Studiul teoriei probabilităților începe cu rezolvarea problemelor care implică adunarea și înmulțirea probabilităților. Merită menționat imediat că un student poate întâmpina o problemă atunci când stăpânește acest domeniu de cunoaștere: dacă procesele fizice sau chimice pot fi reprezentate vizual și înțelese empiric, atunci nivelul de abstractizare matematică este foarte ridicat, iar înțelegerea aici vine doar cu experienta.

Cu toate acestea, jocul merită lumânarea, deoarece formulele - atât cele discutate în acest articol, cât și cele mai complexe - sunt folosite peste tot astăzi și pot fi foarte utile în muncă.

Origine

Destul de ciudat, imboldul pentru dezvoltarea acestei ramuri a matematicii a fost... jocurile de noroc. Într-adevăr, zarurile, aruncarea de monede, pokerul, ruleta sunt exemple tipice care folosesc adunarea și înmulțirea probabilităților. Acest lucru poate fi văzut clar folosind exemplele de probleme din orice manual. Oamenii erau interesați să învețe cum să-și mărească șansele de câștig și trebuie spus că unii au reușit acest lucru.

De exemplu, deja în secolul 21, o persoană, al cărei nume nu îl vom dezvălui, a folosit aceste cunoștințe acumulate de-a lungul secolelor pentru a „curăța” literalmente cazinoul, câștigând câteva zeci de milioane de dolari la ruletă.

Cu toate acestea, în ciuda interesului crescut pentru subiect, abia în secolul al XX-lea a fost dezvoltat un cadru teoretic care a făcut „teorema” completă.Astăzi, în aproape orice știință se pot găsi calcule folosind metode probabilistice.

Aplicabilitate

Un punct important atunci când se utilizează formule pentru adunarea și înmulțirea probabilităților și probabilității condiționate este satisfacabilitatea teoremei limitei centrale. Altfel, deși elevul poate să nu-și dea seama, toate calculele, oricât de plauzibile ar părea, vor fi incorecte.

Da, un student foarte motivat este tentat să folosească cunoștințe noi cu fiecare ocazie. Dar în în acest caz, ar trebui să încetinim puțin și să delimităm cu strictețe domeniul de aplicabilitate.

Teoria probabilității se ocupă de evenimente aleatoare, care în termeni empirici reprezintă rezultatele experimentelor: putem arunca un zar cu șase fețe, putem trage o carte dintr-un pachet, putem prezice numărul de părți defecte dintr-un lot. Cu toate acestea, în unele întrebări este strict interzisă utilizarea formulelor din această secțiune de matematică. Vom discuta caracteristicile luării în considerare a probabilităților unui eveniment, teoremele de adunare și multiplicare a evenimentelor la sfârșitul articolului, dar deocamdată să ne întoarcem la exemple.

Noțiuni de bază

Un eveniment aleatoriu se referă la un proces sau rezultat care poate sau nu să apară ca rezultat al unui experiment. De exemplu, aruncăm un sandviș - acesta poate ateriza cu untul în sus sau cu untul în jos. Oricare dintre cele două rezultate va fi aleatoriu și nu știm dinainte care dintre ele va avea loc.

Când studiem adunarea și înmulțirea probabilităților, vom avea nevoie de încă două concepte.

Astfel de evenimente sunt numite comune, apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt. Să presupunem că doi oameni trag într-o țintă în același timp. Dacă unul dintre ei produce unul de succes, nu va afecta în niciun fel capacitatea celui de-al doilea de a lovi ochiul sau de a rata.

Evenimentele incompatibile vor fi acele evenimente a căror producere în același timp este imposibilă. De exemplu, dacă scoți doar o minge dintr-o cutie, nu poți obține atât albastru cât și roșu deodată.

Desemnare

Conceptul de probabilitate este notat cu litera majusculă latină P. Urmează între paranteze argumentele care denotă anumite evenimente.

În formulele teoremei adunării, probabilității condiționate și teoremei înmulțirii, veți vedea expresii între paranteze, de exemplu: A+B, AB sau A|B. Vor fi calculate căi diferite, ne vom adresa acum la ei.

Plus

Să luăm în considerare cazurile în care se folosesc formule de adunare și înmulțire a probabilităților.

Pentru evenimentele incompatibile, cea mai simplă formulă de adunare este relevantă: probabilitatea oricăruia dintre rezultatele aleatoare va fi egală cu suma probabilităților fiecăruia dintre aceste rezultate.

Să presupunem că există o cutie cu 2 bile albastre, 3 roșii și 5 galbene. În cutie sunt în total 10 articole. Care este adevărul afirmației că vom trage o minge albastră sau roșie? Va fi egal cu 2/10 + 3/10, adică cincizeci la sută.

În cazul evenimentelor incompatibile, formula devine mai complicată, deoarece se adaugă un termen suplimentar. Să revenim la el într-un paragraf, după ce luăm în considerare o altă formulă.

Multiplicare

Adunarea și înmulțirea probabilităților nu sunt evenimente dependente folosit in cazuri diferite. Dacă, conform condițiilor experimentului, suntem mulțumiți de oricare dintre cele două rezultate posibile, vom calcula suma; dacă dorim să obținem două rezultate concrete unul după altul, vom recurge la utilizarea unei formule diferite.

Revenind la exemplul din secțiunea anterioară, vrem să desenăm mai întâi bila albastră și apoi pe cea roșie. Știm primul număr - este 2/10. Ce se întâmplă în continuare? Au mai rămas 9 bile și mai sunt tot același număr de roșii - trei. Conform calculelor, va fi 3/9 sau 1/3. Dar ce să faci acum cu două numere? Răspunsul corect este să înmulțiți pentru a obține 2/30.

Evenimente comune

Acum putem apela din nou la formula sumei pentru evenimente comune. De ce am fost distrași de la subiect? Pentru a afla cum se înmulțesc probabilitățile. Acum vom avea nevoie de aceste cunoștințe.

Știm deja care vor fi primii doi termeni (la fel ca în formula de adunare discutată mai devreme), dar acum trebuie să scădem produsul probabilităților, pe care tocmai am învățat să-l calculăm. Pentru claritate, să scriem formula: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Se pare că atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților sunt folosite într-o expresie.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm oricare dintre cele două probleme pentru a obține credit. Pe primul îl putem rezolva cu o probabilitate de 0,3, iar pe al doilea cu o probabilitate de 0,6. Rezolvare: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Rețineți că simpla adunare a numerelor aici nu va fi suficientă.

Probabilitate condițională

În sfârșit, există conceptul de probabilitate condiționată, ale cărui argumente sunt indicate în paranteze și separate printr-o bară verticală. Intrarea P(A|B) se citește după cum urmează: „probabilitatea evenimentului A dat eveniment B”.

Să ne uităm la un exemplu: un prieten îți dă un dispozitiv, să fie un telefon. Poate fi spart (20%) sau intact (80%). Puteți repara orice dispozitiv care vă vine în mâini cu o probabilitate de 0,4 sau nu puteți face acest lucru (0,6). În cele din urmă, dacă dispozitivul este în stare de funcționare, puteți ajunge la persoana potrivita cu probabilitate 0,7.

Este ușor de văzut cum se joacă probabilitatea condiționată în acest caz: nu veți putea ajunge la o persoană dacă telefonul este stricat, dar dacă funcționează, nu trebuie să îl reparați. Astfel, pentru a obține rezultate la „al doilea nivel”, trebuie să aflați ce eveniment a fost executat la primul.

Calcule

Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor care implică adunarea și înmulțirea probabilităților, folosind datele din paragraful anterior.

Mai întâi, să găsim probabilitatea de a repara dispozitivul care ți-a fost dat. Pentru a face acest lucru, în primul rând, trebuie să fie defect și, în al doilea rând, trebuie să îl puteți remedia. Aceasta este o problemă tipică folosind înmulțirea: obținem 0,2 * 0,4 = 0,08.

Care este probabilitatea să ajungi imediat la persoana potrivită? Este la fel de simplu: 0,8*0,7 = 0,56. În acest caz, ați constatat că telefonul funcționează și ați efectuat cu succes apelul.

În cele din urmă, luați în considerare acest scenariu: obțineți un telefon stricat, îl reparați, apoi formați un număr și persoana de la celălalt capăt preia. Aici trebuie deja să înmulțim trei componente: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Ce să faci dacă ai două telefoane care nu funcționează simultan? Cât de probabil aveți să remediați cel puțin unul dintre ele? asupra adunării și înmulțirii probabilităților, deoarece se folosesc evenimente comune. Rezolvare: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Astfel, dacă primești două dispozitive stricate, îl vei putea repara în 64% din cazuri.

Utilizare atentă

După cum sa spus la începutul articolului, utilizarea teoriei probabilităților ar trebui să fie deliberată și conștientă.

Cu cât seria de experimente este mai mare, cu atât valoarea prezisă teoretic se apropie de cea obţinută în practică. De exemplu, aruncăm o monedă. Teoretic, cunoscând existența formulelor de adunare și înmulțire a probabilităților, putem prezice de câte ori vor apărea „capete” și „cozi” dacă efectuăm experimentul de 10 ori. Am efectuat un experiment și, întâmplător, raportul laturilor desenate a fost de 3 la 7. Dar dacă facem o serie de 100, 1000 sau mai multe încercări, se dovedește că graficul de distribuție se apropie din ce în ce mai mult de cel teoretic: 44 la 56, 482 la 518 și așa mai departe.

Acum imaginați-vă că acest experiment se desfășoară nu cu o monedă, ci cu producerea unor noi substanta chimica, a cărei probabilitate nu știm. Am face 10 experimente și, fără a obține un rezultat de succes, am putea generaliza: „este imposibil să obținem substanța”. Dar cine știe, dacă am fi făcut a unsprezecea încercare, am fi atins obiectivul sau nu?

Deci, dacă mergi în necunoscut, într-o zonă neexplorată, teoria probabilității s-ar putea să nu se aplice. Fiecare încercare ulterioară în acest caz poate avea succes și generalizări precum „X nu există” sau „X este imposibil” vor fi premature.

Ultimul cuvânt

Deci, ne-am uitat la două tipuri de adunare, înmulțire și probabilități condiționate. Odată cu studiul suplimentar al acestei zone, este necesar să învățăm să distingem situațiile în care este utilizată fiecare formulă specifică. În plus, trebuie să vă imaginați dacă metodele probabilistice sunt aplicabile în general pentru rezolvarea problemei dvs.

Dacă exersați, după un timp veți începe să efectuați toate operațiunile necesare doar în mintea dvs. Pentru cei interesati jocuri de cărți, această abilitate poate fi considerată extrem de valoroasă - îți vei crește semnificativ șansele de câștig doar calculând probabilitatea ca o anumită carte sau costum să cadă. Cu toate acestea, puteți găsi cu ușurință aplicarea cunoștințelor dobândite în alte domenii de activitate.

Teoreme de adunare și înmulțire a probabilității.
Evenimente dependente și independente

Titlul pare înfricoșător, dar în realitate totul este foarte simplu. Pe această lecție ne vom familiariza cu teoremele de adunare și înmulțire a probabilităților de evenimente și, de asemenea, vom analiza probleme tipice care, împreună cu problema de determinare clasica a probabilitatii se va întâlni cu siguranță sau, mai probabil, v-ați întâlnit deja în drumul vostru. Pentru învăţare eficientă materialele acestui articol trebuie să cunoașteți și să înțelegeți termenii de bază teoria probabilitățiiși să poată face cel mai simplu operatii aritmetice. După cum puteți vedea, este necesar foarte puțin și, prin urmare, un plus de grăsime în activ este aproape garantat. Dar, pe de altă parte, avertizez din nou împotriva unei atitudini superficiale față de exemplele practice - există și o mulțime de subtilități. Noroc:

Teorema de adunare a probabilitatilor de evenimente incompatibile: probabilitatea de apariție a unuia dintre doi incompatibil evenimente sau (indiferent de situatie), este egal cu suma probabilităților acestor evenimente:

Un fapt similar este valabil pentru un număr mai mare de evenimente incompatibile, de exemplu, pentru trei evenimente incompatibile și:

Teorema este un vis =) Cu toate acestea, un astfel de vis este supus demonstrației, care poate fi găsită, de exemplu, în manual V.E. Gmurman.

Să ne familiarizăm cu concepte noi, necunoscute până acum:

Evenimente dependente și independente

Să începem cu evenimente independente. Evenimentele sunt independent , dacă probabilitatea de apariție oricare dintre ei nu depinde asupra aparitiei/neaparitiei altor evenimente ale ansamblului luat in considerare (in toate combinatiile posibile). ...Dar de ce să te deranjezi cu fraze generale:

Teoremă de înmulțire a probabilităților evenimentelor independente: probabilitatea apariției în comun a evenimentelor independente și este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Să revenim la cel mai simplu exemplu din prima lecție, în care sunt aruncate două monede și următoarele evenimente:

– capete vor apărea pe prima monedă;
– capete vor apărea pe a 2-a monedă.

Să găsim probabilitatea evenimentului (capete vor apărea pe prima monedă Și pe moneda a 2-a va apărea un vultur - amintește-ți cum să citești produs al evenimentelor!) . Probabilitatea capetelor pe o monedă nu depinde în niciun fel de rezultatul aruncării unei alte monede, prin urmare, evenimentele sunt independente.

De asemenea:
– probabilitatea ca prima monedă să aterizeze capete Și pe a 2-a cozi;
– probabilitatea ca pe prima monedă să apară capete Și pe a 2-a cozi;
– probabilitatea ca prima monedă să arate capete Și pe al 2-lea vultur.

Observați că evenimentele se formează grup complet iar suma probabilităţilor lor este egală cu unu: .

Teorema înmulțirii se extinde în mod evident la un număr mai mare de evenimente independente, de exemplu, dacă evenimentele sunt independente, atunci probabilitatea apariției lor comune este egală cu: . Să exersăm mai departe exemple concrete:

Problema 3

Fiecare dintre cele trei cutii conține 10 părți. Prima cutie conține 8 părți standard, a doua – 7, a treia – 9. O parte este îndepărtată aleatoriu din fiecare cutie. Găsiți probabilitatea ca toate părțile să fie standard.

Soluţie: Probabilitatea de a extrage o piesă standard sau non-standard din orice casetă nu depinde de ce părți sunt luate din alte casete, așa că problema tratează evenimente independente. Luați în considerare următoarele evenimente independente:

– se scoate o piesă standard din prima cutie;
– a fost scoasă o piesă standard din a 2-a cutie;
– o parte standard este scoasă din a 3-a cutie.

Conform definiției clasice:
sunt probabilitățile corespunzătoare.

Eveniment de interes pentru noi (o parte standard va fi scoasă din prima cutie Și de la al 2-lea standard Și de la al 3-lea standard) este exprimată prin produs.

Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:

– probabilitatea ca o piesă standard să fie eliminată din trei casete.

Răspuns: 0,504

După exerciții revigorante cu cutii, ne așteaptă urne nu mai puțin interesante:

Problema 4

Trei urne conțin 6 bile albe și 4 negre. Din fiecare urnă se extrage o minge la întâmplare. Aflați probabilitatea ca: a) toate cele trei bile să fie albe; b) toate cele trei bile vor avea aceeași culoare.

Pe baza informațiilor primite, ghiciți cum să faceți față punctului „fi” ;-) Probă aproximativă soluțiile sunt concepute într-un stil academic, cu o listă detaliată a tuturor evenimentelor.

Evenimente dependente. Evenimentul este numit dependent , dacă probabilitatea sa depinde dintr-unul sau mai multe evenimente care au avut loc deja. Nu trebuie să mergeți departe pentru exemple - mergeți la cel mai apropiat magazin:

– va fi în vânzare mâine la ora 19.00 pâine proaspătă.

Probabilitatea acestui eveniment depinde de multe alte evenimente: dacă pâinea proaspătă va fi livrată mâine, dacă se va epuiza sau nu înainte de ora 19, etc. Depinzând de diverse circumstanțe acest eveniment poate fi fie de încredere, fie imposibil. Deci evenimentul este dependent.

Pâine... și, așa cum cereau romanii, circuri:

– la examen, studentul va primi un bilet simplu.

Dacă nu sunteți chiar primul, atunci evenimentul va fi dependent, deoarece probabilitatea acestuia va depinde de ce bilete au fost deja extrase de colegii de clasă.

Cum se determină dependența/independența evenimentelor?

Uneori, acest lucru este menționat direct în enunțul problemei, dar cel mai adesea trebuie să efectuați o analiză independentă. Nu există nicio orientare clară aici, iar faptul de dependență sau independență a evenimentelor decurge din raționamentul logic natural.

Pentru a nu strânge totul într-o grămadă, sarcini pentru evenimente dependente Voi evidenția următoarea lecție, dar deocamdată vom lua în considerare cel mai comun set de teoreme în practică:

Probleme de teoreme de adunare pentru probabilități incompatibile
și înmulțirea probabilităților de evenimente independente

Acest tandem, conform evaluării mele subiective, funcționează în aproximativ 80% din sarcinile pe tema luată în considerare. Lovitură de lovituri și un adevărat clasic al teoriei probabilităților:

Problema 5

Doi trăgători au tras câte o lovitură în țintă. Probabilitatea unei lovituri pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea - 0,6. Găsiți probabilitatea ca:

a) un singur trăgător va lovi ținta;
b) cel puțin unul dintre trăgători va lovi ținta.

Soluţie: rata de lovire/ ratare a unui trăgător este evident independentă de performanța celuilalt trăgător.

Să luăm în considerare evenimentele:
– Primul trăgător va lovi ținta;
– Al 2-lea trăgător va lovi ținta.

După condiție: .

Să găsim probabilitățile de evenimente opuse - că săgețile corespunzătoare vor rata:

a) Luați în considerare evenimentul: – un singur trăgător va lovi ținta. Acest eveniment constă din două rezultate incompatibile:

Primul trăgător va lovi Și Al 2-lea va rata
sau
Primul va rata Și Al 2-lea va lovi.

Pe limbă algebre de evenimente acest fapt se va scrie prin următoarea formulă:

În primul rând, folosim teorema pentru a adăuga probabilitățile evenimentelor incompatibile, apoi teorema pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente:

– probabilitatea ca să fie o singură lovitură.

b) Luați în considerare evenimentul: – cel puțin unul dintre trăgători lovește ținta.

În primul rând, SĂ GÂNDIM – ce înseamnă condiția „MAȚIN UNU”? În acest caz, aceasta înseamnă că fie primul trăgător va lovi (al 2-lea va rata) sau al 2-lea (primul va rata) sau ambii trăgători simultan - un total de 3 rezultate incompatibile.

Metoda unu: ținând cont de probabilitatea gata a punctului anterior, este convenabil să se reprezinte evenimentul ca suma următoarelor evenimente incompatibile:

cineva va ajunge acolo (un eveniment constând la rândul său din 2 rezultate incompatibile) sau
Dacă ambele săgeți lovesc, notăm acest eveniment cu litera .

Prin urmare:

Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
– probabilitatea ca primul trăgător să lovească Și Al 2-lea trăgător va lovi.

Conform teoremei adunării probabilităților evenimentelor incompatibile:
– probabilitatea ca cel puțin o lovire asupra țintei.

Metoda a doua: Luați în considerare evenimentul opus: – ambii trăgători vor rata.

Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:

Ca urmare:

Atentie speciala Atenție la a doua metodă - în general, este mai rațională.

În plus, există o alternativă, a treia modalitate de rezolvare, bazată pe teorema de adunare a evenimentelor comune, care nu a fost menționată mai sus.

! Dacă vă familiarizați cu materialul pentru prima dată, atunci, pentru a evita confuzia, este mai bine să săriți peste următorul paragraf.

Metoda trei : evenimentele sunt compatibile, ceea ce înseamnă că suma lor exprimă evenimentul „cel puțin un trăgător va lovi ținta” (vezi. algebra evenimentelor). De teorema de adunare a probabilităților evenimentelor comuneși teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:

Să verificăm: evenimente și (0, 1 și respectiv 2 rezultate) formează un grup complet, deci suma probabilităților lor trebuie să fie egală cu unu:
, care era ceea ce trebuia verificat.

Răspuns:

Cu un studiu amănunțit al teoriei probabilităților, veți întâlni zeci de probleme cu un conținut militarist și, în mod caracteristic, după aceasta nu veți dori să împușcați pe nimeni - problemele sunt aproape un cadou. De ce să nu simplificăm și șablonul? Să scurtăm intrarea:

Soluţie: după condiție: , – probabilitatea de a lovi trăgătorii corespunzători. Apoi, probabilitățile să rateze:

a) Conform teoremelor de adunare a probabilităţilor de incompatibilitate şi de multiplicare a probabilităţilor de evenimente independente:
– probabilitatea ca un singur trăgător să lovească ținta.

b) Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
– probabilitatea ca ambii trăgători să rateze.

Apoi: – probabilitatea ca cel puțin unul dintre trăgători să lovească ținta.

Răspuns:

În practică, puteți utiliza orice opțiune de design. Desigur, mult mai des iau traseul scurt, dar nu trebuie să uităm de prima metodă - deși este mai lungă, este mai semnificativă - este mai clară, ce, de ce și de ce adună și înmulțește. În unele cazuri, un stil hibrid este adecvat, când este convenabil să folosiți majuscule pentru a indica doar unele evenimente.

Sarcini similare pentru decizie independentă:

Problema 6

Pentru a semnala un incendiu, sunt instalați doi senzori care funcționează independent. Probabilitățile ca senzorul să funcționeze în caz de incendiu sunt de 0,5 și, respectiv, 0,7 pentru primul și al doilea senzor. Găsiți probabilitatea ca într-un incendiu:

a) ambii senzori se vor defecta;
b) ambii senzori vor funcționa.
c) Utilizarea teorema de adunare a probabilităţilor evenimentelor care formează un grup complet, aflați probabilitatea ca într-un incendiu să funcționeze un singur senzor. Verificați rezultatul calculând direct această probabilitate (folosind teoreme de adunare și înmulțire).

Aici, independența funcționării dispozitivelor este menționată direct în stare, ceea ce, apropo, este o clarificare importantă. Soluția eșantion este concepută într-un stil academic.

Ce se întâmplă dacă într-o problemă similară sunt date aceleași probabilități, de exemplu, 0,9 și 0,9? Trebuie să decideți exact la fel! (ceea ce, de fapt, a fost deja demonstrat în exemplul cu două monede)

Problema 7

Probabilitatea de a lovi ținta de către primul trăgător cu o singură lovitură este de 0,8. Probabilitatea ca ținta să nu fie lovită după ce primul și al doilea trăgător trag câte o lovitură fiecare este de 0,08. Care este probabilitatea ca cel de-al doilea trăgător să lovească ținta cu o singură lovitură?

Și acesta este un mic puzzle, care este conceput într-un mod scurt. Condiția poate fi reformulată mai succint, dar nu voi reface originalul - în practică, trebuie să mă adâncesc în fabricații mai ornamentate.

Faceți cunoștință cu el - el este cel care ți-a planificat o cantitate enormă de detalii =):

Problema 8

Un muncitor operează trei mașini. Probabilitatea ca în timpul unei ture prima mașină să necesite ajustare este de 0,3, a doua - 0,75, a treia - 0,4. Găsiți probabilitatea ca în timpul schimbului:

a) toate utilajele vor necesita ajustare;
b) o singură mașină va necesita ajustare;
c) cel puțin o mașină va necesita ajustare.

Soluţie: deoarece condiția nu spune nimic despre un singur proces tehnologic, atunci funcționarea fiecărei mașini ar trebui considerată independentă de funcționarea altor mașini.

Prin analogie cu problema nr. 5, aici puteți lua în considerare evenimentele pentru care mașinile corespunzătoare vor necesita ajustări în timpul schimbului, notați probabilitățile, găsiți probabilitățile de evenimente opuse etc. Dar, cu trei obiecte, nu mai vreau să formatez sarcina în acest fel - se va dovedi lung și plictisitor. Prin urmare, este vizibil mai profitabil să folosiți stilul „rapid” aici:

După condiția: – probabilitatea ca în timpul schimbului mașinile corespunzătoare să necesite reglaj. Atunci probabilitățile ca acestea să nu necesite atenție sunt:

Unul dintre cititori a găsit o greșeală grozavă aici, nici nu o voi corecta =)

a) Conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
– probabilitatea ca în timpul schimbului toate cele trei utilaje să necesite ajustări.

b) Evenimentul „În timpul schimbului, doar o singură mașină va necesita ajustare” constă din trei rezultate incompatibile:

1) Prima mașină va necesita Atenţie Și a 2-a mașină nu va cere Și a 3-a mașină nu va cere
sau:
2) Prima mașină nu va cere Atenţie Și a 2-a mașină va necesita Și a 3-a mașină nu va cere
sau:
3) Prima mașină nu va cere Atenţie Și a 2-a mașină nu va cere Și a 3-a mașină va necesita.

Conform teoremelor de adunare a probabilităților de incompatibilitate și de multiplicare a probabilităților de evenimente independente:

– probabilitatea ca în timpul unei ture doar o singură mașină să necesite reglaj.

Cred că până acum ar trebui să înțelegi de unde vine expresia

c) Să calculăm probabilitatea ca mașinile să nu necesite ajustare și apoi probabilitatea evenimentului opus:
– că cel puțin o mașină va necesita reglare.

Răspuns:

Punctul „ve” poate fi rezolvat și prin suma , unde este probabilitatea ca în timpul unei ture doar două mașini să necesite ajustare. Acest eveniment, la rândul său, include 3 rezultate incompatibile, care sunt descrise prin analogie cu punctul „fi”. Încercați să găsiți singur probabilitatea de a verifica întreaga problemă folosind egalitate.

Problema 9

O salvă a fost trasă cu trei tunuri către țintă. Probabilitatea unei lovituri cu o singură lovitură de la prima armă este de 0,7, de la a doua – 0,6, de la a treia – 0,8. Găsiți probabilitatea ca: 1) cel puțin un proiectil să lovească ținta; 2) doar două obuze vor lovi ținta; 3) ținta va fi lovită de cel puțin două ori.

Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

Și din nou despre coincidențe: dacă, în funcție de condiție, două sau chiar toate valorile probabilităților inițiale coincid (de exemplu, 0,7, 0,7 și 0,7), atunci trebuie urmat exact același algoritm de soluție.

Pentru a încheia articolul, să ne uităm la un alt puzzle comun:

Problema 10

Trăgătorul lovește ținta cu aceeași probabilitate cu fiecare lovitură. Care este această probabilitate dacă probabilitatea de a cel puțin o lovitură cu trei lovituri este 0,973.

Soluţie: să notăm prin – probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură.
și prin - probabilitatea unei rateuri la fiecare lovitură.

Și să scriem evenimentele:
– cu 3 lovituri trăgătorul va lovi ținta cel puțin o dată;
– trăgătorul va rata de 3 ori.

După condiție, atunci probabilitatea evenimentului opus:

Pe de altă parte, conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:

Prin urmare:

- probabilitatea unei rateuri la fiecare lovitură.

Ca urmare:
– probabilitatea unei lovituri la fiecare lovitură.

Răspuns: 0,7

Simplu și elegant.

În problema luată în considerare, se pot pune întrebări suplimentare despre probabilitatea unei singure loviri, doar două loviri și probabilitatea a trei loviri pe țintă. Schema de soluții va fi exact aceeași ca în cele două exemple anterioare:

Cu toate acestea, diferența fundamentală de fond este că aici există teste independente repetate, care sunt efectuate succesiv, independent unul de celălalt și cu aceeași probabilitate de rezultate.

Numărarea directă a cazurilor care favorizează un anumit eveniment poate fi dificilă. Prin urmare, pentru a determina probabilitatea unui eveniment, poate fi avantajos să ne imaginăm acest eveniment ca o combinație a altora, mai mult evenimente simple. În acest caz, totuși, trebuie să cunoașteți regulile care guvernează probabilitățile în combinațiile de evenimente. De aceste reguli se referă teoremele menționate în titlul paragrafului.

Prima dintre acestea se referă la calcularea probabilității ca cel puțin unul dintre mai multe evenimente să se producă.

Teorema adunării.

Fie A și B două evenimente incompatibile. Atunci probabilitatea ca cel puțin unul dintre aceste două evenimente să se producă este egală cu suma probabilităților lor:

Dovada. Să fie un grup complet de evenimente incompatibile în perechi. Dacă atunci printre aceste evenimente elementare există exact evenimente favorabile lui A și exact evenimente favorabile lui B. Deoarece evenimentele A și B sunt incompatibile, atunci niciun eveniment nu poate favoriza ambele evenimente. Un eveniment (A sau B), constând în apariția a cel puțin unuia dintre aceste două evenimente, este în mod evident favorizat atât de fiecare dintre evenimentele care favorizează A cât și de fiecare dintre evenimente.

Favorabil V. Prin urmare numărul total evenimentele care favorizează evenimentul (A sau B) este egală cu suma care urmează:

Q.E.D.

Este ușor de observat că teorema de adunare formulată mai sus pentru cazul a două evenimente poate fi ușor transferată în cazul oricărui număr finit al acestora. Tocmai dacă există evenimente incompatibile în perechi, atunci

Pentru cazul a trei evenimente, de exemplu, se poate scrie

O consecință importantă a teoremei adunării este afirmația: dacă evenimentele sunt incompatibile în perechi și posibile în mod unic, atunci

Într-adevăr, evenimentul fie sau sau este, prin presupunere, cert și probabilitatea sa, așa cum este indicată în § 1, este egală cu unu. În special, dacă înseamnă două evenimente reciproc opuse, atunci

Să ilustrăm teorema adunării cu exemple.

Exemplul 1. Când trageți la o țintă, probabilitatea de a efectua o lovitură excelentă este de 0,3, iar probabilitatea de a efectua o lovitură „bună” este de 0,4. Care este probabilitatea de a obține un scor de cel puțin „bun” pentru o lovitură?

Soluţie. Dacă evenimentul A înseamnă primirea unui rating „excelent”, iar evenimentul B înseamnă primirea unui rating „bun”, atunci

Exemplul 2. Într-o urnă care conține bile albe, roșii și negre, sunt bile albe și eu bile roșii. Care este probabilitatea de a extrage o minge care nu este neagră?

Soluţie. Dacă evenimentul A constă din apariția unei mingi albe, iar evenimentul B constă dintr-o minge roșie, atunci aspectul mingii nu este neagră

înseamnă apariția unei mingi albe sau roșii. Deoarece prin definiţia probabilităţii

apoi, prin teorema adunării, probabilitatea de apariție a unei mingi nenegre este egală;

Această problemă poate fi rezolvată astfel. Fie evenimentul C să constea în apariția unei bile negre. Numărul de bile negre este egal astfel încât P (C) Apariția unei bile non-negre este evenimentul opus lui C, prin urmare, pe baza corolarului de mai sus din teorema adunării, avem:

Ca înainte.

Exemplul 3. Într-o loterie cash-material, pentru o serie de 1000 de bilete există 120 cash și 80 de câștiguri materiale. Care este probabilitatea de a câștiga ceva la un singur bilet de loterie?

Soluţie. Dacă notăm cu A un eveniment constând dintr-un câștig monetar și cu B un câștig material, atunci din definiția probabilității rezultă

Evenimentul care ne interesează este reprezentat de (A sau B), deci rezultă din teorema adunării

Astfel, probabilitatea de a câștiga este de 0,2.

Înainte de a trece la următoarea teoremă, este necesar să vă familiarizați cu un nou concept important - conceptul de probabilitate condiționată. În acest scop, vom începe prin a lua în considerare următorul exemplu.

Să presupunem că într-un depozit există 400 de becuri, fabricate în două fabrici diferite, iar prima produce 75% din toate becurile, iar a doua - 25%. Să presupunem că dintre becurile fabricate de prima fabrică, 83% îndeplinesc condițiile unui anumit standard, iar pentru produsele celei de-a doua fabrici acest procent este de 63. Să determinăm probabilitatea ca un bec luat la întâmplare din depozitul va satisface condițiile standardului.

Rețineți că numărul total de becuri standard disponibile este format din becurile fabricate de primul

fabrică, și 63 de becuri fabricate de a doua fabrică, adică egale cu 312. Întrucât alegerea oricărui bec ar trebui considerată la fel de posibilă, avem 312 cazuri favorabile din 400, deci

unde evenimentul B este că becul pe care l-am ales este standard.

În timpul acestui calcul, nu s-au făcut ipoteze cu privire la produsul căruia îi aparținea becul pe care l-am selectat. Dacă facem ipoteze de acest fel, atunci este evident că probabilitatea de care ne interesează se poate schimba. Deci, de exemplu, dacă se știe că becul selectat a fost fabricat la prima fabrică (eveniment A), atunci probabilitatea ca acesta să fie standard nu va mai fi de 0,78, ci de 0,83.

Acest tip de probabilitate, adică probabilitatea evenimentului B, având în vedere că evenimentul A are loc, se numește probabilitate condiționată a evenimentului B având în vedere apariția evenimentului A și se notează

Dacă în exemplul anterior notăm cu A evenimentul că becul selectat este fabricat la prima fabrică, atunci putem scrie

Acum putem formula o teoremă importantă legată de calcularea probabilității combinării evenimentelor.

Teorema înmulțirii.

Probabilitatea combinării evenimentelor A și B este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre evenimente și probabilitatea condiționată a celuilalt, presupunând că primul a avut loc:

În acest caz, combinația evenimentelor A și B înseamnă apariția fiecăruia dintre ele, adică apariția atât a evenimentului A, cât și a evenimentului B.

Dovada. Să considerăm un grup complet de evenimente la fel de posibile incompatibile în perechi, fiecare dintre acestea putând fi favorabil sau nefavorabil atât pentru evenimentul A, cât și pentru evenimentul B.

Să împărțim toate aceste evenimente în patru grupuri diferite, după cum urmează. Primul grup include acele evenimente care favorizează atât evenimentul A, cât și evenimentul B; Al doilea și al treilea grup includ acele evenimente care favorizează unul dintre cele două evenimente care ne interesează și nu îl favorizează pe celălalt, de exemplu, al doilea grup le include pe cele care îl favorizează pe A, dar nu îl favorizează pe B, iar al treilea grup le include pe cei care favorizați B, dar nu favorizați A; în cele din urmă să

Al patrulea grup include acele evenimente care nu favorizează nici A, nici B.

Deoarece numerotarea evenimentelor nu contează, putem presupune că această împărțire în patru grupuri arată astfel:

Grupa I:

Grupa II:

grupa III:

grupa IV:

Astfel, printre evenimentele la fel de posibile și incompatibile între perechi, există evenimente care favorizează atât evenimentul A, cât și evenimentul B, evenimente care favorizează evenimentul A, dar nu favorizează evenimentul A, evenimente care îl favorizează pe B, dar nu îl favorizează pe A și, în sfârșit, evenimente care nu favorizează nici A, nici B.

Să remarcăm, apropo, că oricare dintre cele patru grupuri pe care le-am luat în considerare (și chiar mai multe) poate să nu conțină un singur eveniment. În acest caz numărul corespunzător, adică numărul de evenimente dintr-un astfel de grup, va fi egal cu zero.

Împărțirea noastră în grupuri vă permite să scrieți imediat

căci combinarea evenimentelor A şi B este favorizată de evenimentele primei grupe şi numai de acestea. Numărul total de evenimente care favorizează A este egal cu numărul total de evenimente din primul și al doilea grup, iar cei care favorizează B este egal cu numărul total de evenimente din primul și al treilea grup.

Să calculăm acum probabilitatea, adică probabilitatea evenimentului B, cu condiția ca evenimentul A să aibă loc. Acum, evenimentele incluse în grupa a treia și a patra dispar, deoarece apariția lor ar contrazice apariția evenimentului A, iar numărul de cazuri posibile nu mai este egal cu . Dintre acestea, evenimentul B este favorizat doar de evenimentele din primul grup, deci obținem:

Pentru a demonstra teorema, este suficient acum să scriem identitatea evidentă:

și înlocuiți toate cele trei fracții cu probabilitățile calculate mai sus. Ajungem la egalitatea exprimată în teoremă:

Este clar că identitatea pe care am scris-o mai sus are sens numai dacă este întotdeauna adevărată, cu excepția cazului în care A este un eveniment imposibil.

Deoarece evenimentele A și B sunt egale, atunci, schimbându-le, obținem o altă formă a teoremei înmulțirii:

Totuși, această egalitate poate fi obținută în același mod ca și precedenta, dacă observați că folosind identitatea

Comparând părțile din dreapta celor două expresii pentru probabilitatea P(A și B), obținem o egalitate utilă:

Să luăm acum în considerare exemple care ilustrează teorema înmulțirii.

Exemplul 4. În produsele unei anumite întreprinderi, 96% dintre produse sunt considerate adecvate (evenimentul A). 75 de produse din fiecare sută potrivite se dovedesc a aparține clasei I (eveniment B). Determinați probabilitatea ca un produs selectat aleatoriu să fie potrivit și să aparțină clasei I.

Soluţie. Probabilitatea dorită este probabilitatea combinării evenimentelor A și B. Prin condiție avem: . Prin urmare teorema înmulțirii dă

Exemplul 5. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură (evenimentul A) este 0,2. Care este probabilitatea de a lovi ținta dacă 2% dintre siguranțe eșuează (adică, în 2% din cazuri lovitura nu

Soluţie. Fie evenimentul B că va avea loc o lovitură, iar B înseamnă evenimentul opus. Apoi prin condiție și după corolarul teoremei adunării. Mai mult, în funcție de condiție.

Lovirea țintei înseamnă combinația de evenimente A și B (împușcătura va trage și va lovi), prin urmare, conform teoremei înmulțirii

Un caz special important al teoremei înmulțirii poate fi obținut prin utilizarea conceptului de independență a evenimentelor.

Două evenimente sunt numite independente dacă probabilitatea unuia dintre ele nu se modifică ca urmare a faptului că celălalt are loc sau nu.

Exemple de evenimente independente sunt apariția unui număr diferit de puncte atunci când aruncați din nou un zar sau una sau alta parte a monedelor atunci când aruncați din nou o monedă, deoarece este evident că probabilitatea de a obține o stemă la a doua aruncare este egală. indiferent dacă stema a apărut sau nu pe prima.

În mod similar, probabilitatea de a extrage o bilă albă a doua oară dintr-o urnă care conține bile albe și negre, dacă prima bilă extrasă este returnată anterior, nu depinde dacă bila a fost extrasă prima dată, albă sau neagră. Prin urmare, rezultatele primei și celei de-a doua îndepărtări sunt independente unele de altele. Dimpotrivă, dacă bila scoasă prima nu se întoarce în urnă, atunci rezultatul celei de-a doua îndepărtări depinde de prima, deoarece compoziția bilelor din urna după prima scoatere se modifică în funcție de rezultatul acesteia. Aici avem un exemplu de evenimente dependente.

Folosind notația adoptată pentru probabilitățile condiționate, putem scrie condiția de independență a evenimentelor A și B sub forma

Folosind aceste egalități, putem reduce teorema înmulțirii pentru evenimente independente la următoarea formă.

Dacă evenimentele A și B sunt independente, atunci probabilitatea combinării lor este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Într-adevăr, este suficient să punem în expresia inițială a teoremei înmulțirii, care decurge din independența evenimentelor, și vom obține egalitatea cerută.

Să luăm acum în considerare mai multe evenimente: le vom numi colectiv independente dacă probabilitatea apariției oricăruia dintre ele nu depinde de dacă alte evenimente luate în considerare au avut loc sau nu.

În cazul evenimentelor care sunt independente colectiv, teorema înmulțirii poate fi extinsă la orice număr finit al acestora, deci poate fi formulată după cum urmează:

Probabilitatea de a combina evenimente independente în agregat este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Exemplul 6. Un muncitor întreține trei mașini automate, fiecare dintre ele trebuie abordată pentru a corecta o defecțiune dacă mașina se oprește. Probabilitatea ca prima mașină să nu se oprească într-o oră este de 0,9. Aceeași probabilitate pentru a doua mașină este de 0,8 și pentru a treia - 0,7. Determinați probabilitatea ca, într-o oră, lucrătorul să nu fie nevoie să se apropie de niciunul dintre utilajele pe care le întreține.

Exemplul 7. Probabilitatea de a doborî un avion cu o împușcătură de pușcă Care este probabilitatea de a distruge un avion inamic dacă se trag 250 de puști în același timp?

Soluţie. Probabilitatea ca avionul să nu fie doborât cu o singură lovitură este egală cu teorema adunării.Apoi putem calcula, folosind teorema înmulțirii, probabilitatea ca avionul să nu fie doborât cu 250 de lovituri, ca probabilitate de combinare. evenimente. Este egal cu După aceasta, putem folosi din nou teorema adunării și găsim probabilitatea ca avionul să fie doborât ca probabilitatea evenimentului opus.

Din aceasta se poate observa că, deși probabilitatea de a doborî un avion cu o singură lovitură de pușcă este neglijabilă, cu toate acestea, la tragerea de la 250 de puști, probabilitatea de a doborî un avion este deja foarte vizibilă. Crește semnificativ dacă crește numărul de puști. Deci, atunci când trageți de la 500 de puști, probabilitatea de a doborî un avion, așa cum este ușor de calculat, este egală cu atunci când trageți de la 1000 de puști - chiar.

Teorema înmulțirii demonstrată mai sus ne permite să extindem oarecum teorema adunării, extinzând-o la cazul evenimentelor compatibile. Este clar că dacă evenimentele A și B sunt compatibile, atunci probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre ele nu este egală cu suma probabilităților lor. De exemplu, dacă evenimentul A înseamnă un număr par

numărul de puncte la aruncarea unui zar, iar evenimentul B este pierderea unui număr de puncte care este multiplu de trei, apoi evenimentul (A sau B) este favorizat de pierderea a 2, 3, 4 și 6 puncte, acesta este

Pe de altă parte, adică. Deci in acest caz

Din aceasta rezultă clar că în cazul evenimentelor compatibile trebuie schimbată teorema de adunare a probabilităților. După cum vom vedea acum, ea poate fi formulată în așa fel încât să fie valabilă atât pentru evenimente compatibile, cât și pentru evenimente incompatibile, astfel încât teorema de adunare considerată anterior se dovedește a fi un caz special al celei noi.

Evenimente care nu sunt favorabile lui A.

Toate evenimentele elementare care favorizează un eveniment (A sau B) trebuie să favorizeze fie numai A, fie numai B, fie ambele A și B. Astfel, numărul total de astfel de evenimente este egal cu

și probabilitatea

Q.E.D.

Aplicând formula (9) exemplului de mai sus a numărului de puncte care apar la aruncarea unui zar, obținem:

care coincide cu rezultatul calculului direct.

În mod evident, formula (1) este un caz special al lui (9). Într-adevăr, dacă evenimentele A și B sunt incompatibile, atunci probabilitatea de combinare

De exemplu. ÎN circuit electric Două siguranțe sunt conectate în serie. Probabilitatea de defectare a primei siguranțe este de 0,6, iar a doua este de 0,2. Să determinăm probabilitatea unei căderi de curent ca urmare a defecțiunii a cel puțin una dintre aceste siguranțe.

Soluţie. Deoarece evenimentele A și B, constând în defecțiunea primei și celei de a doua dintre siguranțe, sunt compatibile, probabilitatea necesară va fi determinată prin formula (9):

Exerciții

Curs 7. Teoria probabilității

CONSECINȚELE TEOREMELOR DE ADUNARE ȘI MULTIPLICARE

Teorema de adunare a probabilităților evenimentelor comune

Teorema adunării pentru incompatibil evenimente. Aici vom prezenta teorema de adunare pt comun evenimente.

Sunt numite două evenimente comun, dacă apariția unuia dintre ei nu exclude apariția celuilalt în același proces.

Exemplul 1 . A – apariția a patru puncte la aruncarea unui zar; B – apariția unui număr par de puncte. Evenimentele A și B sunt comune.

Fie evenimentele A și B comune și sunt date probabilitățile acestor evenimente și probabilitatea apariției lor comune. Cum să găsiți probabilitatea evenimentului A + B ca cel puțin unul dintre evenimentele A și B să aibă loc? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema de adunare a probabilităților evenimentelor comune.

Teorema. Probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre cele două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitatea apariției lor comune: P(A + B) = P(A) + P(B) – P (AB).

Dovada . Deoarece evenimentele A și B, după condiție, sunt compatibile, atunci evenimentul A + B va avea loc dacă are loc unul dintre următoarele trei evenimente incompatibile: . Conform teoremei adunării probabilităților evenimentelor incompatibile, avem:

P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB).(*)

Evenimentul A va avea loc dacă are loc unul dintre cele două evenimente incompatibile: A
sau AB. Prin teorema adunării probabilităților de evenimente incompatibile avem

P(A) = P(A) + P(AB).

P(A)=P(A) – P(AB).(**)

La fel avem

P(B) = P(ĀB) + P(AB).

P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)

Înlocuind (**) și (***) în (*), obținem în sfârșit

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).(****)

Q.E.D.

Nota 1. Când utilizați formula rezultată, trebuie avut în vedere că evenimentele A și B pot fi oricare independent, asa de dependent.

Pentru evenimente independente

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B);

Pentru evenimente dependente

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P A (B).

Nota 2. Dacă evenimentele A și B incompatibil, atunci combinarea lor este un eveniment imposibil și, prin urmare, P(AB) = 0.

Formula (****) pentru evenimente incompatibile ia forma

P(A + B) = P(A) + P(B).

Am obținut din nou teorema de adunare pentru evenimente incompatibile. Astfel, formula (****) este valabilă atât pentru evenimentele comune, cât și pentru cele incompatibile.

Exemplul 2. Probabilitățile de lovire a țintei la tragerea cu primul și respectiv al doilea tun sunt egale: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Găsiți probabilitatea unei lovituri cu o salvă
(de la ambele arme) cu cel puțin una dintre arme.

Soluţie . Probabilitatea ca fiecare armă să lovească ținta nu depinde de rezultatul tragerii de la cealaltă armă, prin urmare evenimentele A (lovită de prima armă) și B (lovită de a doua armă) sunt independente.

Probabilitatea evenimentului AB (ambele arme au marcat o lovitură)

P(AB) = P(A) * P(B) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Probabilitatea dorită P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Nota 3. Deoarece în acest exemplu evenimentele A și B sunt independente, am putea folosi formula P = 1 – q 1 q 2

De fapt, probabilitățile evenimentelor evenimente opuse A și B, adică probabilitățile de rateuri sunt:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;

q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;

Probabilitatea necesară ca într-o salvă cel puțin o armă să lovească este egală cu

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

După cum v-ați aștepta, s-a obținut același rezultat.

Lasă evenimentele AȘi ÎN- inconsecvente, iar probabilitățile acestor evenimente sunt cunoscute. Întrebare: cum să găsiți probabilitatea ca unul dintre aceste evenimente incompatibile să se producă? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema adunării.

Teorema.Probabilitatea apariției unuia dintre cele două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

p(A + ÎN) = p(A) + p(ÎN) (1.6)

Dovada. Într-adevăr, să n– numărul total al tuturor rezultatelor la fel de posibile și incompatibile (adică elementare). Lasă evenimentul A favoruri m 1 rezultatele și evenimentul ÎN – m 2 rezultate. Apoi, conform definiției clasice, probabilitățile acestor evenimente sunt egale: p(A) = m 1 / n, p(B) = m 2 / n .

De la evenimente AȘi ÎN incompatibil, atunci niciunul dintre rezultatele favorabile evenimentului A, nu propice evenimentului ÎN(vezi diagrama de mai jos).

Prin urmare evenimentul A+ÎN va fi favorabil m 1 + m 2 rezultate. Prin urmare, pentru probabilitate p(A + B) primim:

Corolarul 1. Suma probabilităților evenimentelor care formează un grup complet este egală cu unu:

p(A) + p(ÎN) + p(CU) + … + p(D) = 1.

Într-adevăr, lăsați evenimentele A,ÎN,CU, … , D formează un grup complet. Din această cauză, ele sunt incompatibile și singurele posibile. Prin urmare evenimentul A + B + C + …+D, constând în apariția (ca urmare a testării) a cel puțin unuia dintre aceste evenimente, este de încredere, i.e. A+B+C+…+D = Și p(A+B+C+ …+D) = 1.

Datorită incompatibilității evenimentelor A,ÎN,CU, … , D formula este corecta:

p(A+B+C+ …+D) = p(A) + p(ÎN) + p(CU) + … + p(D) = 1.

Exemplu.Într-o urnă sunt 30 de bile, dintre care 10 sunt roșii, 5 albastre și 15 albe. Găsiți probabilitatea de a extrage o minge roșie sau albastră, cu condiția ca din urnă să fie extrasă o singură minge.

Soluţie. Lasă evenimentul A 1 – extragerea mingii roșii și evenimentul A 2 – extragerea bilei albastre. Aceste evenimente sunt incompatibile și p(A 1) = 10 / 30 = 1 / 3; p(A 2) = 5 / 30 = 1 /6. Prin teorema adunării obținem:

p(A 1 + A 2) = p(A 1) + p(A 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

Nota 1. Subliniem că, după sensul problemei, este necesar, în primul rând, să se stabilească natura evenimentelor luate în considerare – dacă sunt incompatibile. Dacă teorema de mai sus este aplicată evenimentelor comune, rezultatul va fi incorect.