Informații preliminare
Perimetrul oricărei figuri geometrice plate din plan este definit ca suma lungimilor tuturor laturilor sale. Triunghiul nu face excepție de la aceasta. În primul rând, dăm conceptul de triunghi, precum și tipurile de triunghiuri în funcție de laturi.
Definiția 1
Vom numi un triunghi o figură geometrică, care este compusă din trei puncte legate prin segmente (Fig. 1).
Definiția 2
Punctele din Definiția 1 vor fi numite vârfuri ale triunghiului.
Definiția 3
Segmentele din cadrul Definiției 1 vor fi numite laturile triunghiului.
Evident, orice triunghi va avea 3 vârfuri precum și 3 laturi.
În funcție de raportul laturilor între ele, triunghiurile sunt împărțite în scalen, isoscel și echilateral.
Definiția 4
Se spune că un triunghi este scalen dacă niciuna dintre laturile sale nu este egală cu oricare alta.
Definiția 5
Vom numi un triunghi isoscel dacă două dintre laturile sale sunt egale între ele, dar nu sunt egale cu a treia latură.
Definiția 6
Un triunghi se numește echilateral dacă toate laturile lui sunt egale între ele.
Puteți vedea toate tipurile de aceste triunghiuri în Figura 2.
Cum se află perimetrul unui triunghi scalen?
Să ni se dă un triunghi scalen cu lungimile laturilor egale cu $α$, $β$ și $γ$.
Concluzie: Pentru a afla perimetrul unui triunghi scalen, adunați toate lungimile laturilor sale.
Exemplul 1
Aflați perimetrul unui triunghi scalen egal cu $34$ cm, $12$ cm și $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Răspuns: 57 USD vezi.
Exemplul 2
Aflați perimetrul unui triunghi dreptunghic ale cărui catete sunt $6$ și $8$ cm.
În primul rând, găsim lungimea ipotenuzelor acestui triunghi folosind teorema lui Pitagora. Se notează cu $α$, atunci
$α=10$ Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi scalen, obținem
$P=10+8+6=24$ cm
Răspuns: 24 USD vezi.
Cum se află perimetrul unui triunghi isoscel?
Să ni se dă un triunghi isoscel ale cărui lungimi laturi vor fi egale cu $α$, iar lungimea bazei va fi egală cu $β$.
Prin definiția perimetrului unei figuri geometrice plate, obținem asta
$P=α+α+β=2α+β$
Concluzie: Pentru a găsi perimetrul unui triunghi isoscel, adăugați de două ori lungimea laturilor sale la lungimea bazei sale.
Exemplul 3
Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă laturile sale sunt $12$ cm și baza lui este $11$ cm.
Din exemplul de mai sus, vedem asta
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Răspuns: 35 USD vezi.
Exemplul 4
Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă înălțimea lui trasată la bază este $8$ cm și baza este $12$ cm.
Luați în considerare cifra în funcție de starea problemei:
Deoarece triunghiul este isoscel, $BD$ este și o mediană, deci $AD=6$ cm.
După teorema lui Pitagora, din triunghiul $ADB$ găsim latura. Se notează cu $α$, atunci
Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi isoscel, obținem
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Răspuns: 32 USD vezi.
Cum se află perimetrul unui triunghi echilateral?
Să ni se dă un triunghi echilateral cu lungimile tuturor laturilor egale cu $α$.
Prin definiția perimetrului unei figuri geometrice plate, obținem asta
$P=α+α+α=3α$
Concluzie: Pentru a afla perimetrul unui triunghi echilateral, înmulțiți lungimea laturii triunghiului cu $3$.
Exemplul 5
Aflați perimetrul unui triunghi echilateral dacă latura lui este $12$ cm.
Din exemplul de mai sus, vedem asta
$P=3\cdot 12=36$ cm
P=a+b+c Cum se găsește perimetrul unui triunghi: Toată lumea știe că perimetrul este ușor de găsit - trebuie doar să aduni toate cele trei laturi ale triunghiului. Cu toate acestea, există câteva alte moduri de a găsi suma lungimilor laturilor unui triunghi. Pasul 1 Având în vedere raza cercului înscris în triunghi și aria acestuia, găsiți perimetrul folosind formula P=2S/r. 
Pasul 2 Dacă cunoașteți două unghiuri, de exemplu, α și β, adiacente laturii și lungimea acestei laturi, atunci pentru a găsi perimetrul, utilizați formula a+sinα∙а/(sin(180°-α- β)) + sinβ∙а /(sin(180°-α-β)). 
Pasul 3 Dacă condiția specifică laturile adiacente și unghiul β dintre ele, luați în considerare teorema cosinusului atunci când găsiți perimetrul. Atunci P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), unde a^2 și b^2 sunt pătratele lungimilor laturilor adiacente. Expresia de sub rădăcină este lungimea celei de-a treia laturi necunoscute, exprimată prin teorema cosinusului. 
Pasul 4 Pentru un triunghi isoscel, formula perimetrului ia forma P=2a+b, unde a sunt laturile și b este baza sa. Pasul 5 Calculați perimetrul unui triunghi obișnuit folosind formula P=3a. Pasul 6 Găsiți perimetrul folosind razele cercurilor înscrise în triunghi sau circumscrise în jurul acestuia. Deci, pentru un triunghi echilateral, amintiți-vă și utilizați formula P=6r√3=3R√3, unde r este raza cercului înscris și R este raza cercului circumscris. Pasul 7 Pentru un triunghi isoscel, aplicați formula P=2R(2sinα+sinβ), unde α este unghiul de la bază și β este unghiul opus bazei.
Perimetrul unui triunghi, ca și în alte lucruri și în orice figură, se numește suma lungimilor tuturor laturilor. Destul de des, această valoare ajută la găsirea zonei sau este folosită pentru a calcula alți parametri ai figurii.
Formula pentru perimetrul unui triunghi arată astfel:
Un exemplu de calcul al perimetrului unui triunghi. Să fie dat un triunghi cu laturile a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Înlocuiți datele din formula: cm
Formula pentru calculul perimetrului triunghi isoscel va arata asa:
Formula pentru calculul perimetrului triunghi echilateral:
Un exemplu de calcul al perimetrului unui triunghi echilateral. Când toate laturile figurii sunt egale, atunci ele pot fi pur și simplu înmulțite cu trei. Să presupunem că un triunghi regulat cu latura de 5 cm este dat în acest caz: cm
În general, când toate părțile sunt date, găsirea perimetrului este destul de ușoară. În alte situații, este necesar să se găsească dimensiunea părții lipsă. Într-un triunghi dreptunghic, puteți găsi a treia latură teorema lui Pitagora. De exemplu, dacă lungimile catetelor sunt cunoscute, atunci puteți găsi ipotenuza folosind formula: 
Luați în considerare un exemplu de calcul al perimetrului unui triunghi isoscel, cu condiția să cunoaștem lungimea catetelor dintr-un triunghi isoscel dreptunghic.
Având în vedere un triunghi cu catete a \u003d b \u003d 5 cm. Aflați perimetrul. Mai întâi, să găsim partea lipsă cu . cm
Acum să calculăm perimetrul: cm
Perimetrul unui triunghi dreptunghic isoscel va fi de 17 cm.
În cazul în care ipotenuza și lungimea unui catete sunt cunoscute, cea care lipsește poate fi găsită folosind formula: 
Dacă ipotenuza și unul dintre unghiurile ascuțite sunt cunoscute într-un triunghi dreptunghic, atunci latura lipsă se găsește prin formula.
Cum se află perimetrul unui triunghi? Fiecare dintre noi a pus această întrebare în timp ce studia la școală. Să încercăm să ne amintim tot ce știm despre această figură uimitoare, precum și să răspundem la întrebarea pusă.
Răspunsul la întrebarea cum să găsiți perimetrul unui triunghi este de obicei destul de simplu - trebuie doar să efectuați procedura de adăugare a lungimilor tuturor laturilor sale. Cu toate acestea, există câteva metode mai simple ale valorii dorite.
sfaturi
În cazul în care raza (r) cercului care este înscris în triunghi și aria lui (S) sunt cunoscute, atunci a răspunde la întrebarea cum să găsiți perimetrul triunghiului este destul de simplu. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați formula obișnuită:
Dacă se cunosc două unghiuri, de exemplu, α și β, care sunt adiacente laturii și lungimea laturii în sine, atunci perimetrul poate fi găsit folosind o formulă foarte, foarte populară, care arată astfel:
sinβ∙a/(sin(180° - β - α)) + sinα∙a/(sin(180° - β - α)) + a
Dacă cunoașteți lungimile laturilor adiacente și unghiul β dintre ele, atunci pentru a găsi perimetrul, trebuie să utilizați teorema cosinusului. Perimetrul se calculează după formula:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),
unde b2 și a2 sunt pătratele lungimilor laturilor adiacente. Expresia radicală este lungimea celei de-a treia laturi, care este necunoscută, exprimată prin teorema cosinusului.
Dacă nu știți cum să găsiți perimetrul unui triunghi isoscel, atunci nu este, de fapt, nimic complicat. Calculați-l folosind formula:
unde b este baza triunghiului și a sunt laturile acestuia.
Pentru a găsi perimetrul unui triunghi obișnuit, utilizați cea mai simplă formulă:
unde a este lungimea laturii.
Cum să găsiți perimetrul unui triunghi dacă sunt cunoscute doar razele cercurilor care sunt descrise în jurul lui sau înscrise în el? Dacă triunghiul este echilateral, atunci trebuie aplicată formula:
P = 3R√3 = 6r√3,
unde R și r sunt razele cercurilor circumscrise și, respectiv, înscrise.
Dacă triunghiul este isoscel, atunci i se aplică formula:
P=2R (sinβ + 2sinα),
unde α este unghiul care se află la bază și β este unghiul opus bazei.
Adesea, pentru a rezolva probleme de matematică, sunt necesare o analiză profundă și o capacitate specifică de a găsi și deriva formulele necesare, iar aceasta, după cum știu mulți oameni, este o muncă destul de dificilă. Deși unele probleme pot fi rezolvate cu o singură formulă.
Să ne uităm la formulele care sunt de bază pentru a răspunde la întrebarea cum să găsim perimetrul unui triunghi, în raport cu cele mai diverse tipuri de triunghiuri.
Desigur, regula principală pentru găsirea perimetrului unui triunghi este această afirmație: pentru a găsi perimetrul unui triunghi, trebuie să adăugați lungimile tuturor laturilor sale folosind formula corespunzătoare:
unde b, a și c sunt lungimile laturilor triunghiului și P este perimetrul triunghiului.
Există mai multe cazuri speciale ale acestei formule. Să presupunem că problema ta este formulată după cum urmează: „cum să găsești perimetrul unui triunghi dreptunghic?” În acest caz, ar trebui să utilizați următoarea formulă:
P = b + a + √(b2 + a2)
În această formulă, b și a sunt lungimile directe ale catetelor unui triunghi dreptunghic. Este ușor de ghicit că în locul laturii c (ipotenuză) se folosește expresia obținută de teorema marelui savant al antichității, Pitagora.
Dacă doriți să rezolvați o problemă în care triunghiurile sunt asemănătoare, atunci ar fi logic să folosiți această afirmație: raportul perimetrelor corespunde coeficientului de similaritate. Să presupunem că aveți două triunghiuri similare - ∆ABC și ∆A1B1C1. Apoi, pentru a găsi coeficientul de similaritate, este necesar să împărțim perimetrul ΔABC la perimetrul ΔA1B1C1.
În concluzie, se poate observa că perimetrul unui triunghi poate fi găsit folosind o varietate de metode, în funcție de datele inițiale pe care le aveți. Trebuie adăugat că există câteva cazuri speciale pentru triunghiuri dreptunghiulare.
Conţinut:
Perimetrul este lungimea totală a limitelor unei forme 2D. Dacă doriți să găsiți perimetrul unui triunghi, atunci trebuie să adăugați lungimile tuturor laturilor acestuia; dacă nu cunoașteți lungimea a cel puțin unei laturi a triunghiului, trebuie să o găsiți. Acest articol vă va spune (a) cum să găsiți perimetrul unui triunghi având în vedere cele trei laturi cunoscute; (b) cum se află perimetrul unui triunghi dreptunghic atunci când se cunosc doar două laturi; (c) cum să găsești perimetrul oricărui triunghi atunci când sunt date două laturi și unghiul dintre ele (folosind legea cosinusurilor).
Pași
1 Pe trei laturi date
- 1 Pentru a găsi perimetrul, utilizați formula: P \u003d a + b + c, unde a, b, c sunt lungimile a trei laturi, P este perimetrul.
- 2
Aflați lungimile tuturor celor trei laturi.În exemplul nostru: a = 5, b = 5, c = 5.
- Este un triunghi echilateral, deoarece toate cele trei laturi au aceeași lungime. Dar formula de mai sus se aplică oricărui triunghi.
- 3
Adăugați lungimile tuturor celor trei laturi pentru a găsi perimetrul.În exemplul nostru: 5 + 5 + 5 = 15, adică P = 15.
- Un alt exemplu: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
- 4
Nu uitați să includeți unitatea de măsură în răspunsul dvs.În exemplul nostru, laturile sunt măsurate în centimetri, deci răspunsul final trebuie să includă și centimetri (sau unitățile specificate în enunțul problemei).
- În exemplul nostru, fiecare latură are 5 cm, deci răspunsul final este P = 15 cm.
2 Date două laturi ale unui triunghi dreptunghic
- 1 Amintiți-vă de teorema lui Pitagora. Această teoremă descrie relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic și este una dintre cele mai cunoscute și aplicate teoreme din matematică. Teorema spune că în orice triunghi dreptunghic laturile sunt legate prin următoarea relație: a 2 + b 2 \u003d c 2, unde a, b sunt catetele, c este ipotenuza.
- 2 Desenați un triunghi și etichetați laturile ca a, b, c. Latura cea mai lungă a unui triunghi dreptunghic este ipotenuza. Se află opus unghiului drept. Etichetați ipotenuza drept „c”. Picioarele (laturile adiacente unghiului drept) sunt desemnate ca „a” și „b”.
- 3
Înlocuiți valorile laturilor cunoscute în teorema lui Pitagora (a 2 + b 2 = c 2).În loc de litere, înlocuiți numerele date în starea problemei.
- De exemplu, a = 3 și b = 4. Înlocuiți aceste valori în teorema lui Pitagora: 3 2 + 4 2 = c 2 .
- Un alt exemplu: a = 6 și c = 10. Atunci: 6 2 + b 2 = 10 2
- 4
Rezolvați ecuația rezultată pentru a găsi latura necunoscută. Pentru a face acest lucru, mai întâi pătrați lungimile cunoscute ale laturilor (doar înmulțiți numărul dat de el însuși). Dacă căutați ipotenuza, adăugați pătratele celor două laturi și luați rădăcina pătrată a sumei rezultate. Dacă sunteți în căutarea unui catet, scădeți pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei și luați rădăcina pătrată a coeficientului rezultat.
- În primul exemplu: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 \u003d c 2; 25=c2; √25 = s. Deci c = 25.
- În al doilea exemplu: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 \u003d 100. Transferați 36 în partea dreaptă a ecuației și obțineți: b 2 \u003d 64; b = √64. Deci b = 8.
- 5
- În primul nostru exemplu: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- În al doilea exemplu: P = 6 + 8 + 10 = 24.
3 După două laturi date și unghiul dintre ele
- 1 Orice latură a unui triunghi poate fi găsită folosind legea cosinusurilor dacă vi se dau două laturi și unghiul dintre ele. Această teoremă se aplică oricăror triunghiuri și este o formulă foarte utilă. Teorema cosinusului: c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2abcos (C), unde a, b, c sunt laturile triunghiului, A, B, C sunt unghiurile opuse laturilor corespunzătoare ale triunghiului.
- 2 Desenați un triunghi și etichetați laturile ca a, b, c; etichetați unghiurile opuse laturilor corespunzătoare ca A, B, C (adică unghiul opus laturii „a”, etichetați-l ca „A” și așa mai departe).
- De exemplu, având în vedere un triunghi cu laturile 10 și 12 și un unghi între ele de 97°, adică a = 10, b = 12, C = 97°.
- 3
Înlocuiți valorile date în formulă și găsiți partea necunoscută „c”. Mai întâi, pătrați lungimile laturilor cunoscute și adăugați valorile rezultate. Apoi găsiți cosinusul unghiului C (folosind un calculator sau un calculator online). Înmulțiți lungimile laturilor cunoscute cu cosinusul unghiului dat și cu 2 (2abcos(C)). Scădeți valoarea rezultată din suma pătratelor celor două laturi (a 2 + b 2) și obțineți c 2 . Luați rădăcina pătrată a acestei valori pentru a afla lungimea laturii necunoscute „c”. În exemplul nostru:
- c 2 \u003d 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos (97)
- c 2 \u003d 100 + 144 - (240 × -0,12187)
- c 2 \u003d 244 - (-29,25)
- c2 = 244 + 29,25
- c2 = 273,25
- c = 16,53
- 4
Adăugați lungimile celor trei laturi pentru a găsi perimetrul. Reamintim că perimetrul se calculează cu formula: P = a + b + c.
- În exemplul nostru: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.
