cea mai mare divizor comun iar cel mai mic multiplu comun sunt concepte aritmetice cheie care vă permit să operați fără efort fracții obișnuite. LCM și sunt cel mai adesea folosite pentru a găsi numitorul comun al mai multor fracții.
Noțiuni de bază
Împărțitorul unui număr întreg X este un alt număr întreg Y prin care X este divizibil fără rest. De exemplu, divizorul lui 4 este 2, iar 36 este 4, 6, 9. Un multiplu al întregului X este un număr Y care este divizibil cu X fără rest. De exemplu, 3 este un multiplu al lui 15, iar 6 este un multiplu al lui 12.
Pentru orice pereche de numere, putem găsi divizorii și multiplii lor comuni. De exemplu, pentru 6 și 9, multiplu comun este 18, iar divizorul comun este 3. Evident, perechile pot avea mai mulți divizori și multipli, astfel încât în calcule se folosesc cel mai mare divizor al MCD și cel mai mic multiplu al LCM. .
Cel mai mic divizor nu are sens, deoarece pentru orice număr este întotdeauna unul. Cel mai mare multiplu este, de asemenea, lipsit de sens, deoarece succesiunea multiplilor tinde spre infinit.
Găsirea GCD
Există multe metode pentru a găsi cel mai mare divizor comun, dintre care cele mai faimoase sunt:
- enumerarea secvențială a divizorilor, selectarea celor comuni pentru o pereche și căutarea celui mai mare dintre ei;
- descompunerea numerelor în factori indivizibili;
- algoritmul lui Euclid;
- algoritm binar.
Astăzi la institutii de invatamant cele mai populare sunt metodele de factorizare prime și algoritmul lui Euclid. Acesta din urmă, la rândul său, este folosit în rezolvarea ecuațiilor diofantine: căutarea GCD este necesară pentru a verifica ecuația pentru posibilitatea rezolvării ei în numere întregi.
Găsirea NOC
Cel mai mic multiplu comun este, de asemenea, determinat exact de enumerarea iterativă sau factorizarea în factori indivizibili. În plus, este ușor să găsiți LCM dacă cel mai mare divizor a fost deja determinat. Pentru numerele X și Y, LCM și GCD sunt legate prin următoarea relație:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
De exemplu, dacă mcd(15,18) = 3, atunci LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Cea mai evidentă utilizare a LCM este de a găsi numitorul comun, care este cel mai mic multiplu comun al fracții date.
Numerele coprime
Dacă o pereche de numere nu are divizori comuni, atunci o astfel de pereche se numește coprim. MCG pentru astfel de perechi este întotdeauna egal cu unu și, pe baza conexiunii divizorilor și multiplilor, MCM pentru coprime este egal cu produsul lor. De exemplu, numerele 25 și 28 sunt între prime, deoarece nu au divizori comuni, iar LCM(25, 28) = 700, care corespunde produsului lor. Orice două numere indivizibile vor fi întotdeauna coprime.
Divizor comun și calculator multiplu
Cu calculatorul nostru puteți calcula GCD și LCM pentru orice număr de numere din care să alegeți. Sarcinile pentru calcularea divizorilor comuni și multiplilor se găsesc în aritmetica claselor 5, 6, cu toate acestea, GCD și LCM - concepte cheie matematică și sunt utilizate în teoria numerelor, planimetrie și algebra comunicativă.
Exemple din viața reală
Numitorul comun al fracțiilor
Cel mai mic multiplu comun este folosit la găsirea numitorului comun al mai multor fracții. Lăsa să intre problema aritmetica Trebuie însumate 5 fracții:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Pentru a adăuga fracții, expresia trebuie redusă la un numitor comun, care se reduce la problema găsirii LCM. Pentru a face acest lucru, selectați 5 numere în calculator și introduceți valorile numitorului în celulele corespunzătoare. Programul va calcula LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Acum trebuie să calculați factori suplimentari pentru fiecare fracție, care sunt definiți ca raportul dintre LCM și numitorul. Deci, multiplicatorii suplimentari ar arăta astfel:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
După aceea, înmulțim toate fracțiile cu factorul suplimentar corespunzător și obținem:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Putem adăuga cu ușurință astfel de fracții și obținem rezultatul sub forma 159/360. Reducem fracția cu 3 și vedem răspunsul final - 53/120.
Rezolvarea ecuațiilor diofantine liniare
Ecuațiile diofantine liniare sunt expresii de forma ax + by = d. Dacă raportul d / mcd(a, b) este un număr întreg, atunci ecuația este rezolvabilă în numere întregi. Să verificăm câteva ecuații pentru posibilitatea unei soluții întregi. Mai întâi, verificați ecuația 150x + 8y = 37. Folosind un calculator, găsim mcd (150,8) = 2. Împărțiți 37/2 = 18,5. Numărul nu este un întreg, prin urmare, ecuația nu are rădăcini întregi.
Să verificăm ecuația 1320x + 1760y = 10120. Folosește calculatorul pentru a găsi mcd(1320, 1760) = 440. Împărțim 10120/440 = 23. Ca rezultat, obținem un număr întreg, prin urmare, ecuația diofantică este coeficientă solubilă ineficientă. .
Concluzie
GCD și LCM joacă un rol important în teoria numerelor, iar conceptele în sine sunt utilizate pe scară largă în diferite domenii ale matematicii. Utilizați calculatorul nostru pentru a calcula cei mai mari divizori și cei mai mici multipli ai oricărui număr de numere.
Expresiile și sarcinile matematice necesită multe cunoștințe suplimentare. NOC este unul dintre principalele, mai ales des folosit în subiect.Tema este studiată în liceu, deși nu este deosebit de greu de înțeles materialul, nu va fi dificil pentru o persoană familiarizată cu puterile și cu tabla înmulțirii să aleagă numerele necesare și găsiți rezultatul.
Definiție
Un multiplu comun este un număr care poate fi împărțit complet în două numere în același timp (a și b). Cel mai adesea, acest număr se obține prin înmulțirea numerelor originale a și b. Numărul trebuie să fie divizibil cu ambele numere simultan, fără abateri.
NOC este termenul acceptat pentru titlu scurt, asamblate din primele litere.
Modalități de a obține un număr
Pentru a găsi LCM, metoda de înmulțire a numerelor nu este întotdeauna potrivită, este mult mai potrivită pentru numere simple de o cifră sau de două cifre. Se obișnuiește să se împartă în factori, cu cât numărul este mai mare, cu atât vor fi mai mulți factori.
Exemplul #1
Pentru cel mai simplu exemplu, școlile iau de obicei numere simple, de o cifră sau de două cifre. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea sarcină, să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 7 și 3, soluția este destul de simplă, doar înmulțiți-le. Ca rezultat, există numărul 21, pur și simplu nu există un număr mai mic.
Exemplul #2
A doua variantă este mult mai dificilă. Sunt date numerele 300 și 1260, găsirea LCM este obligatorie. Pentru a rezolva sarcina, sunt luate următoarele acțiuni:
Descompunerea primului și celui de-al doilea număr în cei mai simpli factori. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prima etapă a fost finalizată.
A doua etapă presupune lucrul cu datele deja obținute. Fiecare dintre numerele primite trebuie să participe la calculul rezultatului final. Pentru fiecare multiplicator, cel mai mult număr mare apariții. LCM este un număr comun, astfel încât factorii din numere trebuie repeți în el până la ultimul, chiar și cei care sunt prezenți într-o singură instanță. Ambele numere inițiale au în componența lor numerele 2, 3 și 5, în grade diferite, 7 este prezent doar într-un caz.
Pentru a calcula rezultatul final, trebuie să luați în ecuație fiecare număr cu cea mai mare dintre puterile lor reprezentate. Rămâne doar să înmulțiți și să obțineți răspunsul, cu completarea corectă, sarcina se încadrează în doi pași fără explicații:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOK = 6300.
Aceasta este întreaga sarcină, dacă încercați să calculați numărul dorit prin înmulțire, atunci răspunsul cu siguranță nu va fi corect, deoarece 300 * 1260 = 378.000.
Examinare:
6300 / 300 = 21 - adevărat;
6300 / 1260 = 5 este corect.
Corectitudinea rezultatului este determinată prin verificare - împărțirea LCM la ambele numere originale, dacă numărul este un întreg în ambele cazuri, atunci răspunsul este corect.
Ce înseamnă NOC în matematică
După cum știți, nu există o singură funcție inutilă în matematică, aceasta nu face excepție. Cel mai comun scop al acestui număr este de a aduce fracțiile la un numitor comun. Ce se studiază de obicei în clasele 5-6 liceu. Este, de asemenea, un divizor comun pentru toți multiplii, dacă astfel de condiții sunt în problemă. O astfel de expresie poate găsi un multiplu nu numai a două numere, ci și a unui număr mult mai mare - trei, cinci și așa mai departe. Cum mai multe numere- cu atât mai multe acțiuni în sarcină, dar complexitatea acesteia nu crește.
De exemplu, având în vedere numerele 250, 600 și 1500, trebuie să găsiți LCM-ul lor total:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - acest exemplu descrie factorizarea în detaliu, fără reducere.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Pentru a alcătui o expresie este necesară menționarea tuturor factorilor, în acest caz se dau 2, 5, 3 - pentru toate aceste numere se cere să se determine gradul maxim.
Atenție: toți multiplicatorii trebuie aduși la simplificare deplină, dacă este posibil, descompunându-se la nivelul unei singure cifre.
Examinare:
1) 3000 / 250 = 12 - adevărat;
2) 3000 / 600 = 5 - adevărat;
3) 3000 / 1500 = 2 este corect.
Această metodă nu necesită trucuri sau abilități de geniu, totul este simplu și clar.
Altă cale
În matematică, mult este conectat, mult poate fi rezolvat în două sau mai multe moduri, același lucru este valabil și pentru găsirea celui mai mic multiplu comun, LCM. Următoarea metodă poate fi utilizată în cazul numerelor simple din două cifre și cu o singură cifră. Este alcătuit un tabel în care multiplicatorul este introdus pe verticală, multiplicatorul pe orizontală, iar produsul este indicat în celulele care se intersectează ale coloanei. Puteți reflecta tabelul cu ajutorul unei linii, se ia un număr și rezultatele înmulțirii acestui număr cu numere întregi sunt scrise pe rând, de la 1 la infinit, uneori sunt suficiente 3-5 puncte, sunt supuse al doilea și următoarele numere la același proces de calcul. Totul se întâmplă până când se găsește un multiplu comun.
Având în vedere numerele 30, 35, 42, trebuie să găsiți LCM care conectează toate numerele:
1) Multiplii lui 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 etc.
2) Multiplii lui 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 etc.
3) Multiplii lui 42: 84, 126, 168, 210, 252 etc.
Se observă că toate numerele sunt destul de diferite, singurul număr comun dintre ele este 210, deci va fi LCM. Printre procesele asociate cu acest calcul, se numără și cel mai mare divizor comun, care se calculează după principii similare și este adesea întâlnit în problemele învecinate. Diferența este mică, dar suficient de semnificativă, LCM implică calculul unui număr care este divizibil cu toate valorile inițiale date, iar MCM implică calculul cea mai mare valoare prin care numerele originale sunt divizibile.
Să continuăm discuția despre cel mai mic multiplu comun pe care l-am început în secțiunea LCM - Least Common Multiple, Definiție, Exemple. În acest subiect, vom analiza modalități de a găsi LCM pentru trei numere sau mai multe, vom analiza întrebarea cum să găsim LCM a unui număr negativ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd
Am stabilit deja relația dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun. Acum să învățăm cum să definim LCM prin GCD. Mai întâi, să ne dăm seama cum să facem acest lucru pentru numerele pozitive.
Definiția 1
Puteți găsi cel mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun folosind formula LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Exemplul 1
Este necesar să găsiți LCM al numerelor 126 și 70.
Soluţie
Să luăm a = 126 , b = 70 . Înlocuiți valorile din formula pentru calcularea celui mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .
Găsește MCD al numerelor 70 și 126. Pentru aceasta avem nevoie de algoritmul Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , deci mcd (126 , 70) = 14 .
Să calculăm LCM: LCM (126, 70) = 126 70: MCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Răspuns: LCM (126, 70) = 630.
Exemplul 2
Aflați nok-ul numerelor 68 și 34.
Soluţie
GCD în acest caz Găsirea ei este ușoară, deoarece 68 este divizibil cu 34. Calculați cel mai mic multiplu comun folosind formula: LCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Răspuns: LCM(68, 34) = 68.
În acest exemplu, am folosit regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor întregi pozitive a și b: dacă primul număr este divizibil cu al doilea, atunci LCM-ul acestor numere va fi egal cu primul număr.
Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi
Acum să ne uităm la o modalitate de a găsi LCM, care se bazează pe descompunerea numerelor în factori primi.
Definiția 2
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să parcurgem o serie de pași simpli:
- compun produsul tuturor factori primi numere pentru care trebuie să găsim LCM;
- excludem toți factorii primi din produsele obținute;
- produsul obţinut în urma eliminării factorilor primi comuni va fi egal cu LCM a numerelor date.
Acest mod de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe egalitatea LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Dacă te uiți la formula, va deveni clar: produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor care sunt implicați în expansiunea acestor două numere. În acest caz, MCD a două numere este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în factorizările acestor două numere.
Exemplul 3
Avem două numere 75 și 210. Le putem factoriza astfel: 75 = 3 5 5Și 210 = 2 3 5 7. Dacă faceți produsul tuturor factorilor celor două numere originale, obțineți: 2 3 3 5 5 5 7.
Dacă excludem factorii comuni ambelor numere 3 și 5, obținem un produs de următoarea formă: 2 3 5 5 7 = 1050. Acest produs va fi LCM-ul nostru pentru numerele 75 și 210.
Exemplul 4
Găsiți LCM al numerelor 441 Și 700 , descompunând ambele numere în factori primi.
Soluţie
Să găsim toți factorii primi ai numerelor date în condiția:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Obținem două lanțuri de numere: 441 = 3 3 7 7 și 700 = 2 2 5 5 7 .
Produsul tuturor factorilor care au participat la extinderea acestor numere va arăta astfel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Să găsim factorii comuni. Acest număr este 7. Îl excludem din produsul general: 2 2 3 3 5 5 7 7. Se pare că NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Răspuns: LCM (441, 700) = 44100.
Să dăm încă o formulare a metodei de găsire a LCM prin descompunerea numerelor în factori primi.
Definiția 3
Anterior, am exclus din numărul total de factori comuni ambelor numere. Acum o vom face altfel:
- Să descompunem ambele numere în factori primi:
- adăugați la produsul factorilor primi ai primului număr factorii lipsă ai celui de-al doilea număr;
- obținem produsul, care va fi LCM dorit a două numere.
Exemplul 5
Să revenim la numerele 75 și 210 , pentru care am căutat deja LCM într-unul dintre exemplele anterioare. Să le împărțim în factori simpli: 75 = 3 5 5Și 210 = 2 3 5 7. La produsul factorilor 3 , 5 și 5 numărul 75 adună factorii lipsă 2 Și 7 numerele 210 . Primim: 2 3 5 5 7 . Acesta este LCM al numerelor 75 și 210.
Exemplul 6
Este necesar să se calculeze LCM al numerelor 84 și 648.
Soluţie
Să descompunem numerele din condiție în factori primi: 84 = 2 2 3 7Și 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Se adaugă la produsul factorilor 2 , 2 , 3 și 7
numerele 84 lipsesc factorii 2 , 3 , 3 și
3
numerele 648 . Primim produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Acesta este cel mai mic multiplu comun al lui 84 și 648.
Răspuns: LCM (84, 648) = 4536.
Găsirea LCM a trei sau mai multe numere
Indiferent de câte numere avem de-a face, algoritmul acțiunilor noastre va fi întotdeauna același: vom găsi în mod constant LCM a două numere. Există o teoremă pentru acest caz.
Teorema 1
Să presupunem că avem numere întregi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k dintre aceste numere se găsește în calculul secvenţial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Acum să vedem cum poate fi aplicată teorema unor probleme specifice.
Exemplul 7
Trebuie să calculați cel mai mic multiplu comun al celor patru numere 140 , 9 , 54 și 250 .
Soluţie
Să introducem notația: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.
Să începem prin a calcula m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Să folosim algoritmul euclidian pentru a calcula GCD-ul numerelor 140 și 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Se obține: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Prin urmare, m 2 = 1 260 .
Acum să calculăm după același algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . În cursul calculelor, obținem m 3 = 3 780.
Rămâne să calculăm m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Acționăm după același algoritm. Obținem m 4 \u003d 94 500.
LCM a celor patru numere din condiția exemplu este 94500.
Răspuns: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.
După cum puteți vedea, calculele sunt simple, dar destul de laborioase. Pentru a economisi timp, puteți merge în altă direcție.
Definiția 4
Vă oferim următorul algoritm de acțiuni:
- descompune toate numerele în factori primi;
- la produsul factorilor primului număr, se adaugă factorii lipsă din produsul celui de-al doilea număr;
- adăugați factorii lipsă ai celui de-al treilea număr la produsul obținut în etapa anterioară etc.;
- produsul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor din condiție.
Exemplul 8
Este necesar să găsiți LCM a cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Soluţie
Să descompunăm toate cele cinci numere în factori primi: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Numerele prime, care este numărul 7, nu pot fi descompuse în factori primi. Astfel de numere coincid cu descompunerea lor în factori primi.
Acum să luăm produsul factorilor primi 2, 2, 3 și 7 ai numărului 84 și să adăugăm la ei factorii lipsă ai celui de-al doilea număr. Am descompus numărul 6 în 2 și 3. Acești factori sunt deja în produsul primului număr. Prin urmare, le omitem.
Continuăm să adăugăm multiplicatorii lipsă. Ne întoarcem la numărul 48, din produsul factorilor primi din care luăm 2 și 2. Apoi adăugăm un factor simplu de 7 din al patrulea număr și factorii de 11 și 13 din al cincilea. Se obține: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Acesta este cel mai mic multiplu comun dintre cele cinci numere originale.
Răspuns: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor negative, aceste numere trebuie mai întâi înlocuite cu numere cu semnul opus, iar apoi calculele trebuie efectuate conform algoritmilor de mai sus.
Exemplul 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) și LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Astfel de acțiuni sunt permise datorită faptului că dacă se acceptă că AȘi − a- numere opuse
apoi setul de multipli A coincide cu mulţimea multiplilor unui număr − a.
Exemplul 10
Este necesar să se calculeze LCM al numerelor negative − 145 Și − 45 .
Soluţie
Să schimbăm numerele − 145 Și − 45 la numerele lor opuse 145 Și 45 . Acum, folosind algoritmul, calculăm LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , după ce am determinat anterior GCD folosind algoritmul Euclid.
Obținem că LCM a numerelor − 145 și − 45 egală 1 305 .
Răspuns: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
