Instrucțiuni

Dacă ecuația este prezentată sub forma: dy/dx = q(x)/n(y), clasifică-le ca ecuații diferențiale cu variabile separabile. Ele pot fi rezolvate scriind condiția în diferențiale astfel: n(y)dy = q(x)dx. Apoi integrați ambele părți. În unele cazuri, soluția este scrisă sub formă de integrale luate din funcții cunoscute. De exemplu, în cazul lui dy/dx = x/y, obținem q(x) = x, n(y) = y. Scrie-l sub forma ydy = xdx și integrează. Ar trebui să fie y^2 = x^2 + c.

La liniar ecuații relaționați ecuațiile cu „primul”. O funcție necunoscută cu derivatele sale intră într-o astfel de ecuație doar până la primul grad. Liniara are forma dy/dx + f(x) = j(x), unde f(x) si g(x) sunt functii dependente de x. Soluția se scrie folosind integrale luate din funcții cunoscute.

Vă rugăm să rețineți că mulți ecuatii diferentiale- sunt ecuații de ordinul doi (care conțin derivate secunde) De exemplu, aceasta este ecuația mișcării armonice simple, scrisă în forma generală: md 2x/dt 2 = –kx. Astfel de ecuații au, în , soluții speciale. Ecuația mișcării armonice simple este un exemplu de ceva destul de important: ecuații diferențiale liniare care au un coeficient constant.

Dacă există o singură ecuație liniară în condițiile problemei, atunci vi s-a dat conditii suplimentare, datorită căruia se poate găsi o soluție. Citiți cu atenție problema pentru a găsi aceste condiții. Dacă variabile x și y indică distanța, viteza, greutatea - nu ezitați să setați limita x≥0 și y≥0. Este foarte posibil ca x sau y să ascundă numărul de mere etc. – atunci valorile pot fi doar . Dacă x este vârsta fiului, este clar că acesta nu poate fi mai în vârstă decât tatăl său, așa că indicați acest lucru în condițiile problemei.

Surse:

cum se rezolvă o ecuație cu o variabilă

Problemele de calcul diferențial și integral sunt elemente importante consolidarea teoriei analiză matematică, secțiune matematică superioară, a studiat în universități. Diferenţial ecuația rezolvată prin metoda integrării.

Instrucțiuni

Calculul diferenţial explorează proprietăţile lui . Și invers, integrarea unei funcții permite proprietăți date, de ex. derivate sau diferențiale ale unei funcții pentru a o găsi în sine. Aceasta este soluția ecuației diferențiale.

Orice este o relație între o cantitate necunoscută și datele cunoscute. În cazul unei ecuații diferențiale, rolul necunoscutului este jucat de o funcție, iar rolul cantităților cunoscute îl joacă derivatele sale. În plus, relația poate conține o variabilă independentă: F(x, y(x), y'(x), y''(x),..., y^n(x)) = 0, unde x este o necunoscută variabilă, y (x) este funcția care trebuie determinată, ordinea ecuației este ordinea maximă a derivatei (n).

O astfel de ecuație se numește ecuație diferențială obișnuită. Dacă relația conține mai multe variabile independente și derivate parțiale (diferențiale) ale funcției față de aceste variabile, atunci ecuația se numește ecuație cu diferență parțială și are forma: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , unde z(x, y) este funcția necesară.

Deci, pentru a învăța cum să rezolvi ecuațiile diferențiale, trebuie să poți găsi antiderivate, adică. rezolvați problema inversă diferențierii. De exemplu: Rezolvați ecuația de ordinul întâi y’ = -y/x.

Soluție Înlocuiește y’ cu dy/dx: dy/dx = -y/x.

Reduceți ecuația la o formă convenabilă pentru integrare. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți cu dx și împărțiți cu y:dy/y = -dx/x.

Integrați: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Această soluție se numește ecuație diferențială generală. C este o constantă al cărei set de valori determină setul de soluții ale ecuației. Pentru orice valoare specifică a lui C, soluția va fi unică. Această soluție este o soluție parțială a ecuației diferențiale.

Rezolvarea majorității ecuațiilor de ordin superior grade nu are o formulă clară pentru găsirea rădăcinilor pătrate ecuații. Cu toate acestea, există mai multe metode de reducere care vă permit să transformați o ecuație de grad mai mare într-o formă mai vizuală.

Instrucțiuni

Cea mai comună metodă de rezolvare a ecuațiilor de grad superior este expansiunea. Această abordare este o combinație de selectare a rădăcinilor întregi, divizorilor termenului liber și împărțirea ulterioară a polinomului general în forma (x – x0).

De exemplu, rezolvați ecuația x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Rezolvare: Termenul liber al acestui polinom este -3, prin urmare, divizorii săi întregi pot fi numerele ±1 și ±3. Substituiți-le unul câte unul în ecuație și aflați dacă obțineți identitatea: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

A doua rădăcină x = -1. Împărțiți la expresia (x + 1). Notați ecuația rezultată (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Gradul a fost redus la al doilea, prin urmare, ecuația poate avea încă două rădăcini. Pentru a le găsi, rezolvați ecuația pătratică: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Discriminantul este o valoare negativă, ceea ce înseamnă că ecuația nu mai are rădăcini reale. Aflați rădăcinile complexe ale ecuației: x = (-2 + i·√11)/2 și x = (-2 – i·√11)/2.

O altă metodă de rezolvare a unei ecuații de grad superior este schimbarea variabilelor pentru a o face pătratică. Această abordare este utilizată atunci când toate puterile ecuației sunt pare, de exemplu: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Acum găsiți rădăcinile ecuației inițiale: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Sfat 10: Cum să determinați ecuațiile redox

O reacție chimică este un proces de transformare a substanțelor care are loc odată cu modificarea compoziției lor. Acele substanțe care reacționează se numesc substanțe inițiale, iar cele care se formează în urma acestui proces se numesc produse. Se întâmplă ca în timpul reactie chimica elementele care alcătuiesc substanţele iniţiale îşi schimbă starea de oxidare. Adică, ei pot accepta electronii altcuiva și îi pot oferi pe ai lor. În ambele cazuri, taxa lor se modifică. Astfel de reacții se numesc reacții redox.

Note de curs despre

ecuatii diferentiale

Ecuatii diferentiale

Introducere

Când se studiază anumite fenomene, apare adesea o situație în care procesul nu poate fi descris folosind ecuația y=f(x) sau F(x;y)=0. Pe lângă variabila x și funcția necunoscută, derivata acestei funcții intră în ecuație.

Definiție: Se numește ecuația care leagă variabila x, funcția necunoscută y(x) și derivatele acesteia ecuație diferențială. ÎN vedere generala ecuația diferențială arată astfel:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

Definiție: Ordinea unei ecuații diferențiale este ordinea celei mai mari derivate incluse în ea.

–ecuație diferențială de ordinul I

–ecuația diferențială de ordinul 3

Definiție: Soluția unei ecuații diferențiale este o funcție care, atunci când este substituită în ecuație, o transformă într-o identitate.

Ecuații diferențiale de ordinul I

Definiție: Ecuația formei =f(x;y) sau F(x;y; )=0se numește ecuație diferențială de ordinul I.

Definiție: Soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul I este funcția y=γ(x;c), unde (c –const), care, atunci când este substituită în ecuație, o transformă într-o identitate. Geometric, în plan, soluția generală corespunde unei familii de curbe integrale în funcție de parametrul c.

Definiție: Curba integrală care trece printr-un punct din planul cu coordonatele (x 0 ;y 0) corespunde unei anumite soluții a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială:

Teoremă privind existența unicității unei soluții la o ecuație diferențială de ordinul I

Dată o ecuație diferențială de ordinul 1
iar funcția f(x;y) este continuă împreună cu derivatele parțiale într-o regiune D a planului XOY, apoi prin punctul M 0 (x 0 ;y 0) D trece prin singura curbă corespunzătoare unei anumite soluții a ecuației diferențiale corespunzătoare condiției inițiale y(x 0)=y 0

O curbă integrală trece printr-un punct din planul cu coordonate date.

Dacă nu este posibil să se obțină o soluție generală a unei ecuații diferențiale de ordinul 1 în formă explicită, i.e.
, atunci se poate obține implicit:

F(x; y; c) =0 – formă implicită

Soluția generală în această formă se numește integrală generală ecuație diferențială.

În raport cu ecuația diferențială de ordinul I, se pun 2 probleme:

1) Aflați soluția generală (integrală generală)

2) Găsiți o anumită soluție (integrală parțială) care satisface condiția inițială dată. Această problemă se numește problema Cauchy pentru o ecuație diferențială.

Ecuații diferențiale cu variabile separabile

Ecuații de forma:
se numește ecuație diferențială cu variabile separabile.

Să înlocuim

înmulțiți cu dx

să separăm variabilele

împarte la

Notă: este necesar să se ia în considerare cazul special când

variabilele sunt separate

să integrăm ambele părți ale ecuației

- decizie comună

O ecuație diferențială cu variabile separabile poate fi scrisă astfel:

Un caz izolat
!

Să integrăm ambele părți ale ecuației:

2)
început conditii:

Ecuații diferențiale omogene de ordinul I

Definiție: Funcţie
se numeşte omogen de ordinul n dacă

Exemplu: - funcţie omogenă de ordin=2

Definiție: Se numește o funcție omogenă de ordinul 0 omogen.

Definiție: Ecuație diferențială
se numeste omogen daca
- functie omogena, i.e.

Astfel, ecuația diferențială omogenă poate fi scrisă astfel:

Folosind înlocuire , unde t este o funcție a variabilei x, ecuația diferențială omogenă se reduce la o ecuație cu variabile separabile.

- înlocuiți în ecuație

Variabilele separate, să integrăm ambele părți ale ecuației

Să facem înlocuirea inversă prin înlocuire , obținem o soluție generală în formă implicită.

O ecuație diferențială omogenă poate fi scrisă sub formă diferențială.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, unde M(x;y) și N(x;y) sunt funcții omogene de același ordin.

Împărțiți cu dx și exprimați

Ecuație diferențială obișnuită este o ecuație care leagă o variabilă independentă, o funcție necunoscută a acestei variabile și derivatele (sau diferențiale) ei de diferite ordine.

Ordinea ecuației diferențiale se numește ordinea celei mai mari derivate conținute în ea.

Pe lângă cele obișnuite, sunt studiate și ecuațiile cu diferențe parțiale. Acestea sunt ecuații care relaționează variabile independente, o funcție necunoscută a acestor variabile și derivatele sale parțiale în raport cu aceleași variabile. Dar vom lua în considerare doar ecuații diferențiale obișnuite și, prin urmare, de dragul conciziei, vom omite cuvântul „obișnuit”.

Exemple de ecuații diferențiale:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ecuația (1) este de ordinul al patrulea, ecuația (2) este de ordinul al treilea, ecuațiile (3) și (4) sunt de ordinul doi, ecuația (5) este de ordinul întâi.

Ecuație diferențială n Ordinul nu trebuie să conțină neapărat o funcție explicită, toate derivatele sale de la prima la n-de ordinul și variabila independentă. Este posibil să nu conțină în mod explicit derivate ale anumitor ordine, o funcție sau o variabilă independentă.

De exemplu, în ecuația (1) nu există în mod clar derivate de ordinul trei și de ordinul doi, precum și o funcție; în ecuația (2) - derivata de ordinul doi și funcția; în ecuația (4) - variabila independentă; în ecuația (5) - funcții. Doar ecuația (3) conține în mod explicit toate derivatele, funcția și variabila independentă.

Rezolvarea unei ecuații diferențiale fiecare funcție este numită y = f(x), atunci când este substituit în ecuație, se transformă într-o identitate.

Procesul de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială se numește ea integrare.

Exemplul 1. Găsiți soluția ecuației diferențiale.

Soluţie. Să scriem această ecuație sub forma . Soluția este să găsiți funcția din derivata ei. Funcția originală, așa cum este cunoscută din calculul integral, este o antiderivată pentru, i.e.

Asta e soluție la această ecuație diferențială . Schimbarea în ea C, vom obține diferite soluții. Am aflat că există un număr infinit de soluții pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Soluția generală a ecuației diferențiale n Ordinea este soluția sa, exprimată explicit în raport cu funcția necunoscută și care conține n constante arbitrare independente, de ex.

Soluția ecuației diferențiale din exemplul 1 este generală.

Rezolvarea parțială a ecuației diferențiale se numește o soluție în care constantele arbitrare sunt date valori numerice specifice.

Exemplul 2. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale și o soluție particulară pentru .

Soluţie. Să integrăm ambele părți ale ecuației de un număr de ori egal cu ordinea ecuației diferențiale.

Drept urmare, am primit o soluție generală -

a unei ecuații diferențiale de ordinul trei date.

Acum să găsim o anumită soluție în condițiile specificate. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile lor în loc de coeficienți arbitrari și obțineți

Dacă, pe lângă ecuația diferențială, condiția inițială este dată sub forma , atunci o astfel de problemă se numește Problema Cauchy . Înlocuiți valorile și în soluția generală a ecuației și găsiți valoarea unei constante arbitrare C, și apoi o soluție particulară a ecuației pentru valoarea găsită C. Aceasta este soluția la problema Cauchy.

Exemplul 3. Rezolvați problema Cauchy pentru ecuația diferențială din Exemplul 1 sub rezerva .

Soluţie. Să înlocuim valorile din condiția inițială în soluția generală y = 3, X= 1. Primim

Scriem soluția problemei Cauchy pentru această ecuație diferențială de ordinul întâi:

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale, chiar și a celor mai simple, necesită abilități bune de integrare și derivate, inclusiv funcții complexe. Acest lucru poate fi văzut în exemplul următor.

Exemplul 4. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale.

Soluţie. Ecuația este scrisă într-o astfel de formă încât să puteți integra imediat ambele părți.

Aplicam metoda integrarii prin schimbare de variabila (substitutie). Să fie atunci.

Necesar să ia dx iar acum - atenție - facem asta după regulile de diferențiere a unei funcții complexe, deoarece X si aici este functie complexa(„măr” - extracție rădăcină pătrată sau, ceea ce este același lucru - ridicarea la putere „o jumătate” și „carne tocată” este însăși expresia de sub rădăcină):

Găsim integrala:

Revenind la variabilă X, primim:

Aceasta este soluția generală a acestei ecuații diferențiale de gradul I.

În rezolvarea ecuațiilor diferențiale vor fi necesare nu numai abilități de la secțiunile anterioare de matematică superioară, ci și abilități de la matematica elementară, adică de la școală. După cum sa menționat deja, într-o ecuație diferențială de orice ordin poate să nu existe o variabilă independentă, adică o variabilă X. Cunoștințele despre proporțiile de la școală care nu au fost uitate (totuși, în funcție de cine) de la școală vor ajuta la rezolvarea acestei probleme. Acesta este următorul exemplu.

Fie au fost deja rezolvate în raport cu derivata, fie pot fi rezolvate în raport cu derivata .

Rezolvarea generală a ecuațiilor diferențiale de tip pe interval X, care este dat, poate fi găsit luând integrala ambelor părți ale acestei egalități.

Primim .

Dacă te uiți la proprietăți integrală nedefinită, atunci găsim soluția generală dorită:

y = F(x) + C,

Unde F(x)- unul dintre funcții antiderivate f(x) intre X, A CU- constantă arbitrară.

Vă rugăm să rețineți că în majoritatea problemelor intervalul X nu indica. Aceasta înseamnă că trebuie găsită o soluție pentru toată lumea. X, pentru care și funcția dorită y, iar ecuația originală are sens.

Dacă trebuie să calculați o anumită soluție a unei ecuații diferențiale care satisface condiția inițială y(x 0) = y 0, apoi după calcularea integralei generale y = F(x) + C, este încă necesar să se determine valoarea constantei C = C 0, folosind condiția inițială. Adică o constantă C = C 0 determinată din ecuație F(x 0) + C = y 0, iar soluția parțială dorită a ecuației diferențiale va lua forma:

y = F(x) + C 0.

Să ne uităm la un exemplu:

Să găsim o soluție generală a ecuației diferențiale și să verificăm corectitudinea rezultatului. Să găsim o soluție particulară a acestei ecuații care să satisfacă condiția inițială.

Soluţie:

După ce integrăm ecuația diferențială dată, obținem:

Să luăm această integrală folosind metoda integrării pe părți:

Acea., este o soluție generală a ecuației diferențiale.

Pentru a ne asigura că rezultatul este corect, să facem o verificare. Pentru a face acest lucru, înlocuim soluția găsită în ecuația dată:

Adică când ecuația inițială se transformă într-o identitate:

prin urmare, soluția generală a ecuației diferențiale a fost determinată corect.

Soluția pe care am găsit-o este o soluție generală a ecuației diferențiale pentru fiecare valoare reală a argumentului X.

Rămâne de calculat o anumită soluție a EDO care ar satisface condiția inițială. Cu alte cuvinte, este necesar să se calculeze valoarea constantei CU, la care egalitatea va fi adevărată:

Apoi, înlocuind C = 2în soluția generală a EDO, obținem o soluție particulară a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială:

Ecuație diferențială obișnuită poate fi rezolvată pentru derivată prin împărțirea celor 2 laturi ale ecuației la f(x). Această transformare va fi echivalentă dacă f(x) nu devine zero sub nicio formă X din intervalul de integrare al ecuaţiei diferenţiale X.

Există situații probabile când, pentru unele valori ale argumentului X ∈ X funcții f(x)Și g(x) devin simultan zero. Pentru valori similare X soluția generală a unei ecuații diferențiale este orice funcție y, care este definit în ele, deoarece .

Dacă pentru unele valori de argument X ∈ X condiția este îndeplinită, ceea ce înseamnă că în acest caz ODE nu are soluții.

Pentru toți ceilalți X din interval X soluția generală a ecuației diferențiale se determină din ecuația transformată.

Să ne uităm la exemple:

Exemplul 1.

Să găsim o soluție generală pentru ODE: .

Soluţie.

Din proprietăţile funcţiilor elementare de bază este clar că funcţia logaritmul natural este definit pentru valorile argumentelor nenegative, deci domeniul de aplicare al expresiei este ln(x+3) exista un interval X > -3 . Aceasta înseamnă că ecuația diferențială dată are sens pentru X > -3 . Pentru aceste valori de argument, expresia x+3 nu dispare, așa că puteți rezolva EDO pentru derivată împărțind cele 2 părți la x + 3.

Primim .

În continuare, integrăm ecuația diferențială rezultată, rezolvată în raport cu derivata: . Pentru a lua această integrală, folosim metoda subsumării ei sub semnul diferențial.

Conținutul articolului

ECUATII DIFERENTIALE. Multe legi fizice care guvernează anumite fenomene sunt scrise sub formă ecuație matematică, exprimând o anumită relație între unele cantități. Adesea vorbim despre relația dintre cantitățile care se modifică în timp, de exemplu, randamentul motorului, măsurat prin distanța pe care o poate parcurge o mașină cu un litru de combustibil, depinde de viteza mașinii. Ecuația corespunzătoare conține una sau mai multe funcții și derivatele acestora și se numește ecuație diferențială. (Rata de modificare a distanței în timp este determinată de viteză; prin urmare, viteza este o derivată a distanței; în mod similar, accelerația este o derivată a vitezei, deoarece accelerația determină rata de schimbare a vitezei în timp.) Mare importanță, pe care le au ecuațiile diferențiale pentru matematică și mai ales pentru aplicațiile ei, se explică prin faptul că studiul multor probleme fizice și tehnice se rezumă la rezolvarea unor astfel de ecuații. Ecuațiile diferențiale joacă, de asemenea, un rol semnificativ în alte științe, cum ar fi biologia, economia și ingineria electrică; de fapt, ele apar oriunde este nevoie de o descriere cantitativă (numerică) a fenomenelor (deoarece lumea se schimba in timp si conditiile se schimba de la un loc la altul).

Exemple.

Următoarele exemple oferă o mai bună înțelegere a modului în care diferitele probleme sunt formulate în limbajul ecuațiilor diferențiale.

1) Legea dezintegrarii unor substanțe radioactive este că rata de descompunere este proporțională cu cantitatea disponibilă a acestei substanțe. Dacă X– cantitatea de substanță la un anumit moment în timp t, atunci această lege poate fi scrisă astfel:

Unde dx/dt este rata de dezintegrare și k– o constantă pozitivă care caracterizează o substanță dată. (Semnul minus din partea dreaptă indică asta X scade in timp; un semn plus, întotdeauna subînțeles atunci când semnul nu este menționat în mod explicit, ar însemna că X crește în timp.)

2) Recipientul conține inițial 10 kg de sare dizolvată în 100 m 3 de apă. Dacă apa pura se toarnă în recipient cu o viteză de 1 m 3 pe minut și se amestecă uniform cu soluția, iar soluția rezultată curge din recipient cu aceeași viteză, atunci câtă sare va fi în recipient în orice moment ulterior din timp? Dacă X– cantitatea de sare (în kg) în recipient odată t, apoi în orice moment t 1 m 3 de soluție în recipient conține X/100 kg sare; prin urmare cantitatea de sare scade într-un ritm X/100 kg/min, sau

3) Să existe mase pe corp m suspendată de capătul arcului, o forță de restabilire acționează proporțional cu cantitatea de tensiune din arc. Lăsa X– cantitatea de abatere a corpului de la poziția de echilibru. Apoi, conform celei de-a doua legi a lui Newton, care afirmă că accelerația (derivata a doua a X de timp, desemnat d 2 X/dt 2) proporțional cu forța:

Partea dreaptă are semnul minus deoarece forța de restabilire reduce întinderea arcului.

4) Legea răcirii corpului spune că cantitatea de căldură dintr-un corp scade proporțional cu diferența de temperatură a corpului și mediu inconjurator. Dacă o ceașcă de cafea încălzită la o temperatură de 90°C se află într-o cameră unde temperatura este de 20°C, atunci

Unde T– temperatura cafelei la timp t.

5) Ministrul de Externe al Statului Blefuscu susţine că programul de înarmare adoptat de Lilliput obligă ţara sa să crească cât mai mult cheltuielile militare. Ministrul Afacerilor Externe din Lilliput face declarații similare. Situația rezultată (în cea mai simplă interpretare) poate fi descrisă cu acuratețe prin două ecuații diferențiale. Lăsa XȘi y- cheltuieli pentru armamentul lui Lilliput si Blefuscu. Presupunând că Lilliput își mărește cheltuielile cu armament într-un ritm proporțional cu ritmul de creștere a cheltuielilor cu armamentul lui Blefuscu și invers, obținem:

unde sunt membrii toporȘi - de descrieți cheltuielile militare ale fiecărei țări, kȘi l sunt constante pozitive. (Această problemă a fost formulată pentru prima dată în acest fel în 1939 de L. Richardson.)

După ce problema este scrisă în limbajul ecuațiilor diferențiale, ar trebui să încercați să le rezolvați, adică. găsiți mărimile ale căror rate de variație sunt incluse în ecuații. Uneori soluțiile se găsesc sub formă de formule explicite, dar de cele mai multe ori ele pot fi prezentate doar în formă aproximativă sau se pot obține informații calitative despre acestea. De multe ori poate fi dificil să determinați dacă există o soluție, cu atât mai puțin să găsiți una. O secțiune importantă a teoriei ecuațiilor diferențiale este formată din așa-numitele „teoreme de existență”, în care se demonstrează existența unei soluții pentru unul sau altul tip de ecuație diferențială.

Formularea matematică originală a unei probleme fizice conține de obicei presupuneri simplificatoare; criteriul rezonabilităţii lor poate fi gradul de consistenţă a soluţiei matematice cu observaţiile disponibile.

Rezolvari ale ecuatiilor diferentiale.

Ecuația diferențială, de exemplu dy/dx = X/y, este satisfăcut nu de un număr, ci de o funcție, în acest caz particular astfel încât graficul său în orice punct, de exemplu într-un punct cu coordonatele (2,3), are o tangentă cu pantă, egal cu raportul coordonatelor (în exemplul nostru 2/3). Acest lucru este ușor de verificat dacă construiți număr mare puncte și din fiecare pus deoparte câte un segment scurt cu o pantă corespunzătoare. Soluția va fi o funcție al cărei grafic atinge fiecare dintre punctele sale de segmentul corespunzător. Dacă există suficiente puncte și segmente, atunci putem contura aproximativ cursul curbelor soluției (trei astfel de curbe sunt prezentate în Fig. 1). Există exact o curbă soluție care trece prin fiecare punct cu y Nr. 0. Fiecare soluție individuală se numește soluție parțială a unei ecuații diferențiale; dacă este posibil să se găsească o formulă care să conțină toate soluțiile particulare (cu posibila excepție a câtorva soluții speciale), atunci ei spun că s-a obținut o soluție generală. O soluție particulară reprezintă o funcție, în timp ce o soluție generală reprezintă o întreagă familie a acestora. Rezolvarea unei ecuații diferențiale înseamnă găsirea soluției sale particulare sau generale. În exemplul pe care îl luăm în considerare, soluția generală are forma y 2 – X 2 = c, Unde c- orice număr; o soluție particulară care trece prin punctul (1,1) are forma y = Xși se dovedește când c= 0; o soluție particulară care trece prin punctul (2,1) are forma y 2 – X 2 = 3. Condiția care cere ca curba soluției să treacă, de exemplu, prin punctul (2,1), se numește condiție inițială (deoarece precizează punctul de plecare pe curba soluției).

Se poate arăta că în exemplul (1) soluția generală are forma X = ce –kt, Unde c– o constantă care poate fi determinată, de exemplu, prin indicarea cantității de substanță la t= 0. Ecuația din exemplul (2) este un caz special al ecuației din exemplul (1), corespunzătoare k= 1/100. Condiția inițială X= 10 at t= 0 dă o anumită soluție X = 10e –t/100 . Ecuația din exemplul (4) are o soluție generală T = 70 + ce –ktși soluție privată 70 + 130 – kt; pentru a determina valoarea k, sunt necesare date suplimentare.

Ecuație diferențială dy/dx = X/y se numește ecuație de ordinul întâi, deoarece conține prima derivată (ordinea unei ecuații diferențiale este de obicei considerată a fi ordinea celei mai mari derivate incluse în ea). Pentru majoritatea (deși nu pentru toate) ecuațiile diferențiale de primul fel care apar în practică, prin fiecare punct trece o singură curbă soluție.

Există mai multe tipuri importante de ecuații diferențiale de ordinul întâi care pot fi rezolvate sub formă de formule care conțin doar funcții elementare - puteri, exponenți, logaritmi, sinusuri și cosinus etc. Astfel de ecuații includ următoarele.

Ecuații cu variabile separabile.

Ecuații de formă dy/dx = f(X)/g(y) poate fi rezolvată scriind-o în diferențiale g(y)dy = f(X)dxși integrând ambele părți. În cel mai rău caz, soluția poate fi reprezentată sub formă de integrale ale funcțiilor cunoscute. De exemplu, în cazul ecuației dy/dx = X/y avem f(X) = X, g(y) = y. Scriindu-l în formular ydy = xdxși integrând, obținem y 2 = X 2 + c. Ecuațiile cu variabile separabile includ ecuații din exemplele (1), (2), (4) (pot fi rezolvate în modul descris mai sus).

Ecuații în diferențiale totale.

Dacă ecuația diferențială are forma dy/dx = M(X,y)/N(X,y), Unde MȘi N sunt două funcții date, atunci poate fi reprezentată ca M(X,y)dx – N(X,y)dy= 0. Dacă partea stângă este diferența unei funcții F(X,y), atunci ecuația diferențială poate fi scrisă ca dF(X,y) = 0, care este echivalent cu ecuația F(X,y) = const. Astfel, curbele de soluție ale ecuației sunt „liniile de niveluri constante” ale funcției sau locul punctelor care satisfac ecuațiile F(X,y) = c. Ecuația ydy = xdx(Fig. 1) - cu variabile separabile, și la fel - în diferențe totale: pentru a ne asigura de acestea din urmă, o scriem sub forma ydy – xdx= 0, adică d(y 2 – X 2) = 0. Funcția F(X,y) în acest caz este egal cu (1/2)( y 2 – X 2); Unele dintre liniile sale de nivel constant sunt prezentate în Fig. 1.

Ecuatii lineare.

Ecuațiile liniare sunt ecuații de „gradul întâi” - funcția necunoscută și derivatele sale apar în astfel de ecuații doar la primul grad. Astfel, ecuația diferențială liniară de ordinul întâi are forma dy/dx + p(X) = q(X), Unde p(X) Și q(X) – funcții care depind numai de X. Soluția sa poate fi întotdeauna scrisă folosind integrale ale funcțiilor cunoscute. Multe alte tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi sunt rezolvate folosind tehnici speciale.

Ecuații de ordin superior.

Multe ecuații diferențiale pe care le întâlnesc fizicienii sunt ecuații de ordinul doi (adică, ecuații care conțin derivate secunde), cum ar fi, de exemplu, ecuația mișcării armonice simple din exemplul (3), md 2 X/dt 2 = –kx. În general, ne putem aștepta ca o ecuație de ordinul doi să aibă soluții parțiale care îndeplinesc două condiții; de exemplu, s-ar putea cere ca curba soluției să treacă printr-un punct dat într-o direcție dată. În cazurile în care ecuația diferențială conține un anumit parametru (un număr a cărui valoare depinde de circumstanțe), soluții de tipul cerut există numai pentru anumite valori ale acestui parametru. De exemplu, luați în considerare ecuația md 2 X/dt 2 = –kxși vom cere asta y(0) = y(1) = 0. Funcție yє 0 este evident o soluție, dar dacă este un multiplu întreg p, adică k = m 2 n 2 p 2, unde n este un număr întreg, dar în realitate doar în acest caz există și alte soluții și anume: y= păcat npx. Valorile parametrilor pentru care ecuația are soluții speciale se numesc caracteristice sau valori proprii; joacă un rol important în multe sarcini.

Ecuația mișcării armonice simple este un exemplu de clasă importantă de ecuații, și anume ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți. Un exemplu mai general (tot de ordinul doi) este ecuația

Unde AȘi b- constante date, f(X) este o funcție dată. Astfel de ecuații pot fi rezolvate căi diferite, de exemplu, folosind transformarea Laplace integrală. Același lucru se poate spune despre ecuațiile liniare de ordin superior cu coeficienți constanți. De asemenea, joacă un rol important ecuatii lineare cu cote variabile.

Ecuații diferențiale neliniare.

Ecuațiile care conțin funcții necunoscute și derivatele lor la puteri mai mari decât prima sau într-o manieră mai complexă sunt numite neliniare. ÎN anul trecut ele atrag din ce în ce mai multă atenție. Faptul este că ecuațiile fizice sunt de obicei liniare doar la o primă aproximare; Cercetările ulterioare și mai precise, de regulă, necesită utilizarea ecuațiilor neliniare. În plus, multe probleme sunt de natură neliniară. Deoarece soluțiile ecuațiilor neliniare sunt adesea foarte complexe și dificil de reprezentat folosind formule simple, o parte semnificativă teoria modernă dedicat analiza calitativa comportamentul lor, adică dezvoltarea unor metode care să permită, fără a rezolva ecuația, să se spună ceva semnificativ despre natura soluțiilor în ansamblu: de exemplu, că toate sunt limitate, sau au o natură periodică sau depind într-un anumit fel de coeficienții.

Soluțiile aproximative ale ecuațiilor diferențiale pot fi găsite numeric, dar acest lucru necesită mult timp. Odată cu apariția computerelor de mare viteză, acest timp a fost mult redus, ceea ce a deschis noi posibilități pentru rezolvarea numerică a multor probleme care anterior erau insolubile pentru o astfel de soluție.

Teoreme de existență.

O teoremă de existență este o teoremă care afirmă că, în anumite condiții, o ecuație diferențială dată are o soluție. Există ecuații diferențiale care nu au soluții sau au mai multe decât se aștepta. Scopul unei teoreme de existență este de a ne convinge că o ecuație dată are de fapt o soluție și, cel mai adesea, de a ne asigura că are exact o soluție de tipul cerut. De exemplu, ecuația pe care am întâlnit-o deja dy/dx = –2y are exact o soluție care trece prin fiecare punct al planului ( X,y), și din moment ce am găsit deja o astfel de soluție, am rezolvat astfel complet această ecuație. Pe de altă parte, ecuația ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 are multe soluții. Printre ele sunt drepte y = 1, y= –1 și curbe y= păcat( X + c). Soluția poate consta din mai multe segmente ale acestor linii drepte și curbe, care trec unele în altele în punctele de contact (Fig. 2).

Ecuații cu diferențe parțiale.

O ecuație diferențială obișnuită este o afirmație despre derivata unei funcții necunoscute a unei variabile. O ecuație cu diferență parțială conține o funcție a două sau mai multe variabile și derivate ale acelei funcție în raport cu cel puțin două variabile diferite.

În fizică, exemple de astfel de ecuații sunt ecuația lui Laplace

X, y) în interiorul cercului dacă valorile u specificat în fiecare punct al cercului de delimitare. Deoarece problemele cu mai mult de o variabilă în fizică sunt mai degrabă regula decât excepția, este ușor să ne imaginăm cât de vast este subiectul teoriei ecuațiilor cu diferențe parțiale.