Secțiuni: Matematică
Obiectivele lecției: generalizarea şi perfecţionarea cunoştinţelor pe această temă.
Sarcini:
- Educational:
- organizarea comunicării în lecție (profesor - elev, elev - profesor);
- implementarea unei abordări diferențiate a învățării;
- asigura repetarea conceptelor de bază.
- Educational:
- dezvoltarea capacității de a evidenția principalul lucru;
- exprimă gândurile în mod logic.
- Educational:
- formarea culturii activități educaționaleși cultura informațională;
- dezvoltarea capacităţii de a depăşi dificultăţile.
Schița lecției.
În timp ce urmăresc prezentarea, elevii răspund la următoarele întrebări:
- Ce este un trapez curbat?
- Care este aria unui trapez curbat?
- Dați definiția unei integrale.
Clasa este împărțită în 2 subgrupe. Prima subgrupă este mai puternică decât a doua, așa că subgrupa 2 lucrează mai întâi cu profesorul (repetă regulile de calcul a integralelor - testul se face la tablă), apoi lucrează la computer, făcând muncă independentă. Al doilea subgrup cu abilități medii funcționează independent. ÎN joc didactic„Integral” trebuie să descifreze afirmația: „O conștiință curată este cea mai moale pernă”. Temele date sunt creative - alegeți 5 exemple originale de găsire a zonelor figuri plate cu desene.
Opțiunea 1.
Instrucțiuni
2. Trasarea graficelor:
A) Grafice – Adăugați grafic… - în câmp Formulă introduceți formula funcției - selectați grosimea liniei - OK.
.
Editare - Adăugați etichetă...
Vizualizare – Liste de grafice.
Exercițiu
A) _______________
b) _______________
4. Calculați aria figurii limitată de graficele acestor funcții:
A) ________________________
________________________
________________________b)_________________________________
________________________
________________________
Lucrare independentă „Calculul ariei figurilor plane folosind o integrală definită”
Elevi____clasa a XI-a, grupe ____________________________
Opțiunea 2
Instrucțiuni
1. Deschideți Advanced Graph Plotter de pe desktop.
2. Trasarea graficelor:
A) Diagrame – Adăugați diagramă...
b) Pentru a indica grade, utilizați semnul ^ (de exemplu, )
c) Pentru a seta funcții trigonometrice, utilizați diagrama: Grafice – Set de proprietăți – Set trigonometric. În continuare, conform schemei obișnuite, dar trebuie să creșteți scara.
3. Semnați numele funcției: Editare - Adăugați etichetă...
4. Dezactivează afișarea tuturor graficelor de pe panou: Vizualizare – Liste de grafice
Exercițiu
1. Utilizând instrucțiunile atașate, construiți grafice ale funcțiilor:
2. Găsiți punctele de intersecție ale acestor grafice
A) ______________________________
b) ______________________________
3. Determinați intervalul de integrare
A) _______________
b) _______________
A) ________________________
________________________
________________________
b) _________________________________
________________________
________________________
Lucrare independentă „Calculul ariei figurilor plane folosind o integrală definită”
Elevi____clasa a XI-a, grupe ____________________________
Opțiunea 3.
Instrucțiuni
1. Deschideți Advanced Graph Plotter de pe desktop.
2. Trasarea graficelor:
A) Diagrame – Adăugați diagramă...– în câmpul Formula, introduceți formula funcției – selectați grosimea liniei – OK.
b) Pentru a indica grade, utilizați semnul ^ (de exemplu, )
c) Pentru a seta funcții trigonometrice, utilizați diagrama: Grafice – Setul de proprietăți – Setul trigonometric.În continuare, conform schemei obișnuite, dar trebuie să creșteți scara.
3. Semnați numele funcției: Editare - Adăugați etichetă...
4. Dezactivează afișarea tuturor graficelor de pe panou: Vizualizare – Liste de grafice
Exercițiu
1. Utilizând instrucțiunile atașate, construiți grafice ale funcțiilor:
A)
2. Găsiți punctele de intersecție ale acestor grafice
A) ______________________________
b) ______________________________
3. Determinați intervalul de integrare
A) __________________
b) __________________
4. Calculați aria figurii delimitată de graficele acestor funcții.
A) ________________________
________________________
________________________
b) _________________________________
________________________
________________________
Lucru oral 1. Folosind integrala, exprimați ariile figurilor prezentate în figuri:
2. Calculați integralele:
Găsiți aria figurii:
5)1/3; ln2 ;√2
Puțină istorie
„Integral” inventat Jacob Bernoulli(1690)
„a restaura” din latină integro
„întreg” din latină întreg
„Funcția primitivă”
din latină
primitivus– initiala,
Joseph Louis Lagrange
Integrată în antichitate
Prima metodă cunoscută pentru calcularea integralelor este Metoda epuizării Eudoxus (aproximativ 370 î.Hr BC), care a încercat să găsească zone și volume, împărțindu-le într-un număr infinit de părți pentru care aria sau volumul era deja cunoscută.
Această metodă a fost preluată și dezvoltată Arhimede și a fost folosit pentru a calcula ariile parabolelor și pentru a aproxima aria unui cerc.
Eudox din Cnidus
Isaac Newton (1643-1727)
Cea mai completă prezentare a calculului diferențial și integral este conținută în
Variabile - fluente (antiderivată sau integrală nedefinită)
Rata de schimbare a fluentului - fluxion (derivat)
Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716)
- folosit pentru prima dată de Leibniz la sfârșit
Simbolul a fost format din literă
S - abrevieri ale cuvintelor
summa(sumă)
Formule pentru calcularea ariilor figurilor umbrite din desene
Algoritm pentru calcularea ariei unei figuri plane :
- În conformitate cu condițiile sarcinii, faceți un desen schematic.
- Prezentați funcția necesară ca sumă sau diferență a ariilor curbilinii trapez, selectați formula corespunzătoare.
- Găsiți limitele integrării (a și b) din conditiile problemei sau desenului, daca nu sunt specificate.
- Calculați aria fiecărui trapez curbat și aria figurii dorite.
SARCINĂ
S-a decis plantarea unui pat de flori în fața clădirii școlii. Dar forma patului de flori nu trebuie să fie rotundă, pătrată sau dreptunghiulară. Ar trebui să conțină linii drepte și curbe. Să fie o figură plată delimitată de linii
Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6.
Să calculăm aria figurii rezultate folosind formula:
Unde f(x)= 6 , A g(x)=4/x +2
Din moment ce pentru fiecare metru patrat Se plătesc 50 de ruble, atunci câștigurile vor fi:
6,4 * 50 = 320 (ruble).
Teme pentru acasă:
Subiectul lecției: „Calculul suprafețelor folosind integrale”
Scopul lecției :
cultivați voința și perseverența de a realiza rezultate finale când găsiți aria unui trapez curbiliniu folosind formula Newton-Leibniz, învățați cum să găsiți aria figurilor folosind o teorie studiată anterior. Dezvoltați abilitățile de autocontrol, construiți în mod competent desene și utilizați-le pentru a ilustra o soluție. Rezumați și sistematizați materialul teoretic pe tema. Exersați abilitățile de calculare a antiderivate pentru funcții. Exersează abilitățile de calcul integrala definita conform formulei Newton-Leibniz.
Echipament: tablă interactivă, fișe.
Structura lecției:
1. Org. Moment
2. Verificați teme pentru acasă. Actualizarea cunoștințelor și abilităților de bază
3. Material nou
4. Consolidare (lucrare în grup) control diferenţiat
5. Acasă. fund (diferențiat)
Metode : explicativ-ilustrativ, parțial de căutare, practic.
Tip de sesiune de antrenament: lecție integrată
Forme de lucru : frontal, grup.
În timpul orelor:
euOrg. Moment
IIVerificarea casei. cur:. Repetați conceptul de formule de bază antiderivate. (material teoretic)
Amintiți-vă de algoritmul de construcție funcţie pătratică(conversație frontală)
Control programat
Exercițiu | Răspuns |
||||
Opțiunea 1 | Opțiunea 2 | ||||
Găsiți forma generală a antiderivatei pentru funcție. |
|||||
Calculati: |
|||||
Găsiți aria figurii delimitată de liniile: |
|||||
y = x2, y = 0, x = 2 | y = x3, y = 0, x = 2 |
Fiecare cadet are această muncă independentă pe birourile sale, ceea ce face posibilă verificarea îndeplinirii sarcinii. sclav. Răspunsul corect este încercuit și trimis spre verificare.
IIIMaterial teoretic
Problema 1: Găsiți aria unui trapez curbat mărginit de axa OX, liniile x=a, x=b și graficul funcției y=f(x)
y(x)=9-x2, x=-1, x=2
Un cadet este chemat pe tablă și, folosind programul Advanced Grapher, construiește un trapez curbat și afișează rezultatul pe tabla interactivă. Restul lucrează în caiete și apoi verifică cu tabla
Un trapez curbat este umbrit pe tablă și soluția este întocmită.
https://pandia.ru/text/78/387/images/image015_18.jpg" width="476" height="359">
În timpul conversației frontale, vom umbri figura a cărei zonă trebuie să găsim
Cadeților li se pune întrebarea: „Figura rezultată este un trapez curbat? Cum poți calcula aria unei figuri date pe baza cunoștințelor dobândite anterior?”
Cum se găsesc limitele de integrare pentru fiecare trapez curbat?
Să găsim punctele de intersecție ale acestor două funcții:
X2 =2 X- X2 ( răspunsul elevului)
Concluzie: Sф=∫x2dx + ∫(2x-x2)dx=1 (doar răspunsul este afișat pe tablă). Consultanții lucrează pentru cei slabi.
· Construim grafice de funcții
Sф=∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
https://pandia.ru/text/78/387/images/image017_20.jpg" width="512" height="260 src=">Folosind același desen, calculați aria figurii umbrite:
Cadetul de pe tablă mărește desenul pentru o mai bună claritate.
Cum să găsiți aria unei figuri date?
Elevii concluzionează că această figură este formată din două trapeze curbate.
Să scriem rezultatul în vedere generala(cadeții trag propriile concluzii, profesorul joacă doar un rol de ghidare)
· Construim grafice de funcții
· Aflați abscisa punctelor de intersecție ale graficelor funcțiilor f(x)=g(x), x1, x2
Sф=∫(g(x)-f(x))dx
https://pandia.ru/text/78/387/images/image019_16.jpg" width="396" height="297 src=">Cadeții concluzionează:
 |
IV Consolidare (munca diferentiata in grup)
Grupa 1: Găsiți aria figurii delimitată de linii
y(x)=x2+2, g(x)=4-x
Grupa 2: Găsiți aria figurii delimitată de linii
y(x)=-x2-4x, g(x)=x+4
Grupa 3: Găsiți aria figurii delimitată de linii
y(x)=4/x2, g(x)=-3x+7
Tasta de autotest este afișată pe tablă:
grupa III |
||
Rezumat:
· Cum se calculează aria unui trapez curbat?
· Care dintre figurile umbrite (vezi desenele din caiet) sunt trapeze curbate?
· De ce alte figuri nu pot fi numite trapeze curbilinii? Care este zona lor?
V Diff. casa. Loc de munca
Grupa 1: nr. 000, nr. 000(2), nr. 000(1)
Grupa 2: nr. 000(2), nr. 1, nr. 000(4)
Lucrare practică pe tema: „Calculul ariilor figurilor plane folosind o integrală definită”
Scopul lucrării: stăpânește capacitatea de a rezolva probleme care implică calcularea ariei unei figuri plane curbilinii folosind o integrală definită.
Echipament: fișă de instrucțiuni, tabel de integrale, material de curs pe tema: „Integrală definită. Sensul geometric integrala definita".
Instrucțiuni:
1) Studiați materialele de curs: „Integrală definită. Sensul geometric al unei integrale definite.”
Informații teoretice scurte
Integrală definită a unei funcții pe segment - aceasta este limita, la
spre care tinde suma integrală pe măsură ce lungimea celui mai mare segment parțial tinde spre zero.
Limita inferioară a integrării este limita superioară a integrării.
Pentru a calcula o integrală definită, folosiți formula lui Newton -
Leibniz:
Sensul geometric al integralei definite. Dacă este integrabil activat
segment, funcția este nenegativă, atunci este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu:
Trapez curbiliniu - figură mărginită de graficul unei funcții
Axa de abscisă și linii drepte, .
Diverse cazuri de aranjare a figurilor plate în plan de coordonate:
Dacă un trapez curbat cu bază este mărginit sub curbă , apoi din considerente de simetrie este clar că aria figurii este egală cu sau.
Dacă o figură este mărginită de o curbă care ia atât valori pozitive, cât și negative . În acest caz, pentru a calcula aria figurii dorite, este necesar să o împărțiți în părți
Dacă o figură plană este mărginită de două curbe și , atunci aria sa poate fi găsită folosind ariile a două trapeze curbilinie: i.B în acest caz, Aria cifrei dorite poate fi calculată folosind formula:
Exemplu. Calculați aria figurii delimitată de drepte:
Soluţie. 1) Construiți o parabolă și o dreaptă în planul de coordonate (desen pentru problema).
2) Selectați (umbriți) figura delimitată de aceste linii.
Desen pentru problema
3) Aflați abscisa punctelor de intersecție ale parabolei și a dreptei. Pentru asta vom decide
sistem prin comparație:
Găsim aria figurii ca diferență între ariile trapezelor curbilinie,
delimitat de o parabolă și o linie dreaptă.
5) Răspuns.
Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii date:
Construiți linii date într-un plan de coordonate.
Umbriți figura delimitată de aceste linii.
Determinați limitele de integrare (aflați abscisa punctelor de intersecție ale curbelor).
Calculați aria figurii alegând formula necesară.
Scrieți răspunsul.
2) Faceți următoarele sarcină conform uneia dintre opțiuni:
Exercițiu. Calculați aria figurilor delimitate de linii (utilizați algoritmul pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri):
1125 Calculul suprafețelor figurilor plane utilizând Ghidul integral pentru implementare muncă independentă la matematică pentru studenții din anul I ai Facultății de Învățământ Secundar Deschis Întocmit de S.L. Rybina, N.V. Fedotova 0 Ministerul Educației și Științei Federației Ruse Instituția de învățământ superior bugetară de stat federală „Universitatea de Stat de Arhitectură și Inginerie Civilă Voronej” Calculul suprafețelor figurilor plane utilizând Ghidul integral pentru efectuarea de lucrări independente în matematică pentru Studenții anul I ai facultății SPO Întocmit de S.L. Rybina, N.V. Fedotova Voronezh 2015 1 UDC 51:373(07) BBK 22.1ya721 Întocmit de: Rybina S.L., Fedotova N.V. Calcularea ariilor figurilor plane folosind o integrală: linii directoare pentru efectuarea muncii independente la matematică pentru studenții din anul I de învățământ secundar profesional/Universitatea de Stat de Inginerie Civilă Voronej; comp.: S.L. Rybina, N.V. Fedotova. – Voronej, 2015. – p. Sunt oferite informații teoretice despre calcularea ariilor figurilor plane folosind integrala, sunt date exemple de rezolvare a problemelor și sunt date sarcini pentru muncă independentă. Poate fi folosit pentru a pregăti proiecte individuale. Destinat studenților din anul I ai Facultății de Învățământ Secundar Deschis. Il. 18. Bibliografie: 5 titluri. UDC 51:373(07) BBK 22.1я721 Publicat prin decizie a consiliului educațional și metodologic al Universității Agrare de Stat Voronezh Referent – Glazkova Maria Yurievna, Ph.D. fizica si matematica științe, conferențiar, profesor de catedra matematică superioară Universitatea Agrară de Stat Voronezh 2 Introducere Aceste instrucțiuni sunt destinate studenților din anul I ai Facultății de Învățământ Profesional Secundar de toate specialitățile. Paragraful 1 oferă informații teoretice despre calcularea ariilor figurilor plane folosind o integrală, paragraful 2 oferă exemple de rezolvare a problemelor, iar paragraful 3 oferă probleme pentru munca independentă. Prevederi generale Munca independentă a elevilor este munca pe care o efectuează la instrucțiunile profesorului, fără participarea lui directă (dar sub îndrumarea sa) la un moment special prevăzut pentru aceasta. Scopurile și obiectivele muncii independente: sistematizarea și consolidarea cunoștințelor dobândite și a abilităților practice ale studenților; aprofundarea și extinderea cunoștințelor teoretice și practice; dezvoltarea capacității de a utiliza literatura de referință specială și Internetul; dezvoltarea abilităților și activității cognitive ale elevilor, inițiativa creativă, independență, responsabilitate și organizare; formarea gândirii independente, abilități de auto-dezvoltare, auto-îmbunătățire și auto-realizare; dezvoltarea cunoștințelor de cercetare. furnizarea unei baze de cunoștințe pentru formarea profesională a absolvenților în conformitate cu standardul educațional de stat federal pentru educația profesională secundară; formarea și dezvoltarea competențelor generale definite în Standardul educațional de stat federal pentru învățământul profesional secundar; pregătirea pentru formarea şi dezvoltarea competenţelor profesionale corespunzătoare principalelor tipuri de activitate profesională. sistematizarea, consolidarea, aprofundarea și extinderea cunoștințelor teoretice și a abilităților practice dobândite ale studenților; dezvoltarea abilităților cognitive și a activității elevilor: inițiativă creativă, independență, responsabilitate și organizare; formarea gândirii independente: capacitatea de auto-dezvoltare, auto-îmbunătățire și auto-realizare; însuşirea deprinderilor practice în utilizarea tehnologiilor informaţiei şi comunicaţiilor în activităţi profesionale; dezvoltarea abilităților de cercetare. Criteriile de evaluare a rezultatelor muncii independente extracurriculare ale unui elev sunt: nivelul de stăpânire a materialului educațional de către elev; 3 capacitatea elevului de a utiliza cunoștințele teoretice în rezolvarea problemelor; validitatea și claritatea răspunsului; proiectarea materialului în conformitate cu cerințele standardului educațional de stat federal. 4 1. Calculul ariilor figurilor plane folosind integrala 1. Material de referință. 1.1. Un trapez curbat este o figură delimitată de sus de graficul unei funcții continue și nenegative y=f(x), de jos de un segment al axei Ox și din laturi de segmente de linie x=a, x= b (Fig. 1) Fig. 1 Aria unui trapez curbat poate fi calculată folosind o integrală definită: b S f x dx F x b a F b (1) F a a 1.2. Fie funcția y=f(x) continuă pe un interval și ia acest interval valori pozitive(Fig. 2). Apoi trebuie să împărțiți segmentul în părți, apoi să calculați folosind formula (1) zonele corespunzătoare acestor părți, adăugați zonele rezultate. S = S1 + S2 c S b f x dx f x dx a (2) c Fig. 2 1.3. În cazul când functie continua f(x)< 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу: 5 b S f (x) dx (3) a Рис. 3 1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на и f(x)>g(x) pe întreg intervalul (a; b). În acest caz, aria figurii este calculată prin formula y b S= (f (x) g (x))dx y=f(x) (4) a 1 a -1 O -1 b 1 y =g(x) x Fig. 4 1.5. Problemele de calcul ale suprafețelor figurilor plate pot fi rezolvate după următorul plan: 1) în funcție de condițiile problemei, faceți un desen schematic; 2) reprezintă cifra dorită ca suma sau diferența ariilor trapezelor curbilinie. Din condiţiile problemei şi desenului se determină limitele de integrare pentru fiecare componentă a trapezului curbiliniu; 3) scrieți fiecare funcție sub forma f x ; 4) calculați aria fiecărui trapez curbiliniu și cifra dorită. 6 2. Exemple de rezolvare a problemelor 1. Calculați aria unui trapez curbat mărginit de dreptele y = x + 3, y = 0, x = 1 și x = 3. Rezolvare: Să desenăm liniile date de ecuații și umbriți trapezul curbat, a cărui zonă o vom găsi. SАВД= Răspuns: 10. 2. Figura mărginită de dreptele y = -2x + 8, x = -1, y = 0 se împarte la dreapta y = x2 – 4x + 5 în două părți. Găsiți zona fiecărei părți. Rezolvare: Se consideră funcția y = x2 – 4x +5. y = x2 – 4x +5 = (x2 – 4x + 4) – 4 + 5 = (x – 2)2 + 1, adică. Graficul acestei funcții este o parabolă cu vârful K(2; 1). SABC= . 7 SABCME = S1 = SABCME + SEMC, S1 = S2 = SABC – S1, S2 = Răspuns: și = . . 3. Teme pentru munca independentă Proba orală 1. Ce figură se numește trapez curbat? 2. Care dintre figuri sunt trapeze curbate: 3. Cum să găsiți aria unui trapez curbat? 4. Aflați aria figurii umbrite: 8 5. Numiți formula de calcul a ariei figurilor reprezentate: Test scris 1. Care figură arată o figură care nu este un trapez curbat? 2. Folosind formula Newton-Leibniz, calculați: A. Antiderivată a funcției ; B. Aria unui trapez curbat; V. Integral; D. Derivat. 3. Aflați aria figurii umbrite: 9 A. 0; B. –2; ÎN 1; D. 2. 4. Aflați aria figurii limitată de axa Ox și parabola y = 9 – x2 A. 18; B. 36; V. 72; D. Nu poate fi calculat. 5. Aflați aria figurii mărginită de graficul funcției y = sin x, liniile drepte x = 0, x = 2 și axa absciselor. A. 0; B. 2; LA 4; D. Nu poate fi calculat. Opțiunea 1 Calculați aria figurii mărginite de liniile: a) y x2, b) y x2 c) y cos x, d) y 1, x3 y 0, x y 0; x, y 0, 0, 4; x x 1, x 0, x 6; 2. 10 Opțiunea 2 Calculați aria figurii mărginite de drepte: b) y 1 2 x, y 2 x2 2 x, c) y sin x, d) y 1, x2 a) y y 0, x y 0 ; 0, x 0, x 3; 3 2, ; x 1. Opțiunea 3 Calculați aria figurii mărginită de drepte: a) y = 2 – x3, y = 1, x = -1, x = 1; b) y = 5 – x2, y = 2x2 + 1, x = 0, x = 1; c) y = 2sin x, x = 0, x = p, y = 0; d) y = 2x – 2, y = 0, x = 3, x = 4. Opțiunea 4 Calculați aria figurii mărginită de drepte: a) y = x2+1, y = 0, x = - 1, x = 2; b) y = 4 – x2 și y = x + 2; c) y = x2 + 2, y = 0, x = - 1, x = 2; d) y = 4 – x2 și y = 2 – x. Opțiunea 5 Calculați aria figurii delimitată de liniile: a) y 7 x, x=3, x=5, y=0; b) y c) y d) y 8, x= - 8, x= - 4, y=0; x 0,5 x 2 4 x 10, y x 2; x 2, y x 6, x=-6 și axele de coordonate. 11 Opțiunea 6 Calculați aria figurii delimitată de liniile a) y 4 x 2, y = 0; b) y cos x, x, x c) y x 2 8 x 18, y d) y x, y 2, y=0; 2x 18; 1, x=4. x Opțiunea 7 Calculați aria figurii delimitată de liniile a) y x 2 6 x, x = -1, x = 3, y = 0; b) y=-3x, x=1, x=2, y=0; c) y x 2 10 x 16, y=x+2; d) y 3 x, y = -x +4 și axele de coordonate. Opțiunea 8 Calculați aria figurii delimitată de liniile a) y sin x, x 3, x, y = 0; b) y x 2 4, x=-1, x=2, y=0; c) y x 2 2 x 3, y 3x 1; d) y x 2, y x 4 2, y = 0, Opțiunea 1 1. Calculați aria figurii mărginită de liniile: a) y = x2, x = 1, x = 3, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = - Ï Ï , x= ; 2 2 c) y = 2x2, y = 2x. 2. (opțional) Găsiți aria figurii mărginită de graficul funcției y = x2 – 2x + 3, tangentă la grafic în punctul său cu abscisă 2 și dreaptă x = -1. 12 Opțiunea 2 1. Calculați aria figurii delimitată de drepte: a) y = x3, x = 1, x = 3, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = 0, x = Ï; 2 c) y = 0,5x2, y = x. 2. (opțional) Aflați aria figurii mărginită de graficul funcției y = 3 + 2x - x2, tangentă la grafic în punctul său cu abscisa 3 și dreapta x = 0. Opțiunea 3 1. Calculați aria figurii delimitată de liniile: a) y = x, x = 1, x = 2, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = Ï 3Ï , x= ; 2 2 c) y = x2, y = -x2 + 2. 2. (opțional) Găsiți aria figurii delimitată de graficul funcției y = 2x - x2, tangentă la graficul în punctul său cu abscisa 2 și axa ordonatelor. Opțiunea 4 1. Calculați aria figurii delimitată de liniile: a) y = 0,5 x, x = 1, x = 2, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = Ï Ï , x= ; 4 2 c) y = 9 - x2, y = 2x + 6. 2. (opțional) Aflați aria figurii mărginită de graficul funcției y = x2+ 2x, tangentă la graficul în punctul său cu abscisă -2 și axa ordonatelor. Sarcini pentru lucrul în perechi: 1. Calculați aria figurii umbrite 2. Calculați aria figurii umbrite 13 3. Calculați aria figurii umbrite 4. Calculați aria figurii umbrite figura 14 5. Calculați aria figurii umbrite 6. Prezentați aria figurii umbrite ca suma sau diferența ariilor trapezelor curbilinii delimitate de graficele liniilor pe care le cunoașteți. 7. Imaginează-ți aria figurii umbrite ca suma sau diferența ariilor trapezelor curbilinii delimitate de graficele liniilor pe care le cunoști. 15 Bibliografie 1. Sharygin, I. F. Matematică: algebră și principii de analiză matematică, geometrie. Geometrie. Un nivel de bază al. Clasele 10 - 11: manual / I.F. Sharygin. - Ed. a II-a, șters. – Moscova: Dropia, 2015. – 238 p. 2. Muravin G.K.Matematică: algebră și principii de analiză matematică, geometrie. Un nivel de bază al. Clasa a XI-a: manual / G.K. Muravin, O.V. Muravin - ed. a II-a, șters. - Moscova: Dropia, 2015. - 189 p. 3. Muravin G.K.Matematică: algebră și principii de analiză matematică, geometrie. Un nivel de bază al. Clasa a X-a: manual / G.K. Muravin, O.V. Muravina. - Ed. a II-a, șters. - Moscova: Dropia, 2013 – 285 p. 4. Studierea geometriei în clasele 10-11: Metoda. recomandări pentru studii: Carte. pentru profesor/S. M. Sahakyan, V. F. Butozov. – Ed. a II-a – M.: Educație, 2014. – 222 p.: ill. 5. Studiul algebrei și începuturile analizei în clasele 10-11: Cartea. pentru profesor / N. E. Fedorova, M. V. Tkacheva. – Ed. a II-a – M.: Educație, 2014. – 205 p.: ill. 6. Algebra și începuturile analizei. Clasele 10-11: În două părți. Partea 1: Manual pentru învățământul general. instituții / Mordkovich A.G. – Ed. a 5-a. – M.: Mnemosyne, 2014. – 375 p.: ill. Resurse de internet: 1. http://www.exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 – Legături utile către site-uri matematice și educaționale: Materiale educative, teste 2. http://www.fxyz.ru/ - Carte interactivă de referință de formule și informații despre algebră, trigonometrie, geometrie, fizică. 3. http://maths.yfa1.ru - Cartea de referință conține material despre matematică (aritmetică, algebră, geometrie, trigonometrie). 4. allmatematika.ru - Formule de bază în algebră și geometrie: transformări identitare, progresii, derivate, stereometrie etc. 5. http://mathsun.ru/ – Istoria matematicii. Biografii ale marilor matematicieni. 16 Cuprins Introducere. .................................................. ...................................................... ............ .................................. 3 Calculul ariile figurilor plane folosind integrala .................................................. .. 5 1. Material de referință........ ................................... ..................... ................................ .................... 5 2. Exemple de rezolvare a problemelor.............. .......................................... ........ ................................................ .. ....... 7 3. Sarcini pentru munca independentă........................................... .................................................. ......... 8 Bibliografie ...................................... ................. ................................ ................. 16 Calculul ariilor figurilor plane folosind integral Instrucțiuni metodologice pentru efectuarea muncii independente la matematică pentru studenții din anul I ai Facultății de Învățământ Secundar Deschis Întocmit de: Rybina Svetlana Leonidovna Fedotova Natalya Viktorovna Semnat pentru tipărire __.__. 2015. Format 60x84 1/16. Ed. academic. l. 1.1.Cuptorul-conditionat. l. 1.2. 394006, Voronezh, st. 20 de ani de la octombrie, 84 17
