Adunarea și scăderea puterilor
Este evident că numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor una după alta cu semnele lor.
Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2.
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.
Cote puteri egale ale variabilelor identice poate fi adunat sau scazut.
Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este egală cu 5a 2.
De asemenea, este evident că dacă luați două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.
Dar grade variabile variateȘi diverse grade variabile identice, trebuie compuse prin adăugarea lor cu semnele lor.
Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3.
Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este egal cu dublul pătratului lui a, ci cu dublul cubului lui a.
Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6.
Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtraendelor trebuie schimbate în mod corespunzător.
Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Înmulțirea puterilor
Numerele cu puteri pot fi înmulțite, ca și alte mărimi, scriindu-le una după alta, cu sau fără semn de înmulțire între ele.
Astfel, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.
Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea de variabile identice.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3.
Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu Cantitate grade de termeni.
Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, care este egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.
Deci, a n .a m = a m+n .
Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât puterea lui n;
Și a m este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;
De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților puterilor.
Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt negativ.
1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică
Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.
Dacă înmulțiți suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grade.
Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Împărțirea gradelor
Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere, prin scăderea din dividend sau prin plasarea lor sub formă de fracție.
Astfel, a 3 b 2 împărțit la b 2 este egal cu a 3.
Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.
La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți..
Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Adică $\frac = y$.
Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.
Sau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori ale gradelor.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este un -2.
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.
Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri
1. Scădeți exponenții cu $\frac $ Răspuns: $\frac $.
2. Scădeți exponenții cu $\frac$. Răspuns: $\frac$ sau 2x.
3. Reduceți exponenții a 2 /a 3 și a -3 /a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este a -2 primul numărător.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .
4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 /5a 7 și 5a 5 /5a 7 sau 2a 3 /5a 2 și 5/5a 2.
5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.
6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).
7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .
8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Raspuns: a/a.
Proprietăți ale gradului
Vă reamintim că în această lecție o rezolvă proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali si zero. Puterile cu exponenți raționali și proprietățile lor vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a VIII-a.
Gradul c indicator natural are câteva proprietăți importante care ne permit să simplificăm calculele în exemple cu puteri.
Proprietatea nr. 1
Produsul puterilor
La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții puterilor.
a m · a n = a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Această proprietate a puterilor se aplică și produsului a trei sau mai multe puteri.
- Simplificați expresia.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Prezintă-l ca o diplomă.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Prezintă-l ca o diplomă.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Scrieți coeficientul ca putere
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Calculati.
Vă rugăm să rețineți că în proprietatea specificată vorbeam doar despre înmulțirea puterilor cu aceleași baze. Nu se aplică la adăugarea lor.
Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5. Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243
Proprietatea nr. 2
Grade parțiale
La împărțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată, iar dividendul este scăzut din exponent exponent separator
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea puterilor coeficiente.
3 8: t = 3 4
Răspuns: t = 3 4 = 81
Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.
Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile exponenților.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Vă rugăm să rețineți că în Proprietatea 2 vorbeam doar despre împărțirea puterilor cu aceleași baze.
Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1. Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4
Proprietatea nr. 3
Ridicarea unui grad la putere
La ridicarea unui grad la o putere, baza gradului rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.
(a n) m = a n · m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.
Cum să înmulțim puterile
Cum să înmulțim puterile? Ce puteri pot fi multiplicate și care nu? Cum se înmulțește un număr cu o putere?
În algebră, puteți găsi un produs al puterilor în două cazuri:
1) dacă gradele au aceleași baze;
2) dacă gradele au aceiași indicatori.
La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza trebuie lăsată aceeași, iar exponenții trebuie adăugați:
La înmulțirea puterilor cu aceiași exponenți indicator general poate fi scos din paranteze:
Să ne uităm la cum să înmulțim puteri folosind exemple specifice.
Unitatea nu este scrisă în exponent, dar la înmulțirea puterilor, acestea iau în considerare:
La înmulțire, poate exista orice număr de puteri. Trebuie reținut că nu trebuie să scrieți semnul de înmulțire înaintea literei:
În expresii, exponențiarea se face mai întâi.
Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o putere, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și numai apoi înmulțirea:
Înmulțirea puterilor cu aceleași baze
Acest tutorial video este disponibil prin abonament
Aveți deja un abonament? A intra
În această lecție vom studia înmulțirea puterilor cu baze similare. În primul rând, să ne amintim definiția gradului și să formulăm o teoremă asupra validității egalității . Apoi vom da exemple de aplicare a acestuia pe anumite numere și vom demonstra. De asemenea, vom aplica teorema pentru a rezolva diverse probleme.
Subiect: Puterea cu exponent natural și proprietățile sale
Lecția: Înmulțirea puterilor cu aceleași baze (formulă)
1. Definiții de bază
Definitii de baza:
n- exponent,
— n puterea a unui număr.
2. Enunțul teoremei 1
Teorema 1. Pentru orice număr Ași orice natural nȘi k egalitatea este adevarata:
Cu alte cuvinte: dacă A- orice număr; nȘi k numere naturale, atunci:
De aici regula 1:
3. Sarcini explicative
Concluzie: cazuri speciale au confirmat corectitudinea teoremei nr. 1. Să o demonstrăm în cazul general, adică pentru orice Ași orice natural nȘi k.
4. Demonstrarea teoremei 1
Dat un număr A- orice; numere nȘi k – natural. Dovedi:
Dovada se bazează pe definiția gradului.
5. Rezolvarea exemplelor folosind teorema 1
Exemplul 1: Gândește-te la asta ca la o diplomă.
Pentru a rezolva următoarele exemple, vom folosi teorema 1.
și) 
6. Generalizarea teoremei 1
O generalizare folosită aici:
7. Rezolvarea exemplelor folosind o generalizare a teoremei 1
8. Rezolvarea diverselor probleme folosind teorema 1
Exemplul 2: Calculați (puteți folosi tabelul puterilor de bază).
A) 
(conform tabelului)
b) 
Exemplul 3: Scrie-o ca o putere cu baza 2.
A) 
Exemplul 4: Determinați semnul numărului:
, A - negativ, deoarece exponentul la -13 este impar.
Exemplul 5:Înlocuiți (·) cu o putere a unui număr cu o bază r:
Avem, adică.
9. Rezumând
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. şi altele.Algebra 7. ediţia a VI-a. M.: Iluminismul. 2010
1. Asistent școlar (Sursa).
1. Prezentă ca putere:
a B C D E) 
3. Scrie ca putere cu baza 2:
4. Determinați semnul numărului:
A) 
5. Înlocuiți (·) cu o putere a unui număr cu o bază r:
a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6
Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceiași exponenți
În această lecție vom studia înmulțirea puterilor cu exponenți egali. Mai întâi, să ne amintim definițiile și teoremele de bază despre înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceleași baze și ridicarea puterilor la puteri. Apoi formulăm și demonstrăm teoreme privind înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceiași exponenți. Și apoi, cu ajutorul lor, vom rezolva o serie de probleme tipice.
Reamintire a definițiilor și teoremelor de bază
Aici A- baza diplomei,
— n puterea a unui număr.
Teorema 1. Pentru orice număr Ași orice natural nȘi k egalitatea este adevarata:
La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, se adaugă exponenții, baza rămâne neschimbată.
Teorema 2. Pentru orice număr Ași orice natural nȘi k, astfel încât n > k egalitatea este adevarata:
La împărțirea gradelor cu aceleași baze, exponenții sunt scăzuți, dar baza rămâne neschimbată.
Teorema 3. Pentru orice număr Ași orice natural nȘi k egalitatea este adevarata:
Toate teoremele enumerate erau despre puteri cu aceeași motive, în această lecție ne vom uita la grade cu același indicatori.
Exemple de înmulțire a puterilor cu aceiași exponenți
Luați în considerare următoarele exemple:
Să notăm expresiile pentru determinarea gradului.
Concluzie: Din exemple se poate observa că 
, dar acest lucru trebuie încă dovedit. Să formulăm teorema și să o demonstrăm în cazul general, adică pentru oricare AȘi bși orice natural n.
Formularea și demonstrarea teoremei 4
Pentru orice numere AȘi bși orice natural n egalitatea este adevarata:
Dovada Teorema 4 .
Prin definiția gradului:
Deci am dovedit asta .
Pentru a multiplica puteri cu aceiași exponenți, este suficient să înmulțiți bazele și să lăsați exponentul neschimbat.
Formularea și demonstrarea teoremei 5
Să formulăm o teoremă pentru împărțirea puterilor cu aceiași exponenți.
Pentru orice număr AȘi b() și orice natural n egalitatea este adevarata:
Dovada Teorema 5 .
Să notăm definiția gradului:
Enunțarea teoremelor în cuvinte
Deci, noi am dovedit că.
Pentru a împărți puteri cu aceiași exponenți una în alta, este suficient să împărțiți o bază la alta și să lăsați exponentul neschimbat.
Rezolvarea problemelor tipice folosind teorema 4
Exemplul 1: Prezent ca un produs al puterilor.
Pentru a rezolva următoarele exemple, vom folosi teorema 4.
Pentru a rezolva următorul exemplu, amintiți-vă formulele:
Generalizarea teoremei 4
Generalizarea teoremei 4:
Rezolvarea exemplelor folosind teorema generalizată 4
Continuarea rezolvării problemelor tipice
Exemplul 2: Scrie-l ca o putere a produsului.
Exemplul 3: Scrieți-o ca putere cu exponentul 2.
Exemple de calcul
Exemplul 4: Calculați în cel mai rațional mod.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. si altele.Algebra 7.M.: Iluminismul. 2006
2. Asistent școlar (Sursa).
1. Prezentă ca produs al puterilor:
A) ; b) ; V) ; G) ;
2. Scrieți ca putere a produsului:
3. Scrieți ca putere cu exponentul 2:
4. Calculați în cel mai rațional mod.
Lecție de matematică pe tema „Înmulțirea și împărțirea puterilor”
Secțiuni: Matematică
Scopul pedagogic:
Sarcini:
Unități de activitate de predare: determinarea gradului cu un indicator natural; componente ale gradului; definiția privat; legea combinațională a înmulțirii.
I. Organizarea unei demonstrații a stăpânirii de către elevi a cunoștințelor existente. (pasul 1)
a) Actualizarea cunoștințelor:
2) Formulați o definiție a gradului cu un exponent natural.
a n =a a a a … a (de n ori)
b k =b b b b a… b (de k ori) Justificați răspunsul.
II. Organizarea autoevaluării gradului de competență al studentului în experiența curentă. (pasul 2)
Autotest: (lucrare individuală în două versiuni.)
A1) Prezentați produsul 7 7 7 7 x x x ca putere:
A2) Reprezentați puterea (-3) 3 x 2 ca produs
A3) Calculați: -2 3 2 + 4 5 3
Selectez numărul de sarcini din test în conformitate cu pregătirea nivelului clasei.
Vă dau cheia testului pentru autotest. Criterii: trece - nu trece.
III. Sarcină educațională și practică (pasul 3) + pasul 4. (elevii înșiși vor formula proprietățile)
În timpul rezolvării problemelor 1) și 2), elevii propun o soluție, iar eu, ca profesor, organizez clasa pentru a găsi o modalitate de a simplifica puterile la înmulțirea cu aceleași baze.
Profesor: găsiți o modalitate de a simplifica puterile atunci când înmulțiți cu aceleași baze.
Pe cluster apare o intrare:
Tema lecției este formulată. Înmulțirea puterilor.
Profesor: veniți cu o regulă pentru împărțirea puterilor cu aceleași baze.
Raționament: ce acțiune este folosită pentru a verifica împărțirea? a 5: a 3 = ? că a 2 a 3 = a 5
Revin la diagramă - un grup și adaug la intrare - .. la împărțire, scădem și adăugăm subiectul lecției. ...și împărțirea gradelor.
IV. Comunicarea elevilor a limitelor cunoștințelor (ca minim și maxim).
Profesor: sarcina minimă pentru lecția de astăzi este să înveți să aplici proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceleași baze, iar sarcina maximă este să aplici înmulțirea și împărțirea împreună.
Scriem pe tablă : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n
V. Organizarea studierii materialelor noi. (pasul 5)
a) Conform manualului: Nr. 403 (a, c, e) sarcini cu diferite formulări
nr. 404 (a, d, f) muncă independentă, apoi organizez un control reciproc si dau cheile.
b) Pentru ce valoare a lui m este valabilă egalitatea? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Sarcina: veniți cu exemple similare pentru împărțire.
c) nr. 417 (a), nr. 418 (a) Capcane pentru elevi: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.
VI. Rezumarea a ceea ce s-a învățat, efectuarea lucrărilor de diagnosticare (care încurajează elevii, și nu profesorul, să studieze acest subiect) (pasul 6)
Munca de diagnosticare.
Test(asezati cheile pe dosul aluatului).
Opțiuni de activitate: reprezentați coeficientul x 15 ca putere: x 3; reprezintă ca putere produsul (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; pentru care m este valabilă egalitatea a 16 a m = a 32? aflați valoarea expresiei h 0: h 2 la h = 0,2; se calculează valoarea expresiei (5 2 5 0) : 5 2 .
Rezumatul lecției. Reflecţie.Împărțim clasa în două grupe.
Găsiți argumente în grupa I: în favoarea cunoașterii proprietăților gradului, iar grupa II - argumente care vor spune că vă puteți descurca fără proprietăți. Ascultăm toate răspunsurile și tragem concluzii. În lecțiile ulterioare, puteți oferi date statistice și puteți numi rubrica „Este nebun!”
VII. Teme pentru acasă.
Referință istorică. Ce numere se numesc numere Fermat.
P.19. Nr. 403, Nr. 408, Nr. 417
Cărți folosite:
Proprietăți ale gradelor, formulări, dovezi, exemple.
După ce puterea unui număr a fost determinată, este logic să vorbim despre proprietăți de grad. În acest articol vom oferi proprietățile de bază ale puterii unui număr, în timp ce atingem totul indicatori posibili grade. Aici vom oferi dovezi ale tuturor proprietăților gradelor și, de asemenea, vom arăta cum sunt utilizate aceste proprietăți la rezolvarea exemplelor.
Navigare în pagină.
Proprietăți ale gradelor cu exponenți naturali
Prin definiția unei puteri cu exponent natural, puterea a n este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Pe baza acestei definiții și, de asemenea, folosind proprietățile înmulțirii numerelor reale, putem obține și justifica următoarele proprietăți de grad cu exponent natural:
- dacă a>0, atunci a n>0 pentru orice număr natural n;
- dacă a=0, atunci a n =0;
- dacă a 2·m >0 , dacă a 2·m−1 n ;
- dacă m și n sunt numere naturale astfel încât m>n, atunci pentru 0m n, iar pentru a>0 inegalitatea a m >a n este adevărată.
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- dacă n este un număr întreg pozitiv, a și b sunt numere pozitive și a n n și a −n >b −n ;
- dacă m și n sunt numere întregi și m>n, atunci pentru 0m n, iar pentru a>1 inegalitatea a m >a n este valabilă.
Să observăm imediat că toate egalitățile scrise sunt identicîn condițiile specificate, atât părțile din dreapta cât și cele din stânga pot fi schimbate. De exemplu, proprietatea principală a fracției a m ·a n =a m+n cu simplificarea expresiilor folosit adesea sub forma a m+n =a m ·a n .
Acum să ne uităm la fiecare dintre ele în detaliu.
Să începem cu proprietatea produsului a două puteri cu aceleași baze, care se numește principala proprietate a gradului: pentru orice număr real a și orice număr natural m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată.
Să demonstrăm principala proprietate a gradului. Prin definiția unei puteri cu exponent natural, produsul puterilor cu baze identice de forma a m ·a n poate fi scris ca produs 
. Datorită proprietăților înmulțirii, expresia rezultată poate fi scrisă ca 
, iar acest produs este o putere a numărului a cu exponent natural m+n, adică un m+n. Aceasta completează dovada.
Să dăm un exemplu care confirmă proprietatea principală a gradului. Să luăm grade cu aceleași baze 2 și puteri naturale 2 și 3, folosind proprietatea de bază a gradelor putem scrie egalitatea 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Să-i verificăm validitatea calculând valorile expresiilor 2 2 · 2 3 și 2 5 . Efectuând exponențierea, avem 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 și 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 , deoarece obținem valori egale, atunci egalitatea 2 2 ·2 3 =2 5 este corect și confirmă proprietatea principală a gradului.
Proprietatea de bază a unui grad, bazată pe proprietățile înmulțirii, poate fi generalizată la produsul a trei sau mai multe puteri cu aceleași baze și exponenți naturali. Deci pentru orice număr k de numere naturale n 1 , n 2 , …, n k egalitatea a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k este adevărată.
De exemplu, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Putem trece la următoarea proprietate a puterilor cu un exponent natural – proprietatea puterilor coeficiente cu aceleasi baze: pentru orice număr real diferit de zero a și numere naturale arbitrare m și n care îndeplinesc condiția m>n, egalitatea a m:a n =a m−n este adevărată.
Înainte de a da o dovadă a acestei proprietăți, să discutăm sensul conditii suplimentareîn redactare. Condiția a≠0 este necesară pentru a evita împărțirea la zero, deoarece 0 n =0, iar când ne-am familiarizat cu împărțirea, am convenit că nu putem împărți la zero. Se introduce condiția m>n astfel încât să nu depășim exponenții naturali. Într-adevăr, pentru m>n exponentul a m−n este un număr natural, altfel va fi fie zero (ceea ce se întâmplă pentru m−n) fie un număr negativ (ceea ce se întâmplă pentru m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m. Din egalitatea rezultată a m−n ·a n =a m și din legătura dintre înmulțire și împărțire rezultă că un m−n este un cât de puteri a m și an n. Aceasta demonstrează proprietatea câte de puteri cu aceleasi baze.
Să dăm un exemplu. Să luăm două grade cu aceleași baze π și exponenți naturali 5 și 2, egalitatea π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 corespunde proprietății considerate a gradului.
Acum să luăm în considerare proprietatea puterii produsului: puterea naturală n a produsului a oricăror două numere reale a și b este egală cu produsul puterilor a n și b n , adică (a·b) n =a n ·b n .
Într-adevăr, prin definiția unui grad cu exponent natural, avem 
. Pe baza proprietăților înmulțirii, ultimul produs poate fi rescris ca 
, care este egal cu a n · b n .
Iată un exemplu: 
.
Această proprietate se extinde la puterea produsului a trei sau mai mulți factori. Adică, proprietatea gradului natural n a unui produs de k factori se scrie ca (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Pentru claritate, vom arăta această proprietate cu un exemplu. Pentru produsul a trei factori la puterea lui 7 avem .
Următoarea proprietate este proprietatea unui coeficient în natură: câtul numerelor reale a și b, b≠0 la puterea naturală n este egal cu câtul puterilor a n și b n, adică (a:b) n =a n:b n.
Dovada poate fi efectuată folosind proprietatea anterioară. Deci (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , iar din egalitatea (a:b) n ·b n =a n rezultă că (a:b) n este câtul dintre diviziune a n pe bn.
Să scriem această proprietate folosind numere specifice ca exemplu: 
.
Acum, hai să-i spunem proprietatea de a ridica o putere la o putere: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, puterea lui a m la puterea lui n este egală cu puterea numărului a cu exponent m·n, adică (a m) n =a m·n.
De exemplu, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.
Dovada proprietății putere-la-grad este următorul lanț de egalități: 
.
Proprietatea luată în considerare poate fi extinsă grad în grad, etc. De exemplu, pentru orice numere naturale p, q, r și s, egalitatea 
. Pentru o mai mare claritate, să dăm un exemplu cu numere specifice: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.
Rămâne să ne oprim asupra proprietăților de a compara grade cu un exponent natural.
Să începem prin a demonstra proprietatea de a compara zero și putere cu un exponent natural.
Mai întâi, să demonstrăm că a n >0 pentru orice a>0.
Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv, după cum reiese din definiția înmulțirii. Acest fapt și proprietățile înmulțirii sugerează că rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive va fi, de asemenea, un număr pozitiv. Iar puterea unui număr a cu exponent natural n, prin definiție, este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Aceste argumente ne permit să afirmăm că pentru orice bază pozitivă a, gradul a n este un număr pozitiv. Datorită proprietății dovedite 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 și 
.
Este destul de evident că pentru orice număr natural n cu a=0 gradul lui n este zero. Într-adevăr, 0 n =0·0·…·0=0 . De exemplu, 0 3 =0 și 0 762 =0.
Să trecem la bazele negative ale gradului.
Să începem cu cazul în care exponentul este un număr par, să-l notăm ca 2·m, unde m este un număr natural. Apoi 
. Conform regulii de înmulțire a numerelor negative, fiecare dintre produsele formei a·a este egal cu produsul valorilor absolute ale numerelor a și a, ceea ce înseamnă că este un număr pozitiv. Prin urmare, produsul va fi, de asemenea, pozitiv 
și gradul a 2·m. Să dăm exemple: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 și .
În cele din urmă, când baza a este un număr negativ și exponentul este un număr impar 2 m−1, atunci 
. Toate produsele a·a sunt numere pozitive, produsul acestor numere pozitive este de asemenea pozitiv, iar înmulțirea lui cu numărul negativ rămas a are ca rezultat un număr negativ. Datorită acestei proprietăți (−5) 3 17 n n este produsul dintre laturile stângă și dreaptă ale n inegalități adevărate a proprietățile inegalităților, este adevărată și o inegalitate demonstrabilă de forma a n n. De exemplu, datorită acestei proprietăți, inegalitățile 3 7 7 și 
.
Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale puterilor cu exponenți naturali. Să o formulăm. Dintre două puteri cu exponenți naturali și baze pozitive identice mai mici decât una, cea al cărei exponent este mai mic este mai mare; iar a două puteri cu exponenți naturali și baze identice mai mari decât una, cea al cărei exponent este mai mare este mai mare. Să trecem la dovedirea acestei proprietăți.
Să demonstrăm că pentru m>n și 0m n . Pentru a face acest lucru, notăm diferența a m − a n și o comparăm cu zero. Diferența înregistrată, după scoaterea a n din paranteze, va lua forma a n ·(a m−n−1) . Produsul rezultat este negativ ca produsul dintre un număr pozitiv a n și un număr negativ a m−n −1 (a n este pozitiv ca putere naturală a unui număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este negativă, deoarece m−n >0 datorita conditiei initiale m>n, de unde rezulta ca atunci cand 0m−n este mai mic decat unitatea). Prin urmare, a m −a n m n , care este ceea ce trebuia demonstrat. Ca exemplu, dăm inegalitatea corectă.
Rămâne de dovedit a doua parte a proprietății. Să demonstrăm că pentru m>n și a>1 a m >a n este adevărat. Diferența a m −a n după scoaterea a n din paranteze ia forma a n ·(a m−n −1) . Acest produs este pozitiv, deoarece pentru a>1 gradul a n este un număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este un număr pozitiv, deoarece m−n>0 datorită condiției inițiale, iar pentru a>1 gradul un m−n este mai mare decât unu. În consecință, a m −a n >0 și a m >a n , care este ceea ce trebuia demonstrat. Această proprietate este ilustrată de inegalitatea 3 7 >3 2.
Proprietățile puterilor cu exponenți întregi
Deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, atunci toate proprietățile puterilor cu exponenți întregi pozitivi coincid exact cu proprietățile puterilor cu exponenți naturali enumerate și dovedite în paragraful anterior.
Am definit un grad cu un exponent întreg negativ, precum și un grad cu un exponent zero, în așa fel încât toate proprietățile gradelor cu exponenți naturali, exprimate prin egalități, să rămână valabile. Prin urmare, toate aceste proprietăți sunt valabile atât pentru exponenții zero, cât și pentru exponenții negativi, în timp ce, desigur, bazele puterilor sunt diferite de zero.
Deci, pentru orice numere reale și non-nule a și b, precum și pentru orice numere întregi m și n, următoarele sunt adevărate: proprietățile puterilor cu exponenți întregi:
Când a=0, puterile a m și a n au sens numai atunci când ambele m și n sunt numere întregi pozitive, adică numere naturale. Astfel, proprietățile tocmai scrise sunt valabile și pentru cazurile în care a=0 și numerele m și n sunt numere întregi pozitive.
Demonstrarea fiecăreia dintre aceste proprietăți nu este dificilă; pentru a face acest lucru, este suficient să folosiți definițiile de grade cu exponenți naturali și întregi, precum și proprietățile operațiilor cu numere reale. Ca exemplu, să demonstrăm că proprietatea putere-la-putere este valabilă atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Pentru a face acest lucru trebuie să arătăm că dacă p este zero sau numar naturalși q este zero sau un număr natural, atunci egalitățile (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p)·q, (a p) −q =a p·(−q) și ( a −p) −q =a (−p)·(−q) . Hai să o facem.
Pentru p și q pozitive, egalitatea (a p) q =a p·q a fost dovedită în paragraful anterior. Dacă p=0, atunci avem (a 0) q =1 q =1 și a 0·q =a 0 =1, de unde (a 0) q =a 0·q. În mod similar, dacă q=0, atunci (a p) 0 =1 și a p·0 =a 0 =1, de unde (a p) 0 =a p·0. Dacă ambele p=0 și q=0, atunci (a 0) 0 =1 0 =1 și a 0·0 =a 0 =1, de unde (a 0) 0 =a 0·0.
Acum demonstrăm că (a −p) q =a (−p)·q . Prin definiția unei puteri cu un exponent întreg negativ, atunci 
. Prin proprietatea coeficientilor la puteri pe care le avem 
. Deoarece 1 p =1·1·…·1=1 și , atunci . Ultima expresie, prin definiție, este o putere de forma a −(p·q), care, datorită regulilor de înmulțire, poate fi scrisă ca a (−p)·q.
De asemenea 
.
ȘI 
.
Folosind același principiu, puteți demonstra toate celelalte proprietăți ale unui grad cu un exponent întreg, scris sub formă de egalități.
În penultima dintre proprietățile înregistrate, merită să ne oprim asupra dovezii inegalității a −n >b −n, care este valabilă pentru orice număr întreg negativ −n și orice a și b pozitiv pentru care condiția a este îndeplinită. . Să notăm și să transformăm diferența dintre părțile din stânga și din dreapta acestei inegalități: 
. Întrucât prin condiția a n n , prin urmare, b n −a n >0 . Produsul a n · b n este de asemenea pozitiv ca produsul numerelor pozitive a n și b n . Atunci fracția rezultată este pozitivă ca câtul numerelor pozitive b n −a n și a n ·b n . Prin urmare, de unde a −n >b −n , care este ceea ce trebuia demonstrat.
Ultima proprietate a puterilor cu exponenți întregi este demonstrată în același mod ca proprietate similară grade cu indicatori naturali.
Proprietățile puterilor cu exponenți raționali
Am definit un grad cu un exponent fracționar extinzându-i proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Cu alte cuvinte, puterile cu exponenți fracționari au aceleași proprietăți ca și puterile cu exponenți întregi. Și anume:
- proprietatea produsului de puteri cu aceleaşi baze
pentru a>0 și dacă și, atunci pentru a≥0; - proprietatea puterilor coeficiente cu aceleasi baze
pentru a>0; - proprietatea unui produs la o putere fracționată
pentru a>0 și b>0 și dacă și, atunci pentru a≥0 și (sau) b≥0; - proprietatea unui coeficient la o putere fracționară
pentru a>0 și b>0 și dacă , atunci pentru a≥0 și b>0; - proprietate de la grad la grad
pentru a>0 și dacă și, atunci pentru a≥0; - proprietatea de a compara puteri cu exponenți raționali egali: pentru orice numere pozitive a și b, a 0 inegalitatea a p p este adevărată, iar pentru p p >b p ;
- proprietatea de a compara puteri cu exponenți raționali și baze egale: pentru numerele raționale p și q, p>q pentru 0p q, iar pentru a>0 – inegalitatea a p >a q.
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- pentru orice numere pozitive a și b, a 0 inegalitatea a p p este adevărată, iar pentru p p >b p ;
- pentru numerele iraționale p și q, p>q pentru 0p q, iar pentru a>0 – inegalitatea a p >a q.
Dovada proprietăților gradelor cu exponenți fracționari se bazează pe definirea unui grad cu exponent fracționar, pe proprietățile rădăcină aritmetică al n-lea grad și asupra proprietăților unui grad cu exponent întreg. Să oferim dovezi.
Prin definiția unei puteri cu exponent fracționar și , atunci 
. Proprietățile rădăcinii aritmetice ne permit să scriem următoarele egalități. În plus, folosind proprietatea unui grad cu exponent întreg, obținem , din care, prin definiția unui grad cu exponent fracționar, avem 
, iar indicatorul gradului obţinut poate fi transformat astfel: . Aceasta completează dovada.
A doua proprietate a puterilor cu exponenți fracționari este demonstrată într-un mod absolut similar: 
Egalitățile rămase sunt dovedite folosind principii similare: 
Să trecem la demonstrarea următoarei proprietăți. Să demonstrăm că pentru orice a și b pozitiv, a 0 inegalitatea a p p este adevărată, iar pentru p p >b p . Să scriem numărul rațional p ca m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Condițiile p 0 în acest caz vor fi echivalente cu condițiile m 0, respectiv. Pentru m>0 și am m . Din această inegalitate, prin proprietatea rădăcinilor, avem, și întrucât a și b sunt numere pozitive, atunci, pe baza definiției unui grad cu exponent fracționar, inegalitatea rezultată poate fi rescrisă ca, adică a p p .
În mod similar, pentru m m >b m , de unde, adică a p >b p .
Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q, p>q pentru 0p q, iar pentru a>0 – inegalitatea a p >a q. Putem reduce întotdeauna numerele raționale p și q la un numitor comun, chiar dacă obținem fracții obișnuite și , unde m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. În acest caz, condiția p>q va corespunde condiției m 1 >m 2, care rezultă din regula de comparație fracții obișnuite cu aceiași numitori. Apoi, prin proprietatea de a compara grade cu aceleași baze și exponenți naturali, pentru 0m 1 m 2, iar pentru a>1, inegalitatea a m 1 >a m 2. Aceste inegalități în proprietățile rădăcinilor pot fi rescrise în consecință ca 
Și 
. Iar definirea unui grad cu exponent rațional ne permite să trecem la inegalități și, în consecință. De aici tragem concluzia finală: pentru p>q și 0p q , iar pentru a>0 – inegalitatea a p >a q .
Proprietățile puterilor cu exponenți iraționali
Din modul în care este definit un grad cu exponent irațional, putem concluziona că are toate proprietățile gradelor cu exponent rațional. Deci pentru orice a>0, b>0 și numere iraționale p și q următoarele sunt adevărate proprietățile puterilor cu exponenți iraționali:
Din aceasta putem concluziona că puterile cu orice exponenți reali p și q pentru a>0 au aceleași proprietăți.
- Algebră - clasa a X-a. Ecuații trigonometrice Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice” Materiale suplimentare Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, sugestiile voastre! Toate materialele […]
- Este deschis un concurs pentru postul „VÂNZĂTOR - CONSULTANT”: Responsabilități: vânzări telefoane mobileși accesorii pentru serviciul de comunicații mobile pentru abonații Beeline, Tele2, MTS conectarea planurilor și serviciilor tarifare Beeline și Tele2, consultanță MTS […]
- Formula paralelipiped Un paralelipiped este un poliedru cu 6 fețe, fiecare dintre ele fiind un paralelogram. Un cuboid este un paralelipiped a cărui față este un dreptunghi. Orice paralelipiped este caracterizat de 3 […]
- ORTOGRAFIA N ȘI NN ÎN DIFERITE PĂRȚI DE DISCURS S.G.ZELINSKAYA MATERIAL DIDACTIC Exercițiu teoretic 1. Când se scrie nn în adjective? 2. Numiți excepțiile de la aceste reguli. 3. Cum să distingem un adjectiv verbal cu sufixul -n- de un participiu cu […]
- INSPECȚIA GOSTEKHNADZOR AL REGIUNII BRYANSK Chitanță pentru plata taxei de stat (Descărcare-12,2 kb) Cereri de înregistrare pentru persoane fizice (Descărcare-12 kb) Cereri de înregistrare pentru persoane juridice (Descărcare-11,4 kb) 1. La înmatricularea unei mașini noi: 1.cerere 2.pașaport […]
- Societatea pentru Protecția Drepturilor Consumatorului Astana Pentru a primi un cod PIN pentru a accesa acest document pe site-ul nostru, trimiteți un mesaj SMS cu textul zan la numărul Abonaților operatorilor GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) prin trimiterea unui SMS la un număr, […]
- Adopta legea cu privire la averea familiei Accept legea federală privind alocarea gratuită fiecărui cetățean care dorește Federația Rusă sau o familie de cetățeni ai unui teren pentru dezvoltarea unei proprietăți familiale pe acesta în următoarele condiții: 1. Lotul este alocat pentru […]
- Pivoev V.M. Filosofia și metodologia științei: tutorial pentru masteranzi și absolvenți Petrozavodsk: Editura PetrSU, 2013. - 320 p. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Manualul este destinat studenților seniori, masteranzilor și absolvenților de […]
Primul nivel
Gradul și proprietățile sale. Ghid cuprinzător (2019)
De ce sunt necesare diplome? Unde vei avea nevoie de ele? De ce ar trebui să-ți faci timp să le studiezi?
Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt acestea, cum să vă folosiți cunoștințele Viata de zi cu zi citeste acest articol.
Și, desigur, cunoștințele de grade te vor apropia de finalizarea cu succes OGE sau examen de stat unificat și admitere la universitatea visurilor tale.
Sa mergem sa mergem!)
Notă importantă! Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).
PRIMUL NIVEL
Exponentiația este o operație matematică la fel ca adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.
Acum voi explica totul în limbajul uman în foarte exemple simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.
Să începem cu adăugarea.
Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Toată lumea are două sticle de cola. Câtă cola este? Așa este - 16 sticle.
Acum înmulțirea.
Același exemplu cu cola poate fi scris diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi găsesc o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.
Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…
Iată tabla înmulțirii. Repeta.
Și încă unul, mai frumos:
Cu ce alte trucuri inteligente de numărare au venit matematicienii leneși? Dreapta - ridicarea unui număr la o putere.
Ridicarea unui număr la o putere
Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acel număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este... Și rezolvă astfel de probleme în capul lor - mai rapid, mai ușor și fără greșeli.
Tot ce trebuie să faci este amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, asta îți va face viața mult mai ușoară.
Apropo, de ce se numește gradul doi? pătrat numere, iar al treilea - cub? Ce înseamnă? Foarte buna intrebare. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.
Exemplul #1 din viața reală
Să începem cu pătratul sau cu a doua putere a numărului.
Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară un metru pe un metru. Piscina este la casa ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... piscina nu are fund! Trebuie să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona de jos a piscinei.
Puteți calcula pur și simplu arătând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă aveți plăci de un metru cu un metru, veți avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut astfel de plăci? Placa va fi cel mai probabil cm cu cm. Și apoi vei fi torturat „numărând cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei vom potrivi plăci (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțiți cu și obțineți plăci ().
Ați observat că pentru a determina suprafața fundului piscinei am înmulțit același număr de la sine? Ce înseamnă? Deoarece înmulțim același număr, putem folosi tehnica „exponențiării”. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea lor la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule Pentru examenul de stat unificat, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la a doua putere va fi (). Sau putem spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.
Exemplul #2 din viața reală
Iată o sarcină pentru tine: numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a calcula numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt sau... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Vei primi celule. () Asa de?
Exemplul #3 din viața reală
Acum cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, apropo, sunt măsurate în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați o piscină: un fund care măsoară un metru și o adâncime de un metru și încercați să numărați câte cuburi care măsoară un metru pe un metru vor încăpea în piscina dvs.
Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Câți ai primit? Nu ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?
Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă ar simplifica și asta. Am redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Ce înseamnă asta? Asta înseamnă că poți profita de grad. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu degetul, ei fac într-o singură acțiune: trei cuburi sunt egali. Este scris astfel: .
Tot ce rămâne este amintiți-vă tabelul gradelor. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.
Ei bine, pentru a te convinge în sfârșit că diplomele au fost inventate de cei care au renunțat și de oameni vicleni pentru a le rezolva pe ale lor probleme de viata, și nu pentru a vă crea probleme, iată încă câteva exemple din viață.
Exemplul #4 din viața reală
Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, faci încă un milion. Adică fiecare milion pe care îl ai se dublează la începutul fiecărui an. Câți bani vei avea peste ani? Dacă stai acum și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și... proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Deci, în primul an - doi înmulțiți cu doi... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește de ori cu el însuși. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți o competiție și cel care poate număra cel mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți puterile numerelor, nu crezi?
Exemplul #5 din viața reală
Ai un milion. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, mai câștigi două. Grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... Este deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci la a patra putere este egal cu un milion. Trebuie doar să vă amintiți că trei până la a patra putere este sau.
Acum știi că, ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.
Termeni și concepte... ca să nu se încurce
Deci, mai întâi, să definim conceptele. Ce crezi, ce este un exponent? Este foarte simplu - este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...
Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu - acesta este numărul care se află mai jos, la bază.
Iată un desen pentru o măsură bună.
Păi înăuntru vedere generala, pentru a generaliza și a reține mai bine... Un grad cu o bază „ ” și un exponent „ ” se citește „la grad” și se scrie astfel:
Puterea unui număr cu exponent natural
Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite la numărare la enumerarea obiectelor: unu, doi, trei... Când numărăm obiecte, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. De asemenea, nu spunem: „o treime” sau „zero virgulă cinci”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce numere crezi că sunt acestea?
Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și numărul. Zero este ușor de înțeles - este atunci când nu există nimic. Ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a indica datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.
Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că le lipsesc numerele naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale... Interesant, nu-i așa?
Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, nesfârșit zecimal. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, obțineți un număr irațional.
Rezumat:
Să definim conceptul de grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).
- Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
- A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
- A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:
Definiție. Ridicați numărul la grad natural- înseamnă înmulțirea unui număr cu el însuși ori:
.
Proprietățile grade
De unde au venit aceste proprietăți? Îți voi arăta acum.
Să vedem: ce este Și ?
Prioritate A:
Câți multiplicatori există în total?
Este foarte simplu: am adăugat multiplicatori la factori, iar rezultatul sunt multiplicatori.
Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică: , care este ceea ce trebuia demonstrat.
Exemplu: Simplificați expresia.
Soluţie:
Exemplu: Simplificați expresia.
Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie sa fie aceleasi motive!
Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:
numai pentru produsul puterilor!
Sub nicio formă nu poți scrie asta.
2. asta e puterea a unui număr
La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:
Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:
În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total:
Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem?
Dar acest lucru nu este adevărat, până la urmă.
Putere cu bază negativă
Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.
Dar care ar trebui să fie baza?
În puteri de indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar.
Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?
De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.
Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, funcționează.
Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Ai reușit?
Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.
Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).
Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!
6 exemple de exersat
Analiza soluției 6 exemple
Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:
Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, regula s-ar putea aplica.
Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.
În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze.
Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!
Să revenim la exemplu:
Și din nou formula:
Întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adică luate cu semnul " ") și numărul.
număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.
Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.
Orice număr la puterea zero este egal cu unu:
Ca întotdeauna, să ne întrebăm: de ce este așa?
Să luăm în considerare un anumit grad cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:
Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și - . Cu ce număr ar trebui să înmulțiți ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.
Putem face același lucru cu un număr arbitrar:
Să repetăm regula:
Orice număr la puterea zero este egal cu unu.
Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).
Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ați înmulți zero de la sine, veți obține în continuare zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr la puterea zero, trebuie să fie egal. Deci cât de mult din asta este adevărat? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.
Sa trecem peste. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ și numere negative. Pentru a înțelege ce este o putere negativă, să facem ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același număr la o putere negativă:
De aici este ușor să exprimi ceea ce cauți:
Acum să extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:
Deci, haideți să formulăm o regulă:
Un număr la o putere negativă este reciproca aceluiași număr la grad pozitiv. Dar in acelasi timp Baza nu poate fi nulă:(pentru că nu poți împărți cu).
Să rezumăm:
I. Expresia nu este definită în cauză. Daca atunci.
II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .
III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .
Sarcini pentru soluție independentă:
Ei bine, ca de obicei, exemple pentru soluții independente:
Analiza problemelor pentru rezolvare independentă:
Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examenul de stat unificat trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluțiile dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța să le faci față cu ușurință la examen!
Să continuăm să extindem gama de numere „adecvate” ca exponent.
Acum să luăm în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?
Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi și.
Pentru a înțelege ce este "grad fractionar", luați în considerare fracția:
Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:
Acum să ne amintim regula despre "grad la grad":
Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?
Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.
Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal cu.
Adică rădăcina puterii-a este operația inversă de ridicare la o putere: .
Se pare că. Evident asta caz special poate fi extins: .
Acum adăugăm numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut folosind regula putere-la-putere:
Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.
Nici unul!
Să ne amintim regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi chiar și rădăcini din numere negative!
Aceasta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu un numitor par, adică expresia nu are sens.
Dar expresia?
Dar aici apare o problemă.
Numărul poate fi reprezentat sub forma altor fracții reductibile, de exemplu, sau.
Și se dovedește că există, dar nu există, dar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.
Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar dacă notăm indicatorul diferit, vom avea din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).
Pentru a evita astfel de paradoxuri, luăm în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.
Astfel, dacă:
- - numar natural;
- - întreg;
Exemple:
Exponenții raționali sunt foarte utili pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:
5 exemple de exersat
Analiza a 5 exemple pentru antrenament
Ei bine, acum vine partea cea mai grea. Acum ne vom da seama grad cu exponent irațional.
Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu un exponent rațional, cu excepția
La urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).
Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.
De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;
...număr la puterea zero- acesta este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumit „număr gol” , și anume un număr;
...gradul întreg negativ- este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.
Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real.
Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.
UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (daca inveti sa rezolvi astfel de exemple :))
De exemplu:
Decide pentru tine:
Analiza solutiilor:
1. Să începem cu regula obișnuită pentru ridicarea unei puteri la o putere:
Acum uită-te la indicator. Nu-ți aduce aminte de nimic? Să ne amintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:
În acest caz,
Se pare că:
Răspuns: .
2. Reducem fracțiile în exponenți la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Primim, de exemplu:
Raspuns: 16
3. Nimic special, să-l folosim proprietăți normale grade:
NIVEL AVANSAT
Determinarea gradului
Un grad este o expresie de forma: , unde:
- — baza gradului;
- - exponent.
Gradul cu indicator natural (n = 1, 2, 3,...)
Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:
Gradul cu un exponent întreg (0, ±1, ±2,...)
Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:
Constructie la gradul zero:
Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.
Dacă exponentul este întreg negativ număr:
(pentru că nu poți împărți cu).
Încă o dată despre zerouri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.
Exemple:
Putere cu exponent rațional
- - numar natural;
- - întreg;
Exemple:
Proprietățile grade
Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.
Să vedem: ce este și?
Prioritate A:
Deci, în partea dreaptă a acestei expresii obținem următorul produs:
Dar, prin definiție, este o putere a unui număr cu exponent, adică:
Q.E.D.
Exemplu : Simplificați expresia.
Soluţie : .
Exemplu : Simplificați expresia.
Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie să existe aceleași motive. Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:
O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produs de puteri!
Sub nicio formă nu poți scrie asta.
La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:
Să regrupăm această lucrare astfel:
Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:
În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total: !
Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem? Dar acest lucru nu este adevărat, până la urmă.
Putere cu o bază negativă.
Până acum am discutat doar cum ar trebui să fie index grade. Dar care ar trebui să fie baza? În puteri de natural indicator baza poate fi orice număr .
Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?
De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? A? ?
Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.
Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem - .
Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară semnul se va schimba. Putem formula următoarele reguli simple:
- chiar grad, - număr pozitiv.
- Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
- Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
- Zero la orice putere este egal cu zero.
Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Ai reușit? Iată răspunsurile:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.
În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).
Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă ne amintim asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.
Și din nou folosim definiția gradului:
Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unul la altul, le împărțim în perechi și obținem:
Înainte să ne uităm la ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.
Calculați expresiile:
Soluții :
Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!
Primim:
Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.
Dacă îl înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum se dovedește așa:
În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze. Dar este important de reținut: Toate semnele se schimbă în același timp! Nu îl puteți înlocui cu un singur dezavantaj care nu ne place!
Să revenim la exemplu:
Și din nou formula:
Deci acum ultima regulă:
Cum vom demonstra? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de diplomă și să-l simplificăm:
Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere sunt în total? ori prin multiplicatori - de ce vă amintește asta? Aceasta nu este altceva decât o definiție a unei operațiuni multiplicare: Erau doar multiplicatori acolo. Adică, aceasta, prin definiție, este o putere a unui număr cu un exponent:
Exemplu:
Gradul cu exponent irațional
Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un exponent irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția numerelor raționale).
Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr la puterea zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare rezultatul este doar un anumit „număr necompletat”, și anume un număr; un grad cu un exponent negativ întreg - este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.
Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Este mai degrabă un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.
Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real. Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.
Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)
De exemplu:
Decide pentru tine:
| 1) | 2) | 3) |
Raspunsuri:
- Să ne amintim formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
- Reducem fracțiile la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
- Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:
REZUMATUL SECȚIUNII ȘI FORMULELE DE BAZĂ
grad numită expresie de forma: , unde:
Gradul cu un exponent întreg
un grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).
Putere cu exponent rațional
grad, al cărui exponent este numerele negative și fracționale.
Gradul cu exponent irațional
un grad al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.
Proprietățile grade
Caracteristicile diplomelor.
- Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
- Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
- Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
- Zero este egal cu orice putere.
- Orice număr până la puterea zero este egal.
ACUM AI CUVÂNTUL...
Cum îți place articolul? Scrie mai jos în comentarii dacă ți-a plăcut sau nu.
Povestește-ne despre experiența ta de utilizare a proprietăților de grad.
Poate ai intrebari. Sau sugestii.
Scrieți în comentarii.
Și mult succes la examene!
Lecție pe tema: "Reguli de înmulțire și împărțire a puterilor cu aceiași și diferiți exponenți. Exemple"
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a VII-a
Manual pentru manualul Yu.N. Makarycheva Manual pentru manual de A.G. Mordkovici
Scopul lecției: învățați să efectuați operații cu puteri ale numerelor.
În primul rând, să ne amintim conceptul de „putere a numărului”. O expresie de forma $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ poate fi reprezentată ca $a^n$.
Este adevărat și invers: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Această egalitate se numește „înregistrarea gradului ca produs”. Ne va ajuta să stabilim cum să înmulțim și să împărțim puterile.
Tine minte:
A– baza diplomei.
n– exponent.
Dacă n=1, ceea ce înseamnă numărul A a luat o dată și în consecință: $a^n= 1$.
Dacă n= 0, atunci $a^0= 1$.
Putem afla de ce se întâmplă acest lucru atunci când ne familiarizăm cu regulile înmulțirii și împărțirii puterilor.
Reguli de multiplicare
a) Dacă se înmulțesc puteri cu aceeași bază.Pentru a obține $a^n * a^m$, scriem gradele ca produs: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Figura arată că numărul A am luat n+m ori, atunci $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Exemplu.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Această proprietate este convenabilă de utilizat pentru a simplifica munca la ridicarea unui număr la o putere mai mare.
Exemplu.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Dacă se înmulțesc grade cu baze diferite, dar același exponent.
Pentru a obține $a^n * b^n$, scriem gradele ca produs: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Dacă schimbăm factorii și numărăm perechile rezultate, obținem: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Deci $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Exemplu.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Regulile de diviziune
a) Baza gradului este aceeași, indicatorii sunt diferiți.Luați în considerare împărțirea unei puteri cu un exponent mai mare prin împărțirea unei puteri cu un exponent mai mic.
Deci, avem nevoie $\frac(a^n)(a^m)$, Unde n>m.
Să scriem gradele ca fracție:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Pentru comoditate, scriem împărțirea ca o fracție simplă.Acum să reducem fracția.
Rezultă: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Mijloace, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Această proprietate va ajuta la explicarea situației cu ridicarea unui număr la puterea zero. Să presupunem că n=m, atunci $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Exemple.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Bazele gradului sunt diferite, indicatorii sunt aceiași.
Să presupunem că $\frac(a^n)( b^n)$ este necesar. Să scriem puterile numerelor sub formă de fracții:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Pentru comoditate, să ne imaginăm.
Folosind proprietatea fracțiilor, împărțim fracția mare în produsul celor mici, obținem.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
În consecință: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Exemplu.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Fiecare operație aritmetică devine uneori prea greoaie pentru a fi scrisă și încearcă să o simplifice. Acesta a fost cândva cazul cu operația de adăugare. Oamenii trebuiau să efectueze adăugarea repetată de același tip, de exemplu, pentru a calcula costul a o sută de covoare persane, al căror cost este de 3 monede de aur pentru fiecare. 3+3+3+…+3 = 300. Datorită naturii sale greoaie, sa decis să se scurteze notația la 3 * 100 = 300. De fapt, notația „de trei ori o sută” înseamnă că trebuie să luați una sute trei și adună-le împreună. Înmulțirea a prins și a câștigat popularitate generală. Dar lumea nu stă pe loc, iar în Evul Mediu a apărut nevoia de a efectua înmulțiri repetate de același tip. Îmi amintesc o veche ghicitoare indiană despre un înțelept care a cerut boabe de grâu în următoarele cantități ca recompensă pentru munca depusă: pentru primul pătrat al tablei de șah a cerut un bob, pentru al doilea - două, pentru al treilea - patru, pentru al cincilea - opt și așa mai departe. Așa a apărut prima înmulțire a puterilor, deoarece numărul de boabe era egal cu doi cu puterea numărului celulei. De exemplu, pe ultima celulă ar fi 2*2*2*...*2 = 2^63 de boabe, care este egal cu un număr de 18 caractere, care, de fapt, este sensul ghicitorii.
Operația de exponențiere a prins destul de repede și a apărut rapid și nevoia de a efectua adunarea, scăderea, împărțirea și înmulțirea puterilor. Acesta din urmă merită luat în considerare mai detaliat. Formulele de adăugare a puterilor sunt simple și ușor de reținut. În plus, este foarte ușor de înțeles de unde provin ele dacă operația de putere este înlocuită cu înmulțire. Dar mai întâi trebuie să înțelegeți o terminologie de bază. Expresia a^b (a se citi „a la puterea lui b”) înseamnă că numărul a trebuie înmulțit cu el însuși de b ori, „a” fiind numit baza puterii, iar „b” exponentul puterii. Dacă bazele gradelor sunt aceleași, atunci formulele sunt derivate destul de simplu. Exemplu concret: găsiți valoarea expresiei 2^3 * 2^4. Pentru a ști ce ar trebui să se întâmple, ar trebui să aflați răspunsul pe computer înainte de a începe soluția. Introducând această expresie în orice calculator online, motor de căutare, tastând „înmulțirea puterilor cu baze diferite și aceleași” sau într-un pachet matematic, rezultatul va fi 128. Acum să scriem această expresie: 2^3 = 2*2*2, și 2^4 = 2 *2*2*2. Rezultă că 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Se pare că produsul puterilor cu aceeași bază este egal cu baza ridicată la o putere, egal cu suma două grade anterioare.
Ai putea crede că acesta este un accident, dar nu: orice alt exemplu nu poate decât să confirme această regulă. Astfel, în general, formula arată astfel: a^n * a^m = a^(n+m) . Există, de asemenea, o regulă că orice număr la puterea zero este egal cu unu. Aici ar trebui să ne amintim regula puterilor negative: a^(-n) = 1 / a^n. Adică, dacă 2^3 = 8, atunci 2^(-3) = 1/8. Folosind această regulă, puteți demonstra validitatea egalității a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) poate fi redus și unul rămâne. De aici se deduce regula că câtul puterilor cu aceleași baze este egal cu această bază într-un grad egal cu câtul dintre dividend și divizor: a^n: a^m = a^(n-m) . Exemplu: simplificați expresia 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Înmulțirea este o operație comutativă, prin urmare, trebuie să adăugați mai întâi exponenții de înmulțire: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. În continuare, trebuie să te ocupi de diviziunea cu o putere negativă. Este necesar să se scadă exponentul divizorului din exponentul dividendului: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Rezultă că operația de împărțire a gradului la negativ este identică cu operația de înmulțire cu un exponent pozitiv similar. Deci răspunsul final este 8.
Există exemple în care are loc multiplicarea necanonică a puterilor. Înmulțirea puterilor cu baze diferite este adesea mult mai dificilă și uneori chiar imposibilă. Există câteva exemple de diferite tehnici posibile. Exemplu: simplificați expresia 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Evident, există o înmulțire a puterilor cu baze diferite. Dar trebuie remarcat faptul că toate bazele sunt puteri diferite de trei. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Folosind regula (a^n) ^m = a^(n*m) , ar trebui să rescrieți expresia într-o formă mai convenabilă: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Răspuns: 3^11. În cazurile în care există baze diferite, regula a^n * b^n = (a*b) ^n funcționează pentru indicatori egali. De exemplu, 3^3 * 7^3 = 21^3. În caz contrar, atunci când bazele și exponenții sunt diferiți, înmulțirea completă nu poate fi efectuată. Uneori puteți simplifica parțial sau puteți recurge la ajutorul tehnologiei informatice.
Conceptul de licență în matematică este introdus în clasa a VII-a la ora de algebră. Și ulterior, pe parcursul întregului curs de studiere a matematicii, acest concept este utilizat în mod activ în diferitele sale forme. Gradele sunt un subiect destul de dificil, care necesită memorarea valorilor și capacitatea de a număra corect și rapid. Pentru a lucra cu grade mai rapid și mai bine, matematicienii au venit cu proprietăți ale gradului. Ele ajută la reducerea calculelor mari, la transformarea unui exemplu uriaș într-un singur număr într-o anumită măsură. Nu există atât de multe proprietăți și toate sunt ușor de reținut și de aplicat în practică. Prin urmare, articolul discută proprietățile de bază ale gradului, precum și unde sunt aplicate.
Proprietăți ale gradului
Vom analiza 12 proprietăți ale gradelor, inclusiv proprietăți ale gradelor cu aceleași baze, și vom da un exemplu pentru fiecare proprietate. Fiecare dintre aceste proprietăți vă va ajuta să rezolvați mai rapid problemele cu grade și, de asemenea, vă va salva de numeroase erori de calcul.
Prima proprietate.
Mulți oameni uită foarte des de această proprietate și greșesc, reprezentând un număr la puterea zero ca zero.
a 2-a proprietate.
a 3-a proprietate.
Trebuie reținut că această proprietate poate fi folosită numai la înmulțirea numerelor; nu funcționează cu o sumă! Și nu trebuie să uităm că aceasta și următoarele proprietăți se aplică numai puterilor cu aceleași baze.
a 4-a proprietate.
Dacă un număr din numitor este ridicat la o putere negativă, atunci când se scade, gradul numitorului este luat în paranteze pentru a schimba corect semnul în calcule ulterioare.
Proprietatea funcționează doar la împărțire, nu se aplică la scădere!
a 5-a proprietate.
a 6-a proprietate.
Această proprietate poate fi aplicată și la reversul. O unitate împărțită la un număr într-o anumită măsură este acel număr la puterea minus.
a 7-a proprietate.
Această proprietate nu poate fi aplicată la sumă și diferență! Creșterea unei sume sau diferențe la o putere folosește mai degrabă formule de înmulțire abreviate decât proprietățile puterii.
a 8-a proprietate.
a 9-a proprietate.
Această proprietate funcționează pentru orice putere fracționară cu numărător egal cu unu, formula va fi aceeași, doar puterea rădăcinii se va schimba în funcție de numitorul puterii.
Această proprietate este adesea folosită și în sens invers. Rădăcina oricărei puteri a unui număr poate fi reprezentată ca acest număr la puterea unuia împărțită la puterea rădăcinii. Această proprietate este foarte utilă în cazurile în care rădăcina unui număr nu poate fi extrasă.
a 10-a proprietate.
Această proprietate nu funcționează numai cu rădăcină pătrată si gradul doi. Dacă gradul rădăcinii și gradul în care această rădăcină este ridicată coincid, atunci răspunsul va fi o expresie radicală.
a 11-a proprietate.
Trebuie să puteți vedea această proprietate la timp atunci când o rezolvați pentru a vă salva de calcule uriașe.
a 12-a proprietate.
Fiecare dintre aceste proprietăți vă va întâlni de mai multe ori în sarcini; poate fi dat formă pură, și poate necesita unele transformări și aplicarea altor formule. Prin urmare pentru decizia corectă Nu este suficient să cunoști doar proprietățile; trebuie să exersezi și să încorporezi alte cunoștințe matematice.
Aplicarea gradelor și proprietățile acestora
Ele sunt utilizate în mod activ în algebră și geometrie. Licențele în matematică au un loc separat, important. Cu ajutorul lor, ecuațiile și inegalitățile exponențiale sunt rezolvate, iar ecuațiile și exemplele legate de alte ramuri ale matematicii sunt adesea complicate de puteri. Puterile ajută la evitarea calculelor mari și lungi; puterile sunt mai ușor de abreviat și calculat. Dar pentru lucrul cu grade mari, sau cu grade numere mari, trebuie să cunoașteți nu numai proprietățile gradelor, ci și să lucrați competent cu bazele, să le puteți descompune pentru a vă ușura sarcina. Pentru comoditate, ar trebui să cunoașteți și semnificația numerelor ridicate la o putere. Acest lucru vă va reduce timpul la rezolvare, eliminând necesitatea calculelor lungi.
Conceptul de grad joacă un rol special în logaritmi. Deoarece logaritmul, în esență, este o putere a unui număr.
Formulele de multiplicare prescurtate sunt un alt exemplu de utilizare a puterilor. Proprietățile gradelor nu pot fi folosite în ele; ele sunt extinse după reguli speciale, dar în fiecare formulă de înmulțire abreviată există invariabil grade.
De asemenea, diplomele sunt utilizate în mod activ în fizică și informatică. Toate conversiile la sistemul SI se fac folosind puteri, iar în viitor, la rezolvarea problemelor, se folosesc proprietățile puterii. În informatică, puterile lui doi sunt utilizate în mod activ pentru confortul numărării și simplificarea percepției numerelor. Alte calcule pentru conversia unităților de măsură sau calculele problemelor, la fel ca în fizică, au loc folosind proprietățile grade.
Gradele sunt, de asemenea, foarte utile în astronomie, unde rar vezi utilizarea proprietăților unui grad, dar gradele în sine sunt utilizate în mod activ pentru a scurta notarea diferitelor cantități și distanțe.
Gradele sunt, de asemenea, folosite în viață obișnuită, la calcularea suprafețelor, volumelor, distanțelor.
Gradele sunt folosite pentru a înregistra cantități foarte mari și foarte mici în orice domeniu al științei.
Ecuații exponențiale și inegalități
Proprietățile diplomelor ocupă un loc aparte tocmai în ecuații exponențialeși inegalități. Aceste sarcini sunt foarte frecvente, atât la cursurile școlare, cât și la examene. Toate sunt rezolvate prin aplicarea proprietăților de grad. Necunoscutul se găsește întotdeauna în gradul în sine, așa că cunoașterea tuturor proprietăților, rezolvarea unei astfel de ecuații sau inegalități nu este dificilă.
