Acest articol oferă informații inițiale despre sistemele de inegalități. Iată o definiție a unui sistem de inegalități și o definiție a unei soluții la un sistem de inegalități. Sunt enumerate și principalele tipuri de sisteme cu care cel mai adesea trebuie lucrat în lecțiile de algebră de la școală și sunt date exemple.

Navigare în pagină.

Ce este un sistem de inegalități?

Este convenabil să definim sistemele de inegalități în același mod în care am introdus definiția unui sistem de ecuații, adică prin tipul de notație și sensul încorporat în acesta.

Definiție.

Sistemul de inegalități este o înregistrare care reprezintă un anumit număr de inegalități scrise una sub alta, unite în stânga printr-o acoladă, și denotă mulțimea tuturor soluțiilor care sunt simultan soluții la fiecare inegalitate a sistemului.

Să dăm un exemplu de sistem de inegalități. Să luăm două arbitrare, de exemplu, 2 x−3>0 și 5−x≥4 x−11, scrieți-le una sub alta
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
și se unește cu un semn de sistem - o acoladă, ca rezultat obținem un sistem de inegalități de următoarea formă:

O idee similară este dată despre sistemele de inegalități din manualele școlare. Este de remarcat faptul că definițiile lor sunt date mai restrâns: pentru inegalitățile cu o variabilă sau cu două variabile.

Principalele tipuri de sisteme de inegalități

Este clar că se pot compune la infinit diverse sisteme inegalităților Pentru a nu te pierde în această diversitate, este indicat să-i iei în considerare în grupuri care au propriile lor Caracteristici. Toate sistemele de inegalități pot fi împărțite în grupuri conform următoarelor criterii:

• prin numărul de inegalități din sistem;
• după numărul de variabile implicate în înregistrare;
• după tipul de inegalități în sine.

Pe baza numărului de inegalități incluse în evidență, se disting sisteme de doi, trei, patru etc. inegalităților În paragraful anterior am dat un exemplu de sistem, care este un sistem de două inegalități. Să arătăm un alt exemplu de sistem de patru inegalități .

Separat, vom spune că nu are rost să vorbim doar despre un sistem de inegalitate; în acest caz, în esență, vorbim despre inegalitatea în sine, și nu despre sistem.

Dacă te uiți la numărul de variabile, atunci există sisteme de inegalități cu unu, doi, trei etc. variabile (sau, după cum se spune și ei, necunoscute). Priviți ultimul sistem de inegalități scris la două paragrafe mai sus. Este un sistem cu trei variabile x, y și z. Vă rugăm să rețineți că primele două inegalități ale ei nu conțin toate cele trei variabile, ci doar una dintre ele. În contextul acestui sistem, ele ar trebui înțelese ca inegalități cu trei variabile de forma x+0·y+0·z≥−2 și, respectiv, 0·x+y+0·z≤5. Rețineți că școala se concentrează pe inegalitățile cu o variabilă.

Rămâne de discutat ce tipuri de inegalități sunt implicate în sistemele de înregistrare. La școală, ei iau în considerare în principal sisteme de două inegalități (mai rar - trei, chiar mai rar - patru sau mai multe) cu una sau două variabile, iar inegalitățile în sine sunt de obicei inegalități întregi gradul I sau II (mai rar - grade superioare sau rațional fracționat). Dar nu fi surprins dacă în materialele de pregătire pentru examenul de stat unificat întâlniți sisteme de inegalități care conțin inegalități iraționale, logaritmice, exponențiale și alte inegalități. Ca exemplu, dăm sistemul de inegalități , este luat din .

Care este soluția unui sistem de inegalități?

Să introducem o altă definiție legată de sistemele de inegalități - definiția unei soluții la un sistem de inegalități:

Definiție.

Rezolvarea unui sistem de inegalități cu o variabilă se numește o astfel de valoare a unei variabile care transformă fiecare dintre inegalitățile sistemului în adevărată, cu alte cuvinte, este o soluție a fiecărei inegalități a sistemului.

Să explicăm cu un exemplu. Să luăm un sistem de două inegalități cu o variabilă. Să luăm valoarea variabilei x egală cu 8, este o soluție a sistemului nostru de inegalități prin definiție, deoarece înlocuirea sa în inegalitățile sistemului dă două inegalități numerice corecte 8>7 și 2−3·8≤0. Dimpotrivă, unitatea nu este o soluție a sistemului, deoarece atunci când este înlocuită cu variabila x, prima inegalitate se va transforma în inegalitatea numerică incorectă 1>7.

În mod similar, se poate introduce definiția unei soluții la un sistem de inegalități cu doi, trei și un numar mare variabile:

Definiție.

Rezolvarea unui sistem de inegalități cu doi, trei etc. variabile numit pereche, trei etc. valorile acestor variabile, care în același timp este o soluție la fiecare inegalitate a sistemului, adică transformă fiecare inegalitate a sistemului într-o inegalitate numerică corectă.

De exemplu, o pereche de valori x=1, y=2 sau într-o altă notație (1, 2) este o soluție a unui sistem de inegalități cu două variabile, deoarece 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sistemele de inegalități pot să nu aibă soluții, pot avea un număr finit de soluții sau pot avea un număr infinit de soluții. Oamenii vorbesc adesea despre setul de soluții la un sistem de inegalități. Când un sistem nu are soluții, atunci există un set gol de soluții. Când există un număr finit de soluții, atunci mulțimea de soluții conține un număr finit de elemente, iar când există infinit de soluții, atunci mulțimea de soluții este formată dintr-un număr infinit de elemente.

Unele surse introduc definiții ale unei soluții particulare și generale a unui sistem de inegalități, ca, de exemplu, în manualele lui Mordkovich. Sub soluție privată a sistemului de inegalitățiînțelege-i o singură decizie. La randul lui soluție generală a sistemului de inegalități- acestea sunt toate deciziile ei private. Cu toate acestea, acești termeni au sens numai atunci când este necesar să subliniem în mod specific despre ce fel de soluție vorbim, dar de obicei acest lucru este deja clar din context, deci mult mai des ei spun pur și simplu „o soluție la un sistem de inegalități”.

Din definițiile unui sistem de inegalități și ale soluțiilor sale introduse în acest articol, rezultă că o soluție a unui sistem de inegalități este intersecția mulțimilor de soluții ale tuturor inegalităților acestui sistem.

Bibliografie.

1. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A.G. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. În 2 ore Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Examenul de stat unificat-2013. Matematică: opțiuni standard de examen: 30 opțiuni / ed. A. L. Semenova, I. V. Iascenko. – M.: Editura „Educația Națională”, 2012. – 192 p. – (USE-2013. FIPI - școală).

Subiect de lecție: Soluție de sistem inegalități liniare cu o variabilă

Data de: _______________

Clasa: 6a, 6b, 6c

Tip de lecție:învăţarea de material nou şi consolidarea primară.

Scopul didactic: crearea condițiilor pentru conștientizarea și înțelegerea unui bloc de noi informații educaționale.

Obiective: 1) Educațional: introduceți conceptele: soluția sistemelor de inegalități, sisteme echivalente de inegalități și proprietățile acestora; învață cum să aplici aceste concepte atunci când rezolvi sisteme simple de inegalități cu o variabilă.

2) Dezvoltare: promovează dezvoltarea elementelor de activitate creativă, independentă a elevilor; dezvoltarea vorbirii, capacitatea de a gândi, analiza, generaliza, exprima gândurile în mod clar și concis.

3) Educativ: promovarea unei atitudini respectuoase unul față de celălalt și a unei atitudini responsabile față de munca educațională.

Sarcini:

repetă teoria pe tema inegalităților numerice și a intervalelor numerice;

dați un exemplu de problemă care poate fi rezolvată printr-un sistem de inegalități;

luați în considerare exemple de rezolvare a sistemelor de inegalități;

face munca independenta.

Forme de organizare a activităților educaționale:- frontal – colectiv – individual.

Metode: explicativ – ilustrativ.

Planul lecției:

1. Moment organizatoric, motivare, stabilire a obiectivelor

2. Actualizarea studiului temei

3. Învățarea de material nou

4. Consolidarea primară și aplicarea de material nou

5. Efectuarea muncii independente

7. Rezumând lecția. Reflecţie.

În timpul orelor:

1. Moment organizatoric

Inegalitatea poate fi de un bun ajutor. Trebuie doar să știi când să apelezi la el pentru ajutor. Formularea problemelor în multe aplicații ale matematicii este adesea formulată în limbajul inegalităților. De exemplu, multe probleme economice se reduc la studiul sistemelor de inegalități liniare. Prin urmare, este important să fii capabil să rezolvi sistemele de inegalități. Ce înseamnă „rezolvarea unui sistem de inegalități”? Acesta este ceea ce ne vom uita în lecția de astăzi.

2. Actualizarea cunoștințelor.

Lucru oral cu clasa, trei elevi lucrează folosind carduri individuale.

Pentru a revizui teoria subiectului „Inegalitățile și proprietățile lor”, vom efectua teste, urmate de verificare și o conversație pe teoria acestui subiect. Fiecare sarcină de testare necesită răspunsul „Da” - cifră, „Nu” - cifra ____

Rezultatul testului ar trebui să fie un fel de cifră.

(Răspuns: ).

Stabiliți o corespondență între inegalitate și interval numeric

1. (– ; – 0,3)

2. (3; 18)

3. [ 12; + )

4. (– 4; 0]

5. [ 4; 12]

6. [ 2,5; 10)

„Matematica te învață să depășești dificultățile și să-ți corectezi propriile greșeli.” Găsiți eroarea în rezolvarea inegalității, explicați de ce s-a făcut eroarea, notați soluția corectă în caiet.

2x<8-6

x>-1

3. Studierea materialelor noi.

Cum crezi că se numește o soluție a unui sistem de inegalități?

(Soluția unui sistem de inegalități cu o variabilă este valoarea variabilei pentru care fiecare dintre inegalitățile sistemului este adevărată)

Ce înseamnă „Rezolvarea unui sistem de inegalități”?

(Rezolvarea unui sistem de inegalități înseamnă găsirea tuturor soluțiilor acestuia sau demonstrarea că nu există soluții)

Ceea ce trebuie făcut pentru a răspunde la întrebarea „este un număr dat

soluție la un sistem de inegalități?

(Înlocuiți acest număr în ambele inegalități ale sistemului, dacă inegalitățile sunt adevărate, atunci numărul dat este o soluție a sistemului de inegalități, dacă inegalitățile sunt incorecte, atunci numărul dat nu este o soluție a sistemului de inegalități)

Formulați un algoritm pentru rezolvarea sistemelor de inegalități

1. Rezolvați fiecare inegalitate a sistemului.

2. Înfățișați grafic soluțiile fiecărei inegalități pe linia de coordonate.

3. Aflați intersecția soluțiilor inegalităților pe dreapta de coordonate.

4. Scrieți răspunsul ca un interval numeric.

Luați în considerare exemple:

Răspuns:

Răspuns: fără soluții

4. Securizarea subiectului.

Lucrul cu manualul nr. 1016, nr. 1018, nr. 1022

5. Munca independentăîn funcție de opțiuni (fișe de sarcini pentru elevi pe mese)

Muncă independentă

Opțiunea 1

Rezolvați sistemul de inegalități:

Programul de rezolvare a inegalităților liniare, pătratice și fracționale nu oferă doar răspunsul problemei, ci oferă o soluție detaliată cu explicații, i.e. afișează procesul de rezolvare pentru a testa cunoștințele de matematică și/sau algebră.

Mai mult, dacă în procesul de rezolvare a uneia dintre inegalități este necesar să se rezolve, de exemplu, o ecuație pătratică, atunci este afișată și soluția sa detaliată (este conținută într-un spoiler).

Acest program poate fi util elevilor de liceu în pregătirea pentru teste, iar părinților să monitorizeze modul în care copiii lor rezolvă inegalitățile.

Acest program poate fi util elevilor de liceu din școlile de învățământ general atunci când se pregătesc pentru teste și examene, când testează cunoștințele înainte de Examenul Unificat de Stat și pentru părinți pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.

Reguli pentru introducerea inegalităților

Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracționale.
Mai mult, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională poate fi separată de întreaga parte fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți introduce fracții zecimale astfel: 2,5x - 3,5x^2

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ.

Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Întreaga parte este separată de fracție prin semnul și: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Puteți folosi paranteze când introduceți expresii. În acest caz, la rezolvarea inegalităților, expresiile sunt mai întâi simplificate.
De exemplu: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Selectați semnul de inegalitate dorit și introduceți polinoamele în câmpurile de mai jos.

Prima inegalitate a sistemului.

Faceți clic pe butonul pentru a schimba tipul primei inegalități.

> >= < <=

Rezolvați sistemul de inegalități

S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Sisteme de inegalități cu o necunoscută. Intervale numerice

Te-ai familiarizat cu conceptul de sistem în clasa a VII-a și ai învățat să rezolvi sisteme de ecuații liniare cu două necunoscute. În continuare vom lua în considerare sistemele de inegalități liniare cu o necunoscută. Mulțimi de soluții ale sistemelor de inegalități pot fi scrise folosind intervale (intervale, semiintervale, segmente, raze). De asemenea, vă veți familiariza cu notarea intervalelor numerice.

Dacă în inegalitățile \(4x > 2000\) și \(5x \leq 4000\) numărul necunoscut x este același, atunci aceste inegalități sunt considerate împreună și se spune că formează un sistem de inegalități: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right. $$

Paranteza arată că trebuie să găsiți valori ale lui x pentru care ambele inegalități ale sistemului se transformă în inegalități numerice corecte. Acest sistem este un exemplu de sistem de inegalități liniare cu o necunoscută.

Soluția unui sistem de inegalități cu o necunoscută este valoarea necunoscutului la care toate inegalitățile sistemului se transformă în inegalități numerice adevărate. Rezolvarea unui sistem de inegalități înseamnă găsirea tuturor soluțiilor acestui sistem sau stabilirea faptului că nu există.

Inegalitățile \(x \geq -2 \) și \(x \leq 3 \) pot fi scrise ca o dublă inegalitate: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Soluțiile la sistemele de inegalități cu o necunoscută sunt diferite seturi de numere. Aceste seturi au nume. Astfel, pe axa numerelor, mulțimea numerelor x astfel încât \(-2 \leq x \leq 3 \) este reprezentată de un segment cu capete în punctele -2 și 3.

-2

3

Dacă \(a este un segment și este notat cu [a; b]

Dacă \(a este un interval și este notat cu (a; b)

Mulțimi de numere \(x\) care satisfac inegalitățile \(a \leq x sunt semiintervale și se notează respectiv [a; b) și (a; b]

Se numesc segmente, intervale, semiintervale și raze intervale numerice.

Astfel, intervalele numerice pot fi specificate sub formă de inegalități.

Soluția unei inegalități în două necunoscute este o pereche de numere (x; y) care transformă inegalitatea dată într-o inegalitate numerică adevărată. Rezolvarea unei inegalități înseamnă găsirea setului tuturor soluțiilor ei. Astfel, soluțiile inegalității x > y vor fi, de exemplu, perechi de numere (5; 3), (-1; -1), întrucât \(5 \geq 3 \) și \(-1 \geq - 1\)

Rezolvarea sistemelor de inegalități

Ați învățat deja cum să rezolvați inegalitățile liniare cu o necunoscută. Știți ce sunt un sistem de inegalități și o soluție a sistemului? Prin urmare, procesul de rezolvare a sistemelor de inegalități cu o necunoscută nu vă va provoca dificultăți.

Și totuși, permiteți-ne să vă reamintim: pentru a rezolva un sistem de inegalități, trebuie să rezolvați fiecare inegalitate separat și apoi să găsiți intersecția acestor soluții.

De exemplu, sistemul original de inegalități a fost redus la forma:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Pentru a rezolva acest sistem de inegalități, marcați soluția fiecărei inegalități pe dreapta numerică și găsiți intersecția lor:

-2

3

Intersecția este segmentul [-2; 3] - aceasta este soluția sistemului original de inegalități.

1. Conceptul de inegalitate cu o variabilă

2. Inegalități echivalente. Teoreme privind echivalența inegalităților

3. Rezolvarea inegalităților cu o variabilă

4. Rezolvarea grafică a inegalităților cu o variabilă

5. Inegalități care conțin o variabilă sub semnul modulului

6. Principalele concluzii

Inegalități cu o variabilă

Oferte 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 se numesc inegalități cu o variabilă.

ÎN vedere generala acest concept este definit după cum urmează:

Definiție. Fie f(x) și g(x) două expresii cu variabila x și domeniu X. Atunci o inegalitate de forma f(x) > g(x) sau f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Valoare variabilă X din multi X,în care inegalitatea se transformă într-o adevărată inegalitate numerică se numește decizie. Rezolvarea unei inegalități înseamnă găsirea multor soluții la aceasta.

Astfel, prin rezolvarea inegalității 2 X + 7 > 10 -x, x? R este numărul X= 5, deoarece 2 5 + 7 > 10 - 5 este o inegalitate numerică adevărată. Și mulțimea soluțiilor sale este intervalul (1, ∞), care se găsește efectuând transformarea inegalității: 2 X + 7 > 10-X => 3X >3 => X >1.

Inegalități echivalente. Teoreme privind echivalența inegalităților

Baza pentru rezolvarea inegalităților cu o variabilă este conceptul de echivalență.

Definiție. Se spune că două inegalități sunt echivalente dacă mulțimile lor soluții sunt egale.

De exemplu, inegalitățile 2 X+ 7 > 10 și 2 X> 3 sunt echivalente, deoarece mulțimile lor soluții sunt egale și reprezintă intervalul (2/3, ∞).

Teoremele privind echivalența inegalităților și consecințele din acestea sunt similare cu teoremele corespunzătoare privind echivalența ecuațiilor. Demonstrarea lor folosește proprietățile inegalităților numerice adevărate.

Teorema 3. Lasă inegalitatea f(x) > g(x) definite pe platou XȘi h(X) este o expresie definită pe aceeași mulțime. Apoi inegalitățile f(x) > g(x) și f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) sunt echivalente pe platou X.

Corolarele rezultă din această teoremă, care sunt adesea folosite la rezolvarea inegalităților:

1) Dacă la ambele părți ale inegalității f(x) > g(x) adăugați același număr d, atunci obținem inegalitatea f(x) + d > g(x)+ d, echivalent cu cel original.

2) Dacă orice termen (expresie numerică sau expresie cu o variabilă) este transferat dintr-o parte a inegalității în alta, schimbând semnul termenului în opus, atunci obținem o inegalitate echivalentă cu cea dată.

Teorema 4. Lasă inegalitatea f(x) > g(x) definite pe platou XȘi h(X X din multi X expresie h(x) acceptă valori pozitive. Apoi inegalitățile f(x) > g(x) și f(x) h(x) > g(x) h(x) sunt echivalente pe platou X.

f(x) > g(x)înmulțiți cu același număr pozitiv d, atunci obținem inegalitatea f(x) d > g(x) d, echivalent cu aceasta.

Teorema 5. Lasă inegalitatea f(x) > g(x) definite pe platou XȘi h(X) - o expresie definită pe același set și pentru toate X sunt multe dintre ele X expresie h(X) acceptă valori negative. Apoi inegalitățile f(x) > g(x) și f(x) h(x) > g(x) h(x) sunt echivalente pe platou X.

Din această teoremă rezultă un corolar: dacă ambele părți ale inegalității f(x) > g(x)înmulțiți cu același număr negativ dși schimbăm semnul inegalității în cel opus, obținem inegalitatea f(x) d > g(x) d, echivalent cu aceasta.

Rezolvarea inegalităților cu o variabilă

Să rezolvăm inegalitatea 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, și vom justifica toate transformările pe care le vom efectua în procesul de soluționare.

Rezolvarea inegalității X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 este intervalul (-∞, 7).

Exerciții

1. Determinați care dintre următoarele intrări sunt inegalități cu o variabilă:

a) -12 - 7 X< 3X+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);

b) 15( X+ 2)>4; e) 17-12,8;

c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3X-4> 0.

2. Este numărul 3 o soluție a inegalității 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R? Și numărul 4,25?

3. Următoarele perechi de inegalități sunt echivalente pe mulțimea numerelor reale:

a) -17 X< -51 и X > 3;

b) (3 X-1)/4 >0 și 3 X-1>0;

c) 6-5 X>-4 și X<2?

4. Care dintre următoarele afirmații sunt adevărate:

a) -7 X < -28 => X>4;

b) X < 6 => X < 5;

V) X< 6 => X< 20?

5. Rezolvați inegalitatea 3( X - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 și justificați toate transformările pe care le veți efectua.

6. Demonstrați că rezolvând inegalitatea 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) este orice număr real.

7. Demonstrați că nu există un număr real care ar fi o soluție la inegalitatea 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.

8. O latură a triunghiului este de 5 cm, iar cealaltă este de 8 cm. Care poate fi lungimea celei de-a treia laturi dacă perimetrul triunghiului este:

a) mai mic de 22 cm;

b) mai mult de 17 cm?

SOLUȚIA GRAFICĂ A INEGALITĂȚILOR CU O VARIABILĂ. Pentru solutie grafica inegalităților f (x) > g (x) trebuie să construiți grafice ale funcțiilor

y = f (x) = g (x)și selectați acele intervale ale axei absciselor pe care se află graficul funcției y = f(x) situat deasupra graficului funcției y = g(x).

Exemplul 17.8. Rezolvați grafic inegalitatea x 2- 4 > 3X.

Y - x* - 4

Soluţie. Să construim grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate

y = x 2 - 4 și y = Zx (Fig. 17.5). Figura arată că graficele funcțiilor la= x 2- 4 este situat deasupra graficului funcției y = 3 X la X< -1 și x > 4, adică multimea solutiilor la inegalitatea initiala este multimea

(- ¥; -1) È (4; + oo) .

Răspuns: x О(- oo; -1) și ( 4; + oo).

Programa funcţie pătratică la= ax 2 + bx + c este o parabolă cu ramurile îndreptate în sus dacă a > 0 și în jos dacă A< 0. În acest caz, sunt posibile trei cazuri: parabola intersectează axa Oh(adică ecuația ah 2+ bx+ c = 0 are două rădăcini diferite); parabola atinge axa X(adică ecuația ax 2 + bx+ c = 0 are o rădăcină); parabola nu intersectează axa Oh(adică ecuația ah 2+ bx+ c = 0 nu are rădăcini). Astfel, există șase poziții posibile ale parabolei, care servește ca grafic al funcției y = ah 2+b x + c(Fig. 17.6). Folosind aceste ilustrații, puteți rezolva inegalitățile pătratice.

Exemplul 17.9. Rezolvați inegalitatea: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.

Soluţie, a) Ecuația 2x 2 + 5x -3 = 0 are două rădăcini: x, = -3, x 2 = 0,5. Parabola care servește ca grafic al unei funcții la= 2x 2+ 5x -3, prezentat în Fig. A. Inegalitate 2x 2+ 5x -3 > 0 este satisfăcut pentru acele valori X, pentru care punctele parabolei se află deasupra axei Oh: va fi la X< х х sau când X> x g> acestea. la X< -3 sau la x > 0,5. Aceasta înseamnă că mulțimea de soluții la inegalitatea inițială este mulțimea de (- ¥; -3) și (0,5; + ¥).

b) Ecuația -Зх 2 + 2x- 6 = 0 nu are rădăcini reale. Parabola care servește ca grafic al unei funcții la= - 3x 2 - 2x - 6, prezentată în Fig. 17.6 Inegalitate -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, pentru care punctele parabolei se află sub axă Oh. Deoarece întreaga parabola se află sub axă Oh, atunci mulțimea soluțiilor inegalității inițiale este mulțimea R .

INEGALITATI CARE CONTIN O VARIABILA SUB SEMNUL MODULULUI. La rezolvarea acestor inegalități, trebuie reținut că:

|f(x) | =

f(x), Dacă f(x) ³ 0,

- f(x), Dacă f(x) < 0,

În același timp, zona valori acceptabile inegalitățile ar trebui împărțite în intervale, pe fiecare dintre acestea expresiile de sub semnul modulului își păstrează semnul. Apoi, extinzând modulele (ținând cont de semnele expresiilor), trebuie să rezolvați inegalitatea pe fiecare interval și să combinați soluțiile rezultate într-un set de soluții la inegalitatea inițială.

Exemplul 17.10. Rezolvați inegalitatea:

|x -1| + |2- x| > 3+x.

Soluţie. Punctele x = 1 și x = 2 împart axa numerică (ODZ a inegalității (17.9) în trei intervale: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Să rezolvăm această inegalitate pentru fiecare dintre ele. Dacă x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; prin urmare |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Aceasta înseamnă că inegalitatea (17.9) ia forma: 1- x + 2 - x > 3 + x, adică. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Dacă 1 £ x £.2, atunci x - 1 ³ 0 și 2 – x ³ 0; prin urmare | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Aceasta înseamnă că sistemul deține:

x – 1 + 2 – x > 3 + x,

Sistemul de inegalități rezultat nu are soluții. Prin urmare, pe intervalul [ 1; 2] setul de soluții la inegalitate (17.9) este gol.

Dacă x > 2, atunci x - 1 >0 și 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x – 2 > 3+x,

x > 6 sau

Combinând soluțiile găsite pe toate părțile inegalității ODZ (17.9), obținem soluția acesteia - mulțimea (-¥; 0) È (6; +oo).

Uneori este util să se folosească interpretarea geometrică a modulului unui număr real, conform căreia | a | înseamnă distanța punctului a al dreptei de coordonate de la originea O, a | a - b | înseamnă distanța dintre punctele a și b de pe linia de coordonate. Alternativ, puteți utiliza metoda de a pune la pătrat ambele părți ale inegalității.

Teorema 17.5. Dacă expresiile f(x) și g(x) pentru orice x iau numai valori nenegative, apoi inegalitățile f (x) > g (x)Și f (x) ² > g (x) ² sunt echivalente.

58. Principalele concluzii § 12

În această secțiune am definit următoarele concepte:

Expresie numerică;

Sens expresie numerică;

O expresie care nu are sens;

Expresie cu variabila(i);

Zona de definire a expresiei;

Expresii identice egale;

Identitate;

Transformarea identității expresii;

Egalitatea numerică;

Inegalitatea numerică;

Ecuație cu o variabilă;

Rădăcina ecuației;

Ce înseamnă să rezolvi o ecuație;

Ecuații echivalente;

Inegalitatea cu o variabilă;

Rezolvarea inegalităților;

Ce înseamnă să rezolvi inegalitatea;

Inegalități echivalente.

În plus, am examinat teoreme privind echivalența ecuațiilor și inegalităților, care stau la baza soluției lor.

Cunoașterea definițiilor tuturor conceptelor și teoremelor de mai sus privind echivalența ecuațiilor și inegalităților - conditie necesara studiu competent metodologic cu şcolari mai mici material algebric.

Astăzi în lecție ne vom generaliza cunoștințele în rezolvarea sistemelor de inegalități și vom studia soluția unui set de sisteme de inegalități.

Definiția unu.

Se spune că mai multe inegalități cu o variabilă formează un sistem de inegalități dacă sarcina este de a găsi toate soluțiile generale ale inegalităților date.

Valoarea variabilei la care fiecare dintre inegalitățile sistemului se transformă într-o inegalitate numerică corectă se numește soluție parțială a sistemului de inegalități.

Setul tuturor soluțiilor particulare ale unui sistem de inegalități reprezintă soluția generală a sistemului de inegalități (mai des se spune simplu - soluția sistemului de inegalități).

Rezolvarea unui sistem de inegalități înseamnă găsirea tuturor soluțiilor sale particulare sau demonstrarea faptului că un sistem dat nu are soluții.

Tine minte! Soluția unui sistem de inegalități este intersecția soluțiilor inegalităților incluse în sistem.

Inegalitățile incluse în sistem sunt combinate cu o acoladă.

Algoritm pentru rezolvarea unui sistem de inegalități cu o variabilă:

Primul este de a rezolva fiecare inegalitate separat.

Al doilea este de a găsi intersecția soluțiilor găsite.

Această intersecție este mulțimea de soluții ale sistemului de inegalități

Exercitiul 1

Rezolvați sistemul de inegalități șapte x minus patruzeci și doi este mai mic sau egal cu zero și doi x minus șapte este mai mare decât zero.

Soluția primei inegalități este x este mai mic sau egal cu șase, a doua inegalitate este x este mai mare decât a doua inegalitate. Să marchem aceste intervale pe linia de coordonate. Soluția primei inegalități este marcată cu umbrire dedesubt, iar soluția celei de-a doua inegalități este marcată cu umbrire în partea de sus. Soluția sistemului de inegalități va fi intersecția soluțiilor inegalităților, adică intervalul în care ambele hașuri coincid. Ca rezultat, obținem o jumătate de interval de la șapte secunde la șase, inclusiv șase.

Sarcina 2

Rezolvați sistemul de inegalități: x pătrat plus x minus șase este mai mare decât zero și x pătrat plus x plus șase este mai mare decât zero.

Soluţie

Să rezolvăm prima inegalitate - x pătrat plus x minus șase este mai mare decât zero.

Considerăm că funcția ig este egală cu x pătrat plus x minus șase. Zerurile funcției: x primul este egal cu minus trei, x al doilea este egal cu doi. Reprezentând schematic o parabolă, aflăm că soluția primei inegalități este unirea razelor de număr deschis de la minus infinit la minus trei și de la doi la plus infinit.

Să rezolvăm a doua inegalitate a sistemului: x pătrat plus x plus șase este mai mare decât zero.

Considerăm că funcția ig este egală cu x pătrat plus x plus șase. Discriminantul este egal cu minus douăzeci și trei mai mic decât zero, ceea ce înseamnă că funcția nu are zerouri. Parabola nu are puncte comune cu axa Ox. Reprezentând schematic o parabolă, aflăm că soluția inegalității este mulțimea tuturor numerelor.

Să descriem pe linia de coordonate soluțiile inegalităților sistemului.

Se poate observa din figură că soluția sistemului este de a combina raze cu număr deschis de la minus infinit la minus trei și de la doi la plus infinit.

Răspuns: unirea razelor cu număr deschis de la minus infinit la minus trei și de la doi la plus infinit.

Tine minte! Dacă într-un sistem de mai multe inegalități una este o consecință a altuia (sau a altora), atunci inegalitatea-consecință poate fi eliminată.

Să luăm în considerare un exemplu de rezolvare a unei inegalități de către un sistem.

Sarcina 3

Rezolvați logaritmul de inegalitate al expresiei x pătrat minus treisprezece x plus patruzeci și două de bază doi mai mare sau egal cu unu.

Soluţie

ODZ a inegalității este dată de condiția x pătrat minus treisprezece x plus patruzeci și doi mai mare decât zero. Să ne imaginăm numărul unu ca logaritmul de doi la baza doi și obținem inegalitatea - logaritmul expresiei x pătrat minus treisprezece x plus patruzeci și doi la baza doi este mai mare sau egal cu logaritmul de doi la bază Două.

Vedem că baza logaritmului este egală cu doi peste unu, apoi ajungem la inegalitatea echivalentă x pătrat minus treisprezece x plus patruzeci și doi mai mare sau egal cu doi. În consecință, rezolvarea acestei inegalități logaritmice se reduce la rezolvarea unui sistem de două inegalități pătratice.

Mai mult, este ușor de observat că, dacă a doua inegalitate este satisfăcută, atunci cu atât mai mult prima inegalitate este satisfăcută. Prin urmare, prima inegalitate este o consecință a celei de-a doua și poate fi eliminată. Transformăm a doua inegalitate și o scriem sub forma: x pătrat minus treisprezece x plus patruzeci este mai mare decât zero. Soluția sa este de a combina două raze numerice de la minus infinit la cinci și de la opt la plus infinit.

Răspuns: unirea a două raze numerice de la minus infinit la cinci și de la opt la plus infinit.

raze cu număr deschis

Definiția a doua.

Se spune că mai multe inegalități cu o variabilă formează un set de inegalități dacă sarcina este de a găsi toate astfel de valori ale variabilei, fiecare dintre acestea fiind o soluție pentru cel puțin una dintre inegalitățile date.

Fiecare astfel de valoare a unei variabile se numește o soluție particulară a unui set de inegalități.

Setul tuturor soluțiilor particulare ale unui set de inegalități este soluție generală a unui set de inegalități.

Tine minte! Soluția la o mulțime de inegalități este combinația de soluții la inegalitățile incluse în mulțime.

Inegalitățile incluse în set sunt combinate cu o paranteză pătrată.

Algoritm pentru rezolvarea unei mulțimi de inegalități:

Primul este de a rezolva fiecare inegalitate separat.

Al doilea este de a găsi o unire a soluțiilor găsite.

Această unire este soluția la mulțimea de inegalități.

Sarcina 4

zero virgulă de două ori diferența de doi X și trei mai puțin decât X minus doi;

cinci x minus șapte este mai mare decât x minus șase.

Soluţie

Să transformăm fiecare dintre inegalități. Obținem o mulțime echivalentă

x este mai mare de șapte treimi;

x este mai mult de un sfert.

Pentru prima inegalitate, setul de soluții este intervalul de la șapte treimi la plus infinit, iar pentru a doua, intervalul de la un sfert la plus infinit.

Să descriem pe linia de coordonate un set de numere care satisfac inegalitățile x mai mari de șapte treimi și x mai mari de o pătrime.

Găsim că prin combinarea acestor seturi, adică. soluția acestui set de inegalități este o rază numerică deschisă de la un sfert la plus infinit.

Răspuns: fascicul de numere deschis de la o pătrime la plus infinit.

Sarcina 5

Rezolvați o mulțime de inegalități:

doi x minus unu este mai mic de trei și trei x minus doi este mai mare sau egal cu zece.

Soluţie

Să transformăm fiecare dintre inegalități. Obținem o mulțime echivalentă de inegalități: x este mai mare decât doi și x este mai mare sau egal cu patru.

Să descriem pe linia de coordonate un set de numere care satisfac aceste inegalități.

Găsim că prin combinarea acestor seturi, adică. soluția acestui set de inegalități este o rază numerică deschisă de la doi la plus infinit.

Răspuns: rază numerică deschisă de la doi la plus infinit.