Funcții, nu este deloc necesar să știți despre prezența primei și a doua derivate și să le înțelegeți sens fizic. Mai întâi trebuie să înțelegeți următoarele:
- extremele funcției maximizează sau, dimpotrivă, minimizează valoarea funcției într-o vecinătate arbitrar mică;
- nu ar trebui să existe discontinuitate a funcției la punctul extremum.
Și acum este același lucru, doar într-un limbaj simplu. Uită-te la vârful tijei pix. Dacă stiloul este poziționat vertical, cu capătul scris în sus, atunci chiar mijlocul mingii va fi extremum - punctul cel mai înalt. În acest caz vorbim de maxim. Acum, dacă întoarceți pixul cu capătul de scris în jos, atunci în mijlocul bilei va exista deja o funcție minimă. Folosind figura dată aici, vă puteți imagina manipulările enumerate pentru un creion de papetărie. Deci, extremele unei funcții sunt întotdeauna puncte critice: maximul sau minimul acesteia. Secțiunea adiacentă a graficului poate fi la fel de ascuțită sau netedă pe cât se dorește, dar trebuie să existe pe ambele părți, doar în acest caz punctul este un extremum. Dacă graficul este prezent doar pe o parte, acest punct nu va fi un extrem, chiar dacă pe o parte sunt îndeplinite condițiile extreme. Acum să studiem extremele funcției cu punct științific viziune. Pentru ca un punct să fie considerat un extremum, este necesar și suficient ca:
- prima derivată a fost zero sau nu a existat la punct;
- prima derivată și-a schimbat semnul în acest moment.
Condiția este interpretată ușor diferit din punctul de vedere al derivatelor de ordin superior: pentru o funcție care este diferențiabilă într-un punct, este suficient să existe o derivată de ordin impar care nu este egală cu zero, în timp ce toate derivatele de ordin inferior trebuie să existe și să fie egal cu zero. Aceasta este cea mai simplă interpretare posibilă a teoremelor din manuale oameni obișnuiți Merită să clarificăm acest punct cu un exemplu. Baza este o parabolă obișnuită. Să facem o rezervare imediat: la punctul zero are un minim. Doar puțină matematică:
- prima derivată (X 2) | = 2X, pentru punctul zero 2X = 0;
- derivata a doua (2X) | = 2, pentru punctul zero 2 = 2.
Acest mod simplu ilustrează condițiile care determină extremele funcției atât pentru derivate de ordinul întâi, cât și pentru derivate ordin superior. Putem adăuga la aceasta că derivata a doua este exact aceeași derivată de ordin impar, nu egal cu zero, despre care am discutat chiar mai sus. Când este vorba de extreme ale unei funcții a două variabile, trebuie îndeplinite condițiile pentru ambele argumente. Când are loc generalizarea, se folosesc derivate parțiale. Adică, pentru prezența unui extremum într-un punct, este necesar ca ambele derivate de ordinul întâi să fie egale cu zero, sau cel puțin una dintre ele nu există. Pentru a se asigura că prezența unui extremum este suficientă, se studiază o expresie care este diferența dintre produsul derivatelor de ordinul doi și pătratul derivatei mixte de ordinul doi a funcției. Dacă această expresie este mai mare decât zero, atunci există un extremum, dar dacă este egal cu zero, atunci întrebarea rămâne deschisă și trebuie efectuate cercetări suplimentare.
Aceasta este o secțiune destul de interesantă de matematică, pe care o întâlnesc absolut toți absolvenții și studenții. Cu toate acestea, nu tuturor le place matan. Unii nu pot înțelege nici măcar lucruri de bază, cum ar fi un studiu de funcții aparent standard. Acest articol are scopul de a corecta o astfel de neglijare. Doriți să aflați mai multe despre analiza funcției? Doriți să știți ce sunt punctele extremum și cum să le găsiți? Atunci acest articol este pentru tine.
Studierea graficului unei funcții
În primul rând, merită să înțelegeți de ce este necesar să analizați graficul. Există funcții simple care nu sunt greu de desenat. Un exemplu izbitor O parabolă poate îndeplini o funcție similară. Nu va fi dificil să desenezi un grafic. Tot ce este nevoie este, folosind o transformare simplă, să găsiți numerele la care funcția ia valoarea 0. Și, în principiu, asta este tot ce trebuie să știți pentru a desena un grafic al unei parabole.
Dar dacă funcția pe care trebuie să o graficăm este mult mai complexă? Din moment ce proprietăţi funcții complexe sunt destul de neevidente, este necesar să se efectueze întreaga analiză. Numai după aceasta funcția poate fi reprezentată grafic. Cum să faci asta? Puteți găsi răspunsul la această întrebare în acest articol.
Planul de analiză a funcției
Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să efectuăm un studiu superficial al funcției, în timpul căruia găsim domeniul de definiție. Deci, să începem în ordine. Domeniul de definiție este setul de valori prin care este definită funcția. Mai simplu spus, acestea sunt numerele care pot fi folosite într-o funcție în loc de x. Pentru a determina domeniul de aplicare, trebuie doar să vă uitați la înregistrare. De exemplu, este evident că funcția y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 are un domeniu de definiție care este mulțimea numerelor reale. Ei bine, cu o funcție ca (x 2 - 2x)/x totul este puțin diferit. Deoarece numărul din numitor nu trebuie să fie egal cu 0, domeniul de definiție al acestei funcții va fi toate numerele reale, altele decât zero.
În continuare, trebuie să găsiți așa-numitele zerouri ale funcției. Acestea sunt valorile argumentului la care întreaga funcție ia valoarea zero. Pentru a face acest lucru, este necesar să echivalați funcția cu zero, să o luați în considerare în detaliu și să efectuați unele transformări. Să luăm funcția deja familiară y(x) = (x 2 - 2x)/x. Din cursul școlar știm că o fracție este egală cu 0 când numărătorul este egal cu zero. Prin urmare, aruncăm numitorul și începem să lucrăm cu numărătorul, echivalându-l cu zero. Obținem x 2 - 2x = 0 și punem x din paranteze. Prin urmare, x (x - 2) = 0. Ca rezultat, aflăm că funcția noastră este egală cu zero atunci când x este egal cu 0 sau 2.
Când examinează graficul unei funcții, mulți oameni întâmpină probleme sub formă de puncte extreme. Și e ciudat. La urma urmei, extremele sunt un subiect destul de simplu. Nu mă crezi? Vedeți singuri citind această parte a articolului, în care vom vorbi despre punctele minime și maxime.
În primul rând, merită să înțelegeți ce este un extremum. Un extremum este valoarea limită pe care o atinge o funcție pe un grafic. Se pare că există două valori extreme - maximă și minimă. Pentru claritate, vă puteți uita la poza de mai sus. În zona studiată, punctul -1 este maximul funcției y (x) = x 5 - 5x, iar punctul 1, în consecință, este minimul.
De asemenea, nu confundați conceptele. Punctele extreme ale unei funcții sunt acele argumente la care o funcție dată capătă valori extreme. La rândul său, extremul este valoarea minimelor și maximelor unei funcții. De exemplu, luați în considerare din nou figura de mai sus. -1 și 1 sunt punctele extreme ale funcției, iar 4 și -4 sunt extremele în sine.
Găsirea punctelor extreme
Dar cum găsiți punctele extreme ale unei funcții? Totul este destul de simplu. Primul lucru de făcut este să găsiți derivata ecuației. Să presupunem că am primit sarcina: „Găsiți punctele extreme ale funcției y (x), x este argumentul pentru claritate, să luăm funcția y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Să diferențiem și. obțineți următoarea ecuație: 3x 2 + 4x + 1. Ca rezultat, avem o ecuație pătratică standard. Tot ce trebuie făcut în continuare este să o egalăm cu zero și să găsim rădăcinile, deoarece discriminantul este mai mare decât zero = 16 - 12 = 4), această ecuație este determinată de două rădăcini Le găsim și le obținem două valori: 1/3 și -1 care este cel mai mare și care este cel mai mic. 1. Înlocuiți această valoare în ecuația noastră y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Ca rezultat, obținem un număr pozitiv. Aceasta înseamnă că în intervalul de la 1/3 la -1. Aceasta, la rândul său, înseamnă că pe intervalele de la minus infinit la 1/3 și de la -1 la plus infinit funcția scade. Astfel, putem concluziona că numărul 1/3 este punctul minim al funcției pe intervalul studiat, iar -1 este punctul maxim.
De asemenea, este de remarcat faptul că examenul de stat unificat necesită nu numai găsirea de puncte extremum, ci și efectuarea unui fel de operație cu acestea (adăugarea, înmulțirea etc.). Din acest motiv, merită să acordați atenție o atenție deosebită la condiţiile problemei. La urma urmei, din cauza neatenției, puteți pierde puncte.
După cum puteți vedea, acest semn al unui extremum al unei funcții necesită existența unei derivate cel puțin de ordinul doi la punct.
Exemplu.
Aflați extremele funcției.
Soluţie.
Să începem cu domeniul definiției: 
Să diferențiem funcția inițială: 
x=1, adică acesta este un punct de extremum posibil. Găsim derivata a doua a funcției și calculăm valoarea acesteia la:
x = 1 x=1 Prin urmare, prin a doua condiție suficientă pentru un extremum, 
- punct maxim. Apoi
-functie maxima.
Ilustrație grafică.
Răspuns:
A treia condiție suficientă pentru extremul unei funcții. Lasă funcția y=f(x) are derivate până la n -al-lea ordin în -vecinătatea punctului și derivate până la n+1
Exemplu.
-a ordine la punctul însuși. Lăsați-l să fie. 
.
Soluţie.
Găsiți punctele extreme ale funcției
Funcția originală este o funcție rațională întreagă. Domeniul său de definire este întregul set de numere reale. 
Să diferențiem funcția: 
, prin urmare, acestea sunt puncte de posibil extremum. Să folosim a treia condiție suficientă pentru un extremum.
Găsim derivata a doua și calculăm valoarea ei în puncte de extremum posibil (vom omite calculele intermediare): 
În consecință, este punctul maxim (pentru al treilea semn suficient de extremum avem n=1Și ).
Pentru a afla natura punctelor 
găsim derivata a treia și calculăm valoarea ei în aceste puncte: 
Prin urmare, este punctul de inflexiune al funcției ( n=2Și ).
Rămâne să ne ocupăm de subiect. Găsim derivata a patra și calculăm valoarea ei în acest moment: 
Prin urmare, este punctul minim al funcției.
-functie maxima.
Ilustrație grafică.
Punctul maxim este punctul minim al funcției.
10. Extreme ale unei funcții Definiția unui extremum
Se numește funcția y = f(x). crescând (în scădere) într-un anumit interval, dacă pentru x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).
Dacă funcția diferențiabilă y = f(x) crește (descrește) pe un interval, atunci derivata ei pe acest interval f " (x) 0
(f " (x) 0).
Punct x O numit punct maxim local (minim) funcția f(x), dacă există o vecinătate a punctului x O, pentru toate punctele în care inegalitatea f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) este adevărată.
Se numesc punctele maxime și minime puncte extremum, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ale acesteia extreme.
Puncte extreme
Condiții necesare pentru un extremum. Dacă punctul x O este un punct extremum al funcției f(x), atunci fie f " (x o) = 0, fie f (x o) nu există. Astfel de puncte se numesc critic, iar funcția în sine este definită în punctul critic. Extremele unei funcții ar trebui căutate printre punctele sale critice.
Prima condiție suficientă. Lasă x O- punct critic. Dacă f "(x) la trecerea printr-un punct x O schimbă semnul plus în minus, apoi la punctul x O functia are un maxim, altfel are un minim. Dacă, la trecerea prin punctul critic, derivata nu își schimbă semnul, atunci în punctul x O nu exista extrema.
A doua condiție suficientă. Fie funcția f(x) să aibă o derivată f " (x) în vecinătatea punctului x O iar derivata a doua la punctul însuși x O. Dacă f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка x O este punctul minim (maxim) local al funcției f(x). Dacă =0, atunci trebuie fie să utilizați prima condiție suficientă, fie să utilizați derivate mai mari.
Pe un segment, funcția y = f(x) își poate atinge valoarea minimă sau maximă fie în punctele critice, fie la capetele segmentului.
Exemplul 3.22. Aflați extremele funcției f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Soluţie. Deoarece f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), atunci punctele critice ale funcției x 1 = 2 și x 2 = 3. Extrema poate fi doar la Aceste puncte, așa cum la trecerea prin punctul x 1 = 2 derivata își schimbă semnul din plus în minus, atunci în acest punct funcția are un maxim la plus, prin urmare la punctul x 2 = 3 funcția are un minim După ce au calculat valorile funcției la punctele x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f(. 2) = 14 și minim f(3) = 13.
Definitii:
Extremum numiți valoarea maximă sau minimă a unei funcții dintr-o mulțime dată.
Punct extrem este punctul în care se atinge valoarea maximă sau minimă a funcției.
Punct maxim este punctul în care se atinge valoarea maximă a funcției.
Punct minim este punctul în care se atinge valoarea minimă a funcției.
Explicaţie.
În figură, în vecinătatea punctului x = 3, funcția atinge valoarea maximă (adică în vecinătatea acestui punct anume nu există niciun punct mai mare). În vecinătatea lui x = 8, are din nou o valoare maximă (să lămurim din nou: în această vecinătate nu există niciun punct mai mare). În aceste puncte, creșterea face loc unei scăderi. Sunt punctele maxime:
x max = 3, x max = 8.
În vecinătatea punctului x = 5 se atinge valoarea minimă a funcției (adică în vecinătatea lui x = 5 nu există niciun punct dedesubt). În acest moment scăderea face loc unei creșteri. Este punctul minim:
Punctele maxime și minime sunt punctele extreme ale funcției, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ale acesteia extreme.
Punctele critice și staționare ale funcției:
Condiție necesară pentru un extremum:
Condiție suficientă pentru un extremum:
Pe un segment funcția y = f(x) poate atinge cea mai mică sau cea mai mare valoare fie în punctele critice , fie la capetele segmentului .
Algoritm pentru studierea unei funcții continuey = f(x) pentru monotonitate și extreme:
Ce este un extremum al unei funcții și care este condiția necesară pentru un extremum?
Extremul unei funcții este maximul și minimul funcției.
Condiția necesară pentru maximul și minimul (extremul) unei funcții este următoarea: dacă funcția f(x) are un extrem în punctul x = a, atunci în acest punct derivata este fie zero, fie infinită, fie nu are exista.
Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivata în punctul x = a poate merge la zero, la infinit sau nu poate exista fără ca funcția să aibă un extrem în acest punct.
Care este condiția suficientă pentru extremul unei funcții (maxim sau minim)?
Prima condiție:
Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este pozitivă la stânga lui a și negativă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are maxim
Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este negativă la stânga lui a și pozitivă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are minim cu condiția ca funcția f(x) aici să fie continuă.
În schimb, puteți folosi a doua condiție suficientă pentru extremul unei funcții:
Fie în punctul x = a prima derivată f?(x) să dispară; dacă derivata a doua f??(a) este negativă, atunci funcția f(x) are un maxim în punctul x = a, dacă este pozitivă, atunci are un minim.
Care este punctul critic al unei funcții și cum se găsește?
Aceasta este valoarea argumentului funcției la care funcția are un extrem (adică maxim sau minim). Pentru a-l găsi ai nevoie găsiți derivata funcția f?(x) și, echivalând-o cu zero, rezolva ecuația f?(x) = 0. Rădăcinile acestei ecuații, precum și acele puncte în care derivata acestei funcții nu există, sunt puncte critice, adică valori ale argumentului la care poate exista un extrem. Ele pot fi identificate cu ușurință privind grafic derivat: ne interesează acele valori ale argumentului la care graficul funcției intersectează axa absciselor (axa Ox) și cele la care graficul suferă discontinuități.
De exemplu, să găsim extremul unei parabole.
Funcția y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Derivată a funcției: y?(x) = 6x + 2
Rezolvați ecuația: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
În acest caz, punctul critic este x0=-1/3. Funcția are această valoare a argumentului extremum. Pentru el găsi, înlocuiți numărul găsit în expresie pentru funcție în loc de „x”:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Cum se determină maximul și minimul unei funcții, de ex. valorile sale cele mai mari și cele mai mici?
Dacă semnul derivatei la trecerea prin punctul critic x0 se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci x0 este punct maxim; dacă semnul derivatei se schimbă de la minus la plus, atunci x0 este punct minim; dacă semnul nu se schimbă, atunci în punctul x0 nu există nici maxim, nici minim.
Pentru exemplul considerat:
Luăm o valoare arbitrară a argumentului din stânga punctului critic: x = -1
La x = -1, valoarea derivatei va fi y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (adică semnul este „minus”).
Acum luăm o valoare arbitrară a argumentului din dreapta punctului critic: x = 1
La x = 1, valoarea derivatei va fi y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (adică semnul este „plus”).
După cum puteți vedea, derivata și-a schimbat semnul de la minus la plus la trecerea prin punctul critic. Aceasta înseamnă că la valoarea critică x0 avem un punct minim.
Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe interval(pe un segment) se găsesc folosind aceeași procedură, ținând cont doar de faptul că, poate, nu toate punctele critice se vor afla în intervalul specificat. Acele puncte critice care se află în afara intervalului trebuie excluse din considerare. Dacă există un singur punct critic în interiorul intervalului, acesta va avea fie un maxim, fie un minim. În acest caz, pentru a determina cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției, luăm în considerare și valorile funcției de la sfârșitul intervalului.
De exemplu, să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției
y(x) = 3sin(x) - 0,5x
la intervale:
Deci, derivata funcției este
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Rezolvăm ecuația 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Găsim puncte critice pe intervalul [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nu sunt incluse în interval)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nu sunt incluse în interval)
Găsim valorile funcției la valorile critice ale argumentului:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Se poate observa că pe intervalul [-9; 9] funcția are cea mai mare valoare la x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
iar cel mai mic - la x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Pe intervalul [-6; -3] avem un singur punct critic: x = -4,88. Valoarea funcției la x = -4,88 este egală cu y = 5,398.
Găsiți valoarea funcției la sfârșitul intervalului:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Pe intervalul [-6; -3] avem cea mai mare valoare a funcției
y = 5,398 la x = -4,88
cea mai mica valoare -
y = 1,077 la x = -3
Cum să găsiți punctele de inflexiune ale unui grafic al funcției și să determinați laturile convexe și concave?
Pentru a găsi toate punctele de inflexiune ale dreptei y = f(x), trebuie să găsiți derivata a doua, să o echivalați cu zero (rezolvați ecuația) și să testați toate acele valori ale lui x pentru care derivata a doua este zero, infinit sau nu există. Dacă, la trecerea prin una dintre aceste valori, derivata a doua își schimbă semnul, atunci graficul funcției are o inflexiune în acest punct. Dacă nu se schimbă, atunci nu există nicio îndoire.
Rădăcinile ecuației f? (x) = 0, precum și posibilele puncte de discontinuitate ale funcției și derivata a doua, împart domeniul de definire al funcției într-un număr de intervale. Convexitatea pe fiecare dintre intervalele lor este determinată de semnul derivatei a doua. Dacă derivata a doua într-un punct al intervalului studiat este pozitivă, atunci linia y = f(x) este concavă în sus, iar dacă este negativă, atunci în jos.
Cum se află extremele unei funcții a două variabile?
Pentru a găsi extremele funcției f(x,y), diferențiabile în domeniul specificației sale, aveți nevoie de:
1) găsiți punctele critice și pentru aceasta - rezolvați sistemul de ecuații
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) pentru fiecare punct critic P0(a;b) investigați dacă semnul diferenței rămâne neschimbat
pentru toate punctele (x;y) suficient de apropiate de P0. Dacă diferența rămâne pozitivă, atunci în punctul P0 avem un minim, dacă negativ, atunci avem un maxim. Dacă diferența nu își păstrează semnul, atunci nu există un extremum în punctul P0.
Extremele unei funcții sunt determinate în mod similar pentru un număr mai mare de argumente.
Când se sărbătorește Ziua Mondială a Televiziunii în noiembrie?
La 17 decembrie 1996, Adunarea Generală a proclamat 21 noiembrie drept „Ziua Mondială a Televiziunii” pentru a comemora data primului Forum Mondial al Televiziunii la Organizația Națiunilor Unite. Statelor li s-a cerut să comemoreze ziua prin schimbul de programe de televiziune pe teme precum pacea, securitatea
Ce este cireșul de pasăre
Cireșul de păsări este o specie de cireș, familia Rosaceae, originară din nordul Europei și nordul Asiei. Acesta este un arbust destul de înalt, care ajunge până la 16 metri înălțime. De obicei, înălțimea cireșului este de aproximativ 9 metri. Se caracterizează prin aroma sa parfumată de flori. Crește la cel puțin 800 de metri deasupra nivelului mării. Preferă solurile acide de stejar
Ce două etape include perioada diviziunii celulare (faza M)?
Ciclul celular este perioada de existență celulară din momentul formării sale prin diviziunea celulei mamă până la propria sa diviziune sau moarte. Durata ciclului celular variază între diferitele celule. Celulele cu proliferare rapidă ale organismelor adulte, cum ar fi celulele hematopoietice sau bazale ale epidermei și intestinului subțire, pot intra în ciclul celular
De ce browserul Opera nu afișează meniul principal?
Pentru a economisi spațiu pe ecran în browserul Opera, începând cu versiunea 10.5, meniul principal este dezactivat implicit. Dezvoltatorii au luat această decizie în legătură cu proliferarea netbook-urilor cu afișaje mici și monitoare LCD cu format larg, a căror înălțime a ecranului este semnificativ mai mică decât lățimea. Acces la toate funcțiile care erau în meniul principal
Unde este situat orașul Bratsk?
Bratsk este un oraș din Rusia în regiunea Irkutsk. Locația geografică a orașului Bratsk a determinat transformarea sa în „poarta de acces” a Nordului. Orașul este situat în centrul regiunii Siberiei de Est a Rusiei, în partea centrală a creasturii Angara, pe malul lacului de acumulare Bratsk de pe râul Angara. Distanța până la centrul regional - orașul Irkutsk:
Ce este alegoria
Alegoria (din greaca alegoria - alegorie) este una dintre formele alegoriei, transmiterea conditionata a unui concept abstract sau judecata printr-o imagine specifica. Alegoria este cel mai frecvent întâlnită în artele vizuale (o femeie cu o legătură la ochi și cântare în mâini - dreptate, o ancoră - speranță etc.). În literatură, multe imagini alegorice
Cum să îngrijești helichrysum
Helichrysum (Immortelle, Tsmin) Denumire latină: Helichrysum Categorii: plante anuale, plante de grădină de stânci Familie: Asteraceae. Patria: Helichrysum crește în regiunile temperate din Europa, Asia, Africa și Australia. Patria tsminei lui Milford este la periferia orașului Cape Town Form: plantă erbacee
Cine a scris romanul „Alb și negru”
Romanul „Alb și negru” este despre șah și jucători de șah. Figura centrală a romanului este marele jucător de șah, campionul mondial Alexander Alyokhin. Autorul romanului „Alb și negru” este un remarcabil jucător de șah sovietic, mare maestru internațional, scriitor, membru al Uniunii Scriitorilor.
Care este titlul complet al celei de-a doua cărți din trilogia lui Daniel Defoe Robinson Crusoe?
Daniel Defoe (în engleză Daniel Defoe; născut sub numele Daniel Foe; ca. 1660 - 1731) - scriitor și publicist englez, cunoscut astăzi în principal ca autor al romanului „Robinson Crusoe” (cum este obișnuit în critica literară științifică și publicarea
Ce mănâncă stâlpii?
Hermina (Mustela erminea) este un valoros animal purtător de blană din familia mustelidelor. Aspect. Toți reprezentanții genului dihorului sunt animale cu corpul flexibil, alungit, foarte grațios și agil, care se deosebesc de jder prin prezența culorii albe la vârful botului. Urechile sunt mici, rotunjite. Lungimea corpului herminei este de 16-3
Ce boli nu sunt acceptate în armată?
Categoriile de aptitudine pentru serviciul militar („A”, „B”, „C”, „D”, „D”) sunt stabilite de o comisie medicală militară în timpul examinării medicale a unui recrutat. A - apt pentru serviciul militar. B&nd
