Figura arată unghiul de înclinare al dreptei și indică valoarea pantei la diverse opțiuni locația dreptei în raport cu sistemul de coordonate dreptunghiular.
Găsirea pantei unei drepte la un unghi cunoscut de înclinare față de axa Ox nu prezintă dificultăți. Pentru a face acest lucru, este suficient să reamintim definiția coeficientului de pantă și să calculați tangenta unghiului de pantă.
Exemplu.
Găsi pantă drept dacă unghiul de înclinare a acestuia față de axa x este egal cu .
Soluţie.
După condiție. Apoi, prin definiția pantei dreptei, calculăm 
.
Răspuns:
Sarcina de a găsi unghiul de înclinare al unei linii drepte față de axa x cu o pantă cunoscută este puțin mai dificilă. Aici este necesar să se țină cont de semnul coeficientului de pantă. Când unghiul de înclinare al dreptei este acut și se găsește ca . Când unghiul de înclinare al unei linii drepte este obtuz și poate fi determinat prin formulă 
.
Exemplu.
Determinați unghiul de înclinare al unei drepte față de axa x dacă panta acesteia este 3.
Soluţie.
Deoarece, prin condiție, panta este pozitivă, unghiul de înclinare a dreptei față de axa Ox este acut. O calculăm după formula.
Răspuns:
Exemplu.
Panta dreptei este . Determinați unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox.
Soluţie.
Denota k este panta dreptei, este unghiul de înclinare a acestei drepte față de direcția pozitivă a axei Ox. Deoarece 
, apoi folosim formula pentru aflarea unghiului de înclinare al unei drepte de forma următoare . Substituim datele din condiție în ea: .
Răspuns:
Ecuația unei drepte cu o pantă.
Ecuația dreptei cu panta are forma , unde k este panta dreptei, b este un număr real. Ecuația unei drepte cu o pantă poate specifica orice linie dreaptă care nu este paralelă cu axa Oy (pentru o dreaptă paralelă cu axa y, panta nu este definită).
Să ne uităm la sensul frazei: „o dreaptă pe un plan într-un sistem de coordonate fix este dată de o ecuație cu o pantă a formei”. Aceasta înseamnă că ecuația este satisfăcută de coordonatele oricărui punct de pe linie și nu de coordonatele oricărui alt punct din plan. Astfel, dacă se obține egalitatea corectă la înlocuirea coordonatelor unui punct, atunci linia trece prin acest punct. În caz contrar, punctul nu se află pe o linie.
Exemplu.
Linia dreaptă este dată de o ecuație cu panta . Punctele aparțin și ele acestei linii?
Soluţie.
Înlocuiți coordonatele punctului în ecuația originală a unei drepte cu pantă: 
. Am obținut egalitatea corectă, prin urmare, punctul M 1 se află pe o dreaptă.
Când înlocuim coordonatele punctului, obținem egalitatea greșită: 
. Astfel, punctul M2 nu se află pe o dreaptă.
Răspuns:
Punct M 1 aparține liniei, M 2 nu.
De remarcat că linia dreaptă, definită de ecuația unei drepte cu pantă , trece prin punct, deoarece la substituirea coordonatele sale în ecuație, obținem egalitatea corectă: .
Astfel, ecuația unei drepte cu pantă determină o dreaptă pe un plan care trece printr-un punct și formează un unghi cu direcția pozitivă a axei absciselor, și .
Ca exemplu, să desenăm o linie dreaptă definită de ecuația unei drepte cu o pantă de forma . Această linie trece prin punct și are o pantă 
radiani (60 de grade) pe direcția pozitivă a axei Ox. Panta sa este .
Ecuația unei drepte cu o pantă care trece printr-un punct dat.
Acum vom rezolva o problemă foarte importantă: vom obține ecuația unei drepte cu o pantă dată k și care trece prin punctul .
Deoarece linia trece prin punctul , atunci egalitatea 
. Numărul b ne este necunoscut. Pentru a scăpa de el, scădem din părțile din stânga și din dreapta ecuației unei drepte cu pantă, respectiv, părțile din stânga și din dreapta ultimei egalități. Făcând asta, obținem 
. Această egalitate este ecuația unei drepte cu o pantă dată k care trece printr-un punct dat.
Luați în considerare un exemplu.
Exemplu.
Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punct, panta acestei drepte este -2.
Soluţie.
Din starea pe care o avem 
. Atunci ecuația unei drepte cu pantă va lua forma .
Răspuns:
Exemplu.
Scrieți ecuația unei drepte dacă se știe că trece printr-un punct și unghiul de înclinare față de direcția pozitivă a axei Ox este .
Soluţie.
Mai întâi, calculăm panta dreptei a cărei ecuație o căutăm (am rezolvat o astfel de problemă în paragraful anterior al acestui articol). A-prioriu 
. Acum avem toate datele pentru a scrie ecuația unei drepte cu pantă:
Răspuns:
Exemplu.
Scrieți ecuația unei drepte cu pantă care trece printr-un punct paralel cu dreapta.
Soluţie.
Este evident că unghiurile de înclinare ale liniilor paralele față de axa Ox coincid (dacă este necesar, vezi articolul linii paralele), prin urmare, coeficienții de pantă ai liniilor paralele sunt egali. Atunci panta dreptei, a cărei ecuație trebuie să o obținem, este egală cu 2, deoarece panta dreptei este 2. Acum putem compune ecuația necesară a unei drepte cu pantă:
Răspuns:
Trecerea de la ecuația unei drepte cu coeficient de pantă la alte tipuri de ecuație a unei drepte și invers.
Cu toată familiaritatea, ecuația unei linii drepte cu o pantă este departe de a fi întotdeauna convenabilă de utilizat atunci când rezolvați probleme. În unele cazuri, problemele sunt mai ușor de rezolvat atunci când ecuația unei linii drepte este prezentată într-o formă diferită. De exemplu, ecuația unei linii drepte cu o pantă nu vă permite să scrieți imediat coordonatele vectorului de direcție al dreptei sau coordonatele vectorului normal al dreptei. Prin urmare, ar trebui să înveți să treci de la ecuația unei linii drepte cu o pantă la alte tipuri de ecuație a acestei linii drepte.
Din ecuația unei drepte cu pantă, se obține ușor ecuația canonică a unei drepte pe un plan de forma 
. Pentru a face acest lucru, transferăm termenul b din partea dreaptă a ecuației în partea stângă cu semnul opus, apoi împărțim ambele părți ale egalității rezultate la panta k:. Aceste acțiuni ne conduc de la ecuația unei drepte cu pantă la ecuația canonică a unei drepte.
Exemplu.
Dați ecuația unei drepte cu pantă 
la forma canonică.
Soluţie.
Să efectuăm transformările necesare: .
Răspuns:
Exemplu.
Linia dreaptă este dată de ecuația unei drepte cu panta . Este vectorul un vector normal al acestei linii?
Soluţie.
Pentru a rezolva această problemă, să trecem de la ecuația unei drepte cu pantă la ecuația generală a acestei drepte: 
. Știm că coeficienții din fața variabilelor x și y în ecuația generală a unei drepte sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului normal al acestei drepte, adică vectorul normal al dreptei. 
. Evident, vectorul este coliniar cu vectorul, deoarece relația este adevărată (dacă este necesar, vezi articolul). Astfel, vectorul original este, de asemenea, un vector normal al dreptei , și, prin urmare, este un vector normal și linia originală .
Răspuns:
Da, este.
Și acum vom rezolva problema inversă - problema aducerii ecuației unei drepte pe un plan la ecuația unei drepte cu pantă.
Din ecuația generală a dreptei 
, unde , se trece foarte ușor la ecuația pantei. Pentru asta ai nevoie ecuație generală rezoluție directă cu privire la y . În același timp, obținem. Egalitatea rezultată este ecuația unei drepte cu o pantă egală cu .
În matematică, unul dintre parametrii care descriu poziția unei drepte pe planul de coordonate carteziene este panta acestei drepte. Acest parametru caracterizează panta dreptei față de axa x. Pentru a înțelege cum să găsiți panta, mai întâi amintiți-vă forma generală a ecuației unei drepte în sistemul de coordonate XY.
În general, orice linie poate fi reprezentată prin expresia ax+by=c, unde a, b și c sunt numere reale arbitrare, dar neapărat a 2 + b 2 ≠ 0.
Cu ajutorul unor transformări simple, o astfel de ecuație poate fi adusă la forma y=kx+d, în care k și d sunt numere reale. Numărul k este o pantă, iar ecuația unei drepte de acest fel se numește ecuație cu pantă. Se pare că pentru a găsi panta, trebuie doar să aduceți ecuația inițială la forma de mai sus. Pentru o mai bună înțelegere, luați în considerare un exemplu specific:
Sarcină: Aflați panta dreptei dată de ecuația 36x - 18y = 108
Soluție: Să transformăm ecuația inițială.
Răspuns: Panta dorită a acestei linii este 2.
Daca in timpul transformarii ecuatiei am obtinut o expresie de tipul x = const si ca urmare nu putem reprezenta y in functie de x, atunci avem de-a face cu o dreapta paralela cu axa X. Panta de o astfel de linie dreaptă este egală cu infinitul.
Pentru drepte care sunt exprimate printr-o ecuație precum y = const, panta este zero. Acest lucru este tipic pentru liniile drepte paralele cu axa x. De exemplu:
Sarcină: Aflați panta dreptei dată de ecuația 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Rezolvare: Aducem ecuația inițială la vedere generala
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Este imposibil de exprimat y din expresia rezultată, prin urmare panta acestei drepte este egală cu infinit, iar linia în sine va fi paralelă cu axa Y.
sens geometric
Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la imagine:
În figură, vedem un grafic al unei funcții de tipul y = kx. Pentru a simplifica, luăm coeficientul c = 0. În triunghiul OAB, raportul dintre latura BA și AO va fi egal cu panta k. În același timp, raportul BA / AO este tangenta unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic OAB. Se dovedește că panta unei drepte este egală cu tangentei unghiului pe care această dreaptă îl formează cu axa x a rețelei de coordonate.
Rezolvând problema modului de a găsi panta unei drepte, găsim tangenta unghiului dintre aceasta și axa x a rețelei de coordonate. Cazurile limită, când linia luată în considerare este paralelă cu axele de coordonate, confirmă cele de mai sus. Într-adevăr, pentru o dreaptă descrisă de ecuația y=const, unghiul dintre ea și axa x este egal cu zero. Tangenta unghiului zero este, de asemenea, zero și panta este, de asemenea, zero.
Pentru liniile drepte perpendiculare pe axa x și descrise de ecuația x=const, unghiul dintre ele și axa x este de 90 de grade. Tangentă unghi drept este egală cu infinitul, iar panta dreptelor similare este egală cu infinitul, ceea ce confirmă ceea ce a fost scris mai sus.
Pantă tangentă
O sarcină comună, des întâlnită în practică, este, de asemenea, găsirea pantei tangentei la graficul funcției la un moment dat. Tangenta este o linie dreaptă, prin urmare și conceptul de pantă este aplicabil acesteia.
Pentru a ne da seama cum să găsim panta unei tangente, va trebui să ne amintim conceptul de derivată. Derivata oricărei funcții la un anumit punct este o constantă numeric egală cu tangentei unghiului care se formează între tangenta în punctul specificat la graficul acestei funcții și axa absciselor. Se pare că pentru a determina panta tangentei în punctul x 0, trebuie să calculăm valoarea derivatei funcției originale în acest punct k \u003d f "(x 0). Să luăm în considerare un exemplu:
Sarcină: Aflați panta dreptei tangente la funcția y = 12x 2 + 2xe x la x = 0,1.
Rezolvare: Aflați derivata funcției originale în formă generală
y "(0,1) = 24 . 0.1 + 2 . 0.1 . e 0.1 + 2 . e 0.1
Răspuns: Panta dorită în punctul x \u003d 0,1 este 4,831
Ecuația unei drepte pe un plan.
Vectorul direcție este drept. Vector normal
O linie dreaptă pe un plan este una dintre cele mai simple forme geometrice, cunoscut pentru tine încă din clasele elementare, iar astăzi vom învăța cum să ne ocupăm de ea folosind metodele geometriei analitice. Pentru a stăpâni materialul, este necesar să poți construi o linie dreaptă; cunoașteți ce ecuație definește o dreaptă, în special o dreaptă care trece prin origine și drepte paralele cu axele de coordonate. Aceste informații pot fi găsite în manual. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare, l-am creat pentru matan, dar secțiunea privind funcția liniară s-a dovedit a fi foarte reușită și detaliată. Prin urmare, dragi ceainice, mai întâi încălziți-vă acolo. În plus, trebuie să aveți cunoștințe de bază vectoriîn caz contrar, înțelegerea materialului va fi incompletă.
Pe această lecție vom lua în considerare modalități prin care puteți scrie ecuația unei drepte într-un plan. Vă recomand să nu neglijați exemplele practice (chiar dacă vi se par foarte simple), deoarece le voi furniza cu elemente elementare și fapte importante, tehnici, care va fi solicitat în viitor, inclusiv în alte secțiuni de matematică superioară.
- Cum se scrie ecuația unei drepte cu pantă?
- Cum ?
- Cum să găsiți vectorul direcției prin ecuația generală a unei linii drepte?
- Cum se scrie o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal?
si incepem:
Ecuația dreptei cu panta
Cunoscuta formă „școală” a ecuației unei linii drepte se numește ecuația unei drepte cu pantă. De exemplu, dacă o dreaptă este dată de ecuație, atunci panta ei: . Luați în considerare semnificația geometrică a acestui coeficient și modul în care valoarea acestuia afectează locația liniei: 
În cursul geometriei se demonstrează că panta dreptei este tangenta unui unghiîntre direcția pozitivă a axeiși linia dată: , iar colțul este „desurubat” în sens invers acelor de ceasornic.
Pentru a nu aglomera desenul, am desenat unghiuri doar pentru două linii drepte. Luați în considerare linia dreaptă „roșie” și panta acesteia. Conform celor de mai sus: (unghiul „alfa” este indicat printr-un arc verde). Pentru linia dreaptă „albastre” cu panta, egalitatea este adevărată (unghiul „beta” este indicat de arcul maro). Și dacă tangenta unghiului este cunoscută, atunci, dacă este necesar, este ușor de găsit și colțul prin utilizarea funcție inversă- arctangent. După cum se spune, un tabel trigonometric sau un calculator în mână. Prin urmare, panta caracterizează gradul de înclinare a dreptei faţă de axa x.
În acest caz, sunt posibile următoarele cazuri:
1) Dacă panta este negativă: , atunci linia, aproximativ vorbind, merge de sus în jos. Exemple sunt liniile drepte „albastre” și „crimson” din desen.
2) Dacă panta este pozitivă: , atunci linia merge de jos în sus. Exemplele sunt liniile drepte „negre” și „roșii” din desen.
3) Dacă panta este egală cu zero: , atunci ecuația ia forma , iar dreapta corespunzătoare este paralelă cu axa. Un exemplu este linia „galbenă”.
4) Pentru o familie de drepte paralele cu axa (nu există niciun exemplu în desen, cu excepția axei în sine), panta nu exista (tangenta de 90 de grade nu este definita).
Cu cât panta modulo este mai mare, cu atât graficul cu linii este mai abrupt.
De exemplu, luați în considerare două linii drepte. Aici, deci linia dreaptă are o pantă mai abruptă. Vă reamintesc că modulul vă permite să ignorați semnul, ne interesează doar valori absolute coeficienți unghiulari.
La rândul său, o linie dreaptă este mai abruptă decât liniile drepte. 
.
Viceversa: cu cât panta modulo este mai mică, cu atât linia dreaptă este mai plată.
Pentru linii drepte 
inegalitatea este adevărată, astfel, linia dreaptă este mai mult decât un baldachin. Tobogan pentru copii, pentru a nu planta vânătăi și umflături.
De ce este nevoie de asta?
Prelungiți-vă chinul Cunoașterea faptelor de mai sus vă permite să vă vedeți imediat greșelile, în special erorile la trasarea graficelor - dacă desenul s-a dovedit „în mod clar că ceva nu este în regulă”. Este de dorit ca tu pe loc era clar că, de exemplu, o linie dreaptă este foarte abruptă și merge de jos în sus, iar o linie dreaptă este foarte plată, aproape de axă și merge de sus în jos.
În problemele geometrice apar adesea mai multe linii drepte, așa că este convenabil să le notăm cumva.
Notaţie: liniile drepte sunt indicate prin mici cu litere latine: . O opțiune populară este desemnarea aceleiași litere cu indice naturale. De exemplu, cele cinci linii pe care tocmai le-am luat în considerare pot fi notate cu 
.
Deoarece orice linie dreaptă este determinată în mod unic de două puncte, ea poate fi notată prin următoarele puncte: 
etc. Notația implică destul de evident că punctele aparțin dreptei.
E timpul să te relaxezi puțin:
Cum se scrie ecuația unei drepte cu pantă?
Dacă se cunoaște un punct care aparține unei anumite drepte și panta acestei drepte, atunci ecuația acestei drepte este exprimată prin formula:
Exemplul 1
Compuneți ecuația unei drepte cu pantă dacă se știe că punctul aparține acestei drepte.
Soluţie: Vom compune ecuația unei drepte după formula 
. ÎN acest caz:
Răspuns:
Examinare efectuate elementar. În primul rând, ne uităm la ecuația rezultată și ne asigurăm că panta noastră este la locul ei. În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă ecuația dată. Să le conectăm în ecuație:
Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că punctul satisface ecuația rezultată.
Concluzie: Ecuația găsită corect.
Un exemplu mai complicat pentru solutie independenta:
Exemplul 2
Scrieți ecuația unei drepte dacă se știe că unghiul ei de înclinare față de direcția pozitivă a axei este , iar punctul aparține acestei drepte.
Dacă aveți dificultăți, recitiți materialul teoretic. Mai precis, mai practic, îmi lipsesc multe dovezi.
a sunat ultimul apel, petrecerea de absolvire s-a stins, iar în spatele porților școlii noastre natale, de fapt, ne așteaptă geometria analitică. Glumele s-au terminat... Poate abia a inceput =)
În mod nostalgic, fluturăm mânerul către familiar și ne familiarizăm cu ecuația generală a unei linii drepte. Deoarece în geometria analitică tocmai aceasta este utilizată:
Ecuația generală a unei drepte are forma: , unde sunt câteva numere. În același timp, coeficienții simultan nu sunt egale cu zero, deoarece ecuația își pierde sensul.
Să ne îmbrăcăm într-un costum și să legăm o ecuație cu o pantă. Mai întâi, mutăm toți termenii în partea stângă:
Termenul cu „x” trebuie pus pe primul loc:
În principiu, ecuația are deja forma , dar conform regulilor de etichetă matematică, coeficientul primului termen (în acest caz ) trebuie să fie pozitiv. Schimbarea semnelor:
Amintiți-vă această caracteristică tehnică! Facem primul coeficient (cel mai adesea) pozitiv!
În geometria analitică, ecuația unei linii drepte va fi aproape întotdeauna dată într-o formă generală. Ei bine, dacă este necesar, este ușor să o aduceți într-o formă „școală” cu o pantă (cu excepția liniilor drepte paralele cu axa y).
Să ne întrebăm ce suficientștii să construiești o linie dreaptă? Două puncte. Dar despre acest caz din copilărie mai târziu, acum se lipește cu regula săgeților. Fiecare linie dreaptă are o pantă bine definită, la care este ușor de „adaptat” vector.
Un vector care este paralel cu o dreaptă se numește vector de direcție al acelei drepte.. Evident, orice linie dreaptă are infinit de vectori de direcție și toți vor fi coliniari (co-direcționați sau nu - nu contează).
Voi nota vectorul de direcție astfel: .
Dar un vector nu este suficient pentru a construi o linie dreaptă, vectorul este liber și nu este atașat la niciun punct al planului. Prin urmare, în plus, este necesar să cunoașteți un punct care aparține liniei.
Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte având în vedere un punct și un vector de direcție?
Dacă un anumit punct aparținând dreptei și vectorul de direcție al acestei linii sunt cunoscute, atunci ecuația acestei linii poate fi compilată cu formula:
Uneori se numește ecuația canonică a dreptei .
Ce să faci când una dintre coordonate este zero, vom analiza mai jos exemple practice. Apropo, rețineți - ambele deodată coordonatele nu pot fi zero, deoarece vectorul zero nu specifică o direcție specifică.
Exemplul 3
Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector de direcție
Soluţie: Vom compune ecuația unei drepte după formula. În acest caz:
Folosind proprietățile proporției, scăpăm de fracții: 
Și aducem ecuația la o formă generală:
Răspuns:
Desenarea în astfel de exemple, de regulă, nu este necesară, dar de dragul înțelegerii: 
În desen, vedem punctul de plecare, vectorul de direcție inițial (poate fi amânat din orice punct al planului) și linia construită. Apropo, în multe cazuri, construcția unei linii drepte se realizează cel mai convenabil folosind ecuația pantei. Ecuația noastră este ușor de convertit în formă și fără probleme mai ridicați un punct pentru a construi o linie dreaptă.
După cum s-a menționat la începutul secțiunii, o linie are infiniti vectori de direcție și toți sunt coliniari. De exemplu, am desenat trei astfel de vectori: 
. Indiferent de vectorul de direcție pe care îl alegem, rezultatul va fi întotdeauna aceeași ecuație de linie dreaptă.
Să compunem ecuația unei drepte după un punct și un vector de direcție:
Defalcarea proporției:
Împărțiți ambele părți la -2 și obțineți ecuația familiară:
Cei care doresc pot testa în mod similar vectorii 
sau orice alt vector coliniar.
Acum să rezolvăm problema inversă:
Cum să găsiți vectorul direcției prin ecuația generală a unei linii drepte?
Foarte simplu:
Dacă o dreaptă este dată de o ecuație generală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci vectorul este vectorul de direcție al acestei drepte.
Exemple de găsire a vectorilor de direcție ai liniilor drepte: 
Declarația ne permite să găsim un singur vector de direcție dintr-o mulțime infinită, dar nu avem nevoie de mai mult. Deși în unele cazuri este recomandabil să se reducă coordonatele vectorilor de direcție:
Deci, ecuația specifică o linie dreaptă care este paralelă cu axa și coordonatele vectorului de direcție rezultat sunt împărțite convenabil la -2, obținând exact vectorul de bază ca vector de direcție. Logic.
În mod similar, ecuația definește o linie dreaptă paralelă cu axa și împărțind coordonatele vectorului la 5, obținem ort ca vector de direcție.
Acum hai să executăm verifica exemplul 3. Exemplul a crescut, așa că vă reamintesc că în el am alcătuit ecuația unei drepte folosind un vector punct și un vector de direcție
in primul rand, conform ecuației unei drepte, restabilim vectorul ei de direcție: 
- totul este în regulă, avem vectorul original (în unele cazuri, acesta se poate dovedi a fi coliniar cu vectorul original, iar acest lucru este de obicei ușor de văzut prin proporționalitatea coordonatelor corespunzătoare).
În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie sa satisfaca ecuatia . Le substituim în ecuația:
S-a obținut egalitatea corectă, de care suntem foarte mulțumiți.
Concluzie: Lucrul finalizat corect.
Exemplul 4
Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector de direcție
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Este foarte de dorit să se efectueze o verificare conform algoritmului luat în considerare. Încercați să verificați întotdeauna (dacă este posibil) un draft. Este o prostie sa faci greseli acolo unde pot fi evitate 100%.
În cazul în care una dintre coordonatele vectorului de direcție este zero, este foarte simplu de făcut:
Exemplul 5
Soluţie: Formula este invalidă deoarece numitorul din partea dreaptă este zero. Există o ieșire! Folosind proprietățile proporției, rescriem formula sub forma , iar restul s-a rostogolit de-a lungul unei rute adânci:
Răspuns:
Examinare:
1) Restabiliți vectorul direcție al dreptei:
– vectorul rezultat este coliniar cu vectorul de direcție original.
2) Înlocuiți coordonatele punctului din ecuație: 
Se obține egalitatea corectă
Concluzie: lucrare finalizată corect
Apare întrebarea, de ce să vă deranjați cu formula dacă există o versiune universală care va funcționa oricum? Există două motive. În primul rând, formula fracțională mult mai bine de reținut. Și în al doilea rând, dezavantajul formulei universale este că risc semnificativ crescut de confuzie la înlocuirea coordonatelor.
Exemplul 6
Compuneți ecuația unei drepte având în vedere un punct și un vector de direcție.
Acesta este un exemplu de do-it-yourself.
Să revenim la cele două puncte omniprezente:
Cum se scrie ecuația unei linii drepte având în vedere două puncte?
Dacă se cunosc două puncte, atunci ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte poate fi compilată folosind formula:
De fapt, acesta este un fel de formulă și iată de ce: dacă se cunosc două puncte, atunci vectorul va fi vectorul de direcție al acestei linii. La lectie Vectori pentru manechine am considerat cea mai simplă problemă - cum să găsim coordonatele unui vector din două puncte. Conform acestei probleme, coordonatele vectorului de direcție: 
Notă
: punctele pot fi „schimbate” și utilizați formula 
. O astfel de decizie ar fi egală.
Exemplul 7
Scrieți ecuația unei drepte din două puncte 
.
Soluţie: Folosiți formula: 
Pieptănăm numitorii:
Și amestecați puntea: 
Acum este convenabil să scapi de numerele fracționale. În acest caz, trebuie să înmulțiți ambele părți cu 6: 
Deschideți parantezele și aduceți-vă în minte ecuația: 
Răspuns:
Examinare este evident - coordonatele punctelor inițiale trebuie să satisfacă ecuația rezultată:
1) Înlocuiți coordonatele punctului: 
Adevărata egalitate.
2) Înlocuiți coordonatele punctului: 
Adevărata egalitate.
Concluzie: ecuația dreptei este corectă.
Dacă cel puțin unul de puncte nu satisface ecuația, căutați o eroare.
Este de remarcat faptul că verificarea grafică în acest caz este dificilă, deoarece pentru a construi o linie și a vedea dacă punctele îi aparțin 
, nu asa de usor.
Voi nota câteva puncte tehnice ale soluției. Poate că în această problemă este mai avantajos să folosiți formula oglindă 
și, pentru aceleași puncte 
faceți o ecuație: 
Sunt mai puține fracții. Dacă doriți, puteți finaliza soluția până la capăt, rezultatul ar trebui să fie aceeași ecuație.
Al doilea punct este să vă uitați la răspunsul final și să vedeți dacă poate fi simplificat în continuare? De exemplu, dacă se obține o ecuație, atunci este indicat să o reduceți cu două: - ecuația va stabili aceeași linie dreaptă. Cu toate acestea, acesta este deja un subiect de conversație aranjarea reciprocă a liniilor drepte.
După ce a primit un răspuns 
în Exemplul 7, pentru orice eventualitate, am verificat dacă TOȚI coeficienții ecuației sunt divizibili cu 2, 3 sau 7. Deși, cel mai adesea astfel de reduceri se fac în timpul soluției.
Exemplul 8
Scrieți ecuația unei drepte care trece prin puncte 
.
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, care vă va permite doar să înțelegeți și să elaborați mai bine tehnica de calcul.
Similar cu paragraful anterior: dacă în formulă 
unul dintre numitori (coordonata vectorului de direcție) dispare, apoi îl rescriem ca . Și din nou, observați cât de stânjenită și confuză a început să arate. Nu văd prea mult rost să dau exemple practice, deoarece am rezolvat deja o astfel de problemă (vezi nr. 5, 6).
Vector normal în linie dreaptă (vector normal)
Ce este normal? Cu cuvinte simple, normala este perpendiculara. Adică, vectorul normal al unei linii este perpendicular pe dreapta dată. Este evident că orice linie dreaptă are un număr infinit de ei (precum și vectori de direcție), iar toți vectorii normali ai dreptei vor fi coliniari (codirecționali sau nu - nu contează).
Tratarea cu ele va fi chiar mai ușoară decât cu vectorii de direcție:
Dacă o dreaptă este dată de o ecuație generală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci vectorul este vectorul normal al acestei drepte.
Dacă coordonatele vectorului de direcție trebuie să fie „trase” cu atenție din ecuație, atunci coordonatele vectorului normal pot fi pur și simplu „eliminate”.
Vectorul normal este întotdeauna ortogonal cu vectorul de direcție al dreptei. Vom verifica ortogonalitatea acestor vectori folosind produs punctual:
Voi da exemple cu aceleași ecuații ca și pentru vectorul de direcție: 
Este posibil să scriem o ecuație a unei drepte, cunoscând un punct și un vector normal? Se simte ca e posibil. Dacă vectorul normal este cunoscut, atunci direcția celei mai drepte este, de asemenea, determinată în mod unic - aceasta este o „structură rigidă” cu un unghi de 90 de grade.
Cum se scrie o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal?
Dacă se cunoaște un punct aparținând dreptei și vectorul normal al acestei linii, atunci ecuația acestei linii este exprimată prin formula:
Aici totul a mers fără fracțiuni și alte surprize. Acesta este vectorul nostru normal. Place. Si respect =)
Exemplul 9
Compuneți ecuația unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul direcție al dreptei.
Soluţie: Folosiți formula: 
Se obține ecuația generală a dreptei, să verificăm:
1) „Eliminați” coordonatele vectorului normal din ecuație: 
- da, într-adevăr, vectorul original este obținut din condiție (sau vectorul ar trebui să fie coliniar cu vectorul original).
2) Verificați dacă punctul satisface ecuația: 
Adevărata egalitate.
După ce ne-am asigurat că ecuația este corectă, vom efectua a doua, mai mult parte usoara sarcini. Scoatem vectorul direcție al dreptei: 
Răspuns: 
În desen, situația este următoarea: 
În scopul instruirii, o sarcină similară pentru o soluție independentă:
Exemplul 10
Compuneți ecuația unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul direcție al dreptei.
Secțiunea finală a lecției va fi dedicată unor tipuri de ecuații mai puțin comune, dar și importante ale unei linii drepte într-un plan
Ecuația unei drepte în segmente.
Ecuația unei drepte în formă parametrică
Ecuația unei linii drepte în segmente are forma , unde sunt constante nenule. Unele tipuri de ecuații nu pot fi reprezentate în această formă, de exemplu, proporționalitatea directă (deoarece termenul liber este zero și nu există nicio modalitate de a obține unul în partea dreaptă).
Acesta este, la figurat vorbind, un tip „tehnic” de ecuație. Sarcina obișnuită este de a reprezenta ecuația generală a unei linii drepte ca o ecuație a unei linii drepte în segmente. De ce este convenabil? Ecuația unei drepte în segmente vă permite să găsiți rapid punctele de intersecție ale unei drepte cu axe de coordonate, ceea ce este foarte important în unele probleme de matematică superioară.
Aflați punctul de intersecție al dreptei cu axa. Resetăm „y”, iar ecuația ia forma . Punctul dorit obtinut automat: .
La fel si cu axa 
este punctul în care linia intersectează axa y.
Acest program de matematică găsește ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x) \) într-un punct specificat de utilizator \(a \).
Programul nu numai că afișează ecuația tangentei, dar afișează și procesul de rezolvare a problemei.
Acest calculator online poate fi util elevilor de liceu în pregătire pentru munca de controlși examene, la testarea cunoștințelor înainte de examen, părinții pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai curând posibil? teme pentru acasă matematica sau algebra? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor de rezolvat este crescut.
Dacă trebuie să găsiți derivata unei funcții, atunci pentru aceasta avem sarcina Găsiți derivată.
Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a funcțiilor, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.
Introduceți expresia funcției \(f(x)\) și numărul \(a\) Găsiți ecuația tangentei S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.
Deoarece Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...
daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Un pic de teorie.
Panta unei drepte
Amintiți-vă că programul funcție liniară\(y=kx+b\) este o linie dreaptă. Se numește numărul \(k=tg \alpha \). panta unei drepte, iar unghiul \(\alpha \) este unghiul dintre această linie și axa Ox
Dacă \(k>0\), atunci \(0 Dacă \(kEcuația tangentei la graficul funcției
Dacă punctul M(a; f(a)) aparține graficului funcției y \u003d f (x) și dacă în acest punct este posibil să se deseneze o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe axa x, apoi de la sens geometric derivată rezultă că panta tangentei este egală cu f "(a). În continuare, vom dezvolta un algoritm de compilare a ecuației tangentei la graficul oricărei funcții.
Să fie date funcția y \u003d f (x) și punctul M (a; f (a)) de pe graficul acestei funcții; să se știe că f "(a) există. Să compunem ecuația tangentei la graficul unei funcții date într-un punct dat. Această ecuație, ca și ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa y , are forma y \u003d kx + b, deci problema este de a găsi valorile coeficienților k și b.
Totul este clar cu panta k: se știe că k \u003d f "(a). Pentru a calcula valoarea lui b, folosim faptul că linia dreaptă dorită trece prin punctul M (a; f (a)) Aceasta înseamnă că, dacă înlocuim coordonatele punctului M în ecuația unei linii drepte, obținem egalitatea corectă: \ (f (a) \u003d ka + b \), adică \ (b \u003d f (a) ) - ka \).
Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților k și b în ecuația unei linii drepte:
Am primit ecuația tangentei la graficul funcției\(y = f(x) \) în punctul \(x=a \).
Algoritm pentru găsirea ecuației tangentei la graficul funcției \(y=f(x)\)
1. Desemnați abscisa punctului de contact cu litera \ (a \)
2. Calculați \(f(a)\)
3. Găsiți \(f"(x) \) și calculați \(f"(a) \)
4. Înlocuiți numerele găsite \ (a, f (a), f "(a) \) în formula \ (y \u003d f (a) + f "(a) (x-a) \)
Coeficientul de pantă este drept. În acest articol, vom lua în considerare sarcinile legate de planul de coordonate incluse în examenul de matematică. Acestea sunt sarcini pentru:
- determinarea pantei unei drepte, când se cunosc două puncte prin care aceasta trece;
- determinarea abscisei sau ordonatei punctului de intersecție a două drepte pe plan.
Care este abscisa și ordonata unui punct a fost descris în această secțiune. În ea, am luat deja în considerare câteva probleme legate de planul de coordonate. Ce trebuie înțeles pentru tipul de sarcini luate în considerare? Un pic de teorie.
Ecuația unei linii drepte pe plan de coordonate se pare ca:
Unde k – aceasta este panta dreptei.
Momentul următor! Panta unei drepte este egală cu tangenta pantei dreptei. Acesta este unghiul dintre linia dată și axăOh.
Se află între 0 și 180 de grade.
Adică dacă reducem ecuația unei linii drepte la formă y = kx + b, apoi mai departe putem determina întotdeauna coeficientul k (coeficientul de pantă).
De asemenea, dacă putem determina tangenta pantei dreptei pe baza condiției, atunci vom găsi astfel panta acesteia.
Următorul moment teoretic!Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.Formula arată astfel:
Să luăm în considerare sarcinile (asemănătoare cu sarcinile din banca deschisă de sarcini):
Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (–6; 0) și (0; 6).
În această problemă, cel mai rațional mod de a rezolva acest lucru este de a găsi tangenta unghiului dintre axa x și linia dreaptă dată. Se știe că este egal cu coeficientul unghiular. Luați în considerare un triunghi dreptunghic format dintr-o dreaptă și axele x și y:
Tangenta unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și catetul adiacent:
* Ambele picioare sunt egale cu șase (acestea sunt lungimile lor).
Desigur, această problemă poate fi rezolvată folosind formula pentru găsirea ecuației unei drepte care trece prin două puncte date. Dar va fi o cale de soluție mai lungă.
Raspunsul 1
Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (5;0) și (0;5).
Punctele noastre au coordonatele (5;0) și (0;5). Mijloace,
Să aducem formula la formă y = kx + b
Am obținut că coeficientul unghiular k = – 1.
Raspunsul 1
Drept A trece prin puncte cu coordonatele (0;6) și (8;0). Drept b trece prin punctul cu coordonatele (0;10) și este paralel cu dreapta A b cu ax bou.
În această problemă, puteți găsi ecuația unei linii drepte A, determinați panta pentru aceasta. Linie dreapta b panta va fi aceeași deoarece sunt paralele. În continuare, puteți găsi ecuația unei linii drepte b. Și apoi, înlocuind valoarea y = 0, găsiți abscisa. DAR!
În acest caz, este mai ușor să utilizați proprietatea de similaritate a triunghiului.
Triunghiurile dreptunghiulare formate din liniile de coordonate date (paralele) sunt similare, ceea ce înseamnă că rapoartele laturilor lor respective sunt egale.
Abscisa dorită este 40/3.
Raspuns: 40/3
Drept A trece prin puncte cu coordonatele (0;8) și (–12;0). Drept b trece prin punctul cu coordonatele (0; -12) și este paralel cu dreapta A. Aflați abscisa punctului de intersecție al dreptei b cu ax bou.
Pentru această problemă, cel mai rațional mod de a o rezolva este utilizarea proprietății de similaritate a triunghiurilor. Dar o vom rezolva într-un mod diferit.
Știm punctele prin care trece linia A. Putem scrie ecuația unei linii drepte. Formula pentru ecuația unei drepte care trece prin două puncte date este:
După condiție, punctele au coordonatele (0;8) și (–12;0). Mijloace,
Să ne aducem în minte y = kx + b:
Am acel colț k = 2/3.
*Coeficientul unghiular poate fi găsit prin tangenta unghiului dintr-un triunghi dreptunghic cu catetele 8 și 12.
Știm că liniile paralele au pante egale. Deci ecuația unei drepte care trece prin punctul (0;-12) are forma:
Găsiți valoare b putem înlocui abscisa și ordonata în ecuația:
Deci linia arată astfel:
Acum, pentru a găsi abscisa dorită a punctului de intersecție al dreptei cu axa x, trebuie să înlocuiți y \u003d 0:
Raspuns: 18
Aflați ordonata punctului de intersecție al axei oiși o dreaptă care trece prin punctul B(10;12) și o dreaptă paralelă care trece prin origine și punctul A(10;24).
Să găsim ecuația unei drepte care trece prin punctele cu coordonatele (0;0) și (10;24).
Formula pentru ecuația unei drepte care trece prin două puncte date este:
Punctele noastre au coordonatele (0;0) și (10;24). Mijloace,
Să ne aducem în minte y = kx + b
Pantele dreptelor paralele sunt egale. Prin urmare, ecuația unei drepte care trece prin punctul B (10; 12) are forma:
Sens b găsim substituind coordonatele punctului B (10; 12) în această ecuație:
Obținem ecuația unei linii drepte:
Pentru a afla ordonata punctului de intersecție a acestei drepte cu axa OU trebuie înlocuit în ecuația găsită X= 0:
* Cea mai ușoară soluție. Cu ajutorul translației paralele, deplasăm această linie în jos de-a lungul axei OU până la punctul (10;12). Deplasarea are loc cu 12 unități, adică punctul A(10;24) „trecut” la punctul B(10;12) și punctul O(0;0) „trecut” la punctul (0;–12). Deci linia rezultată va intersecta axa OUîn punctul (0;–12).
Ordonata dorită este -12.
Răspuns: -12
Aflați ordonata punctului de intersecție al dreptei date de ecuație
3x + 2y = 6, cu axa Oi.
Coordonata punctului de intersecție a dreptei date cu axa OU are forma (0; la). Înlocuiți abscisa în ecuație X= 0 și găsiți ordonata:
Ordonata punctului de intersecție a unei drepte cu o axă OU este egal cu 3.
* Sistemul este în curs de rezolvare:
Raspuns: 3
Aflați ordonata punctului de intersecție al dreptelor date de ecuații
3x + 2y = 6Și y = - x.
Când sunt date două drepte, iar întrebarea este despre găsirea coordonatelor punctului de intersecție al acestor drepte, sistemul acestor ecuații este rezolvat:
În prima ecuație, înlocuim - Xîn loc de la:
Ordinata este minus șase.
Răspuns: – 6
Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (–2; 0) și (0; 2).
Aflați panta dreptei care trece prin punctele cu coordonatele (2;0) și (0;2).
Linia a trece prin punctele cu coordonatele (0;4) și (6;0). Linia b trece prin punctul cu coordonatele (0;8) și este paralelă cu dreapta a. Aflați abscisa punctului de intersecție al dreptei b cu axa x.
Aflați ordonata punctului de intersecție al axei y și a dreptei care trece prin punctul B (6;4) și a dreptei paralele care trece prin origine și punctul A (6;8).
1. Este necesar să se înțeleagă clar că panta dreptei este egală cu tangenta pantei dreptei. Acest lucru vă va ajuta să rezolvați multe probleme de acest tip.
2. Trebuie înțeleasă formula pentru găsirea unei drepte care trece prin două puncte date. Cu ajutorul lui, puteți găsi întotdeauna ecuația unei drepte dacă sunt date coordonatele a două dintre punctele sale.
3. Amintiți-vă că pantele dreptelor paralele sunt egale.
4. După cum înțelegeți, în unele probleme este convenabil să folosiți semnul asemănării triunghiurilor. Problemele se rezolvă practic oral.
5. Sarcinile în care sunt date două drepte și este necesară găsirea abscisei sau ordonatei punctului de intersecție a acestora pot fi rezolvate grafic. Adică, construiți-le pe planul de coordonate (pe o foaie într-o celulă) și determinați vizual punctul de intersecție. *Dar această metodă nu este întotdeauna aplicabilă.
6. Și ultimul. Dacă sunt date o dreaptă și coordonatele punctelor sale de intersecție cu axele de coordonate, atunci în astfel de probleme este convenabil să găsiți panta prin găsirea tangentei unghiului în triunghiul dreptunghic format. Cum să „vezi” acest triunghi pentru diverse aranjamente de linii pe plan este prezentat schematic mai jos:
>> Unghiul de înclinare a liniei de la 0 la 90 de grade<<
>> Unghi de linie dreaptă de la 90 la 180 de grade<<
Asta e tot. Multă baftă!
Cu stimă, Alexandru.
P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.
