt bisectoare perpendiculare pe laturi ?A2B2C2. Prin urmare, ele se intersectează la un moment dat.

În funcție de tipul de triunghi, ortocentrul poate fi în interiorul triunghiului în triunghiuri ascuțite, în afara acestuia - în triunghiuri obtuz-unghiulare sau coincide cu vârful, în cele dreptunghiulare - coincide cu vârful în unghi drept.

Proprietățile înălțimii triunghiului:

Un segment care leagă bazele a două altitudini ale unui triunghi ascuțit decupează din el un triunghi similar celui dat, cu un coeficient de asemănare egal cu cosinusul unghiului comun.

Dovada. Fie AA1, BB1, CC1 înălțimile unui triunghi ascuțit ABC și ABC = ?(Fig. 2.2). Triunghiurile dreptunghiulare BA1A și CC1B au un comun ?, deci sunt similare și, prin urmare, BA1/BA = BC1/BC = cos ?. Rezultă că BA1/BC1=BA/BC = cos ?, adică V ?C1BA1 și ?Laturile ABC adiacente comunelor ??C1BA1~ ?ABC, iar coeficientul de similitudine este egal cu cos ?. În mod similar, se demonstrează că ?A1CB1~ ?ABC cu coeficient de similaritate cos BCA, și ?B1AC1~ ?ABC cu coeficient de similitudine cos CAB.

Altitudinea coborâtă pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic îl împarte în două triunghiuri asemănătoare între ele și asemănătoare triunghiului inițial.

Dovada. Luați în considerare un dreptunghiular ?ABC, care are ?BCA \u003d 900, iar CD este înălțimea sa (Fig. 2.3).

Apoi asemănarea ?ADC și ?BDC rezultă, de exemplu, din criteriul asemănării triunghiurilor dreptunghiulare în proporționalitate a două catete, întrucât AD/CD = CD/DB. Fiecare dintre triunghiurile dreptunghiulare ADC și BDC este similar cu triunghiul dreptunghic inițial, cel puțin pe baza criteriului de similitudine la două unghiuri.

Rezolvarea problemelor privind utilizarea proprietăților înălțimii

Problema 1. Demonstrați că un triunghi, al cărui vârfuri este vârful unui triunghi obtuz-unghi dat, iar celelalte două vârfuri sunt bazele altitudinilor unui triunghi obtuz-unghi, omis din celelalte două vârfuri ale sale, este similar la triunghiul dat cu un coeficient de asemănare egal cu modulul cosinusului unghiului de la primul vârf .

Soluţie. Luați în considerare un obtuz ?ABC cu CAB tocit. Fie AA1, BB1, CC1 înălțimile sale (Fig. 2.4, 2.5, 2.6) și fie CAB = ?, ABC = ? , BCA = ?.

Dovada faptului că ?C1BA1~ ?ABC (Figura 2.4) cu coeficient de similitudine k = cos ?, repetă integral raționamentul efectuat în dovada proprietății 1, pct. 2.2.

Să demonstrăm asta ?A1CB~ ?ABC (Fig. 2.5) cu coeficient de similitudine k1= cos ?, A ?B1AC1~ ?ABC (Fig. 2.6) cu coeficient de similitudine k2 = |cos? |.

Într-adevăr, triunghiurile dreptunghiulare CA1A și CB1B au un unghi comun ?și deci asemănătoare. Rezultă că B1C/ BC = A1C / AC= cos ?și, prin urmare, B1C/ A1C = BC / AC = cos ?, adică în triunghiurile A1CB1 și ABC laturile care formează un comun ??, sunt proporționale. Și apoi, conform celui de-al doilea criteriu pentru asemănarea triunghiurilor ?A1CB~ ?ABC, iar coeficientul de similitudine k1= cos ?. În ceea ce privește ultimul caz (Fig. 2.6), apoi din luarea în considerare a triunghiurilor dreptunghiulare ?BB1A și ?CC1A cu egali colțuri verticale BAB1 și C1AC rezultă că sunt similare și deci B1A / BA = C1A / CA = cos (1800 - ?) = |cos ?|, din moment ce ??- contondent. Prin urmare B1A / C1A = BA /CA = |cos ?| și astfel în triunghiuri ?B1AC1 și ?Se formează laturile ABC unghiuri egale, sunt proporționale. Și asta înseamnă că ?B1AC1~ ?ABC cu coeficient de similitudine k2 = |cos? |.

Problema 2. Demonstrați că dacă punctul O este punctul de intersecție al înălțimilor unui triunghi unghiular ABC, atunci ABC + AOC = 1800, BCA + BOA = 1800, CAB + COB = 1800.

Soluţie. Să demonstrăm validitatea primei formule date în condiția problemei. Valabilitatea celor două formule rămase este dovedită în mod similar. Deci să fie ABC = ?, AOC = ?. A1, B1 și C1 - bazele înălțimilor triunghiului trasate de la vârfurile A, B și, respectiv, C (Fig. 2.7). Apoi din triunghiul dreptunghic BC1C rezultă că BCC1 = 900 - ?si astfel in triunghiul dreptunghic OA1C unghiul COA1 este ?. Dar suma unghiurilor AOC + COA1 = ? + ?dă un unghi drept și deci AOC + COA1 = AOC + ABC = 1800, ceea ce urma să fie demonstrat.

Problema 3. Demonstrați că altitudinile unui triunghi cu unghi ascuțit sunt bisectoarele unghiurilor unui triunghi ale cărui vârfuri sunt bazele altitudinilor triunghi dat.

Fig.2.8

Soluţie. Fie AA1, BB1, CC1 înălțimile unui triunghi ascuțit ABC și fie CAB = ?(Figura 2.8). Să demonstrăm, de exemplu, că înălțimea AA1 este bisectoarea unghiului C1A1B1. Într-adevăr, deoarece triunghiurile C1BA1 și ABC sunt similare (proprietatea 1), atunci BA1C1 = ?și, prin urmare, C1A1A = 900 - ?. Din asemănarea triunghiurilor A1CB1 și ABC rezultă că AA1B1 = 900 - ?și prin urmare C1A1A = AA1B1= 900 - ?. Dar asta înseamnă că AA1 este bisectoarea unghiului C1A1B1. În mod similar, se demonstrează că celelalte două înălțimi ale triunghiului ABC sunt bisectoarele celorlalte două unghiuri corespunzătoare ale triunghiului A1B1C1.

3 Centrul de greutate al unui cerc al unui triunghi

Mediana unui triunghi este un segment care leagă orice vârf al triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse.

Teorema. Mediana unui triunghi se intersectează într-un punct, (centrul de greutate).

Dovada. Luați în considerare un arbitrar ABC.

Să notăm cu litera O punctul de intersecție al medianelor AA1 și BB1 și să trasăm linia de mijloc A1B1 a acestui triunghi. Segmentul A1B1 este paralel cu latura AB, deci 1 = 2 și 3 = 4. Prin urmare, ?AOB și ?A1OB1 sunt similare în două unghiuri și, prin urmare, laturile lor sunt proporționale: AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1. Dar AB=2A1B1, deci AO=2A1O și BO=2B1O. Astfel, punctul O al intersecției medianelor AA1 și BB1 împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2: 1, numărând de sus.

În mod similar, se dovedește că punctul de intersecție al medianelor BB1 și CC1 împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de sus, și, prin urmare, coincide cu punctul O și îl împarte în raport de 2: 1, numărând de sus.

Proprietățile mediane ale triunghiului:

10 Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct și sunt împărțite la punctul de intersecție într-un raport de 2:1, numărând de sus.

Dat: ?ABC, AA1, BB1 - mediane.

Demonstrați: AO:OA1=BO:OB1=2:1

Dovada. Să trasăm linia de mijloc A1B1 (Fig.2.10), conform proprietății dreptei de mijloc A1B1||AB, A1B1=1/2 AB. De la A1B1 || AB, apoi 1 \u003d 2 transversal situat pe liniile paralele AB și A1B1 și secante AA1. 3 \u003d 4 încrucișat cu linii paralele A1B1 și AB și secanta BB1.

Prin urmare, ?AOW ~ ?A1OB1 prin egalitatea a două unghiuri, deci laturile sunt proporționale: AO/A1O = OB/OB1 = AB/A1B = 2/1, AO/A1O = 2/1; OB/OB1 = 2/1.

Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri de aceeași zonă.

Dovada. BD - mediană ?ABC (fig.2.11), BE - înălțimea acestuia. Apoi ?ABD și ?DBC-urile sunt egale deoarece au baze egale AD și, respectiv, DC și o înălțime comună BE.

Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.

Dacă, în continuarea medianei triunghiului, un segment egal în lungime cu mediana este pus deoparte de mijlocul laturii triunghiului, atunci punctul final al acestui segment și vârfurile triunghiului sunt vârfurile lui paralelogramul.

Dovada. Fie D mijlocul laturii BC ?ABC (Figura 2.12), E este un punct pe dreapta AD astfel încât DE=AD. Atunci, deoarece diagonalele AE și BC ale patrulaterului ABEC în punctul D al intersecției lor sunt împărțite la jumătate, din proprietatea 13.4 rezultă că patrulaterul ABEC este un paralelogram.

Rezolvarea problemelor privind utilizarea proprietăților medianelor:

Problema 1. Demonstrați că dacă O este punctul de intersecție al medianelor ?ABC atunci ?AOB, ?BOC și ?AOC sunt egale.

Soluţie. Fie AA1 și BB1 mediane ?ABC (Fig. 2.13). Considera ?AOB și ?BOC. Evident, S ?AOB=S ?AB1B-S ?AB1O, S ?BOC=S ?BB1C-S ?OB1C. Dar prin proprietatea 2 avem S ?AB1B=S ?BB1C, S ?AOB=S ?OB1C, ceea ce implică faptul că S ?AOB=S ?B.O.C. Egalitatea S ?AOB=S ?AOC.

Problema 2. Demonstrați că dacă punctul O se află în interior ?ABC și ?AOB, ?BOC și ?AOC sunt egale, atunci O este punctul de intersecție al medianelor? ABC.

Soluţie. Considera ?ABC (2.14) și să presupunem că punctul O nu se află pe mediana BB1 . Apoi, deoarece OB1 este mediana ?AOC, apoi S ?AOB1=S ?B1OC și deoarece prin condiția S ?AOB=S ?BOC, apoi S ?AB1OB=S ?BOB1C. Dar asta nu poate fi, din moment ce ?ABB1=S ?B1BC. Contradicția rezultată înseamnă că punctul O se află pe mediana lui BB1. Se dovedește în mod similar că punctul O aparține celorlalte două mediane ?ABC. De aici rezultă că punctul O este într-adevăr punctul de intersecție al celor trei mediane? ABC.

Problema 3. Demonstrați că dacă în ?Laturile ABC AB și BC nu sunt egale, atunci bisectoarea sa BD se află între mediana BM și înălțimea BH.

Dovada. Să descriem despre ?ABC este un cerc și își extinde bisectoarea BD până când se intersectează cu cercul în punctul K. Prin punctul K va exista un punct de mijloc perpendicular pe segmentul AC (proprietatea 1, din paragraful 2.1), care are un punct comun M cu mediana. Dar din moment ce segmentele BH și MK sunt paralele, iar punctele B și K se află de-a lungul laturi diferite de la linia AC, atunci punctul de intersecție al segmentelor BK și AC aparțin segmentului HM, iar aceasta dovedește afirmația.

Sarcina 4. În ?Mediana ABC BM are jumătate din dimensiunea laturii AB și formează cu ea un unghi de 400. Aflați ABC.

Soluţie. Să extindem mediana BM dincolo de punctul M cu lungimea sa și să obținem punctul D (Fig. 2.15). Deoarece AB \u003d 2BM, atunci AB \u003d BD, adică triunghiul ABD este isoscel. Prin urmare, RĂU = BDA = (180o - 40o) : 2 = 70o. Patrulaterul ABCD este un paralelogram deoarece diagonalele sale sunt tăiate în două de punctul de intersecție. Deci CBD = ADB = 700 . Atunci ABC = ABD + CBD = 1100. Răspunsul este 1100.

Problema 5. Laturile ABC sunt egale cu a, b, c. Calculați mediana mc trasată pe latura c. (Fig. 2.16).

Soluţie. Să dublăm mediana completând?ABC la paralelogramul ASBP și să aplicăm acestui paralelogram teorema 8. Se obține: CP2+AB2 = 2AC2+2BC2, i.e. (2mc)2+c2= 2b2+2a2, de unde găsim:

2.4 Cercul lui Euler. linia lui Euler

Teorema. Bazele medianelor, înălțimile unui triunghi arbitrar, precum și punctele mijlocii ale segmentelor care leagă vârfurile triunghiului cu ortocentrul său, se află pe același cerc, a cărui rază este egală cu jumătate din raza cercului circumscris. despre triunghi. Acest cerc se numește cerc în nouă puncte sau cerc Euler.

Dovada. Să luăm mediana?MNL (Fig. 2.17) și să descriem în jurul lui un cerc W. Segmentul LQ este mediana în dreptunghiul?AQB, deci LQ=1/2AB. Segmentul MN=1/2AB, ca MN - linia de mijloc? ABC. Rezultă că trapezul QLMN este isoscel. Deoarece cercul W trece prin 3 vârfuri ale trapezului isoscel L, M, N, va trece și prin al patrulea vârf Q. În mod similar, se demonstrează că P aparține lui W, R aparține lui W.

Să trecem la punctele X, Y, Z. Segmentul XL este perpendicular pe BH ca linie de mijloc? AHB. Segmentul BH este perpendicular pe AC și, deoarece AC este paralel cu LM, BH este perpendicular pe LM. Prin urmare, XLM=P/2. În mod similar, XNM = F/2.

În patrulaterul LXNM, două unghiuri opuse sunt unghiuri drepte, deci un cerc poate fi circumscris în jurul lui. Acesta va fi cercul W. Deci X aparține lui W, în mod similar Y aparține lui W, Z aparține lui W.

Mijlocul ?LMN este similar cu ?ABC. Coeficientul de similitudine este 2. Prin urmare, raza cercului de nouă puncte este R/2.

Proprietățile cercului Euler:

Raza cercului de nouă puncte este egală cu jumătate din raza cercului circumscris aproximativ?ABC.

Cercul de nouă puncte este omotetic cu cercul circumscris în jurul lui ?ABC cu coeficientul ½ iar centrul de homotezie în punctul H.

Teorema. Ortocentrul, centroidul, centrul cercului circumscris și centrul cercului de nouă puncte se află pe aceeași linie dreaptă. linia dreaptă a lui Euler.

Dovada. Fie H ortocentrul?ABC (Fig.2.18) iar O centrul cercului circumscris. Prin construcție, bisectoarele perpendiculare?ABC conțin înălțimile medianei?MNL, adică O este simultan ortocentrul?LMN. ?LMN ~ ?ABC, coeficientul lor de similitudine este 2, deci BH=2ON.

Desenați o dreaptă prin punctele H și O. Obținem două triunghiuri similare?NOG și?BHG. Deoarece BH=2ON, atunci BG=2GN. Acesta din urmă înseamnă că punctul G este un centroid?ABC. Pentru punctul G, raportul HG:GO=2:1 este îndeplinit.

Fie în continuare TF bisectoarea perpendiculară MNL și F punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu dreapta HO. Luați în considerare ca ?TGF și ?ONG. Punctul G este un centroid?MNL, deci coeficientul de similitudine?TGF și?NGO este egal cu 2. Prin urmare, OG=2GF și deoarece HG=2GO, atunci HF=FO și F este punctul de mijloc al segmentului HO.

Dacă efectuăm același raționament cu privire la bisectoarea perpendiculară pe cealaltă parte?MNL, atunci trebuie să treacă și prin mijlocul segmentului HO. Dar asta înseamnă că punctul F este un punct de bisectoare perpendiculare?MNL. Un astfel de punct este centrul cercului Euler. Teorema a fost demonstrată.

CONCLUZIE

În această lucrare, am examinat 4 puncte minunate ale triunghiului studiat la școală și proprietățile lor, pe baza cărora putem rezolva multe probleme. Au fost luate în considerare și punctul Gergonne, cercul Euler și linia Euler.

LISTA SURSELOR UTILIZATE

1.Geometrie 7-9. Manual pentru școlile secundare // Atanasyan L.S., Butuzov V.F. și alții - M .: Educație, 1994.

2.Amelkin V.V. Geometrie în plan: Teorie, sarcini, soluții: Proc. Un manual de matematică // V.V. Amelkin, V.L. Rabtsevici, V.L. Timohovici - Mn.: "Asar", 2003.

.V.S. Bolodurin, O.A. Vakhmyanina, T.S. Izmailova // Manual de geometrie elementară. Orenburg, OGPI, 1991.

.Prasolov V.G. Probleme de planimetrie. - Ed. a IV-a, completată - M .: Editura Centrului de Educație Matematică Continuă din Moscova, 2001.

Baranova Elena

Această lucrare discută punctele remarcabile ale triunghiului, proprietățile și regularitățile lor, cum ar fi cercul de nouă puncte și linia lui Euler. Dat referință istorică descoperirea dreptei lui Euler și a cercului de nouă puncte. Se propune orientarea practică a aplicării proiectului meu.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările slide-urilor:

„PUNCTELE REMARCABILE ALE TRIANGULUI”. (Întrebări aplicate și fundamentale de matematică) Baranova Elena Clasa a VIII-a, MKOU „Școala Gimnazială Nr. 20” Poz. Novoizobilny, Tatyana Vasilievna Dukhanina, profesor de matematică MKOU „Școala secundară nr. 20” Așezarea Novoizobilny 2013. Instituția de învățământ de stat municipală „Școala secundară nr. 20”

Scop: studiul unui triunghi pe punctele sale remarcabile, studiul clasificărilor și proprietăților lor. Sarcini: 1. Să studieze literatura necesară 2. Să studieze clasificarea punctelor remarcabile ale unui triunghi 3. Să se familiarizeze cu proprietățile punctelor remarcabile ale unui triunghi 4. Să fie capabil să construiască puncte remarcabile ale unui triunghi. 5. Explorați sfera punctelor minunate. Obiectul de studiu - o ramură a matematicii - geometrie Subiectul de studiu - un triunghi Relevanță: pentru a vă extinde cunoștințele despre triunghi, proprietățile punctelor sale remarcabile. Ipoteza: legătura dintre triunghi și natură

Punctul de intersecție al perpendicularelor medii Este echidistant de vârfurile triunghiului și este centrul cercului circumscris. Cercuri circumscrise triunghiurilor ale căror vârfuri sunt punctele medii ale laturilor triunghiului și vârfurile triunghiului se intersectează într-un punct, care coincide cu punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare.

Punctul de intersecție al bisectoarelor Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi este echidistant de laturile triunghiului. OM=OA=OV

Punctul de intersecție al altitudinilor Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi ale cărui vârfuri sunt bazele altitudinilor coincide cu punctul de intersecție al altitudinilor triunghiului.

Punctul de intersecție al medianelor Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare mediană într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Dacă punctul de intersecție al medianelor este legat de vârfuri, atunci triunghiul va fi împărțit în trei triunghiuri, egale ca suprafață. O proprietate importantă a punctului de intersecție al medianelor este faptul că suma vectorilor, al căror început este punctul de intersecție al medianelor, iar capetele sunt vârfurile triunghiurilor, este egală cu zero.

Punctul Torricelli Notă: Punctul Torricelli există dacă toate unghiurile triunghiului sunt mai mici de 120.

Cercul de nouă puncte B1, A1, C1 este baza înălțimilor; A2, B2, C2 - punctele mijlocii ale laturilor respective; A3, B3, C3, - punctele medii ale segmentelor AN, BH și CH.

Linia lui Euler Punctul de intersecție al medianelor, punctul de intersecție al înălțimilor, centrul cercului de nouă puncte se află pe o singură dreaptă, care se numește linia lui Euler în onoarea matematicianului care a determinat acest model.

Un pic din istoria descoperirii unor puncte remarcabile În 1765, Euler a descoperit că punctele medii ale laturilor unui triunghi și bazele înălțimii sale se află pe același cerc. cu cel mai mult proprietate uimitoare Punctele remarcabile ale triunghiului sunt că unele dintre ele sunt legate între ele printr-un anumit raport. Punctul de intersecție al medianelor M, punctul de intersecție al înălțimilor H și centrul cercului circumscris O se află pe aceeași dreaptă, iar punctul M împarte segmentul OH astfel încât raportul OM: OH = 1: 2 este valabilă.Această teoremă a fost demonstrată de Leonhard Euler în 1765.

Relația dintre geometrie și natură. În această poziție, energia potențială este cea mai mică valoare iar suma segmentelor MA + MB + MS va fi cea mai mică, iar suma vectorilor aflați pe aceste segmente cu începutul în punctul Torricelli va fi egală cu zero.

Concluzii Am învățat că, pe lângă minunatele puncte de intersecție a înălțimilor, medianelor, bisectoarelor și perpendicularelor medii, există și puncte și linii minunate ale unui triunghi. Pot folosi cunoștințele acumulate pe această temă pe cont propriu activități de învățare, aplică independent teoreme la anumite probleme, aplică teoremele studiate într-o situație reală. Cred că utilizarea punctelor și liniilor minunate ale triunghiului în studiul matematicii este eficientă. Cunoașterea lor accelerează foarte mult rezolvarea multor sarcini. Materialul propus poate fi folosit atât în lecțiile de matematică, cât și în activitățile extracurriculare pentru elevii din clasele 5-9.

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea, creați-vă un cont Google (cont) și conectați-vă: