Pentru a rezolva unele probleme, va fi util un tabel de identități trigonometrice, ceea ce va face mult mai ușoară efectuarea transformărilor de funcții:

Cele mai simple identități trigonometrice

Coeficientul împărțirii sinusului unghiului alfa la cosinusul aceluiași unghi este egal cu tangentei acestui unghi (Formula 1). Vezi și dovada corectitudinii transformării celor mai simple identități trigonometrice.
Coeficientul de împărțire a cosinusului unghiului alfa la sinusul aceluiași unghi este egal cu cotangenta aceluiași unghi (Formula 2)
Secanta unui unghi este egală cu una împărțită la cosinusul aceluiași unghi (Formula 3)
Suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este egală cu unu (Formula 4). vezi și demonstrația sumei pătratelor cosinusului și sinusului.
Suma unității și tangentei unghiului este egală cu raportul unității la pătratul cosinusului acestui unghi (Formula 5)
Unitatea plus cotangenta unghiului este egal cu câtul împărțirii unității la pătratul sinus al acestui unghi (Formula 6)
Produsul tangentei și cotangentei aceluiași unghi este egal cu unu (Formula 7).

Conversia unghiurilor negative ale funcțiilor trigonometrice (pare și impare)

Pentru a scăpa de valoarea negativă a gradului de măsură a unghiului la calcularea sinusului, cosinusului sau tangentei, puteți utiliza următoarele transformări trigonometrice (identități) bazate pe principiile funcțiilor trigonometrice pare sau impare.

Așa cum se vede, cosinus iar secanta este chiar funcția, sinus, tangentă și cotangentă sunt funcții impare.

Sinusul unui unghi negativ este egal cu valoarea negativă a sinusului aceluiași unghi pozitiv (minus sinusul alfa).
Cosinusul „minus alfa” va da aceeași valoare ca și cosinusul unghiului alfa.
Tangenta minus alfa este egală cu minus tangenta alfa.

Formule de reducere a unghiului dublu (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi dublu)

Dacă trebuie să împărțiți unghiul la jumătate sau invers, treceți de la un unghi dublu la unul singur, puteți utiliza următoarele identități trigonometrice:

Conversie cu unghi dublu (unghi dublu sinus, unghi dublu cosinus și unghi dublu tangente) într-un singur se produce conform următoarelor reguli:

Sinusul unui unghi dublu este egal cu dublul produsului dintre sinus și cosinus al unui singur unghi

Cosinusul unui unghi dublu este egală cu diferența dintre pătratul cosinusului unui singur unghi și pătratul sinusului acestui unghi

Cosinusul unui unghi dublu egal cu dublul pătratului cosinusului unui singur unghi minus unu

Cosinusul unui unghi dublu este egal cu unu minus pătratul dublu sinus al unui singur unghi

Tangenta cu unghi dublu este egal cu o fracție al cărei numărător este de două ori tangenta unui singur unghi și al cărei numitor este egal cu unu minus tangentei pătratului unui singur unghi.

Cotangentă cu unghi dublu este egal cu o fracție al cărei numărător este pătratul cotangentei unui singur unghi minus unu, iar numitorul este egal cu dublul cotangentei unui singur unghi

Formule universale de substituție trigonometrică

Formulele de conversie de mai jos pot fi utile atunci când trebuie să împărțiți argumentul funcției trigonometrice (sin α, cos α, tg α) la două și să aduceți expresia la valoarea jumătate a unghiului. Din valoarea lui α obținem α/2 .

Aceste formule sunt numite formule ale substituției trigonometrice universale. Valoarea lor constă în faptul că expresia trigonometrică cu ajutorul lor se reduce la expresia tangentei unei jumătăți de unghi, indiferent de ce funcții trigonometrice (sin cos tg ctg) au fost inițial în expresie. După aceea, ecuația cu tangenta unei jumătăți de unghi este mult mai ușor de rezolvat.

Identități trigonometrice de transformare semiunghi

Următoarele sunt formulele pentru conversia trigonometrică a jumătate din valoarea unui unghi în valoarea sa întreagă.
Valoarea argumentului funcției trigonometrice α/2 se reduce la valoarea argumentului funcției trigonometrice α.

Formule trigonometrice pentru adăugarea unghiurilor

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangenta și cotangenta sumei unghiurilor alfa și beta pot fi convertite în conformitate cu următoarele reguli pentru conversia funcțiilor trigonometrice:

Tangenta sumei unghiurilor este egal cu o fracție, al cărei numărător este suma tangentei primului unghi și tangentei celui de-al doilea unghi, iar numitorul este unu minus produsul tangentei primului unghi și tangentei celui de-al doilea unghi.

Diferența de unghi tangentă este egal cu o fracție, al cărei numărător este egal cu diferența dintre tangentei unghiului redus și tangentei unghiului de scăzut, iar numitorul este unu plus produsul tangentelor acestor unghiuri.

Cotangenta sumei unghiurilor este egal cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul cotangentelor acestor unghiuri plus unu, iar numitorul este egal cu diferența dintre cotangentei celui de-al doilea unghi și cotangentei primului unghi.

Cotangente a diferenței de unghi este egal cu o fracție al cărei numărător este produsul cotangentelor acestor unghiuri minus unu, iar numitorul este egal cu suma cotangentelor acestor unghiuri.

Aceste identități trigonometrice sunt convenabile de utilizat atunci când trebuie să calculați, de exemplu, tangenta de 105 grade (tg 105). Dacă este reprezentat ca tg (45 + 60), atunci puteți utiliza transformările identice date ale tangentei sumei unghiurilor, după care pur și simplu înlocuiți valorile tabelare ale tangentei lui 45 și tangentei. de 60 de grade.

Formule pentru conversia sumei sau diferențelor funcțiilor trigonometrice

Expresiile reprezentând suma formei sin α + sin β pot fi convertite folosind următoarele formule:

Formule cu unghi triplu - convertiți sin3α cos3α tg3α în sinα cosα tgα

Uneori este necesar să convertiți valoarea triplă a unghiului astfel încât unghiul α să devină argumentul funcției trigonometrice în loc de 3α.
În acest caz, puteți folosi formulele (identitățile) pentru transformarea unghiului triplu:

Formule pentru transformarea produsului funcțiilor trigonometrice

Dacă devine necesar să convertiți produsul sinusurilor diferitelor unghiuri ale cosinusurilor diferitelor unghiuri sau chiar produsul dintre sinus și cosinus, atunci puteți utiliza următoarele identități trigonometrice:


În acest caz, produsul funcțiilor sinus, cosinus sau tangentă ale diferitelor unghiuri va fi convertit într-o sumă sau diferență.

Formule de reducere a funcțiilor trigonometrice

Trebuie să utilizați tabelul de distribuție după cum urmează. În linie, selectați funcția care ne interesează. Coloana este un unghi. De exemplu, sinusul unghiului (α+90) la intersecția primului rând și a primei coloane, aflăm că sin (α+90) = cos α .

Cum să găsesc sinusul?

Studiul geometriei ajută la dezvoltarea gândirii. Această materie este inclusă în curriculum. În viață, cunoașterea acestui subiect poate fi utilă - de exemplu, atunci când planificați un apartament.

Din istorie

Ca parte a cursului de geometrie, se studiază și trigonometria, care explorează funcțiile trigonometrice. În trigonometrie, studiem sinusurile, cosinusurile, tangentele și cotangentele unui unghi.

Dar pentru moment, să începem cu cel mai simplu - sinus. Să aruncăm o privire mai atentă asupra primului concept - sinusul unui unghi în geometrie. Ce este un sinus și cum să-l găsești?

Conceptul de „sinus al unghiului” și sinusoide

Sinusul unui unghi este raportul dintre valorile catetului opus și ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Aceasta este o funcție trigonometrică directă, care este scrisă în scris ca „sin (x)”, unde (x) este unghiul triunghiului.

Pe grafic, sinusul unui unghi este indicat de o sinusoidă cu propriile sale caracteristici. O sinusoidă arată ca o linie ondulată continuă care se află în anumite limite pe planul de coordonate. Funcția este impară, deci este simetrică față de 0 pe planul de coordonate (ie părăsește originea coordonatelor).

Domeniul acestei funcții se află în intervalul de la -1 la +1 pe sistemul de coordonate carteziene. Perioada funcției unghiului sinusoidal este 2 Pi. Aceasta înseamnă că la fiecare 2 Pi modelul se repetă și unda sinusoidală trece printr-un ciclu complet.

Ecuația sinusoidală

• sin x = a / c
• unde a este catetul opus unghiului triunghiului
• c - ipotenuza unui triunghi dreptunghic

Proprietățile sinusului unui unghi

1. sin(x) = - sin(x). Această caracteristică demonstrează că funcția este simetrică, iar dacă valorile x și (-x) sunt puse deoparte pe sistemul de coordonate în ambele direcții, atunci ordonatele acestor puncte vor fi opuse. Vor fi la o distanță egală unul de celălalt.
2. O altă caracteristică a acestei funcții este că graficul funcției crește pe segmentul [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], unde n este orice număr întreg. Se va observa o scădere a graficului sinusului unghiului pe segmentul: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0 când x este în intervalul (2Pn, P + 2Pn)
4. (X)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Valorile sinusurilor unghiului sunt determinate de tabele speciale. Astfel de tabele au fost create pentru a facilita procesul de calcul al formulelor și ecuațiilor complexe. Este ușor de utilizat și conține nu numai valorile funcției sin(x), ci și valorile altor funcții.

Mai mult, tabelul valorilor standard ale acestor funcții este inclus în studiul de memorie obligatoriu, ca și tabelul înmulțirii. Acest lucru este valabil mai ales pentru clasele cu părtinire fizică și matematică. În tabel puteți vedea valorile principalelor unghiuri utilizate în trigonometrie: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 și 360 de grade.

Există, de asemenea, un tabel care definește valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor nestandard. Folosind diferite tabele, puteți calcula cu ușurință sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unor unghiuri.

Ecuațiile se fac cu funcții trigonometrice. Rezolvarea acestor ecuații este ușoară dacă cunoașteți identități trigonometrice simple și reduceri ale funcțiilor, de exemplu, cum ar fi sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) și altele. Un tabel separat a fost, de asemenea, întocmit pentru astfel de distribuții.

Cum se află sinusul unui unghi

Când sarcina este să găsim sinusul unui unghi și, prin condiție, avem doar cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului, putem calcula cu ușurință ceea ce avem nevoie folosind identitățile trigonometrice.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Din această ecuație, putem găsi atât sinus, cât și cosinus, în funcție de care valoare este necunoscută. Obținem o ecuație trigonometrică cu o necunoscută:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

Din această ecuație, puteți afla valoarea sinusului, cunoscând valoarea cotangentei unghiului. Pentru a simplifica, înlocuiți sin 2 x = y și apoi aveți o ecuație simplă. De exemplu, valoarea cotangentei este 1, atunci:

• 1 + 1 = 1/a
• 2 = 1 / y
• 2y = 1
• y = 1/2

Acum efectuăm înlocuirea inversă a playerului:

• sin 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Deoarece am luat valoarea cotangentei pentru unghiul standard (45 0), valorile obținute pot fi verificate pe tabel.

Dacă aveți o valoare tangentă, dar trebuie să găsiți sinusul, o altă identitate trigonometrică vă va ajuta:

• tg x * ctg x = 1

Rezultă că:

• ctg x = 1 / tg x

Pentru a găsi sinusul unui unghi non-standard, de exemplu, 240 0, trebuie să utilizați formulele de reducere a unghiului. Știm că π corespunde la 180 0 pentru noi. Astfel, ne vom exprima egalitatea folosind unghiuri standard prin expansiune.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Trebuie să aflăm următoarele: sin (180 0 + 60 0). În trigonometrie, există formule de reducere care sunt utile în acest caz. Aceasta este formula:

• sin (π + x) = - sin (x)

Astfel, sinusul unui unghi de 240 de grade este:

• sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

În cazul nostru, x = 60 și, respectiv, P 180 de grade. Am găsit valoarea (-√3/2) din tabelul de valori ale funcțiilor unghiurilor standard.

În acest fel, unghiurile non-standard pot fi descompuse, de exemplu: 210 = 180 + 30.

Formulele de bază ale trigonometriei sunt formule care stabilesc relații între funcțiile trigonometrice de bază. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt interconectate prin multe relații. Mai jos dăm principalele formule trigonometrice, iar pentru comoditate le grupăm în funcție de scopul lor. Folosind aceste formule, puteți rezolva aproape orice problemă de la cursul standard de trigonometrie. Remarcăm imediat că mai jos sunt date doar formulele în sine, și nu derivarea lor, cărora le vor fi consacrate articole separate.

Identități de bază ale trigonometriei

Identitățile trigonometrice dau o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, permițând ca o funcție să fie exprimată în termenii altuia.

Identități trigonometrice

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

Aceste identități rezultă direct din definițiile cercului unitar, sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg) și cotangente (ctg).

Formule turnate

Formulele de turnare vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare și arbitrar mari la lucrul cu unghiuri cuprinse între 0 și 90 de grade.

Formule turnate

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Formulele de reducere sunt o consecință a periodicității funcțiilor trigonometrice.

Formule trigonometrice de adunare

Formulele de adunare din trigonometrie vă permit să exprimați funcția trigonometrică a sumei sau diferenței de unghiuri în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri.

Formule trigonometrice de adunare

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Pe baza formulelor de adunare, sunt derivate formule trigonometrice pentru un unghi multiplu.

Formule cu mai multe unghiuri: dublu, triplu etc.

Formule cu unghi dublu și triplu

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α cu t g 2 α \u003d cu t g 2 α - 1 2 cu t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Formule cu jumătate de unghi

Formulele de semiunghi în trigonometrie sunt o consecință a formulelor de unghi dublu și exprimă relația dintre funcțiile de bază ale semiunghiului și cosinusul întregului unghi.

Formule cu jumătate de unghi

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formule de reducere

Formule de reducere

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Adesea, în calcule, este incomod să operezi cu puteri greoaie. Formulele de reducere a gradului vă permit să reduceți gradul unei funcții trigonometrice de la arbitrar mare la prima. Iată viziunea lor generală:

Forma generală a formulelor de reducere

pentru chiar n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

pentru n. impar

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Diferența și suma funcțiilor trigonometrice pot fi reprezentate ca produs. Factorizarea diferențelor de sinusuri și cosinus este foarte convenabilă de utilizat atunci când rezolvați ecuații trigonometrice și simplificați expresii.

Suma și diferența funcțiilor trigonometrice

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Produsul funcțiilor trigonometrice

Dacă formulele pentru suma și diferența funcțiilor vă permit să mergeți la produsul lor, atunci formulele pentru produsul funcțiilor trigonometrice efectuează tranziția inversă - de la produs la sumă. Sunt luate în considerare formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Formule pentru produsul funcțiilor trigonometrice

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Substituție trigonometrică universală

Toate funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă - pot fi exprimate în termenii tangentei unui jumătate de unghi.

Substituție trigonometrică universală

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice

Notă. Acest tabel de valori pentru funcțiile trigonometrice folosește semnul √ pentru a desemna rădăcina pătrată. Pentru a desemna o fracție - simbolul „/”.

Vezi si materiale utile:

Pentru determinarea valorii unei funcţii trigonometrice, găsiți-l la intersecția dreptei care indică funcția trigonometrică. De exemplu, un sinus de 30 de grade - căutăm o coloană cu titlul sin (sinus) și găsim intersecția acestei coloane a tabelului cu linia „30 de grade”, la intersecția lor citim rezultatul - unul al doilea. În mod similar, găsim cosinus 60 grade, sinus 60 grade (din nou, la intersecția coloanei sin (sinus) și rândul de 60 de grade, găsim valoarea sin 60 = √3/2), etc. În același mod, se găsesc valorile sinusurilor, cosinusurilor și tangentelor altor unghiuri „populare”.

Sinusul lui pi, cosinusul lui pi, tangenta lui pi și alte unghiuri în radiani

Tabelul de cosinus, sinusuri și tangente de mai jos este, de asemenea, potrivit pentru a afla valoarea funcțiilor trigonometrice al căror argument este dat în radiani. Pentru a face acest lucru, utilizați a doua coloană de valori unghiulare. Datorită acestui fapt, puteți converti valoarea unghiurilor populare de la grade la radiani. De exemplu, să găsim unghiul de 60 de grade pe prima linie și să citim valoarea lui în radiani sub el. 60 de grade este egal cu π/3 radiani.

Numărul pi exprimă în mod unic dependența circumferinței unui cerc de măsura gradului unghiului. Deci pi radiani este egal cu 180 de grade.

Orice număr exprimat în termeni de pi (radian) poate fi ușor convertit în grade prin înlocuirea numărului pi (π) cu 180.

Exemple:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
astfel, sinusul lui pi este același cu sinusul de 180 de grade și este egal cu zero.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
astfel, cosinusul lui pi este același cu cosinusul de 180 de grade și este egal cu minus unu.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
astfel, tangenta lui pi este aceeași cu tangenta de 180 de grade și este egală cu zero.

Tabelul valorilor sinus, cosinus, tangente pentru unghiuri 0 - 360 de grade (valori frecvente)

unghiul α (grade)	unghiul α în radiani (prin pi)	păcat (sinus)	cos (cosinus)	tg (tangentă)	ctg (cotangentă)	sec (secantă)	cauză (cosecant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Dacă în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, în loc de valoarea funcției, este indicată o liniuță (tangentă (tg) 90 de grade, cotangentă (ctg) 180 de grade), atunci pentru o anumită valoare a gradului de măsură a unghiul, funcția nu are o valoare definită. Dacă nu există liniuță, celula este goală, așa că nu am introdus încă valoarea dorită. Suntem interesați de ce solicitări vin utilizatorii la noi și completăm tabelul cu valori noi, în ciuda faptului că datele actuale despre valorile cosinusurilor, sinusurilor și tangentelor celor mai comune valori unghiulare sunt suficiente pentru a rezolva cele mai multe Probleme.

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice sin, cos, tg pentru cele mai populare unghiuri
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 de grade
(valori numerice „conform tabelelor Bradis”)

valoarea unghiului α (grade)	valoarea unghiului α în radiani	păcat (sinus)	cos (cosinus)	tg (tangent)	ctg (cotangent)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Conceptele de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt principalele categorii ale trigonometriei - o ramură a matematicii și sunt indisolubil legate de definiția unghiului. Posesia acestei științe matematice necesită memorarea și înțelegerea formulelor și teoremelor, precum și gândirea spațială dezvoltată. De aceea, calculele trigonometrice provoacă adesea dificultăți pentru școlari și elevi. Pentru a le depăși, ar trebui să vă familiarizați mai mult cu funcțiile și formulele trigonometrice.

Concepte în trigonometrie

Pentru a înțelege conceptele de bază ale trigonometriei, trebuie mai întâi să decideți ce sunt un triunghi dreptunghic și un unghi dintr-un cerc și de ce toate calculele trigonometrice de bază sunt asociate acestora. Un triunghi în care unul dintre unghiuri are 90 de grade este un triunghi dreptunghic. Din punct de vedere istoric, această figură a fost adesea folosită de oameni în arhitectură, navigație, artă, astronomie. În consecință, studiind și analizând proprietățile acestei figuri, oamenii au ajuns la calcularea rapoartelor corespunzătoare ale parametrilor ei.

Principalele categorii asociate triunghiurilor dreptunghic sunt ipotenuza și catetele. Ipotenuza este latura unui triunghi care este opus unghiului drept. Picioarele, respectiv, sunt celelalte două laturi. Suma unghiurilor oricărui triunghi este întotdeauna de 180 de grade.

Trigonometria sferică este o secțiune a trigonometriei care nu este studiată la școală, dar în științe aplicate precum astronomia și geodezia, oamenii de știință o folosesc. O caracteristică a unui triunghi în trigonometria sferică este că are întotdeauna o sumă de unghiuri mai mare de 180 de grade.

Unghiurile unui triunghi

Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus unghiului dorit și ipotenuza triunghiului. În consecință, cosinusul este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuza. Ambele valori au întotdeauna o valoare mai mică decât unu, deoarece ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât catetul.

Tangenta unui unghi este o valoare egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent al unghiului dorit sau sinus la cosinus. Cotangenta, la rândul său, este raportul dintre piciorul adiacent al unghiului dorit și cactotul opus. Cotangenta unui unghi se poate obține și prin împărțirea unității la valoarea tangentei.

cerc unitar

Un cerc unitar în geometrie este un cerc a cărui rază este egală cu unu. Un astfel de cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene, cu centrul cercului coincizând cu punctul de origine, iar poziția inițială a vectorului rază este determinată de direcția pozitivă a axei X (axa absciselor). Fiecare punct al cercului are două coordonate: XX și YY, adică coordonatele abscisei și ordonatei. Selectând orice punct de pe cerc în planul XX și scăzând perpendiculara de pe acesta pe axa absciselor, obținem un triunghi dreptunghic format dintr-o rază față de punctul selectat (să-l notăm cu litera C), o perpendiculară trasată la axa X (punctul de intersecție este notat cu litera G), iar un segment axa absciselor dintre origine (punctul este notat cu litera A) și punctul de intersecție G. Triunghiul rezultat ACG este un triunghi dreptunghic înscris în un cerc, unde AG este ipotenuza, iar AC și GC sunt catetele. Unghiul dintre raza cercului AC și segmentul axei absciselor cu denumirea AG, îl definim ca α (alfa). Deci, cos α = AG/AC. Având în vedere că AC este raza cercului unitar și este egală cu unu, rezultă că cos α=AG. În mod similar, sin α=CG.

În plus, cunoscând aceste date, este posibil să se determine coordonatele punctului C pe cerc, deoarece cos α=AG, și sin α=CG, ceea ce înseamnă că punctul C are coordonatele date (cos α; sin α). Știind că tangenta este egală cu raportul dintre sinus și cosinus, putem determina că tg α \u003d y / x și ctg α \u003d x / y. Luând în considerare unghiurile dintr-un sistem de coordonate negativ, se poate calcula că valorile sinusului și cosinusului unor unghiuri pot fi negative.

Calcule și formule de bază

Valorile funcțiilor trigonometrice

Având în vedere esența funcțiilor trigonometrice prin cercul unitar, putem deriva valorile acestor funcții pentru unele unghiuri. Valorile sunt enumerate în tabelul de mai jos.

Cele mai simple identități trigonometrice

Ecuațiile în care există o valoare necunoscută sub semnul funcției trigonometrice se numesc trigonometrice. Identități cu valoarea sin x = α, k este orice număr întreg:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, fără soluții.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identități cu valoarea cos x = a, unde k este orice număr întreg:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, fără soluții.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identități cu valoarea tg x = a, unde k este orice număr întreg:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identități cu valoarea ctg x = a, unde k este orice număr întreg:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Formule turnate

Această categorie de formule constante denotă metode prin care puteți trece de la funcțiile trigonometrice ale formei la funcțiile argumentului, adică să convertiți sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de orice valoare la indicatorii corespunzători ai unghiului de intervalul de la 0 la 90 de grade pentru o mai mare comoditate a calculelor.

Formulele pentru funcțiile de reducere pentru sinusul unui unghi arată astfel:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Pentru cosinusul unui unghi:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Utilizarea formulelor de mai sus este posibilă sub rezerva a două reguli. În primul rând, dacă unghiul poate fi reprezentat ca valoare (π/2 ± a) sau (3π/2 ± a), valoarea funcției se modifică:

• de la sin la cos;
• de la cos la sin;
• de la tg la ctg;
• de la ctg la tg.

Valoarea funcției rămâne neschimbată dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π ± a) sau (2π ± a).

În al doilea rând, semnul funcției reduse nu se schimbă: dacă a fost inițial pozitiv, așa rămâne. Același lucru este valabil și pentru funcțiile negative.

Formule de adunare

Aceste formule exprimă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sumei și diferenței a două unghiuri de rotație în funcție de funcțiile lor trigonometrice. Unghiurile sunt de obicei notate ca α și β.

Formulele arată astfel:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Aceste formule sunt valabile pentru orice unghiuri α și β.

Formule cu unghi dublu și triplu

Formulele trigonometrice ale unui unghi dublu și triplu sunt formule care raportează funcțiile unghiurilor 2α și, respectiv, 3α la funcțiile trigonometrice ale unghiului α. Derivat din formule de adunare:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Trecerea de la sumă la produs

Considerând că 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), simplificând această formulă, obținem identitatea sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. În mod similar, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Trecerea de la produs la sumă

Aceste formule decurg din identitățile pentru trecerea sumei la produs:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule de reducere

În aceste identități, puterile pătrate și cubice ale sinusului și cosinusului pot fi exprimate în termenii sinusului și cosinusului primei puteri a unui unghi multiplu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Substituție universală

Formulele universale de substituție trigonometrică exprimă funcții trigonometrice în termenii tangentei unui jumătate de unghi.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), în timp ce x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), unde x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), unde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), în timp ce x \u003d π + 2πn.

Cazuri speciale

Mai jos sunt prezentate cazuri particulare ale celor mai simple ecuații trigonometrice (k este orice număr întreg).

Privat pentru sine:

valoarea sin x	valoarea x
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk sau 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk sau -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk sau 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk sau -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk sau 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk sau -2π/3 + 2πk

Coeficienti cosinus:

valoarea cos x	valoarea x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privat pentru tangentă:

valoarea tg x	valoarea x
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Cotangenți:

valoarea ctg x	valoarea x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoreme

Teorema sinusului

Există două versiuni ale teoremei - simplă și extinsă. Teorema sinusului simplu: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. În acest caz, a, b, c sunt laturile triunghiului și, respectiv, α, β, γ sunt unghiurile opuse.

Teorema sinusului extins pentru un triunghi arbitrar: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. În această identitate, R denotă raza cercului în care este înscris triunghiul dat.

Teorema cosinusului

Identitatea este afișată astfel: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. În formula, a, b, c sunt laturile triunghiului, iar α este unghiul opus laturii a.

Teorema tangentei

Formula exprimă relația dintre tangentele a două unghiuri și lungimea laturilor opuse acestora. Laturile sunt etichetate a, b, c, iar unghiurile opuse corespunzătoare sunt α, β, γ. Formula teoremei tangentei: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Teorema cotangentei

Asociază raza unui cerc înscris într-un triunghi cu lungimea laturilor acestuia. Dacă a, b, c sunt laturile unui triunghi și, respectiv, A, B, C sunt unghiurile lor opuse, r este raza cercului înscris și p este semiperimetrul triunghiului, următoarele identități tine:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplicații

Trigonometria nu este doar o știință teoretică asociată cu formulele matematice. Proprietățile, teoremele și regulile sale sunt folosite în practică de diverse ramuri ale activității umane - astronomie, navigație aeriană și maritimă, teoria muzicii, geodezie, chimie, acustică, optică, electronică, arhitectură, economie, inginerie mecanică, lucrări de măsurare, grafică pe computer, cartografie, oceanografie și multe altele.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt conceptele de bază ale trigonometriei, cu ajutorul cărora puteți exprima matematic relația dintre unghiurile și lungimile laturilor dintr-un triunghi și puteți găsi mărimile dorite prin identități, teoreme și reguli.