Ecuații în matematică superioară.Rădăcini raționale ale polinoamelor. Schema lui Horner

Dacă polinom

Dovada

Fie toți coeficienții unui polinom să fie numere întregi, iar întregul a să fie rădăcina acestui polinom. Deoarece în acest caz rezultă că coeficientul este divizibil cu a.

cometariu. Această teoremă permite de fapt găsirea rădăcinilor polinoamelor de grade superioare în cazul în care coeficienții acestor polinoame sunt numere întregi, iar rădăcina este un număr rațional. Teorema poate fi reformulată astfel: dacă știm că coeficienții unui polinom sunt numere întregi, iar rădăcinile sale sunt raționale, atunci aceste rădăcini raționale pot fi doar de forma în care p este un divizor al unui număr (termen liber) și numărul q este un divizor al unui număr (cel mai mare coeficient) .

Teorema rădăcinii întregi, conținând

Dacă un număr întreg α este rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi, atunci α este un divizor al termenului său liber.

Dovada. Lasa:

P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

un polinom cu coeficienți întregi și un număr întreg α este rădăcina acestuia.

Atunci, prin definiția rădăcinii, egalitatea P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Luând factorul comun α din paranteze, obținem egalitatea:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , Unde

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Deoarece numerele a 0 , a 1 ,...a n-1 , an și α sunt numere întregi, atunci există un număr întreg în paranteză și, prin urmare, a n este divizibil cu α, ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema demonstrată poate fi formulată și după cum urmează: fiecare rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al termenului său liber.
Algoritmul pentru găsirea rădăcinilor întregi ale unui polinom cu coeficienți întregi se bazează pe teorema: scrieți toți divizorii termenului liber și scrieți unul câte unul valorile polinoamelor acestor numere.

2.Teoremă suplimentară asupra rădăcinilor întregi

Dacă un număr întreg α este o rădăcină a unui polinom P(x) cu coeficienți întregi, atunci α-1 este un divizor al numărului P(1), α+1 este un divizor al numărului P(-1)

Dovada. Din identitate

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

rezultă că pentru numerele întregi b și c numărul bⁿ-cⁿ este divizibil cu b∙c. Dar pentru orice polinom P diferența

P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

și, prin urmare, pentru un polinom P cu coeficienți întregi și numere întregi b și c, diferența P(b)-P(c) este divizibilă cu b-c.

Atunci: pentru b = α , с=1, P (α)-P (1)= -P(1), ceea ce înseamnă că P(1) este divizibil cu α-1. Al doilea caz este considerat în mod similar.

Schema lui Horner

Teorema: Fie fracția ireductibilă p/q rădăcina ecuației a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 cu coeficienți întregi, apoi numărul q este un divizor al coeficientului principal a0 și al numărului R este un divizor al termenului liber a n .

Observație 1. Orice rădăcină întreagă a unei ecuații cu coeficienți întregi este un divizor al termenului său liber.

Observația 2.Dacă coeficientul principal al unei ecuații cu coeficienți întregi este egal cu 1, atunci toate rădăcinile raționale, dacă există, sunt numere întregi.

Rădăcina polinomială. Rădăcina polinomului f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n este x = c , astfel încât f (c)=0 .

Observația 3. Dacă x = c rădăcină polinomială , atunci polinomul poate fi scris ca: f(x)=(x−c)q(x) , Unde este câtul de împărțire a polinomului f(x) într-un monom x-c

Împărțirea unui polinom cu un monom poate fi efectuată după schema lui Horner:

Dacă f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , apoi la împărțire f (X) pe g (X) privat q(x) are forma q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , Unde b 0 = a 0 ,

b k =c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1. Rest r se gaseste dupa formula r=c b n − 1 +a n

Soluţie: Coeficientul la gradul cel mai înalt este 1, deci rădăcinile întregi ale ecuației trebuie căutate între divizorii termenului liber: 1; 2; 3; 4; 6; 12. folosind schema Horner, găsim rădăcinile întregi ale ecuației:

Dacă o rădăcină este selectată conform schemei lui Horner. atunci poți decide așa x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3

Întrebarea găsirii rădăcini raționale polinom f(X)Q[X] (cu coeficienți raționali) se reduce la problema găsirii rădăcinilor raționale ale polinoamelor k ∙ f(X)Z[X] (cu coeficienți întregi). Iată numărul k este cel mai mic multiplu comun al coeficienților polinomului dat.

Condițiile necesare, dar nu suficiente, pentru existența rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi sunt date de următoarea teoremă.

Teorema 6.1 (aproximativ rădăcini raționale polinom cu coeficienți întregi). Dacă – rădăcina rațională a unui polinomf(X) = A n  X n + + …+ A 1  X + A 0 Cu întreg coeficienți și(p, q) = 1, apoi numărătorul fracțieipeste un divizor al termenului liber a 0 , și numitorulqeste divizorul coeficientului principal a 0 .

Teorema 6.2.Dacă Q ( Unde (p, q) = 1) este o rădăcină rațională a polinomului f(X) cu coeficienți întregi, atunci
–numere întregi.

Exemplu. Găsiți toate rădăcinile raționale ale unui polinom

f(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.

1. Prin teorema 6.1: dacă – rădăcina rațională a unui polinom f(X), ( Unde( p, q) = 1), Acea A 0 = 1 p, A n = 6 q. De aceea p { 1}, q (1, 2, 3, 6), deci

2. Se știe că (Corolarul 5.3) numărul A este rădăcina polinomului f(X) dacă și numai dacă f(X) impartit de ( x - a).

Prin urmare, pentru a verifica dacă numerele 1 și -1 sunt rădăcinile polinomului f(X) puteți folosi schema lui Horner:

f(1) = 60,f(–1) = 120, deci 1 și -1 nu sunt rădăcini ale polinomului f(X).

3. Pentru a elimina unele dintre numerele rămase
, folosim Teorema 6.2. Dacă expresiile sau
ia valori întregi pentru valorile corespunzătoare numărătorului pși numitorul q, apoi în celulele corespunzătoare ale tabelului (vezi mai jos) vom scrie litera „c”, în caz contrar - „dr”.


=
=

4. Utilizând schema lui Horner, verificăm dacă numerele rămase după cernere vor fi
rădăcini f(X). Împărțiți mai întâi f(X) pe ( X – ).

Ca urmare, avem: f(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) și - rădăcină f(X). Privat q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2 împărțiți la ( X + ).

Deoarece q (–) = 30, atunci (-) nu este o rădăcină a polinomului q(X), și de aici polinomul f(X).

În cele din urmă, împărțim polinomul q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 pe ( X – ).

A primit: q () = 0, adică rădăcina q(X), ceea ce înseamnă că rădăcina f (X). Deci polinomul f (X) are două rădăcini raţionale: şi.

Scutire de iraționalitate algebrică în numitorul unei fracții

Într-un curs școlar, la rezolvarea unor tipuri de probleme pentru a elibera de iraționalitate în numitorul unei fracții, este suficient să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu numărul conjugat la numitor.

Exemple. 1.t =
.

Aici, formula de înmulțire prescurtată (diferența de pătrate) funcționează la numitor, ceea ce vă permite să scăpați de iraționalitatea în numitor.

2. Scapă de iraționalitatea la numitorul unei fracții

t =
. Expresie - pătrat incomplet al diferenței de numere A=
Și b= 1. Folosind formula de înmulțire redusă A 3 – b 3 = (un +b) · ( A 2 – ab + b 2 ), putem defini multiplicatorul m = (un +b) =
+ 1, cu care trebuie înmulțit numărătorul și numitorul fracției t pentru a scăpa de iraționalitatea din numitorul fracției t. Prin urmare,

În situațiile în care formulele de înmulțire redusă nu funcționează, pot fi folosite și alte trucuri. Mai jos formulăm o teoremă, a cărei demonstrație, în special, ne permite să găsim un algoritm de eliminare a iraționalității în numitorul unei fracții în situații mai complexe.

Definiție 6.1. Număr z numit algebric asupra unui câmp F dacă există un polinom f(X) F[X], a cărui rădăcină este z, altfel numarul z numit transcendent asupra câmpuluiF.

Definiție 6.2.Gradul algebric peste câmp F numere z este gradul de ireductibil asupra câmpului F polinom p(X)F[X], a cărui rădăcină este numărul z.

Exemplu. Să arătăm că numărul z =
este algebrică asupra câmpului Qși găsiți-i gradul.

Să găsim ireductibilul peste câmp Q polinom p(X), a cărui rădăcină este X =
. Ridicăm ambele părți ale egalității X =
la a patra putere, ajungem X 4 = 2 sau X 4 – 2 = 0. Deci, p(X) = X 4 – 2 și puterea numărului z este egal cu deg p(X) = 4.

Teorema 6.3 (privind eliberarea de iraţionalitatea algebrică în numitorul unei fracţii).Lăsazeste un număr algebric peste un câmpFgradn. Exprimarea formeit = ,Unde f(X), (X)F[X], (z) 0

poate fi reprezentat numai sub forma:

t = Cu n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Vom demonstra algoritmul pentru a scăpa de iraționalitate în numitorul unei fracții folosind exemplu concret.

Exemplu. Scapă de iraționalitatea la numitorul unei fracții:

t =

1. Numitorul fracției este valoarea polinomului (X) = X 2 – X+1 când X =
. Exemplul anterior arată că
este un număr algebric peste un câmp Q gradul 4, deoarece este rădăcina unui peste ireductibil Q polinom p(X) = X 4 – 2.

2. Aflați expansiunea liniară a mcd ( (X), p(X)) folosind algoritmul Euclid.

_ X 4 – 2 | X 2 - X + 1

X 4 - X 3 + x 2 X 2 + x = q 1 (X)

_ X 3 - X 2 – 2

X 3 - X 2 + x

X 2 - X + 1 | – X –2 = r 1 (X )

X 2 + 2 X – x + 3 = q 2 (X)

_–3X+ 1

–3 X – 6

_ – X –2 |7 = r 2

– X –2 -X - =q 3 (X)

Deci, NOD ( (X), p(X)) = r 2 = 7. Găsiți expansiunea sa liniară.

Scriem șirul lui Euclid folosind notația polinoamelor.

p(X) = (X) · q 1 (X) + r 1 (X)
r 1 (X) =p(X) – (X) · q 1 (X)

Când se rezolvă ecuații și inegalități, devine adesea necesară factorizarea unui polinom al cărui grad este trei sau mai mare. În acest articol, vom analiza cel mai simplu mod de a face acest lucru.

Ca de obicei, să apelăm la teorie pentru ajutor.

teorema lui Bezout afirmă că restul împărțirii unui polinom la un binom este .

Dar nu teorema în sine este importantă pentru noi, ci corolar din aceasta:

Dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci polinomul este divizibil fără rest cu binom.

Ne confruntăm cu sarcina de a găsi cumva cel puțin o rădăcină a polinomului, apoi împărțind polinomul la , unde este rădăcina polinomului. Ca rezultat, obținem un polinom al cărui grad este cu unul mai mic decât gradul celui original. Și apoi, dacă este necesar, puteți repeta procesul.

Această sarcină este împărțită în două: cum să găsiți rădăcina unui polinom și cum să împărțiți un polinom într-un binom.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra acestor puncte.

1. Cum să găsiți rădăcina unui polinom.

Mai întâi, verificăm dacă numerele 1 și -1 sunt rădăcinile polinomului.

Următoarele fapte ne vor ajuta aici:

Dacă suma tuturor coeficienților unui polinom este zero, atunci numărul este rădăcina polinomului.

De exemplu, într-un polinom suma coeficienților este egală cu zero: . Este ușor să verificați care este rădăcina unui polinom.

Dacă suma coeficienților unui polinom la grade pare este egală cu suma coeficienților la grade impare, atunci numărul este o rădăcină a polinomului. Termenul liber este considerat un coeficient la un grad par, deoarece , a este un număr par.

De exemplu, într-un polinom suma coeficienților la grade pare este : , iar suma coeficienților la grade impare este : . Este ușor să verificați care este rădăcina unui polinom.

Dacă nici 1, nici -1 nu sunt rădăcini ale polinomului, atunci mergem mai departe.

Pentru un polinom de grad redus (adică un polinom în care coeficientul principal - coeficientul lui - este egal cu unu), formula Vieta este valabilă:

Unde sunt rădăcinile polinomului.

Există și formule Vieta privind coeficienții rămași ai polinomului, dar acesta este cel care ne interesează.

Din această formulă Vieta rezultă că dacă rădăcinile unui polinom sunt numere întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului său liber, care este și un întreg.

Bazat pe acest lucru, trebuie să descompunăm termenul liber al polinomului în factori și secvenţial, de la mai mic la mai mare, să verificăm care dintre factori este rădăcina polinomului.

Luați în considerare, de exemplu, polinomul

Divizori membri liberi: ; ; ;

Suma tuturor coeficienților polinomului este egală, prin urmare, numărul 1 nu este rădăcina polinomului.

Suma coeficienților la puteri pare:

Suma coeficienților la puteri impare:

Prin urmare, numărul -1 nu este, de asemenea, o rădăcină a polinomului.

Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului: prin urmare, numărul 2 este rădăcina polinomului. Prin urmare, conform teoremei lui Bezout, polinomul este divizibil fără rest cu binom.

2. Cum se împarte un polinom într-un binom.

Un polinom poate fi împărțit într-un binom printr-o coloană.

Împărțim polinomul într-o coloană binomială:

Există o altă modalitate de a împărți un polinom într-un binom - schema lui Horner.

Urmăriți acest videoclip pentru a înțelege cum să împărțiți un polinom cu un binom cu o coloană și folosind schema lui Horner.

Observ că, dacă, la împărțirea pe o coloană, un anumit grad de necunoscut este absent în polinomul original, scriem 0 în locul său - la fel ca atunci când compilăm un tabel pentru schema Horner.

Deci, dacă trebuie să împărțim un polinom într-un binom și ca rezultat al divizării obținem un polinom, atunci putem găsi coeficienții polinomului folosind schema Horner:

Putem folosi, de asemenea Schema lui Horner pentru a verifica dacă număr dat rădăcina polinomului: dacă numărul este rădăcina polinomului, atunci restul împărțirii polinomului la este zero, adică în ultima coloană a celui de-al doilea rând al schemei Horner, obținem 0.

Folosind schema lui Horner, „omorâm două păsări dintr-o piatră”: în același timp, verificăm dacă numărul este rădăcina unui polinom și împărțim acest polinom la un binom.

Exemplu. Rezolvați ecuația:

1. Scriem divizorii termenului liber și vom căuta rădăcinile polinomului printre divizorii termenului liber.

Divizorii lui 24:

2. Verificați dacă numărul 1 este rădăcina polinomului.

Suma coeficienților unui polinom, prin urmare, numărul 1 este rădăcina polinomului.

3. Împărțiți polinomul original într-un binom folosind schema lui Horner.

A) Scrieți coeficienții polinomului original în primul rând al tabelului.

Deoarece membrul care îl conține lipsește, în coloana tabelului în care trebuie scris coeficientul lui, scriem 0. În stânga scriem rădăcina găsită: numărul 1.

B) Completați primul rând al tabelului.

În ultima coloană, așa cum era de așteptat, am obținut zero, am împărțit polinomul original într-un binom fără rest. Coeficienții polinomului rezultat din împărțire sunt afișați cu albastru în al doilea rând al tabelului:

Este ușor de verificat că numerele 1 și -1 nu sunt rădăcini ale polinomului

C) Să continuăm masa. Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului:

Deci, gradul polinomului, care se obține ca urmare a împărțirii la unu, este mai mic decât gradul polinomului original, prin urmare numărul de coeficienți și numărul de coloane sunt mai mici cu unu.

În ultima coloană, am obținut -40 - un număr care nu este egal cu zero, prin urmare, polinomul este divizibil cu un binom cu rest, iar numărul 2 nu este rădăcina polinomului.

C) Să verificăm dacă numărul -2 este rădăcina polinomului. Deoarece încercarea anterioară a eșuat, astfel încât să nu existe confuzii cu coeficienții, voi șterge linia corespunzătoare acestei încercări:

Grozav! În rest, am primit zero, prin urmare, polinomul a fost împărțit într-un binom fără rest, prin urmare, numărul -2 este rădăcina polinomului. Coeficienții polinomului, care se obțin prin împărțirea polinomului la binom, sunt afișați cu verde în tabel.

Ca urmare a diviziunii, am primit trinom pătrat , ale cărui rădăcini sunt ușor de găsit prin teorema lui Vieta:

Deci, rădăcinile ecuației originale:

{}

Răspuns: ( }

După cum am observat deja, una dintre cele mai importante probleme din teoria polinoamelor este problema găsirii rădăcinilor lor. Pentru a rezolva această problemă, puteți utiliza metoda de selecție, adică luați un număr la întâmplare și verificați dacă este o rădăcină a unui polinom dat.

În acest caz, vă puteți „împleci” rapid pe rădăcină sau nu o puteți găsi niciodată. La urma urmei, este imposibil să verifici toate numerele, deoarece există o infinitate de ele.

Altfel ar fi dacă am fi capabili să restrângem sfera căutării, de exemplu, să știm că rădăcinile dorite sunt, să zicem, printre cele treizeci de numere specificate. Și pentru treizeci de numere, poți face o verificare. În legătură cu tot ce s-a spus mai sus, următoarea afirmație pare a fi importantă și interesantă.

Dacă fracția ireductibilă l/m (l,m sunt numere întregi) este rădăcina unui polinom f (x) cu coeficienți întregi, atunci coeficientul principal al acestui polinom este divizibil cu m, iar termenul liber este divizibil cu 1.

Într-adevăr, dacă f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, unde an, an-1,...,a1, a0 sunt numere întregi, atunci f (l/ m) =0, adică un (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Să înmulțim ambele părți ale acestei egalități cu mn. Obținem anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Asta implică:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Vedem că întregul anln este divizibil cu m. Dar l/m este o fracție ireductibilă, adică. numerele l și m sunt între prime și apoi, după cum se știe din teoria divizibilității numerelor întregi, numerele ln și m sunt și ele între prime. Deci anln este divizibil cu m și m este coprim cu ln, deci an este divizibil cu m.

Subiectul dovedit ne permite să restrângem semnificativ zona de căutare a rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi. Să demonstrăm acest lucru cu un exemplu specific. Să găsim rădăcinile raționale ale polinomului f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Conform teoremei, rădăcinile raționale ale acestui polinom se numără printre fracțiile ireductibile de forma l/m, unde l este divizorul termenului liber a0=8, iar m este divizorul coeficientului conducător a4=6. în același timp, dacă fracția l/m este negativă, atunci semnul „-” va fi raportat la numărător. De exemplu, - (1/3) = (-1) /3. Deci putem spune că l este un divizor al lui 8 și m este un divizor pozitiv al lui 6.

Astfel, avem douăzeci de numere - „candidați” pentru rădăcini. Rămâne doar să verificați fiecare dintre ele și să le selectați pe cele care sunt cu adevărat rădăcini. Dar din nou, trebuie să faci destul de multe verificări. Dar următoarea teoremă simplifică această lucrare.

Dacă fracția ireductibilă l/m este rădăcina unui polinom f(x) cu coeficienți întregi, atunci f(k) este divizibil cu l-km pentru orice număr întreg k, cu condiția ca l-km?0.

Pentru a demonstra această teoremă, împărțim f (x) la x-k cu rest. Primim f (X) = (x-k) s (X) +f (k). Deoarece f (x) este un polinom cu coeficienți întregi, la fel este și polinomul s (x), iar f (k) este un număr întreg. Fie s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Atunci f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Punem in aceasta egalitate x=l/m. Ținând cont că f (l/m) =0, obținem

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Înmulțiți ambele părți ale ultimei egalități cu mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Rezultă că întregul mnf (k) este divizibil cu l-km. Dar, deoarece l și m sunt între prime, mn și l-km sunt, de asemenea, între prime, deci f(k) este divizibil cu l-km. Teorema a fost demonstrată.

Să revenim acum la exemplul nostru și, folosind teorema demonstrată, să restrângem și mai mult cercul căutărilor pentru rădăcini raționale. Să aplicăm teorema specificată la k=1 și k=-1, adică. dacă fracția ireductibilă l/m este rădăcina polinomului f(x), atunci f(1)/(l-m) și f(-1)/(l+m). Este ușor de găsit că în cazul nostru f (1) = -5 și f (-1) = -15. Rețineți că, în același timp, am exclus ±1 din considerare.

Deci rădăcinile raționale ale polinomului nostru ar trebui căutate printre numerele ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/ 3.

Se consideră l/m=1/2. Atunci l-m=-1 și f (1) =-5 este divizibil cu acest număr. În plus, l + m = 3 și f (1) = -15 este de asemenea divizibil cu 3. Prin urmare, fracția 1/2 rămâne printre „candidații” pentru rădăcini.

Astfel, destul truc simplu am restrâns semnificativ domeniul de aplicare al căutării rădăcinilor raționale ale polinomului luat în considerare. Ei bine, pentru a verifica numerele rămase, aplicăm schema lui Horner:

Tabelul 10

Am obținut că restul la împărțirea g (x) la x-2/3 este - 80/9, adică 2/3 nu este rădăcina polinomului g (x) și, prin urmare, f (x).

Mai mult, găsim cu ușurință că - 2/3 este rădăcina polinomului g (x) și g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Atunci f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). O verificare suplimentară poate fi efectuată pentru polinomul x2+2x-4, care, desigur, este mai ușor decât pentru g (x) sau chiar mai mult pentru f (x). Ca rezultat, obținem că numerele 2 și - 4 nu sunt rădăcini.

Deci, polinomul f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 are două rădăcini raționale: 1/2 și - 2/3.

Reamintim că metoda descrisă mai sus face posibilă găsirea numai a rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi. Între timp, un polinom poate avea și rădăcini iraționale. Deci, de exemplu, polinomul considerat în exemplu mai are două rădăcini: - 1 ± v5 (acestea sunt rădăcinile polinomului x2 + 2x-4). Și, în general, un polinom poate să nu aibă deloc rădăcini raționale.

Acum hai să dăm câteva sfaturi.

La testarea „candidaților” pentru rădăcinile polinomului f (x) folosind a doua dintre teoremele demonstrate mai sus, aceasta din urmă este de obicei folosită pentru cazurile k=±1. Cu alte cuvinte, dacă l/m este un „candidat” pentru rădăcini, atunci ei verifică dacă f (1) și f (-1) sunt divizibile cu l-m și, respectiv, l+m. Dar se poate întâmpla ca, de exemplu, f (1) = 0, adică 1 este rădăcina, iar apoi f (1) să fie divizibil cu orice număr, iar verificarea noastră își pierde sensul. În acest caz, f(x) ar trebui împărțit la x-1, adică. obțineți f (x) = (x-1) s (x) și testați polinomul s (x). În același timp, nu trebuie să uităm că am găsit deja o rădăcină a polinomului f (x) - x1=1. Dacă, la verificarea „candidaților” pentru rădăcinile rămase după utilizarea celei de-a doua teoreme pe rădăcini raționale, conform schemei lui Horner, obținem că, de exemplu, l / m este o rădăcină, atunci ar trebui găsită multiplicitatea acesteia. Dacă este, să zicem, k, atunci f(x) = (x-l/m)ks(x) și se poate face o verificare suplimentară pentru s(x), ceea ce reduce calculul.

Astfel, am învățat să găsim rădăcini raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi. Rezultă că în acest fel am învățat să găsim rădăcinile iraționale ale unui polinom cu coeficienți raționali. Într-adevăr, dacă avem, de exemplu, un polinom f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, atunci, reducând coeficienții la un numitor comun și scoțându-i dintre paranteze, vom obțineți f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Este clar că rădăcinile polinomului f (x) coincid cu rădăcinile polinomului dintre paranteze, iar coeficienții săi sunt numere întregi. Să demonstrăm, de exemplu, că sin100 este un număr irațional. Să folosim binecunoscuta formulă sin3?=3sin?-4sin3?. Prin urmare sin300=3sin100-4sin3100. Având în vedere că sin300=0,5 și făcând transformări simple, obținem 8sin3100-6sin100+1=0. Prin urmare, sin100 este rădăcina polinomului f (x) =8x3-6x+1. Dacă căutăm rădăcini raționale ale acestui polinom, atunci ne vom asigura că ele nu există. Aceasta înseamnă că rădăcina sin100 nu este un număr rațional, adică. sin100 este un număr irațional.

Un polinom din variabila x este o expresie de forma: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, unde n - numar natural; an, an-1,. . . , a 1, a 0 - orice numere, numite coeficienți ai acestui polinom. Expresii anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 sunt numiți membri ai polinomului, iar 0 este un membru liber. an este coeficientul la xn, an-1 este coeficientul la xn-1 etc. Un polinom ai cărui coeficienți sunt toți egali cu zero se numește zero. de exemplu, polinomul 0 x2+0 x+0 este zero. Din înregistrarea polinomului, este clar că este format din mai mulți membri. De aici provine termenul ‹‹polinom›› (mulți termeni). Uneori un polinom este numit polinom. Acest termen provine din cuvintele grecești πολι - mulți și νομχ - membru.

Un polinom dintr-o variabilă x se notează cu: . f (x), g (x), h (x), etc., de exemplu, dacă primul dintre polinoamele de mai sus este notat cu f (x), atunci putem scrie: f (x) \u003d x 4+2 x 3+ (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Un polinom h(x) se numește cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x) și g(x) dacă împarte f(x), g(x) și fiecare dintre ele divizor comun. 2. Un polinom f(x) cu coeficienți din câmpul P de gradul n se numește reductibil peste câmpul P dacă există polinoame h(x), g(x) н P[x] de grad mai mic decât n astfel încât f (x) = h( x)g(x).

Dacă există un polinom f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x+a 0 și an≠ 0, atunci numărul n se numește gradul polinomului f (x) (sau se spune: f (x) - gradul al n-lea) și scrieți art. f(x)=n. În acest caz, an se numește coeficientul conducător, iar anxn se numește termenul principal al polinomului dat. De exemplu, dacă f (x) \u003d 5 x 4 -2 x + 3, atunci art. f (x) =4, coeficient senior - 5, termen senior - 5 x4. Gradul unui polinom este cel mai mare număr al coeficienților săi diferiti de zero. Polinoamele de grad zero sunt alte numere decât zero. , polinomul zero nu are grad; polinomul f (x) \u003d a, unde a este un număr altul decât zero, are gradul 0; gradul oricărui alt polinom este rata cea mai mare gradul variabilei x, coeficientul la care este egal cu zero.

Egalitatea polinoamelor. Două polinoame f (x) și g (x) sunt considerate egale dacă coeficienții lor sunt egali la aceleași puteri ale variabilei x și termeni liberi (coeficienții lor corespunzători sunt egali). f(x)=g(x). De exemplu, polinoamele f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 și g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 nu sunt egale, primul dintre ele are un coeficient la x3 egal cu 1, iar al doilea are zero ( conform convențiilor acceptate, putem scrie: g (x) \u003d 0 x 3 + 2 x 2 -3 x + 1. În acest caz: f (x) ≠ g (x) Polinoamele nu sunt egale: h (x) \u003d 2 x 2 -3 x+5, s (x) \u003d 2 x 2+3 x + 5, deoarece coeficienții lor la x sunt diferiți.

Dar polinoamele f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 și g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 sunt egale dacă și numai dacă a \u003d 3 și b = -2. Fie dat polinomul f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 și un număr c. Numărul f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 se numește valoarea polinomului f (x) la x=c. Astfel, pentru a găsi f (c), în loc de x, trebuie să înlocuiți c în polinom și să efectuați calculele necesare. De exemplu, dacă f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, atunci f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Polinomul pentru diferite valori ale variabilei x poate lua diverse sensuri. Numărul c se numește rădăcina polinomului f (x) dacă f (c) =0.

Să fim atenți la diferența dintre cele două afirmații: „polinomul f (x) este egal cu zero (sau, ceea ce este același, polinomul f (x) este zero)” și „valoarea polinomului f ( x) la x=c este egal cu zero”. De exemplu, polinomul f (x) \u003d x 2 -1 nu este egal cu zero, are coeficienți diferiti de zero, iar valoarea sa la x \u003d 1 este zero. f(x) ≠ 0 și f(1) =0. Există o relație strânsă între conceptele de egalitate a polinoamelor și valoarea unui polinom. Dacă sunt date două polinoame egale f(x) și g(x), atunci coeficienții lor respectivi sunt egali și deci f(c) = g(c) pentru fiecare număr c.

Operații pe polinoame Polinoamele pot fi adunate, scăzute și înmulțite folosind regulile obișnuite pentru deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari. În acest caz, rezultatul este din nou un polinom. Aceste operații au proprietăți cunoscute: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h (x), f (x) g (x) = g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h(x), f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x).

Să fie date două polinoame f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0 și g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Este clar că art. f(x)=n, iar art. g(x)=m. Dacă înmulțiți aceste două polinoame, obțineți un polinom de forma f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Deoarece an≠ 0 și bn≠ 0, atunci anbm≠ 0, ceea ce înseamnă că st. (f(x)g(x))=m+n. De aici rezultă o afirmație importantă.

Gradul produsului a două polinoame nenule este egal cu suma gradelor factorilor, art. (f (x) g (x)) =st. f (x) +st. g(x). Cel mai mare termen (coeficient) al produsului a două polinoame nenule este egal cu produsul celor mai mari termeni (coeficienți) ai factorilor. Termenul liber al produsului a două polinoame este egal cu produsul termenilor liberi ai factorilor. Gradele polinoamelor f (x), g (x) și f (x) ±g (x) sunt legate prin următoarea relație: st. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Se numește o suprapunere de polinoame f (x) și g (x). polinom, notat cu f (g (x)), care se obține prin înlocuirea x în polinomul f (x) cu polinomul g (x). De exemplu, dacă f(x)=x 2+2 x-1 și g(x) =2 x+3 atunci f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3)2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1)+ 3=2x2+4x+1. Se poate observa că f (g (x)) ≠g (f (x)), adică suprapunerea polinoamelor f (x), g (x) și suprapunerea polinoamelor g (x), f ( x) sunt diferite. Astfel, operația de suprapunere nu are proprietatea de a fi deplasabilă.

, Algoritm pentru împărțirea cu rest Pentru orice f(x), g(x) există q(x) (coent) și r(x) (restul) astfel încât f(x)=g(x)q(x)+ r(x) și gradul r(x)

Divizori ai unui polinom Divizorul unui polinom f(x) este un polinom g(x) astfel încât f(x)=g(x)q(x). Cel mai mare divizor comun al două polinoame Cel mai mare divizor comun al lui f(x) și g(x) este divizorul lor comun d(x), care este divizibil cu orice alt divizor comun.

Algoritmul lui Euclid (algoritm de împărțire succesivă) pentru găsirea celui mai mare divizor comun al polinoamelor f(x) și g(x) Atunci - cel mai mare divizor comun al f(x) și g(x).

Reduceți fracția Rezolvare: Aflați MCD-ul acestor polinoame folosind algoritmul Euclid 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 - x2 - 3 x - 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Prin urmare, polinomul (- x2 - 3 x - 2) este GCD-ul numărătorului și numitorul acestei fracții. Rezultatul împărțirii numitorului la acest polinom este cunoscut.

Aflați rezultatul împărțirii numărătorului. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Astfel, răspunsul:

Schema lui Horner A împărți polinomul f(x) cu un rest la un polinom diferit de zero g(x) înseamnă a reprezenta f(x) ca f(x)=g(x) s(x)+r(x), unde s (x ) și r(x) -polinoame și fie r(x)=0, fie st. r(x)

Polinoamele din stânga și din dreapta acestei relații sunt egale, ceea ce înseamnă că coeficienții lor corespunzători sunt egali. Să le echivalăm deschizând mai întâi parantezele și aducând termeni similari în partea dreaptă a acestei egalități. Se obține: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Amintiți-vă că trebuie să găsim coeficientul incomplet, adică coeficienții săi și restul. Să le exprimăm din egalitățile obținute: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Am găsit formule prin care putem calcula coeficienții câtului parțial s (x) și restul r. În acest caz, calculele se fac sub forma următorului tabel; se numeşte schema lui Horner.

Tabelul 1. Coeficienți f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Coeficienți s (x) rest În prima linie a acestui tabel, notați toți coeficienții polinomului f (x) într-un rând, lăsând prima celulă liberă. În a doua linie din prima celulă scrieți numărul c. Celulele rămase din această linie se completează, calculând unul câte unul coeficienții coeficientului incomplet s (x) și restul r. În a doua celulă se scrie coeficientul bn-1 care, după cum am stabilit, este egal cu an.

Coeficientul din fiecare celulă ulterioară se calculează conform următoarei reguli: numărul c este înmulțit cu numărul din celula anterioară, iar la rezultat se adaugă numărul de deasupra celulei care se completează. Pentru a vă aminti, de exemplu, a cincea celulă, adică pentru a găsi coeficientul care se află în ea, trebuie să înmulțiți c cu numărul situat în a patra celulă și să adăugați numărul de deasupra celei de a cincea celule la rezultat. Împărțiți, de exemplu, polinomul f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 la x-2 cu un rest folosind schema lui Horner. Când completați prima linie a acestei scheme, nu trebuie să uitați de coeficienții zero ai polinomului. Deci, coeficienții f (x) sunt numerele 3, 0, - 5, 3, - 1. Și trebuie amintit, de asemenea, că gradul coeficientului incomplet este cu unul mai mic decât gradul polinomului f (x).

Deci, efectuăm împărțirea conform schemei Horner: Tabelul 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Obținem un coeficient incomplet s (x) \u003d 3 x 3 + 6 x 2 + 7 x + 17 și restul r \u003d 33. de observat că în același timp am calculat și valoarea polinomului f (2) =33. Împărțim acum același polinom f (x) la x + 2 cu un rest. În acest caz c=-2. obţinem: Tabelul 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Ca rezultat, avem f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21.

Rădăcinile polinoamelor Fie c1, c2, …, cm rădăcini diferite ale polinomului f (x). Atunci f (x) este divizibil cu x-c1, adică f (x) \u003d (x-c 1) s 1 (x). Să punem x=c2 în această ecuație. Obținem f (c 2) \u003d (c 2 -c 1) s 1 (c 2) și, deci f (c 2) \u003d 0, atunci (c2 -c1) s 1 (c 2) \u003d 0. Dar c2≠c1, adică c2 -c1≠ 0, ceea ce înseamnă că s 1 (c 2) \u003d 0. Astfel, c2 este rădăcina polinomului s 1 (x). Rezultă că s 1 (x) este divizibil cu x-c2, adică s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Înlocuiți expresia rezultată pentru s 1 (x) în egalitatea f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Avem f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Punând în ultima egalitate x \u003d c3, ținând cont de faptul că f (c 3) \u003d 0, c3≠c1, c3≠c2, obținem că c3 este rădăcina polinomului s 2 (x). Prin urmare, s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), și apoi f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), etc. Continuând aceste argumente pentru rădăcinile rămase c4, c5, ..., cm, obținem în sfârșit f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), adică se dovedește afirmația formulată mai jos .

Dacă c1, c2, ..., cm sunt rădăcini diferite ale polinomului f (x), atunci f (x) poate fi reprezentat ca f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x- cm) sm (x). De aici urmează consecință importantă. Dacă c1, c2, ..., cm sunt rădăcini diferite ale polinomului f(x), atunci f(x) este divizibil cu polinomul (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Numărul de rădăcini diferite ale unui polinom diferit de zero f (x) nu este mai mare decât gradul său. Într-adevăr, dacă f(x) nu are rădăcini, atunci este clar că teorema este adevărată, deoarece art. f(x) ≥ 0. Fie că f(x) are m rădăcini с1, с2, …, сm și toate sunt diferite. Atunci, prin ceea ce tocmai a fost demonstrat, f (x) este divizibil cu (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Într-un asemenea caz, art. f(x)≥st. ((x-s1) (x-s2) ... (x-sm)) \u003d st. (x-c1) + st. (x-c2) + ... + st. (x-cm) \u003d m, adică art. f(x)≥m, iar m este numărul de rădăcini ale polinomului considerat. Dar polinomul zero are infinit de rădăcini, deoarece valoarea lui pentru orice x este 0. În special, din acest motiv, nu i se atribuie niciun grad definit. Următoarea afirmație decurge din teorema tocmai demonstrată.

Dacă polinomul f(x) nu este un polinom de grad mai mare decât n și are mai mult de n rădăcini, atunci f(x) este un polinom nul. Într-adevăr, din condițiile acestei afirmații rezultă că fie f (x) este un polinom zero, fie Art. f(x)≤n. Dacă presupunem că polinomul f (x) nu este zero, atunci art. f (x) ≤n, și atunci f (x) nu are mai mult de n rădăcini. Ajungem la o contradicție. Prin urmare, f(x) este un polinom diferit de zero. Fie f(x) și g(x) polinoame nenule de gradul cel mult n. Dacă aceste polinoame iau aceleași valori pentru n + 1 valori ale variabilei x, atunci f (x) = g (x).

Pentru a demonstra acest lucru, considerăm polinomul h (x) = f (x) - g (x). Este clar că - fie h (x) =0, fie art. h (x) ≤n, adică h (x) nu este un polinom de grad mai mare decât n. Fie acum un număr c astfel încât f (c) = g (c). Atunci h (c) \u003d f (c) - g (c) \u003d 0, adică c este rădăcina polinomului h (x). Prin urmare, polinomul h (x) are n + 1 rădăcini și când, așa cum tocmai s-a demonstrat, h (x) = 0, adică f (x) = g (x). Dacă f (x) și g (x) iau aceleași valori pentru toate valorile variabilei x, atunci aceste polinoame sunt egale

Rădăcini multiple ale unui polinom Dacă c este o rădăcină a unui polinom f(x), se știe că acest polinom este divizibil cu x-c. Se poate întâmpla ca f(x) să fie și divizibil cu o anumită putere polinom x-s, adică pe (x-c) k, k>1. În acest caz, c se numește rădăcină multiplă. Să formulăm definiția mai clar. Un număr c se numește rădăcină a multiplicității k (rădăcină k-fold) a unui polinom f (x) dacă polinomul este divizibil cu (x -c) k, k>1 (k este un număr natural), dar nu este divizibil cu (x-c) k + 1. Dacă k=1, atunci c se numește rădăcină simplă, iar dacă k>1, rădăcină multiplă a polinomului f (x).

Dacă polinomul f(x) este reprezentat ca f(x)=(x-c)mg(x), m este un număr natural, atunci este divizibil cu (x-c) m+1 dacă și numai dacă g(x) este divizibil pe xs. Într-adevăr, dacă g(x) este divizibil cu x-c, adică g(x)=(x-c)s(x), atunci f(x)=(x-c) m+1 s(x), și deci f(x) este divizibil cu (x-c) m+1. În schimb, dacă f(x) este divizibil cu (x-c) m+1, atunci f(x)=(x-c) m+1 s(x). Atunci (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) și după reducerea cu (x-c)m obținem g(x)=(x-c)s(x). Rezultă că g(x) este divizibil cu x-c.

Să aflăm, de exemplu, dacă numărul 2 este rădăcina polinomului f (x) \u003d x 5 -5 x 4 + 3 x 3 + 22 x 2 -44 x + 24 și, dacă da, găsim multiplicitatea acestuia . Pentru a răspunde la prima întrebare, să folosim schema lui Horner pentru a verifica dacă f(x) este divizibil cu x-2. avem: Tabelul 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 După cum puteți vedea, restul la împărțirea f (x) la x-2 este 0, adică se împarte la x -2. Deci 2 este rădăcina acestui polinom. În plus, am obținut că f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Acum să aflăm dacă f(x) este cu (x-2) 2. Aceasta depinde, așa cum tocmai am demonstrat, de divizibilitatea polinomului g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 cu x-2.

Să folosim din nou schema lui Horner: Tabelul 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x 2 -5x+6). Atunci f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Deci, f(x) este divizibil cu (x-2) 2, acum trebuie să aflăm dacă f(x) este divizibil cu (x-2)3. Pentru a face acest lucru, verificați dacă h (x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 este divizibil cu x-2: Tabelul 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Obținem că h (x ) este divizibil cu x-2, ceea ce înseamnă că f(x) este divizibil cu (x-2) 3 și f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Apoi, într-un mod similar, verificăm dacă f (x) este divizibil cu (x-2) 4, adică este s (x) \u003d x 2 + x-3 divizibil cu x-2: Tabelul 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Găsim că restul la împărțirea lui s (x) la x-2 este 3, adică s (x) nu este divizibil cu x-2. Deci f(x) nu este divizibil cu (x-2)4. Deci f(x) este divizibil cu (x-2)3, dar nu este divizibil cu (x-2)4. Prin urmare, numărul 2 este o rădăcină a multiplicității 3 a polinomului f(x).

De obicei, verificarea multiplicității rădăcinii se efectuează într-un singur tabel. Pentru acest exemplu, acest tabel arată astfel: Tabelul 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Cu alte cuvinte, conform schemei împărțirea lui Horner a polinomului f (x) la x-2, în a doua linie obținem coeficienții polinomului g (x). Apoi, această a doua linie este considerată prima linie sistem nou Horner și facem împărțirea lui g (x) la x-2 etc. continuăm calculele până obținem un rest diferit de zero. În acest caz, multiplicitatea rădăcinii este egală cu numărul de reziduuri zero obținute. Linia care conține ultimul rest diferit de zero conține și coeficienții coeficientului la împărțirea f (x) la (x-2) 3.

Acum, folosind schema tocmai propusă pentru verificarea multiplicității rădăcinii, rezolvăm următoarea problemă. Pentru ce a și b polinomul f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 are numărul - 2 ca rădăcină a multiplicității 2? Deoarece multiplicitatea rădăcinii - 2 ar trebui să fie egală cu 2, atunci, efectuând împărțirea cu x + 2 conform schemei propuse, ar trebui să obținem restul 0 de două ori, iar a treia oară - restul, altul decât zero. Avem: Tabelul 9

Astfel, numărul - 2 este o rădăcină a multiplicității 2 a polinomului original dacă și numai dacă

Rădăcini raționale ale unui polinom Dacă fracția ireductibilă l/m (l, m sunt numere întregi) este o rădăcină a unui polinom f (x) cu coeficienți întregi, atunci coeficientul principal al acestui polinom este divizibil cu m, iar termenul liber este divizibil cu 1. Într-adevăr, dacă f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, unde an, an-1, . . . , a 1, a 0 sunt numere întregi, atunci f(l/m) =0, adică an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Să înmulțim ambele părți ale acestei egalități cu mn. Obținem anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Aceasta implică anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Vedem că întregul anln este divizibil cu m. Dar l/m este o fracție ireductibilă, adică numerele l și m sunt între prime și apoi, după cum se știe din teoria divizibilității numerelor întregi, numerele ln și m sunt, de asemenea, coprime. Deci anln este divizibil cu m și m este coprim cu ln, deci an este divizibil cu m. Aflați rădăcinile raționale ale polinomului f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Conform teoremei, rădăcinile raționale ale acestui polinom sunt printre fracțiile ireductibile de forma l/m, unde l este divizorul termenului liber a 0=8, iar m este divizorul coeficientului conducător a 4=6. în același timp, dacă fracția l/m este negativă, atunci semnul „-” va fi raportat la numărător. De exemplu, - (1/3) = (-1) /3. Deci putem spune că l este un divizor al lui 8 și m este un divizor pozitiv al lui 6.

Deoarece divizorii numărului 8 sunt ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, iar divizorii pozitivi ai numărului 6 sunt 1, 2, 3, 6, atunci rădăcinile raționale ale polinomului luat în considerare sunt printre numerele ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Amintiți-vă că am scris doar fracții ireductibile. Astfel, avem douăzeci de numere - „candidați” pentru rădăcini. Rămâne doar să verificați fiecare dintre ele și să le selectați pe cele care sunt cu adevărat rădăcini. următoarea teoremă simplifică această lucrare. Dacă fracția ireductibilă l/m este rădăcina unui polinom f(x) cu coeficienți întregi, atunci f(k) este divizibil cu l-km pentru orice număr întreg k, cu condiția ca l-km≠ 0.

Pentru a demonstra această teoremă, împărțim f(x) la x-k cu rest. Se obține f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Deoarece f(x) este un polinom cu coeficienți întregi, la fel este și polinomul s(x), iar f(k) este un număr întreg. Fie s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Atunci f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Punem in aceasta egalitate 1 x=l/m. Având în vedere că f(l/m)=0, obținem f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Să înmulțim ambele părți ale ultimei egalități cu mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Rezultă că întregul mnf (k) este divizibil cu l-km. Dar deoarece l și m sunt relativ primi, atunci mn și l-km sunt, de asemenea, relativ primi, ceea ce înseamnă că f(k) este divizibil cu l-km. Teorema a fost demonstrată.

Să revenim la exemplul nostru și, folosind teorema demonstrată, vom restrânge și mai mult cercul căutărilor pentru rădăcini raționale. Să aplicăm teorema indicată pentru k=1 și k=-1, adică dacă fracția ireductibilă l/m este rădăcina polinomului f(x), atunci f(1)/(l-m) și f(-1 )/(l +m). Este ușor de găsit că în cazul nostru f(1)=-5 și f(-1)=-15. Rețineți că, în același timp, am exclus din considerare ± 1. Deci, rădăcinile raționale ale polinomului nostru ar trebui căutate printre numerele ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Se consideră l/m=1/2. Atunci l-m=-1 și f (1) =-5 este divizibil cu acest număr. În plus, l + m = 3 și f (1) = -15 este de asemenea divizibil cu 3. Prin urmare, fracția 1/2 rămâne printre „candidații” pentru rădăcini.

Fie acum lm=-(1/2)=(-1)/2. În acest caz, l-m=-3 și f (1) =-5 nu este divizibil cu - 3. Prin urmare, fracția -1/2 nu poate fi rădăcina acestui polinom și o excludem de la analiza ulterioară. Să verificăm pentru fiecare dintre fracțiile scrise mai sus, obținem că rădăcinile dorite sunt printre numerele 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Astfel, printr-un truc destul de simplu, am restrâns semnificativ zona de căutare pentru rădăcinile raționale ale polinomului luat în considerare. Ei bine, pentru a verifica numerele rămase, aplicăm schema Horner: Tabelul 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Vedem că 1/2 este rădăcina polinomului f(x) și f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8x2-8x-8). Este clar că toate celelalte rădăcini ale polinomului f (x) coincid cu rădăcinile polinomului g (x) \u003d 3 x 3 + 8 x 2 -8 x-8, ceea ce înseamnă că verificarea ulterioară a „candidaților” pentru rădăcinile pot fi efectuate deja pentru acest polinom. Aflați: Tabelul 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 2/3 nu este o rădăcină a polinomului g(x) și, prin urmare, nici f(x). În continuare, aflăm că - 2/3 este rădăcina polinomului g (x) și g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Atunci f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). O verificare suplimentară poate fi efectuată pentru polinomul x 2+2 x-4, care, desigur, este mai ușor decât pentru g (x) sau chiar mai mult pentru f (x). Ca rezultat, obținem că numerele 2 și - 4 nu sunt rădăcini. Deci, polinomul f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 3 -24 x 2 -8 x + 8 are două rădăcini raționale: 1/2 și - 2/3. Această metodă face posibilă găsirea numai a rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi. Între timp, un polinom poate avea și rădăcini iraționale. Deci, de exemplu, polinomul considerat în exemplu mai are două rădăcini: - 1 ± √ 5 (acestea sunt rădăcinile polinomului x2 + 2 x-4). un polinom poate să nu aibă deloc rădăcini raționale.

Când se testează „candidați” pentru rădăcinile polinomului f(x) folosind a doua dintre teoremele de mai sus, aceasta din urmă este de obicei folosită pentru cazurile k=± 1. Cu alte cuvinte, dacă l/m este un „candidat” pentru rădăcinile, atunci se verifică dacă f( 1) și f (-1) pe l-m și respectiv l+m. Dar se poate întâmpla ca, de exemplu, f (1) = 0, adică 1 este rădăcina, iar apoi f (1) să fie divizibil cu orice număr, iar verificarea noastră își pierde sensul. În acest caz, ar trebui să împărțiți f(x) la x-1, adică să obțineți f(x)=(x-1)s(x) și să testați polinomul s(x). În acest caz, nu trebuie uitat că am găsit deja o rădăcină a polinomului f(x)-x 1=1. Dacă verificăm „candidații” pentru rădăcinile rămase după folosirea celei de-a doua teoreme pe rădăcini raționale, conform schemei lui Horner, obținem că, de exemplu, l / m este o rădăcină, atunci ar trebui găsită multiplicitatea acesteia. Dacă este, de exemplu, k, atunci f(x)=(x-l/m) ks (x) și pot fi efectuate verificări suplimentare pentru s(x), ceea ce reduce calculul.

Soluţie. După ce am efectuat schimbarea variabilei y=2 x, trecem la un polinom cu un coeficient egal cu unu la cel mai înalt grad. Pentru a face acest lucru, înmulțiți mai întâi expresia cu 4. Dacă funcția rezultată are rădăcini întregi, atunci acestea se numără printre divizorii termenului liber. Să le scriem: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15±, ± 20, ± 30, ± 60

Să calculăm succesiv valorile funcției g(y) în aceste puncte până când se obține zero. Adică, y=-5 este rădăcina, prin urmare, este rădăcina funcției originale. Să facem împărțirea printr-o coloană (colț) a unui polinom cu un binom

Nu este recomandabil să continuați verificarea divizorilor rămași, deoarece este mai ușor să factorizați trinomul pătrat rezultat.

Utilizarea înmulțirii reduse și a formulelor binomiale ale lui Newton pentru a factoriza un polinom aspect polinom sugerează o modalitate de factorizare. De exemplu, după transformări simple, coeficienții se aliniază într-o linie din triunghiul lui Pascal pentru coeficienții binomi ai lui Newton. Exemplu. Factorizați un polinom.

Soluţie. Să transformăm expresia în forma: Secvența de coeficienți ai sumei dintre paranteze indică clar ce este. Prin urmare, acum aplicăm formula diferenței de pătrate: Expresia din a doua paranteză nu are rădăcini reale, iar pentru polinomul din la prima paranteză aplicăm din nou formula diferenței de pătrate

Formule Vieta care exprimă coeficienții unui polinom în termeni de rădăcini. Este convenabil să folosiți aceste formule pentru a verifica corectitudinea găsirii rădăcinilor unui polinom, precum și pentru a compune un polinom din rădăcinile sale date. Formulare Dacă sunt rădăcinile unui polinom, atunci coeficienții sunt exprimați ca polinoame simetrice în rădăcini, și anume

Cu alte cuvinte, ak este egal cu suma tuturor produselor posibile ale k rădăcinilor. Dacă coeficientul principal al polinomului, atunci pentru a aplica formula Vieta, este necesar să împărțiți mai întâi toți coeficienții cu 0. În acest caz, formulele Vieta dau o expresie pentru raportul dintre toți coeficienții la cel mai mare. Din ultima formulă a lui Vieta rezultă că, dacă rădăcinile unui polinom sunt întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului său liber, care este, de asemenea, întreg. Demonstrarea se realizează luând în considerare egalitatea obținută prin extinderea polinomului în termeni de rădăcini, având în vedere că a 0 \u003d 1 Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, obținem formulele Vieta.

Rezolvați ecuația x 6 - 5 x 3 + 4 = 0 Soluție. Notăm y \u003d x 3, atunci ecuația inițială ia forma y 2 - 5 y + 4 \u003d 0, rezolvând care obținem Y 1 \u003d 1; Y 2 = 4. Astfel, ecuația inițială este echivalentă cu setul de ecuații: x 3 = 1 sau x 3 = 4, adică X 1 = 1 sau X 2 = Răspuns: 1;

Teorema lui Bezout Definiție 1. Un element se numește rădăcină a unui polinom dacă f(c)=0. teorema lui Bezout. Restul împărțirii polinomului Pn(x) la binomul (x-a) este egal cu valoarea acestui polinom la x = a. Dovada. În virtutea algoritmului de împărțire, f(x)=(xc)q(x)+r(x), unde fie r(x)=0, fie și prin urmare. Deci f(x)=(x-c)q(x)+r, deci f(c)=(c-c)q(c)+r=r și deci f(x)=(xc)q(x) +f( c).

Corolarul 1: Restul împărțirii polinomului Pn (x) la binomul ax+b este egal cu valoarea acestui polinom la x = -b/a, adică R=Pn (-b/a). Corolarul 2: Dacă numărul a este rădăcina polinomului P (x), atunci acest polinom este divizibil cu (x-a) fără rest. Corolarul 3: Dacă polinomul P(x) are rădăcini distincte perechi a 1 , a 2 , … , an, atunci este divizibil cu produsul (x-a 1) … (x-an) fără rest. Corolarul 4: Un polinom de grad n are cel mult n rădăcini distincte. Corolarul 5: Pentru orice polinom P(x) și un număr a, diferența (P(x)-P(a)) este divizibilă egal cu binomul (x-a). Corolarul 6: Numărul a este o rădăcină a unui polinom P(x) de grad cel puțin primul dacă și numai dacă P(x) este divizibil cu (x-a) fără rest.

Descompunerea unei fracții raționale în cele mai simple Să arătăm că orice fracție rațională proprie poate fi descompusă într-o sumă de fracții cele mai simple. Să fie dată o fracție rațională adecvată (1).

Teorema 1. Fie x \u003d a rădăcina numitorului conciziei k, adică unde f (a) ≠ 0, atunci această fracție proprie poate fi reprezentată ca suma a altor două fracții adecvate după cum urmează: (2) , unde A este o constantă diferită de zero, iar F 1(x) este un polinom al cărui grad este mai mic decât gradul numitorului

unde este un polinom al cărui grad este mai mic decât gradul numitorului. Și similar cu formula anterioară, puteți obține: (5)